高等数学课程教学大纲 《高等数学》教学大纲 课程名称：高等数学（理一1） 课程编号： 10811017 高等数学（理一2） 10811026 英文课程名称：Advanced Mathematics 适用专业：计算机、通信、电信、自动化、机械、电子、光信息科学与技术、信息、材料、建筑等专业 总学时数：195 学分数：13 理论教学时数：195 实验（实践）教学时数： 执笔者： 黄东卫，苏永福 编写日期： 2003. 7. 18 一、课程性质和目的 课程性质：《高等数学》课程是理工科院校一门重要的公共基础课，是课时较多的必修课。 课程目的：通过高等数学的教学使学生获得微积分、常微分方程及无穷级数的基本知识，必要的基本理论和常用的基本运算技能，并通过教学培养学生的运算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学的数学知识分析问题和解决问题的能力；通过该课程的学习为后续课程打下必要的数学基础。 二、课程教学环节、内容及学时分配 第一学期 (计划学时105) 表-1 序号 课程内容 讲课时数 习题课时数 小计  一 函数、极限、连续 14 4 18  二 导数与微分 10 4 14  三 中值定理、导数的应用 18 4 22  四 不定积分 8 2 10  五 定积分 10 2 12  六 定积分应用 6 2 8  七 向量代数与空间解析几何 14 4 18  合计 有3学时的机动 80 22 102   第二学期 (计划学时90) 表-2 序号 课程内容 讲课时数 习题课时数 小计  八 多元函数微分法及其应用 14 4 18  九 重积分 8 4 12  十 曲线积分与曲面积分 12 4 16  十一 无穷级数 20 6 26  十二 常微分方程 14 4 18  合计 计划学时为90学时 68 22 90   一．函数、极限、连续 (讲课18学时) 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 掌握基本初等函数的性质及其图形。 会建立简单应用问题中的函数关系式。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会辨别函数间断点的类型。 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、 最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。 二. 导数与微分 (讲课14学时) 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 会求分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。 三. 中值定理与导数应用 (讲课22学时) 了解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。 了解并会用柯西中值定理。 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。 5．掌握用洛比达法则求未定式极限的方法。 6．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。 7*．了解求方程近似解的二分法和切线法。 四. 不定积分 (讲课10学时) 理解原函数的概念和不定积分的概念。 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 会利用积分表计算不定积分。 五. 定积分 (讲课12学时) 理解定积分的概念。 理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握变上限定积分求导，掌握牛顿-莱布尼茨公式。 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。 了解广义积分的概念，会判断广义积分的敛散性，并会计算广义积分。 5*. 了解定积分的近似计算法。 六. 定积分的应用 (讲课8学时) 理解定积分的元素法的概念。 掌握在直角坐标系与极坐标系中表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长。 掌握用定积分表达和计算旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 掌握用定积分表达和计算变力作功、引力、压力及函数的平均值等。 七. 向量代数与空间解析几何 (讲课18学时) （一）向量代数 理解空间直角坐标系的概念，理解向量的概念及其表示。 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、*混合积），了解两个向量平行、垂直的条件。 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标的表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 （二）空间解析几何 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面）的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 了解空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程。 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。会计算两直线的夹角、直线与平面的夹角。 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 八. 多元函数微分法及其应用 (讲课18学时) 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 掌握多元复合函数偏导数的求法。 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8*. 了解二元函数的二阶泰勒公式。 9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 九. 重积分 (讲课12学时) 1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2．掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3．会计算一些简单的重积分应用题目（平面图形的面积、重心、转动惯量、几何体体积、质量、重心、转动惯量等）。 十. 曲线积分与曲面积分 (讲课16学时) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握两类曲线积分的计算方法。 掌握格林(Green)公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会计算全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。 了解高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、会用高斯(Gauss)公式计算曲面积分。 了解散度与旋度的概念，并会计算。 会用曲线积分及曲面积分计算一些简单的几何量与物理量(曲线弧长、曲面面积、质量、重心、引力、功及流量等)。 十一. 无穷级数 (讲课26学时) 理解常数项级数及其收敛、发散及其收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。 掌握交错级数的莱布尼茨定理。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判断级数条件收敛或绝对收敛。 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,,,和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11*．了解幂级数在近似计算上的简单应用。 12．了解傅立叶(Fourier)级数的概念和函数展开成傅立叶级数的狄利克蕾定理； 13．会将定义在 上的函数展开为傅立叶(Fourier)级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数，会写出傅立叶(Fourier)级数的和的表达式。 十二. 常微分方程 (讲课18学时) 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 2．掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次方程、伯努力(Bernoulli)方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．会用降阶法解下列方程：。 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8*. 了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知数的一阶常系数线性微分方程组。 9. 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。 三、课程教学的基本要求 教学环节包括课堂教学、习题课和课外习题。通过各教学环节，重点培养学生的的运算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力和综合运用所学的数学知识分析问题和解决问题的能力。 课堂教学方式与手段 本课程要求以教师讲授为主，主要利用粉笔与黑板，若能辅之以教学课件演示一些适宜内容则更好。 2. 习题课与作业 在学时内安排一定量的习题课，布置足够量的作业，原则上要求在每讲授一节(2学时)后，教师应根据教学要求布置一定量的作业；作业要做到及时提交、批改（按教研室要求做）、登记、发还。 习题课内容以及课后习题的内容应包括计算、证明、综合题的形式，其中以计算题为主。 作业量分布： 课后作业60~75道题； 课后作业60~75道题； 课后作业50~60道题； 课后作业50~70道题； 课后作业60~70道题； 课后作业30~40道题； 课后作业40~50道题； 课后作业60~75道题； 课后作业30~40道题； 课后作业30~50道题； 课后作业50~60道题； 课后作业40~50道题； 3. 考试环节 该课程为必修的考试课程，该课程教学应在一学年内完成，两次期中及两次期末考试以闭卷、笔试方式进行。 4. 附加: 实验环节与外语要求 若条件允许，建议另外增加12学时，在适当的时候讲解数学软件Mathematica(4学时) 并引导学生完成4~6个高等数学数学实验。 若条件允许，建议在讲课过程中给出各章节主要专业名词的英语单词。 四、本课程与其他课程的联系与分工 本课程为公共基础课，安排在大学一年级新生中开设，是理、工、管等专业学生进入大学后的第一门数学课程。学生应具备高中毕业生应达到初等数学知识及物理知识。 该课程的后续课程有：线性代数、概率论与数理统计、复变函数、矢量分析与场论、积分变换、数理方程、大学物理、运筹学及多类专业课。高等数学为学习上述后续课程的不可缺少的基础。 五、建议教材及教学参考书 教材： 《高等数学》（第四版）（上、下册）；同济大学数学教研室编；高等教育出版社；2000年。 教学参考书：《高等数学辅导》（上下册合订本）；北京大学数学科学院；机械工业出版社；2002年。 《高等数学》教学大纲 课程名称：高等数学（理二1） 课程编号： 10811036 高等数学（理二2） 10811046 英文课程名称：Advanced Mathematics 适用专业：纺织工程、工商、国贸、化工、轻化、应化、服装、工业设计、人力、 环境等专业 总学时数：180 学分数：12 理论教学时数：180 实验（实践）教学时数：0 执笔者： 黄东卫，苏永福 编写日期： 2003. 7. 18 课程性质和目的 课程性质：《高等数学》课程是理工科院校一门重要的公共基础课，是课时较多的必修课。 课程目的：通过高等数学的教学使学生获得微积分、常微分方程及无穷级数的基本知识，必要的基本理论和常用的基本运算技能，并通过教学培养学生的运算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学的数学知识分析问题和解决问题的能力；通过该课程的学习为后续课程打下必要的数学基础。 二、课程教学环节、内容及学时分配 第一学期 (计划学时90) 表-1 序号 课程内容 讲课时数 习题课时数 小计  一 函数、极限、连续 14 4 18  二 导数与微分 12 4 16  三 中值定理、导数的应用 12 6 18  四 不定积分 8 4 12  五 定积分 8 2 10  六 定积分应用 6 2 8  七 （一）向量代数 6 2 8  合计 计划学时为90学时 66 24 90   第二学期 (计划学时90) 表-2 序号 课程内容 讲课时数 习题课时数 小计  七 （二）空间解析几何 8 2 10  八 多元函数微分法及其应用 14 4 18  九 重积分 8 4 12  十 曲线积分与曲面积分 10 4 14  十一 无穷级数 14 6 20  十二 常微分方程 12 4 16  合计 计划学时为90学时 66 24 90  一．函数、极限、连续 (讲课18学时) 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 掌握基本初等函数的性质及其图形。 会建立简单应用问题中的函数关系式。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会辨别函数间断点的类型。 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、 最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。 二．导数与微分 (讲课16学时) 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 会求分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。 三．中值定理与导数应用 (讲课18学时) 了解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。 了解并会用柯西中值定理。 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。 5．掌握用洛比达法则求未定式极限的方法。 6．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。 7．了解求方程近似解的二分法和切线法。 四．不定积分 (讲课12学时) 理解原函数的概念和不定积分的概念。 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 会利用积分表计算不定积分。 五． 定积分 (讲课10学时) 理解定积分的概念。 理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 了解定积分的近似计算法。 六．定积分的应用 (讲课8学时) 理解定积分的元素法的概念。 熟练地掌握在直角坐标系与极坐标系中表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长。 掌握用定积分表达和计算旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 掌握用定积分表达和计算变力作功、引力、压力及函数的平均值等。 七．向量代数与空间解析几何 (讲课18学时) （一）向量代数 理解空间直角坐标系的概念，理解向量的概念及其表示。 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量平行、垂直的条件。 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标的表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 （二）空间解析几何 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面）的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 了解空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程。 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。会计算两直线的夹角、直线与平面的夹角。 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 八. 多元函数微分法及其应用 (讲课18学时) 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 掌握多元复合函数偏导数的求法。 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 了解二元函数的二阶泰勒公式。 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 九. 重积分 (讲课12学时) 1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2．掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3．会计算一些简单的重积分应用题目（平面图形的面积、重心、转动惯量、几何体体积、质量、重心、转动惯量等）。 十. 曲线积分与曲面积分 (讲课14学时) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握两类曲线积分的计算方法。 掌握格林(Green)公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会计算全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握计算两类曲线积分的方法。 了解高斯(Gauss)公式、会用高斯(Gauss)公式计算曲面积分。 了解斯托克斯(Stokes)公式与散度的概念。 会用曲线积分及曲面积分计算一些简单的几何量与物理量(曲线弧长、曲面面积、质量、重心、引力、功及流量等)。 十一. 无穷级数 (讲课20学时) 理解常数项级数及其收敛、发散及其收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。 掌握交错级数的莱布尼茨定理。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,,,和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。 十二. 常微分方程 (讲课16学时) 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 2．掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次方程、伯努力(Bernoulli)方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．会用降阶法解下列方程：。 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 了解微分方程的幂级数解法、欧拉方程的解法。 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 三、课程教学的基本要求 教学环节包括课堂教学、习题课和课外习题。通过各教学环节，重点培养学生的的运算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力和综合运用所学的数学知识分析问题和解决问题的能力。 课堂教学方式与手段 本课程要求以教师讲授为主，主要利用粉笔与黑板，若能辅之以教学课件演示一些适宜内容则更好。 2. 习题课与作业 在学时内安排一定量的习题课，布置足够量的作业，原则上要求在每讲授一节(2学时)后，教师应根据教学要求布置一定量的作业；作业要做到及时提交、批改（按教研室要求做）、登记、发还。 习题课内容以及课后习题的内容应包括计算、证明、综合题的形式，其中以计算题为主。 作业量分布： 课后作业60~75道题； 课后作业60~75道题； 课后作业50~60道题； 课后作业50~70道题； 课后作业60~70道题； 课后作业30~40道题； 课后作业40~50道题； 课后作业60~75道题； 课后作业30~40道题； 课后作业30~40道题； 课后作业40~50道题； 课后作业30~40道题； 3. 考试环节 该课程为必修的考试课程，该课程教学应在一学年内完成，两次期中及两次期末考试以闭卷、笔试方式进行。 4. 附加: 实验环节与外语要求 若条件允许，建议另外增加12学时，在适当的时候讲解数学软件Mathematica(4学时) 并引导学生完成4~6个高等数学数学实验。 若条件允许，建议在讲课过程中给出各章节主要专业名词的英语单词。 四、本课程与其他课程的联系与分工 本课程为公共基础课，安排在大学一年级新生中开设，是理、工、管等专业学生进入大学后的第一门数学课程。学生应具备高中毕业生应达到初等数学知识及物理知识。 该课程的后续课程有：线性代数、概率论与数理统计、复变函数、矢量分析与场论、积分变换、数理方程、大学物理、运筹学及多类专业课。高等数学为学习上述后续课程的不可缺少的基础。 五、建议教材及教学参考书 教材： 《高等数学》（第四版）（上、下册）；同济大学数学教研室编；高等教育出版社；2000年。 教学参考书：《高等数学辅导》（上下册合订本）；北京大学数学科学院；机械工业出版社；2002科学院；机械工业出版社；2002年。