环境质量评价与系统分析
安徽工业大学建工学院
二○○四年六月八日
8,环境系统最优化
8.1 环境规划和系统最优化
8.2 线性规划的概念
8.3 图解法解二维线性规划问题
8.4 单纯形法解 LP问题
8.5 对偶线性规划模型
8.6 Excel的规划求解
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.1 环境规划和系统最优化
8.1.1 城市环境规划
? 城市开发规划概要
? (1)工业规划 (2)自然环境改变 (3)人口变化
? 土地利用规划
? (1)总体规划 (2)工业区划 (3)居住区和商业区划 (4)农业、林业和畜牧业等区划 (5)其他依
据和标准
? 水资源管理规划
? (1) 用水规划,水资源保护规划 (水质、水量 )(3)水面利用规划
? 城市能源规划
? (1)能源利用规划 (2)能源环境影响预测 (3)能源环境管理规划
? 工业污染源控制规划
? (1)工业污染源环境影响预测 (2) 控制规划
? 大气污染综合防治规划及其他
? (1)大气环境质量预测 (2)大气污染防治 (3)固体废物，化学品、噪声污染预测及防治
? 城市交通规划
? 城市绿化和建立生态调节区特殊保护区
8.1.2 环境系统最优化
? Min Z = f(Χ,Ｕ,Θ)
? S.t,G(Χ,Ｕ,Θ) = 0 ),.,,,,()( 21 nXXXFZM i nM a x ?
mnm
n
n
bXXXg
bXXXg
bXXXg
???
???
???
或
或
或
,,),.,,,,(
.,,,,,,,,,,,,,,
,,),.,,,,(
,,),.,,,,(
21
2212
1211
最优化模型可以写成更
易于理解的一般形式：
S.t
城市污水排水系统优化例
? ?)()()()( ttpppppupupp ACACACACM i nZ ????????
?
?
?
?
?
??
?
??
)2()1(
0
iii
i
ti
Q
QQ
???
Sii CC ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
m inm a x
m in
'
'
'''
''
'
VVV
DD
D
hHH
D
pp
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
??
???
???
??
m i nm a x
m i n
0
m i n22m a x
m i n11m a x
0
0)(
VVV
DD
D
DHDH
FF
zHEz
zHEz
qQA
D
iiuu
u
s.t,污水处理厂约束条件（总流量为各分流量之和，处理效
率在工艺相应限制下）；
水质约束条件（控制水质符合环境标准）；
压力输水管约束条件（输水总扬程 =输水净扬程 +水头损
失,设计管径属于标准管径系列，最小管径限制，管中水
流流速在最小允许流速和最大允许流速之间）。
重力流污水管约束条件,(1)水量连续方程,Q为各管的设
计流量,g本段流量； (2)(3)管段的上下游地面标高与管顶
标高的差，在允许最大管顶覆土和最小覆土厚度之间；
(4)水流最大充盈度限制； (5) 相邻的上游管段的管底高
程高于下游。
其余同压力输水管相应约束条件
例 8-1
? 某金属冶炼厂,每生产 1kg 金属产生 0.3 kg废物，这些废物随
废水排放,浓度为 2 kg/m3，废水经部分处理，排入附近河流。
政府对废物实行总量控制，为 10 kg/ d。工厂最大生产能力为
5500kg/d,售价为 $13/kg，生产成本为 $9/kg,废水处理设
施的废水处理能力为 700m3/d，处理费用是 $2/m3,废水处理
效率与污染物的负荷有关,以 Q 表示废水处理量,单位为
(× 100m3/d)，处理效率为 η＝ 1-0.06Q，试对该问题建立最
优化模型，并求解。
0.03Y2
工 厂 污水处理厂
0.3X
0.3X-Y
Y 河流
图 8-1 污染物的发生与产量, 处理量的
关系 。
? Max Z＝ 400X-100Y
? S.t,0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10；
X≤55； Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60
X
Y=14
X=55
0.3X-Y+0.03Y^2=10
可行域
A
B
C
Y
0.3X-Y=0
可行域曲线上的目标值
X Y Z（ $）
33 0 13333
40 2 15640
45 4 17627
50 6 19293
55 9 21193
图 8-2 废水管理问题的可行域
8.2 线性规划的概念
? 8.2.1 线性规划问题
例 8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该
例中,污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线,将例
8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关，
始终为 η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。
解：设 X,工厂的金属产量 (× 100 kg/d)；
Y,送往废水处理设施处理的污染物量 (× 100 kg/d)；
建立的最优化模型成为：
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
?
? 8.2.2 线性规划问题的标准形式
例 8-3农药管理问题。
? 一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为 6个月,周围
有 1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害
到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害，
生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增
长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓
度为 C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为 C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为
C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为 100ppm。 在 1000ha农田上种植
两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下：
? Max Z＝ 140X1+ 100X2
? S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
? X1+ X2 ≤1000
? X1,X2≥0
作物
农药施加量
(kg/ha)
农药流失率
%
作物收入
$/ha
作物费用
$/ha
蔬菜 6 15 300 160
粮食 2.5 20 150 50
8.2.2 线性规划问题的标准形式
)...)( 2211 nn XcXcXcZM i nM a x ????
?
?
?
??
?
?
??????
??????
??????
mnmnmm
nn
nn
bXaXaXa
bXaXaXa
bXaXaXa
LP
,,.,,
,,.,,
,,.,,
)(
2211
22222121
11212111
．．．．．．．
0,...,,21 ?nXXX
S.t.
如果将不等式约束条件，全部使用, ≤” 表示，称为线性规划问题的 典则
形式 。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的 标准形式 。线性规划问题的标
准形式可采用如下的矩阵表达式：
?
?
?
?
?
?
0
..
X
BAX
CX
ts
M a xZ
),...,,(
),...,,(
),...,,(
21
21
21
T
m
T
n
n
bbb
XXX
ccc
?
?
?
B
X
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
A
其中
8.3 图解法解二维线性规划问题
? 在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可
以用图解法求解。
? 8.3.1 可行域和目标线
? 线性规划问题图解法过程：
? 根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条
件的解的可行域；
? 根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出
目标函数的投影线。变动 Z 值，确定目标函数增大或减小的方向；
? 根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行
域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确
定问题的最优解。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2 ≥0
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B(331.25,668.75)
C
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
z=110500
z=102500
z=113250
X1
X2
8.3.2 灵敏度分析
由于实际问题中模
型参数的不确
定性，系统分
析关心模型中
选择的参数将
会对最优解产
生影响的灵敏
程度，即参数
在何等范围内
变化时，原解
仍然是合理的。
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B
C(702.78,0)
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
X1
X2
z = 5 0 X1+100X2=100000
z = 2 2 0 X1+100X2=154610
8.4 单纯形法解 LP问题
Max Z= 140 X1 + 100 X2 + 0 S1 + 0 S2
632,5= 0.9 X1 + 0.5 X2 + S1 + 0 S2
1000= X1 + X2 + 0 S1 + S2
1.化 LP问题为线性规划问题的标准形式 (LP’)
LP,MaxZ=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0 引入松驰变量 S1,S2; 得 LP'如下,
2,选择初始极点,写出未经迭代的单纯形表 (零级单纯形表 )
Z ＝ 0 ＋ 140 X1 ＋ 100 X2
S1＝ 632.5 － 0.9 X1 － 0.5 X2
S2＝ 1000 － X1 － X2
3.迭代
? 使零级单纯形表中的一个零变量增值，以改进目标函
数，变量的选择以高效为原则，即该变量的增值，会
使目标函数得到最迅速的增加。
? 4.重复迭代过程
Z＝ 98388.8889 -155.555556S1+22.22222X2
X1＝ 702.77778 -1.111111S1-0.555556X2
S2＝ 297.22222 +1.111111S1-0.444444X2
Z＝ 113250.147 -99.99957S1-50.00044S2
X1＝ 668.75668 +2.50002S1-2.25002S2
X2＝ 331.24332 -2.50002S1+1.25002S2
5.判别新解是否为最优解
? 由目标函数的系数进行判别, S1和 S2的系数均
小于零,说明这些变量的增大不会改善 Z值，目标
函数已经是最优解。因此，对于单纯形表，如果
目标函数关系式中的全部变量系数 (检验数 )均小
于或等于零时，目标函数已经是最优解，整个迭
代过程结束。
? 从单纯形表可解读出 LP 的解,
? S2=0,S1=0,X1=331.24,X2=668.76 和
Z=113250.15。
8.5 对偶线性规划模型
? 8.5.1 由算例认识对偶问题
1.原模型 LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
2.用边际值定义新变量
设 Y1 为改变农药限制条件的边际值 ($/kg)，
定义 Y2为总种植面积的边际值 ($/ha)，
3.农药管理问题的对偶问题
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
农药管理对偶问题的目
标线和可行域
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200
Y1
Y2
0.9Y1+Y2=140
0.5Y1+Y2=100
Z = 6 3 2, 5 Y 1 + 1 0 0 0 Y 2
= 1 1 3 2 5 0
( 1 0 0,5 0 )
可行域
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
两种不同目标函数下的原始和对偶模型
方案
原 始 模 型 对 偶 模 型
1 Max Z=220X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 154610
X1'＝ 702.78,X2'＝ 0
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥220
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 154610
Y1'＝ 244.44,Y2'＝ 0
2 Max Z= 50X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 100000
X1'＝ 0,X2'＝ 1000
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 100000
Y1'＝ 0,Y2'＝ 100
线性规划的对偶模型
3.线性规划原问题和对偶问题的基本性质
原型问题是一个极大化规划，则对偶问题是一个极小化规划；
? 在典则形式中，若极大化的原型问题是, ≤” 约束条件，则在极小化对偶规划
中是, ≥” 约束条件；
? 原型问题约束方程的个数等于对偶变量的个数，反之亦然；
? 原型问题约束方程右边的常数分别为对偶问题目标函数的系数，反之亦然；
? 线性规划对偶问题的对偶是原问题；
? 若 Ｘ 是线性规划原问题的可行解,Ｙ 是对偶问题的可行解,则 ＣＸ ≤ＹＢ,等于
的情况出现在原问题和对偶问题的最优解；
? 对偶问题的最优解可由原设问题获得时，此最优解可在单纯形表的松弛变量中
的检验数中得到，反之，原设问题的最优解可由对偶问题的剩余变量各列中的检
验效中得到；
? 对偶定理：若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且其目标函数值相等。
研究线性规划的对偶问题具有实用意义。通过线性规划对偶问题的研究，能够
更加深入认识线性规划问题变量和约束的内容；对变量少但约束多的线性规划问
题可通过对偶转换简化求解；应用对偶模型还可以讨论线性规划问题中参数的灵
敏度。
8.5.3 影子价格
? 在典则形式的对偶问题中，对偶 LP 模型的
变量 Y1,Y2,....Ym≥0,称为对偶变量。
? 对偶变量有其经济解释，被称为影子价格。
对偶变量 Yi 是相应于第 i个原始约束条件的
边际值，它是第 i 种资源每一个单位对目标
值的贡献。
? 影子价格并不是市场价格，它是在特定最优
解条件下某一资源的潜在价格，反映这种资
源在实现最优解中的作用和紧迫程度。
8.6 Excel的规划求解
? 例 8-6 用 Excel的规划求解，解下列非线性问题。
Max Z ＝ 8X1 +12X2 +4X3
S.t,X13+ 4X2+ 3X3＝ 32
7X1- X22+ 3X3＝ 2
X1,X2,X3 ≥0
例 8-5 用 Excel的规划求解，解农药管理问题。
解,(1) 由原模型
LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
例 8-7 有九头鸟、鸡、兔同笼，上有 152头，下有 374脚，问笼中
九头鸟、鸡、兔各多少？
Excel的规划求解操作过程
1 在, 工具, 菜单中，单击, 规划求解, 命令。
如果, 规划求解, 命令没有出现在, 工具, 菜单中，则需要安装, 规
划求解, 加载宏。
2 在, 目标单元格, 编辑框中，键入单元格引用或目标单元格的名称。
目标单元格必须包含公式。
3 目标单元格中数值可选, 最大值,,,,最小值, 或指定, 目标值, 。
4 在, 可变单元格, 编辑框中，键入每个可变单元格的名称或引用，用
逗号分隔不相邻的引用。可变单元格必须直接或间接与目标单元格相
联系。
5 在, 约束, 列表框中，输入相应的约束条件。约束条件是指, 规划求
解, 问题中设置的限制条件。
6 单击, 求解, 按钮。
7 如果要在工作表中保存求解后的数值，请在, 规划求解结果, 对话框
中，单击, 保存规划求解结果, 。
8 报告
（ 1）运算结果报告
（ 2）敏感性报告
（ 3）极限值报告
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
? 8.7.1 污染物排放控制
? 例 8-9 某区域内有三个排放总悬浮颗粒物 (TSP)的点源，其中两个是
燃煤发电厂，另一个是水泥厂的窑炉。发电厂每烧一吨煤排放 95kg
的 TSP，水泥厂每生产一吨水泥排放 85kg的 TSP。水泥厂的产量为
250000 t/a水泥，两个燃煤发电厂的燃煤量分别是 400000 和
300000t/a。 目前三个点源均无控制措施，环保机构希望将该地区的
TSP削减 80%。 点源去除 TSP的可行方法去除效率和相应费用列于
表，现需通过成本 -效果分析，以最小费用达到环境目标。
污染控制方法和费用
控制方法
去除效率％ 电厂 1($/t) 电厂 2($/t) 水泥厂 ($/t)
隔板沉淀槽 59 1.0 1.4 1.1
多级除尘器 74 - - 1.2
长锥除尘器 84 - - 1.5
喷雾洗涤器 94 2.0 2.2 3.0
静电除尘器 97 2.8 3.0 -
决策变量定义方法
j 控制方法 1．电厂 1 2．电厂 2 3．水泥厂
不控制
隔板沉淀槽
多级除尘器
长锥除尘器
喷雾洗涤器
静电除尘器
X10
X11
-
-
X14
X15
X20
X21
-
-
X24
X25
X30
X31
X32
X33
X34
-
大气污染控制的目的是使 TSP 总排放量削减 80%，用燃煤生产排放 TSP系数 95 kg/t 和
水泥生产排放 TSP系数 85kg/t求出各污染源未加控制的 TSP 的总排放量：
污染源 1:
400000×95= 38000000 kg/a
污染源 2,300000×95= 28500000 kg/a
污染源 3,250000×85= 21250000 kg/a
总计, 87750000 kg/a
最终限量, 17550000 kg/a
控制后污染源 1：
95X10+95(0.41)X11+95(0.06)X14+95(0.03)X15
=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15
不考虑生产水平的改变,
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝
250000
大气污染控制的规划模型
Min Z＝
1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31
+1.2X32+1.5X33+3.0X34
S.t.
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝ 250000
95X10+39X11+5.7X14+2.9X15+95X20+39X21+5.7X24+
2.9X25+85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34≤17
600000
Xij≥0,i=1,2,3； j=0,1,2,3,4,5
Excel规划求解
A B C D E F G H I J K L M N O P 1
X1
0
X1
1
X1
4
X1
5
X2
0 X21 X24
X2
5
X
30
X3
1
X3
2 X33 X34 ×104 2
可变量 0 24 16 0 0 1 29 0 0 0 22 3 0 Z 3
目标值 0 24 32 0 0 1.4
63.
8 0 0 0
26.
4 4.5 0 152 4
源 1 0 24 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 40 5
源 2 0 0 0 0 0 1 29 0 0 0 0 0 0 30 30 6
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 3 0 25 25 7
TSP控 0
93
6 91 0 0 39 165 0 0 0 486
40.
8 0
175
9
176
0 8
目标值 0 1 2 2.8 0 1.4 2.2 3 0 1.1 1.2 1.5 3 9
源 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 系 10
源 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 数 11
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 矩 12
TSP控 95 39 5.7 2.9 95 39 5.7 2.9 85 35
22.
1
13.
6 5.1 阵 13
8.7.2 大气质量管理的污染物迁移模型
)]
22
(e x p [)0,,( 2
2
2
2
zyzy
Hy
u
QyxC
?????
???
C(x,y,0):点 (x,y)的大气污染物地面浓度 (g/m3)；
σy:水平方向上 (Y)烟羽浓度的标准差 （ m）；
σz:垂直方向上 (Z)烟羽浓度的标准差 （ m）；
Q,污染源源强 g/s）；
u,平均风速 （ m/s）；
H,有效烟囱高度 （ m）
对于单位源强，大气污染物的地面浓度仅仅是位置关系和气象条件的函数。污染源 i
在下风向任一点 k 处造成的大气污染物的地面浓度
)]22(e x p [1 2
2
2
2
z
i
y
ik
zy
ik
Hy
ut ????? ???
当气象条件已知，污染源和采样考核点的位置相对固定时,tik 成为常数。
多源在接受点 k 处的最终污染物浓度，是每个污染源单独作用情况的叠加。由
m个污染源采用 n 种控制方法，在接受器 k 处形成的污染物总浓度 为：
? ?
? ?
?
m
i
n
j
ijijpikkp XbtC
1 1
通用大气质量
管理的污染迁
移模型
Xij,污染源 i 采用控制方法 j 的产量或燃料量；
Cij,污染源 i 采用控制方法 j 的年费用；
aij,为一时表示控制方法 j 对污染源 i可行,否则为零；
Si, 污染源 i 应达到的总产量或燃料量；
bijp:污染源 i,采用控制方法 j 时,污染物 p 的排放系数；
tik,污染源 i 达到接受器 k 处的污染物迁移因子（单位源强浓度系数）；
C0pk,接受器 k 处,污染物 p 的大气环境质量浓度标准。
这是一个线性规划模型，共具有 m 个污染源,n 种控制方法,q 种污染物,
且在 r个接受器处，应达到大气环境质量浓度标准。；； miSXats
XCMi n Z
i
n
j
ijij
m
i
n
j
ijij
,.,,,2,1..
1
1 1
??
?
?
? ?
?
? ?
,0
r.,,,1,2,.,,k.,.,,,2,10
1 1；；；；
jiX i j
qpCXbt pk
m
i
n
j
ijijpik
??
???? ?
? ?
第八章环境系统最优化学习要点
? 本章主要讲述环境系统最优化方法、环境问题的线性规划
求解算法等内容。
1,应用系统分析方法解决环境问题的显著特点是通过模型化
和最优化来协调环境系统中各要素之间的关系，实现经济
效益、环境效益和社会效益的统一。常用的最优化方法有
线性规划、动态规划与网络分析等。
2,认识线性规划问题的一般形式、典则形式和标准形式。掌
握线性规划问题的基本概念：目标函数、约束条件、可行
域、目标线、灵敏度、搜索策略、方案和目标值等 。
3,掌握线性规划问题的图解法、单纯形法等基本解法。
4,掌握线性规划问题的 对偶模型和灵敏度分析，并能利用影
子价格认识其在原线性规划问题中所具有的意义 。
5,掌握 运用 Excel求解规划问题的方法。根据规划问题的基
本概念，正确解读出用 Excel生成的运算结果报告、敏感
性报告和极限值报告等。 熟练使用 Excel 规划求解解决大
气污染控制的排污问题和污染物扩散问题。
难点
重点
重点
9,附录
? 9.1 环境评价的法规与条例名录
? 9.2 环境影响评价技术导则
? 9.3 环境空气质量标准
? 9.4 地表水环境质量标准
? 9.5 大气污染物综合排放标准
? 9.6 污水综合排放标准
? 参考文献
安徽工业大学建工学院
二○○四年六月八日
8,环境系统最优化
8.1 环境规划和系统最优化
8.2 线性规划的概念
8.3 图解法解二维线性规划问题
8.4 单纯形法解 LP问题
8.5 对偶线性规划模型
8.6 Excel的规划求解
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.1 环境规划和系统最优化
8.1.1 城市环境规划
? 城市开发规划概要
? (1)工业规划 (2)自然环境改变 (3)人口变化
? 土地利用规划
? (1)总体规划 (2)工业区划 (3)居住区和商业区划 (4)农业、林业和畜牧业等区划 (5)其他依
据和标准
? 水资源管理规划
? (1) 用水规划,水资源保护规划 (水质、水量 )(3)水面利用规划
? 城市能源规划
? (1)能源利用规划 (2)能源环境影响预测 (3)能源环境管理规划
? 工业污染源控制规划
? (1)工业污染源环境影响预测 (2) 控制规划
? 大气污染综合防治规划及其他
? (1)大气环境质量预测 (2)大气污染防治 (3)固体废物，化学品、噪声污染预测及防治
? 城市交通规划
? 城市绿化和建立生态调节区特殊保护区
8.1.2 环境系统最优化
? Min Z = f(Χ,Ｕ,Θ)
? S.t,G(Χ,Ｕ,Θ) = 0 ),.,,,,()( 21 nXXXFZM i nM a x ?
mnm
n
n
bXXXg
bXXXg
bXXXg
???
???
???
或
或
或
,,),.,,,,(
.,,,,,,,,,,,,,,
,,),.,,,,(
,,),.,,,,(
21
2212
1211
最优化模型可以写成更
易于理解的一般形式：
S.t
城市污水排水系统优化例
? ?)()()()( ttpppppupupp ACACACACM i nZ ????????
?
?
?
?
?
??
?
??
)2()1(
0
iii
i
ti
Q
???
Sii CC ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
m inm a x
m in
'
'
'''
''
'
VVV
DD
D
hHH
D
pp
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
??
???
???
??
m i nm a x
m i n
0
m i n22m a x
m i n11m a x
0
0)(
VVV
DD
D
DHDH
FF
zHEz
zHEz
qQA
D
iiuu
u
s.t,污水处理厂约束条件（总流量为各分流量之和，处理效
率在工艺相应限制下）；
水质约束条件（控制水质符合环境标准）；
压力输水管约束条件（输水总扬程 =输水净扬程 +水头损
失,设计管径属于标准管径系列，最小管径限制，管中水
流流速在最小允许流速和最大允许流速之间）。
重力流污水管约束条件,(1)水量连续方程,Q为各管的设
计流量,g本段流量； (2)(3)管段的上下游地面标高与管顶
标高的差，在允许最大管顶覆土和最小覆土厚度之间；
(4)水流最大充盈度限制； (5) 相邻的上游管段的管底高
程高于下游。
其余同压力输水管相应约束条件
例 8-1
? 某金属冶炼厂,每生产 1kg 金属产生 0.3 kg废物，这些废物随
废水排放,浓度为 2 kg/m3，废水经部分处理，排入附近河流。
政府对废物实行总量控制，为 10 kg/ d。工厂最大生产能力为
5500kg/d,售价为 $13/kg，生产成本为 $9/kg,废水处理设
施的废水处理能力为 700m3/d，处理费用是 $2/m3,废水处理
效率与污染物的负荷有关,以 Q 表示废水处理量,单位为
(× 100m3/d)，处理效率为 η＝ 1-0.06Q，试对该问题建立最
优化模型，并求解。
0.03Y2
工 厂 污水处理厂
0.3X
0.3X-Y
Y 河流
图 8-1 污染物的发生与产量, 处理量的
关系 。
? Max Z＝ 400X-100Y
? S.t,0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10；
X≤55； Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60
X
Y=14
X=55
0.3X-Y+0.03Y^2=10
可行域
A
B
C
Y
0.3X-Y=0
可行域曲线上的目标值
X Y Z（ $）
33 0 13333
40 2 15640
45 4 17627
50 6 19293
55 9 21193
图 8-2 废水管理问题的可行域
8.2 线性规划的概念
? 8.2.1 线性规划问题
例 8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该
例中,污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线,将例
8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关，
始终为 η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。
解：设 X,工厂的金属产量 (× 100 kg/d)；
Y,送往废水处理设施处理的污染物量 (× 100 kg/d)；
建立的最优化模型成为：
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
?
? 8.2.2 线性规划问题的标准形式
例 8-3农药管理问题。
? 一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为 6个月,周围
有 1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害
到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害，
生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增
长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓
度为 C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为 C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为
C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为 100ppm。 在 1000ha农田上种植
两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下：
? Max Z＝ 140X1+ 100X2
? S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
? X1+ X2 ≤1000
? X1,X2≥0
作物
农药施加量
(kg/ha)
农药流失率
%
作物收入
$/ha
作物费用
$/ha
蔬菜 6 15 300 160
粮食 2.5 20 150 50
8.2.2 线性规划问题的标准形式
)...)( 2211 nn XcXcXcZM i nM a x ????
?
?
?
??
?
?
??????
??????
??????
mnmnmm
nn
nn
bXaXaXa
bXaXaXa
bXaXaXa
LP
,,.,,
,,.,,
,,.,,
)(
2211
22222121
11212111
．．．．．．．
0,...,,21 ?nXXX
S.t.
如果将不等式约束条件，全部使用, ≤” 表示，称为线性规划问题的 典则
形式 。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的 标准形式 。线性规划问题的标
准形式可采用如下的矩阵表达式：
?
?
?
?
?
?
0
..
X
BAX
CX
ts
M a xZ
),...,,(
),...,,(
),...,,(
21
21
21
T
m
T
n
n
bbb
XXX
ccc
?
?
?
B
X
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
A
其中
8.3 图解法解二维线性规划问题
? 在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可
以用图解法求解。
? 8.3.1 可行域和目标线
? 线性规划问题图解法过程：
? 根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条
件的解的可行域；
? 根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出
目标函数的投影线。变动 Z 值，确定目标函数增大或减小的方向；
? 根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行
域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确
定问题的最优解。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2 ≥0
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B(331.25,668.75)
C
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
z=110500
z=102500
z=113250
X1
X2
8.3.2 灵敏度分析
由于实际问题中模
型参数的不确
定性，系统分
析关心模型中
选择的参数将
会对最优解产
生影响的灵敏
程度，即参数
在何等范围内
变化时，原解
仍然是合理的。
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B
C(702.78,0)
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
X1
X2
z = 5 0 X1+100X2=100000
z = 2 2 0 X1+100X2=154610
8.4 单纯形法解 LP问题
Max Z= 140 X1 + 100 X2 + 0 S1 + 0 S2
632,5= 0.9 X1 + 0.5 X2 + S1 + 0 S2
1000= X1 + X2 + 0 S1 + S2
1.化 LP问题为线性规划问题的标准形式 (LP’)
LP,MaxZ=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0 引入松驰变量 S1,S2; 得 LP'如下,
2,选择初始极点,写出未经迭代的单纯形表 (零级单纯形表 )
Z ＝ 0 ＋ 140 X1 ＋ 100 X2
S1＝ 632.5 － 0.9 X1 － 0.5 X2
S2＝ 1000 － X1 － X2
3.迭代
? 使零级单纯形表中的一个零变量增值，以改进目标函
数，变量的选择以高效为原则，即该变量的增值，会
使目标函数得到最迅速的增加。
? 4.重复迭代过程
Z＝ 98388.8889 -155.555556S1+22.22222X2
X1＝ 702.77778 -1.111111S1-0.555556X2
S2＝ 297.22222 +1.111111S1-0.444444X2
Z＝ 113250.147 -99.99957S1-50.00044S2
X1＝ 668.75668 +2.50002S1-2.25002S2
X2＝ 331.24332 -2.50002S1+1.25002S2
5.判别新解是否为最优解
? 由目标函数的系数进行判别, S1和 S2的系数均
小于零,说明这些变量的增大不会改善 Z值，目标
函数已经是最优解。因此，对于单纯形表，如果
目标函数关系式中的全部变量系数 (检验数 )均小
于或等于零时，目标函数已经是最优解，整个迭
代过程结束。
? 从单纯形表可解读出 LP 的解,
? S2=0,S1=0,X1=331.24,X2=668.76 和
Z=113250.15。
8.5 对偶线性规划模型
? 8.5.1 由算例认识对偶问题
1.原模型 LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
2.用边际值定义新变量
设 Y1 为改变农药限制条件的边际值 ($/kg)，
定义 Y2为总种植面积的边际值 ($/ha)，
3.农药管理问题的对偶问题
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
农药管理对偶问题的目
标线和可行域
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200
Y1
Y2
0.9Y1+Y2=140
0.5Y1+Y2=100
Z = 6 3 2, 5 Y 1 + 1 0 0 0 Y 2
= 1 1 3 2 5 0
( 1 0 0,5 0 )
可行域
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
两种不同目标函数下的原始和对偶模型
方案
原 始 模 型 对 偶 模 型
1 Max Z=220X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 154610
X1'＝ 702.78,X2'＝ 0
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥220
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 154610
Y1'＝ 244.44,Y2'＝ 0
2 Max Z= 50X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 100000
X1'＝ 0,X2'＝ 1000
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 100000
Y1'＝ 0,Y2'＝ 100
线性规划的对偶模型
3.线性规划原问题和对偶问题的基本性质
原型问题是一个极大化规划，则对偶问题是一个极小化规划；
? 在典则形式中，若极大化的原型问题是, ≤” 约束条件，则在极小化对偶规划
中是, ≥” 约束条件；
? 原型问题约束方程的个数等于对偶变量的个数，反之亦然；
? 原型问题约束方程右边的常数分别为对偶问题目标函数的系数，反之亦然；
? 线性规划对偶问题的对偶是原问题；
? 若 Ｘ 是线性规划原问题的可行解,Ｙ 是对偶问题的可行解,则 ＣＸ ≤ＹＢ,等于
的情况出现在原问题和对偶问题的最优解；
? 对偶问题的最优解可由原设问题获得时，此最优解可在单纯形表的松弛变量中
的检验数中得到，反之，原设问题的最优解可由对偶问题的剩余变量各列中的检
验效中得到；
? 对偶定理：若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且其目标函数值相等。
研究线性规划的对偶问题具有实用意义。通过线性规划对偶问题的研究，能够
更加深入认识线性规划问题变量和约束的内容；对变量少但约束多的线性规划问
题可通过对偶转换简化求解；应用对偶模型还可以讨论线性规划问题中参数的灵
敏度。
8.5.3 影子价格
? 在典则形式的对偶问题中，对偶 LP 模型的
变量 Y1,Y2,....Ym≥0,称为对偶变量。
? 对偶变量有其经济解释，被称为影子价格。
对偶变量 Yi 是相应于第 i个原始约束条件的
边际值，它是第 i 种资源每一个单位对目标
值的贡献。
? 影子价格并不是市场价格，它是在特定最优
解条件下某一资源的潜在价格，反映这种资
源在实现最优解中的作用和紧迫程度。
8.6 Excel的规划求解
? 例 8-6 用 Excel的规划求解，解下列非线性问题。
Max Z ＝ 8X1 +12X2 +4X3
S.t,X13+ 4X2+ 3X3＝ 32
7X1- X22+ 3X3＝ 2
X1,X2,X3 ≥0
例 8-5 用 Excel的规划求解，解农药管理问题。
解,(1) 由原模型
LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
例 8-7 有九头鸟、鸡、兔同笼，上有 152头，下有 374脚，问笼中
九头鸟、鸡、兔各多少？
Excel的规划求解操作过程
1 在, 工具, 菜单中，单击, 规划求解, 命令。
如果, 规划求解, 命令没有出现在, 工具, 菜单中，则需要安装, 规
划求解, 加载宏。
2 在, 目标单元格, 编辑框中，键入单元格引用或目标单元格的名称。
目标单元格必须包含公式。
3 目标单元格中数值可选, 最大值,,,,最小值, 或指定, 目标值, 。
4 在, 可变单元格, 编辑框中，键入每个可变单元格的名称或引用，用
逗号分隔不相邻的引用。可变单元格必须直接或间接与目标单元格相
联系。
5 在, 约束, 列表框中，输入相应的约束条件。约束条件是指, 规划求
解, 问题中设置的限制条件。
6 单击, 求解, 按钮。
7 如果要在工作表中保存求解后的数值，请在, 规划求解结果, 对话框
中，单击, 保存规划求解结果, 。
8 报告
（ 1）运算结果报告
（ 2）敏感性报告
（ 3）极限值报告
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
? 8.7.1 污染物排放控制
? 例 8-9 某区域内有三个排放总悬浮颗粒物 (TSP)的点源，其中两个是
燃煤发电厂，另一个是水泥厂的窑炉。发电厂每烧一吨煤排放 95kg
的 TSP，水泥厂每生产一吨水泥排放 85kg的 TSP。水泥厂的产量为
250000 t/a水泥，两个燃煤发电厂的燃煤量分别是 400000 和
300000t/a。 目前三个点源均无控制措施，环保机构希望将该地区的
TSP削减 80%。 点源去除 TSP的可行方法去除效率和相应费用列于
表，现需通过成本 -效果分析，以最小费用达到环境目标。
污染控制方法和费用
控制方法
去除效率％ 电厂 1($/t) 电厂 2($/t) 水泥厂 ($/t)
隔板沉淀槽 59 1.0 1.4 1.1
多级除尘器 74 - - 1.2
长锥除尘器 84 - - 1.5
喷雾洗涤器 94 2.0 2.2 3.0
静电除尘器 97 2.8 3.0 -
决策变量定义方法
j 控制方法 1．电厂 1 2．电厂 2 3．水泥厂
不控制
隔板沉淀槽
多级除尘器
长锥除尘器
喷雾洗涤器
静电除尘器
X10
X11
-
-
X14
X15
X20
X21
-
-
X24
X25
X30
X31
X32
X33
X34
-
大气污染控制的目的是使 TSP 总排放量削减 80%，用燃煤生产排放 TSP系数 95 kg/t 和
水泥生产排放 TSP系数 85kg/t求出各污染源未加控制的 TSP 的总排放量：
污染源 1:
400000×95= 38000000 kg/a
污染源 2,300000×95= 28500000 kg/a
污染源 3,250000×85= 21250000 kg/a
总计, 87750000 kg/a
最终限量, 17550000 kg/a
控制后污染源 1：
95X10+95(0.41)X11+95(0.06)X14+95(0.03)X15
=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15
不考虑生产水平的改变,
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝
250000
大气污染控制的规划模型
Min Z＝
1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31
+1.2X32+1.5X33+3.0X34
S.t.
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝ 250000
95X10+39X11+5.7X14+2.9X15+95X20+39X21+5.7X24+
2.9X25+85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34≤17
600000
Xij≥0,i=1,2,3； j=0,1,2,3,4,5
Excel规划求解
A B C D E F G H I J K L M N O P 1
X1
0
X1
1
X1
4
X1
5
X2
0 X21 X24
X2
5
X
30
X3
1
X3
2 X33 X34 ×104 2
可变量 0 24 16 0 0 1 29 0 0 0 22 3 0 Z 3
目标值 0 24 32 0 0 1.4
63.
8 0 0 0
26.
4 4.5 0 152 4
源 1 0 24 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 40 5
源 2 0 0 0 0 0 1 29 0 0 0 0 0 0 30 30 6
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 3 0 25 25 7
TSP控 0
93
6 91 0 0 39 165 0 0 0 486
40.
8 0
175
9
176
0 8
目标值 0 1 2 2.8 0 1.4 2.2 3 0 1.1 1.2 1.5 3 9
源 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 系 10
源 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 数 11
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 矩 12
TSP控 95 39 5.7 2.9 95 39 5.7 2.9 85 35
22.
1
13.
6 5.1 阵 13
8.7.2 大气质量管理的污染物迁移模型
)]
22
(e x p [)0,,( 2
2
2
2
zyzy
Hy
u
QyxC
?????
???
C(x,y,0):点 (x,y)的大气污染物地面浓度 (g/m3)；
σy:水平方向上 (Y)烟羽浓度的标准差 （ m）；
σz:垂直方向上 (Z)烟羽浓度的标准差 （ m）；
Q,污染源源强 g/s）；
u,平均风速 （ m/s）；
H,有效烟囱高度 （ m）
对于单位源强，大气污染物的地面浓度仅仅是位置关系和气象条件的函数。污染源 i
在下风向任一点 k 处造成的大气污染物的地面浓度
)]22(e x p [1 2
2
2
2
z
i
y
ik
zy
ik
Hy
ut ????? ???
当气象条件已知，污染源和采样考核点的位置相对固定时,tik 成为常数。
多源在接受点 k 处的最终污染物浓度，是每个污染源单独作用情况的叠加。由
m个污染源采用 n 种控制方法，在接受器 k 处形成的污染物总浓度 为：
? ?
? ?
?
m
i
n
j
ijijpikkp XbtC
1 1
通用大气质量
管理的污染迁
移模型
Xij,污染源 i 采用控制方法 j 的产量或燃料量；
Cij,污染源 i 采用控制方法 j 的年费用；
aij,为一时表示控制方法 j 对污染源 i可行,否则为零；
Si, 污染源 i 应达到的总产量或燃料量；
bijp:污染源 i,采用控制方法 j 时,污染物 p 的排放系数；
tik,污染源 i 达到接受器 k 处的污染物迁移因子（单位源强浓度系数）；
C0pk,接受器 k 处,污染物 p 的大气环境质量浓度标准。
这是一个线性规划模型，共具有 m 个污染源,n 种控制方法,q 种污染物,
且在 r个接受器处，应达到大气环境质量浓度标准。；； miSXats
XCMi n Z
i
n
j
ijij
m
i
n
j
ijij
,.,,,2,1..
1
1 1
??
?
?
? ?
?
? ?
,0
r.,,,1,2,.,,k.,.,,,2,10
1 1；；；；
jiX i j
qpCXbt pk
m
i
n
j
ijijpik
??
???? ?
? ?
第八章环境系统最优化学习要点
? 本章主要讲述环境系统最优化方法、环境问题的线性规划
求解算法等内容。
1,应用系统分析方法解决环境问题的显著特点是通过模型化
和最优化来协调环境系统中各要素之间的关系，实现经济
效益、环境效益和社会效益的统一。常用的最优化方法有
线性规划、动态规划与网络分析等。
2,认识线性规划问题的一般形式、典则形式和标准形式。掌
握线性规划问题的基本概念：目标函数、约束条件、可行
域、目标线、灵敏度、搜索策略、方案和目标值等 。
3,掌握线性规划问题的图解法、单纯形法等基本解法。
4,掌握线性规划问题的 对偶模型和灵敏度分析，并能利用影
子价格认识其在原线性规划问题中所具有的意义 。
5,掌握 运用 Excel求解规划问题的方法。根据规划问题的基
本概念，正确解读出用 Excel生成的运算结果报告、敏感
性报告和极限值报告等。 熟练使用 Excel 规划求解解决大
气污染控制的排污问题和污染物扩散问题。
难点
重点
重点
9,附录
? 9.1 环境评价的法规与条例名录
? 9.2 环境影响评价技术导则
? 9.3 环境空气质量标准
? 9.4 地表水环境质量标准
? 9.5 大气污染物综合排放标准
? 9.6 污水综合排放标准
? 参考文献
