Matlab Math
Cleve Morler著
陈文斌（ wbchen@fudan.edu.cn)
复旦大学 2002
偏微分方程
PDE Model
2
2
2
2
yx ?
??
?
???
Laplacian 算子：
Poisson方程（ elliptic）：
fu ??
Laplacian 算子的特征值问题, fuu ??? ?
Heat equation(parabolic),u
t
u ??
?
?
Wave equation(hyperbolic):
utu ???? 2
2
初边值问题
边值问题
Finete Difference Methods
五点离散
2
2
),(),(2),(
),(),(2),(
),(
h
hyxuyxuhyxu
h
yhxuyxuyhxu
yxuh
????
?
????
??
2
)(4)()()()()(
h
PuSuEuWuNuPu
h
??????
0)( ?? Puh
)()( PfPuh ??
)()( PuPu kkh ????
Poisson方程离散,
特征值问题,
Finete Difference Methods
),(),,(),,( yxutyxutyxu h???? ??
),(),,(),,( yxutyxutyxu h???? ??
),(),,(),,(2),,( 2 yxutyxutyxutyxu h?????? ? ??
),(),,(),,(2),,( 2 yxutyxutyxutyxu h?????? ????
Explicit(显格式）
热方程：
波动方程：
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40
41 42 43 44
45 46 47 48
49 50 51 52
53 54 55 56
Matrix Representation
)24(4)33()25()23()15()24(2 uuuuuuh h ??????
-4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4
Matrix Representation
离散方程
Ah h ??
椭圆方程,bAu ?
特征值方程：
uAuh ??? 21
),(2 yxfhb ?
热方程,)()()1( nnn Auuu ????
2h
?? ?
波动方程,)()1()()1( 2 nnnn Auuuu ???? ?? 2
??????? h??
)()1( nn Muu ??
Numerical Stability
)()1( nn Muu ?? AIM ???热方程：
观察一下 M,对角线？其他的地方？行和为？
如果 M单元的元素是非负的，那么递推过程是稳定的
dissipative
stability condition(稳定性条件 )
4
1
2 ?? h
??
041 ?? ?
波动方程：
2
12 ??
?
??
?
??
h
??
步长的限制
PDEGUI