误差理论与测量平差
Surveying Adjustment
误差理论与
测量平差
第六章 附有参数的条件平差
第二章 精度指标与误差传播
第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理
第四章 条件平差
第五章 间接平差
第一章 绪论
第七章 附有限制条件的间接平差
第八章 概括平差函数模型
退出
第九章 误差椭圆
测绘工程专业主干课：
专业基础主要课程：
测量学（ 5）、测量平差基础（ 5）、
控制测量学（ 5）、摄影测量学（ 4）、
测绘数据计算机处理（ 3）
专业课：
GPS（ 4）,GIS（ 3）、工程测量（ 4）、
数字制图（ 3）、近代平差（ 2）等
测绘科学与技术
? 大地测量与测量工程
? 摄影测量与遥感
? 地图制图与地理信息系统工程
数学
政治
英语
测量平差
课程安排
? 前修课程：高数、几何与代数、概率与
数理统计
? 课程分两个学期进行：
第二学年上学期,3学分
第三学年下学期,2学分
? 后续课程：测绘数据的计算机处理、控
制测量、近代平差
教学方式与内容
? 讲授为主，例题、习题相结合。
? 内容：本学期主要讲前五章的内容。
? 参考书目：
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社
误差理论与测量数据处理，测量平差教
研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止 返回
第一章 绪论
第一节：概述
1、测量平差的研究对象 —— 误差
任何量测不可避免地含有误差
?闭合、附合水准路线
?闭合、附合导线
?距离测量
?角度测量 ………..
停止 返回
误差：测量值与真值之差
? 由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
?
?
18 0)(
18 0)(
???
???
实际
理论
???
???
? ?
?
停止 返回
产生误差的原因
? 测量仪器,i角误差,2c误差
? 观测者：人的分辨力限制
? 外界条件：温度、气压、大气折光等
三者综合起来为观测条件
停止 返回
误差的分类
?系统误差,在相同的观测条件下进行的一
系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系
统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为
系统误差。
停止 返回
系统误差的存在必然影响观测结果 。
削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附
加参数
误差的分类
?偶然误差 /随机误差,在相同的观测条件
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号
上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何
规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，
这种误差称为偶然误差。
不可避免，测量平差研究的内容
?粗差：错误
停止 返回
停止 返回
测量平差的任务：
?对一系列带有观测误差的观测值，运用
概率统计的方法来消除它们之间的不符
值，求未知量的最可靠值。
?评定测量成果的质量
停止 返回
测量平差产生的历史
?最小二乘法产生的背景
18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未
知数的最佳估值？
?最小二乘的产生
1794年,C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘
1806年,A.M,Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。, 决定彗星轨道的
新方法,
1809年,C.F.GUASS,,天体运动的理论,
停止 返回
测量平差产生的历史
?最小二乘法原理的两次证明
?形成测量平差的最基本模型
1912年,A.A.Markov,对最小二乘原理进行证明，形
成数学模型：
12
0
2
0
)(,0lim)(
?
??
?
?
??
??
?
??
???
PQ
AXLE
n
E
AXL
n
??
最小二乘解,PLAPAAX TT 1)( ?? ?
?测量平差理论的扩展
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（ 1）由 nm? 个数有次序地排列成 m行 n列的表叫矩阵
通常用一个大写字母表示，如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
停止 返回
(2)若 m=n，即行数与列数相同，称 A为方阵。元素 a11,a22……a nn
称为对角元素。
(3)若一个矩阵的元素全为 0，称零矩阵，一般用 O表示。
(4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对
角矩阵。如：
nn?
)(
00
00
00
2211
22
11
nn
mn
nm
aaad ia g
a
a
a
A ?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(5)对于 对角阵，若 a11=a22=……=a nn =1，称为单位阵，一般用 E、
I表示。
停止 返回
（ 6）若 aij=aji，则称 A为对称矩阵。
停止 返回
矩阵的基本运算：
BA ?（ 1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
（ 2）具有相同行列数的两矩阵 A,B相加减，其行列数与 A、
B相同，其元素等于 A,B对应元素之和、差。且具有可交换
性与可结合性。
（ 3）设 A为 m*s的矩阵,B为 s*n的矩阵,则 A,B相乘才有意
义,C=AB,C的阶数为 m*n。
OA=AO=O,IA=AI=A,A（ B+C） =AB+AC，
ABC=A（ BC）
停止 返回
二、矩阵的转置
? 对于任意矩阵 Cmn:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
nm
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22221
11211
将其行列互换，得到一个 nm阶矩阵，称为 C的转置。
用：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nmnn
n
n
mn
T
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22212
12111
停止 返回
矩阵转置的性质：
TT CDDC ?? 则：,)1(
AA TT ?))(2(
TTT BABA ??? ))(3(
TT kAkA ?))(4(
TTT ABAB ?))(5(
（ 6）若 AAT ? 则 A为对称矩阵。
停止 返回
三、矩阵的逆
? 给定一个 n阶方阵 A，若存在一个同阶
方阵 B，使 AB=BA=I（ E），称 B为 A的
逆矩阵。记为：
1?? AB
? A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是 A的
行列式不等于 0，称 A为非奇异矩阵，否
则为奇异矩阵
停止 返回
矩阵的逆的性质
111))(1( ??? ? ABAB AA ??? 11 ))(2(
II ?? 1))(3( TT AA )())(4( 11 ?? ?
矩阵。对称矩阵的逆仍为对称 )5(
)
11
,
1
(
)),,((
)6(
2211
1
2211
1
nn
nn
aaa
di ag
aaadi agA
?
?
?
?
??
矩阵且：对角矩阵的逆仍为对角
停止 返回
矩阵求逆方法：
（ 1）伴随矩阵法：
设 Aij为 A的第 i行 j列元素 aij的代数余子式，
则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为 A的伴
随矩阵的转置矩阵 A*称为 A的伴随矩阵。
*1
21
22212
12111
* 1,A
A
A
AAA
AAA
AAA
A
nnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
????
?
?
停止 返回 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1152
581
218
21
1
321
241
113
1
矩阵求逆方法
则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
21
22221
11211
?
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
（ 2）初等变换法：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
?
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
100
010
001
经初等变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
nn
bbb
bbb
bbb
A
?
????
?
21
22221
11211
1
停止 返回
概率与数理统计内容
? 随机变量
? 误差分布曲线
? 概率密度曲线
? 数学期望
? 方差
停止 返回
第一节 概述
第二节 偶然误差的规律性
第三节 衡量精度的指标
第四节 协方差传播律
停止 返回
第五节 协方差传播律在测量上的应用
第六节 协方差传播律
第七节 权与定权的常用方法
第八节 协因数与协因数传播律
第二节 偶然误差的规律性
观测值：对该量观测所得的值，一般用 Li表示 。
真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大
小的数值，一般用 表示。~L
一、几个概念
真误差：观测值与真值之差,一般用 ?i= -Li 表
示。
~L
第一节 概述
停止 返回
观测向量：若进行 n次观测，观测值,L1、
L2……L n可表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
L
L
L
L
?
2
1
1,
停止 返回
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
L
L
L
L
~
2
~
1
~
1,
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
??
nn
n
L
L
L
L
L
L
?
?
2
1
~
2
~
1
~
1,
二、偶然误差的特性
? 例 1：在相同的条件下独立观测了 358个三角形的全部内角，每个三角
形内角之和应等于 180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算
各内角和的真误差，并按误差区间的间隔 0.2秒进行统计。
误差
区间
— △ +△
个数 K 频率 K/n (K/n)/d△ 个数 K 频率 K/n (K/n)/d△
0.00~0.20 45 0.126 0.630 46 0.128 0.640
0.20~0.40 40 0.112 0.560 41 0.115 0.575
0.40~0.60 33 0.092 0.460 33 0.092 0.460
0.60~0.80 23 0.064 0.320 21 0.059 0.295
0.80~1.00 17 0.047 0.235 16 0.045 0.225
1.00~1.20 13 0.036 0.180 13 0.036 0.180
1.20~1.40 6 0.017 0.085 5 0.014 0.070
1.40~1.60 4 0.011 0.055 2 0.006 0.030
>1.60 0 0 0 0 0 0
和 181 0.505 177 0.495
停止 返回
? 例 2：在相同的条件下独立观测了 421个三角形的全部内角，每个三角
形内角之和应等于 180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算
各内角和的真误差，并按误差区间的间隔 0.2秒进行统计。
误差
区间
— △ +△
个数 K 频率 K/n (K/n)/d△ 个数 K 频率 K/n (K/n)/d△
0.00~0.20 40 0.095 0.475 46 0.088 0.440
0.20~0.40 34 0.081 0.405 41 0.085 0.425
0.40~0.60 31 0.074 0.370 33 0.069 0.345
0.60~0.80 25 0.059 0.295 21 0.064 0.320
0.80~1.00 20 0.048 0.240 16 0.043 0.215
1.00~1.20 16 0.038 0.190 13 0.040 0.200
…… …… …… ……, …… …… ……
2.40~2.60 1 0.002 0.010 2 0.005 0.0025
>2.60 0 0 0 0 0 0
和 210 0.499 211 0.501
停止 返回
(K/n)/d△
0 0.4 0.6 0.8-0.8 -0.6 -0.4 闭合差
概率密度函数曲线
用直方图表示,
停止 返回
面积 = [(K/n)/d△ ]* d△ = K/n
所有面积之和 =k1/n+k2/n+…..=1
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
0.630
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
0.475
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差.,,-, -, -, 闭合差
停止 返回
提示,观测值定了其
分布也就确定了，因
此一组观测值对应相
同的分布。不同的观
测序列，分布不同。
但其极限分布均是正
态分布。
2
2
2
2
1)( ?
??
??
?? ef
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝
对值不会超过一定的界限；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的次数多；
3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近
于零，
即 Lim——
n??
?
i=1
n
n
?i
= Limn?? —— n[?] =0
偶然误差的特性：
停止 返回
第三节 衡量精度的指标
精度：所谓精度是指 偶然误差 分布的密集离散程度。
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值
精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就
不同。
提示,一组观测值具有相同的分布，但偶然
误差各不相同。
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差.,,-, -, -, 闭合差
停止 返回
可见：左图误差分布曲线较高
且陡峭，精度高
右图误差分布曲线较低
且平缓，精度低
一、方差 /中误差 f(?)
0 0.4 0.6 0.8-0.8 -0.6 -0.4 闭合差1?
1?? 2?2??
面积为 1
22
2
2
1)( ?
??
???? ef
第三节 衡量精度的指标
停止 返回
?
??
??
??
????
????
??
?
df
ED
nn
)(
)()(
][
lim
2
22?
方差：
中误差：
nn
][lim2 ?????
??
??
提示,越小，误差曲
线越陡峭，误差分布
越密集，精度越高。
相反，精度越低。
?
n
][2 ??
?
?
?
方差的估值：
n
][ ??
??
?
?
二、平均误差
停止 返回
? ?
ndfE n
????????
??
??
???
lim)()(?
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数
学期望。
与中误差的关系：
??
5
4?
n
][ ?
?
?
?
三、或然误差
f(?)
0 闭合差1?
1??
50%
???
停止 返回
%50)( ?????? ??p
??
3
2?
四、极限误差
?? 32 或限 ??
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
%7.99)33(
%5.95)22(
%3.68)(
??
??
??
p
p
p
四、相对误差
中误差与观测值之比，一般用 1/M表示。
第四节 协方差传播律
一、协方差
))]())(([( YEYXEXEXY ????
对于变量 X,Y，其协方差为：
停止 返回
))]())(([( XEXYEYEYX ????
YXXY ?? ?
0?? XYYX ?? 表示 X,Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。
0?? XYYX ?? 表示 X,Y间相关
nn
yx
xyyx
yx
nxy
][][lim ??????? ?
??
???
对于向量 X=[X1,X2,……X n]T，将其元素间的
方差、协方差阵表示为：
停止 返回
2
21
2
2
221
112
2
1
2
1
21
nnn
n
n
n
n
x
x
x
xxx
???
???
???
?
????
?
?
?
矩阵表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
2
2
221
112
2
1
nnn
n
n
XX
D
???
???
???
?
????
?
?
方差协方差阵
]))())(([( TXX XEXXEXED ???
特点, I 对称
II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
对角元 相等时，为等精度观测。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
2
2
221
112
2
1
nnn
n
n
XX
D
???
???
???
?
????
?
?
若：
?
?
?
?
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?
??
1
1
1)(
r
n
rn
Y
X
Z
?
?
?
?
?
?
?
YYYX
XYXX
ZZ
DD
DD
D
TYXTXY DYEYXEXED ???? )))())((((
若 DXY=0，则 X,Y表示为相互独立的观测量。
二、观测值线性函数的方差
已知：
01,,11,1211,,,],...,[ KXKZDXXXX nnXX
T
nn ???
TXXZZ KKDD ?
那么：
停止 返回
证明,设,? ?
Xn
T
nn XEXXXX ???? ???,...,)(,],...,[ 21211,
? ?TXXXX XXED ))(( ?? ???
? ?TZZZZ ZZED ))(( ?? ???那么：
停止 返回
? ?
? ?
? ?
? ?
T
XX
TT
XX
TT
XX
T
XX
T
ZZZZ
KKD
KXXKE
KXXKE
KKXKKXE
ZZED
?
???
???
???
???
))((
))((
))((
))((
??
??
??
??
例 1,设, 已知,
求 的方差 。
212211 32 xxyxxy ????? D XX ?
?
??
?
??
3 1
1 4
F y y? ?1 2 ?F2
例 2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已
知每公里观测中误差等于 ± 5.0mm,欲使平差后
线路中点高程中误差不大于 ± 10mm,问该路线长
度最多可达几公里?
停止 返回
二、多个观测值线性函数的协方差阵
已知：,,],.,,,[
211,XXTnn DXXXX ?
02211
2022221212
1012121111
tntnttt
nn
nn
kXkXkXkZ
kXkXkXkZ
kXkXkXkZ
????
????
????
?
???????????????
?
?
1,
01,,1,
tnntt
KXKZ ??
T
XXZZ KKDD ?
1,01,,1,rnnrr
FXFY ??
T
FZ
T
XXZF DFKDD )(??
停止 返回
停止 返回
例 3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三
个内角 L1,L2,L3，其中误差为 ?，将闭合差平
均分配后各角的协方差阵。
例 4：设有函数，
1,,11,,11,rrtnntt
YFXFZ ?? 已知 XYYYXX DDD
求 ZYZXZZ DDD
四,非线性函数的情况
设有观测值 X的非线性函数：
),,()( 21 nXXXfXfZ ???
已知：
XX
T
nn DXXXX,],.,,,[ 211,? ZZD求：
T
n nXXXX ],...,[
000
1,
0
21?
停止 返回
将 Z按台劳级数在 X0处展开：
二次以上项）(
)()()()()()(
),,(
0
0
0
220
2
0
110
1
000
21
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
nn
n
n
XX
X
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XX
X
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XX
X
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XXXfZ
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n
i i
n
n
n
i
X
X
f
X
X
f
X
X
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X
X
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1
0
0020
2
10
1
000
)()()()(
),,(
21
?
?
]),[),,( 00
2
0
1
21
n
n X
f
X
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X
fkkkK
?
?
?
?
?
??? （）（）（ ??
?
? ?
??? n
i i
n iXX
fXXXfk
1
0
0
000
0 )(),,( 21 ?
001,],,[ 21 kKXkXkkkZ nn ???? ?
T
XXZZ KKDD ?
例 4、根据极坐标法测设 P点的坐标，设已知
点无误差，测角中误差为 m?，边长中误差 ms，
试推导 P点的点位中误差。
A
B
P
? ms
s
mum
p
停止 返回
协方差传播应用步骤,
? 根据实际情况确定观测值与函数,写出具
体表达式
? 写出观测量的协方差阵
? 对函数进行线性化
? 协方差传播
停止 返回
a1 b1
a2 b2
a b
aN bN
1（ s)
2(s)
… N(s)A
B
TP1 TP2
TPN-1
协方差传播在测量中的应用
一、水准测量的精度
停止 返回
作业 1,在高级水准点 A,?（ 高程为真值 ） 间布设水准路
线, 如下图, 路线长分别为, 设
每公里观测高差的中误差为, 试求：
（ 1） 将闭合差按距离分配之后的 p1,p2点间高差的中
误差；
（ 2） 分配闭合差后 P1点的高程中误差 。
kmSkmSkmS 2,3,4 321 ???
mmm 0.11 ??
A P1 P2 B
作业 2,在相同条件下，观测两个角度 ?A=15?00?00?，
?B=75?00?00?，设对 ?A观测 4个测回的测角精度（中误差）
为 3?，问观测 9个测回的精度为多少？
停止 返回
第七节 权与定权的常用方法
一、权的定义
2
2
0
0
2
:
,),,...,2,1(
i
i
ii
p
niL
?
?
?
?
?
?
，则定义如选定任一常数
它们的方差为设
称为观测值 Li的权。权与方差成反比。
22
2
2
1
2
2
0
2
2
2
0
2
1
2
0
21
1::1:1:::::
nn
nppp ????
?
?
?
?
? ??? ??
生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一 20)( ?
，即对应一组权。选定了二 20)( ?
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较
精度的作用，一个问题只选一个 ?0。
（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
二、单位权中误差
测值。的观测值称为单位权观等于称为单位权中误差，权 10?
三、常用的定权方法
1、水准测量的权
i
i s
c
p ?
i
i N
c
p ?或
2、边角定权
停止 返回
2
2
1
i
i
s
s
P
P
?
?
?
?
?
?
2622 )10(
is sbai ????
??
第八节 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
2
0
2
0
2
2
0
2
22
1
1
1
:
,,,
?
?
?
?
?
?
???
ji
i
ij
j
j
jj
i
i
ii
ijjiji
p
Q
p
Q
p
Q
LL
??
??
??
令
协方差为它们的方差为设
的协因数。为 iii LQ
的协因数。为 jjj LQ
或相关权倒数。
的协因数关于为 jiij LLQ
ijji
jjj
iii
Q
Q
Q
2
0
2
0
2
2
0
2
??
??
??
?
?
?
变换形式为：
?
?
?
?
?
?
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?
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nnnn
n
n
nnn
n
n
XX
QQQ
QQQ
QQQ
D
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
2
0
2
21
2
2
221
112
2
1
?
???
???
???不难得出：
QXX为协因数阵
XXXX QD 20??
特点, I 对称，对角元素为权倒数
II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
为等精度观测，单位阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
XX
QQQ
QQQ
QQQ
Q
?
????
?
?
21
22221
11211
二、权阵
EQPQP LLLL LLLL ?? ? 1
第一节 测量平差概述
第二节 测量平差的数学模型
第三节 参数估计与最小二乘原理
停止 返回
一、必要观测、多余观测
?确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为 2，必要元素有 种选择
?确定平面三角形的形状与大小
? ?
?
s1
s3
s26个元素中必须有选择地观测三个内角与
三条边的三个元素，因此，其必要元素
个数为 3。任意 2个角度 +1个边,2个边 +1
个角度、三个边。
停止 返回
? ?
?
23C
3323131323 CCCCC ??
必须有选择地观测 6个高差中的 3个，
其必要元素个数为 3。 h1,h5,h6或 h1、
h2,h3或 h1,h2,h4等
?确定如图四点的相对高度关系
A
D
C
Bh1
h6
h5
h2
h4
h3
必要观测, 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测
一般用 t表示。
停止 返回
特点, 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。
必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。
确定几何模型最大独立观测个数
多余观测, 观测值的个数 n与必要观测个数 t之差
一般用 r表示,r=n-t。
确定几何模型最大独立观测个数为 t,那么再多进行一个观测就
相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。
观测值, 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际
观测，称为观测值，观测值的个数一般用 n表示。
n<t，则无法确定模型
n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。
n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观
测必然可用这 t个元素表示，即形成 r个条件。
? ?
?
123 ????? tnrtn
?180~~~ ??? ???
A
D
C
Bh1
h6
h5
h2
h4
h3
336 ????? tnrtn
0621 ~~~ ??? hhh
0432 ~~~ ??? hhh
0546 ~~~ ??? hhh
停止 返回
实际上：
?1 8 0????????? ??? ???
0621 ??? hhh
0432 ??? hhh
0546 ??? hhh
?1 8 0??? ???
第二节 测量平差的数学模型
一,条件平差法
0??? WA
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多
余观测数 r，即条件方程个数。
二,间接平差法
选择几何模型中 t个独立变量为平差参数，每一个观测
量表达成所选参数的函数，即列出 n个这种函数关系式，
以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
lBx ??? 停止 返回
)(
~
1,1,nr
LFF ?
)(
~
1,1,tn
XFL ?
三,附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为 n,t为必要观测数，则
可列出 r=n-t个条件方程，现有增设了 u个独立量作为参
数，而 0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。
以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有
参数的条件平差法 。
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法
是选了 t个独立参数，但多余观测数不随平差不同
而异，其自由度仍是 r=n-t。
0???? WBxA
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了 u个独立参数，方程总数
由 r个增加到 c=r+u个，故平差的自由度为 r=c-u。
停止 返回
),(
~
1,
~
1,1,unc
XLFF ?
四,附有限制条件的间接平差法
如果进行间接平差，就要选出 t个独立量为平差参数，按每一
个观测值与所选参数间函数关系，组成 n个观测方程。如果
在平差问题中，不是选 t个而是选定 u>t个参数，其中包含 t个
独立参数，则多选的 s=u-t个参数必是 t个独立参数的函数，亦
即在 u个参数之间存在着 s个函数关系，它们是用来约束参数
之间应满足的关系。在选定 u>t个参数进行平差时，除了建立
n个观测方程外，还要增加 s个约束参数方程，故称此平差方
法为附有限制件的间接平差法。
lBx ???
0?? xWCx
停止 返回
)(
~
1,1,un
XFL ?
0)(
~
1,1,
??
us
X
五,平差的随机模型
数学模型
停止 返回
函数模型
随机模型,12
020 ??? PQD ??
第三节 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
),(
~
1,
~
1,1,unc
XLFF ?
为了线性化，取 X的近似值,0X
取 的初值：~L L
xXX ?? 0
~
??? LL
~
将 F按台劳级数在 X0,L处展开，并略去二次以及
以上项：
停止 返回
x
X
F
L
F
XLFxXLFF
XLXL
00
,~,~
0
),(),(
?
?
??
?
?
??????
0
,
~
2
~
1
~
~
2
2
~
2
1
~
2
~
1
2
~
1
1
~
1
~
,
XLn
nnn
nnc
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
nL
F
L
F
L
F
L
F
A
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0
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2
~
1
~
~
2
2
~
2
1
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2
~
1
2
~
1
1
~
1
~
,
XLu
nnn
u
u
uc
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
B
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?
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????
?
?
BxAXLFxXLFF ???????? ),(),( 0
一,条件平差法
0??? WA )( LFW ??
二,间接平差法
lBx ???
BxXFLL ????? )( 0~
LXFl ??? )( 0
三,附有参数的条件平差法
0???? WBxA
四,附有限制条件的间接平差法
lBx ???
0?? xWCx
)(
~
1,1,un
XFL ?
0)(
~
1,1,
??
us
X
第四节 参数估计与最小二乘原理
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差
所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻
求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模
型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。
一,参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差
为例,0??? WA
条件的个数 r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多
解。其它模型同。
数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏
性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘
估计。
停止 返回
例：匀速运动的质点在时刻 ?的位置 y表示为：
~~~ ??? ??y
~?
0
~y
0??
~~ ??? ????y实际上：
则：得
测定其位置，，，在与为了求
,,
,
21
21
~~
n
n
yyy ?
? ?????
)2,1(,~~ niy ii ?????? ???
写成矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
nnn
XB
y
y
y
Y
????
2
1
~
~
~
2
1
2
1
,,
1
1
1
,
?
?
?
?
?
YXB ??? ~ 间接平差函数模型
?o
y
i?
iy
?
iiv
???
m i n)( 22 ???? ???? iii yv ???
??? ?? ???y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nv
v
v
V
?
2
1
令：
m i n)()( ???? ?? YXBYXBVV TT则：
二,最小二乘原理
按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方
和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最
小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计
准则的估值相同。
设观测向量为 L,L为 n维随机正态向量，其数学期望与方差分
别为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
L
LE
?
?
?
?
?
2
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
21
12
2
221
112
2
1
nnn
n
LL
DD
???
???
???
?
????
?
?
停止 返回
? ?)()(e x p
)2(
1 1
2
1
2/12/ L
T
Ln LDLDG ??? ????
?
其似然函数为：
以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与 E（ ?） =0得：
??
?
??
? ???? ? )()(e x p
)2(
1 ~1~
2
1
2/12/ XBLDXBLDG
T
n?
按最大似然估计的要求，应选取能使 lnG取得极大值时的
作为 X的估计量。
~X
)()(21)2l n (ln
~1~2/12/
XBLDXBLDG Tn ????? ??
停止 返回
由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小
值时,lnG才能取得极大值，换言之,的估计量应满足如下
条件：
~X
最小??? ??? )()( 1 XBLDXBL T
为常数，则：，由于 2012020 ??? ???? PQDD LL
最小??? ?? )()( XBLPXBL T
有：的估值，则是设,LXBVV ??? ?
最小?PVV T
即最小二乘原则。 停止 返回
第 四 章 条件 平 差
第一节 条件平差原理
第二节 条件方程
第三节 精度评定
第四节 水准网平差示例
停止 返回
第一节 条件平差原理
一、基础方程和它的解
011 ?? ??? rnnr WVA
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ???? WVAKPVV TT?
Trbar kkkK ][1 ???
停止 返回
)( LFW ??0??? WA
12020 ??? PQD ??
数学模型
求其一阶偏导数，并令其为 0：
KQAKAPVKAPV
AKPV
dV
d
TTT
TT
???
???
? 1
022
?
011 ??? ??? rnnrT WVAKQAV
WNWAQ AKWKAQ A aaTrrrT 111 )(0)( ???? ????
上式也称为法方程式
停止 返回
二、条件平差的计算步骤
停止 返回
1,根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的
个数等于多余观测数 r。
2,根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，
法方程的个数等于多余观测数 r。
3,解算法方程，求出联系数 K值。
4,将 K值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值
5,为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差
值条件方程式，看其是否满足方程。
VLL ??^
^L
1L 3L
2L
平差值。
按条件平差求三内角的
观测，得：：对图中三个内角进行例
,048359,909078
,0221421
12
1
????????
????
oo
o
LL
L
的距离如下：高差观测值与水准路线
高差点的高程，观测了四段为了确定
为：为已知水准点，其高成：图中例
DCmH
mHBA
B
A
,,013.10
,013.12,,2
?
?
B
A
D
h1
h4
h2
h3
C
B
A
D
h1
h4
h2
h3
C
点高程的平差值。和求 DC
kmSmhkmSmh
kmSmhkmSmh
5.1,520.1,2,512.2
1,516.1,2,004.1
1433
2211
??????
??????
程的平差值。采用条件平差求各点高
，高差与测站数如图示，，点水准路线上有三个固定
点的高成为线，已知作业：一条闭合水准路
321
,330.16 mA
h1=+1.596m
n1=3
h2=-0.231m
n2=4
h3=+4.256m
n3=12
h4=-5.642m
n4=6
1
2
3
第二节 条件方程
一、水准网
tnrC
q
p
qpt
???
?
?
?
?
?
???
多余的独立起算数据
网点数
1
列条件的原则：
1、闭合水准路线
2、附合水准路线 包含的线路数最少为原则
停止 返回
h1
h7
h5
h6 h3
h4
h2
h8
A
O
D
CBB
A
F
G
E
D
C
h1
h6
h7
h2
h5 h4
h3
437
3317
??????
????
tnrC
t
0652
0)(457
0)(761
0)(321
~~~
~~~
~~~
~~~
???
?????
?????
?????
hhh
HHhhh
HHhhh
HHhhh
BD
AB
AC
448
415
??????
???
tnrC
t
0584
0423
0631
0756
~~~
~~~
~~~
~~~
???
???
???
???
hhh
hhh
hhh
hhh
停止
返回
二、测角网
tnrC
q
p
qpt
???
?
?
?
?
?
???
多余的独立起算数据
网点数
42
4个必要的起算数据为：
一个已知点（ 2个坐标）
一个方位（ 1个）
一个尺度（ 1个
两已知点（ 4个坐标）
停止 返回
列条件的原则：
将复杂图形分解成典型图形。
条件类型：图形条件、圆周条件,极条件、固定方位条
件、固定边长条件、固定坐标条件
三角形
大地四边形 中心多边形 扇形
停止 返回
123
243*2
???
???
r
t
448
444*2
???
???
r
t
2
81018
1047*2
??
???
???
k
r
t
1
5611
645*2
??
???
???
k
r
t
A
F
E
DC
B
G
1
6
543
2
11
10
9
8
7
22
2021
1918
17
16
15
14
13 12
S,T
第三节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
停止 返回
第四节 水准网平差示例
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条
件平差求各点的高称平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
HB=6.016
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
停止 返回
解：
1、列条件方程
437
3115
??????
????
tnrC
t
042
0763
0543
0521
~~
~~~
~~~
~~~
??
???
???
???
hh
hhh
hhh
hhh
0342
06763
08543
07521
???
????
????
????
vv
vvv
vvv
vvv
停止 返回
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0001010
1100100
0011100
0010011
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
6
8
7
W
2、定权
取 C=1，则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
6.2
4.1
4.2
7.2
3.2
7.1
1.1
1PQ
3、形成法方程 0
3
6
8
7
4
3
2
1
1.407.27.1
03.63.20
7.23.24.74.2
7.104.22.5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
停止 返回
4、解算法方程
TTK ]4 5 6 8.14 4 1 4.04 0 2 8.12 2 2 6.0[ ????
5、计算改正数
)(]2.16.09.31.02.49.22.0[ mmV T???????
6、计算平差值
)(]5962.02374.06531.00119.13588.00119.23588.1[ mL T???
7、计算高程平差值
mLHH AP 3 7 4 8.311 ??? ? mLHH AP 0 2 7 9.722 ??? ?
mLHH BP 6 1 2 1.673 ??? ?
停止 返回
作业 1：
线号 高差（ m） 路线长度
（ km）
点号 高程（ m）
1 1.100 4 A 5.000
2 2.398 2 B 3.953
3 0.200 4 C 7.650
4 1.000 2
5 3.404 2
6 3.452 4
A
?
?
?
o
oo
B
C
1
2
3
4
5 6P1 P2
P3
如图所示的水准网,A,B,C已知水准点,P1,P3、
P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度
及观测高差列入下表
试用条件平差法求 P1,P3,P3点高程的平差值 。
第一节 间接平差原理
第二节 误差方程
第三节 精度评定
第四节 平差示例
第 五 章 间 接 平 差
停止 返回
第一节 间接平差原理
一、基础方程和它的解
lBxV ??
最小?PVV T
按函数极值的求法，极值函数：
m i n)()( ????? lBxPlBxPVV TT?
求其一阶偏导数，并令其为 0：
002 ?? PVBPBV TT
停止 返回
0)( ?? PlBxPBB TT
代入误差方程：
即为法方程式
PlBPBBx TT 1)( ?
?
?
停止 返回
二、间接平差法平差步骤
1、选择 t个独立的未知参数
2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。
3、形成法方程
4、求解法方程
5、计算改正数
6、精度评定
一、确定待定参数的个数
水准网 qpt ??? 1
测角网 qpt ??? 42
测边网
边角网 qpt ??? 32
第二节 误差方程
停止 返回
GPS网 33 ?? Pt
采用 GPS尺度与方位
73 ?? Pt 不采用 GPS尺度与方位
二、参数的选取
高程控制网：待定点的高程
平面控制网：待定点的二维坐标
三维控制网：待定点的三维坐标
停止 返回
三、误差方程的组成
1、水准路线的误差方程
i
j
Xi
Xj
hij
))(( 00 ijijijij XXhxxV ?????
当 i点已知时,))(( 0
ijijjij XXhxV ????
当 j点已知时,))(( 0
ijijiij XXhxV ?????
停止 返回
2、方向的误差方程
N 零方向
j
k
l
jkL
jlL
jX jY
kX kY
jZ
jZ
—— 定向角未知数
jX jY kX kY
设 j,k的坐标为未知参数：
即：零方向的方位角
jk的方位角为：
)( ~~
~~
~~~
jk
jk
jkjjk
XX
YYa r c t gLZ
?
?????
停止 返回
~~
~~
~~
~
)( jj
jk
jk
jk ZfZ
XX
YYa r c t gL ???
?
??
为非线性函数，要进行线性化。
对上式在初始近似值 0
jX 0jY 0kX 0kY 处进行
Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：
0
00
00
)(
j
Z
XX
YY
a r c t gx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
f
zVL
jk
jk
k
k
k
k
j
j
j
j
jjkjk
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?
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停止 返回
2
2
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jk
jk
jk
jk
j
XX
YY
XX
YY
X
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)(
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jk
YYXX
YY
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jk
jk
jk
SS
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2
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停止 返回
2
2
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)(
jk
jk
jk
jk
k
XX
YY
XX
YY
X
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?
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)(
jkjk
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YYXX
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jk
jk
jk
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停止 返回
2
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jk
jk
jk
j
XX
YY
XX
Y
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)(
jkjk
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jk
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jk
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停止 返回
2
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jk
jk
k
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YY
XX
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)(
jkjk
jk
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XX
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jk
jk
jk
jk
SS
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?
停止 返回
0
00
00
)(0000
00
j
Z
XX
YY
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Y
f
x
X
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y
Y
f
x
X
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zVL
jk
jk
kYX
k
kYX
k
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j
j
j
jjkjk
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????
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0
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c o ss i n
c o ss i n
j
jkjk
jkjk
Z
XX
YY
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S
x
S
y
S
x
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jk
jk
k
jk
k
jk
j
jk
j
jk
jjkjk
?
?
?
???
?????
??
??
0
00
00
0
0
0
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0
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0
)(
c o ss i n
c o ss i n
j
jkjk
jkjk
Z
XX
YY
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S
x
S
y
S
x
S
zV
jk
jk
jkk
jk
k
jk
j
jk
j
jk
jjk
?
?
?
????
????
??
??
停止 返回
当 j点已知时：
0
00
00
0
0
0
0
)(
c oss i n
j
jkjk
Z
XX
YY
ar c t gL
x
S
x
S
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jk
jk
jk
k
jk
k
jk
jjk
?
?
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??
停止 返回
0
00
00
0
0
0
0
)(
c oss i n
j
jkjk
Z
XX
YY
a r c t gL
y
S
x
S
zV
jk
jk
jk
j
jk
j
jk
jjk
?
?
?
??
????
??当 k点已知时：
停止 返回
2、距离的误差方程
j
k
jkS
jX jY
kX kY
jX jY kX kY
设 j,k的坐标为未知参数：
jk的距离为：
2~~2~~~ )()( jkjkjk YYXXS ????
停止 返回
为非线性函数，要进行线性化。
对上式在初始近似值 0
jX 0jY 0kX 0kY 处进行
Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：
2
0~~
02
0~0~
)()( j
kjkk
k
k
k
j
j
j
j
jkjk
YYXXx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
f
VS
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
j
S
X
YYXX
XX
X
f
?c o s
)()(2
)(2
22
??
?
??
???
??
?
?
?
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
j
S
Y
YYXX
YY
Y
f
?s i n
)()(2
)(2
22
??
?
??
???
??
?
?
?
jk
jk
jkjk
jk
k
S
X
YYXX
XX
X
f
?c o s
)()(2
)(2
22
?
?
?
???
?
?
?
?
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
k
S
Y
YYXX
YY
Y
f
?s i n
)()(2
)(2
22
?
?
?
???
?
?
?
?
2
0~~
02
0~0~
)()(0000
0000
jkjkk
YX
k
kYX
k
jYX
j
jYX
j
jkjk
YYXXx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
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VS
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
停止 返回
2
0~~
02
0~0~
0000
)()(
s i nc oss i nc os
jkjk
kkjjjkjk
YYXX
yxyxVS jkjkjkjk
????
?????? ????
jkjkjk
kkjjjk
SYYXX
yxyxV jkjkjkjk
?????
?????
2
0~~
02
0~0~
0000
)()(
s i nc o ss i nc o s ????
当 j点已知时：
停止 返回
jkjkjk
kkjk
SYYXX
yxV jkjk
?????
???
2
0~~
02
0~0~
00
)()(
s i nc os ??
当 k点已知时：
jkjkjk
jjjk
SYYXX
yxV jkjk
?????
???
2
0~~
02
0~0~
00
)()(
s i nc os ??
第三节 精度评定
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
一、计算单位权中误差
111
1
)()()(
)(
???
?
?
??
?
?? PBBPBBP Q P BBPBBQ
PlBPBBx
TTTT
xx
TT
停止 返回
测角网间接平差算例：
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
设有一测角三角网,A,B,C,D为已知点,P1,P2为待
定点，同精度观测了 18个角度，按间接平差求平差后 P1、
P2点的坐标及精度。已知数据见下表。
第四节 平差示例
停止 返回
点名 坐标（ m） 边长 方位角X（ m) Y（ m)
A 9684.28 43836.82
B 10649.55 31996.50 11879.60 274° 39’38.4"
C 19063.66 37818.86 10232.16 34° 40’56.3"
D 17814.63 49923.19 12168.60 95° 53’29.1"
A 10156.11 216° 49’06.5"角度
编号 观测值
角度
编号 观测值
角度
编号 观测值
1 126° 14’24.1" 7 22° 02’43.0" 13 46° 38’56.4"
2 23° 39’46.9" 8 130° 03’14.2" 14 66° 34’54.7"
3 30° 05’46.7" 9 27° 53’59.3" 15 66° 46’08.2"
4 117° 22’46.2" 10 65° 55’00.8" 16 29° 58’35.5"
5 31° 26’50.0" 11 67° 02’49.4" 17 120° 08’31.1"
6 31° 10’22.6" 12 47° 02’11.4" 18 29° 52’55.4"
停止 返回
解,n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14
设 P1,P2点的坐标作为未知参数 X1,Y1,X2,Y2，
根据前方交会可以求出 P1,P2的近似坐标：
mYmX
mYmX
97.3 7 3 3 461.1 3 1 8 8
97.3 7 3 3 461.1 3 1 8 8
0
2
0
2
0
1
0
1
??
??
根据角度的误差方程：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c oss i nc oss i n
)
c osc os
()
s i ns i n
(
jik
jik
i
ji
i
ji
k
jk
k
jk
j
jijk
j
jijk
jik
LL
y
S
x
S
x
S
x
S
y
SS
x
SS
V
jijijkjk
jijkjijk
??
????
????
????
????
停止 返回
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????
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????
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1.3
7.10
6.9
2.13
5.8
0.4
3.3
9.2
2.1
9.1
5.8
1.3
6.2
5.0
9.0
1.3
6.0
2.0
2
2
1
1
00.000.050.115.3
00.000.099.444.3
00.000.049.329.0
30.145.249.329.0
89.060.260.233.2
19.217.089.062.2
89.062.221.216.0
47.333.032.146.2
58.229.289.062.2
30.120.300.000.0
00.065.500.000.0
30.145.200.000.0
30.120.300.000.0
47.333.000.000.0
77.453.300.000.0
00.000.050.115.3
00.000.032.146.2
00.000.018.016.5
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
y
x
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V B x l
停止 返回
定权,P为单位阵，形成法方程为：
?
?
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???
???
???
????
07.30
11.120
81.178
52.43
2
2
1
1
63.6621.2042.896.6
21.2009.9695.645.11
42.895.651.7011.22
96.645.1111.2261.94
y
x
y
x
?
?
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2069.1
3208.2
1030.0
07.30
11.120
81.178
52.43
0169.00041.00023.00025.0
0041.00117.00024.00023.0
0032.00024.00161.00044.0
0025.00023.00044.00121.0
07.30
11.120
81.178
52.43
63.6621.2042.896.6
21.2009.9695.645.11
42.895.651.7011.22
96.645.1111.2261.94
2
2
1
1
1
y
x
y
x
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?
?
?
?
?
?
?
98.44 3 90
49.15 5 78
20.37 3 35
60.13 1 88
10/
53 4 8.0
20 6 9.1
32 0 8.2
10 3 0.0
03.44 3 91
61.15 5 78
97.37 3 34
61.13 1 88
2
2
1
1
Y
X
Y
X
停止 返回
精度评定：
"3.114 28.220 ??????? rPVV
T
?
dmx 14.00 1 2 1.03.11 ??????
dmy 16.00 1 6 1.03.11 ??????
dmx 14.00 1 1 7.03.12 ??????
dmy 17.00 1 6 9.03.12 ??????
dmp 21.016.014.0 221 ???????
dmp 22.017.014.0 222 ???????
停止 返回
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间
接平差求各点的高程平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
HB=6.016
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
解,1、列误差方程
n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4
703202101 hHXhHXhHX BAA ??????
设 P1,P2点的高程为未知参数 21 ?? XX 求相应的近似值
列误差方程：
022 ?? ?xv
011 ?? ?xv
8316 ???? ?? xxv
7215 ???? ?? xxv
037 ??? ?xv
413 ?? ?xv
324 ?? ?xv
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
写成矩阵的形式：
?
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0
2
7
3
4
0
0
100
101
011
010
001
010
001
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
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38.0
71.0
42.0
37.0
43.0
59.0
91.0
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42.1
05.4
59.0
09.1071.0
038.142.0
71.042.047.2
3
2
1
x
x
x
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100.1
860.2
258.0
1432.11055.03465.0
1055.07739.01619.0
3465.01619.05320.0
3
2
1
x
x
x
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612 1.6
027 9.7
374 8.6
3
2
1
X
X
X
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1.1
6.0
9.3
1.0
3.4
9.2
3.0
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
v
mmrPVV
T
2.24 75.190 ?????
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mm
mm
X
X
X
35.2143 2.1
9.1773 9.0
6.1532 0.0
0
0
0
3
2
1
?
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例：
线号 高差（ m） 路线长度
（ km）
点号 高程（ m）
1 1.652 4.5 A 34.788
2 -0.418 3.1 B 35.259
3 0.714 3.4 C 37.825
4 1.243 3.8
5 -0.577 4.2
6 -0.786 2.5
?B
?
?
o
oo
A
C
1
6
5
4
2 3P1 P2
P3
如图所示的水准网,A,B,C已知水准点,P1,P3、
P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度
及观测高差列入下表
试用间接平差法求 P1,P3,P3点高程的平差值估算精度 。
解,1、列误差方程
n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3
设 P1,P2,P3点的高程为未知参数 321 ??? XXX
求相应的近似值
列误差方程：
?B
?
?
o
oo
A
C
1
6
5
4
2 3P1 P2
P3
440.36652.1788.34101 ????? hHX A
973.35714.0259.35302 ????? hHX B
248.37577.0825.37503 ????? hHX C
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22
0
32
0
49
0
101
100
110
010
011
001
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
0
12.17
00.24
88.6
89.026.040.0
26.087.032.0
40.032.094.0
3
2
1
^^
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wxNPlBxPBB TT
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22
0
32
0
49
0
101
100
110
010
011
001
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
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40.0
00.023.0
00.000.026.0
00.000.000.029.0
00.000.000.000.032.0
00.000.000.000.000.022.0
称
对
P
mmWN
x
x
x
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1.17
6.19
9.7
12.17
00.24
88.6
9472.10136.11736.1
0136.18416.10582.1
1736.10582.19235.1
1
3
2
1
m
x
x
x
X
X
X
X
X
X
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2309.37
6626.35
4321.36
0171.0
0196.0
0079.0
248.37
973.35
440.36
3
^
2
^
1
0
0
0
1
3
2
1
3
2
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v
v
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v
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8.12
1.17
7.4
6.19
5.21
9.7
6
5
4
3
2
1
mmrPVV
T
67.43 54.650 ???????
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X
X
X
51.6947 2.1
34.6841 6.1
48.6923 5.1
0
0
0
3
2
1
?
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m
h
h
h
h
h
h
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7988.0
5941.0
2383.1
7336.0
4395.0
6441.1
1000/
8.12
1.17
7.4
6.19
5.21
9.7
786.0
577.0
243.1
714.0
418.0
652.1
6
^
5
^
4
^
3
^
2
^
1
^
第一节 基础方程和它的解
第二节 精度评定
第 六 章
附有参数的条件平差
停止 返回
一、测量平差方法回顾
（ 1） 条件平差法
011 ?? ??? cnnc WVA
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
条件方程个数 c。
停止 返回
KQAV T?
WA Q AKWKA Q A TT 1)(0 ????
在最小二乘原则下有：
r
PVV T?2
0?
VLL ???
（ 2） 间接平差法
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
设 t个相互独立的未知参数，则条件个数 c=n+t-t=n,
即 n个误差方程：
在最小二乘原则下有：
r
PVV T?2
0?
0)( ??
?
PlBxPBB TT PlBPBBx
TT 1)( ?? ?
1)( ??
?? PBBQ
T
xx
（ 3） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为 n,t为必要观测数，
则可列出 r=n-t个条件方程，现有增设了 u个独立量
作为参数，而 0<u<t，每增设一个参数应增加一个条
件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模
型，称为附有参数的条件平差法。
0
111
????
?
?
???? cuucnnc
WxBA
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了 u个独立参数，方程总数
由 r个增加到 c=r+u个，故平差的自由度为 r=c-u。
停止 返回
设定未知参数的目的：
（ 2）为了在条件平差过程中，直接估计一
些量以及其精度。如：
（ 1）为了方便列立条件。
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
如图：
246
4442
6
????
????
?
rc
t
n
条件平差：
1
2
3 4 5
6
其中：
?1 8 0
6321 ????
???? ????
其它条件如何列？
设未知参数 X1
1
2
3 4 5
6
X1
312
1
4442
6
????????
?
????
?
urtunc
u
t
n
1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
180
180
4161
1243
154
6321
?
?
?
???
????
????
????
???
????
???
???
??
????
X
X
X
?
?
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条
件进行线性化，可形成基础方程。
1
2
3 4 5
6
X1
X2422
2
???
?????
?
urtunc
u
1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
180
180
180
4161
1243
2162
154
6321
?
?
?
????
???
????
????
????
????
???
????
???
???
??
??
????
X
X
XX
X
?
?
?
特点：方程中即有观
测量又有未知参数。
采用改正数表示。
二,基础方程和它的解
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ????? WBxVAKPVV TT?
TcbaT kkkK ][ ??
基础方程：
停止 返回
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
求其一阶偏导数，并令其为 0：
KQAKAPVKBKAPV
Bk
x
AKPV
V
TTTT
TTT
????
???
?
?
???
?
?
?
?
10
02022
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
KQAV
KB
WxBAV
T
T
0
0
联立 0
0
?
???
?
KB
WxBKA Q A
T
T
即为法方程式
停止 返回
将法方程写成矩阵的形式：
?
?
?
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00
0
00
1
1
W
B
BA Q A
x
K
QP
W
x
K
B
BA Q A
T
T
T
T
也可分别求解：
WNBNWNBBNBx
xBWNxBWAQ AK
aa
T
bbaa
T
aa
T
aa
T
11111
11
)(
)()()(
?????
?
?
?
?
?
??
????
??
?
?
??
??
xXX
xBWNQAV aaT
0
1 )(
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
),( ??? ? XL?? 线性化：
???
?
?
?
?
??
?
??
?
?? XdFLdFXd
X
Ld
L
d TxT)???
T
xXX
T
xLX
T
xxXL
T
LL
T FQFFQFFQFFQFQ
?????????? ??????
四、附有参数的条件平差的计算步骤
1,根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小
于 t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数 r
与设定未知参数之和。
2,根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。
3,解算法方程，求出联系数 K与 x值。
4,将 K与 x值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值与
参数平差值。
5,精度评定。
6,为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差
值条件方程式，看其是否满足方程。
VLL ??^
^L
第一节 基础方程和它的解
第二节 精度评定
第 七 章
附有限制条件的间接平差
停止 返回
间接平差：观测数为 n，必要观测数为 t，多余观
测数 r=n-t，设 t个相互独立的未知参数，则条件个
数 c=n+t-t=n，即 n个误差方程：
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
0)( ??
?
PlBxPBB TT 0)( ?? PBBN Taa
从而可以唯一求出 ?x
一,基础方程和它的解
由于未知参数 u>t，则 u个未知参数间肯定存在 u-t个
函数关系，称为约束条件。
0)(
1),(
??
?
?
x
tu
111 ?
?
???
??
nuunn
lxBV
0)(
1),(
??
?
?
x
tu
联
合
基础方程
tus ??
最小?PVV T
基础方程线性化形式：
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ????
?
x
TT WxCKPVV
s?
停止 返回
111 ?
?
???
??
nuunn
lxBV
nnP?
求其一阶偏导数，并令其为 0：
0
022
??
???
?
?
?
s
s
KCPVB
CKPBV
x
TT
TT?
??
?
?
?
??
???
0
0
x
TTT
WCx
PlBKCP B xB s
法方程式
停止 返回
?
?
?
?
?
??
???
?
?
0
0
x
TT
bb
WxC
PlBKCxN s
0
0
??
?
?
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?
?
?
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?
?
?
x
TT
bb
W
PlB
K
x
C
CN
s
写成矩阵形式：
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x
TT
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C
CN
K
x
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1
0
)(
)()(
11
111
xbbcc
xbb
T
s
WWCNN
WWCNCCNK
bb
??
??
??
???
)(1 s
bb
KCPlBNx TT ?? ?
?
显式表示：
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T
??
?
0?
二、协因数阵
停止 返回
三、平差值函数的协因数
)( ?? ? X??
??
?
?
?
?
?? XdFXd
X
d T)??
FQFQ
XX
T
???? ???
四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤
1,根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与
限制条件。
2,根据观测值的权组成法方程式。
3,解算法方程，求出联系数 X与 K值。
4,将 K与 x值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值与
参数平差值。
5,精度评定。
VLL ??^
^L
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间
接平差求各点的高程平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
hAB=1.000
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
P3h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2 B
解,1、列误差方程
n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4
7
0
1
0
4
2
0
3
1
0
2
hXX
hHX
hAHX
A
??
??
??
设 B,P1,P2,P3点的高程为未知参数
4321
???? XXXX相应的近似值
列误差方程：
101 ??? AHX
U=4,S=1
h2
A
P3h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2 B
?
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0
2
7
3
4
0
0
100
101
011
010
001
010
001
1
0
0
1
1
0
0
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
v
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38.0
71.0
42.0
37.0
43.0
59.0
91.0
01 ??x限制条件：
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
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?
?
?
1.1
6.0
9.3
1.0
3.4
9.2
3.0
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
v
mmrPVV
T
2.24 75.190 ?????
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
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mm
mm
mm
X
X
X
35.2143 2.1
9.1773 9.0
6.1532 0.0
0
0
0
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
100.1
860.2
258.0
000.0
5
4
3
2
x
x
x
x
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6121.6
0279.7
3748.6
6.0160
5.0160
4
3
2
1
X
X
X
X
H
A
第 八 章
概括平差函数模型
停止 返回
第二节 基础方程和它的解
第三节 精度评定
第一节 概述
一、平差模型的回顾
（ 1）条件平差法
011 ?? ??? cnnc WVA
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
条件方程个数 c。
停止 返回
0)(
~
?LF
（ 2） 间接平差法
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
设 t个相互独立的未知参数，则条件个数 c=n+t-t=n,
即 n个误差方程：
)(
~~
XFL ?
（ 3） 附有参数的条件平差法
观测值个数为 n,t为必要观测数，则可列出 r=n-t个
条件方程，现有 u个独立量作为参数，而 0<u<t，方
程总数 c=r+u个。
0),( ~~ ?XLF
停止 返回
（ 4）附有限制条件的间接平差法
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
现有 u个参数 u>t，包含 t个独立参数，则条件个数
r+u,其中，有 s个限制条件：
0)( ~ ?? X
)(
~~
XFL ?
二、条件方程式形式
停止 返回
0),( ~~ ?XLF
0)( ~ ?? X
)(
~~
XFL ?
0)( ~ ?LF
一般条件方程式,用 C表
示个数
限制条件式
（ 1）条件平差法,
停止 返回
（ 2） 间接平差法,
rtncu ????,0
nttnurctu ???????,
（ 3） 附有参数的条件平差法
（ 4）附有限制条件的间接平差法
urctu ???,
nsurcscurtu ????????,,
三、概括平差模型的引入
停止 返回
对于一个几何模型，独立参数的个数 u 满足,
0?u tu ??0 tu ?
tu ??0
条件平差 间接平差
附有参数的条件
平差
停止 返回
对于一个几何模型，可选参数的个数 u：
tu ? 0?u tu ?
tu ?
相关
包含独立参
数数 <t
包含独立参
数数 =t
附有限制条件
的间接平差
概括平差
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测
数 r=n-t，现有 u个参数，则条件个数 r+u,
其中，设 u 个参数中其中可以形成 s个限
制条件，一般条件个数为,c=r+u-s:
四、概括平差模型
0),(
~~
1,
?XLF
c
0)(
~
1,
?? X
s
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
停止 返回
线性化
c+s=r+u
一、基础方程,
第二节 基础方程和它的解
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
条件平差
011 ?? ??? rnnr WVA
最小?PVV T
rc ?0?u
0
0
?
?
C
B
间接平差
0
111
???
?
?
??? nttnn
WxBV
最小?PVV T
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
ntr
surc
???
???
独立
tu ?
0?
??
C
IA
附有参数的
条件平差
最小?PVV T
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
ur
surc
??
???
独立
tu ?0?C
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
surc ???包含
t 个
独立
tu ?
IA ??
附有限制
条件的间
接平差
0
111
???
?
?
??? nuunn
WxBV
最小?PVV T
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
二、基础方程的解,
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2)(2 ???????
??
x
TTT WxCKWxBVAKPVV
s?
0
022022
???
????
?
?
???
?
?
?
s
TTT
T
s
TTT
KCKBKAPV
CKBK
x
AKPV
V
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?
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??
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???
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0
0
0
0
x
s
TT
T
WxC
KCKB
WxBAV
KAPV
KQAV T? 代入第二式得：
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
0
0
0
x
s
TT
T
WxC
KCKB
WxBKA Q A
?
?
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?
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?
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??
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???
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0
0
0
x
s
TT
aa
WxC
KCKB
WxBKN
?
?
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?
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??
??
???
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?
0
0
0
x
s
TT
aa
WxC
KCKB
WxBKN
式：代入 2)(1 ?? ?? xBWNK aa
011 ??? ?
??
WNBKCxBNB aaTsTaaT
)(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
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???
?
0)(1 ???? xesT WWKCCN bb
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
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???
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)(1 ?? ?? xBWNK aa
)(
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111
es
T
aa
T
s
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aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
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???
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rc ?0?u
0
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C
B
)(
)()(
11
111
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T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
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???
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)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
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???
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条件平差
WNK aa1??
ntr
surc
???
???
独立
tu ?
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??
C
IA
)(
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11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
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)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
间接平差 PQAQ AN T
aa ???
??? 111 )()(
)()(
)()(
1
111
WPBBPB
WNBKCBNBx
TT
aa
T
s
T
aa
T
?
???
?
?
??
附有参数的
条件平差
ur
surc
??
???
独立
tu ?0?C
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
WNBNWNBBNBx
xBWNxBWAQ AK
aa
T
bbaa
T
aa
T
aa
T
11111
11
)(
)()()(
?????
?
?
?
?
?
??
????
surc ???包含
t 个
独立
tu ?
IA ??
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
附有限制条件的
间接平差
)(
)()(
11
111
WCNWN
WCNWCCNK
bbxcc
bbx
T
s bb
??
???
??
??
)(1 sbb KCPWBNx TT ?? ??
PN aa ??1
第三节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T
??
?
0?
二、协因数阵
停止 返回
第九章 误差椭圆
第一节 概述
第二节 点位误差
停止 返回
第三节 误差曲线
A
),( ~~ yxP
),(' yxP
x?
yo
x y?
P?
s?
u?第一节：概述
),( ~~ yxP 真位置
平差后
位置
),(' yxP
yyy
xxx
???
???
~
~
222 yxP ?????
][])[(]))([(
][])[(]))([(
22
~
22
22
~
22
yEyyEyEyE
xExxExExE
y
x
??????
??????
?
?
点位真位差
222 yxP ?????对 两边取数学期望：
22222 )()()( yxyExEPE ?? ??????? 点位方差
222 yxp ??? ??
)','(' yxP
A
)','( ~~ yxP
x'?
yo
x y'?
P?
s?
u?
X/
y/
222 '' yxP ?????
同理：
2
'
2
'
2
yxp ??? ??
?点位中误差与坐标系的选
择无关。
222 usp ??? ??
称为横向（中）误差
称为纵向（中）误差
u
s
?
?
第二节 点位误差
一,点位误差的计算
)(202020222 yyxxyyxxyxp QQQQ ?????? ??????
在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：
T
uu YXYXYXX ??
?
??
?? ??????? ??
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
??
uuuuiuiuuu
u
uuuiuiuuu
uiuiiiiiii
u
iuiiiiiii
uuii
u
uii
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXYX
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXXX
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXXX
XX
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
Q
??
??
????????
??
??
????????
??
??
111
11
11
11
11111111
11111111
)(
)(
)(
2
0
2
^
2
0
2
^
2
0
2
^
iiiiP
iiiY
iiiX
YYXX
YY
XX
QQ
Q
Q
????
???
???
??
??
?
?
?
?
??
??
??
测角网间接平差算例：
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
设有一测角三角网,A,B,C,D为已知点,P1,P2为待
定点，同精度观测了 18个角度，按间接平差求平差后 P1、
P2点的点位精度。
停止 返回
平差得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 1 69.00 0 41.00 0 23.00 0 25.0
0 0 41.00 1 17.00 0 24.00 0 23.0
0 0 32.00 0 24.00 1 61.00 0 44.0
0 0 25.00 0 23.00 0 44.00 1 21.0
XX
Q
停止 返回
"3.114 28.220 ??????
?
r
PVV T?
dmx 14.00 1 2 1.03.11 ??????
dmy 16.00 1 6 1.03.11 ??????
dmx 14.00 1 1 7.03.12 ??????
dmy 17.00 1 6 9.03.12 ??????
dmp 21.016.014.0 221 ???????
dmp 22.017.014.0 222 ???????
停止 返回
p??
y
p?x
x?
p p?
??
?
?
y?二、任意方向的位差
??
?
s inc o s yx
pppp
????
??????????
)2s i n (s i nc o s( 2220
2
0
2
????
?? ???
xyyyxx QQQ
Q
??
??
x
E
y
F
O
? P
第三节 误差曲线
y
x E
P
D
F
o
?
E?
第四节 误差椭圆
Surveying Adjustment
误差理论与
测量平差
第六章 附有参数的条件平差
第二章 精度指标与误差传播
第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理
第四章 条件平差
第五章 间接平差
第一章 绪论
第七章 附有限制条件的间接平差
第八章 概括平差函数模型
退出
第九章 误差椭圆
测绘工程专业主干课：
专业基础主要课程：
测量学（ 5）、测量平差基础（ 5）、
控制测量学（ 5）、摄影测量学（ 4）、
测绘数据计算机处理（ 3）
专业课：
GPS（ 4）,GIS（ 3）、工程测量（ 4）、
数字制图（ 3）、近代平差（ 2）等
测绘科学与技术
? 大地测量与测量工程
? 摄影测量与遥感
? 地图制图与地理信息系统工程
数学
政治
英语
测量平差
课程安排
? 前修课程：高数、几何与代数、概率与
数理统计
? 课程分两个学期进行：
第二学年上学期,3学分
第三学年下学期,2学分
? 后续课程：测绘数据的计算机处理、控
制测量、近代平差
教学方式与内容
? 讲授为主，例题、习题相结合。
? 内容：本学期主要讲前五章的内容。
? 参考书目：
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社
误差理论与测量数据处理，测量平差教
研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止 返回
第一章 绪论
第一节：概述
1、测量平差的研究对象 —— 误差
任何量测不可避免地含有误差
?闭合、附合水准路线
?闭合、附合导线
?距离测量
?角度测量 ………..
停止 返回
误差：测量值与真值之差
? 由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
?
?
18 0)(
18 0)(
???
???
实际
理论
???
???
? ?
?
停止 返回
产生误差的原因
? 测量仪器,i角误差,2c误差
? 观测者：人的分辨力限制
? 外界条件：温度、气压、大气折光等
三者综合起来为观测条件
停止 返回
误差的分类
?系统误差,在相同的观测条件下进行的一
系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系
统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为
系统误差。
停止 返回
系统误差的存在必然影响观测结果 。
削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附
加参数
误差的分类
?偶然误差 /随机误差,在相同的观测条件
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号
上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何
规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，
这种误差称为偶然误差。
不可避免，测量平差研究的内容
?粗差：错误
停止 返回
停止 返回
测量平差的任务：
?对一系列带有观测误差的观测值，运用
概率统计的方法来消除它们之间的不符
值，求未知量的最可靠值。
?评定测量成果的质量
停止 返回
测量平差产生的历史
?最小二乘法产生的背景
18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未
知数的最佳估值？
?最小二乘的产生
1794年,C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘
1806年,A.M,Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。, 决定彗星轨道的
新方法,
1809年,C.F.GUASS,,天体运动的理论,
停止 返回
测量平差产生的历史
?最小二乘法原理的两次证明
?形成测量平差的最基本模型
1912年,A.A.Markov,对最小二乘原理进行证明，形
成数学模型：
12
0
2
0
)(,0lim)(
?
??
?
?
??
??
?
??
???
PQ
AXLE
n
E
AXL
n
??
最小二乘解,PLAPAAX TT 1)( ?? ?
?测量平差理论的扩展
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（ 1）由 nm? 个数有次序地排列成 m行 n列的表叫矩阵
通常用一个大写字母表示，如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
停止 返回
(2)若 m=n，即行数与列数相同，称 A为方阵。元素 a11,a22……a nn
称为对角元素。
(3)若一个矩阵的元素全为 0，称零矩阵，一般用 O表示。
(4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对
角矩阵。如：
nn?
)(
00
00
00
2211
22
11
nn
mn
nm
aaad ia g
a
a
a
A ?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(5)对于 对角阵，若 a11=a22=……=a nn =1，称为单位阵，一般用 E、
I表示。
停止 返回
（ 6）若 aij=aji，则称 A为对称矩阵。
停止 返回
矩阵的基本运算：
BA ?（ 1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
（ 2）具有相同行列数的两矩阵 A,B相加减，其行列数与 A、
B相同，其元素等于 A,B对应元素之和、差。且具有可交换
性与可结合性。
（ 3）设 A为 m*s的矩阵,B为 s*n的矩阵,则 A,B相乘才有意
义,C=AB,C的阶数为 m*n。
OA=AO=O,IA=AI=A,A（ B+C） =AB+AC，
ABC=A（ BC）
停止 返回
二、矩阵的转置
? 对于任意矩阵 Cmn:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
nm
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22221
11211
将其行列互换，得到一个 nm阶矩阵，称为 C的转置。
用：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nmnn
n
n
mn
T
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22212
12111
停止 返回
矩阵转置的性质：
TT CDDC ?? 则：,)1(
AA TT ?))(2(
TTT BABA ??? ))(3(
TT kAkA ?))(4(
TTT ABAB ?))(5(
（ 6）若 AAT ? 则 A为对称矩阵。
停止 返回
三、矩阵的逆
? 给定一个 n阶方阵 A，若存在一个同阶
方阵 B，使 AB=BA=I（ E），称 B为 A的
逆矩阵。记为：
1?? AB
? A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是 A的
行列式不等于 0，称 A为非奇异矩阵，否
则为奇异矩阵
停止 返回
矩阵的逆的性质
111))(1( ??? ? ABAB AA ??? 11 ))(2(
II ?? 1))(3( TT AA )())(4( 11 ?? ?
矩阵。对称矩阵的逆仍为对称 )5(
)
11
,
1
(
)),,((
)6(
2211
1
2211
1
nn
nn
aaa
di ag
aaadi agA
?
?
?
?
??
矩阵且：对角矩阵的逆仍为对角
停止 返回
矩阵求逆方法：
（ 1）伴随矩阵法：
设 Aij为 A的第 i行 j列元素 aij的代数余子式，
则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为 A的伴
随矩阵的转置矩阵 A*称为 A的伴随矩阵。
*1
21
22212
12111
* 1,A
A
A
AAA
AAA
AAA
A
nnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
????
?
?
停止 返回 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1152
581
218
21
1
321
241
113
1
矩阵求逆方法
则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
21
22221
11211
?
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
（ 2）初等变换法：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
?
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
100
010
001
经初等变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
nn
bbb
bbb
bbb
A
?
????
?
21
22221
11211
1
停止 返回
概率与数理统计内容
? 随机变量
? 误差分布曲线
? 概率密度曲线
? 数学期望
? 方差
停止 返回
第一节 概述
第二节 偶然误差的规律性
第三节 衡量精度的指标
第四节 协方差传播律
停止 返回
第五节 协方差传播律在测量上的应用
第六节 协方差传播律
第七节 权与定权的常用方法
第八节 协因数与协因数传播律
第二节 偶然误差的规律性
观测值：对该量观测所得的值，一般用 Li表示 。
真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大
小的数值，一般用 表示。~L
一、几个概念
真误差：观测值与真值之差,一般用 ?i= -Li 表
示。
~L
第一节 概述
停止 返回
观测向量：若进行 n次观测，观测值,L1、
L2……L n可表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
L
L
L
L
?
2
1
1,
停止 返回
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
L
L
L
L
~
2
~
1
~
1,
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
nn
n
L
L
L
L
L
L
?
?
2
1
~
2
~
1
~
1,
二、偶然误差的特性
? 例 1：在相同的条件下独立观测了 358个三角形的全部内角，每个三角
形内角之和应等于 180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算
各内角和的真误差，并按误差区间的间隔 0.2秒进行统计。
误差
区间
— △ +△
个数 K 频率 K/n (K/n)/d△ 个数 K 频率 K/n (K/n)/d△
0.00~0.20 45 0.126 0.630 46 0.128 0.640
0.20~0.40 40 0.112 0.560 41 0.115 0.575
0.40~0.60 33 0.092 0.460 33 0.092 0.460
0.60~0.80 23 0.064 0.320 21 0.059 0.295
0.80~1.00 17 0.047 0.235 16 0.045 0.225
1.00~1.20 13 0.036 0.180 13 0.036 0.180
1.20~1.40 6 0.017 0.085 5 0.014 0.070
1.40~1.60 4 0.011 0.055 2 0.006 0.030
>1.60 0 0 0 0 0 0
和 181 0.505 177 0.495
停止 返回
? 例 2：在相同的条件下独立观测了 421个三角形的全部内角，每个三角
形内角之和应等于 180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算
各内角和的真误差，并按误差区间的间隔 0.2秒进行统计。
误差
区间
— △ +△
个数 K 频率 K/n (K/n)/d△ 个数 K 频率 K/n (K/n)/d△
0.00~0.20 40 0.095 0.475 46 0.088 0.440
0.20~0.40 34 0.081 0.405 41 0.085 0.425
0.40~0.60 31 0.074 0.370 33 0.069 0.345
0.60~0.80 25 0.059 0.295 21 0.064 0.320
0.80~1.00 20 0.048 0.240 16 0.043 0.215
1.00~1.20 16 0.038 0.190 13 0.040 0.200
…… …… …… ……, …… …… ……
2.40~2.60 1 0.002 0.010 2 0.005 0.0025
>2.60 0 0 0 0 0 0
和 210 0.499 211 0.501
停止 返回
(K/n)/d△
0 0.4 0.6 0.8-0.8 -0.6 -0.4 闭合差
概率密度函数曲线
用直方图表示,
停止 返回
面积 = [(K/n)/d△ ]* d△ = K/n
所有面积之和 =k1/n+k2/n+…..=1
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
0.630
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
0.475
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差.,,-, -, -, 闭合差
停止 返回
提示,观测值定了其
分布也就确定了，因
此一组观测值对应相
同的分布。不同的观
测序列，分布不同。
但其极限分布均是正
态分布。
2
2
2
2
1)( ?
??
??
?? ef
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝
对值不会超过一定的界限；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的次数多；
3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近
于零，
即 Lim——
n??
?
i=1
n
n
?i
= Limn?? —— n[?] =0
偶然误差的特性：
停止 返回
第三节 衡量精度的指标
精度：所谓精度是指 偶然误差 分布的密集离散程度。
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值
精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就
不同。
提示,一组观测值具有相同的分布，但偶然
误差各不相同。
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差
频数 /d?
0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差.,,-, -, -, 闭合差
停止 返回
可见：左图误差分布曲线较高
且陡峭，精度高
右图误差分布曲线较低
且平缓，精度低
一、方差 /中误差 f(?)
0 0.4 0.6 0.8-0.8 -0.6 -0.4 闭合差1?
1?? 2?2??
面积为 1
22
2
2
1)( ?
??
???? ef
第三节 衡量精度的指标
停止 返回
?
??
??
??
????
????
??
?
df
ED
nn
)(
)()(
][
lim
2
22?
方差：
中误差：
nn
][lim2 ?????
??
??
提示,越小，误差曲
线越陡峭，误差分布
越密集，精度越高。
相反，精度越低。
?
n
][2 ??
?
?
?
方差的估值：
n
][ ??
??
?
?
二、平均误差
停止 返回
? ?
ndfE n
????????
??
??
???
lim)()(?
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数
学期望。
与中误差的关系：
??
5
4?
n
][ ?
?
?
?
三、或然误差
f(?)
0 闭合差1?
1??
50%
???
停止 返回
%50)( ?????? ??p
??
3
2?
四、极限误差
?? 32 或限 ??
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
%7.99)33(
%5.95)22(
%3.68)(
??
??
??
p
p
p
四、相对误差
中误差与观测值之比，一般用 1/M表示。
第四节 协方差传播律
一、协方差
))]())(([( YEYXEXEXY ????
对于变量 X,Y，其协方差为：
停止 返回
))]())(([( XEXYEYEYX ????
YXXY ?? ?
0?? XYYX ?? 表示 X,Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。
0?? XYYX ?? 表示 X,Y间相关
nn
yx
xyyx
yx
nxy
][][lim ??????? ?
??
???
对于向量 X=[X1,X2,……X n]T，将其元素间的
方差、协方差阵表示为：
停止 返回
2
21
2
2
221
112
2
1
2
1
21
nnn
n
n
n
n
x
x
x
xxx
???
???
???
?
????
?
?
?
矩阵表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
2
2
221
112
2
1
nnn
n
n
XX
D
???
???
???
?
????
?
?
方差协方差阵
]))())(([( TXX XEXXEXED ???
特点, I 对称
II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
对角元 相等时，为等精度观测。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
2
2
221
112
2
1
nnn
n
n
XX
D
???
???
???
?
????
?
?
若：
?
?
?
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?
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??
1
1
1)(
r
n
rn
Y
X
Z
?
?
?
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?
?
?
YYYX
XYXX
ZZ
DD
DD
D
TYXTXY DYEYXEXED ???? )))())((((
若 DXY=0，则 X,Y表示为相互独立的观测量。
二、观测值线性函数的方差
已知：
01,,11,1211,,,],...,[ KXKZDXXXX nnXX
T
nn ???
TXXZZ KKDD ?
那么：
停止 返回
证明,设,? ?
Xn
T
nn XEXXXX ???? ???,...,)(,],...,[ 21211,
? ?TXXXX XXED ))(( ?? ???
? ?TZZZZ ZZED ))(( ?? ???那么：
停止 返回
? ?
? ?
? ?
? ?
T
XX
TT
XX
TT
XX
T
XX
T
ZZZZ
KKD
KXXKE
KXXKE
KKXKKXE
ZZED
?
???
???
???
???
))((
))((
))((
))((
??
??
??
??
例 1,设, 已知,
求 的方差 。
212211 32 xxyxxy ????? D XX ?
?
??
?
??
3 1
1 4
F y y? ?1 2 ?F2
例 2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已
知每公里观测中误差等于 ± 5.0mm,欲使平差后
线路中点高程中误差不大于 ± 10mm,问该路线长
度最多可达几公里?
停止 返回
二、多个观测值线性函数的协方差阵
已知：,,],.,,,[
211,XXTnn DXXXX ?
02211
2022221212
1012121111
tntnttt
nn
nn
kXkXkXkZ
kXkXkXkZ
kXkXkXkZ
????
????
????
?
???????????????
?
?
1,
01,,1,
tnntt
KXKZ ??
T
XXZZ KKDD ?
1,01,,1,rnnrr
FXFY ??
T
FZ
T
XXZF DFKDD )(??
停止 返回
停止 返回
例 3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三
个内角 L1,L2,L3，其中误差为 ?，将闭合差平
均分配后各角的协方差阵。
例 4：设有函数，
1,,11,,11,rrtnntt
YFXFZ ?? 已知 XYYYXX DDD
求 ZYZXZZ DDD
四,非线性函数的情况
设有观测值 X的非线性函数：
),,()( 21 nXXXfXfZ ???
已知：
XX
T
nn DXXXX,],.,,,[ 211,? ZZD求：
T
n nXXXX ],...,[
000
1,
0
21?
停止 返回
将 Z按台劳级数在 X0处展开：
二次以上项）(
)()()()()()(
),,(
0
0
0
220
2
0
110
1
000
21
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
nn
n
n
XX
X
f
XX
X
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XX
X
f
XXXfZ
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
i i
n
n
n
i
X
X
f
X
X
f
X
X
f
X
X
f
XXXfZ
1
0
0020
2
10
1
000
)()()()(
),,(
21
?
?
]),[),,( 00
2
0
1
21
n
n X
f
X
f
X
fkkkK
?
?
?
?
?
??? （）（）（ ??
?
? ?
??? n
i i
n iXX
fXXXfk
1
0
0
000
0 )(),,( 21 ?
001,],,[ 21 kKXkXkkkZ nn ???? ?
T
XXZZ KKDD ?
例 4、根据极坐标法测设 P点的坐标，设已知
点无误差，测角中误差为 m?，边长中误差 ms，
试推导 P点的点位中误差。
A
B
P
? ms
s
mum
p
停止 返回
协方差传播应用步骤,
? 根据实际情况确定观测值与函数,写出具
体表达式
? 写出观测量的协方差阵
? 对函数进行线性化
? 协方差传播
停止 返回
a1 b1
a2 b2
a b
aN bN
1（ s)
2(s)
… N(s)A
B
TP1 TP2
TPN-1
协方差传播在测量中的应用
一、水准测量的精度
停止 返回
作业 1,在高级水准点 A,?（ 高程为真值 ） 间布设水准路
线, 如下图, 路线长分别为, 设
每公里观测高差的中误差为, 试求：
（ 1） 将闭合差按距离分配之后的 p1,p2点间高差的中
误差；
（ 2） 分配闭合差后 P1点的高程中误差 。
kmSkmSkmS 2,3,4 321 ???
mmm 0.11 ??
A P1 P2 B
作业 2,在相同条件下，观测两个角度 ?A=15?00?00?，
?B=75?00?00?，设对 ?A观测 4个测回的测角精度（中误差）
为 3?，问观测 9个测回的精度为多少？
停止 返回
第七节 权与定权的常用方法
一、权的定义
2
2
0
0
2
:
,),,...,2,1(
i
i
ii
p
niL
?
?
?
?
?
?
，则定义如选定任一常数
它们的方差为设
称为观测值 Li的权。权与方差成反比。
22
2
2
1
2
2
0
2
2
2
0
2
1
2
0
21
1::1:1:::::
nn
nppp ????
?
?
?
?
? ??? ??
生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一 20)( ?
，即对应一组权。选定了二 20)( ?
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较
精度的作用，一个问题只选一个 ?0。
（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
二、单位权中误差
测值。的观测值称为单位权观等于称为单位权中误差，权 10?
三、常用的定权方法
1、水准测量的权
i
i s
c
p ?
i
i N
c
p ?或
2、边角定权
停止 返回
2
2
1
i
i
s
s
P
P
?
?
?
?
?
?
2622 )10(
is sbai ????
??
第八节 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
2
0
2
0
2
2
0
2
22
1
1
1
:
,,,
?
?
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???
ji
i
ij
j
j
jj
i
i
ii
ijjiji
p
Q
p
Q
p
Q
LL
??
??
??
令
协方差为它们的方差为设
的协因数。为 iii LQ
的协因数。为 jjj LQ
或相关权倒数。
的协因数关于为 jiij LLQ
ijji
jjj
iii
Q
Q
Q
2
0
2
0
2
2
0
2
??
??
??
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变换形式为：
?
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n
n
nnn
n
n
XX
QQQ
QQQ
QQQ
D
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????
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?
????
?
?
21
22221
11211
2
0
2
21
2
2
221
112
2
1
?
???
???
???不难得出：
QXX为协因数阵
XXXX QD 20??
特点, I 对称，对角元素为权倒数
II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
为等精度观测，单位阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
XX
QQQ
QQQ
QQQ
Q
?
????
?
?
21
22221
11211
二、权阵
EQPQP LLLL LLLL ?? ? 1
第一节 测量平差概述
第二节 测量平差的数学模型
第三节 参数估计与最小二乘原理
停止 返回
一、必要观测、多余观测
?确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为 2，必要元素有 种选择
?确定平面三角形的形状与大小
? ?
?
s1
s3
s26个元素中必须有选择地观测三个内角与
三条边的三个元素，因此，其必要元素
个数为 3。任意 2个角度 +1个边,2个边 +1
个角度、三个边。
停止 返回
? ?
?
23C
3323131323 CCCCC ??
必须有选择地观测 6个高差中的 3个，
其必要元素个数为 3。 h1,h5,h6或 h1、
h2,h3或 h1,h2,h4等
?确定如图四点的相对高度关系
A
D
C
Bh1
h6
h5
h2
h4
h3
必要观测, 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测
一般用 t表示。
停止 返回
特点, 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。
必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。
确定几何模型最大独立观测个数
多余观测, 观测值的个数 n与必要观测个数 t之差
一般用 r表示,r=n-t。
确定几何模型最大独立观测个数为 t,那么再多进行一个观测就
相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。
观测值, 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际
观测，称为观测值，观测值的个数一般用 n表示。
n<t，则无法确定模型
n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。
n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观
测必然可用这 t个元素表示，即形成 r个条件。
? ?
?
123 ????? tnrtn
?180~~~ ??? ???
A
D
C
Bh1
h6
h5
h2
h4
h3
336 ????? tnrtn
0621 ~~~ ??? hhh
0432 ~~~ ??? hhh
0546 ~~~ ??? hhh
停止 返回
实际上：
?1 8 0????????? ??? ???
0621 ??? hhh
0432 ??? hhh
0546 ??? hhh
?1 8 0??? ???
第二节 测量平差的数学模型
一,条件平差法
0??? WA
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多
余观测数 r，即条件方程个数。
二,间接平差法
选择几何模型中 t个独立变量为平差参数，每一个观测
量表达成所选参数的函数，即列出 n个这种函数关系式，
以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
lBx ??? 停止 返回
)(
~
1,1,nr
LFF ?
)(
~
1,1,tn
XFL ?
三,附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为 n,t为必要观测数，则
可列出 r=n-t个条件方程，现有增设了 u个独立量作为参
数，而 0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。
以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有
参数的条件平差法 。
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法
是选了 t个独立参数，但多余观测数不随平差不同
而异，其自由度仍是 r=n-t。
0???? WBxA
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了 u个独立参数，方程总数
由 r个增加到 c=r+u个，故平差的自由度为 r=c-u。
停止 返回
),(
~
1,
~
1,1,unc
XLFF ?
四,附有限制条件的间接平差法
如果进行间接平差，就要选出 t个独立量为平差参数，按每一
个观测值与所选参数间函数关系，组成 n个观测方程。如果
在平差问题中，不是选 t个而是选定 u>t个参数，其中包含 t个
独立参数，则多选的 s=u-t个参数必是 t个独立参数的函数，亦
即在 u个参数之间存在着 s个函数关系，它们是用来约束参数
之间应满足的关系。在选定 u>t个参数进行平差时，除了建立
n个观测方程外，还要增加 s个约束参数方程，故称此平差方
法为附有限制件的间接平差法。
lBx ???
0?? xWCx
停止 返回
)(
~
1,1,un
XFL ?
0)(
~
1,1,
??
us
X
五,平差的随机模型
数学模型
停止 返回
函数模型
随机模型,12
020 ??? PQD ??
第三节 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
),(
~
1,
~
1,1,unc
XLFF ?
为了线性化，取 X的近似值,0X
取 的初值：~L L
xXX ?? 0
~
??? LL
~
将 F按台劳级数在 X0,L处展开，并略去二次以及
以上项：
停止 返回
x
X
F
L
F
XLFxXLFF
XLXL
00
,~,~
0
),(),(
?
?
??
?
?
??????
0
,
~
2
~
1
~
~
2
2
~
2
1
~
2
~
1
2
~
1
1
~
1
~
,
XLn
nnn
nnc
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
nL
F
L
F
L
F
L
F
A
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0
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2
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1
~
~
2
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~
2
1
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2
~
1
2
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1
1
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1
~
,
XLu
nnn
u
u
uc
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
X
F
B
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????
?
?
BxAXLFxXLFF ???????? ),(),( 0
一,条件平差法
0??? WA )( LFW ??
二,间接平差法
lBx ???
BxXFLL ????? )( 0~
LXFl ??? )( 0
三,附有参数的条件平差法
0???? WBxA
四,附有限制条件的间接平差法
lBx ???
0?? xWCx
)(
~
1,1,un
XFL ?
0)(
~
1,1,
??
us
X
第四节 参数估计与最小二乘原理
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差
所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻
求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模
型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。
一,参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差
为例,0??? WA
条件的个数 r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多
解。其它模型同。
数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏
性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘
估计。
停止 返回
例：匀速运动的质点在时刻 ?的位置 y表示为：
~~~ ??? ??y
~?
0
~y
0??
~~ ??? ????y实际上：
则：得
测定其位置，，，在与为了求
,,
,
21
21
~~
n
n
yyy ?
? ?????
)2,1(,~~ niy ii ?????? ???
写成矩阵：
?
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?
nnn
XB
y
y
y
Y
????
2
1
~
~
~
2
1
2
1
,,
1
1
1
,
?
?
?
?
?
YXB ??? ~ 间接平差函数模型
?o
y
i?
iy
?
iiv
???
m i n)( 22 ???? ???? iii yv ???
??? ?? ???y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nv
v
v
V
?
2
1
令：
m i n)()( ???? ?? YXBYXBVV TT则：
二,最小二乘原理
按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方
和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最
小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计
准则的估值相同。
设观测向量为 L,L为 n维随机正态向量，其数学期望与方差分
别为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
L
LE
?
?
?
?
?
2
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
21
12
2
221
112
2
1
nnn
n
LL
DD
???
???
???
?
????
?
?
停止 返回
? ?)()(e x p
)2(
1 1
2
1
2/12/ L
T
Ln LDLDG ??? ????
?
其似然函数为：
以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与 E（ ?） =0得：
??
?
??
? ???? ? )()(e x p
)2(
1 ~1~
2
1
2/12/ XBLDXBLDG
T
n?
按最大似然估计的要求，应选取能使 lnG取得极大值时的
作为 X的估计量。
~X
)()(21)2l n (ln
~1~2/12/
XBLDXBLDG Tn ????? ??
停止 返回
由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小
值时,lnG才能取得极大值，换言之,的估计量应满足如下
条件：
~X
最小??? ??? )()( 1 XBLDXBL T
为常数，则：，由于 2012020 ??? ???? PQDD LL
最小??? ?? )()( XBLPXBL T
有：的估值，则是设,LXBVV ??? ?
最小?PVV T
即最小二乘原则。 停止 返回
第 四 章 条件 平 差
第一节 条件平差原理
第二节 条件方程
第三节 精度评定
第四节 水准网平差示例
停止 返回
第一节 条件平差原理
一、基础方程和它的解
011 ?? ??? rnnr WVA
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ???? WVAKPVV TT?
Trbar kkkK ][1 ???
停止 返回
)( LFW ??0??? WA
12020 ??? PQD ??
数学模型
求其一阶偏导数，并令其为 0：
KQAKAPVKAPV
AKPV
dV
d
TTT
TT
???
???
? 1
022
?
011 ??? ??? rnnrT WVAKQAV
WNWAQ AKWKAQ A aaTrrrT 111 )(0)( ???? ????
上式也称为法方程式
停止 返回
二、条件平差的计算步骤
停止 返回
1,根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的
个数等于多余观测数 r。
2,根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，
法方程的个数等于多余观测数 r。
3,解算法方程，求出联系数 K值。
4,将 K值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值
5,为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差
值条件方程式，看其是否满足方程。
VLL ??^
^L
1L 3L
2L
平差值。
按条件平差求三内角的
观测，得：：对图中三个内角进行例
,048359,909078
,0221421
12
1
????????
????
oo
o
LL
L
的距离如下：高差观测值与水准路线
高差点的高程，观测了四段为了确定
为：为已知水准点，其高成：图中例
DCmH
mHBA
B
A
,,013.10
,013.12,,2
?
?
B
A
D
h1
h4
h2
h3
C
B
A
D
h1
h4
h2
h3
C
点高程的平差值。和求 DC
kmSmhkmSmh
kmSmhkmSmh
5.1,520.1,2,512.2
1,516.1,2,004.1
1433
2211
??????
??????
程的平差值。采用条件平差求各点高
，高差与测站数如图示，，点水准路线上有三个固定
点的高成为线，已知作业：一条闭合水准路
321
,330.16 mA
h1=+1.596m
n1=3
h2=-0.231m
n2=4
h3=+4.256m
n3=12
h4=-5.642m
n4=6
1
2
3
第二节 条件方程
一、水准网
tnrC
q
p
qpt
???
?
?
?
?
?
???
多余的独立起算数据
网点数
1
列条件的原则：
1、闭合水准路线
2、附合水准路线 包含的线路数最少为原则
停止 返回
h1
h7
h5
h6 h3
h4
h2
h8
A
O
D
CBB
A
F
G
E
D
C
h1
h6
h7
h2
h5 h4
h3
437
3317
??????
????
tnrC
t
0652
0)(457
0)(761
0)(321
~~~
~~~
~~~
~~~
???
?????
?????
?????
hhh
HHhhh
HHhhh
HHhhh
BD
AB
AC
448
415
??????
???
tnrC
t
0584
0423
0631
0756
~~~
~~~
~~~
~~~
???
???
???
???
hhh
hhh
hhh
hhh
停止
返回
二、测角网
tnrC
q
p
qpt
???
?
?
?
?
?
???
多余的独立起算数据
网点数
42
4个必要的起算数据为：
一个已知点（ 2个坐标）
一个方位（ 1个）
一个尺度（ 1个
两已知点（ 4个坐标）
停止 返回
列条件的原则：
将复杂图形分解成典型图形。
条件类型：图形条件、圆周条件,极条件、固定方位条
件、固定边长条件、固定坐标条件
三角形
大地四边形 中心多边形 扇形
停止 返回
123
243*2
???
???
r
t
448
444*2
???
???
r
t
2
81018
1047*2
??
???
???
k
r
t
1
5611
645*2
??
???
???
k
r
t
A
F
E
DC
B
G
1
6
543
2
11
10
9
8
7
22
2021
1918
17
16
15
14
13 12
S,T
第三节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
停止 返回
第四节 水准网平差示例
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条
件平差求各点的高称平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
HB=6.016
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
停止 返回
解：
1、列条件方程
437
3115
??????
????
tnrC
t
042
0763
0543
0521
~~
~~~
~~~
~~~
??
???
???
???
hh
hhh
hhh
hhh
0342
06763
08543
07521
???
????
????
????
vv
vvv
vvv
vvv
停止 返回
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0001010
1100100
0011100
0010011
A
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?
?
?
?
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3
6
8
7
W
2、定权
取 C=1，则：
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?? ?
6.2
4.1
4.2
7.2
3.2
7.1
1.1
1PQ
3、形成法方程 0
3
6
8
7
4
3
2
1
1.407.27.1
03.63.20
7.23.24.74.2
7.104.22.5
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
停止 返回
4、解算法方程
TTK ]4 5 6 8.14 4 1 4.04 0 2 8.12 2 2 6.0[ ????
5、计算改正数
)(]2.16.09.31.02.49.22.0[ mmV T???????
6、计算平差值
)(]5962.02374.06531.00119.13588.00119.23588.1[ mL T???
7、计算高程平差值
mLHH AP 3 7 4 8.311 ??? ? mLHH AP 0 2 7 9.722 ??? ?
mLHH BP 6 1 2 1.673 ??? ?
停止 返回
作业 1：
线号 高差（ m） 路线长度
（ km）
点号 高程（ m）
1 1.100 4 A 5.000
2 2.398 2 B 3.953
3 0.200 4 C 7.650
4 1.000 2
5 3.404 2
6 3.452 4
A
?
?
?
o
oo
B
C
1
2
3
4
5 6P1 P2
P3
如图所示的水准网,A,B,C已知水准点,P1,P3、
P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度
及观测高差列入下表
试用条件平差法求 P1,P3,P3点高程的平差值 。
第一节 间接平差原理
第二节 误差方程
第三节 精度评定
第四节 平差示例
第 五 章 间 接 平 差
停止 返回
第一节 间接平差原理
一、基础方程和它的解
lBxV ??
最小?PVV T
按函数极值的求法，极值函数：
m i n)()( ????? lBxPlBxPVV TT?
求其一阶偏导数，并令其为 0：
002 ?? PVBPBV TT
停止 返回
0)( ?? PlBxPBB TT
代入误差方程：
即为法方程式
PlBPBBx TT 1)( ?
?
?
停止 返回
二、间接平差法平差步骤
1、选择 t个独立的未知参数
2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。
3、形成法方程
4、求解法方程
5、计算改正数
6、精度评定
一、确定待定参数的个数
水准网 qpt ??? 1
测角网 qpt ??? 42
测边网
边角网 qpt ??? 32
第二节 误差方程
停止 返回
GPS网 33 ?? Pt
采用 GPS尺度与方位
73 ?? Pt 不采用 GPS尺度与方位
二、参数的选取
高程控制网：待定点的高程
平面控制网：待定点的二维坐标
三维控制网：待定点的三维坐标
停止 返回
三、误差方程的组成
1、水准路线的误差方程
i
j
Xi
Xj
hij
))(( 00 ijijijij XXhxxV ?????
当 i点已知时,))(( 0
ijijjij XXhxV ????
当 j点已知时,))(( 0
ijijiij XXhxV ?????
停止 返回
2、方向的误差方程
N 零方向
j
k
l
jkL
jlL
jX jY
kX kY
jZ
jZ
—— 定向角未知数
jX jY kX kY
设 j,k的坐标为未知参数：
即：零方向的方位角
jk的方位角为：
)( ~~
~~
~~~
jk
jk
jkjjk
XX
YYa r c t gLZ
?
?????
停止 返回
~~
~~
~~
~
)( jj
jk
jk
jk ZfZ
XX
YYa r c t gL ???
?
??
为非线性函数，要进行线性化。
对上式在初始近似值 0
jX 0jY 0kX 0kY 处进行
Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：
0
00
00
)(
j
Z
XX
YY
a r c t gx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
f
zVL
jk
jk
k
k
k
k
j
j
j
j
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?
?
?
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?
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?
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停止 返回
2
2
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jk
jk
jk
jk
j
XX
YY
XX
YY
X
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?
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jk
YYXX
YY
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jk
jk
jk
SS
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2
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停止 返回
2
2
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)(
)(
jk
jk
jk
jk
k
XX
YY
XX
YY
X
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?
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)(
jkjk
jk
YYXX
YY
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jk
jk
jk
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2
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停止 返回
2
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jk
jk
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XX
YY
XX
Y
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YYXX
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停止 返回
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jk
jk
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jk
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jk
jk
jk
SS
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停止 返回
0
00
00
)(0000
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j
Z
XX
YY
a r c t gx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
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zVL
jk
jk
kYX
k
kYX
k
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j
j
j
jjkjk
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0
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c o ss i n
c o ss i n
j
jkjk
jkjk
Z
XX
YY
a r c t gx
S
x
S
y
S
x
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jk
jk
k
jk
k
jk
j
jk
j
jk
jjkjk
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00
00
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0
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c o ss i n
c o ss i n
j
jkjk
jkjk
Z
XX
YY
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S
x
S
y
S
x
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zV
jk
jk
jkk
jk
k
jk
j
jk
j
jk
jjk
?
?
?
????
????
??
??
停止 返回
当 j点已知时：
0
00
00
0
0
0
0
)(
c oss i n
j
jkjk
Z
XX
YY
ar c t gL
x
S
x
S
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jk
jk
jk
k
jk
k
jk
jjk
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?
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??
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??
停止 返回
0
00
00
0
0
0
0
)(
c oss i n
j
jkjk
Z
XX
YY
a r c t gL
y
S
x
S
zV
jk
jk
jk
j
jk
j
jk
jjk
?
?
?
??
????
??当 k点已知时：
停止 返回
2、距离的误差方程
j
k
jkS
jX jY
kX kY
jX jY kX kY
设 j,k的坐标为未知参数：
jk的距离为：
2~~2~~~ )()( jkjkjk YYXXS ????
停止 返回
为非线性函数，要进行线性化。
对上式在初始近似值 0
jX 0jY 0kX 0kY 处进行
Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：
2
0~~
02
0~0~
)()( j
kjkk
k
k
k
j
j
j
j
jkjk
YYXXx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
f
VS
????
?
?
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?
?
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?
?
?
??
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
j
S
X
YYXX
XX
X
f
?c o s
)()(2
)(2
22
??
?
??
???
??
?
?
?
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
j
S
Y
YYXX
YY
Y
f
?s i n
)()(2
)(2
22
??
?
??
???
??
?
?
?
jk
jk
jkjk
jk
k
S
X
YYXX
XX
X
f
?c o s
)()(2
)(2
22
?
?
?
???
?
?
?
?
停止 返回
jk
jk
jkjk
jk
k
S
Y
YYXX
YY
Y
f
?s i n
)()(2
)(2
22
?
?
?
???
?
?
?
?
2
0~~
02
0~0~
)()(0000
0000
jkjkk
YX
k
kYX
k
jYX
j
jYX
j
jkjk
YYXXx
Y
f
x
X
f
y
Y
f
x
X
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VS
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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???
停止 返回
2
0~~
02
0~0~
0000
)()(
s i nc oss i nc os
jkjk
kkjjjkjk
YYXX
yxyxVS jkjkjkjk
????
?????? ????
jkjkjk
kkjjjk
SYYXX
yxyxV jkjkjkjk
?????
?????
2
0~~
02
0~0~
0000
)()(
s i nc o ss i nc o s ????
当 j点已知时：
停止 返回
jkjkjk
kkjk
SYYXX
yxV jkjk
?????
???
2
0~~
02
0~0~
00
)()(
s i nc os ??
当 k点已知时：
jkjkjk
jjjk
SYYXX
yxV jkjk
?????
???
2
0~~
02
0~0~
00
)()(
s i nc os ??
第三节 精度评定
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
一、计算单位权中误差
111
1
)()()(
)(
???
?
?
??
?
?? PBBPBBP Q P BBPBBQ
PlBPBBx
TTTT
xx
TT
停止 返回
测角网间接平差算例：
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
设有一测角三角网,A,B,C,D为已知点,P1,P2为待
定点，同精度观测了 18个角度，按间接平差求平差后 P1、
P2点的坐标及精度。已知数据见下表。
第四节 平差示例
停止 返回
点名 坐标（ m） 边长 方位角X（ m) Y（ m)
A 9684.28 43836.82
B 10649.55 31996.50 11879.60 274° 39’38.4"
C 19063.66 37818.86 10232.16 34° 40’56.3"
D 17814.63 49923.19 12168.60 95° 53’29.1"
A 10156.11 216° 49’06.5"角度
编号 观测值
角度
编号 观测值
角度
编号 观测值
1 126° 14’24.1" 7 22° 02’43.0" 13 46° 38’56.4"
2 23° 39’46.9" 8 130° 03’14.2" 14 66° 34’54.7"
3 30° 05’46.7" 9 27° 53’59.3" 15 66° 46’08.2"
4 117° 22’46.2" 10 65° 55’00.8" 16 29° 58’35.5"
5 31° 26’50.0" 11 67° 02’49.4" 17 120° 08’31.1"
6 31° 10’22.6" 12 47° 02’11.4" 18 29° 52’55.4"
停止 返回
解,n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14
设 P1,P2点的坐标作为未知参数 X1,Y1,X2,Y2，
根据前方交会可以求出 P1,P2的近似坐标：
mYmX
mYmX
97.3 7 3 3 461.1 3 1 8 8
97.3 7 3 3 461.1 3 1 8 8
0
2
0
2
0
1
0
1
??
??
根据角度的误差方程：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c oss i nc oss i n
)
c osc os
()
s i ns i n
(
jik
jik
i
ji
i
ji
k
jk
k
jk
j
jijk
j
jijk
jik
LL
y
S
x
S
x
S
x
S
y
SS
x
SS
V
jijijkjk
jijkjijk
??
????
????
????
????
停止 返回
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1.3
7.10
6.9
2.13
5.8
0.4
3.3
9.2
2.1
9.1
5.8
1.3
6.2
5.0
9.0
1.3
6.0
2.0
2
2
1
1
00.000.050.115.3
00.000.099.444.3
00.000.049.329.0
30.145.249.329.0
89.060.260.233.2
19.217.089.062.2
89.062.221.216.0
47.333.032.146.2
58.229.289.062.2
30.120.300.000.0
00.065.500.000.0
30.145.200.000.0
30.120.300.000.0
47.333.000.000.0
77.453.300.000.0
00.000.050.115.3
00.000.032.146.2
00.000.018.016.5
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
y
x
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V B x l
停止 返回
定权,P为单位阵，形成法方程为：
?
?
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???
???
???
????
07.30
11.120
81.178
52.43
2
2
1
1
63.6621.2042.896.6
21.2009.9695.645.11
42.895.651.7011.22
96.645.1111.2261.94
y
x
y
x
?
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2069.1
3208.2
1030.0
07.30
11.120
81.178
52.43
0169.00041.00023.00025.0
0041.00117.00024.00023.0
0032.00024.00161.00044.0
0025.00023.00044.00121.0
07.30
11.120
81.178
52.43
63.6621.2042.896.6
21.2009.9695.645.11
42.895.651.7011.22
96.645.1111.2261.94
2
2
1
1
1
y
x
y
x
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?
98.44 3 90
49.15 5 78
20.37 3 35
60.13 1 88
10/
53 4 8.0
20 6 9.1
32 0 8.2
10 3 0.0
03.44 3 91
61.15 5 78
97.37 3 34
61.13 1 88
2
2
1
1
Y
X
Y
X
停止 返回
精度评定：
"3.114 28.220 ??????? rPVV
T
?
dmx 14.00 1 2 1.03.11 ??????
dmy 16.00 1 6 1.03.11 ??????
dmx 14.00 1 1 7.03.12 ??????
dmy 17.00 1 6 9.03.12 ??????
dmp 21.016.014.0 221 ???????
dmp 22.017.014.0 222 ???????
停止 返回
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间
接平差求各点的高程平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
HB=6.016
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
解,1、列误差方程
n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4
703202101 hHXhHXhHX BAA ??????
设 P1,P2点的高程为未知参数 21 ?? XX 求相应的近似值
列误差方程：
022 ?? ?xv
011 ?? ?xv
8316 ???? ?? xxv
7215 ???? ?? xxv
037 ??? ?xv
413 ?? ?xv
324 ?? ?xv
h2
A
h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2
P3
B
写成矩阵的形式：
?
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0
2
7
3
4
0
0
100
101
011
010
001
010
001
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38.0
71.0
42.0
37.0
43.0
59.0
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42.1
05.4
59.0
09.1071.0
038.142.0
71.042.047.2
3
2
1
x
x
x
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100.1
860.2
258.0
1432.11055.03465.0
1055.07739.01619.0
3465.01619.05320.0
3
2
1
x
x
x
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027 9.7
374 8.6
3
2
1
X
X
X
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1.1
6.0
9.3
1.0
3.4
9.2
3.0
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
v
mmrPVV
T
2.24 75.190 ?????
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X
X
X
35.2143 2.1
9.1773 9.0
6.1532 0.0
0
0
0
3
2
1
?
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例：
线号 高差（ m） 路线长度
（ km）
点号 高程（ m）
1 1.652 4.5 A 34.788
2 -0.418 3.1 B 35.259
3 0.714 3.4 C 37.825
4 1.243 3.8
5 -0.577 4.2
6 -0.786 2.5
?B
?
?
o
oo
A
C
1
6
5
4
2 3P1 P2
P3
如图所示的水准网,A,B,C已知水准点,P1,P3、
P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度
及观测高差列入下表
试用间接平差法求 P1,P3,P3点高程的平差值估算精度 。
解,1、列误差方程
n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3
设 P1,P2,P3点的高程为未知参数 321 ??? XXX
求相应的近似值
列误差方程：
?B
?
?
o
oo
A
C
1
6
5
4
2 3P1 P2
P3
440.36652.1788.34101 ????? hHX A
973.35714.0259.35302 ????? hHX B
248.37577.0825.37503 ????? hHX C
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0
32
0
49
0
101
100
110
010
011
001
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
0
12.17
00.24
88.6
89.026.040.0
26.087.032.0
40.032.094.0
3
2
1
^^
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22
0
32
0
49
0
101
100
110
010
011
001
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
x
x
v
v
v
v
v
v
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40.0
00.023.0
00.000.026.0
00.000.000.029.0
00.000.000.000.032.0
00.000.000.000.000.022.0
称
对
P
mmWN
x
x
x
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1.17
6.19
9.7
12.17
00.24
88.6
9472.10136.11736.1
0136.18416.10582.1
1736.10582.19235.1
1
3
2
1
m
x
x
x
X
X
X
X
X
X
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2309.37
6626.35
4321.36
0171.0
0196.0
0079.0
248.37
973.35
440.36
3
^
2
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1
0
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0
1
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8.12
1.17
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6.19
5.21
9.7
6
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2
1
mmrPVV
T
67.43 54.650 ???????
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X
X
X
51.6947 2.1
34.6841 6.1
48.6923 5.1
0
0
0
3
2
1
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h
h
h
h
h
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?
?
?
?
?
?
?
?
7988.0
5941.0
2383.1
7336.0
4395.0
6441.1
1000/
8.12
1.17
7.4
6.19
5.21
9.7
786.0
577.0
243.1
714.0
418.0
652.1
6
^
5
^
4
^
3
^
2
^
1
^
第一节 基础方程和它的解
第二节 精度评定
第 六 章
附有参数的条件平差
停止 返回
一、测量平差方法回顾
（ 1） 条件平差法
011 ?? ??? cnnc WVA
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
条件方程个数 c。
停止 返回
KQAV T?
WA Q AKWKA Q A TT 1)(0 ????
在最小二乘原则下有：
r
PVV T?2
0?
VLL ???
（ 2） 间接平差法
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
设 t个相互独立的未知参数，则条件个数 c=n+t-t=n,
即 n个误差方程：
在最小二乘原则下有：
r
PVV T?2
0?
0)( ??
?
PlBxPBB TT PlBPBBx
TT 1)( ?? ?
1)( ??
?? PBBQ
T
xx
（ 3） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为 n,t为必要观测数，
则可列出 r=n-t个条件方程，现有增设了 u个独立量
作为参数，而 0<u<t，每增设一个参数应增加一个条
件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模
型，称为附有参数的条件平差法。
0
111
????
?
?
???? cuucnnc
WxBA
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了 u个独立参数，方程总数
由 r个增加到 c=r+u个，故平差的自由度为 r=c-u。
停止 返回
设定未知参数的目的：
（ 2）为了在条件平差过程中，直接估计一
些量以及其精度。如：
（ 1）为了方便列立条件。
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
如图：
246
4442
6
????
????
?
rc
t
n
条件平差：
1
2
3 4 5
6
其中：
?1 8 0
6321 ????
???? ????
其它条件如何列？
设未知参数 X1
1
2
3 4 5
6
X1
312
1
4442
6
????????
?
????
?
urtunc
u
t
n
1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
180
180
4161
1243
154
6321
?
?
?
???
????
????
????
???
????
???
???
??
????
X
X
X
?
?
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条
件进行线性化，可形成基础方程。
1
2
3 4 5
6
X1
X2422
2
???
?????
?
urtunc
u
1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
180
180
180
4161
1243
2162
154
6321
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????
???
????
????
????
????
???
????
???
???
??
??
????
X
X
XX
X
?
?
?
特点：方程中即有观
测量又有未知参数。
采用改正数表示。
二,基础方程和它的解
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ????? WBxVAKPVV TT?
TcbaT kkkK ][ ??
基础方程：
停止 返回
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
求其一阶偏导数，并令其为 0：
KQAKAPVKBKAPV
Bk
x
AKPV
V
TTTT
TTT
????
???
?
?
???
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?
10
02022
??
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?
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?
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???
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KQAV
KB
WxBAV
T
T
0
0
联立 0
0
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???
?
KB
WxBKA Q A
T
T
即为法方程式
停止 返回
将法方程写成矩阵的形式：
?
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0
00
1
1
W
B
BA Q A
x
K
QP
W
x
K
B
BA Q A
T
T
T
T
也可分别求解：
WNBNWNBBNBx
xBWNxBWAQ AK
aa
T
bbaa
T
aa
T
aa
T
11111
11
)(
)()()(
?????
?
?
?
?
?
??
????
??
?
?
??
??
xXX
xBWNQAV aaT
0
1 )(
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T???
0?
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
),( ??? ? XL?? 线性化：
???
?
?
?
?
??
?
??
?
?? XdFLdFXd
X
Ld
L
d TxT)???
T
xXX
T
xLX
T
xxXL
T
LL
T FQFFQFFQFFQFQ
?????????? ??????
四、附有参数的条件平差的计算步骤
1,根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小
于 t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数 r
与设定未知参数之和。
2,根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。
3,解算法方程，求出联系数 K与 x值。
4,将 K与 x值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值与
参数平差值。
5,精度评定。
6,为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差
值条件方程式，看其是否满足方程。
VLL ??^
^L
第一节 基础方程和它的解
第二节 精度评定
第 七 章
附有限制条件的间接平差
停止 返回
间接平差：观测数为 n，必要观测数为 t，多余观
测数 r=n-t，设 t个相互独立的未知参数，则条件个
数 c=n+t-t=n，即 n个误差方程：
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
0)( ??
?
PlBxPBB TT 0)( ?? PBBN Taa
从而可以唯一求出 ?x
一,基础方程和它的解
由于未知参数 u>t，则 u个未知参数间肯定存在 u-t个
函数关系，称为约束条件。
0)(
1),(
??
?
?
x
tu
111 ?
?
???
??
nuunn
lxBV
0)(
1),(
??
?
?
x
tu
联
合
基础方程
tus ??
最小?PVV T
基础方程线性化形式：
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2 ????
?
x
TT WxCKPVV
s?
停止 返回
111 ?
?
???
??
nuunn
lxBV
nnP?
求其一阶偏导数，并令其为 0：
0
022
??
???
?
?
?
s
s
KCPVB
CKPBV
x
TT
TT?
??
?
?
?
??
???
0
0
x
TTT
WCx
PlBKCP B xB s
法方程式
停止 返回
?
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???
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0
0
x
TT
bb
WxC
PlBKCxN s
0
0
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x
TT
bb
W
PlB
K
x
C
CN
s
写成矩阵形式：
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x
TT
bb
W
PlB
C
CN
K
x
s
1
0
)(
)()(
11
111
xbbcc
xbb
T
s
WWCNN
WWCNCCNK
bb
??
??
??
???
)(1 s
bb
KCPlBNx TT ?? ?
?
显式表示：
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T
??
?
0?
二、协因数阵
停止 返回
三、平差值函数的协因数
)( ?? ? X??
??
?
?
?
?
?? XdFXd
X
d T)??
FQFQ
XX
T
???? ???
四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤
1,根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与
限制条件。
2,根据观测值的权组成法方程式。
3,解算法方程，求出联系数 X与 K值。
4,将 K与 x值代入改正数方程式，求出 V值，并求出平差值与
参数平差值。
5,精度评定。
VLL ??^
^L
例：如图,A,B是已知的高程点,P1,P2,P3
是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间
接平差求各点的高程平差值。
路线号 观测高差 （ m） 路线长度 （ km） 已知高程（ m)
1 +1.359 1.1
HA=5.016
hAB=1.000
2 +2.009 1.7
3 +0.363 2.3
4 +1.012 2.7
5 +0.657 2.4
6 +0.238 1.4
7 -0.595 2.5
h2
A
P3h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2 B
解,1、列误差方程
n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4
7
0
1
0
4
2
0
3
1
0
2
hXX
hHX
hAHX
A
??
??
??
设 B,P1,P2,P3点的高程为未知参数
4321
???? XXXX相应的近似值
列误差方程：
101 ??? AHX
U=4,S=1
h2
A
P3h1
h3
h4
h5
h6
h7
P1
P2 B
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0
2
7
3
4
0
0
100
101
011
010
001
010
001
1
0
0
1
1
0
0
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
v
v
v
v
v
v
v
定权，取 C=1
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?
?
?
?
38.0
71.0
42.0
37.0
43.0
59.0
91.0
01 ??x限制条件：
?
?
?
?
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1.1
6.0
9.3
1.0
3.4
9.2
3.0
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
v
mmrPVV
T
2.24 75.190 ?????
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?
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?
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mm
mm
mm
X
X
X
35.2143 2.1
9.1773 9.0
6.1532 0.0
0
0
0
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
100.1
860.2
258.0
000.0
5
4
3
2
x
x
x
x
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
6121.6
0279.7
3748.6
6.0160
5.0160
4
3
2
1
X
X
X
X
H
A
第 八 章
概括平差函数模型
停止 返回
第二节 基础方程和它的解
第三节 精度评定
第一节 概述
一、平差模型的回顾
（ 1）条件平差法
011 ?? ??? cnnc WVA
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
条件方程个数 c。
停止 返回
0)(
~
?LF
（ 2） 间接平差法
111 ?
?
???
??
nttnn
lxBV
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
设 t个相互独立的未知参数，则条件个数 c=n+t-t=n,
即 n个误差方程：
)(
~~
XFL ?
（ 3） 附有参数的条件平差法
观测值个数为 n,t为必要观测数，则可列出 r=n-t个
条件方程，现有 u个独立量作为参数，而 0<u<t，方
程总数 c=r+u个。
0),( ~~ ?XLF
停止 返回
（ 4）附有限制条件的间接平差法
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测数 r=n-t，
现有 u个参数 u>t，包含 t个独立参数，则条件个数
r+u,其中，有 s个限制条件：
0)( ~ ?? X
)(
~~
XFL ?
二、条件方程式形式
停止 返回
0),( ~~ ?XLF
0)( ~ ?? X
)(
~~
XFL ?
0)( ~ ?LF
一般条件方程式,用 C表
示个数
限制条件式
（ 1）条件平差法,
停止 返回
（ 2） 间接平差法,
rtncu ????,0
nttnurctu ???????,
（ 3） 附有参数的条件平差法
（ 4）附有限制条件的间接平差法
urctu ???,
nsurcscurtu ????????,,
三、概括平差模型的引入
停止 返回
对于一个几何模型，独立参数的个数 u 满足,
0?u tu ??0 tu ?
tu ??0
条件平差 间接平差
附有参数的条件
平差
停止 返回
对于一个几何模型，可选参数的个数 u：
tu ? 0?u tu ?
tu ?
相关
包含独立参
数数 <t
包含独立参
数数 =t
附有限制条件
的间接平差
概括平差
观测数为 n，必要观测数为 t，多余观测
数 r=n-t，现有 u个参数，则条件个数 r+u,
其中，设 u 个参数中其中可以形成 s个限
制条件，一般条件个数为,c=r+u-s:
四、概括平差模型
0),(
~~
1,
?XLF
c
0)(
~
1,
?? X
s
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
停止 返回
线性化
c+s=r+u
一、基础方程,
第二节 基础方程和它的解
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
条件平差
011 ?? ??? rnnr WVA
最小?PVV T
rc ?0?u
0
0
?
?
C
B
间接平差
0
111
???
?
?
??? nttnn
WxBV
最小?PVV T
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
ntr
surc
???
???
独立
tu ?
0?
??
C
IA
附有参数的
条件平差
最小?PVV T
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
ur
surc
??
???
独立
tu ?0?C
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
surc ???包含
t 个
独立
tu ?
IA ??
附有限制
条件的间
接平差
0
111
???
?
?
??? nuunn
WxBV
最小?PVV T
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
二、基础方程的解,
0
111
???
?
?
???? cuucnnc
WxBVA
0
11
??
??
?
? s xuus
WxC
最小?PVV T
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
m i n)(2)(2 ???????
??
x
TTT WxCKWxBVAKPVV
s?
0
022022
???
????
?
?
???
?
?
?
s
TTT
T
s
TTT
KCKBKAPV
CKBK
x
AKPV
V
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
??
?
?
0
0
0
0
x
s
TT
T
WxC
KCKB
WxBAV
KAPV
KQAV T? 代入第二式得：
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
0
0
0
x
s
TT
T
WxC
KCKB
WxBKA Q A
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
0
0
0
x
s
TT
aa
WxC
KCKB
WxBKN
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
0
0
0
x
s
TT
aa
WxC
KCKB
WxBKN
式：代入 2)(1 ?? ?? xBWNK aa
011 ??? ?
??
WNBKCxBNB aaTsTaaT
)(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
0)(1 ???? xesT WWKCCN bb
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa
)(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
rc ?0?u
0
0
?
?
C
B
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
条件平差
WNK aa1??
ntr
surc
???
???
独立
tu ?
0?
??
C
IA
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
间接平差 PQAQ AN T
aa ???
??? 111 )()(
)()(
)()(
1
111
WPBBPB
WNBKCBNBx
TT
aa
T
s
T
aa
T
?
???
?
?
??
附有参数的
条件平差
ur
surc
??
???
独立
tu ?0?C
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
WNBNWNBBNBx
xBWNxBWAQ AK
aa
T
bbaa
T
aa
T
aa
T
11111
11
)(
)()()(
?????
?
?
?
?
?
??
????
surc ???包含
t 个
独立
tu ?
IA ??
)(
)()(
11
111
excc
ex
T
s
WCNWN
WCNWCCNK
bb
bbbb
??
???
??
??
)(1 ?? ?? xBWNK aa )(
)()(
1
111
es
T
aa
T
s
T
aa
T
WKCN
WNBKCBNBx
bb
??
??
?
???
?
附有限制条件的
间接平差
)(
)()(
11
111
WCNWN
WCNWCCNK
bbxcc
bbx
T
s bb
??
???
??
??
)(1 sbb KCPWBNx TT ?? ??
PN aa ??1
第三节 精度评定
一、计算单位权中误差
r
PVV T
??
?
0?
二、协因数阵
停止 返回
第九章 误差椭圆
第一节 概述
第二节 点位误差
停止 返回
第三节 误差曲线
A
),( ~~ yxP
),(' yxP
x?
yo
x y?
P?
s?
u?第一节：概述
),( ~~ yxP 真位置
平差后
位置
),(' yxP
yyy
xxx
???
???
~
~
222 yxP ?????
][])[(]))([(
][])[(]))([(
22
~
22
22
~
22
yEyyEyEyE
xExxExExE
y
x
??????
??????
?
?
点位真位差
222 yxP ?????对 两边取数学期望：
22222 )()()( yxyExEPE ?? ??????? 点位方差
222 yxp ??? ??
)','(' yxP
A
)','( ~~ yxP
x'?
yo
x y'?
P?
s?
u?
X/
y/
222 '' yxP ?????
同理：
2
'
2
'
2
yxp ??? ??
?点位中误差与坐标系的选
择无关。
222 usp ??? ??
称为横向（中）误差
称为纵向（中）误差
u
s
?
?
第二节 点位误差
一,点位误差的计算
)(202020222 yyxxyyxxyxp QQQQ ?????? ??????
在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：
T
uu YXYXYXX ??
?
??
?? ??????? ??
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
??
uuuuiuiuuu
u
uuuiuiuuu
uiuiiiiiii
u
iuiiiiiii
uuii
u
uii
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXYX
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXXX
YYXYYYXYYYXY
YXXXYXXXYXXX
XX
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
Q
??
??
????????
??
??
????????
??
??
111
11
11
11
11111111
11111111
)(
)(
)(
2
0
2
^
2
0
2
^
2
0
2
^
iiiiP
iiiY
iiiX
YYXX
YY
XX
Q
Q
????
???
???
??
??
?
?
?
?
??
??
??
测角网间接平差算例：
A
B D
C
1
2
3 4
5
6
7
8 9
12
11
10
1314
1516
1718
P2
P1
设有一测角三角网,A,B,C,D为已知点,P1,P2为待
定点，同精度观测了 18个角度，按间接平差求平差后 P1、
P2点的点位精度。
停止 返回
平差得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 1 69.00 0 41.00 0 23.00 0 25.0
0 0 41.00 1 17.00 0 24.00 0 23.0
0 0 32.00 0 24.00 1 61.00 0 44.0
0 0 25.00 0 23.00 0 44.00 1 21.0
XX
Q
停止 返回
"3.114 28.220 ??????
?
r
PVV T?
dmx 14.00 1 2 1.03.11 ??????
dmy 16.00 1 6 1.03.11 ??????
dmx 14.00 1 1 7.03.12 ??????
dmy 17.00 1 6 9.03.12 ??????
dmp 21.016.014.0 221 ???????
dmp 22.017.014.0 222 ???????
停止 返回
p??
y
p?x
x?
p p?
??
?
?
y?二、任意方向的位差
??
?
s inc o s yx
pppp
????
??????????
)2s i n (s i nc o s( 2220
2
0
2
????
?? ???
xyyyxx QQQ
Q
??
??
x
E
y
F
O
? P
第三节 误差曲线
y
x E
P
D
F
o
?
E?
第四节 误差椭圆
