第七章 铸造成型 CAD
7-1 铸造成型工艺 CAD
7-1-1 基于三维造型的 CAD技术
? 采用三维造型技术的目的：使工艺设计更加接近生产实际，
为优化铸件成型工艺提供数据。
? 铸件结构参数化
参数化含义：将铸件结构中的尺寸定义为参数（变量），通
过改变部分或全部参数来改变铸件的结构或大小。
例如：铸造齿轮结构的参数化
a） b）
参数化齿轮生成示例
a) 单辐板、三肋、三园孔齿轮
b) 双辐板、无肋、五腰园孔齿轮
? 三维实体造型的 构造组合形体法（ CSG）
仍以齿轮铸件为例：
7-1-2 基于三维参数化造型技术的铸造工艺 CAD
主要研究内容：
? 分型面的选择
分型面：打开铸型
取出铸件的面。
? 冒口的设计
冒口的主要作用是在铸件成型过程中提供由于液固体积
变化而需补偿的金属液，以防止铸件内部出现收缩类型的缺
陷。
? 冷铁的设计
冷铁的作用与冒口类似。合理的使用冷铁能达到控制铸件凝固
方向和凝固条件，改善铸件组织，减少冒口个数或减小冒口尺寸之
目的。
例如：圆柱形和板形外冷铁的结构设计
冷铁
结构
直径或厚度 长度 L 间距
圆柱
形
D<25
D=25~45
100~150
100~200
12~20
20~30
板形 B<10
B=10~25
B=25~70
100~150
150~200
200~300
6~10
10~20
20~30
D
L
B L
? 浇注系统的设计
浇注系统是引导金属液进入铸型的一系列通道的总称，由浇
口杯、直浇道、横浇道和内浇道构成。
7-2 铸造成型过程数值模拟
7-2-1 铸造成型过程数值模拟研究目的及内容
（ 1）研究目的
在计算机虚拟的环境下，通过人机交互方式，制定和优化
铸造工艺，以减少现场试验次数，提高一次性产品合格率。
数值模拟：用数学的方法描述和研究对象的行为与过程，
并在计算机上仿真研究结果，分析影响因素，预测进展或趋势。
（ 2）研究内容
? 温度场模拟
? 流动场模拟
? 多物理场模拟（如，流动与传热）
? 应力场模拟
? 组织模拟
? 其他过程模拟
7-2-2 传热凝固分析
(1)数学模型 (Mathematics Model)
?傅立叶定律 (Fourier Law)
单位时间内，由热传导而通过单位面积的热量与温度梯度成
正比。
d x d y d z
dzdydx
则体积为
，，设：微元边长为
如图所示，
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T
T
z
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T
T
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＋
＋
＋
而流出的热量为
热量为定律，流入此微元体的根据
拉普拉斯算子式中
有
导温系数令
得
中，代入式和、将式
式中
－即
＝流入热量－流出热量微元体内蓄热量的增加
源，根据能量守恒定律再假设微元体中无类热
出入
)64(
T
)54( )(
T
)33()43()23()13(
)44(
T
Q
)34( QQQ
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
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2
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物体被冷却
物体温度恒定
物体被加热
意义为：拟的数学模型，其物理即为铸件温度场数值模式
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T
0 0
T
0 0
T
)63(
2
2
2
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????
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T
t
T
t
T
t
(2) 数值求解
常用数值求解方法：
有限差分法，有限元法，直接差分法，边界元法等。
? 有限差分 (Finite Difference)法求解一维温度场问题举例
一维温度场问题
2
2T
x
T
t ?
??
?
? ?
求解思路,
? 将求解问题的时间和空间离散，组成节点有限的等距网格单元；
? 分别在第 i 个单元的节点上建立时间和空间的泰勒展开式，并忽略
高次项；
? 将该泰勒展开式改写成差分迭代通式；
? 求解此差分迭代通式。
)(
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T
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T
)(
T
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i
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tt
i
tt
i11
112
tt
i
略改良欧拉法
的联立方程。
，，，
，必须求解涉及数值不能直接求特点：
差分法隐式后推
值。之后的已知，即可求得，，只要特点：
差分法显式前进
差分通式一维温度场问题的有限按照求解思路整理得到
?
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t
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t
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t
i
t
i
t
i
t
i
?
?
(3) 初始条件 (Initial Condition)
通常是指起始时间 (t=0)对应的温度值。这里是指液态金
属刚浇注完毕那一瞬间的温度值。
),,(|T
),,(|T
0
0
m o l d
0
0
c a s t
zyxf
zyxf
mt
ct
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?
?
?
铸型部分
铸件部分
温度。定义为浇注前铸型实际
，等于或略小于浇注温度取
式中：
，
瞬间充型，温度均布
特例：
2
1
2
0
1
0
T T
C
C
CC
m o ldc a s t
??
?
内浇口处铸型最高温度
铸型浇注前的温度
的距离铸件最远端到距内浇口
铸件最低温度
浇注温度式中
则
方向的温度梯度在一个沿液态金属流动假设在铸件、铸型中存
T
])([
1
m a x_
m i n_
m a x_
0
m i n_0
m o l d
a
c a s t
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c a sp
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T
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T
T
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L
T
x
L
TT
TT
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?
??
?
动态数值求解法
将前一时刻的求解结果作为下一时刻的初始值。
现场试验采集数据
?
?
(4) 边界条件 (Boundary Condition)
物体边界上的传热条件。
的边界条件。上式即为一维传热分析
方程可以表示为则边界单位面积上传热
如果令微元厚度
物体边界处存在
0
0
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x
T
q
x
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touttint
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(5) 结晶潜热 (Latent Heat)的处理
一维问题的结晶潜热
体积固化百分比
结晶潜热式中
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s
s
p
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L
t
g
L
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T
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T
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?
???
潜热的实际处理方法
? 等价比热 (Equivalent specific heat)法
温度场分布。
的进而可求得一维凝固时等价比热，可以测定，式中
)10-(4
)(
pe
SL
L
ppe
c
TT
TTL
cc
?
?
??
? 温度回复 (Temperature Recovery)法
平衡结晶时，液态金属释放的潜热会使固相温度回升，
因此有
量，可测。体积固化百分比的增加式中
)114( /
s
ps
g
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?
????
? 热焓 (Enthalpy)法
)124(
0
?? ?
T
T
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即：用金属结晶前后的自由焓变化来表示潜热。
7-2-3 流动充型分析
(1)数学模型
一般情况下, 铸造过程中, 液态金属的流动属于带自由表面,
粘性, 不可压缩, 非稳态流动 。 此流动满足动量守恒和质量守恒
定理 。 因此有：
动量守恒方程 (Navier-Stoks方程 )
)(
1
)134( )(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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y
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质量守恒方程（连续性方程）
上的分量、、重力加速度在、、
流体压强
流体运动粘度
流体密度
上的分量、、流速矢量在、、式中
zyxggg
p
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z
w
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v
x
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单元总体积
单元内流体的体积
体积函数式中
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F
)154( 0
如果采用 SOLA-VOF方法描述流体自由表面的运动，则
需考虑求解体积方程：
求解式 (7-13)和 (7-14)可得液态金属流场的速度和压
强在时间和空间上的变化情况，而求解 (7-15)可得流场的自
由表面运动情况。
(2) 数学模型的数值求解
? 数值求解思路
将描述求解对象 (连续场 )的偏微分方程组在空间和时间上进行
分割处理，以形成有限个相对独立的含有空间和时间等物理信息的
微元体；然后针对每个微元体建立其物理量的标量表达式并进行求
解计算，最后将所有微元体的求解结果按时间序列关联起来作为整
个目标对象的求解结果。
? 数值求解的目的：
将对复杂偏微分方程组的求解转化成对代数方程组 (矩阵 )的求
解，以降低解题难度。
? 动量方程、质量方程和体积函数的离散 (教材 P65)
? 数值求解的初始条件
初始速度（浇口处熔体的初始速度）
初始压强（浇口处熔体的初始压强。即熔体刚进入型腔的瞬间
压强）
? 数值求解的边界条件
速度边界条件
压强边界条件
熔体前沿自由表面的速度和压强
7-2-4 铸件成型过程流体场与温度场的偶合
液态金属的流动状态与温度有关。
(1) 数学模型
)184(
)174( 0
)164(
2
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?
?
???
??????
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t
T
c
v
gpv
Dt
Dv
pp
???
???
能量守恒方程
程）质量守恒方程（连续方
动量守恒方程
q
g
v
c
p
积的热流量）热流密度（流过单位面
重力加速度
熔体速度
定压比热容式中
?
动量守恒方程反映了温度对熔体密度的影响。
(2) 离散求解（略）
(3) 初始条件和边界条件
在速度和压强的初始条件 /边界条件的基础上，增加一
个温度初始条件 /边界条件即可。
7-2-5 铸件热裂的数值模拟
铸件热裂：铸件在凝固过程中产生裂纹的现象。
热裂产生的主要原因：铸件凝固后期，因补缩受阻，使得枝
晶根部残留液膜在应力和应变作用下，与固相分离而引发裂纹。
热裂特征及影响因素
? 热裂产生于准固相区靠近固相线的一定温度范围内
在这个区域内，已结晶的固相强度极低，一旦应力超过某
一值，便会引起裂纹。
? 热裂一般发生在收缩受阻的热节处
如图，如果铸件凝固过程中能自由伸缩，则不会形成裂纹。
铸件壁厚不均匀、结构过于复杂，以及浇注系统、铸型、型芯
和保温条件等均可影响自由伸缩。
热节
铸件
在数值模拟的基础上得到的铸件热裂判据
)194(
1/
1/
2/3
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W
W
WC
WCW
WCW
LLG
RCT
K
K
K
KK
KK
的能力铸件实际抵抗热裂形成
界值铸件抵抗热裂形成的临
式中
不产生热裂
产生热裂
胀系数时刻铸件、铸型的线膨，
时刻的温度变化在单元
的长度单元
线膨胀系数
铸件、铸型，
，
，
)(
)(
)(
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1
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的形变模量铸型单元在相应温度下
铸型单元长度
能力铸型对铸件收缩的阻碍铸型柔度
铸件热节处的折算厚度
梯度凝固结束前的铸件温度
)(
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)(
)(
G
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TE
l
C
C
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j
j
n
j j
j
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?
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7-2-5 铸件结晶组织分析
(1)确定模型数值方法 (deterministic modeling)
确定模型建立在给定时刻、一定体积熔体内晶粒的形核密
度和生长速率是某一函数之确定值基础上的。该函数可以通过
试验获得（如，观察各种冷却速度下的凝固试样截面组织，测
量其冷却曲线和晶粒密度等）。
确定模型示意图
在宏观尺度下，熔体的能量守恒方程为
)224(
)214(
2
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T
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熔体导热率
铸件温度场
式中
?
??
?
力学。固过程的形核和生长动的计算主要基于铸件凝和
晶粒半径
体积结晶密度
式中
相分数为的条件下，局部平均固及凝固时间在给定微元
固相分数
结晶潜热
),(),(
),(
),(
)234( ),(),(
3
4
),(
t v
13
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txR
txN
vtxRtxNlxf
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L
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?
?
确定模型的局限性
? 无法模拟晶粒生长的随机性（如，随机形核分布、随
机晶粒取向等）；
? 无法确定柱状晶与等轴晶之间的相互转变过程；
? 无法预测每个晶粒的具体形貌。
(2) 随机模型数值方法 (stochastic modeling)
随机模型利用概率方法研究晶粒的形核和长大，包括形
核位置的随机分布和晶粒晶向的随机取向等。
? Monte Carlo法
基本思路：给网格中的某个节点 i 赋予一个正整数 Pi，假
设初始化时 Pi=0（表示液态）；当凝固温度低于合金液相线
时，分别按式 (7-24)和 (7-25)计算节点 i 的形核概率和长大
概率。
。的正整数，表示晶向值到一个从此外，可随机赋予
为随机数发生器。其中，
对应的单元凝固。，则节点若
核数目时刻内单元体积熔体形到
每个网格单元的体积
的形核概率时刻内节点到
式中
QP
nn
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V
itttttP
NVttP
i
n
m
n
mn
1
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)(
)(
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???
???
????
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波尔兹曼常数
变化不同界面造成的界面能
由能变化由过冷度决定的体积自
由能变化熔体凝固过程中总的自
式中
其长大概率为
原则依附长大，单元，按照界面能最小具有不同晶向值的相邻
)254(
0
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)(
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F
F
FFF
F
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???
? Cellular Automata法
基于 Cellular Automata法的数值模型特点：
? 非自发形核和生长、新晶核随机取向等问题在 CA模型中均
有所体现；
? 算法上，首先用较粗的网格计算凝固区的温度场；然后，在
此网格内进一步细分单元，形成更均匀的节点；最后，在节点
上采用 CA模型进行形核和生长计算；
? 所有节点在凝固前均为液态,Pi=0；如果在一定时间内，
过冷度满足形核条件，则单元内的某些节点形核，其对应标志
Pi设置为正整数（表示新晶核的晶向值）。
(3) 相场模型数值方法 (phase-field modeling)
特点,用微分方程反映扩散、有序化势和热力学驱动力的综
合作用。其方程解可以描述铸件凝固过程中液固界面的形态、
曲率及界面移动。
把相场方程与温度场、溶质场、流速场及其他外部场偶
合，则可对金属液的凝固过程进行真实的模拟。
铸造成型过程数值模拟举例
利用压铸充型过程模拟，优
化浇筑系统
因轮辐温度较高产生应变，致使铸造的
车轮在冷却中变形
砂铸中充型过程中热和流动的耦
合计算模拟
铸件顶出后型腔和铝铸件的温度分布
7-1 铸造成型工艺 CAD
7-1-1 基于三维造型的 CAD技术
? 采用三维造型技术的目的：使工艺设计更加接近生产实际，
为优化铸件成型工艺提供数据。
? 铸件结构参数化
参数化含义：将铸件结构中的尺寸定义为参数（变量），通
过改变部分或全部参数来改变铸件的结构或大小。
例如：铸造齿轮结构的参数化
a） b）
参数化齿轮生成示例
a) 单辐板、三肋、三园孔齿轮
b) 双辐板、无肋、五腰园孔齿轮
? 三维实体造型的 构造组合形体法（ CSG）
仍以齿轮铸件为例：
7-1-2 基于三维参数化造型技术的铸造工艺 CAD
主要研究内容：
? 分型面的选择
分型面：打开铸型
取出铸件的面。
? 冒口的设计
冒口的主要作用是在铸件成型过程中提供由于液固体积
变化而需补偿的金属液，以防止铸件内部出现收缩类型的缺
陷。
? 冷铁的设计
冷铁的作用与冒口类似。合理的使用冷铁能达到控制铸件凝固
方向和凝固条件，改善铸件组织，减少冒口个数或减小冒口尺寸之
目的。
例如：圆柱形和板形外冷铁的结构设计
冷铁
结构
直径或厚度 长度 L 间距
圆柱
形
D<25
D=25~45
100~150
100~200
12~20
20~30
板形 B<10
B=10~25
B=25~70
100~150
150~200
200~300
6~10
10~20
20~30
D
L
B L
? 浇注系统的设计
浇注系统是引导金属液进入铸型的一系列通道的总称，由浇
口杯、直浇道、横浇道和内浇道构成。
7-2 铸造成型过程数值模拟
7-2-1 铸造成型过程数值模拟研究目的及内容
（ 1）研究目的
在计算机虚拟的环境下，通过人机交互方式，制定和优化
铸造工艺，以减少现场试验次数，提高一次性产品合格率。
数值模拟：用数学的方法描述和研究对象的行为与过程，
并在计算机上仿真研究结果，分析影响因素，预测进展或趋势。
（ 2）研究内容
? 温度场模拟
? 流动场模拟
? 多物理场模拟（如，流动与传热）
? 应力场模拟
? 组织模拟
? 其他过程模拟
7-2-2 传热凝固分析
(1)数学模型 (Mathematics Model)
?傅立叶定律 (Fourier Law)
单位时间内，由热传导而通过单位面积的热量与温度梯度成
正比。
d x d y d z
dzdydx
则体积为
，，设：微元边长为
如图所示，
d xd ydz
z
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热量为定律，流入此微元体的根据
拉普拉斯算子式中
有
导温系数令
得
中，代入式和、将式
式中
－即
＝流入热量－流出热量微元体内蓄热量的增加
源，根据能量守恒定律再假设微元体中无类热
出入
)64(
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??
?
物体被冷却
物体温度恒定
物体被加热
意义为：拟的数学模型，其物理即为铸件温度场数值模式
0 0
T
0 0
T
0 0
T
)63(
2
2
2
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?
????
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T
t
T
t
T
t
(2) 数值求解
常用数值求解方法：
有限差分法，有限元法，直接差分法，边界元法等。
? 有限差分 (Finite Difference)法求解一维温度场问题举例
一维温度场问题
2
2T
x
T
t ?
??
?
? ?
求解思路,
? 将求解问题的时间和空间离散，组成节点有限的等距网格单元；
? 分别在第 i 个单元的节点上建立时间和空间的泰勒展开式，并忽略
高次项；
? 将该泰勒展开式改写成差分迭代通式；
? 求解此差分迭代通式。
)(
) 3 2 1( T
T
)84( )2(
T
)(
T
)74( )2(T
)(
tt
k
tt
i
112
tt
i
tt
i11
112
tt
i
略改良欧拉法
的联立方程。
，，，
，必须求解涉及数值不能直接求特点：
差分法隐式后推
值。之后的已知，即可求得，，只要特点：
差分法显式前进
差分通式一维温度场问题的有限按照求解思路整理得到
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???
???
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t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
?
?
(3) 初始条件 (Initial Condition)
通常是指起始时间 (t=0)对应的温度值。这里是指液态金
属刚浇注完毕那一瞬间的温度值。
),,(|T
),,(|T
0
0
m o l d
0
0
c a s t
zyxf
zyxf
mt
ct
?
?
?
?
铸型部分
铸件部分
温度。定义为浇注前铸型实际
，等于或略小于浇注温度取
式中：
，
瞬间充型，温度均布
特例：
2
1
2
0
1
0
T T
C
C
CC
m o ldc a s t
??
?
内浇口处铸型最高温度
铸型浇注前的温度
的距离铸件最远端到距内浇口
铸件最低温度
浇注温度式中
则
方向的温度梯度在一个沿液态金属流动假设在铸件、铸型中存
T
])([
1
m a x_
m i n_
m a x_
0
m i n_0
m o l d
a
c a s t
p
m o l dam o l d
c a sp
pc a s t
T
L
T
T
TxLT
L
T
x
L
TT
TT
???
?
??
?
动态数值求解法
将前一时刻的求解结果作为下一时刻的初始值。
现场试验采集数据
?
?
(4) 边界条件 (Boundary Condition)
物体边界上的传热条件。
的边界条件。上式即为一维传热分析
方程可以表示为则边界单位面积上传热
如果令微元厚度
物体边界处存在
0
0
?
?
?
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??
?????
???
x
T
q
x
QQQ
s
touttint
?
?
(5) 结晶潜热 (Latent Heat)的处理
一维问题的结晶潜热
体积固化百分比
结晶潜热式中
)94( )(
s
s
p
g
L
t
g
L
x
T
xt
T
c ?
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?
???
潜热的实际处理方法
? 等价比热 (Equivalent specific heat)法
温度场分布。
的进而可求得一维凝固时等价比热，可以测定，式中
)10-(4
)(
pe
SL
L
ppe
c
TT
TTL
cc
?
?
??
? 温度回复 (Temperature Recovery)法
平衡结晶时，液态金属释放的潜热会使固相温度回升，
因此有
量，可测。体积固化百分比的增加式中
)114( /
s
ps
g
LTcg
?
????
? 热焓 (Enthalpy)法
)124(
0
?? ?
T
T
p dTcH
即：用金属结晶前后的自由焓变化来表示潜热。
7-2-3 流动充型分析
(1)数学模型
一般情况下, 铸造过程中, 液态金属的流动属于带自由表面,
粘性, 不可压缩, 非稳态流动 。 此流动满足动量守恒和质量守恒
定理 。 因此有：
动量守恒方程 (Navier-Stoks方程 )
)(
1
)134( )(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
g
z
p
z
w
w
y
w
w
x
w
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t
w
z
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质量守恒方程（连续性方程）
上的分量、、重力加速度在、、
流体压强
流体运动粘度
流体密度
上的分量、、流速矢量在、、式中
zyxggg
p
zyxwvu
z
w
y
v
x
u
zyx
)144( 0
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单元总体积
单元内流体的体积
体积函数式中
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?
F
F
z
F
w
y
F
v
x
F
u
t
F
)154( 0
如果采用 SOLA-VOF方法描述流体自由表面的运动，则
需考虑求解体积方程：
求解式 (7-13)和 (7-14)可得液态金属流场的速度和压
强在时间和空间上的变化情况，而求解 (7-15)可得流场的自
由表面运动情况。
(2) 数学模型的数值求解
? 数值求解思路
将描述求解对象 (连续场 )的偏微分方程组在空间和时间上进行
分割处理，以形成有限个相对独立的含有空间和时间等物理信息的
微元体；然后针对每个微元体建立其物理量的标量表达式并进行求
解计算，最后将所有微元体的求解结果按时间序列关联起来作为整
个目标对象的求解结果。
? 数值求解的目的：
将对复杂偏微分方程组的求解转化成对代数方程组 (矩阵 )的求
解，以降低解题难度。
? 动量方程、质量方程和体积函数的离散 (教材 P65)
? 数值求解的初始条件
初始速度（浇口处熔体的初始速度）
初始压强（浇口处熔体的初始压强。即熔体刚进入型腔的瞬间
压强）
? 数值求解的边界条件
速度边界条件
压强边界条件
熔体前沿自由表面的速度和压强
7-2-4 铸件成型过程流体场与温度场的偶合
液态金属的流动状态与温度有关。
(1) 数学模型
)184(
)174( 0
)164(
2
??????
?
?
???
??????
qTvc
t
T
c
v
gpv
Dt
Dv
pp
???
???
能量守恒方程
程）质量守恒方程（连续方
动量守恒方程
q
g
v
c
p
积的热流量）热流密度（流过单位面
重力加速度
熔体速度
定压比热容式中
?
动量守恒方程反映了温度对熔体密度的影响。
(2) 离散求解（略）
(3) 初始条件和边界条件
在速度和压强的初始条件 /边界条件的基础上，增加一
个温度初始条件 /边界条件即可。
7-2-5 铸件热裂的数值模拟
铸件热裂：铸件在凝固过程中产生裂纹的现象。
热裂产生的主要原因：铸件凝固后期，因补缩受阻，使得枝
晶根部残留液膜在应力和应变作用下，与固相分离而引发裂纹。
热裂特征及影响因素
? 热裂产生于准固相区靠近固相线的一定温度范围内
在这个区域内，已结晶的固相强度极低，一旦应力超过某
一值，便会引起裂纹。
? 热裂一般发生在收缩受阻的热节处
如图，如果铸件凝固过程中能自由伸缩，则不会形成裂纹。
铸件壁厚不均匀、结构过于复杂，以及浇注系统、铸型、型芯
和保温条件等均可影响自由伸缩。
热节
铸件
在数值模拟的基础上得到的铸件热裂判据
)194(
1/
1/
2/3
??
?
?
mcs
m
W
W
WC
WCW
WCW
LLG
RCT
K
K
K
KK
KK
的能力铸件实际抵抗热裂形成
界值铸件抵抗热裂形成的临
式中
不产生热裂
产生热裂
胀系数时刻铸件、铸型的线膨，
时刻的温度变化在单元
的长度单元
线膨胀系数
铸件、铸型，
，
，
)(
)(
)(
2
1
11
11
ill
ijT
jl
Ta
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lTTallL
lTTallL
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i
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j
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j
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j
jjc
i
c
m
i
i
cc
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?????
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??
??
??
的形变模量铸型单元在相应温度下
铸型单元长度
能力铸型对铸件收缩的阻碍铸型柔度
铸件热节处的折算厚度
梯度凝固结束前的铸件温度
)(
)204(
)(
)(
G
2
1
s
TE
l
TE
l
C
C
R
j
j
n
j j
j
m
m
?
?
?
? ?
?
7-2-5 铸件结晶组织分析
(1)确定模型数值方法 (deterministic modeling)
确定模型建立在给定时刻、一定体积熔体内晶粒的形核密
度和生长速率是某一函数之确定值基础上的。该函数可以通过
试验获得（如，观察各种冷却速度下的凝固试样截面组织，测
量其冷却曲线和晶粒密度等）。
确定模型示意图
在宏观尺度下，熔体的能量守恒方程为
)224(
)214(
2
?
?
?
?
????
?
?
t
f
LQ
Q
c
T
c
Q
T
ct
T
s
p
pp
与相变有关的源项
熔体定压比热容
熔体导热率
铸件温度场
式中
?
??
?
力学。固过程的形核和生长动的计算主要基于铸件凝和
晶粒半径
体积结晶密度
式中
相分数为的条件下，局部平均固及凝固时间在给定微元
固相分数
结晶潜热
),(),(
),(
),(
)234( ),(),(
3
4
),(
t v
13
txRtxN
txR
txN
vtxRtxNlxf
f
L
s
s
??
?
?
确定模型的局限性
? 无法模拟晶粒生长的随机性（如，随机形核分布、随
机晶粒取向等）；
? 无法确定柱状晶与等轴晶之间的相互转变过程；
? 无法预测每个晶粒的具体形貌。
(2) 随机模型数值方法 (stochastic modeling)
随机模型利用概率方法研究晶粒的形核和长大，包括形
核位置的随机分布和晶粒晶向的随机取向等。
? Monte Carlo法
基本思路：给网格中的某个节点 i 赋予一个正整数 Pi，假
设初始化时 Pi=0（表示液态）；当凝固温度低于合金液相线
时，分别按式 (7-24)和 (7-25)计算节点 i 的形核概率和长大
概率。
。的正整数，表示晶向值到一个从此外，可随机赋予
为随机数发生器。其中，
对应的单元凝固。，则节点若
核数目时刻内单元体积熔体形到
每个网格单元的体积
的形核概率时刻内节点到
式中
QP
nn
inttP
tttN
V
itttttP
NVttP
i
n
m
n
mn
1
)10(
)(
)(
)244( )(
??
???
???
????
?????
波尔兹曼常数
变化不同界面造成的界面能
由能变化由过冷度决定的体积自
由能变化熔体凝固过程中总的自
式中
其长大概率为
原则依附长大，单元，按照界面能最小具有不同晶向值的相邻
)254(
0
)(
e x p
0 0
)(
k
F
F
FFF
F
T
kT
ttF
T
ttP
s
v
svg
g
g
g
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?
? ????
??
???
? Cellular Automata法
基于 Cellular Automata法的数值模型特点：
? 非自发形核和生长、新晶核随机取向等问题在 CA模型中均
有所体现；
? 算法上，首先用较粗的网格计算凝固区的温度场；然后，在
此网格内进一步细分单元，形成更均匀的节点；最后，在节点
上采用 CA模型进行形核和生长计算；
? 所有节点在凝固前均为液态,Pi=0；如果在一定时间内，
过冷度满足形核条件，则单元内的某些节点形核，其对应标志
Pi设置为正整数（表示新晶核的晶向值）。
(3) 相场模型数值方法 (phase-field modeling)
特点,用微分方程反映扩散、有序化势和热力学驱动力的综
合作用。其方程解可以描述铸件凝固过程中液固界面的形态、
曲率及界面移动。
把相场方程与温度场、溶质场、流速场及其他外部场偶
合，则可对金属液的凝固过程进行真实的模拟。
铸造成型过程数值模拟举例
利用压铸充型过程模拟，优
化浇筑系统
因轮辐温度较高产生应变，致使铸造的
车轮在冷却中变形
砂铸中充型过程中热和流动的耦
合计算模拟
铸件顶出后型腔和铝铸件的温度分布
