第10章 多 项 式 10.1 根 找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题，。MATLAB求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116 ? p=[1 -12 0 25 116] p = 1 -12 0 25 116 注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。 ? r=roots(p) r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i 因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。在MATLAB中，命令poly执行这个任务。 ? pp=poly(r) pp = 1.0e+002 * Columns 1 through 4 0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500 Column 5 1.1600 + 0.0000i ? pp=real(pp) %throw away spurious imaginary part pp = 1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000 因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。 10.2 乘法 函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x3＋2x2＋3x＋4和b(x)= x3＋4x2＋9x＋16的乘积： ? a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16]; ? c=conv(a , b) c = 1 6 20 50 75 84 64 结果是c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64。两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。 10.3 加法 对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。 ? d=a+b d = 2 6 12 20 结果是d(x)= 2x3＋6x2＋12x＋20。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加： ? e=c+[0 0 0 d] e = 1 6 20 52 81 96 84 结果是e(x)= x6＋6x5＋20x4＋52x3＋81x2＋96x＋84。要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。 如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通MATLAB工具箱包含下列实现： function p=mmpadd(a,b) % MMPADD Polynomial addition. % MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B % Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc. if nargin<2 error(' Not enough input arguments ') end a=a(:).' ; % make sure inputs are polynomial row vectors b=b(:).' ; na=length(a) ; % find lengths of a and b nb=length(b) ; p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b] ; % add zeros as necessary 现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。 ? f=mmpadd(c,d) f = 1 6 20 52 81 96 84 它与上面的e相同。当然，mmpadd也用于减法。 ?g=mmpadd(c , -d) g = 1 6 20 48 69 72 44 结果是g(x)= x6＋6x5＋20x4＋48x3＋69x2＋72x＋44。 10.4 除法 在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中，这由函数deconv完成。用上面的多项式b和c ? [q , r]=deconv(c , b) q = 1 2 3 4 r = 0 0 0 0 0 0 0 这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。 10.5 导数 由于一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。 ? g g = 1 6 20 48 69 72 44 ? h=polyder(g) h = 6 30 80 144 138 72 10.6 估值 根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。在MATLAB中，这由函数polyval来完成。 ? x=linspace(-1, 3) ; % choose 100 data points between -1and 3. ? p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3＋4x2－7x－10 ? v=polyval(p , x) ; 计算x值上的p(x)，把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。 ? plot(x , v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '), xlabel(' x ')  图10.1 多项式估值 10.7 有理多项式 在许多应用中，例如富里哀(Fourier)，拉普拉斯(Laplace)和Z变换，出现有理多项式或两个多项式之比。在MATLAB中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。函数residue执行部分分式展开。 ? num=10*[1 2] ; % numerator polynomial ? den=poly([-1; -3; -4]) ; % denominator polynomial ? [res, poles, k]=residue(num, den) res = -6.6667 5.0000 1.6667 poles = -4.0000 -3.0000 -1.0000 k = [ ] 结果是余数、极点和部分分式展开的常数项。上面的结果说明了该问题：  这个函数也执行逆运算。 ? [n, d]=residue(res, poles, k) n = 0.0000 10.0000 20.0000 d = 1.0000 8.0000 19.0000 12.0000 ? roots(d) ans = -4.0000 -3.0000 -1.0000 在截断误差内，这与我们开始时的分子和分母多项式一致。residue也能处理重极点的情况，尽管这里没有考虑。 正如前面所述，函数polyder，对多项式求导。除此之外，如果给出两个输入，则它对有理多项式求导。 ? [b , a]=polyder(num , den) b = -20 -140 -320 -260 a = 1 16 102 328 553 456 144 该结果证实：  10.8 M文件举例 本章说明了在精通MATLAB工具箱 中两个函数。这些函数说明了本章所论述的多项式概念和如何写M文件函数。关于M文件的更多信息，参阅第8章。 在讨论M文件函数的内部结构之前，我们考虑这些函数做些什么。 ? n % earlier data n = 0.0000 10.0000 20.0000 ? b % earlier data b = -20 -140 -320 -260 ? mmpsim(n) % strip away negligible leading term ans = 10.0000 20.0000 ? mmp2str(b) % convert polynomial to string ans = -20s^3 - 140s^2 - 320s^1 - 260 ? mmp2str(b , ' x ') ans = -20x^3 - 140x^2 - 320x^1 - 260 ? mmp2str(b , [ ] , 1) ans = -20*(s^3 + 7s^2 + 16s^1 + 13) ? mmp2str(b , ' x ' , 1) ans = -20*(x^3 + 7x^2 + 16x^1 + 13) 这里函数mmpsim删除在多项式n中近似为零的第一个系数。函数mmp2str把数值多项式变换成等价形式的字符串表达式。该两个函数的主体是： function y=mmpsim(x,tol) % MMPSIM Polynomial Simplification,Strip Leading Zero Terms. % MMPSIM(A) Delets leading zeros and small coefficients in the % polynomial A(s). Coefficients are considered small if their % magnitude is less than both one and norm(A)*1000*eps. % MMPSIM(A,TOL) uses TOL for its smallness tolerance. % Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc. if nargin<2, tol=norm(x)*1000*eps; end x=x(:).' ; % make sure input is a row i=find(abs(x)<.99&abs(x)<tol) ; % find insignificant indices x(i)=zeros(1, length(i)) ; % set them to zero i=find(x~=0) ; % find significant indices if isempty(i) y=0 ; % extreme case: nothing left! else y=x(i(1) : length(x)) ; % start with first term end % and go to end of polynomial function s=mmp2str(p,v,ff) % MMP2STR Polynomial Vector to String Conversion. % MMP2STR(P) converts the polynomial vector P into a string. % For example: P = [2 3 4] becomes the string ' 2s^2 + 3s + 4 ' % % MMP2STR(P,V) generates the string using the variable V % instead of s. MMP2STR([2 3 4],' z ') becomes ' 2z^2 + 3z + 4 ' % % MMP2STR(P,V,1) factors the polynomial into the product of a % constant and a monic polynomial. % MMP2STR([2 3 4],[ ],1) becomes ' 2(s^2 + 1.5s + 2) ' % Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc. if nargin<3, ff=0; end % factored form is False if nargin <2, v=' s ' ; end % default variable is ' s ' if isempty(v), v=' s ' ; end % default variable is ' s ' v=v(1) ; % variable must be scalar p=mmpsim(p) ; % strip insignificant terms n=length(p) ; if ff % put in factored form K=p(1) ; Ka=abs(K) ; p=p/K; if abs(K-1)<1e-4 pp=[ ]; pe=[ ] ; elseif abs(K+1)<1e-4 pp=' -(' ; pe= ') ' ; elseif abs(Ka-round(Ka))<=1e-5*Ka pp=[sprintf(' %.0f ', K) '*( ' ] ; pe= ') ' ; else pp=[sprintf(' %.4g ' , K) '*(' ] ; pe= ') ' ; end else % not factored form K=p(1); pp=sprintf(' %.4g ' , K) ; pe=[ ]; end if n==1 % polynomial is just a constant s=sprintf(' %.4g ',K); return end s=[pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-1)]; % begin string construction for i=2:n-1 % catenate center terms in polynomial if p(i)<0, pm= ' - ' ; else, if p(i)<0,pm= ' ; end if p(i)= =1,pp=[ ] ; else, pp=sprintf(' %.4g ', abs(p(i))) ; end if p(i)~ =0,s=[s pm pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-i)] ; end end if p(n)~ =0,pp=sprintf(' %.4g ',abs(p(n))); else, pp=[ ]; end if p(n)<0 , pm= ' - ' ; elseif p(n)>0 , pm= ' + ' ; else, pm=[ ]; end s=[s pm pp pe]; % add final terms 10.9 小结 下列表格概括了在本章所讨论的多项式操作特性。 表10.1 多 项 式 函 数  conv(a, b) 乘法  [q, r]=deconv(a, b) 除法  poly(r) 用根构造多项式  polyder(a) 对多项式或有理多项式求导  polyfit(x, y, n) 多项式数据拟合  polyval(p, x) 计算x点中多项式值  [r, p, k]=residue(a, b) 部分分式展开式  [a, b]=residue(r, p, k) 部分分式组合  roots(a) 求多项式的根   表10.2 精 通 MATLAB 多 项 式 操 作  mmp2str(a) 多项式向量到字符串变换，a(s)  mmp2str(a, ' x ') 多项式向量到字符串变换，a(x)  mmp2str(a, ' x ', 1) 常数和符号多项式变换  mmpadd(a, b) 多项式加法  mmpsim(a) 多项式简化