1
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and
It’s Applications
同济大学 计算机系宣国荣
2003年 6月 10日 星期二
2
研究生讲座：小波分析及其应用
1,小波的特点和发展
2,小波 分析 在一维信号处理中的应用
3,小波 分析 在图象分析中的应用图象特征抽取图象压缩数据隐藏和图象水印
3
1,小波的特点和发展
,小波分析,是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种,小波基函数,对,原始信号,
进行分解。
4
小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的,指定时间,和,指定频率,的变化。
时间：提取信号中,指定时间,（时间 A或时间 B） 的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
频率：提取信号中时间 A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间 B的比较快速变化，称较高频率成分。
时间 A 时间 B
5
小波的 成就小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪,调和分析,的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。
小波变换是 20世纪最辉煌科学成就之一。
在计算机应用、信号处理、图象分析、
非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。
6
多分辨度分析（ MRA）
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。
当在某一个分辨度检测不到的现象，
在另一个分辨度却很容易观察处理。
例如：
7
8
参考：
M,Vetterli,
”Wavelets and
Subband
Coding,,
Prentice Hall PTR,
1995
p.11
9
小波的 3 个特点
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象
。（傅里叶 变换只 具有频率分析的性质）
小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）
小波变换比快速 Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为 M时,Fourier变换 （左） 和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
10
小波基表示发生的时间和频率
“时频局域性” 图解,Fourier变换的基（上）小波变换基
（中）
和时间采样基（下）的比较傅里叶 变换
(Fourier)基小波基时间采样基
11
Haar小 波基母函数
（ a） Haar,近似,基 函数 （ b） Haar,细节,基函数低频滤波系数 高频滤波系数
H0= [ 1 1] × q H1= [ 1 -1] × q
= [ q q] =[ q -q]
其中,7 0 7 1.02q
12
Haar小波的基函数第 1 行基函数是取平均（近似），
第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
H0= [ 1 1] × q
H1= [ 1 -1] × q
尺度函数近似基函数小波函数细节基函数
7 0 7 1.02q
13
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析,1822年发表,热传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波
1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。
1985年 Meyer 和稍后的 Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（ MRA）
,统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码
，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。
14
小波基可以通过给定滤波系数生成
小波基 （ 尺度函数和小波函数 ） 可以通过给定滤波系数生成 。
有的小波基是正交的,有的是非正交的 。
有的小波基是对称的,有的是非对称的 。
小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出,而不需要确切知道 小波基函数,这是 I,Daubechies 等的重要发现,
使计算简化,是快速小波分解和重建的基础 。
15
小波基函数和滤波系数 (Haar--正交，对称 )
“近似”基函数
“反变换” 低频和高频,滤波系数
”
“细节”基函数
Haar小波
“正变换” 低频和高频,滤波系数
”
16
小波基函数和滤波系数 (db 2--正交，不对称 )
“近似”基函数
“细节”基函数
db小波
“反变换” 低频和高频,滤波系数
”
“正变换” 低频和高频,滤波系数
”
17
小波基函数和滤波系数 (db 4--正交，不对称 )
18
小波基函数和滤波系数 (sym 4--正交，近似对称 )
19
小波基函数和滤波系数 (bior 2.4 –双正交，对称 )
20
小波基函数和滤波系数 (bior 6.8 –双正交，对称 )
21
2、小波 分析 在一维信号处理中的应用小波变换 就是将,原始信号 s,变换 成
,小波 系数 w,,w=[wa,wd]
包括近似 (approximation)系数 wa
与细节 (detail)系数 wd
近似系数 wa---平均成分（低频）
细节系数 wd---变化成分（高频）
22
小波原始信号分解过程：
原始信号 s可分解成小波近似 a 与小波细节 d 之和。
s = a+d
小波系数 w = [ wa,wd ] 的分量，乘以 基函数，形成小波分解：
小波近似系数 wa × 基函数 A=近似分解 a ---平均小波细节系数 wd × 基函数 D=细节分解 d---变化
23
小波分解和小波基小波基 D
小波基 A
原始信号小波系数 wd
小波系数 wa
正变换：原始信号在小波基上，获得,小波系数”分量反变换：所有“小波分解” 合成原始信号例如,小波分解 a=小波系数 wa × 小波基 A
24
离散小波变换公式正变换反变换其中,是小波基函数参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年
（ R.C,Gonzalaz,”Digital Image Processing”,p.375)
信号 s 有 M个样本,J 级小波变换：
nDnA
nDwnAwndnans
JjnDnsw
nAnsw
wwwwMn
jJ
J
j
jjdJJa
J
j
iJ
jjd
JJa
dJdJaJ
,
1,,,
],,,[.,,1
11
1
小波分解小波系数
25
一维信号小波变换例子
Haar小波,例子：
16点信号,[ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]
通过 MATLAB实现 (wavemenu) 波形图小波正变换：小波系数：
小波近似系数 （ 加 ） ；小波细节系数 （ 减 ）
小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号 。
有 2种：近似分解；细节分解
26
一维信号的二级小波变换系数原始信号
2级小波系数 w2=[wa2,wd2,wd1 ]
* Haar是 正交变换 。 除以常数,目的使变换后平方和不变 。 例如：
2 0 62121262288956 22222222
16位
2级近似系数
2级细节系数
1级细节系数
16位
27
一维信号的二级小波变换分解
2级近似分解 （ 原始信号每 4个平均值 ）
2级细节分解 （ 原始信号每 2个平均的差值 ）
1级细节分解 （ 原始信号单数和双数的差值 ）
恢复信号
28
一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号
2级小波系数
w2=[wa2,wd2,wd1 ]
2级近似分解 （ 原始信号每 4个平均值 ）
2级细节分解 （ 原始信号每 2个平均的差值 ）
1级细节分解 （ 原始信号单数和双数的差值 ）
恢复信号
29
原始信号 16点
16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
30
两级小波系数 16点原始信号小波系数原始信号 (红 )
两级 小波系数
wd1
wd2
|wd2 |
|wd1 |
31
16点 信号 的 Haar小波近似值和细节分解两级分解
32
小波去噪声一般噪声特点：
（ 1）高频成分（细节）,（ 2）幅度小：用阈值；
去噪声过程：
去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。
对 2级小波，设定 2个阈值，称“阈值 2” 和,阈值 1” 。
去除 1级噪声：去除 1级小波细节分解中小于“阈值 1”部分。
去除 2级噪声：去除 2级小波细节分解中小于“阈值 2”部分。
恢复：
将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号
33
噪声去除 两级分解噪声去除，
括号内保留部分数据原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
wd1 两级小波系数
wd2
34
小波去噪声 16点 [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪前绝对值原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数
0.707× [1,1,-4,3,1,1,-2,-
6]
0.5× [-6,-3,-6,-8]
两级 小波系数阈值 1wd1
wd2 阈值 2
35
Haar小波去噪声 （ 16点信号）
16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
小波去噪声两级分解
36
一维信号的小波变换例子 2 （ 电压曲线 ）
通过 MATLAB实现 (wavemenu) 波形图
( MATLAB \ toolbox \ wavelet \ wavedemo\
leleccum.mat )
是,电网监视的电压曲线”,有 4570个点
Haar小波变换
37
haar 小波
(s= a2+ d2+d1)
(wavemenu)
leleccum Level 2
(s-原始信号,a2-近似,d1-d2细节 )
1 级细节分解 (奇偶数值的差 )
2 级 细节分解 (前 2和后 2的差 )
原始信号 (红 )
2 级近似分解值
2 级小波分解波形中的毛刺 (见下页 )
381 级细节分解 (奇偶数值的差 )
2 级细节分解 (前 2和后 2的差 )
原始信号 (红 )
2 级近似分解值
2 级小波分解（放大）
波形中的毛刺
39
图 -5 haar
(s= a5+ d5+..+d1)
(wavemenu)
leleccum Level 5
a5-近似,d5-d1细节附录 -5 (wavemenu) leleccum haar Level 5
leleccum.mat 是有
36560个点的一维电压信号 (s-原始信号,a1-
近似,d1-细节 )
信号前 2和后 2的差 ---细节 2
信号奇偶数值的差 ---细节 1
原始信号信号 ---近似值
5 级小波分解
40
小波去噪声 leleccum haar 小波两级 小波系数
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数黄虚线表示阈值
wd1
wd2
原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪前绝对值
41
小波压缩 leleccum haar
黄虚线表示阈值
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数
wd1
wd2
原始信号 (红 ),压缩后 (黄 )两级 小波系数
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2 级去噪后绝对值
|wd2 | 2 级去噪前绝对值
42
小波压缩效果 leleccum haar
黄色虚线 —全局阈值（自动分配两级阈值）
紫色线 —相对能量百分比（能量尽量保持）
绿色线 —零数目百分比 (零数目愈大，压缩愈明显 )
43
3,小波 分析 在图象处理中的应用图象是二维信号,其小波变换相当于二次一维信号的小波变换,。
（ 1） 第一次一维信号的小波变换相当于图象的 行变换 。
（ 2） 第二次一维信号的小波变换相当于图象的 列变换 。
小波变换用于图象压缩有良好的效果,
已形成图象压缩的标准如 JPEG2000。
44
小波变换用于图象特征抽取第 1级斜线细节第 1级水平细节第 1级垂直细节水平细节近似图象垂直细节斜线细节
45
第 1级 L1
斜线细节第 1级 L1
水平细节第 1级 L1
垂直细节第 2级 L2细节近似图象第 3级 L3
小波系数分级方块表示法
46
第 3 级 L3分辨率第 2 级 L2分辨率第 1 级 L1分辨率小波系数分级树形表示法
47
小波变换用于图象压缩
采用 小波 进行压缩。作,小波变换,后,统计特性有改善,消除行和列之间的相关关系。
有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后 转换到一维 作 熵编码，
如算术编码或霍夫曼编码 。
无损压缩：选择,整数 小波变换,,无舍入误差。但不能进行比特分配。
48
小波变换用于图象压缩第 3 级 L3 水平、
斜线、垂直细节第 2 级 L2 水平、
斜线、垂直细节第 1 级 L1 水平、
斜线、垂直细节两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）
49
小波变换用于无损数据隐藏无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择,整数 小波变换,,无舍入误差。例如可以采用第二代小波。
无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据
。
第一个无损数据隐藏是 1999年科达公司发表的一个专利。由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的。此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务
、电子商务、图象建档等有广泛的用途。
50
数据嵌入 核磁共振医学图象 (可 无损恢复 )
(水印图象见下页 )
(a)原始 (512× 512× 8) (b)小波域 嵌入水印图象
51
水印图象
(192× 120× 2 二值图象 )
52
小波变换用于无损数据隐藏 （交通图象）
原始图象 （ 1024?768） 信息隐藏后的伪装图象 （ 1024?768）
同时隐藏 5 张（ 320× 280）图象（见下页）
53
同时隐藏的 5 张（ 320× 280）交通图象，可完全恢复
（ 1）上海延安路
（ 3） 上海曲阳路
（ 2）外地
（ 4） 上海曲阳路
（ 5） 上海曲阳路
54
小波变换用于图象水印指纹原始图象 嵌入水印 (取款密码等 )后图象
指纹传感器：标准的 Veridicom指纹鼠标
指纹开发工具,Veridicom Authentication SDK以 Windows
的 DLL库方式提供
指纹库,(Fingerprint Verification Competition,FVC)。
FVC2000 db1是由光学设备采集； FVC2000 db2是由电容设备采集。
银行 取款密码嵌入指纹，网上进行身份认证
55
小波变换用于图象水印小波正变换小波反变换小波 正变换小波反变换数据嵌入数据提取原始图象加水印后图象输入原始图象加水印后图象 输出隐藏数据隐藏数据
56
小波分析最新进展
（ 1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。
（ 2）嵌入零树法，获得更优良的效果。
（ 3）小波与统计理论结合。
（ 4）商品化，如,JPEG2000”小波图象压缩标准,MATLAB小波计算包等。
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“小波分析及其应用” 讲座 小结
（ 1）小波分析理论上比较完善小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质。小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）
上不同时间的特性。
（ 2）小波分析有广泛的实用性小波变换存在快速算法，对于 M点序列而言，计算复杂性为,O(M),处理快速。小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。
(http://grxuan.xiloo.com/wavelet) （ 完）
58
附录 1,2 级 Haar小波变换 4点 例子序 信号
s
1 级 小波系数
w1=[wa1,wd1]
2 级 小波系数
w2=[wa2,wd2,wd1]
1 6 7.7782 14.0000
2 5 12.0208 -3.0000
3 9 0.7071 0.7071
4 8 0.7071 0.7071
wd1
wa1 wa2
wd2
wd1
细节系数（ wd1 ）形成后不再变化
。
原始信号
1 级 小波近似系数
1 级 小波细节系数
2级 小波近似系数
2 级 小波细节系数
(s,w1,w2的平方和不变 )
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序 信号
s
一级小波
w1=[wa1,wd1 ]
二级小波
w2=[wa2,wd2,wd1 ]
1 6 7.7782 14.0000
2 5 12.0208 11.5000
3 9 7.0711 14.0000
4 8 9.1924 8.0000
5 3 7.7782 -3.0000
6 7 12.0208 -1.5000
7 8 2.8284 -3.0000
8 5 8.4853 -4.0000
9 6 0.7071 0.7071
10 5 0.7071 0.7071
11 9 -2.8284 -2.8284
12 8 2.1213 2.1213
13 1 0.7071 0.7071
14 3 0.7071 0.7071
15 3 -1.4142 -1.4142
16 9 -4.2426 -4.2426
附录 2,一级、二级 小波 16点
wd1
wa1
wa2
wd2
wd1
60
附录 3,小波去噪声 16点序
n
信号
s
小波系数
w1
小波系数
w2
去噪声小波 w2
去噪声信号 sdn
sdn乘 4
取整
1 6 7.7782 14.0000 14.0000 7.0000 28
2 5 12.0208 11.5000 11.5000 7.0000 28
3 9 7.0711 14.0000 14.0000 7.0000 28
4 8 9.1924 8.0000 8.0000 7.0000 28
5 3 7.7782 -3.0000 0 5.7500 23
6 7 12.0208 -1.5000 0 5.7500 23
7 8 2.8284 -3.0000 0 5.7500 23
8 5 8.4853 -4.0000 -0.5000 5.7500 23
9 6 0.7071 0.7071 0 7.0000 28
10 5 0.7071 0.7071 0 7.0000 28
11 9 -2.8284 -2.8284 0 7.0000 28
12 8 2.1213 2.1213 0 7.0000 28
13 1 0.7071 0.7071 0 3.7500 15
14 3 0.7071 0.7071 0 3.7500 15
15 3 -1.4142 -1.4142 0 3.8964 16
16 9 -4.2426 -4.2426 -0.5000 4.6036 18
wd1
wa1
wa2
wd2
wd1
去噪声 wd2
去噪声 wd1
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and
It’s Applications
同济大学 计算机系宣国荣
2003年 6月 10日 星期二
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研究生讲座：小波分析及其应用
1,小波的特点和发展
2,小波 分析 在一维信号处理中的应用
3,小波 分析 在图象分析中的应用图象特征抽取图象压缩数据隐藏和图象水印
3
1,小波的特点和发展
,小波分析,是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种,小波基函数,对,原始信号,
进行分解。
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小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的,指定时间,和,指定频率,的变化。
时间：提取信号中,指定时间,（时间 A或时间 B） 的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
频率：提取信号中时间 A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间 B的比较快速变化，称较高频率成分。
时间 A 时间 B
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小波的 成就小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪,调和分析,的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。
小波变换是 20世纪最辉煌科学成就之一。
在计算机应用、信号处理、图象分析、
非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。
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多分辨度分析（ MRA）
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。
当在某一个分辨度检测不到的现象，
在另一个分辨度却很容易观察处理。
例如：
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8
参考：
M,Vetterli,
”Wavelets and
Subband
Coding,,
Prentice Hall PTR,
1995
p.11
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小波的 3 个特点
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象
。（傅里叶 变换只 具有频率分析的性质）
小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）
小波变换比快速 Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为 M时,Fourier变换 （左） 和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
10
小波基表示发生的时间和频率
“时频局域性” 图解,Fourier变换的基（上）小波变换基
（中）
和时间采样基（下）的比较傅里叶 变换
(Fourier)基小波基时间采样基
11
Haar小 波基母函数
（ a） Haar,近似,基 函数 （ b） Haar,细节,基函数低频滤波系数 高频滤波系数
H0= [ 1 1] × q H1= [ 1 -1] × q
= [ q q] =[ q -q]
其中,7 0 7 1.02q
12
Haar小波的基函数第 1 行基函数是取平均（近似），
第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
H0= [ 1 1] × q
H1= [ 1 -1] × q
尺度函数近似基函数小波函数细节基函数
7 0 7 1.02q
13
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析,1822年发表,热传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波
1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。
1985年 Meyer 和稍后的 Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（ MRA）
,统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码
，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。
14
小波基可以通过给定滤波系数生成
小波基 （ 尺度函数和小波函数 ） 可以通过给定滤波系数生成 。
有的小波基是正交的,有的是非正交的 。
有的小波基是对称的,有的是非对称的 。
小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出,而不需要确切知道 小波基函数,这是 I,Daubechies 等的重要发现,
使计算简化,是快速小波分解和重建的基础 。
15
小波基函数和滤波系数 (Haar--正交，对称 )
“近似”基函数
“反变换” 低频和高频,滤波系数
”
“细节”基函数
Haar小波
“正变换” 低频和高频,滤波系数
”
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小波基函数和滤波系数 (db 2--正交，不对称 )
“近似”基函数
“细节”基函数
db小波
“反变换” 低频和高频,滤波系数
”
“正变换” 低频和高频,滤波系数
”
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小波基函数和滤波系数 (db 4--正交，不对称 )
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小波基函数和滤波系数 (sym 4--正交，近似对称 )
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小波基函数和滤波系数 (bior 2.4 –双正交，对称 )
20
小波基函数和滤波系数 (bior 6.8 –双正交，对称 )
21
2、小波 分析 在一维信号处理中的应用小波变换 就是将,原始信号 s,变换 成
,小波 系数 w,,w=[wa,wd]
包括近似 (approximation)系数 wa
与细节 (detail)系数 wd
近似系数 wa---平均成分（低频）
细节系数 wd---变化成分（高频）
22
小波原始信号分解过程：
原始信号 s可分解成小波近似 a 与小波细节 d 之和。
s = a+d
小波系数 w = [ wa,wd ] 的分量，乘以 基函数，形成小波分解：
小波近似系数 wa × 基函数 A=近似分解 a ---平均小波细节系数 wd × 基函数 D=细节分解 d---变化
23
小波分解和小波基小波基 D
小波基 A
原始信号小波系数 wd
小波系数 wa
正变换：原始信号在小波基上，获得,小波系数”分量反变换：所有“小波分解” 合成原始信号例如,小波分解 a=小波系数 wa × 小波基 A
24
离散小波变换公式正变换反变换其中,是小波基函数参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年
（ R.C,Gonzalaz,”Digital Image Processing”,p.375)
信号 s 有 M个样本,J 级小波变换：
nDnA
nDwnAwndnans
JjnDnsw
nAnsw
wwwwMn
jJ
J
j
jjdJJa
J
j
iJ
jjd
JJa
dJdJaJ
,
1,,,
],,,[.,,1
11
1
小波分解小波系数
25
一维信号小波变换例子
Haar小波,例子：
16点信号,[ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]
通过 MATLAB实现 (wavemenu) 波形图小波正变换：小波系数：
小波近似系数 （ 加 ） ；小波细节系数 （ 减 ）
小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号 。
有 2种：近似分解；细节分解
26
一维信号的二级小波变换系数原始信号
2级小波系数 w2=[wa2,wd2,wd1 ]
* Haar是 正交变换 。 除以常数,目的使变换后平方和不变 。 例如：
2 0 62121262288956 22222222
16位
2级近似系数
2级细节系数
1级细节系数
16位
27
一维信号的二级小波变换分解
2级近似分解 （ 原始信号每 4个平均值 ）
2级细节分解 （ 原始信号每 2个平均的差值 ）
1级细节分解 （ 原始信号单数和双数的差值 ）
恢复信号
28
一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号
2级小波系数
w2=[wa2,wd2,wd1 ]
2级近似分解 （ 原始信号每 4个平均值 ）
2级细节分解 （ 原始信号每 2个平均的差值 ）
1级细节分解 （ 原始信号单数和双数的差值 ）
恢复信号
29
原始信号 16点
16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
30
两级小波系数 16点原始信号小波系数原始信号 (红 )
两级 小波系数
wd1
wd2
|wd2 |
|wd1 |
31
16点 信号 的 Haar小波近似值和细节分解两级分解
32
小波去噪声一般噪声特点：
（ 1）高频成分（细节）,（ 2）幅度小：用阈值；
去噪声过程：
去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。
对 2级小波，设定 2个阈值，称“阈值 2” 和,阈值 1” 。
去除 1级噪声：去除 1级小波细节分解中小于“阈值 1”部分。
去除 2级噪声：去除 2级小波细节分解中小于“阈值 2”部分。
恢复：
将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号
33
噪声去除 两级分解噪声去除，
括号内保留部分数据原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
wd1 两级小波系数
wd2
34
小波去噪声 16点 [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪前绝对值原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数
0.707× [1,1,-4,3,1,1,-2,-
6]
0.5× [-6,-3,-6,-8]
两级 小波系数阈值 1wd1
wd2 阈值 2
35
Haar小波去噪声 （ 16点信号）
16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
小波去噪声两级分解
36
一维信号的小波变换例子 2 （ 电压曲线 ）
通过 MATLAB实现 (wavemenu) 波形图
( MATLAB \ toolbox \ wavelet \ wavedemo\
leleccum.mat )
是,电网监视的电压曲线”,有 4570个点
Haar小波变换
37
haar 小波
(s= a2+ d2+d1)
(wavemenu)
leleccum Level 2
(s-原始信号,a2-近似,d1-d2细节 )
1 级细节分解 (奇偶数值的差 )
2 级 细节分解 (前 2和后 2的差 )
原始信号 (红 )
2 级近似分解值
2 级小波分解波形中的毛刺 (见下页 )
381 级细节分解 (奇偶数值的差 )
2 级细节分解 (前 2和后 2的差 )
原始信号 (红 )
2 级近似分解值
2 级小波分解（放大）
波形中的毛刺
39
图 -5 haar
(s= a5+ d5+..+d1)
(wavemenu)
leleccum Level 5
a5-近似,d5-d1细节附录 -5 (wavemenu) leleccum haar Level 5
leleccum.mat 是有
36560个点的一维电压信号 (s-原始信号,a1-
近似,d1-细节 )
信号前 2和后 2的差 ---细节 2
信号奇偶数值的差 ---细节 1
原始信号信号 ---近似值
5 级小波分解
40
小波去噪声 leleccum haar 小波两级 小波系数
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数黄虚线表示阈值
wd1
wd2
原始信号 (红 ),去噪后 (黄 )
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪后绝对值
|wd2 | 2级去噪前绝对值
41
小波压缩 leleccum haar
黄虚线表示阈值
1 级细节小波系数
2 级细节小波系数
wd1
wd2
原始信号 (红 ),压缩后 (黄 )两级 小波系数
|wd1 | 1级去噪前绝对值
|wd1 | 1级去噪后绝对值
|wd2 | 2 级去噪后绝对值
|wd2 | 2 级去噪前绝对值
42
小波压缩效果 leleccum haar
黄色虚线 —全局阈值（自动分配两级阈值）
紫色线 —相对能量百分比（能量尽量保持）
绿色线 —零数目百分比 (零数目愈大，压缩愈明显 )
43
3,小波 分析 在图象处理中的应用图象是二维信号,其小波变换相当于二次一维信号的小波变换,。
（ 1） 第一次一维信号的小波变换相当于图象的 行变换 。
（ 2） 第二次一维信号的小波变换相当于图象的 列变换 。
小波变换用于图象压缩有良好的效果,
已形成图象压缩的标准如 JPEG2000。
44
小波变换用于图象特征抽取第 1级斜线细节第 1级水平细节第 1级垂直细节水平细节近似图象垂直细节斜线细节
45
第 1级 L1
斜线细节第 1级 L1
水平细节第 1级 L1
垂直细节第 2级 L2细节近似图象第 3级 L3
小波系数分级方块表示法
46
第 3 级 L3分辨率第 2 级 L2分辨率第 1 级 L1分辨率小波系数分级树形表示法
47
小波变换用于图象压缩
采用 小波 进行压缩。作,小波变换,后,统计特性有改善,消除行和列之间的相关关系。
有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后 转换到一维 作 熵编码，
如算术编码或霍夫曼编码 。
无损压缩：选择,整数 小波变换,,无舍入误差。但不能进行比特分配。
48
小波变换用于图象压缩第 3 级 L3 水平、
斜线、垂直细节第 2 级 L2 水平、
斜线、垂直细节第 1 级 L1 水平、
斜线、垂直细节两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）
49
小波变换用于无损数据隐藏无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择,整数 小波变换,,无舍入误差。例如可以采用第二代小波。
无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据
。
第一个无损数据隐藏是 1999年科达公司发表的一个专利。由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的。此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务
、电子商务、图象建档等有广泛的用途。
50
数据嵌入 核磁共振医学图象 (可 无损恢复 )
(水印图象见下页 )
(a)原始 (512× 512× 8) (b)小波域 嵌入水印图象
51
水印图象
(192× 120× 2 二值图象 )
52
小波变换用于无损数据隐藏 （交通图象）
原始图象 （ 1024?768） 信息隐藏后的伪装图象 （ 1024?768）
同时隐藏 5 张（ 320× 280）图象（见下页）
53
同时隐藏的 5 张（ 320× 280）交通图象，可完全恢复
（ 1）上海延安路
（ 3） 上海曲阳路
（ 2）外地
（ 4） 上海曲阳路
（ 5） 上海曲阳路
54
小波变换用于图象水印指纹原始图象 嵌入水印 (取款密码等 )后图象
指纹传感器：标准的 Veridicom指纹鼠标
指纹开发工具,Veridicom Authentication SDK以 Windows
的 DLL库方式提供
指纹库,(Fingerprint Verification Competition,FVC)。
FVC2000 db1是由光学设备采集； FVC2000 db2是由电容设备采集。
银行 取款密码嵌入指纹，网上进行身份认证
55
小波变换用于图象水印小波正变换小波反变换小波 正变换小波反变换数据嵌入数据提取原始图象加水印后图象输入原始图象加水印后图象 输出隐藏数据隐藏数据
56
小波分析最新进展
（ 1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。
（ 2）嵌入零树法，获得更优良的效果。
（ 3）小波与统计理论结合。
（ 4）商品化，如,JPEG2000”小波图象压缩标准,MATLAB小波计算包等。
57
“小波分析及其应用” 讲座 小结
（ 1）小波分析理论上比较完善小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质。小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）
上不同时间的特性。
（ 2）小波分析有广泛的实用性小波变换存在快速算法，对于 M点序列而言，计算复杂性为,O(M),处理快速。小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。
(http://grxuan.xiloo.com/wavelet) （ 完）
58
附录 1,2 级 Haar小波变换 4点 例子序 信号
s
1 级 小波系数
w1=[wa1,wd1]
2 级 小波系数
w2=[wa2,wd2,wd1]
1 6 7.7782 14.0000
2 5 12.0208 -3.0000
3 9 0.7071 0.7071
4 8 0.7071 0.7071
wd1
wa1 wa2
wd2
wd1
细节系数（ wd1 ）形成后不再变化
。
原始信号
1 级 小波近似系数
1 级 小波细节系数
2级 小波近似系数
2 级 小波细节系数
(s,w1,w2的平方和不变 )
59
序 信号
s
一级小波
w1=[wa1,wd1 ]
二级小波
w2=[wa2,wd2,wd1 ]
1 6 7.7782 14.0000
2 5 12.0208 11.5000
3 9 7.0711 14.0000
4 8 9.1924 8.0000
5 3 7.7782 -3.0000
6 7 12.0208 -1.5000
7 8 2.8284 -3.0000
8 5 8.4853 -4.0000
9 6 0.7071 0.7071
10 5 0.7071 0.7071
11 9 -2.8284 -2.8284
12 8 2.1213 2.1213
13 1 0.7071 0.7071
14 3 0.7071 0.7071
15 3 -1.4142 -1.4142
16 9 -4.2426 -4.2426
附录 2,一级、二级 小波 16点
wd1
wa1
wa2
wd2
wd1
60
附录 3,小波去噪声 16点序
n
信号
s
小波系数
w1
小波系数
w2
去噪声小波 w2
去噪声信号 sdn
sdn乘 4
取整
1 6 7.7782 14.0000 14.0000 7.0000 28
2 5 12.0208 11.5000 11.5000 7.0000 28
3 9 7.0711 14.0000 14.0000 7.0000 28
4 8 9.1924 8.0000 8.0000 7.0000 28
5 3 7.7782 -3.0000 0 5.7500 23
6 7 12.0208 -1.5000 0 5.7500 23
7 8 2.8284 -3.0000 0 5.7500 23
8 5 8.4853 -4.0000 -0.5000 5.7500 23
9 6 0.7071 0.7071 0 7.0000 28
10 5 0.7071 0.7071 0 7.0000 28
11 9 -2.8284 -2.8284 0 7.0000 28
12 8 2.1213 2.1213 0 7.0000 28
13 1 0.7071 0.7071 0 3.7500 15
14 3 0.7071 0.7071 0 3.7500 15
15 3 -1.4142 -1.4142 0 3.8964 16
16 9 -4.2426 -4.2426 -0.5000 4.6036 18
wd1
wa1
wa2
wd2
wd1
去噪声 wd2
去噪声 wd1
