第二章 液压传动基础知识（补充内容） 本章介绍有关液压传动的流体力学基础，重点为液体静压方程、连续性方程、伯努力方程的应用，压力损失、小孔流量的计算。要求学生理解基本概念、牢记公式并会应用。 第一节 液体静力学 液压传动是以液体作为工作介质进行能量传递的，因此要研究液体处于相对平衡状态下的力学规律及其实际应用。所谓相对平衡是指液体内部各质点间没有相对运动，至于液体本身完全可以和容器一起如同刚体一样做各种运动。因此，液体在相对平衡状态下不呈现粘性，不存在切应力，只有法向的压应力，即静压力。本节主要讨论液体的平衡规律和压强分布规律以及液体对物体壁面的作用力。 一、液体静压力及其特性 作用在液体上的力有两种类型：一种是质量力，另一种是表面力。 质量力作用在液体所有质点上，它的大小与质量成正比，属于这种力的有重力、惯性力等。单位质量液体受到的质量力称为单位质量力，在数值上等于重力加速度。 表面力作用于所研究液体的表面上，如法向力、切向力。表面力可以是其他物体(例如活塞、大气层)作用在液体上的力；也可以是一部分液体间作用在另一部分液体上的力。对于液体整体来说，其他物体作用在液体上的力属于外力，而液体间作用力属于内力。由于理想液体质点间的内聚力很小，液体不能抵抗拉力或切向力，即使是微小的拉力或切向力都会使液体发生流动。因为静止液体不存在质点间的相对运动，也就不存在拉力或切向力，所以静止液体只能承受压力。 所谓静压力是指静止液体单位面积上所受的法向力，用p表示。 液体内某质点处的法向力ΔF对其微小面积ΔA的极限称为压力p，即： p＝limΔF/ΔA (2-1) ΔA→0 若法向力均匀地作用在面积A上，则压力表示为： p＝F/A (2-2) 式中：A为液体有效作用面积；F为液体有效作用面积A上所受的法向力。 静压力具有下述两个重要特征： (1)液体静压力垂直于作用面，其方向与该面的内法线方向一致。 (2)静止液体中，任何一点所受到的各方向的静压力都相等。 二、液体静力学方程  图2-1静压力的分布规律 ? 静止液体内部受力情况可用图2-1来说明。设容器中装满液体，在任意一点A处取一微小面积dA，该点距液面深度为h，距坐标原点高度为Z，容器液平面距坐标原点为Z0。为了求得任意一点A的压力，可取dA·h这个液柱为分离体〔见图(b)〕。根据静压力的特性，作用于这个液柱上的力在各方向都呈平衡，现求各作用力在Ｚ方向的平衡方程。微小液柱顶面上的作用力为p0dA(方向向下)，液柱本身的重力Ｇ＝γhdA(方向向下)，液柱底面对液柱的作用力为pdA(方向向上)，则平衡方程为：  pdA=p0dA+γhdA 故p= p0+γh (2-1) 为了更清晰地说明静压力的分布规律，将(2-1)式按坐标Ｚ变换一下，即以：h=Z0-Z 代入上式整理后得： p+γZ= p0+γZ0=常量 (2-2) 上式是液体静力学基本方程的另一种形式。其中Z实质上表示A点的单位质量液体的位能。设A点液体质点的质量为m，重力为mg，如果质点从A点下降到基准水平面，它的重力所做的功为mgz。因此A处的液体质点具有位置势能mgz，单位质量液体的位能就是 mgz/mg＝Z，Z又常称作位置水头。而p/ρg表示A点单位质量液体的压力能，常称为压力水头。由以上分析及式(2-1)可知，静止液体中任一点都有单位质量液体的位能和压力能，即具有两部分能量，而且各点的总能量之和为一常量。 分析式(2-1)可知： (1)静止液体中任一点的压力均由两部分组成，即液面上的表面压力p0和液体自重而引起的对该点的压力γh。 (2)静止液体内的压力随液体距液面的深度变化呈线性规律分布，且在同一深度上各点的压力相等，压力相等的所有点组成的面为等压面，很显然，在重力作用下静止液体的等压面为一个平面。 (3)可通过下述三种方式使液面产生压力p0： ①通过固体壁面(如活塞)使液面产生压力； ②通过气体使液面产生压力； ③通过不同质的液体使液面产生压力。 三、压力的表示方法及单位 液压系统中的压力就是指压强，液体压力通常有绝对压力、相对压力(表压力)、真空度三种表示方法。因为在地球表面上，一切物体都受大气压力的作用，而且是自成平衡的，即大多数测压仪表在大气压下并不动作，这时它所表示的压力值为零，因此，它们测出的压力是高于大气压力的那部分压力。也就是说，它是相对于大气压(即以大气压为基准零值时)所测量到的一种压力，因此称它为相对压力或表压力。另一种是以绝对真空为基准零值时所测得的压力，我们称它为绝对压力。当绝对压力低于大气压时，习惯上称为出现真空。因此，某点的绝对压力比大气压小的那部分数值叫作该点的真空度。如某点的绝对压力为4.052×104Pa(0.4大气压)，则该点的真空度为0.6078×104Pa(0.6大气压)。绝对压力、相对压力(表压力)和真空度的关系如图2-4所示。 ?　　　 　　　　　　　　 ? 图2-2绝对压力与表压力的关系 　　　　　　　　图2-3真空 ? 由图2-2可知，绝对压力总是正值，表压力则可正可负，负的表压力就是真空度，如真空度为4.052×104Pa(0.4大气压)，其表压力为-4.052×104Pa(-0.4大气压)。我们把下端开口，上端具有阀门的玻璃管插入密度为ρ的液体中，如图2-3所示。如果在上端抽出一部分封入的空气，使管内压力低于大气压力，则在外界的大气压力pa的作用下，管内液体将上升至h0，这时管内液面压力为p0，由流体静力学基本公式可知：pa=p0+ρgh0。显然，ρgh0就是管内液面压力p0不足大气压力的部分，因此它就是管内液面上的真空度。由此可见，真空度的大小往往可以用液柱高度h0=(pa- p0)/ρg来表示。在理论上，当p0等于零时，即管中呈绝对真空时，h0达到最大值，设为(h0max)r，在标准大气压下， (h0max)r＝patm/ρg=10.1325/(9.8066ρ)=1.033/ρ 水的密度ρ=10-3kg/cm3，汞的密度为13.6×10-3kg/cm3。 所以(h0max)r＝1.033×10-3=1033cmH2O=10.33mH2O 或(h0max)r＝1.03313.6×10-3=76cmHg=760mmHg 即理论上在标准大气压下的最大真空度可达10.33米水柱或760毫米汞柱。根据上述归纳如下： (1)绝对压力＝大气压力+表压力 (2)表压力＝绝对压力-大气压力 (3)真空度＝大气压力-绝对压力 压力单位为帕斯卡，简称帕，符号为Pa，1Pa＝1N/m2。由于此单位很小，工程上使用不便，因此常采用它的倍单位兆帕，符号MPa。1Mpa=105Pa 四、帕斯卡原理 密封容器内的静止液体，当边界上的压力p0发生变化时，例如增加Δp，则容器内任意一点的压力将增加同一数值Δp0也就是说，在密封容器内施加于静止液体任一点的压力将以等值传到液体各点。这就是帕斯卡原理或静压传递原理。 在液压传动系统中，通常是外力产生的压力要比液体自重(γh)所产生的压力大得多。因此可把式(2-16)中的γh项略去，而认为静止液体内部各点的压力处处相等。  图2-4静压传递原理应用实例 ? 根据帕斯卡原理和静压力的特性，液压传动不仅可以进行力的传递，而且还能将力放大和改变力的方向。图2-4所示是应用帕斯卡原理推导压力与负载关系的实例。图中垂直液压缸(负载缸)的截面积为A1，水平液压缸截面积为A2，两个活塞上的外作用力分别为F1、F2，则缸内压力分别为p1= F1/A1、p2= F2/A2。由于两缸充满液体且互相连接，根据帕斯卡原理有p1= p2。因此有： ? F1= F2A1/A2 (2-3) 上式表明，只要A1/A2足够大，用很小的力F1就可产生很大的力F2。液压千斤顶和水压机就是按此原理制成的。 如果垂直液压缸的活塞上没有负载，即F1=0，则当略去活塞重量及其他阻力时，不论怎样推动水平液压缸的活塞也不能在液体中形成压力。这说明液压系统中的压力是由外界负载决定的，这是液压传动的一个基本概念。 五、液压静压力对固体壁面的作用力 在液压传动中，略去液体自重产生的压力，液体中各点的静压力是均匀分布的，且垂直作用于受压表面。因此，当承受压力的表面为平面时，液体对该平面的总作用力F为液体的压力p与受压面积A的乘积，其方向与该平面相垂直。如压力油作用在直径为D的柱塞上，则有F=pA=pπD2/4。 当承受压力的表面为曲面时，由于压力总是垂直于承受压力的表面，所以作用在曲面上各点的力不平行但相等。要计算曲面上的总作用力，必须明确要计算哪个方向上的力。 图2-5所示为液压缸筒受力分析图。设缸筒半径为r，长度为l，求液压力作用在右壁部x方向的力Fx。在缸筒上取一微小窄条，其面积为dA=lds=lrdθ，压力油作用在这微小面积上的力dF在x方向的投影为：  图2-5液体对固体壁面的作用力 ?dFx=dFcosθ=pdAcosθ=plrcosθdθ 在液压缸筒右半壁上x方向的总作用力为： Fx=plrcosθdθ=2lrp (2-4) 式中，2lr为曲面在x方向的投影面积。 由此可得出结论，作用在曲面上的液压力在某一方向上的分力等于静压力与曲面在该方向投影面积的乘积。这一结论对任意曲面都适用。 图2-5为球面和锥面所受液压力分析图。要计算出球面和锥面在垂直方向受力F，只要先计算出曲面在垂直方向的投影面积A，然后再与压力p相乘，即： F=pA=pπd2/4 (2-5) 式中：d为承压部分曲面投影圆的直径。 ?  ? 图2-5液压力作用在曲面上的力 第二节 液体动力学 ?在液压传动系统中，液压油总是在不断的流动中，因此要研究液体在外力作用下的运动规律及作用在流体上的力及这些力和流体运动特性之间的关系。对液压流体力学我们只关心和研究平均作用力和运动之间的关系。本节主要讨论三个基本方程式，即液流的连续性方程、柏努力方程和动量方程。它们是刚体力学中的质量守恒、质量守恒及动量守恒原理在流体力学中的具体应用。前两个方程描述了压力、流速与流量之间的关系，以及液体能量相互间的变换关系，后者描述了流动液体与固体壁面之间作用里的情况。液体是有粘性的，并在流动中表现出来，因此，在研究液体运动规律时，不但要考虑质量力和压力，还要考虑粘性摩擦力的影响。此外，液体的流动状态还与温度、密度、压力等参数有关。为了分析，可以简化条件，从理想液体着手，所谓理想液体是指没有粘性的液体，同时，一般都视为在等温的条件下把粘度、密度视作常量来讨论液体的运动规律。然后在通过实验对产生的偏差加以补充和修正，使之符合实际情况。 一、基本概念 1)理想液体与定常流动 液体具有粘性，并在流动时表现出来，因此研究流动液体时就要考虑其粘性，而液体的粘性阻力是一个很复杂的问题，这就使我们对流动液体的研究变得复杂。因此，我们引入理想液体的概念，理想液体就是指没有粘性、不可压缩的液体。首先对理想液体进行研究，然后再通过实验验证的方法对所得的结论进行补充和修正。这样，不仅使问题简单化，而且得到的结论在实际应用中扔具有足够的精确性。我们把既具有粘性又可压缩的液体称为实际液体。 当液体流动时，可以将流动液体中空间任一点上质点的运动参数，例如压力p、流速v及密度g表示为空间坐标和时间的函数，例如： 压力p=p（x，y，z，t) 速度v=v（x，y，z，t) 密度=（x，y，z，t） 如果空间上的运动参数p、v及在不同的时间内都有确定的值，即它们只随空间点坐标的变化而变化，不随时间t变化，对液体的这种运动称为定常流动或恒定流动。但只要有一个运动参数随时间而变化，则就是非定常流动或非恒定流动。 如果空间点上的运动参数p、υ及ρ在不同的时间内都有确定的值，即它们只随空间点坐标的变化而变化，不随时间t变化，对液体的这种运动称为定常流动或恒定流动。定常流动时，   ,  在流体的运动参数中，只要有一个运动参数随时间而变化，液体的运动就是非定常流动或非恒定流动。  图2-6恒定出流与非恒定出流 (a)恒定出流　　　(b)非恒定出流 在图2-6(a)中，我们对容器出流的流量给予补偿，使其液面高度不变，这样，容器中各点的液体运动参数p、υ、ρ都不随时间而变，这就是定常流动。在图2-9(b)中，我们不对容器的出流给予流量补偿，则容器中各点的液体运动参数将随时间而改变，例如随着时间的消逝，液面高度逐渐减低，因此，这种流动为非定常流动。 2)迹线、流线、流束和通流截面 ①迹线：迹线是流场中液体质点在一段时间内运动的轨迹线。 ②流线：流线是流场中液体质点在某一瞬间运动状态的一条空间曲线。在该线上各点的液体质点的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。在非定常流动时，因为各质点的速度可能随时间改变，所以流线形状也随时间改变。在定常流动时，因流线形状不随时间而改变，所以流线与迹线重合。由于液体中每一点只能有一个速度，所以流线之间不能相交也不能折转。  图2-7流线和流束 (a)流线　　　　　(b)流束 ③流管：某一瞬时t在流场中画一封闭曲线，经过曲线的每一点作流线，由这些流线组成的表面称流管。 ④流束：充满在流管内的流线的总体，称为流束。 ⑤通流截面：垂直于流束的截面称为通流截面。 3)流量和平均流速 ①流量：单位时间内通过通流截面的液体的体积称为流量，用q表示，流量的常用单位为升/分，L/min。 对微小流束，通过dA上的流量为dq,其表达式为： dq=udA (2-6) q= 当已知通流截面上的流速u的变化规律时，可以由上式求出实际流量。 ②平均流速：在实际液体流动中，由于粘性摩擦力的作用，通流截面上流速u的分布规律难以确定，因此引入平均流速的概念，即认为通流截面上各点的流速均为平均流速，用v来表示，则通过通流截面的流量就等于平均流速乘以通流截面积。令此流量与上述实际流量相等，得： q== vA (2-7) 则平均流速为： v = q/A (2-8) 4）流动状态、雷诺数 实际液体具有粘性，是产生流动阻力的根本原因。然而流动状态不同，则阻力大小也是不同的。所以先研究两种不同的流动状态。 流动状态——层流和紊流 液体在管道中流动时存在两种不同状态，它们的阻力性质也不相同。虽然这是在管道液流中发生的现象，却对气流和潜体也同样适用。 试验装置如图2-8所示，试验时保持水箱中水位恒定和可能平静，然后将阀门A微微开启，使少量水流流经玻璃管，即玻璃管内平均流速V很小。这时，如将颜色水容器的阀门B也微微开启，使颜色水也流入玻璃管内，我们可以在玻璃管内看到一条细直而鲜明的颜色流束，而且不论颜色水放在玻璃管内的任何位置，它都能呈直线状，这说明管中水流都是安定地沿轴向运动，液体质点没有垂直于主流方向的横向运动，所以颜色水和周围的液体没有混杂。如果把A阀缓慢开大，管中流量和它的平均流速V也将逐渐增大，直至平均流速增加至某一数值，颜色流束开始弯曲颤动，这说明玻璃管内液体质点不再保持安定，开始发生脉动，不仅具有横向的脉动速度，而且也具有纵向脉动速度。如果A阀继续开大，脉动加剧，颜色水就完全与周围液体混杂而不再维持流束状态。  图2-8 雷诺试验 层流：在液体运动时，如果质点没有横向脉动，不引起液体质点混杂，而是层次分明，能够维持安定的流束状态，这种流动称为层流 紊流：如果液体流动时质点具有脉动速度，引起流层间质点相互错杂交换，这种流动称为紊流或湍流。 雷诺数 液体流动时究竟是层流还是紊流，须用雷诺数来判别。 实验证明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速v有关，还和管径d、液体的运动粘度有关。但是，真正决定液流状态的，却是这三个参数所组成的一个称为雷诺数Re的无量纲纯数： Re=vd/ （2—9） 由式（2—9）可知，液流的雷诺数如相同，它的流动状态也相同。当液流的雷诺数Re小于临界雷诺数时，液流为层流；反之，液流大多为紊流。常见的液流管道的临界雷诺数由实验求得。示于表2-1中。 表2-1 常见液流管道的临界雷诺数 管道的材料与形状 Recr 管道的材料与形状 Recr  光滑的金属圆管 2000-2320 带槽装的同心环状缝隙 700  橡胶软管 1600-2000 带槽装的偏心环状缝隙 400  光滑的同心环状缝隙 1100 圆柱形滑阀阀口 260  光滑的偏心环状缝隙 1000 锥状阀口 20-100   对于非阀截面的管道来说，Re可用下式计算：  (2-9) 式中：Re为流截面的水力半径，它等于也流的有效截面积A和它的湿周（有效截面的周界长度）x之比，即:  （2-10） 直径为D的圆柱截面管道的水力半径为R=A/x==d/4 .将此式代入（2-10），可得式（2-9）。 又如正方形的管道，边长为b,则湿周为4b，，因而水力半径为R=b/4。水力半径的大小，对管道的通流能力影响很大。水力半径大，表明流体与管壁的接触少，同流能力强；水力半径小，表明流体与管壁的接触多，同流能力差，容易堵塞。 ? 二、连续性方程 质量守恒是自然界的客观规律，不可压缩液体的流动过程也遵守能量守恒定律。在流体力学中这个规律用称为连续性方程的数学形式来表达的。 其中不可压缩流体作定常流动的连续性方程为：  图2-9液体的微小流束连续性流动示意图 ? v1A1=v2A2 （2-11） 由于通流截面是任意取的，则有： q =v1A1=v2A2=v3A3= ……=vnAn=常数 （2-12） 式中：v1，v2分别是流管通流截面A1及A2上的平均流速。式（2-12）表明通过流管内任一通流截面上的流量相等，当流量一定时，任一通流截面上的通流面积与流速成反比。则有任一通流断面上的平均流速为： vi=q/Ai 三、伯努利方程 能量守恒是自然界的客观规律，流动液体也遵守能量守恒定律，这个规律是用伯努利方程的数学形式来表达的。伯努利方程是一个能量方程，掌握这一物理意义是十分重要的。 理想液体微小流束的伯努利方程 为研究的方便，一般将液体作为没有粘性摩擦力的理想液体来处理。 P1/ρg +Z1 +u12/2g = P2/ρg+ Z2 + u22 /2g （2-13） 式中p/r为单位重量液体所具有的压力能，称为比压能，也叫作压力水头。Z为单位重量液体所具有的势能，称为比位能，也叫作位置水头。（u2/2g）为单位重量液体所具有的动能，称为比动能，也叫作速度水头，它们的量纲都为长度。 ?  图2—11液流能量方程关系转换图 对伯努利方程可作如下的理解： ①伯努利方程式是一个能量方程式，它表明在空间各相应通流断面处流通液体的能量守恒规律。 ②理想液体的伯努利方程只适用于重力作用下的理想液体作定常活动的情况。 ③任一微小流束都对应一个确定的伯努利方程式，即对于不同的微小流束，它们的常量值不同。 伯努利方程的物理意义为：在密封管道内作定常流动的理想液体在任意一个通流断面上具有三种形成的能量，即压力能、势能和动能。三种能量的总合是一个恒定的常量，而且三种能量之间是可以相互转换的，即在不同的通流断面上，同一种能量的值会是不同的，但各断面上的总能量值都是相同的。 2)实际液体微小流束的伯努利方程 由于液体存在着粘性，其粘性力在起作用，并表示为对液体流动的阻力，实际液体的流动要克服这些阻力，表示为机械能的消耗和损失，因此，当液体流动时，液流的总能量或总比能在不断地减少。所以，实际液体微小流束的伯努力方程为 ?  （2-12） 3)实际液体总流的伯努利方程  　　 （2-13） 伯努利方程的适用条件为： ①稳定流动的不可压缩液体，即密度为常数。 ②液体所受质量力只有重力，忽略惯性力的影响。 ③所选择的两个通流截面必须在同一个连续流动的流场中是渐变流（即流线近于平行线，有效截面近于平面）。而不考虑两截面间的流动状况。 4)动量方程 动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用。流动液体的动量方程是流体力学的基本方程之一，它是研究液体运动时作用在液体上的外力与其动量的变化之间的关系。在液压传动中，再计算液流作用在固体壁面上的力时，应用动量方程去解决就比较方便。 流动液体的动量方程为： F=(–) （2-14） 它是一个矢量表达式，液体对固体壁面的作用力F与液体所受外力F大小相等方向相反。  图2-12 动量变化 ?