第三章 数字控制器的设计
3.1 概述
3.2 模拟控制器的离散化
3.3 数字 PID控制
3.4 数字 PID控制算式的改进
3.5 数字 PID参数整定方法
3.6 数字控制器的直接设计方法
3.7 数字控制器的计算机实现
本章主要内容,
数字控制器的设计方法
按其设计特点分为三大类,
1.模拟化设计方法
先设计校正装置的传递函数 D(s)，然后采用
某种离散化方法，将它变成计算机算法。
2.离散化设计方法
已知被控对象的传递函数或特性 G(Z)，根据
所要求的性能指标，设计数字控制器。
3.状态空间设计法（能处理多输入 -多输出系统）
基于现代控制理论，利用离散状态空间表达
式，根据性能指标要求，设计数字控制器。
3.1 概述
工程上多数情况下被控对象是连续的。这
样组成的计算机系统人们称之为, 混合系统,,
习惯上也常称为, 离散系统, 。如 图 3-1所示。
被控对象：其输入输出均为模拟量，是系统的连
续部分。
数字控制器,可以是计算机，工业控制机或数字
控制器等。
设计方法分为：模拟化设计方法和离散化设计方
法。
● 模拟化设计方法的假设是认为采样频率足够高
（相对于系统的工作频率），以至于采样保持所
引进的附加误差可以忽略，则系统的连续部分可
以用连续系统来代替。
●模拟化设计方法一般可按以下五步进行,
第一步：用连续系统的理论确定控制器 D(S)；
第二步：用合适的离散化方法由 D(S)求出 D(Z)；
第三步：检查系统性能是否符合设计要求；
第四步：将 D(Z)变为差分方程或状态空间表达式
形式，并编制计算机程序，需要时尚可采取。
第五步：用混合仿真的方法检查系统的设计与程
序编制是否正确。
3.1 概述
3.1.1 模拟化设计方法
3.1 概述
3.1.2离散化设计方法
1,Z变换法
Z变换可由拉氏变换推导出来,
求 z变换的方法有：无穷级数求和法、部分分
式法、留数计算法。
求 z反变换的方法有：长除法、部分分式法、
留数计算法。
离散化设计方法的概念可用 图 3-2说明。
Tsez ?
2.带有零阶保持器的 Z变换法
在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，
再进行 Z变换从而得到 D(s)的离散化模型 D(z)
3.差分变换法（又称数值积分法）
将微分方程离散化为差分方程，最后求 z传递函数。
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sT??
?
? 3.1.3两种方法的比较
●离散化的设计方法，与模拟化的设计方法相
比有时称为精确法。
该法的精确性仅限于线性范围内以及采样
点上才成立，是一种直接数字设计方法。更具
一般性，且控制品质也应较好，多用在某些随
动系统的设计上。要求人们了解并掌握有关自
控原理、数学模型、计算机控制系统（包括硬
件与软件）等方面的知识。
3.2模拟控制器的离散化
● 模拟控制器从信号理论的角度看是把模拟控制
器用于反馈控制系统作校正装置。而表征校正
控制器的重要参数是,
(a)极点与零点的数目；
(b)频带宽度与截止频率；
(c)DC增益；
(d)相位裕度；
(e)增益裕度；超调量，闭环频率响应峰值。
3.2模拟控制器的离散化
3.2.1 Z变换法
● Z变换法是依据就 D(z)与 D(s)之间的一种映射
关系。
● Z变换法离散化模型为,
● Z变换法的特点,
(1)D(z)与 D(s)的脉冲响应相同；
如果 D(s)是稳定的，则 D(z)也稳定；
(3)D(z)不能保持 D(s)的频率响应；
(4)D(z)将 ωs 的整数倍的频率信号，变换为 z平面上同一
频率点，所以出现了混迭现象,(ωs 为样角频率 );
(5)如果 D(s)是一个复杂的传递函数则其 Z变换很可能无
法在一般 Z变换表中查到。这时就需要进行部分分式展开。
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2
1
1
111
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?
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A
ze
A
ze
AzD
Ta
n
TaTa n
3.2模拟控制器的离散化
3.2.2 带有零阶保持器的 Z变换法
●保持器是本方法公式中的一个解析部分，而不
是一个硬件模型，即在原线性系统的基础上串联
一个虚拟的零阶保持器。
●带有零阶保持器的 Z变换离散化模型为,
●加保持器的 Z变换法的 特点 是,
(1)如果 D(s)是稳定的，则 D(z)也稳定；
(2)如果 D(z)不能从表中查到。则要进行部分分
式展开；
(3)D(z)不能保持 D(s)的脉冲响应和频率响应 。
)](1[)( sD
s
eZzD sT???
3.2模拟控制器的离散化
3.2.3 差分变换法
●差分变换法是变量的导数用有限差分来近似的
等效。其中最简单的差分变换是用后向差分或前
向差分代替一阶导数。如 图 3.3所示。
●后向差分
●后向差分的性质是,
(1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解；
(2)一个稳定的 D(s)变换为一个稳定的 D(z)；
(3)不能保持 D(s)的脉冲与频率响应。
●前向差分
由此可知,s平面的 jΩ 轴在 z平面上的映像除 ΩT 极
小值外，均在单位园外，因此这种方法将不利用控制器
的稳定性。
T
ee
dt
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T
uu
dt
du ii 1???
T
ee
dt
de ii ?? ? 1
3.2模拟控制器的离散化
3.2.4 双线性变换法
●双线性变换法亦称作 TUSTIN法或梯形积分法。
如图 3.4所示。
●双线性变换的特点,
(1)应用方便。可用计算机算出 D(z)的系数。
(2)双线性变换不会引起高频混迭现象。
(3)如果 D(s)稳定，则 D(z)亦稳定。
(4)它不能保持 D(s)的脉冲响应和频率响应。 如图 3.5所
示。
3.2.5 各种离散化方法的比较
根据 A.本茨和 M.普里斯勒的研究可知最好的
离散化方法是双线性变换法,
图 3 - 4 双线性变换
i
t?
图 3 - 5 频率响应曲线
3,3 数字 PID控制
● PID控制的数字化,属于模拟化设计方法，是
由连续系统 PID控制发展起来的。具有原理简
单，易于实现，鲁棒性（ Robustness）和适用
面广等优点,
3.3.1 理想微分 PID控制
●模拟 PID控制器的理想算式为,
u(t)为控制量（控制器输出） ;
e(t)为被控量与给定值的偏差，即,e(t)=r(t)-y(t);
Kc为比例增益,Kc与比例带成倒数关系，即 Kc=1/δ;T i
为积分时间 ;Td为微分时间。
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0 dt
tdeTdtte
T
teKtu d
t
i
p ??? ?
? 离散化后,
? 上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所
以称为 PID位置控制算法 。
? 将上式写成传递函数形式,其框图如图 3.7所示。
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sT
K
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Kc Td S
Kc
Kc /Ti S
D
P
I
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+
u y 对象
测量电路
● 利用后向差分法可求出其对应的脉冲传递函数
D(z)为,
● 数字 PID的增量式 为,
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kekekeKkeKkekeK
kekeke
T
T
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T
T
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dic
d
i
c
数字 PID的增量式的优点如下,
1.计算机只输出增量,误动作时影响小,必要时可增设
逻辑保护 ;
2.手动 /自动切换时冲击小 ;
3.算式不需要累加,只需记住四个历史数据,即 e(k-
2),e(k-1),e(k)和 u(k-1),占用内存少,计算方便,在实
际系统中,如执行机构为步进奠基,则可以自动完成数
字 PID的增量式的计算功能,
程序流程图 如 3.8所示,
图 3.8 数字 PID控制算法 程序框图
增量式 PID算法与位置式 PID算法的比较,
两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执
行机构。但有如下优点,
1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设
逻辑保护；
2、手动 /自动切换时冲击小；
3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即 e(k-
2),e(k-1),e(k)和 u(k-1),占用内存少，计算方便，不
易引起误差累积。
3.3.2 实际微分 PID控制
在计算机直接数字控制系统中，通常采用以下三
种实际微分 PID控制算式。
1.实际微分 PID控制算式之一,(如 图 3.9所示 )低
通滤波器和理想微分 PID算式相结合后的传递函
数为,
2.实际微分 PID控制算式之二, (如 图 3.10所示 )
实际微分 PID算式的传递函数,
3.实际微分 PID控制算式之三,(如 图 3.11所示 )其
传递函数为,
)11(1)( )()( sTsTsT KsE sUsD d
if
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1
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K
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K
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1
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s
K
T
sT
sT
KsD
d
d
d
i
p
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3.3.3控制算法实施中的具体问题
3.3.3.1 积分项的改进
3.3.3.2 变化率限制
3.3.3.3 输出位置限幅
3.3.3.4 防止积分饱和
3.3.3.5 存储有效数据
图 3.12计算机控制的几个步骤
3.4 数字 PID控制算式的改进
? 为改善 PID控制的动态特性，人们在实践中，结合计算机
的特点，提出了多种改进数字 PID控制算法，下面介绍几
种常用的非标准数字 PID算法。
积分饱和的原因及影响,
? 原因：由于执行机构的限制和积分项的存在
? 影响：增加超调量和系统的调节时间。
3.4.1 微分先行
微分先行, (如 图 3.15)
特点,将微分与积分运算分解为一阶惯性环节,
简化计算,
3.4.2 带死区的 PID算法,
系统框图如 图 3.16所示,
特点,
带死区的 PID算法 (如图 3.17所示 )
图 3.15 微分先行 PID算式的分解框图
图 3.16 带死区 PID控制系统框图
3.4.3 积分分离 PID算法 (如 图 3.18所示 )
特点,降低超调,减少调节时间,
3.4.4 IPD算法 (如图 3.19所示 )
特点,
图 3.17 带死区 PID控制系统程序框图
图 3.18 有积分分离手段的控制过程
图 3.19 IPD控制系统方框图
3.5 数字 PID参数整定方法
3.5.1 PID控制器参数对系统性能的影响,
PID反馈控制系统如图 3.20,
● 放大倍数对系统性能的影响,
(1)对系统的动态性能,
(2)对系统的稳定性能,
● 积分时间对系统性能的影响,
(1)对系统的动态性能,
(2)对系统的稳态性能,
● 微分时间对系统性能的影响,
不同的控制规律各有特点，对于某一相同的控制
对象，不同的控制规律，有不同的控制效果,如
图 3.21
图 3.20 PID反馈控制系统简图
图 3 - 2 1,各种控制规律对控制性能的影响
3.5.2 采样周期 T的选择
●采样周期 T在计算机控制系统中是一个重要参
数。根据香农采样定理，采样周期 。
●选取采样周期时，一般应考虑以下因素,
(1) 采样周期，应远小于对象的扰动信号周期,
(2) 对象的动态特性,
(3) 计算机所承担的工作量,
(4) 对象所要求的控制品质,
(5) 计算机及 A/D,D/A转换器性能,
(6) 考虑执行机构的响应速度,
表 3-1列出了集中常见对象采样周期选择的经验
数据,
表 3.1 常见对象选择采样周期的经验数据,
被控量 采样周期（ s） 备 注
流量 1~5 优选 1~2s
压力 3~10 优选 3~5s
液位 6~8 优选 7s
温度 15~20 取纯滞后时间常数
成分 15~20 优选 18s
3.5.3 控制规律的选择
PID控制之所以长期以来得到广泛应用,主
要有以下几个原因,
● 对于特性为 和
的被控对象,PID控制是一种较优的控制算法，
PID参数相互独立，参数整定方便；
● PID算法比较简单，计算工作量小，容易实现
多回路控制，现场工程技术人员较熟悉，较易
掌握，并已积累了丰富的经验，但使用中要根
据对象特性，负载情况，合理选择控制规律以
达到较佳效果。
)1/( sTKe ps ?? ? )1)(1/( 21 sTsTKe s ??? ?
3.5.4 扩充比例度法
●扩充比例度法又称为,Roberes方法，是由
P.D.Roberes于 1974年提出对增量式 PID算法的参
数整定方法。用此法整定 T和 Kp,Ti,Td的选择
步骤如下,
(1)选择一个适当短的 Tmin（采样周期）,
(2)只采用比例调节时确定临界比例度和振荡周
期 Tk；
(3)控制度选择，所谓控制度是评价数字控制与
模拟控制的一个指标。
在投运中观察控制效果，用探索法进一步寻
求满意的值。见下表 3-2、扩充临界比例度整定
T,Kc,Ti,Td
控制度 控制
规律
T Kp Ti Td
1.05 PI
PID
0.03Tk
0.014Tk
0.53Kp
0.63Kp
0.88Ti
0.49Ti
——
0.14Td
1.2 PI
PID
0.05Tk
0.043Tk
0.49Kp
0.47Kp
0.91Ti
0.47Ti
——
0.16Td
1.5 PI
PID
0.14Tk
0.09Tk
0.42Kp
0.34Kp
0.99Ti
0.43Ti
——
0.20Td
2.0 PI
PID
0.22Tk
0.16Tk
0.36Kp
0.27Kp
1.05Ti
0.40Ti
——
0.22Td
模拟调
节器
PI
PID
——
——
0.57Kp
0.70Kp
0.83Ti
0.50Ti
——
0.13Td
临界比
例度
PI
PID
——
——
0.45Kp
0.60Kp
0.83Ti
0.50Ti
——
0.125Td
表 3.2 扩充临界比例度整定 T,Kc,Ti,Td
控制度 控制
规律
T Kp Ti Td
1.05 PI
PID
0.1τ
0.05τ
0.84T0/τ
1.15T0/τ
3.4τ
2.0τ
——
0.45τ
1.2 PI
PID
0.2τ
0.16τ
0.78T0/τ
1.0T0/τ
3.6τ
1.9τ
——
0.55τ
1.5 PI
PID
0.5τ
0.34τ
0.68T0/τ
0.85T0/τ
3.9τ
1.62τ
——
0.65τ
2.0 PI
PID
0.8τ
0.6τ
0.57T0/τ
0.6T0/τ
4.2τ
1.5τ
——
0.82τ
模拟调
节器
PI
PID
——
——
0.9T0/τ
1.2T0/τ
3.3τ
2.0τ
——
0.4τ
临界比
例度法
PI
PID
——
——
0.9T0/τ
1.2T0/τ
3.3τ
2.0τ
——
0.5τ
表 3.3 扩充响应曲线法整定 T和 Kp,Ti,Td
3.5.5 扩充响应曲线法（动态特性法）
●系统必须稳定并且允许开环运行,
3.5.6 衰减曲线法
● P控制：取 Kp=Kv;
● PI控制：取 Kp=0.84Kv,Ti=0.5Tv;
● PID控制：取 Kp=1.25Kv,Ti=0.3Tv,Td=0.1Tv;
3.5.7 数字 PID的变参数整定,如图 3.22,
● 按照负荷预先设置整定参数方法 ;
● 时序控制 ;
● 人工模型,
3.5.8 数字 PID参数的最优整定数字
● PID参数的最优整定是利用计算机的快速运算
和逻辑判断功能，按照选定的寻优方法，不断探
索，不断调整，自动寻找适合当前对象与工况的
最优数字 PID调节系统，使系统的性能处于最优
状态,
图 3 - 2 2 整定参数与负荷的关系
图 3.22 整定参数与负荷的关系
3.6 数字控制器的直接设计方法
本节将主要讨论最少拍系统设计以及一些改进
算法。 Z平面根轨迹设计与大林控制算法。
3.6.1 最少拍随动系统设计
●最少拍系统，也称最小调整时间系统或最快
响应系统。它是指系统对于典型输入：单位阶
跃输入，单位速度输入，单位加速度输入，或
单位重加速度输入，具有最快的响应速度。
最少拍随动系统 如图 3-23所示,有关例题见书。
图 3 - 2 3 最少拍随动系统
系统的开环 z传递函数为,
Gk(z)=D(z)G(z)
该系统的闭环 Z传递函数为,
可得系统误差的 Z变换函数,
最少拍随动系统数字控制器的 Z传递函数,
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)()(
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1
1
zGzD
zGzD
zG
zGzG
k
k
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?
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zR
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11 zGzG
zG
zGzG
zGzD
e
b
e
e ???
例题 3-1:见教材。
3.6.2 最少拍无纹波随动系统的设计
例 3-1中，分析了在单位速度输入时的最少拍数
字控制器 D(z)，若此时改为单位阶跃输入，则可
设计出最少拍数字控制器为,
1
1
1
1
1
718.01
1.0272.0
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?
?
?
?
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?? z
z
zGz
zzD
1)1/()1()()()( 11 ????? ?? zzzRzGzE e
3.6.3 大林控制算法
适用,大纯滞后环节的控制系统。
图 3-26典型的数字过程控制回路
3.6.3.1．大林算法的基本形式
? 大林控制算法 (推导见教材 ),
)(
1
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1 zGzYzR
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1 zGzRzY
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1/
zGzeze
ze
NTT
NT
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???
???
??
??
?
对象特性为二阶惯性加纯滞后环节的大林控
制算式列表见表 3.6,
G(s) G1(z) D(z)
11 ?
?
s
Ke s
?
?
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ss
Ke s
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T
N
?
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)(
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???
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TT
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???
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NT
TT
???
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1/1// 21
??????
?????
????
???
zCCzezeK
zezee
NT
TTT
???
???
图 3 - 27 不同 λ 值大林算法的特性
3.6.3.2．振铃现象及其消除方法
●振铃现象（ Ringing）是数字控制器输出以接
近 1/2的采样频率大幅度上下摆动，它对系统输
出几乎是无影响的，但它能使执行机构磨损，
很快损坏。几个代表性的环节的振铃特点列表
于 3.7。
●振铃的根源是在 Z=-1附近有极点，极点若在
Z=-1时最严重,离 Z=-1越远就越弱,这可从表 3.7
中看出这一点,
● 振铃现象的消除,大林建议用简单的消除跳动
极点而相应地调整增益的方法消除,表 3.7几个
典型脉冲传递函数的振铃现象
表 3.7 几个典型脉冲传递函数的振铃现象
D(z) 阶跃响应 跳动幅值 输出序列图
1
1
0
1
0
1
0
1
2
0
0.5
0.75
0.625
0.5
3
1.0
0.7
0.89
0.803
0.848
0.3
4
1.0
0.2
0.54
0.386
0.486
0.8
11
1
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15.01
1
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1
11 ?? ?? zz
)2.01)(5.01(
5.01
11
1
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?
??
?
zz
z
3.7 数字控制器的计算机实现
●计算机控制算法常以 Z传递函数，该传递
函数可用两种不同方法实现，即硬件实现与
软件实现。
●硬件实现是根据 Z传递函数应用数字元件
设计和组成数字控制器，以便实现预定的要
求。
●软件实现是将 Z传递函数化为其差分方程
或状态空间表达式。然后按照此方程直接在
计算机上编程实现。
3.7.1 直接型（ I）
●直接实现形式是对差分方程不作任何变换而实
现数字控制系统的一种方法。直接型（ I）又叫串
行实现。传递函数为,
?
?
?
?
?
?
?
??
n
j
j
j
n
j
j
j
za
zb
zD
zE
zU
1
0
1
)(
)(
)(
直接程序设计法 1,
直接把数字控制器
)(
)(
...1
...)(
1
1
1
10
zE
zU
zaza
zbzbbzD
n
n
m
m ?
???
????
??
??
变成差分方程
? ?
? ?
????
m
i
n
j
ji jkuaikebku
0 1
)()()(
程序设计方法,
例,)1()2()1()()(
1210 ??????? kuakebkebkebku
1、将常数存放在 RAM区
2、暂留计算值的缓冲区
3、根据给定和反馈的测量值
计算偏差 e (k) = x (k) - y (k)
4、由差分方程计算控制量 u(k)
5、留几个工作单元，作当前计
算值和控制量暂存用。
b0
b1
b2
a1
e(k-1)
e(k-2)
u(k-1)
常数
计算值
测量值 X(k)
y(k)
3.7.2 直接型（ II）
? 直接型（ II）又叫正则实现（或极点 -零点型）,这一
名词与延迟元件等于系统的阶次 n有关，正则实现是直
接根据实现中占用延时器较少的一种实现方式。软件
实现是应用直接型（ II）的差分方程,
?
?
?
?
?
?
?
??
n
j
jiji
n
J
jijii
WbU
WaeW
0
0
第三章小结
? 数字控制器的设计方法
模拟化设计方法、离散化设计方法。
? 数字控制器的模拟化设计方法
PID控制规律的离散化：用矩形法来计算数值积分、用后向差分来代
替微分。
PID控制规律的脉冲传递函数形式,
PID数字控制器算法的改进
数字 PID参数选择及整定方法
? 数字控制器的离散化设计方法
最少拍有纹波系统设计
最少拍无纹波随动系统的设计
大林控制算法
作业 1,
已知广义对象 Z传递函数,试设
计 PI调节器,使速度误差,
取采样周期 。画出系统输出响应曲线（用
MATLAB工具 )。
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稳态误差,
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作业 2,
设广义对象的 z传递函数 G1(z)与例 3-
2相同，采样周期 T=1s，试设计单位速度
输入时的最少拍无纹波控制器 D(z)。分
别计算当输入为单位速度和单位阶跃信
号时，系统的输出响应。
作业 3
1、已知被控对象的传递函数
取采样周期 T=5s，试用大林算法设计数字调节
器 D(z)，期望的闭环传递函数为
2、设,试求 RA。
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b
习题,1,2,3,4,6,7
3.1 概述
3.2 模拟控制器的离散化
3.3 数字 PID控制
3.4 数字 PID控制算式的改进
3.5 数字 PID参数整定方法
3.6 数字控制器的直接设计方法
3.7 数字控制器的计算机实现
本章主要内容,
数字控制器的设计方法
按其设计特点分为三大类,
1.模拟化设计方法
先设计校正装置的传递函数 D(s)，然后采用
某种离散化方法，将它变成计算机算法。
2.离散化设计方法
已知被控对象的传递函数或特性 G(Z)，根据
所要求的性能指标，设计数字控制器。
3.状态空间设计法（能处理多输入 -多输出系统）
基于现代控制理论，利用离散状态空间表达
式，根据性能指标要求，设计数字控制器。
3.1 概述
工程上多数情况下被控对象是连续的。这
样组成的计算机系统人们称之为, 混合系统,,
习惯上也常称为, 离散系统, 。如 图 3-1所示。
被控对象：其输入输出均为模拟量，是系统的连
续部分。
数字控制器,可以是计算机，工业控制机或数字
控制器等。
设计方法分为：模拟化设计方法和离散化设计方
法。
● 模拟化设计方法的假设是认为采样频率足够高
（相对于系统的工作频率），以至于采样保持所
引进的附加误差可以忽略，则系统的连续部分可
以用连续系统来代替。
●模拟化设计方法一般可按以下五步进行,
第一步：用连续系统的理论确定控制器 D(S)；
第二步：用合适的离散化方法由 D(S)求出 D(Z)；
第三步：检查系统性能是否符合设计要求；
第四步：将 D(Z)变为差分方程或状态空间表达式
形式，并编制计算机程序，需要时尚可采取。
第五步：用混合仿真的方法检查系统的设计与程
序编制是否正确。
3.1 概述
3.1.1 模拟化设计方法
3.1 概述
3.1.2离散化设计方法
1,Z变换法
Z变换可由拉氏变换推导出来,
求 z变换的方法有：无穷级数求和法、部分分
式法、留数计算法。
求 z反变换的方法有：长除法、部分分式法、
留数计算法。
离散化设计方法的概念可用 图 3-2说明。
Tsez ?
2.带有零阶保持器的 Z变换法
在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，
再进行 Z变换从而得到 D(s)的离散化模型 D(z)
3.差分变换法（又称数值积分法）
将微分方程离散化为差分方程，最后求 z传递函数。
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sT??
?
? 3.1.3两种方法的比较
●离散化的设计方法，与模拟化的设计方法相
比有时称为精确法。
该法的精确性仅限于线性范围内以及采样
点上才成立，是一种直接数字设计方法。更具
一般性，且控制品质也应较好，多用在某些随
动系统的设计上。要求人们了解并掌握有关自
控原理、数学模型、计算机控制系统（包括硬
件与软件）等方面的知识。
3.2模拟控制器的离散化
● 模拟控制器从信号理论的角度看是把模拟控制
器用于反馈控制系统作校正装置。而表征校正
控制器的重要参数是,
(a)极点与零点的数目；
(b)频带宽度与截止频率；
(c)DC增益；
(d)相位裕度；
(e)增益裕度；超调量，闭环频率响应峰值。
3.2模拟控制器的离散化
3.2.1 Z变换法
● Z变换法是依据就 D(z)与 D(s)之间的一种映射
关系。
● Z变换法离散化模型为,
● Z变换法的特点,
(1)D(z)与 D(s)的脉冲响应相同；
如果 D(s)是稳定的，则 D(z)也稳定；
(3)D(z)不能保持 D(s)的频率响应；
(4)D(z)将 ωs 的整数倍的频率信号，变换为 z平面上同一
频率点，所以出现了混迭现象,(ωs 为样角频率 );
(5)如果 D(s)是一个复杂的传递函数则其 Z变换很可能无
法在一般 Z变换表中查到。这时就需要进行部分分式展开。
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A
ze
A
ze
AzD
Ta
n
TaTa n
3.2模拟控制器的离散化
3.2.2 带有零阶保持器的 Z变换法
●保持器是本方法公式中的一个解析部分，而不
是一个硬件模型，即在原线性系统的基础上串联
一个虚拟的零阶保持器。
●带有零阶保持器的 Z变换离散化模型为,
●加保持器的 Z变换法的 特点 是,
(1)如果 D(s)是稳定的，则 D(z)也稳定；
(2)如果 D(z)不能从表中查到。则要进行部分分
式展开；
(3)D(z)不能保持 D(s)的脉冲响应和频率响应 。
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s
eZzD sT???
3.2模拟控制器的离散化
3.2.3 差分变换法
●差分变换法是变量的导数用有限差分来近似的
等效。其中最简单的差分变换是用后向差分或前
向差分代替一阶导数。如 图 3.3所示。
●后向差分
●后向差分的性质是,
(1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解；
(2)一个稳定的 D(s)变换为一个稳定的 D(z)；
(3)不能保持 D(s)的脉冲与频率响应。
●前向差分
由此可知,s平面的 jΩ 轴在 z平面上的映像除 ΩT 极
小值外，均在单位园外，因此这种方法将不利用控制器
的稳定性。
T
ee
dt
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T
uu
dt
du ii 1???
T
ee
dt
de ii ?? ? 1
3.2模拟控制器的离散化
3.2.4 双线性变换法
●双线性变换法亦称作 TUSTIN法或梯形积分法。
如图 3.4所示。
●双线性变换的特点,
(1)应用方便。可用计算机算出 D(z)的系数。
(2)双线性变换不会引起高频混迭现象。
(3)如果 D(s)稳定，则 D(z)亦稳定。
(4)它不能保持 D(s)的脉冲响应和频率响应。 如图 3.5所
示。
3.2.5 各种离散化方法的比较
根据 A.本茨和 M.普里斯勒的研究可知最好的
离散化方法是双线性变换法,
图 3 - 4 双线性变换
i
t?
图 3 - 5 频率响应曲线
3,3 数字 PID控制
● PID控制的数字化,属于模拟化设计方法，是
由连续系统 PID控制发展起来的。具有原理简
单，易于实现，鲁棒性（ Robustness）和适用
面广等优点,
3.3.1 理想微分 PID控制
●模拟 PID控制器的理想算式为,
u(t)为控制量（控制器输出） ;
e(t)为被控量与给定值的偏差，即,e(t)=r(t)-y(t);
Kc为比例增益,Kc与比例带成倒数关系，即 Kc=1/δ;T i
为积分时间 ;Td为微分时间。
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t
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? 离散化后,
? 上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所
以称为 PID位置控制算法 。
? 将上式写成传递函数形式,其框图如图 3.7所示。
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+
u y 对象
测量电路
● 利用后向差分法可求出其对应的脉冲传递函数
D(z)为,
● 数字 PID的增量式 为,
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T
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数字 PID的增量式的优点如下,
1.计算机只输出增量,误动作时影响小,必要时可增设
逻辑保护 ;
2.手动 /自动切换时冲击小 ;
3.算式不需要累加,只需记住四个历史数据,即 e(k-
2),e(k-1),e(k)和 u(k-1),占用内存少,计算方便,在实
际系统中,如执行机构为步进奠基,则可以自动完成数
字 PID的增量式的计算功能,
程序流程图 如 3.8所示,
图 3.8 数字 PID控制算法 程序框图
增量式 PID算法与位置式 PID算法的比较,
两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执
行机构。但有如下优点,
1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设
逻辑保护；
2、手动 /自动切换时冲击小；
3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即 e(k-
2),e(k-1),e(k)和 u(k-1),占用内存少，计算方便，不
易引起误差累积。
3.3.2 实际微分 PID控制
在计算机直接数字控制系统中，通常采用以下三
种实际微分 PID控制算式。
1.实际微分 PID控制算式之一,(如 图 3.9所示 )低
通滤波器和理想微分 PID算式相结合后的传递函
数为,
2.实际微分 PID控制算式之二, (如 图 3.10所示 )
实际微分 PID算式的传递函数,
3.实际微分 PID控制算式之三,(如 图 3.11所示 )其
传递函数为,
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if
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K
T
sT
sT
KsD
d
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3.3.3控制算法实施中的具体问题
3.3.3.1 积分项的改进
3.3.3.2 变化率限制
3.3.3.3 输出位置限幅
3.3.3.4 防止积分饱和
3.3.3.5 存储有效数据
图 3.12计算机控制的几个步骤
3.4 数字 PID控制算式的改进
? 为改善 PID控制的动态特性，人们在实践中，结合计算机
的特点，提出了多种改进数字 PID控制算法，下面介绍几
种常用的非标准数字 PID算法。
积分饱和的原因及影响,
? 原因：由于执行机构的限制和积分项的存在
? 影响：增加超调量和系统的调节时间。
3.4.1 微分先行
微分先行, (如 图 3.15)
特点,将微分与积分运算分解为一阶惯性环节,
简化计算,
3.4.2 带死区的 PID算法,
系统框图如 图 3.16所示,
特点,
带死区的 PID算法 (如图 3.17所示 )
图 3.15 微分先行 PID算式的分解框图
图 3.16 带死区 PID控制系统框图
3.4.3 积分分离 PID算法 (如 图 3.18所示 )
特点,降低超调,减少调节时间,
3.4.4 IPD算法 (如图 3.19所示 )
特点,
图 3.17 带死区 PID控制系统程序框图
图 3.18 有积分分离手段的控制过程
图 3.19 IPD控制系统方框图
3.5 数字 PID参数整定方法
3.5.1 PID控制器参数对系统性能的影响,
PID反馈控制系统如图 3.20,
● 放大倍数对系统性能的影响,
(1)对系统的动态性能,
(2)对系统的稳定性能,
● 积分时间对系统性能的影响,
(1)对系统的动态性能,
(2)对系统的稳态性能,
● 微分时间对系统性能的影响,
不同的控制规律各有特点，对于某一相同的控制
对象，不同的控制规律，有不同的控制效果,如
图 3.21
图 3.20 PID反馈控制系统简图
图 3 - 2 1,各种控制规律对控制性能的影响
3.5.2 采样周期 T的选择
●采样周期 T在计算机控制系统中是一个重要参
数。根据香农采样定理，采样周期 。
●选取采样周期时，一般应考虑以下因素,
(1) 采样周期，应远小于对象的扰动信号周期,
(2) 对象的动态特性,
(3) 计算机所承担的工作量,
(4) 对象所要求的控制品质,
(5) 计算机及 A/D,D/A转换器性能,
(6) 考虑执行机构的响应速度,
表 3-1列出了集中常见对象采样周期选择的经验
数据,
表 3.1 常见对象选择采样周期的经验数据,
被控量 采样周期（ s） 备 注
流量 1~5 优选 1~2s
压力 3~10 优选 3~5s
液位 6~8 优选 7s
温度 15~20 取纯滞后时间常数
成分 15~20 优选 18s
3.5.3 控制规律的选择
PID控制之所以长期以来得到广泛应用,主
要有以下几个原因,
● 对于特性为 和
的被控对象,PID控制是一种较优的控制算法，
PID参数相互独立，参数整定方便；
● PID算法比较简单，计算工作量小，容易实现
多回路控制，现场工程技术人员较熟悉，较易
掌握，并已积累了丰富的经验，但使用中要根
据对象特性，负载情况，合理选择控制规律以
达到较佳效果。
)1/( sTKe ps ?? ? )1)(1/( 21 sTsTKe s ??? ?
3.5.4 扩充比例度法
●扩充比例度法又称为,Roberes方法，是由
P.D.Roberes于 1974年提出对增量式 PID算法的参
数整定方法。用此法整定 T和 Kp,Ti,Td的选择
步骤如下,
(1)选择一个适当短的 Tmin（采样周期）,
(2)只采用比例调节时确定临界比例度和振荡周
期 Tk；
(3)控制度选择，所谓控制度是评价数字控制与
模拟控制的一个指标。
在投运中观察控制效果，用探索法进一步寻
求满意的值。见下表 3-2、扩充临界比例度整定
T,Kc,Ti,Td
控制度 控制
规律
T Kp Ti Td
1.05 PI
PID
0.03Tk
0.014Tk
0.53Kp
0.63Kp
0.88Ti
0.49Ti
——
0.14Td
1.2 PI
PID
0.05Tk
0.043Tk
0.49Kp
0.47Kp
0.91Ti
0.47Ti
——
0.16Td
1.5 PI
PID
0.14Tk
0.09Tk
0.42Kp
0.34Kp
0.99Ti
0.43Ti
——
0.20Td
2.0 PI
PID
0.22Tk
0.16Tk
0.36Kp
0.27Kp
1.05Ti
0.40Ti
——
0.22Td
模拟调
节器
PI
PID
——
——
0.57Kp
0.70Kp
0.83Ti
0.50Ti
——
0.13Td
临界比
例度
PI
PID
——
——
0.45Kp
0.60Kp
0.83Ti
0.50Ti
——
0.125Td
表 3.2 扩充临界比例度整定 T,Kc,Ti,Td
控制度 控制
规律
T Kp Ti Td
1.05 PI
PID
0.1τ
0.05τ
0.84T0/τ
1.15T0/τ
3.4τ
2.0τ
——
0.45τ
1.2 PI
PID
0.2τ
0.16τ
0.78T0/τ
1.0T0/τ
3.6τ
1.9τ
——
0.55τ
1.5 PI
PID
0.5τ
0.34τ
0.68T0/τ
0.85T0/τ
3.9τ
1.62τ
——
0.65τ
2.0 PI
PID
0.8τ
0.6τ
0.57T0/τ
0.6T0/τ
4.2τ
1.5τ
——
0.82τ
模拟调
节器
PI
PID
——
——
0.9T0/τ
1.2T0/τ
3.3τ
2.0τ
——
0.4τ
临界比
例度法
PI
PID
——
——
0.9T0/τ
1.2T0/τ
3.3τ
2.0τ
——
0.5τ
表 3.3 扩充响应曲线法整定 T和 Kp,Ti,Td
3.5.5 扩充响应曲线法（动态特性法）
●系统必须稳定并且允许开环运行,
3.5.6 衰减曲线法
● P控制：取 Kp=Kv;
● PI控制：取 Kp=0.84Kv,Ti=0.5Tv;
● PID控制：取 Kp=1.25Kv,Ti=0.3Tv,Td=0.1Tv;
3.5.7 数字 PID的变参数整定,如图 3.22,
● 按照负荷预先设置整定参数方法 ;
● 时序控制 ;
● 人工模型,
3.5.8 数字 PID参数的最优整定数字
● PID参数的最优整定是利用计算机的快速运算
和逻辑判断功能，按照选定的寻优方法，不断探
索，不断调整，自动寻找适合当前对象与工况的
最优数字 PID调节系统，使系统的性能处于最优
状态,
图 3 - 2 2 整定参数与负荷的关系
图 3.22 整定参数与负荷的关系
3.6 数字控制器的直接设计方法
本节将主要讨论最少拍系统设计以及一些改进
算法。 Z平面根轨迹设计与大林控制算法。
3.6.1 最少拍随动系统设计
●最少拍系统，也称最小调整时间系统或最快
响应系统。它是指系统对于典型输入：单位阶
跃输入，单位速度输入，单位加速度输入，或
单位重加速度输入，具有最快的响应速度。
最少拍随动系统 如图 3-23所示,有关例题见书。
图 3 - 2 3 最少拍随动系统
系统的开环 z传递函数为,
Gk(z)=D(z)G(z)
该系统的闭环 Z传递函数为,
可得系统误差的 Z变换函数,
最少拍随动系统数字控制器的 Z传递函数,
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1
1
zGzD
zGzD
zG
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k
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zG
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e
b
e
e ???
例题 3-1:见教材。
3.6.2 最少拍无纹波随动系统的设计
例 3-1中，分析了在单位速度输入时的最少拍数
字控制器 D(z)，若此时改为单位阶跃输入，则可
设计出最少拍数字控制器为,
1
1
1
1
1
718.01
1.0272.0
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?
?
?
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?? z
z
zGz
zzD
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3.6.3 大林控制算法
适用,大纯滞后环节的控制系统。
图 3-26典型的数字过程控制回路
3.6.3.1．大林算法的基本形式
? 大林控制算法 (推导见教材 ),
)(
1
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1 zGzYzR
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zGzeze
ze
NTT
NT
?????
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???
??
??
?
对象特性为二阶惯性加纯滞后环节的大林控
制算式列表见表 3.6,
G(s) G1(z) D(z)
11 ?
?
s
Ke s
?
?
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ss
Ke s
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T
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NT
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1/1// 21
??????
?????
????
???
zCCzezeK
zezee
NT
TTT
???
???
图 3 - 27 不同 λ 值大林算法的特性
3.6.3.2．振铃现象及其消除方法
●振铃现象（ Ringing）是数字控制器输出以接
近 1/2的采样频率大幅度上下摆动，它对系统输
出几乎是无影响的，但它能使执行机构磨损，
很快损坏。几个代表性的环节的振铃特点列表
于 3.7。
●振铃的根源是在 Z=-1附近有极点，极点若在
Z=-1时最严重,离 Z=-1越远就越弱,这可从表 3.7
中看出这一点,
● 振铃现象的消除,大林建议用简单的消除跳动
极点而相应地调整增益的方法消除,表 3.7几个
典型脉冲传递函数的振铃现象
表 3.7 几个典型脉冲传递函数的振铃现象
D(z) 阶跃响应 跳动幅值 输出序列图
1
1
0
1
0
1
0
1
2
0
0.5
0.75
0.625
0.5
3
1.0
0.7
0.89
0.803
0.848
0.3
4
1.0
0.2
0.54
0.386
0.486
0.8
11
1
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15.01
1
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1
11 ?? ?? zz
)2.01)(5.01(
5.01
11
1
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zz
z
3.7 数字控制器的计算机实现
●计算机控制算法常以 Z传递函数，该传递
函数可用两种不同方法实现，即硬件实现与
软件实现。
●硬件实现是根据 Z传递函数应用数字元件
设计和组成数字控制器，以便实现预定的要
求。
●软件实现是将 Z传递函数化为其差分方程
或状态空间表达式。然后按照此方程直接在
计算机上编程实现。
3.7.1 直接型（ I）
●直接实现形式是对差分方程不作任何变换而实
现数字控制系统的一种方法。直接型（ I）又叫串
行实现。传递函数为,
?
?
?
?
?
?
?
??
n
j
j
j
n
j
j
j
za
zb
zD
zE
zU
1
0
1
)(
)(
)(
直接程序设计法 1,
直接把数字控制器
)(
)(
...1
...)(
1
1
1
10
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变成差分方程
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程序设计方法,
例,)1()2()1()()(
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1、将常数存放在 RAM区
2、暂留计算值的缓冲区
3、根据给定和反馈的测量值
计算偏差 e (k) = x (k) - y (k)
4、由差分方程计算控制量 u(k)
5、留几个工作单元，作当前计
算值和控制量暂存用。
b0
b1
b2
a1
e(k-1)
e(k-2)
u(k-1)
常数
计算值
测量值 X(k)
y(k)
3.7.2 直接型（ II）
? 直接型（ II）又叫正则实现（或极点 -零点型）,这一
名词与延迟元件等于系统的阶次 n有关，正则实现是直
接根据实现中占用延时器较少的一种实现方式。软件
实现是应用直接型（ II）的差分方程,
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n
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jiji
n
J
jijii
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WaeW
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第三章小结
? 数字控制器的设计方法
模拟化设计方法、离散化设计方法。
? 数字控制器的模拟化设计方法
PID控制规律的离散化：用矩形法来计算数值积分、用后向差分来代
替微分。
PID控制规律的脉冲传递函数形式,
PID数字控制器算法的改进
数字 PID参数选择及整定方法
? 数字控制器的离散化设计方法
最少拍有纹波系统设计
最少拍无纹波随动系统的设计
大林控制算法
作业 1,
已知广义对象 Z传递函数,试设
计 PI调节器,使速度误差,
取采样周期 。画出系统输出响应曲线（用
MATLAB工具 )。
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提示,单位速度输入,
稳态误差,
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作业 2,
设广义对象的 z传递函数 G1(z)与例 3-
2相同，采样周期 T=1s，试设计单位速度
输入时的最少拍无纹波控制器 D(z)。分
别计算当输入为单位速度和单位阶跃信
号时，系统的输出响应。
作业 3
1、已知被控对象的传递函数
取采样周期 T=5s，试用大林算法设计数字调节
器 D(z)，期望的闭环传递函数为
2、设,试求 RA。
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习题,1,2,3,4,6,7
