-1- 2010/6/10
信息学院电子系微电子专业必修课程
茅惠兵
信息科学技术学院
半导体物理
Semiconductor Physics
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-2- 2010/6/10
信息学院电子系微电子专业必修课程
第一章 半导体中的电子状态
§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 格点,空间（一维或多维）点阵中的点（结点）
? 晶列,通过任意两格点所作的（晶列上有一系列格点）
? 晶向,在坐标系中晶列的方向（确定晶向的方法待定）
用晶向指数表示；如 [110]。
? 晶面,通过格点作的平面。一组平行的晶面是等效的，
其中任意两晶面上的格点排列是相同的，且面间距相等。
晶面用晶面指数（密勒指数）表示，如（ 111），
（ 100） ……
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-3- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 反映晶体周期性的重复单元，有两种选取方法：
? 在固体物理学中 —— 选取周期最小的重复单
元，即原胞。
? 在晶体学中 —— 由对称性取选最小的重复单
元，即晶胞（单胞）
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-4- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 基矢,确定原胞（晶胞）大小的矢量。原胞
（晶胞）以基矢为周期排列，因此，基矢的大
小又成为晶格常数。
? 晶轴,以（布拉菲）原胞（或晶胞）的基矢为
坐标轴 —— 晶轴
? 格矢,在固体物理学中，选某一格点为原点 O，
任一格点 A的格矢为
为晶轴上的投影，取整数，
为晶轴上的单位矢量。
1 1 2 2 3 3AR l a l a l a? ? ?
1 2 3,,a a a
1 2 3,,l l l
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 在结晶学中（用的较多），选某一格点为原点
O，任一格点 A的格矢为
? 为对应晶轴上的投影，取有理数
? 为晶轴上的单位矢量。
1 2 3,,l l l
1 2 3AR l a l b l c? ? ?
1 2 3,,a a a
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 晶列指数及晶向,格矢在相应晶轴上投影的称
作晶列指数，并用以表示晶向，即格矢所在的
晶列方向
? 固体物理学中，表示为 [l1 l2 l3]，投影为负值时，
l的数字上部冠负号。等效晶向用
< >表示。
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-7- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 晶面,通过格点作的平面，用晶面指数表示。
? 晶面指数,表示晶面的一组数。
? 晶向与晶面的关系,在正交坐标系中，晶面指
数与晶面指数相同时，晶向垂直于晶面。
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原胞和晶胞
? 相同点
?用来描述晶体中晶格周期性的最小重复单元
? 不同点：
?固体物理学：原胞只强调晶格的周期性，其最小
重复单元为原胞
?结晶学：晶胞还要强调晶格中原子分布的的对称
性。
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-9- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 简立方,立方体的八个顶
角各有一个原子。
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-10- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 体心立方,简立方的中心加进一个原子。
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 面心立方：简立方的六
个面的中心各有一个原
子。
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-12- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 金刚石结构,同种原子构成的两个面心立方沿体对角线
相对位移体对角线的套构而成。
? 每个晶胞含原子数：
11× 86
82 ?（ 顶 角 ） ＋ （ 面 心 ） ＋ 4 （ 体 心 ） ＝ 8 个
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-13- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
如果只考虑晶格的周期性，可用固体物理学原胞表示：
? 简立方原胞：与晶胞相同，含一个原子。
? 体心立方原胞：为棱长 的简立方，含一个原子。
? 面心立方原胞：为棱长 的菱立方，由面心立方体对
角线的；两个原子和六个面心原子构成，含一个原子。
? 金刚石结构原胞：为棱长 的菱立方，由体对角线的
两个原子和六个面心原子构成棱立方，其内包含一个距
顶角 体对角线的原子，因此，原胞共含有 2个原子。
32a
22a
1
4a
22a
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-14- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(a)正四面体结构
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-15- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(b)金刚石型结构
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-16- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(c)金刚石型结构的晶胞
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-17- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(d)（ 111）面的堆积
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(e)（ 100）面上的投影
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-19- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
4.闪锌矿型结构
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.1原子中的电子状态
1、玻耳的氢原子理论
? 氢原子能级公式
? 氢原子第一玻耳轨道半径
这两个公式还可用于类氢原子（今后用到）
4
222
08
n
mqE
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2
0
1 2
hr
mq
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2、玻耳氢原子理论的意义
3、氢原子能级公式及玻耳氢原子轨道半径
4、索末菲对玻耳理论的发展
5、量子力学对半经典理论的修正
? 量子力学认为微观粒子（如电子）的运动须用波函数
来描述，经典意义上的轨道实质上是电子出现几率最
大的地方。电子的状态可用四个量子数表示。
6、原子能级的简并度
§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.1原子中的电子状态
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-22- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
1、电子共有化运动
? 原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，
分列在不同的能级上，形成所谓 电子壳层
?不同支壳层的电子分别用 1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s… 等符
号表示，每一壳层对应于确定的能量。
? 当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子
壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层
交叠最多，内壳层交叠较少。
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-23- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
? 原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全
局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻的原
子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运
动称为 电子的共有化运动
? 注意,各原子中相似壳层上的电子才有相同的能量，电
子只能在相似壳层间转移。
? 共有化运动 的产生是由于
不同原子的 相似壳层的交
叠,如图 1— 5所示
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-24- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
2、电子共有化运动使能级分裂为能带
例如：两个原子
? 相距很远时，如同孤立原子，
每个能级都有两个态与之相应，
是二度简并的
? 能级如图 1-6(a)所示
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-25- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
2、电子共有化运动使能级分裂为能带
? 互相靠近时，原子中的电子除受本
身原于的势场作用，还受到另一个
原子势场的作用
? 结果每个二度简并的能级都分裂为
二个彼此相距很近的能级；两个原
子靠得越近，分裂得越厉害。
? 图 1-6(b)示意地画出了八个原子互
相靠近时能级分裂的情况。可以看
到．每个能级部分裂为八个相距很
近的能级。
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-26- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
1、硅，锗原子的电子结构
? 金刚石和半导体硅、锗，
? 它们的原子都有四个价电子，
? 二个 s电子，二个 p电子，
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-27- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
2,硅、锗晶体能带的形成
? N个原子结合成的晶体，共
有 4N个电子，
? 根据电子先填充低能这一原
理，下面一个能带填满了电
子，它们相应于共价键中的
电子，这个带通常称为 满带
或 价带 ；上面一个能带是空
的，没有电子，通常称为 导
带 ；中间隔以 禁带 。
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-28- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
3、半导体（硅、锗）能带的特点：
?存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能
带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下
能带称为价带
?低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一
部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。
?导带与价带间的能隙（ Energy gap）称为禁带
（ forbidden band）,禁带宽度取决于晶体种类、晶体
结构及温度。
?当原子数很大时，导带、价带内能级密度很大，可以认
为能级准连续
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-29- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
1、自由电子的运动
晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同：
? 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运
动
? 自由电子是在恒定为零的势场中运动
? 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动，
?单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固
定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运
动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周
期相同。
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-30- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
1、自由电子的运动状态
? 对于波矢为 k的运动状态，自由电子的能
量 E，动量 p，速度 v均有确定的数值。
? 波矢 k可用以描述自由电子的运动状态，
不同的 k值标志自由电子的不同状态
? 自由电子的 E和 k的关系曲线，呈抛物线
形状。
? 由于波矢 k的连续变化，自由电子的能量
是连续能谱，从零到无限大的所有能量
值都是允许的。
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-31- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 晶体中电子所遵守的薛定谔方程,
22
2
0
( ) ( 1 - 1 3 )2 h d x V x x E xm d x? ????? ? ? ? ? ? ?
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-32- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 布洛赫曾经证明，满足式 (1-13)的波函数一定具有如下
形式：
? 式中 k为波矢,是一个与晶格同周期的周期性函数，
即：
式中 n为整数。
2( ) ( 1- 14)i k xkkx u x e ?? ? ? ?
()kux
( ) ( )kku x u x na??
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 式 (1-13)具有式 (1-14)形式的解，这一结论称为布洛赫
定理。具有式 (1-14)形式的波函数称为 布洛赫波函数
?晶体中的电子运动服从 布洛赫定理,
晶体中的电子是以调幅平面波在晶体中传播。
这个波函数称为 布洛赫波函数 。
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-34- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 求解薛定谔方程，得到电子在周期场中运动时其能量不
连续，形成一系列允带和禁带。一个允带对应的 K值范
围称为 布里渊区 。
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-35- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
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-36- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 金刚石结构的第一布里渊区是一个十四面体。
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-37- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
能带产生的原因：
? 定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，
使能级分裂形成能带。
? 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其
能量不连续形成能带。
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-38- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
能带（ energy band）包括允带和禁带。
? 允带 （ allowed band）：允许电子能量存在的能量范
围。
? 禁带 （ forbidden band）：不允许电子存在的能量范
围。
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-39- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
允带又分为空带、满带、导带、价带。
? 空带 （ empty band）：不被电子占据的允带。
? 满带 （ filled band）：允带中的能量状态（能级）均被
电子占据。
? 导带 （ conduction band）：电子未占满的允带（有部
分电子。）
? 价带 （ valence band）,被价电子占据的允带（低温下
通常被价电子占满）。
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-40- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 用能带理论解释导体、半导体、绝缘体的导电性：
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-41- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是
部分占满的，所以金属是良好的导电体
? 半导体和绝缘体的能带类似，即下面是已被价电子占满
的满带（其下面还有为内层电子占满的若干满带），亦
称价带，中间为禁带，上面是空带。因此，在外电场作
用下并不导电，但是这只是绝对温度为零时的情况。
? 半导体中导带的电子和价带的空穴参与导电，这是与金
属导体的最大差别。
? 绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大的能量，在
通常温度下，能激发到导带中的电子很少，所以导电性
很差。
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-42- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 半导体禁带宽度比较小，数
量级在 1eV左右，在通常温
度下已有不少电子被激发到
导带中去，所以具有一定的
导电能力，这是绝缘体和半
导体的主要区别。
? 室温下，金刚石的禁带宽度
为 6～ 7eV，它是绝缘体；
硅为 1.12eV，锗为 0.67eV，
砷化镓为 1.43eV，所以它们
都是半导体。
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§ 1.3 半导体中电子（在外力下）的运动
有效质量
1.3.1半导体导带中 E(k)与 k的关系
? 定性关系如图所示
? 定量关系必须找出 E(k)函数
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
? 晶体中电子的运动状态要比自由电子复杂得多，
要得到 E(k)表达式很困难。
? 可采用级数展开的方法研究带底或带顶 E(k)关
系
?半导体中起作用的是位于导带底或价带顶附
近的电子
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-45- 2010/6/10
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
? 用泰勒级数展开可以近似求出极值附近的 E(k)与 k的关系
? 以一维情况为例，设能带底位于 k＝ 0，将 E(k)在 k＝ 0附近按
泰勒级数展开，取至 k2项，得到
0
2
2
02
2
22
00 22
n
22
n
k 0 ( / ) 0
1
E ( ) E( 0)= ( )
2
11
( / ) ( )
hm
hk
E ( ) E( 0)=
2m
k
k
kk
dE dk
dE
kk
dk
dE
d E dk
dk
k
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?
?? ?
?
?
?
＝ 时 能 量 极 小, 所 以 ＝, 因 而
为 一 定 值,令 ＝, 得 到,
2
2
00 2
1( ) ( 0 ) ( ) ( ),,,
2kk
d E d EE k E k k
d k d k??? ? ? ?
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
为电子有效质量
?注意：
?在能带底电子有效质量是正值
?在能带顶电子有效质量是负值
它概括了半导体内部的势场作用
2
*2
2/n
dEmh
dk＝
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 半导体中电子的平均速度
? 半导体中电子的加速度 具有牛顿第二定律的形式
n
hkv
m ?
?
22
2 2 2
11 ()d v d d E d E d k f d Ea
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* 2 2
2
*
2 *
2
11
n
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dE
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-48- 2010/6/10
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 空穴的概念
在牛顿第二定律中要求有效质量为正值，但价
带顶电子的有效质量为负值。这在描述价带顶
电子的加速度遇到困难。为了解决这一问题，
引入空穴的概念
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-49- 2010/6/10
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 空穴的概念
?价带中不被电子占据的空状态
?价带顶附近空穴有效质量 mp*>0
?数值上与该处的电子有效质量相同，即 mp*=-
mn*>0,空穴带电荷＋ q（共价键上少一个电子，
破坏局部电中性，显正电）。
?空穴的能量坐标与电子的相反，分布服从能量最
小原理。
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-50- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
? 经典牛顿第二定律中 a＝ f/m0,式中 f是外合力，
m0是惯性质量
? 半导体电子 a＝ f/m*中,f并不是电子受力的总和
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-51- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
电子在外力
作用下运动
受到外电场力
f的作用
内部原子、
电子相互作用
内部势场作用
引入有效质量
外力 f和电子的
加速度相联系
有效质量概括
内部势场作用
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-52- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
? 有效质量的意义在于,它概括了半导体内部势场的作用，使
得在解决半导体中电子在外力作用下的运动运动规律时，可
以不涉及到半导体内部势场的作用。
?mn*可以直接由实验测定，因而可以很方便地解决电子的运
动规律
? 有效质量与能量函数对于 k的二次微商成反比，能带越窄，
二次微商越小，有效质量越大。
?内层电子的能带窄，有效质量大
?外层电子的能带宽，有效质量小
?外层电子，在外力的作用下可以获得较大的加速度。
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§ 1.3.4半导体中电子的准动量
? 自由电子的真实动量, m0v＝ hk
? 半导体中电子的准动量 mn*v＝ hk
? mn*v与 m0v有相同的形式，
称 mn*v为准动量
? mn*有质量的量纲
? 有效质量与惯性质量有质的区别，前者隐含了
晶格势场的作用
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§ 1.4半导体的导电机构
§ 1.4.1导电条件
有外加电压，有载流子
? 满带中的电子不导电
? 虽包含电子但并未填满的能带才有一定的导电
性，即不满的能带中的电子才可以导电
? 绝对温度为零时，纯净半导体的价带被价电子
填满，导带是空的 ?不导电
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-55- 2010/6/10
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§ 1.4.1导电条件
? 在一定的温度下，价带顶
部附近有少量电子被激发
到导带底部附近，在外电
场作用下，导带中电子便
参与导电。
? 同时，价带缺少了一些电
子后也呈不满的状态，因
而价带电子也表现出具有
导电的特性，它们的导电
作用常用空穴导电来描写。
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-56- 2010/6/10
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§ 1.4.2本征半导体的导电机构
? 对本征半导体，导带中出现多少电子，价带中就对应
出现多少空穴，导带上电子参与导电，价带上空穴也
参与导电
? 载流子,晶体中荷载电流（或传导电流）的粒子。金
属中为电子，半导体中有两种载流子即电子和空穴。
?这一点是半导体同金属的最大差异，正是由于这两种载
流子的作用，使半导体表现出许多奇异的特性，可用
来制造形形色色的器件。
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-57- 2010/6/10
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§ 1.4.3空穴的导电机理
?价带电子导电通常用空穴导电来描述
? 设想价带中一个电子激发到价带，电子电流密度
J＝价带（ k状态空出）电子总电流
? 设想以一个电子填充到空的 k状态,
k状态电子电流 =(-q)v(k)
? 填入这个电子后价带又被填满,总电流应为零
J＋（ -q） v（ k）＝ 0
? 因而得到 J＝（＋ q） v（ k）
? 说明,当价带 k状态空出时，价带电子的总电流，如
同一个正电荷的粒子以 k状态电子速度 v（ k）运动时
所产生的电流。
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-58- 2010/6/10
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§ 1.4.3空穴的导电机理
? 把价带中空着的状态看成是
带正电的粒子，称为 空穴。
引进这样一个假象的粒子
―― 空穴后，便可以很简便
地描述价带（未填满）的电流
? 右图为空穴运动的示图，即
为电子填充空位的过程
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-59- 2010/6/10
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§ 1.5 回旋共振
? § 1.5.1 k空间等能面
0k ?设 一 维 情 况 下,设 能 带 极 值 位 于 处
22
22
( ) ( 0 ) =
2
( ) ( 0 ) = -
2
n
p
hk
E k E
m
hk
E k E
m
?
?
?
?
导 带 底 附 近,
价 带 顶 附 近,
E ( k ) k
,npmm??
右 图 为 极 值 附 近 与 的 关 系 曲 线
如 果 知 道 与 则 极 值 附 近 能 带 结 构 便 可 掌 握
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-60- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 实际的三维情况下
k空间如图所示
k空间任一矢量代表波矢 k
2 2 2 2x y zk k k k? ? ?
2
222( ) ( 0 ) = ( )
2 x y zn
hE k E k k k
m ?? ? ?
0 0) ( 0)k E k E? ? ?设 导 带 底 位 于, (
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-61- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 当 E(k)为确定值时，
(kx,ky,kz)构成一个封闭
的曲面
?半径为
的球面
?在这个面上能值相等，
称 等能面
? ?2( 2 / ) ( ) (0 )nm h E k E? ?
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-62- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 对于各向异性的晶体,E(k)与 k的关系沿不同 k
方向不一定相同
? 不同 k方向电子有效质量不同，能带极值不一定
位于 k＝ 0处
? 设导带底位于 k0，令 mx*,my*,mz*分别表示
沿 kx,ky,kz方向的导带底电子有效质量
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-63- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
2
222
0
00
0 * * *
2
*
022
2
*
022
2
*
022
2
2
0
00
**
00
2
2
()( ) ( )
( ) ( )
2
1
( )
1
( )
1
( )
()( ) (
2 ( ) 2 ( )
y
xz
x y z
x
x
y
y
z
z
y
xz
xy
k k yk k x k k zh
E k E k
m m m
E
mk
hk
E
mk
hk
E
mk
hk
k k yk k x k k
m E E m E E
h h
?? ?
??
? ? ???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
＋
式 中,
也 可 写 为,
2
*
0
2
)
1
2 ( )
z
z
m E E
h
?
?
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-64- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 实验目的
测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方
法推出半导体的能带结构
? 实验原理
固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现
象。磁感应强度约为零点几 T
? 实验要求
?样品纯度要高
?一般在低温下进行
?交变电磁场的频率在微波甚至在红外光范围
?这是为了能观测出明显的共振吸收峰
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-65- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 半导体样品置于均匀恒定磁场
? 运动轨迹为螺旋线，圆周半径为 r，
回旋频率为
B
s in
vB
f q v B
f q v B q v B
?
? ?
? ? ?
??
与 夹 角
2
* 2 *
*
,/
/ /
/
c
nn
cn
v r a v r
m v r q v B m q B r v
q B m
?
?
??
? ? ?
??
? ? ? ?
??
向 心 加 速 度
c?
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-66- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面的形状与有效质量密切相关
?球形等能面
有效质量各向同性，即只有一个有效质量
?椭球等能面
有效质量各向异性，即：
在不同的波矢方向对应不同的有效质量
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-67- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面为球面
? 半导体样品置于均匀恒定磁场中，
回旋频率为
? 以电磁波通过半导体样品，交变电场频率等于回旋
频率时，发生共振吸收
? 测出频率和电磁感应强度便可得到 mn*
*c
n
qB
m? ?
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-68- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面为椭球（有效质量各向异性）
? 电子受力
? 电子运动方程
* * *,,B,,,,x y z x y z x y zk k k m m m k k k ? ? ?沿 方 向 分 别 为, 沿 轴 的 方 向 余 弦 为
()
()
()
x y z
y z x
z x y
f q B v v
f q B v v
f q B v v v
??
??
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
*
*
*
( ) 0
( ) 0 ( 1 50)
( ) 0
x
x y z
y
y z x
z
z x y
dv
m qB v v
dt
dv
m qB v v
dt
dv
m qB v v v
dt
??
??
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ?
?
?
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-69- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 电子做周期性运动，取试解
? 代入 (1－ 50)式得
c
c
c
it
xx
it
yy
it
zz
v v e
v v e
v v e
?
?
?
? ??
?
? ?
??
?
???
?
**
**
**
0
0
0
c x y z
xx
x c y y
yy
x y c z
zz
qB qB
i v v v
mm
qB qB
v i v v
mm
qB qB
v v i v
mm
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?? ? ?
?
?
?
?
? ? ?? ? ? ?
?
?
?
? ? ?? ? ? ?
??
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-70- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 要使 有异于零的解，
系数行列式必须为零，即：
? 回旋频率为
? 式中
*c
n
qB
m? ?
x y zv v v? ? ?
**
**
**
0
c
xx
c
yy
c
zz
qB qB
i
mm
qB qB
i
mm
qB qB
i
mm
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
* * *
* * * *
1 x y z
n x y z
m m m
m m m m
? ? ?? ? ????
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-71- 2010/6/10
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§ 1.6 硅和锗的能带结构
§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? Si的回旋共振结果
1)若 B沿 [111]方向，只有一个吸收峰
2)若 B沿 [110]方向，有 2个吸收峰
3)若 B沿 [100]方向，有 2个吸收峰
4)若 B沿任意方向，有 3吸收峰
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-72- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? 根据以上结果,可以假设,
1)导带最小值不在 k空间原点,在 [100]
方向上,即是沿 [100]方向的旋转椭
球面
2)根据硅晶体立方对称性的要求,
也必有同样的能量在
方向上
3)如图 l-22所示,共有六个旋转椭球等
能面,电子主要分布在这些极值附
近
[ 1 0 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 0 1 ],[ 0 0 1 ]
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-73- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? 设 是第 S个极值所对应的波矢,S＝ 1,2,…,
6，极值处能级为 Ec，则0
sk
2222
000
* * *
()( ) ( )( ) [ ]
2
sss
yys x x z z
c
x y z
kkk k k khE k E
m m m
???? ? ? ?
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-74- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
以沿 [001]方向的旋转椭球为例：
?设 k3轴沿 [001]方向,k1,k2轴位于 (001)面内，互
相垂直，这时沿 k1,k2轴有效质量相同
设 mx*=my*=mt,mz*=me,则等能量方程为
2222
3 0 312
2
()( ) [ ]
2c te
kkkkhE k E
mm
??? ? ?
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-75- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?选取 k1使磁感应强度 B位于 k1
轴和 k3轴所组成的平面内，且
同 k3轴交 角,B的方向余弦
分别为：
?
,,? ? ?
s i n,0,c o s? ? ? ? ?? ? ?
*
22s i n c o s
e
nt
te
mmm
mm ??
??
?
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-76- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?由上讨论可得如下结果：
<1>磁感应沿 [111]方向，则与上述六个 <100＞方向的
夹角均给出,因而
<2>磁感应沿 [110]方向，这时磁感应与
的夹角 与 的夹角
2c o s 1 / 3? ? 2s in 2 / 3? ?
* 3
2
l
nt
tl
mmm
mm?? ?
[00 1],[00 1]2c o s 1 / 2? ? 2cos 0? ?
[ 1 0 0 ],[ 1 0 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ]
*
*
2
l
nt
tl
n t l
m
mm
mm
m m m
??
?
?
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-77- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
<3>磁感应沿 [100]方向，与 方向的夹
角,与 方向的夹角
<4>磁感应沿任意方向时，磁感应与 有三个值
4K时的试验结果
?
2cos 1? ?
2co s 0? ?
** o r n t n t lm m m m m? ? ?
[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 0 1 ],[ 0 0 1 ]
[10 0 ],[ 1 0 0 ]
2cos?
0 ( 0,9 8 0,0 4 )lmm?? 0 ( 0.1 9 0.0 1 )tmm??
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-78- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?施主电子自旋共振，导带
底位于 <100>方向的 0.85
倍
?右图为 Si导带等能面示意
图
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-79- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? N型 Ge的试验结果：
<111>方向共有 8个方向
? 右图为 Ge导带等能面示
意图
0 ( 1,6 4 0,0 3 )lmm??
0 ( 0,0 8 1 9 0,0 0 0 3 )tmm??
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-80- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
?理论计算及 p型样品的实验结果指出,价带顶在
6度简并，分为两支，一组四度简并的状态，一组二
度简并的状态。
?四度简并的能量表示
?二度简并的能量表示
式中 是自旋 -轨道耦合的分裂能量,A,B,C需借助于
回旋共振试验定出
0k ?
? ?2 1 / 22 2 4 2 2 2 2 2 2 2
0
( ) ( )2 x y y z z xhE k A k B k C k k k k k km ??? ? ? ? ? ???
2
2
0
() 2 hE k A km? ? ? ?
?
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-81- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
?负号,重空穴（质量较大的空穴）,有效质量用
表示
?正号,轻空穴（质量较小的空穴）,有效质量用
表示
?所代表的等能面具有扭曲的形状，称为 扭曲面 。
图 1-25分别示意地画出重空穴和轻空穴等能面的
形状
?重空穴比轻空穴有较强的各向异性。
()phm
()plm
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-82- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
图 1-25 重空穴和轻空穴 k空间等能面示意图
(a)重空穴能值较高的情况 (b)重空穴能值较低的情况
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-83- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
图 1-25 重空穴和轻空穴 k空间等能面示意图
(c)(110)平面等能面截面图 (d)轻空穴等能面
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-84- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
? 硅和锗的
能带结构
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-85- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
? 硅和锗的价带结构：有三条价带，
? 其中有两条价带的极值在 k＝ 0处重合，重空穴和轻
空穴的有效质量分别与之对应，
? 第三个价带，其带顶比前两个价带降低了,
硅 ＝ 0.04ev,锗 ＝ 0.29ev，这条价带给出了第三
种空穴。
? 空穴主要分布在前两个价带。在价带顶附近，等能
面接近平面。
?
?
?
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-86- 2010/6/10
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§ 1.6.3 Si1-xGex混合晶体的能带
? 硅、锗构成的混合晶体
写为 Si1-xGex,x称为混
晶比，其禁带宽度 Eg随
x的变化如图所示
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-87- 2010/6/10
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§ 1.7 Ⅲ -Ⅴ 族 化合物半导体的能带结构
?Ⅲ -Ⅴ 族 方向为 方向
方向
?Ⅲ 族 为 面,Ⅴ 族为
?导带：多数极小值 各向同性
?价带,1）稍偏离中心
2）稍各向异性
[111]
[111]
(111) (111)
0k ?
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-88- 2010/6/10
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§ 1.7 Ⅲ -Ⅴ 族 化合物半导体的能带结构
砷化镓的能带结构：
?导带极小值位于布里渊区中心 k
＝ 0处,等能面为球面,导带底电
子有效质量为 0.067mo
?在 <100>方向布里渊区边界还有
一个导带极小值，极值附近的
曲线的曲率比较小,此处电子有
效质量比较大,约为 0.55mo
它的能量比布里渊区中心极小
值的能量高 0.29ev。
?正是由于这个能谷的存在，使
砷化镓具有特殊的性能（见第
四章）。价带结构与硅、锗类
似。室温下禁带宽度为 1.424ev。
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茅惠兵
信息科学技术学院
半导体物理
Semiconductor Physics
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-2- 2010/6/10
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第一章 半导体中的电子状态
§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 格点,空间（一维或多维）点阵中的点（结点）
? 晶列,通过任意两格点所作的（晶列上有一系列格点）
? 晶向,在坐标系中晶列的方向（确定晶向的方法待定）
用晶向指数表示；如 [110]。
? 晶面,通过格点作的平面。一组平行的晶面是等效的，
其中任意两晶面上的格点排列是相同的，且面间距相等。
晶面用晶面指数（密勒指数）表示，如（ 111），
（ 100） ……
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-3- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 反映晶体周期性的重复单元，有两种选取方法：
? 在固体物理学中 —— 选取周期最小的重复单
元，即原胞。
? 在晶体学中 —— 由对称性取选最小的重复单
元，即晶胞（单胞）
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-4- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 基矢,确定原胞（晶胞）大小的矢量。原胞
（晶胞）以基矢为周期排列，因此，基矢的大
小又成为晶格常数。
? 晶轴,以（布拉菲）原胞（或晶胞）的基矢为
坐标轴 —— 晶轴
? 格矢,在固体物理学中，选某一格点为原点 O，
任一格点 A的格矢为
为晶轴上的投影，取整数，
为晶轴上的单位矢量。
1 1 2 2 3 3AR l a l a l a? ? ?
1 2 3,,a a a
1 2 3,,l l l
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-5- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 在结晶学中（用的较多），选某一格点为原点
O，任一格点 A的格矢为
? 为对应晶轴上的投影，取有理数
? 为晶轴上的单位矢量。
1 2 3,,l l l
1 2 3AR l a l b l c? ? ?
1 2 3,,a a a
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-6- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 晶列指数及晶向,格矢在相应晶轴上投影的称
作晶列指数，并用以表示晶向，即格矢所在的
晶列方向
? 固体物理学中，表示为 [l1 l2 l3]，投影为负值时，
l的数字上部冠负号。等效晶向用
< >表示。
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-7- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
1.晶体结构的描述（有关的名词）
? 晶面,通过格点作的平面，用晶面指数表示。
? 晶面指数,表示晶面的一组数。
? 晶向与晶面的关系,在正交坐标系中，晶面指
数与晶面指数相同时，晶向垂直于晶面。
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-8- 2010/6/10
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原胞和晶胞
? 相同点
?用来描述晶体中晶格周期性的最小重复单元
? 不同点：
?固体物理学：原胞只强调晶格的周期性，其最小
重复单元为原胞
?结晶学：晶胞还要强调晶格中原子分布的的对称
性。
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-9- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 简立方,立方体的八个顶
角各有一个原子。
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 体心立方,简立方的中心加进一个原子。
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-11- 2010/6/10
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 面心立方：简立方的六
个面的中心各有一个原
子。
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
结晶学晶胞：
? 金刚石结构,同种原子构成的两个面心立方沿体对角线
相对位移体对角线的套构而成。
? 每个晶胞含原子数：
11× 86
82 ?（ 顶 角 ） ＋ （ 面 心 ） ＋ 4 （ 体 心 ） ＝ 8 个
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
2.几种晶格结构
如果只考虑晶格的周期性，可用固体物理学原胞表示：
? 简立方原胞：与晶胞相同，含一个原子。
? 体心立方原胞：为棱长 的简立方，含一个原子。
? 面心立方原胞：为棱长 的菱立方，由面心立方体对
角线的；两个原子和六个面心原子构成，含一个原子。
? 金刚石结构原胞：为棱长 的菱立方，由体对角线的
两个原子和六个面心原子构成棱立方，其内包含一个距
顶角 体对角线的原子，因此，原胞共含有 2个原子。
32a
22a
1
4a
22a
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(a)正四面体结构
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(b)金刚石型结构
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(c)金刚石型结构的晶胞
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(d)（ 111）面的堆积
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
3.半导体硅锗的晶体结构（金刚石结构）
(e)（ 100）面上的投影
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§ 1.1 晶体结构预备知识，半导体晶体结构
4.闪锌矿型结构
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.1原子中的电子状态
1、玻耳的氢原子理论
? 氢原子能级公式
? 氢原子第一玻耳轨道半径
这两个公式还可用于类氢原子（今后用到）
4
222
08
n
mqE
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2
0
1 2
hr
mq
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??
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2、玻耳氢原子理论的意义
3、氢原子能级公式及玻耳氢原子轨道半径
4、索末菲对玻耳理论的发展
5、量子力学对半经典理论的修正
? 量子力学认为微观粒子（如电子）的运动须用波函数
来描述，经典意义上的轨道实质上是电子出现几率最
大的地方。电子的状态可用四个量子数表示。
6、原子能级的简并度
§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.1原子中的电子状态
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
1、电子共有化运动
? 原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，
分列在不同的能级上，形成所谓 电子壳层
?不同支壳层的电子分别用 1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s… 等符
号表示，每一壳层对应于确定的能量。
? 当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子
壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层
交叠最多，内壳层交叠较少。
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-23- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
? 原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全
局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻的原
子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运
动称为 电子的共有化运动
? 注意,各原子中相似壳层上的电子才有相同的能量，电
子只能在相似壳层间转移。
? 共有化运动 的产生是由于
不同原子的 相似壳层的交
叠,如图 1— 5所示
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-24- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
2、电子共有化运动使能级分裂为能带
例如：两个原子
? 相距很远时，如同孤立原子，
每个能级都有两个态与之相应，
是二度简并的
? 能级如图 1-6(a)所示
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-25- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.2晶体中的电子状态
2、电子共有化运动使能级分裂为能带
? 互相靠近时，原子中的电子除受本
身原于的势场作用，还受到另一个
原子势场的作用
? 结果每个二度简并的能级都分裂为
二个彼此相距很近的能级；两个原
子靠得越近，分裂得越厉害。
? 图 1-6(b)示意地画出了八个原子互
相靠近时能级分裂的情况。可以看
到．每个能级部分裂为八个相距很
近的能级。
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-26- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
1、硅，锗原子的电子结构
? 金刚石和半导体硅、锗，
? 它们的原子都有四个价电子，
? 二个 s电子，二个 p电子，
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-27- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
2,硅、锗晶体能带的形成
? N个原子结合成的晶体，共
有 4N个电子，
? 根据电子先填充低能这一原
理，下面一个能带填满了电
子，它们相应于共价键中的
电子，这个带通常称为 满带
或 价带 ；上面一个能带是空
的，没有电子，通常称为 导
带 ；中间隔以 禁带 。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.3半导体硅、锗晶体的能带
3、半导体（硅、锗）能带的特点：
?存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能
带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下
能带称为价带
?低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一
部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。
?导带与价带间的能隙（ Energy gap）称为禁带
（ forbidden band）,禁带宽度取决于晶体种类、晶体
结构及温度。
?当原子数很大时，导带、价带内能级密度很大，可以认
为能级准连续
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-29- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
1、自由电子的运动
晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同：
? 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运
动
? 自由电子是在恒定为零的势场中运动
? 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动，
?单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固
定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运
动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周
期相同。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
1、自由电子的运动状态
? 对于波矢为 k的运动状态，自由电子的能
量 E，动量 p，速度 v均有确定的数值。
? 波矢 k可用以描述自由电子的运动状态，
不同的 k值标志自由电子的不同状态
? 自由电子的 E和 k的关系曲线，呈抛物线
形状。
? 由于波矢 k的连续变化，自由电子的能量
是连续能谱，从零到无限大的所有能量
值都是允许的。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 晶体中电子所遵守的薛定谔方程,
22
2
0
( ) ( 1 - 1 3 )2 h d x V x x E xm d x? ????? ? ? ? ? ? ?
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 布洛赫曾经证明，满足式 (1-13)的波函数一定具有如下
形式：
? 式中 k为波矢,是一个与晶格同周期的周期性函数，
即：
式中 n为整数。
2( ) ( 1- 14)i k xkkx u x e ?? ? ? ?
()kux
( ) ( )kku x u x na??
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 式 (1-13)具有式 (1-14)形式的解，这一结论称为布洛赫
定理。具有式 (1-14)形式的波函数称为 布洛赫波函数
?晶体中的电子运动服从 布洛赫定理,
晶体中的电子是以调幅平面波在晶体中传播。
这个波函数称为 布洛赫波函数 。
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-34- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 求解薛定谔方程，得到电子在周期场中运动时其能量不
连续，形成一系列允带和禁带。一个允带对应的 K值范
围称为 布里渊区 。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
2、电子在周期场中的运动
? 金刚石结构的第一布里渊区是一个十四面体。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
能带产生的原因：
? 定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，
使能级分裂形成能带。
? 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其
能量不连续形成能带。
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-38- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
能带（ energy band）包括允带和禁带。
? 允带 （ allowed band）：允许电子能量存在的能量范
围。
? 禁带 （ forbidden band）：不允许电子存在的能量范
围。
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
允带又分为空带、满带、导带、价带。
? 空带 （ empty band）：不被电子占据的允带。
? 满带 （ filled band）：允带中的能量状态（能级）均被
电子占据。
? 导带 （ conduction band）：电子未占满的允带（有部
分电子。）
? 价带 （ valence band）,被价电子占据的允带（低温下
通常被价电子占满）。
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-40- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 用能带理论解释导体、半导体、绝缘体的导电性：
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-41- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是
部分占满的，所以金属是良好的导电体
? 半导体和绝缘体的能带类似，即下面是已被价电子占满
的满带（其下面还有为内层电子占满的若干满带），亦
称价带，中间为禁带，上面是空带。因此，在外电场作
用下并不导电，但是这只是绝对温度为零时的情况。
? 半导体中导带的电子和价带的空穴参与导电，这是与金
属导体的最大差别。
? 绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大的能量，在
通常温度下，能激发到导带中的电子很少，所以导电性
很差。
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-42- 2010/6/10
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§ 1.2半导体中的电子状态和能带
§ 1.2.4电子在周期场中的运动 —— 能带论
3、能带理论的应用
? 半导体禁带宽度比较小，数
量级在 1eV左右，在通常温
度下已有不少电子被激发到
导带中去，所以具有一定的
导电能力，这是绝缘体和半
导体的主要区别。
? 室温下，金刚石的禁带宽度
为 6～ 7eV，它是绝缘体；
硅为 1.12eV，锗为 0.67eV，
砷化镓为 1.43eV，所以它们
都是半导体。
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-43- 2010/6/10
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§ 1.3 半导体中电子（在外力下）的运动
有效质量
1.3.1半导体导带中 E(k)与 k的关系
? 定性关系如图所示
? 定量关系必须找出 E(k)函数
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-44- 2010/6/10
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
? 晶体中电子的运动状态要比自由电子复杂得多，
要得到 E(k)表达式很困难。
? 可采用级数展开的方法研究带底或带顶 E(k)关
系
?半导体中起作用的是位于导带底或价带顶附
近的电子
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-45- 2010/6/10
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
? 用泰勒级数展开可以近似求出极值附近的 E(k)与 k的关系
? 以一维情况为例，设能带底位于 k＝ 0，将 E(k)在 k＝ 0附近按
泰勒级数展开，取至 k2项，得到
0
2
2
02
2
22
00 22
n
22
n
k 0 ( / ) 0
1
E ( ) E( 0)= ( )
2
11
( / ) ( )
hm
hk
E ( ) E( 0)=
2m
k
k
kk
dE dk
dE
kk
dk
dE
d E dk
dk
k
?
?
?? ?
?
?
?
＝ 时 能 量 极 小, 所 以 ＝, 因 而
为 一 定 值,令 ＝, 得 到,
2
2
00 2
1( ) ( 0 ) ( ) ( ),,,
2kk
d E d EE k E k k
d k d k??? ? ? ?
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-46- 2010/6/10
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§ 1.3.1半导体导带中 E（ k）与 k的关系
为电子有效质量
?注意：
?在能带底电子有效质量是正值
?在能带顶电子有效质量是负值
它概括了半导体内部的势场作用
2
*2
2/n
dEmh
dk＝
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-47- 2010/6/10
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 半导体中电子的平均速度
? 半导体中电子的加速度 具有牛顿第二定律的形式
n
hkv
m ?
?
22
2 2 2
11 ()d v d d E d E d k f d Ea
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2
*
2 *
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11
n
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-48- 2010/6/10
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 空穴的概念
在牛顿第二定律中要求有效质量为正值，但价
带顶电子的有效质量为负值。这在描述价带顶
电子的加速度遇到困难。为了解决这一问题，
引入空穴的概念
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-49- 2010/6/10
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§ 1.3.2价带顶附近电子的运动
? 空穴的概念
?价带中不被电子占据的空状态
?价带顶附近空穴有效质量 mp*>0
?数值上与该处的电子有效质量相同，即 mp*=-
mn*>0,空穴带电荷＋ q（共价键上少一个电子，
破坏局部电中性，显正电）。
?空穴的能量坐标与电子的相反，分布服从能量最
小原理。
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-50- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
? 经典牛顿第二定律中 a＝ f/m0,式中 f是外合力，
m0是惯性质量
? 半导体电子 a＝ f/m*中,f并不是电子受力的总和
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-51- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
电子在外力
作用下运动
受到外电场力
f的作用
内部原子、
电子相互作用
内部势场作用
引入有效质量
外力 f和电子的
加速度相联系
有效质量概括
内部势场作用
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-52- 2010/6/10
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§ 1.3.3有效质量的意义
? 有效质量的意义在于,它概括了半导体内部势场的作用，使
得在解决半导体中电子在外力作用下的运动运动规律时，可
以不涉及到半导体内部势场的作用。
?mn*可以直接由实验测定，因而可以很方便地解决电子的运
动规律
? 有效质量与能量函数对于 k的二次微商成反比，能带越窄，
二次微商越小，有效质量越大。
?内层电子的能带窄，有效质量大
?外层电子的能带宽，有效质量小
?外层电子，在外力的作用下可以获得较大的加速度。
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-53- 2010/6/10
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§ 1.3.4半导体中电子的准动量
? 自由电子的真实动量, m0v＝ hk
? 半导体中电子的准动量 mn*v＝ hk
? mn*v与 m0v有相同的形式，
称 mn*v为准动量
? mn*有质量的量纲
? 有效质量与惯性质量有质的区别，前者隐含了
晶格势场的作用
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-54- 2010/6/10
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§ 1.4半导体的导电机构
§ 1.4.1导电条件
有外加电压，有载流子
? 满带中的电子不导电
? 虽包含电子但并未填满的能带才有一定的导电
性，即不满的能带中的电子才可以导电
? 绝对温度为零时，纯净半导体的价带被价电子
填满，导带是空的 ?不导电
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-55- 2010/6/10
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§ 1.4.1导电条件
? 在一定的温度下，价带顶
部附近有少量电子被激发
到导带底部附近，在外电
场作用下，导带中电子便
参与导电。
? 同时，价带缺少了一些电
子后也呈不满的状态，因
而价带电子也表现出具有
导电的特性，它们的导电
作用常用空穴导电来描写。
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-56- 2010/6/10
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§ 1.4.2本征半导体的导电机构
? 对本征半导体，导带中出现多少电子，价带中就对应
出现多少空穴，导带上电子参与导电，价带上空穴也
参与导电
? 载流子,晶体中荷载电流（或传导电流）的粒子。金
属中为电子，半导体中有两种载流子即电子和空穴。
?这一点是半导体同金属的最大差异，正是由于这两种载
流子的作用，使半导体表现出许多奇异的特性，可用
来制造形形色色的器件。
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-57- 2010/6/10
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§ 1.4.3空穴的导电机理
?价带电子导电通常用空穴导电来描述
? 设想价带中一个电子激发到价带，电子电流密度
J＝价带（ k状态空出）电子总电流
? 设想以一个电子填充到空的 k状态,
k状态电子电流 =(-q)v(k)
? 填入这个电子后价带又被填满,总电流应为零
J＋（ -q） v（ k）＝ 0
? 因而得到 J＝（＋ q） v（ k）
? 说明,当价带 k状态空出时，价带电子的总电流，如
同一个正电荷的粒子以 k状态电子速度 v（ k）运动时
所产生的电流。
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-58- 2010/6/10
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§ 1.4.3空穴的导电机理
? 把价带中空着的状态看成是
带正电的粒子，称为 空穴。
引进这样一个假象的粒子
―― 空穴后，便可以很简便
地描述价带（未填满）的电流
? 右图为空穴运动的示图，即
为电子填充空位的过程
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-59- 2010/6/10
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§ 1.5 回旋共振
? § 1.5.1 k空间等能面
0k ?设 一 维 情 况 下,设 能 带 极 值 位 于 处
22
22
( ) ( 0 ) =
2
( ) ( 0 ) = -
2
n
p
hk
E k E
m
hk
E k E
m
?
?
?
?
导 带 底 附 近,
价 带 顶 附 近,
E ( k ) k
,npmm??
右 图 为 极 值 附 近 与 的 关 系 曲 线
如 果 知 道 与 则 极 值 附 近 能 带 结 构 便 可 掌 握
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-60- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 实际的三维情况下
k空间如图所示
k空间任一矢量代表波矢 k
2 2 2 2x y zk k k k? ? ?
2
222( ) ( 0 ) = ( )
2 x y zn
hE k E k k k
m ?? ? ?
0 0) ( 0)k E k E? ? ?设 导 带 底 位 于, (
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-61- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 当 E(k)为确定值时，
(kx,ky,kz)构成一个封闭
的曲面
?半径为
的球面
?在这个面上能值相等，
称 等能面
? ?2( 2 / ) ( ) (0 )nm h E k E? ?
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-62- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
? 对于各向异性的晶体,E(k)与 k的关系沿不同 k
方向不一定相同
? 不同 k方向电子有效质量不同，能带极值不一定
位于 k＝ 0处
? 设导带底位于 k0，令 mx*,my*,mz*分别表示
沿 kx,ky,kz方向的导带底电子有效质量
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-63- 2010/6/10
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§ 1.5.1 k空间等能面
2
222
0
00
0 * * *
2
*
022
2
*
022
2
*
022
2
2
0
00
**
00
2
2
()( ) ( )
( ) ( )
2
1
( )
1
( )
1
( )
()( ) (
2 ( ) 2 ( )
y
xz
x y z
x
x
y
y
z
z
y
xz
xy
k k yk k x k k zh
E k E k
m m m
E
mk
hk
E
mk
hk
E
mk
hk
k k yk k x k k
m E E m E E
h h
?? ?
??
? ? ???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
＋
式 中,
也 可 写 为,
2
*
0
2
)
1
2 ( )
z
z
m E E
h
?
?
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-64- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 实验目的
测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方
法推出半导体的能带结构
? 实验原理
固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现
象。磁感应强度约为零点几 T
? 实验要求
?样品纯度要高
?一般在低温下进行
?交变电磁场的频率在微波甚至在红外光范围
?这是为了能观测出明显的共振吸收峰
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-65- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 半导体样品置于均匀恒定磁场
? 运动轨迹为螺旋线，圆周半径为 r，
回旋频率为
B
s in
vB
f q v B
f q v B q v B
?
? ?
? ? ?
??
与 夹 角
2
* 2 *
*
,/
/ /
/
c
nn
cn
v r a v r
m v r q v B m q B r v
q B m
?
?
??
? ? ?
??
? ? ? ?
??
向 心 加 速 度
c?
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-66- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面的形状与有效质量密切相关
?球形等能面
有效质量各向同性，即只有一个有效质量
?椭球等能面
有效质量各向异性，即：
在不同的波矢方向对应不同的有效质量
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-67- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面为球面
? 半导体样品置于均匀恒定磁场中，
回旋频率为
? 以电磁波通过半导体样品，交变电场频率等于回旋
频率时，发生共振吸收
? 测出频率和电磁感应强度便可得到 mn*
*c
n
qB
m? ?
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-68- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
等能面为椭球（有效质量各向异性）
? 电子受力
? 电子运动方程
* * *,,B,,,,x y z x y z x y zk k k m m m k k k ? ? ?沿 方 向 分 别 为, 沿 轴 的 方 向 余 弦 为
()
()
()
x y z
y z x
z x y
f q B v v
f q B v v
f q B v v v
??
??
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
*
*
*
( ) 0
( ) 0 ( 1 50)
( ) 0
x
x y z
y
y z x
z
z x y
dv
m qB v v
dt
dv
m qB v v
dt
dv
m qB v v v
dt
??
??
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ?
?
?
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-69- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 电子做周期性运动，取试解
? 代入 (1－ 50)式得
c
c
c
it
xx
it
yy
it
zz
v v e
v v e
v v e
?
?
?
? ??
?
? ?
??
?
???
?
**
**
**
0
0
0
c x y z
xx
x c y y
yy
x y c z
zz
qB qB
i v v v
mm
qB qB
v i v v
mm
qB qB
v v i v
mm
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?? ? ?
?
?
?
?
? ? ?? ? ? ?
?
?
?
? ? ?? ? ? ?
??
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-70- 2010/6/10
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§ 1.5.2 回旋共振
? 要使 有异于零的解，
系数行列式必须为零，即：
? 回旋频率为
? 式中
*c
n
qB
m? ?
x y zv v v? ? ?
**
**
**
0
c
xx
c
yy
c
zz
qB qB
i
mm
qB qB
i
mm
qB qB
i
mm
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
* * *
* * * *
1 x y z
n x y z
m m m
m m m m
? ? ?? ? ????
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-71- 2010/6/10
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§ 1.6 硅和锗的能带结构
§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? Si的回旋共振结果
1)若 B沿 [111]方向，只有一个吸收峰
2)若 B沿 [110]方向，有 2个吸收峰
3)若 B沿 [100]方向，有 2个吸收峰
4)若 B沿任意方向，有 3吸收峰
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-72- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? 根据以上结果,可以假设,
1)导带最小值不在 k空间原点,在 [100]
方向上,即是沿 [100]方向的旋转椭
球面
2)根据硅晶体立方对称性的要求,
也必有同样的能量在
方向上
3)如图 l-22所示,共有六个旋转椭球等
能面,电子主要分布在这些极值附
近
[ 1 0 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 0 1 ],[ 0 0 1 ]
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-73- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? 设 是第 S个极值所对应的波矢,S＝ 1,2,…,
6，极值处能级为 Ec，则0
sk
2222
000
* * *
()( ) ( )( ) [ ]
2
sss
yys x x z z
c
x y z
kkk k k khE k E
m m m
???? ? ? ?
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-74- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
以沿 [001]方向的旋转椭球为例：
?设 k3轴沿 [001]方向,k1,k2轴位于 (001)面内，互
相垂直，这时沿 k1,k2轴有效质量相同
设 mx*=my*=mt,mz*=me,则等能量方程为
2222
3 0 312
2
()( ) [ ]
2c te
kkkkhE k E
mm
??? ? ?
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-75- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?选取 k1使磁感应强度 B位于 k1
轴和 k3轴所组成的平面内，且
同 k3轴交 角,B的方向余弦
分别为：
?
,,? ? ?
s i n,0,c o s? ? ? ? ?? ? ?
*
22s i n c o s
e
nt
te
mmm
mm ??
??
?
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-76- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?由上讨论可得如下结果：
<1>磁感应沿 [111]方向，则与上述六个 <100＞方向的
夹角均给出,因而
<2>磁感应沿 [110]方向，这时磁感应与
的夹角 与 的夹角
2c o s 1 / 3? ? 2s in 2 / 3? ?
* 3
2
l
nt
tl
mmm
mm?? ?
[00 1],[00 1]2c o s 1 / 2? ? 2cos 0? ?
[ 1 0 0 ],[ 1 0 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ]
*
*
2
l
nt
tl
n t l
m
mm
mm
m m m
??
?
?
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-77- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
<3>磁感应沿 [100]方向，与 方向的夹
角,与 方向的夹角
<4>磁感应沿任意方向时，磁感应与 有三个值
4K时的试验结果
?
2cos 1? ?
2co s 0? ?
** o r n t n t lm m m m m? ? ?
[ 0 1 0 ],[ 0 1 0 ],[ 0 0 1 ],[ 0 0 1 ]
[10 0 ],[ 1 0 0 ]
2cos?
0 ( 0,9 8 0,0 4 )lmm?? 0 ( 0.1 9 0.0 1 )tmm??
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-78- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
?施主电子自旋共振，导带
底位于 <100>方向的 0.85
倍
?右图为 Si导带等能面示意
图
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-79- 2010/6/10
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§ 1.6.1 硅和锗的导带结构
? N型 Ge的试验结果：
<111>方向共有 8个方向
? 右图为 Ge导带等能面示
意图
0 ( 1,6 4 0,0 3 )lmm??
0 ( 0,0 8 1 9 0,0 0 0 3 )tmm??
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-80- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
?理论计算及 p型样品的实验结果指出,价带顶在
6度简并，分为两支，一组四度简并的状态，一组二
度简并的状态。
?四度简并的能量表示
?二度简并的能量表示
式中 是自旋 -轨道耦合的分裂能量,A,B,C需借助于
回旋共振试验定出
0k ?
? ?2 1 / 22 2 4 2 2 2 2 2 2 2
0
( ) ( )2 x y y z z xhE k A k B k C k k k k k km ??? ? ? ? ? ???
2
2
0
() 2 hE k A km? ? ? ?
?
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
?负号,重空穴（质量较大的空穴）,有效质量用
表示
?正号,轻空穴（质量较小的空穴）,有效质量用
表示
?所代表的等能面具有扭曲的形状，称为 扭曲面 。
图 1-25分别示意地画出重空穴和轻空穴等能面的
形状
?重空穴比轻空穴有较强的各向异性。
()phm
()plm
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-82- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
图 1-25 重空穴和轻空穴 k空间等能面示意图
(a)重空穴能值较高的情况 (b)重空穴能值较低的情况
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-83- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
图 1-25 重空穴和轻空穴 k空间等能面示意图
(c)(110)平面等能面截面图 (d)轻空穴等能面
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-84- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
? 硅和锗的
能带结构
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-85- 2010/6/10
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§ 1.6.2 硅和锗的价带结构
? 硅和锗的价带结构：有三条价带，
? 其中有两条价带的极值在 k＝ 0处重合，重空穴和轻
空穴的有效质量分别与之对应，
? 第三个价带，其带顶比前两个价带降低了,
硅 ＝ 0.04ev,锗 ＝ 0.29ev，这条价带给出了第三
种空穴。
? 空穴主要分布在前两个价带。在价带顶附近，等能
面接近平面。
?
?
?
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-86- 2010/6/10
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§ 1.6.3 Si1-xGex混合晶体的能带
? 硅、锗构成的混合晶体
写为 Si1-xGex,x称为混
晶比，其禁带宽度 Eg随
x的变化如图所示
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-87- 2010/6/10
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§ 1.7 Ⅲ -Ⅴ 族 化合物半导体的能带结构
?Ⅲ -Ⅴ 族 方向为 方向
方向
?Ⅲ 族 为 面,Ⅴ 族为
?导带：多数极小值 各向同性
?价带,1）稍偏离中心
2）稍各向异性
[111]
[111]
(111) (111)
0k ?
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-88- 2010/6/10
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§ 1.7 Ⅲ -Ⅴ 族 化合物半导体的能带结构
砷化镓的能带结构：
?导带极小值位于布里渊区中心 k
＝ 0处,等能面为球面,导带底电
子有效质量为 0.067mo
?在 <100>方向布里渊区边界还有
一个导带极小值，极值附近的
曲线的曲率比较小,此处电子有
效质量比较大,约为 0.55mo
它的能量比布里渊区中心极小
值的能量高 0.29ev。
?正是由于这个能谷的存在，使
砷化镓具有特殊的性能（见第
四章）。价带结构与硅、锗类
似。室温下禁带宽度为 1.424ev。
