第三章 插值法和最小二乘法 3.3 分段插值法§ 3.3 分段插值法§ 从上节可知 ,如果插值多项式的次数过高 ， 可能产生 Runge现象 ， 因此 ， 在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法 。 一 、 分段线性 Lagrange插值 ,ix设插值节点为 niyi ,,1,0, L=函数值为 ],[,, 11 ++ kkkk xxxx 形成一个插值区间任取两个相邻的节点 构造 Lagrange线性插值 1,,2,1,0,1 ?=?= + nixxh iii L i i hh max= 1. 分段线性插值的构造 )()()( 11)(1 xlyxlyxL kkkkk +++= 1 1 + + ? ?= kk k k xx xxy kk k k xx xxy ? ?+ + + 1 1 1,,1,0 ?= nk L =)(1 xL ??? ??? ? ≤≤ <≤ <≤ ? ? nn n xxxxL xxxxL xxxxL 1 )1( 1 21 )1( 1 10 )0( 1 )( )( )( MM 显然 =)(1 ixL niyi ,,1,0, L= --------(1) --------(2) 我们称由 (1)(2)式构成的插值多项式 为 分段线性 Lagrange插值 多项式 )(1 xL 为插值点设 *xx = 1* +≤≤ kk xxx若 *)(* 1 xLy =则 *)()(1 xL k= 1 1* + + ? ?= kk k k xx xxy kk k k xx xxy ? ?+ + + 1 1 * 0* xx ≤若 *)(* 1 xLy =取 *)()0(1 xL= 10 1 0 * xx xxy ? ?= 01 0 1 * xx xxy ? ?+ nxx ≥*若 *)(* 1 xLy =取 *)()1(1 xL n?= nn n n xx xxy ? ?= ? ? 1 1 * 1 1* ? ? ? ?+ nn n n xx xxy 内插 外插 外插 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1的图象分段线性插值 )(1 xLy = 的一条折线 实际上是连接点 ni yx kk ,,1,0 ,),( L= 也称折线插值 ,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长 ,会改善插值效果 )(lim 1 0 xL h→ )(xf= 上连续在若 ],[)( baxf因此 则 )()!1( )( 1 )1( xnf n n + + += w x 由第二节定理 1可知 ,n次 Lagrange插值多项式的余项为 )()()( xPxfxR nn ?= 的余项为那么分段线性插值 )(1 xL )()()( 11 xLxfxR ?= )()( )(1 xLxf k?= ))((2 )( 1+??′′= kk xxxxf x 有关与且 xxxx kk xx ],,[, 1+∈ |)(| 1 xR |))((|max|)(|max21 1+ ≤≤≤≤ ???′′?≤ kk k bxabxa xxxxxf 2 2 4 1 2 1 hM ??≤ 2 28 1 hM= 2. 分段线性插值的误差估计 二 、 分段二次 Lagrange插值 分段线性插值的光滑性较差 ,且精度不高 因此 ,当节点较多时 ,可根据情况构造分段二次插值 ,ix设插值节点为 niyi ,,1,0, L=函数值为 为插值区间以任取三个相邻节点 ],[,,, 1111 +?+? kkkkk xxxxx 构造 Lagrange二次插值 )()()()( 1111)(2 xlyxlyxlyxL kkkkkkk ++?? ++= 1,,2,1 ?= nk L 1,,2,1,0,1 ?=?= + nixxh iii L i i hh max= 1. 分段二次插值的构造 ))(( ))(( 111 1 1 +?? + ? ?? ??= kkkk kk k xxxx xxxxy 1,,2,1 ?= nk L )()(2 xL k ))(( ))(( 11 11 +? +? ?? ??+ kkkk kk k xxxx xxxxy ))(( ))(( 111 1 1 kkkk kk k xxxx xxxxy ?? ??+ +?+ ? + 上式称为分段二次 Lagrange插值 ],[*,* 1+∈ kk xxxx 且为插值点若 显然 ,插值区间 ],[],[ 211 ++? kkkk xxxx 和 *x都包含 *)(* )(2 xLy k=那么 *)(* )1(2 xLy k +=还是 一般 则更接近且若 ,*,* 1 kkk xxxxx +≤≤ *)(* )(2 xLy k= 则更接近且若 ,*,* 11 ++≤≤ kkk xxxxx *)(* )1(2 xLy k += 1,,2,1 ?= nk L 则含若 ),*(* 01 xxxx ≤≤ 2,,1,0 ?= nk L *)(* )1(2 xLy = 则含若 ),*(* 1 nn xxxx ≥≥ ? *)(* )1(2 xLy n ?= 时使用的方法是外插和 nxxxx ≥≤ ** 0 *x *x *x *x *x *x 0x 1x 2?kx 1?kx kx 1+kx 1?nx nx *x *)()1(2 xL )1(2 ?kL )(2 kL )1( 2 +kL *)()1( 2 xL n ? L L 外插 内 插 外插 )()!1( )( 1 )1( xnf n n + + += w x)()()( xPxfxR nn ?= 的余项为那么分段二次插值 )(2 xL )()()( 22 xLxfxR ?= )()( )(2 xLxf k?= ))()((6 )( 11 +? ???′′′= kkk xxxxxxf x 有关与且 x xxx kk x x ],,[, 11 +?∈ |)(| 2 xR |))()((|max|)(|max61 11 11 +?≤≤≤≤ ????′′′?≤ +? kkk k xxxbxa xxxxxxxf kk 3 3 9 32 6 1 hM ??≤ 3 327 3 hM= 2. 分段二次插值的误差估计 由于 ，次插值 用分段线性 、 二处的近似值在求 ) (1.1,98.0,75.0,42.0,36.0)( =xxf 18885.187335.069675.057815.041075.030163.0 05.180.065.055.040.030.0 543210 i i y x i 在各节点处的数据为设 )(xf例 : )()(1 xL k 1 1 + + ? ?= kk k k xx xxy kk k k xx xxy ? ?+ + + 1 1 解 : (1). 分段线性 Lagrange插值的公式为 1,,1,0 ?= nk L )36.0()0(1L 4.03.0 4.036.030163.0 ??= 3.04.0 3.036.041075.0 ??+ 36711.0= )42.0()1(1L 55.04.0 55.042.041075.0 ??= 4.055.0 4.042.057815.0 ??+ 43307.0= )75.0()3(1L 81448.0= )98.0()4(1L 10051.1= )1.1()4(1L 05.18.0 05.11.187335.0 ??= 8.005.1 8.01.118885.1 ??+ 25195.1= ≈)36.0(f ≈)42.0(f ≈)75.0(f ≈)98.0(f ≈)1.1(f 同理 ))(( ))(( 111 1 1 +?? + ? ?? ??= kkkk kk k xxxx xxxxy 1,,2,1 ?= nk L )()(2 xL k ))(( ))(( 11 11 +? +? ?? ??+ kkkk kk k xxxx xxxxy ))(( ))(( 111 1 1 kkkk kk k xxxx xxxxy ?? ??+ +?+ ? + (2). 分段二次 Lagrange插值的公式为 36686.0= ))(( )36.0)(36.0( 2010 21 0 xxxx xxy ?? ??=)36.0()1( 2L ))(( )36.0)(36.0( 2101 20 1 xxxx xxy ?? ??+ ))(( )36.0)(36.0( 1202 10 2 xxxx xxy ?? ??+ ≈)36.0(f 43281.0= ))(( )42.0)(42.0( 2010 21 0 xxxx xxy ?? ??=)42.0()1( 2L ))(( )42.0)(42.0( 2101 20 1 xxxx xxy ?? ??+ ))(( )42.0)(42.0( 1202 10 2 xxxx xxy ?? ??+ 81343.0= ))(( )75.0)(75.0( 5343 54 3 xxxx xxy ?? ??=)75.0()4( 2L ))(( )75.0)(75.0( 5454 53 4 xxxx xxy ?? ??+ ))(( )75.0)(75.0( 4535 43 5 xxxx xxy ?? ??+ ≈)42.0(f ≈)75.0(f ≈)98.0(f ≈)1.1(f09784.1=)98.0()4(2L 25513.1=)1.1()4(2L 分段低次 Lagrange插值的特点 计算较容易 可以解决 Runge现象 但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点 插值多项式在节点处不可导