第二章 解线性方程组的直接法 2.5 平方根法§ 2.5 平方根法§ 一 、 对称正定矩阵的三角分解 (Cholesky分解 ) nkAA k ,,2,1,0det L=>的顺序主子式且 为对称正定矩阵阶矩阵若 An AAA T => ,0)det(则 )( 分解或分解可以进行因此 DoolittleLUA 记为 ULA ~~= 为上三角阵为单位下三角阵其中 UL ~,~, -------------(1) kkk ULA ~~= kAdet ∏ = ?= k i iiu 1 ~1 kk UL ~det~det ?= nk ,,2,1 L= 0> kAdet kk k i ii uu ~~1 1 ?= ∏ ? = kkk uA ~det 1 ?= ? kku ~ 1det det ? = k k A A 0> )1det( 0 =A记 kkk ULAkULA ~,~,~,~, 阶顺序主子式的任意且对于 nk ,,2,1 L=以上 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? = nn n n n u uu uuu uuuu U ~ ~~ ~~~ ~~~~ ~ 333 22322 1131211 MO L L L ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? = nnu u u u ~ ~ ~ ~ 33 22 11 O ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1,1 ,1 22 2 22 23 11 1 11 13 11 12 nn nn n n u u u u u u u u u u u u LO L L 1?DU= 因此 )~,,~,~( 2211 nnuuudiagD L= 1 ~ DUU = 1 2 1 2 1 UDD= ULA ~~= 12 1 2 1~ UDDL= 2 2211 )] ~,,~,~([ nnuuudiag L= Diagonal:对角 ))(~( 12 1 2 1 UDDL= LU=? 2 1~ DLL = 为非奇异下三角阵 1 2 1 UDU = 为非奇异上三角阵 并且都是正数 的主对角元 ，为 的主对角元和且 2 1 D UL ----------(2) --------(3) 唯一由于 ULA ~~= 唯一12 1 2 1~ UDDLA = 唯一LUA = AAA T =,为对称正定阵而 TT LUA )(=因此 TT LU ?= LU= 所以 TT LUUL == , 综合以上分析 , 为对称正定矩阵阶矩阵若 An 则有 TLLA = -------------(4) -------------(5) 定理 1. (Cholesky分解 ) 使得正数的下三角阵 元全是则一定存在一个主对角为对称正定矩阵设 , , L A TLLA = 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为 Cholesky分解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nnnrn rrr lll ll l L LL OMM L OM 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nnnrn rnrrr nr aaa aaa aaa A LL MOMM LL MMOM LL 1 1 1111 设 jiij aa = irarArL 列元素的第考察列已求出的第假设 ,1~1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nnnrn rrr lll ll l LL OMM L OM 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnnrn rnrrr nr aaa aaa aaa LL MOMM LL MMOM LL 1 1 1111 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? nn nrrr nr l ll lll MO L MMO LL 1111 111111 lla ?= 112121 lla ?= 1111 lla ii ?= ni ,,2,1 L= 可以求出的第一列元素 1ilL ∑ = ?= r k rkrkrr lla 1 2 1 1 2 rr r k rk ll += ∑? = ∑ = ?= r k rkikir lla 1 rrir r k rkik llll ?+?= ∑? = 1 1 nrri ,,1, L+= -------------(6) -------------(7) -------------(8) 的元素的计算公式式可得由 L)8(~)6( 1111 al = 11 1 1 l al i i = ni ,,3,2 L= ∑? = ?= 1 1 2 r k rkrrrr lal nr ,,2 L= rr r k rkikir ir l lla l ∑? = ?? = 1 1 nri ,,1 L+= )9( ijijij lal 放的储存地址可以用来存求出后当 在计算机上运算时从公式中可以看出 , ,, 二 、 对称正定线性方程组的解法 bAx =线性方程组 阶对称正定矩阵为其中 nA 使得的下三角阵则存在主对角元为正数 ,L TLLA = -------------(10) -------------(11) 则线性方程组 (10)可化为两个三角形方程组 bLy = yxLT = bxLL T =)( -------------(12) -------------(13) bLy =解.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nnnin iii lll ll l L LL OMM L OM 1 1 11 11 1 1 l by = ii i k kiki i l ylb y ∑? = ?? = 1 1?? ??? ni ,,3,2 L= ------(14) yxLT =解.2 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? = nn niii ni T l ll lll L MO L MMO LL 1111 nn n n l yx = ii n ik kkii i l xly x ∑ += ?? = 1?? ??? ------(15) 对称正定方程 组的 平方根法1,2,,1 L?= ni 例 1. 用平方根法解对称正定方程组 ?? ? ? ? ?? ? ? ? = ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 9 10 9 685 8137 576 3 2 1 x x x 解 : A先分解系数矩阵 ?? ? ? ? ?? ? ? ? = 685 8137 576 A ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6 6 7 6 5 bLy =其次解 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6 6 7 6 5 ?? ? ? ? ?? ? ? ? 9 10 9 11 1 1 l by = 6 9= 22 1212 2 l ylby ??= 6 29 6 9*710 ? = 1743?= 33 2 1 33 3 l ylb y k kk∑ = ?? = 2910= 11 1 1 l by = ii i k kiki i l ylb y ∑? = ?? = 1 1 =),( bL 629 174 13 29 25 即 Tyyyy ),,( 321= T)2910,1743,69( ?= yxLT =最后解 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 29 10 174 3 6 9 29 25 174 13 6 29 6 5 6 76 nn n n l yx = ii n ik kkii i l xly x ∑ += ?? = 1 33 3 3 l yx = 11 3 2 11 1 l xly x k kk∑ = ?? =2= 22 3322 2 l xlyx ??= 1?= 1= =),( yLT Txxxx ),,( 321= 所以原方程组的解为 T)2,1,1( ?= 思考 本例中出现了大量的根式运算 )~,,~,~( 2211 nnuuudiagD L= 2 1 2 1 DD= )~,,~,~( 2211 nnuuudiagD L= 原因为 分解的因此不作 TLLA ULA ~~= 考虑改变分解方式 1 ~DUL= LDU= TLDL?= 分解矩阵的这种分解称为对称正定 TLDL 请求解例 1. 三 、 平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 TLLA =由 可知 ∑ = ?= r k rkrkrr lla 1 ∑ = = r k rkl 1 2 因此 rrrk al ≤2|| 不会放大得以控制中间量 ,rkl nr ,,2,1 L= rk ,,2,1 L= 平方根法是数值稳定的 事实上 ,对称正定方程组也可以用顺序 Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤