线性代数智能电子教案第 三 节 线性方程组的解利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩,可方便地讨论线性方程组 Ax = b 的解,其结论是,
定理 2 n 元齐次线性方程组 Am?n x = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n.
线性代数智能电子教案证 先证 必要性,设方程组 Ax = 0 有非零解,
要证 R(A) < n,用反证法,设 R(A) =n,则在 A 中应有一个 n 阶非零子式 Dn,从而 Dn 所对应的 n 个方程只有零解,这与原方程组有非零解相矛盾,故
R(A) < n.
再证 充分性,设 R(A) = r < n,则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行,从而知其有 n - r 个自由未知量,任取一个自由未知量为 1,其余自由未知量为 0,即可得方程组的一个非零解,证毕,
线性代数智能电子教案定理 3 n 元非齐次线性方程组 Am?n x = b
有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B = (A,b) 的秩,
证 先证 必要性,设方程组 Ax = b 有解,要证 R(A) = R(B),用反证法,设 R(A) < R(B),则 B 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 =
1,这与方程组有解相矛盾,因此 R(A) = R(B),
线性代数智能电子教案再证 充分性,设 R(A) = R(B),要证方程组有解,
把 B 化为行阶梯形矩阵,设 R(A) = R(B) = r (r? n),
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行,把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,其余
n - r 个作为自由未知量,并令 n - r 个自由未知量全取 0,即可得方程组的一个解,证毕,
线性代数智能电子教案当 R(A) = R(B) = n 时,方程组没有自由未知量,只有唯一解,当 R(A) = R(B) = r < n 时,方程组有 n-r 个自由未知量,令它们分别等于 c1,c2,...,
cn-r,可得含 n - r 个参数 c1,c2,...,cn-r 的解,这些参数可任意取值,因此这时方程组有无限多个解,
并且这个含 n-r 个参数的解可表示方程组的任一解,因此这个解称为线性方程组的 通解,
线性代数智能电子教案对于齐次线性方程组,只需把它的系数矩阵化成行最简形矩阵,便能写出它的通解,对于非齐次线性方程组,只需把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便能根据定理 3 判断它是否有解 ; 在有解时,
把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,便能写出它的通解,为了使同学们能熟练掌握这种解法,下面再举几例,
单 击 这 里 开 始线性代数智能电子教案单击这里开始例 1 用矩阵的初等行变换求解方程组
0417
0453
023
032
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
所以方程组解的情况为,
有非零解,无非零解,Yes No
线性代数智能电子教案
),(
0
0
0
7
1
11
21
21
3
2
1
为任意常数kk
kk
x
x
x
在有非零解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案例 2 用矩阵的初等行变换求解方程组
42
734
423
12
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
所以方程组解的情况为,
有 解,无 解,No Yes
单击这里开始线性代数智能电子教案
),(
0
0
0
7
1
11
21
21
3
2
1
为任意常数kk
kk
x
x
x
在有解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案例 3 用矩阵的初等行变换求解方程组
5192483
13254
24653
1342
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
所以方程组解的情况为,
有 解,无 解,Yes No
单击这里开始线性代数智能电子教案
),(
0
0
1
1
1
0
5
7
0
1
6
8
21
21
4
3
2
1
为任意常数kk
kk
x
x
x
x
在有解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案在本节的最后,我们来讨论一下 3 元非齐次线性方程组解的几何意义,
设有 3 元非齐次线性方程组
3 元非齐次线性方程组解的几何意义,
mmmm
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
2222
1111
)1(
线性代数智能电子教案则方程组 (1) 的解有以下三种情况,
1) 无解 这时方程组 (1) 中的 m 个方程所表示的平面既不交于一点,也不共线,
2) 有唯一解 这时方程组 (1) 中的 m 个方程所表示的平面交于一点,例如
423
32
123
zyx
yx
zx
该方程组有唯一解
817,21,47
线性代数智能电子教案其几何意义如 图 1 所示,
2x-y=-3
3x+2z=-1
x-3y+2z=4
图 1
线性代数智能电子教案
3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形情形一 R(A) = R(B) = 1,即保留方程组只有一个方程,则有两个自由变量,其通解中含有两个任意常数,通解形式为
x = c1?1 + c2?2 +?* (c1,c2 为任意常数 )
这时 方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是由过点?* 且分别以?1,?2 为方向向量的两条相交直线所确定,
线性代数智能电子教案例如,设保留方程组为
x + y + z = 3,
则可求得其通解为
1
1
1
1
0
1
0
1
1
21 ccx
线性代数智能电子教案则过点 P(1,1,1) 分别以 (1,-1,0)T,(1,0,-1)T 为方向向量的两直线的方程分别为
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
2
1
zyx
:L
zyx
:L
则 L1,L2 在平面 x + y + z = 3 上,如图 2
线性代数智能电子教案图 2
线性代数智能电子教案情形二 R(A) = R(B) =2,即保留方程组有两个方程,这时方程组 (1) 的通解为
x = c? +?* ( c 为任意常数 )
此时 方程组 (1) 的所有解在过点?* 且以? 为方向向量的直线上,例如
694
13283
542
432
zyx
zyx
zyx
zyx
线性代数智能电子教案则其通解为 单击这里开始求解
0
2
1
1
1
2
cx
过点 (-1,2,0) 以向量 (-2,1,1)T 为方向向量作直线
L,
11
2
2
1 zyx:L
则由方程组所确定的四个平面必交于直线 L.如图 3
694
13283
542
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zyx
zyx
zyx
zyx
线性代数智能电子教案
2x+3y+z=4
3x+8y-2z=13
x-2y+4z=-5
4x-y+9z=-6 图 3
11
2
2
1 zyx:L
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定理 2 n 元齐次线性方程组 Am?n x = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n.
线性代数智能电子教案证 先证 必要性,设方程组 Ax = 0 有非零解,
要证 R(A) < n,用反证法,设 R(A) =n,则在 A 中应有一个 n 阶非零子式 Dn,从而 Dn 所对应的 n 个方程只有零解,这与原方程组有非零解相矛盾,故
R(A) < n.
再证 充分性,设 R(A) = r < n,则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行,从而知其有 n - r 个自由未知量,任取一个自由未知量为 1,其余自由未知量为 0,即可得方程组的一个非零解,证毕,
线性代数智能电子教案定理 3 n 元非齐次线性方程组 Am?n x = b
有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B = (A,b) 的秩,
证 先证 必要性,设方程组 Ax = b 有解,要证 R(A) = R(B),用反证法,设 R(A) < R(B),则 B 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 =
1,这与方程组有解相矛盾,因此 R(A) = R(B),
线性代数智能电子教案再证 充分性,设 R(A) = R(B),要证方程组有解,
把 B 化为行阶梯形矩阵,设 R(A) = R(B) = r (r? n),
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行,把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,其余
n - r 个作为自由未知量,并令 n - r 个自由未知量全取 0,即可得方程组的一个解,证毕,
线性代数智能电子教案当 R(A) = R(B) = n 时,方程组没有自由未知量,只有唯一解,当 R(A) = R(B) = r < n 时,方程组有 n-r 个自由未知量,令它们分别等于 c1,c2,...,
cn-r,可得含 n - r 个参数 c1,c2,...,cn-r 的解,这些参数可任意取值,因此这时方程组有无限多个解,
并且这个含 n-r 个参数的解可表示方程组的任一解,因此这个解称为线性方程组的 通解,
线性代数智能电子教案对于齐次线性方程组,只需把它的系数矩阵化成行最简形矩阵,便能写出它的通解,对于非齐次线性方程组,只需把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便能根据定理 3 判断它是否有解 ; 在有解时,
把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,便能写出它的通解,为了使同学们能熟练掌握这种解法,下面再举几例,
单 击 这 里 开 始线性代数智能电子教案单击这里开始例 1 用矩阵的初等行变换求解方程组
0417
0453
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032
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321
321
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xxx
xxx
xxx
xxx
所以方程组解的情况为,
有非零解,无非零解,Yes No
线性代数智能电子教案
),(
0
0
0
7
1
11
21
21
3
2
1
为任意常数kk
kk
x
x
x
在有非零解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案例 2 用矩阵的初等行变换求解方程组
42
734
423
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321
321
321
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xxx
xxx
xxx
xxx
所以方程组解的情况为,
有 解,无 解,No Yes
单击这里开始线性代数智能电子教案
),(
0
0
0
7
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21
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为任意常数kk
kk
x
x
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在有解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案例 3 用矩阵的初等行变换求解方程组
5192483
13254
24653
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xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
所以方程组解的情况为,
有 解,无 解,Yes No
单击这里开始线性代数智能电子教案
),(
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为任意常数kk
kk
x
x
x
x
在有解时方程组的通解为,
线性代数智能电子教案在本节的最后,我们来讨论一下 3 元非齐次线性方程组解的几何意义,
设有 3 元非齐次线性方程组
3 元非齐次线性方程组解的几何意义,
mmmm
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
2222
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)1(
线性代数智能电子教案则方程组 (1) 的解有以下三种情况,
1) 无解 这时方程组 (1) 中的 m 个方程所表示的平面既不交于一点,也不共线,
2) 有唯一解 这时方程组 (1) 中的 m 个方程所表示的平面交于一点,例如
423
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zyx
yx
zx
该方程组有唯一解
817,21,47
线性代数智能电子教案其几何意义如 图 1 所示,
2x-y=-3
3x+2z=-1
x-3y+2z=4
图 1
线性代数智能电子教案
3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形情形一 R(A) = R(B) = 1,即保留方程组只有一个方程,则有两个自由变量,其通解中含有两个任意常数,通解形式为
x = c1?1 + c2?2 +?* (c1,c2 为任意常数 )
这时 方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是由过点?* 且分别以?1,?2 为方向向量的两条相交直线所确定,
线性代数智能电子教案例如,设保留方程组为
x + y + z = 3,
则可求得其通解为
1
1
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0
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0
1
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21 ccx
线性代数智能电子教案则过点 P(1,1,1) 分别以 (1,-1,0)T,(1,0,-1)T 为方向向量的两直线的方程分别为
1
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:L
zyx
:L
则 L1,L2 在平面 x + y + z = 3 上,如图 2
线性代数智能电子教案图 2
线性代数智能电子教案情形二 R(A) = R(B) =2,即保留方程组有两个方程,这时方程组 (1) 的通解为
x = c? +?* ( c 为任意常数 )
此时 方程组 (1) 的所有解在过点?* 且以? 为方向向量的直线上,例如
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zyx
zyx
zyx
zyx
线性代数智能电子教案则其通解为 单击这里开始求解
0
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1
2
cx
过点 (-1,2,0) 以向量 (-2,1,1)T 为方向向量作直线
L,
11
2
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1 zyx:L
则由方程组所确定的四个平面必交于直线 L.如图 3
694
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zyx
zyx
zyx
zyx
线性代数智能电子教案
2x+3y+z=4
3x+8y-2z=13
x-2y+4z=-5
4x-y+9z=-6 图 3
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1 zyx:L
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