第一章 随机事件与概率
【授课对象】理工类本科二年级
【授课时数】8学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合
【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算；
2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性；
3、理解古典概率的定义，了解概率的统计定义、几何概率的定义，知道概率的公理化定义；
4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；
5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算；
6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。
【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性
【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别；条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用
【授课内容及学时分配】
§1.1 随机事件及其运算一、引言
1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：
在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。
其研究对象为：随机现象
研究内容为：随机现象的统计规律性。
2.随机现象的统计规律性：
以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。
二、基本概念本节需要掌握以下基本的概念：
1.随机试验：
一个试验如果满足：①可以在相同的条件下重复进行；②其结果具有多种可能性；③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果。则称这样的试验为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。
2.样本空间与样本点：
由随机试验的一切可能结果组成的一个集合，称为样本空间，用‘’表示；其每个元素称为样本点，用‘’表示。
例如：E：掷骰子一次，观察出现的点数，则Ω＝｛，，…｝；
E：投一枚均匀硬币两次，观察出现正反面情况，记Z为正面，F为反面，
则＝｛（Z，Z），（Z，F），（F，F），（F，Z）｝；
E：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数，则＝｛0，1，2，…｝；
E：任取－人量其身高，则＝｛｝；
E：任取一人，以身高决定他买票的类型，则该试验的样本空间应以票的类型来刻画，而不是以身高来刻画的，所以={免，半，全}。
注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。
②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。
③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为；若试验的目的是考察得分情况，则样本空间为。
3.随机事件：
样本空间Ω的某个子集称为随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。
随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件；由多个样本点构成的集合称为复合事件。
例如，在投骰子的试验中，事件A：‘掷出偶数点’，用表示“出现点”，则A包含、、这三个样本点，所以它是复合事件。
4.随机事件的发生：
某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点出现，记为。
例如：在投骰子的试验中，设A‘出现偶数点’，则‘出现2点’就意味着发生，并不要求的每一个样本点都出现，当然，这也是不可能的。
5.必然事件与不可能事件：
必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用表示；
不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事件。用表示。
例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。
注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。
有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。
三、事件间的关系
1.事件的包含：
当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，
记为A或B。
即，用文（Venn）图表示为：
反之，B若B不发生，则必然A也不会发生。
显然，对任意事件A有：⑴A；⑵；⑶若A，B，则A。
2.事件的相等：
若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，
即A与B有相同的样本点。
显然有A＝BA且B
3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，
记为AB＝。
显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵与任意事件互斥。
四、事件的运算（和、差、积、逆运算）
1.事件的和（并）：
两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和），记为A（或A＋B）。
即A＝｛ω/ω或ω｝
显然有：⑴；⑵，；
⑶若，则。特别地，。
2.事件的积（交）：
两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。
记为（或）
即。
显然有：⑴，；
⑵若，特别地；
⑶若。
注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。
3.事件的差：
事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。
即。
显然有：⑴不要求，才有，若；
⑵若；
⑶；
⑷（左边为A的子事件，而右边不是）。
4.事件的逆（对立事件）：
若事件A与事件B满足。
即
显然有：⑴
⑵（证明：）
注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。
例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。
五、事件的运算性质（规律）
由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。
1.交换律：，AB＝BA
2.结合律：
3.分配律：
4.德莫根（对偶）定律：① （和的逆＝逆的积）
② （积的逆＝逆的和）
六、举例例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：
①三个事件中至少一个发生
②没有一个事件发生 （由对偶律）
③恰有一个事件发生
④至多有两个事件发生（考虑其对立事件）
⑤至少有两个事件发生
课后作业：1、仔细阅读P1-7；
2、作业：P25 1,2,3；
3、预习P7-15
§1.2 随机事件的概率
0、引言随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件A‘掷出偶数点’，B‘掷出2点’，显然事件A比事件B发生可能性要大。
对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件，通常用来表示事件发生的可能性大小，即发生的概率。
但是，事件的概率如何进行定义呢？在概率论发展的历史上，人们针对不同情况，从不同的角度对事件的概率作了规定，给出了四种定义。
一、概率的统计定义
1.频率及频率的性质：
(1)定义：在相同的条件下，重复进行了N次试验，若事件A发生了次，则称比值为事件A在N次试验中出现的频率，记为。
(2)频率的性质：
⑴非负性：对任意A，有
⑵规范性：
⑶可加性：若A、B互斥，则
(3)频率的稳定性：
在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。
通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。这就是：
2.概率的统计定义定义1：在相同的条件下，独立重复的作次试验，当试验次数很大时，如果某事件发生的频率稳定地在[0，1]上的某一数值附近摆动，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值为事件发生的概率，记为。
概率的统计定义一方面肯定了任一事件的概率是存在的；另一方面又给出了一个近似计算概率的方法，但其不足之处是要进行大量的重复试验。
【注】：
二、古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验)
1.古典型随机试验：一个随机试验若满足：
①样本空间中只有有限个样本点（有限性）
②样本点的发生是等可能的（等可能性）
则称该随机试验为古典型随机试验。
2.古典概率的定义：
定义2：设古典型随机试验的样本空间，若事件中含有
(个样本点，则称为发生的概率，记为
。
3.古典概率的性质：
⑴非负性：对任意A，
⑵规范性：
⑶可加性：若A和B互斥，则）＋
⑷
⑸
例1：从标号为1，2，…,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:‘抽中2号’， B:‘抽中奇数号’， C:‘抽中的号数不小于7’。
解：令表示“抽中号”，，则，所以
例2：从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。
解：⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则⑴中所含样本点数为
所以所求概率P＝/C＝
⑵设B表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则：
1－/C＝，或＝[C＝
【注】：不能把有利事件数取为，从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1，2，…，6时，可能取中第号鞋，此时可能取中号一双，此时成为两双的配对为；但也存在配对，与是一种，出现了重复事件，即多出了个事件。
在古典型试验中利用等可能性的概念成功的解决了某一类问题的概率，不过古典型要求可能场合的总数即样本点个数必须有限，因此，对于无限结果而又有某种等可能性的场合一般可以通过几何方法来解决。
三、几何概率(其产生的源泉是几何型随机试验)
先从一个简单的例子开始：
引例：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在海域里随意选取一点钻探，问钻到石油的概率是多少？
解：在该题中由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为贮油海域的面积与整个海域面积之比，即
在这类问题中，试验的可能结果是某区域中的一个点，这个区域可以是一维、二维、三维的，甚至可以是n维的。这时不管可能结果全体还是我们感兴趣的结果都是无限的；等可能性是通过下列方式来赋予意义的：落在某区域的可能性与区域的测度（长度、面积、体积等）成正比而与其位置及形状无关。
1.定义3：若以记‘在区域中随机地取一点，而该点落在区域中’这一事件，则其概率定义为：
2.性质：①非负性：；②规范性：
③可列可加性：若两两互不相容，则
例3：（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率？
解：以x，y分别表示两人到达时刻（7点设为零时刻），则会面的充要条件为 这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，所求概率
四、概率的公理化定义及概率的性质
1.定义4:设随机试验的样本空间为，则称满足下列条件的事件集上的函数为概率：
公理一 非负性：对任意A，0
公理二 规范性：
公理三 可列可加性（完全可加性）：对于两两互斥的事件，，，…，
有＝
2.概率的性质
①
证明：，
由公理1，
②有限可加性：若，，…，两两互不相容，即，
则有＝
证明：因为＝，利用公理一有
③对任意事件A，有
证明：因为所以
④。特别，若，则。
证明：因为且
所以，即证。
推论：（单调性）若则。
证明：
⑤加法公式：对任意的事件A、B有：
特别，若与互斥，则有
证明：因为
所以＝（因为）
例4:从数字1、2、…、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概率？
解：“符号化” 令A={取出的数字中含5}，B={取出的数字中含偶数}，
则 =
课后作业：1、仔细阅读P7-15；
2、作业：P25 4,5,6,11,12 ；
3、预习P15-20
§1.3条件概率与事件的相互独立性
0、引言设A、B为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了P（B），而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。
例1：考虑有两个孩子的家庭：
A：‘家中至少有一个男孩’，则P（A）＝
B：‘家中至少有一个女孩’，则P（B）＝
而 所以
这就有了：
一、条件概率
1、定义：设A，B是两个随机事件，且，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。
注：①时，条件概率无意义。（即条件不能是不可能事件）
②。（即是特殊的条件概率）
2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：
①
②
③
例2：设10件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。
解：（符号化）令表示‘第i次取到次品’，i=1,2则要求的概率为
二、乘法公式由条件概率的定义：
?
定理1（乘法公式）：一般地，对任意n个事件，若＞0，则
＝ （＊）
证明：因为
由概率的性质4的推论（单调性）有：
又由条件概率的定义有：
（＊）式右＝
左例3：波伊亚（Polya）罐子模型：罐子中有b只黑球，r只红球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的c个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：①第一、二次取到红球，第三次取到黑球的概率
②第一、三次取到红球，第二次取到黑球的概率
③在n次的抽取中，前n次取到黑球，后面的n=n－n次取到红球的概率。
解：令＝{第i次取到黑球}；＝{第j次取到红球}
则①
②
③
注意这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾被Polya用来作为描述传染病的数学模型。这是很一般的摸球模型，特别取，则是有放回摸球，取，则是不放回摸球。
例4：袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。
解：设B＝{第二次取到白球},则要求P（B）
令A＝{第一次取到白球}，则＝{第一次取到黑球}
（依次类推，第n次摸到白球与第一次摸到白球的概率相等，这就是抓阄的科学性）
三、全概率公式和贝叶斯公式（Bayes）
定义：完备事件组：设是的一组事件，若，且，
则称为的一个完备事件组或一个分割。
显然，任一事件A与就是一个完全事件组。
定理2（全概率公式）：设是的一个完备事件组，且（i=1,2,…,n）则对任一事件B有
证明：由且
由有限可加性及乘法公式有
例5：某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为0.05，第二车间的次品率为0.03，第三车间的次品率为0.01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500件，出厂时，三车间的产品完全混合，现从中任取一产品，求该产品是次品的概率。
解：设B＝{取到次品}，＝{取到第i个车间的产品}，i＝1,2，3
则有，且，，
利用全概率公式得
定理3贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：设是的一个完备事件组，且（i=1,2,…,n）。若对任一事件B，P(B)>0，
则有： j=1,2，…，n
证明：由条件概率公式
例6：某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查？
解：设D‘发生故障’；A‘元件是A类’；B‘元件是B类’；C‘元件是C类’
则
所以P(A/D)==7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21，
故应从C元件开始检查。
例7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：
(1)该疫区中某人患“非典”的概率；
(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率。
解：(1)设
E={确诊患了“非典”}
则易知A，B，C，D构成了一完备事件组，由全概率公式得：
(2)由贝叶斯公式知：
全概率公式和Bayes公式是概率论中的两个重要公式，有着广泛的应用。若把事件理解为‘原因’，而把B理解为‘结果’，则是原因引起结果B出现的可能性，是各种原因出现的可能性。全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小；而Bayes公式则反映了当结果出现时，它是由原因引起的可能性的大小，故常用于可靠性问题。如：可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等。
课后作业：1、仔细阅读P15-20；
2、作业：P27 18,19,20,21,22；
3、预习P21-24
四、事件的相互独立性一般来说，这表明事件B的发生提供了一些信息影响了事件A发生的概率。但是有些情况下，P（A/B）＝P（A），从这可以想象得到这必定是事件B的发生对A的发生不产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是‘无关’的。从概率上讲，这就是事件A、B相互独立。
1.定义：若两事件A，B满足，则称A与B相互独立。
注：①定义中，当或时，仍然适用，即与任何事件相互独立；
②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者是相对于概率的概念，但可以同时发生；而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。
例1：投掷两枚均匀的骰子一次，求出现双6点的概率。
解：设 A‘第一枚骰子出现6’；B‘第二枚骰子出现6’
则
我们知道，对于分别掷两颗骰子，其出现6点相互之间能有什么影响呢？不用计算也能肯定它们是相互独立的。在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的，看下面一个例子：
例2：一家中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，
令A={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩}
①考虑三个孩子的家庭：
，
则相互独立。
②考虑两孩子的家庭：
，
则，，，A、B不相互独立。
定理1：若P（B）＞0，则A、B相互独立P（A/B）＝P（A）。
定理2：若A、B独立，则
证明：
由对称性，
即与相互独立。
例3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为0.8，乙击中率为0.6，
求在一次射击中，目标被击中的概率。
解：设A＝{甲击中}，B＝{乙击中}，C＝{目标被击中}，则C＝AB
或
思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且则A、B相互独立。
2.多个事件的独立定义1：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式同时成立
P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），
P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
则称A、B、C相互独立。
注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。
反例1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。
分析：令A＝{抽到卡片上有数字},i=1,2,3，则：
P（A）＝2/4＝1/2，即P（A）＝P（A）＝P（A）
而P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）；P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）；
P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）
可见A两两之间是独立的，但是总起来看
并不相互独立。
②对于两个以上的事件时，总起来相互独立也不能推出事件的两两独立。
反例2：八张同样大小的卡片，任抽一张。
分析：
但
因此对多个事件的独立性要求比较严格。
定义2：对任意n个事件，,若：
（共个式子）
均匀成立，则称相互独立。
例4：用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：①现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？
解：①‘第i支击中’,则要求
而
＝1－
②由
五、独立性在系统可靠性中的应用元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。
系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。
例5：设构成系统的每个元件的可靠性均为，且各元件能否正常工作是相互独立的，求下面附加通路系统的可靠性：
解：每条通路正常工作，当且仅当通路上各元件正常工作，其可靠性为
，即每条通路发生故障的概率为；
由于系统是由两条通路并联而成，则两通路同时发生故障的概率为，
所以上述系统的可靠性为，
故附加通路能使系统的可靠性增加。
课后作业：1、仔细阅读P21-24；
2、作业：P28 23,24,27,28；
3、预习P30-33
【授课对象】理工类本科二年级
【授课时数】8学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合
【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算；
2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性；
3、理解古典概率的定义，了解概率的统计定义、几何概率的定义，知道概率的公理化定义；
4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；
5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算；
6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。
【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性
【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别；条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用
【授课内容及学时分配】
§1.1 随机事件及其运算一、引言
1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：
在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。
其研究对象为：随机现象
研究内容为：随机现象的统计规律性。
2.随机现象的统计规律性：
以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。
二、基本概念本节需要掌握以下基本的概念：
1.随机试验：
一个试验如果满足：①可以在相同的条件下重复进行；②其结果具有多种可能性；③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果。则称这样的试验为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。
2.样本空间与样本点：
由随机试验的一切可能结果组成的一个集合，称为样本空间，用‘’表示；其每个元素称为样本点，用‘’表示。
例如：E：掷骰子一次，观察出现的点数，则Ω＝｛，，…｝；
E：投一枚均匀硬币两次，观察出现正反面情况，记Z为正面，F为反面，
则＝｛（Z，Z），（Z，F），（F，F），（F，Z）｝；
E：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数，则＝｛0，1，2，…｝；
E：任取－人量其身高，则＝｛｝；
E：任取一人，以身高决定他买票的类型，则该试验的样本空间应以票的类型来刻画，而不是以身高来刻画的，所以={免，半，全}。
注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。
②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。
③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为；若试验的目的是考察得分情况，则样本空间为。
3.随机事件：
样本空间Ω的某个子集称为随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。
随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件；由多个样本点构成的集合称为复合事件。
例如，在投骰子的试验中，事件A：‘掷出偶数点’，用表示“出现点”，则A包含、、这三个样本点，所以它是复合事件。
4.随机事件的发生：
某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点出现，记为。
例如：在投骰子的试验中，设A‘出现偶数点’，则‘出现2点’就意味着发生，并不要求的每一个样本点都出现，当然，这也是不可能的。
5.必然事件与不可能事件：
必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用表示；
不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事件。用表示。
例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。
注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。
有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。
三、事件间的关系
1.事件的包含：
当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，
记为A或B。
即，用文（Venn）图表示为：
反之，B若B不发生，则必然A也不会发生。
显然，对任意事件A有：⑴A；⑵；⑶若A，B，则A。
2.事件的相等：
若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，
即A与B有相同的样本点。
显然有A＝BA且B
3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，
记为AB＝。
显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵与任意事件互斥。
四、事件的运算（和、差、积、逆运算）
1.事件的和（并）：
两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和），记为A（或A＋B）。
即A＝｛ω/ω或ω｝
显然有：⑴；⑵，；
⑶若，则。特别地，。
2.事件的积（交）：
两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。
记为（或）
即。
显然有：⑴，；
⑵若，特别地；
⑶若。
注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。
3.事件的差：
事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。
即。
显然有：⑴不要求，才有，若；
⑵若；
⑶；
⑷（左边为A的子事件，而右边不是）。
4.事件的逆（对立事件）：
若事件A与事件B满足。
即
显然有：⑴
⑵（证明：）
注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。
例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。
五、事件的运算性质（规律）
由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。
1.交换律：，AB＝BA
2.结合律：
3.分配律：
4.德莫根（对偶）定律：① （和的逆＝逆的积）
② （积的逆＝逆的和）
六、举例例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：
①三个事件中至少一个发生
②没有一个事件发生 （由对偶律）
③恰有一个事件发生
④至多有两个事件发生（考虑其对立事件）
⑤至少有两个事件发生
课后作业：1、仔细阅读P1-7；
2、作业：P25 1,2,3；
3、预习P7-15
§1.2 随机事件的概率
0、引言随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件A‘掷出偶数点’，B‘掷出2点’，显然事件A比事件B发生可能性要大。
对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件，通常用来表示事件发生的可能性大小，即发生的概率。
但是，事件的概率如何进行定义呢？在概率论发展的历史上，人们针对不同情况，从不同的角度对事件的概率作了规定，给出了四种定义。
一、概率的统计定义
1.频率及频率的性质：
(1)定义：在相同的条件下，重复进行了N次试验，若事件A发生了次，则称比值为事件A在N次试验中出现的频率，记为。
(2)频率的性质：
⑴非负性：对任意A，有
⑵规范性：
⑶可加性：若A、B互斥，则
(3)频率的稳定性：
在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。
通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。这就是：
2.概率的统计定义定义1：在相同的条件下，独立重复的作次试验，当试验次数很大时，如果某事件发生的频率稳定地在[0，1]上的某一数值附近摆动，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值为事件发生的概率，记为。
概率的统计定义一方面肯定了任一事件的概率是存在的；另一方面又给出了一个近似计算概率的方法，但其不足之处是要进行大量的重复试验。
【注】：
二、古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验)
1.古典型随机试验：一个随机试验若满足：
①样本空间中只有有限个样本点（有限性）
②样本点的发生是等可能的（等可能性）
则称该随机试验为古典型随机试验。
2.古典概率的定义：
定义2：设古典型随机试验的样本空间，若事件中含有
(个样本点，则称为发生的概率，记为
。
3.古典概率的性质：
⑴非负性：对任意A，
⑵规范性：
⑶可加性：若A和B互斥，则）＋
⑷
⑸
例1：从标号为1，2，…,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:‘抽中2号’， B:‘抽中奇数号’， C:‘抽中的号数不小于7’。
解：令表示“抽中号”，，则，所以
例2：从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。
解：⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则⑴中所含样本点数为
所以所求概率P＝/C＝
⑵设B表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则：
1－/C＝，或＝[C＝
【注】：不能把有利事件数取为，从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1，2，…，6时，可能取中第号鞋，此时可能取中号一双，此时成为两双的配对为；但也存在配对，与是一种，出现了重复事件，即多出了个事件。
在古典型试验中利用等可能性的概念成功的解决了某一类问题的概率，不过古典型要求可能场合的总数即样本点个数必须有限，因此，对于无限结果而又有某种等可能性的场合一般可以通过几何方法来解决。
三、几何概率(其产生的源泉是几何型随机试验)
先从一个简单的例子开始：
引例：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在海域里随意选取一点钻探，问钻到石油的概率是多少？
解：在该题中由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为贮油海域的面积与整个海域面积之比，即
在这类问题中，试验的可能结果是某区域中的一个点，这个区域可以是一维、二维、三维的，甚至可以是n维的。这时不管可能结果全体还是我们感兴趣的结果都是无限的；等可能性是通过下列方式来赋予意义的：落在某区域的可能性与区域的测度（长度、面积、体积等）成正比而与其位置及形状无关。
1.定义3：若以记‘在区域中随机地取一点，而该点落在区域中’这一事件，则其概率定义为：
2.性质：①非负性：；②规范性：
③可列可加性：若两两互不相容，则
例3：（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率？
解：以x，y分别表示两人到达时刻（7点设为零时刻），则会面的充要条件为 这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，所求概率
四、概率的公理化定义及概率的性质
1.定义4:设随机试验的样本空间为，则称满足下列条件的事件集上的函数为概率：
公理一 非负性：对任意A，0
公理二 规范性：
公理三 可列可加性（完全可加性）：对于两两互斥的事件，，，…，
有＝
2.概率的性质
①
证明：，
由公理1，
②有限可加性：若，，…，两两互不相容，即，
则有＝
证明：因为＝，利用公理一有
③对任意事件A，有
证明：因为所以
④。特别，若，则。
证明：因为且
所以，即证。
推论：（单调性）若则。
证明：
⑤加法公式：对任意的事件A、B有：
特别，若与互斥，则有
证明：因为
所以＝（因为）
例4:从数字1、2、…、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概率？
解：“符号化” 令A={取出的数字中含5}，B={取出的数字中含偶数}，
则 =
课后作业：1、仔细阅读P7-15；
2、作业：P25 4,5,6,11,12 ；
3、预习P15-20
§1.3条件概率与事件的相互独立性
0、引言设A、B为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了P（B），而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。
例1：考虑有两个孩子的家庭：
A：‘家中至少有一个男孩’，则P（A）＝
B：‘家中至少有一个女孩’，则P（B）＝
而 所以
这就有了：
一、条件概率
1、定义：设A，B是两个随机事件，且，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。
注：①时，条件概率无意义。（即条件不能是不可能事件）
②。（即是特殊的条件概率）
2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：
①
②
③
例2：设10件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。
解：（符号化）令表示‘第i次取到次品’，i=1,2则要求的概率为
二、乘法公式由条件概率的定义：
?
定理1（乘法公式）：一般地，对任意n个事件，若＞0，则
＝ （＊）
证明：因为
由概率的性质4的推论（单调性）有：
又由条件概率的定义有：
（＊）式右＝
左例3：波伊亚（Polya）罐子模型：罐子中有b只黑球，r只红球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的c个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：①第一、二次取到红球，第三次取到黑球的概率
②第一、三次取到红球，第二次取到黑球的概率
③在n次的抽取中，前n次取到黑球，后面的n=n－n次取到红球的概率。
解：令＝{第i次取到黑球}；＝{第j次取到红球}
则①
②
③
注意这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾被Polya用来作为描述传染病的数学模型。这是很一般的摸球模型，特别取，则是有放回摸球，取，则是不放回摸球。
例4：袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。
解：设B＝{第二次取到白球},则要求P（B）
令A＝{第一次取到白球}，则＝{第一次取到黑球}
（依次类推，第n次摸到白球与第一次摸到白球的概率相等，这就是抓阄的科学性）
三、全概率公式和贝叶斯公式（Bayes）
定义：完备事件组：设是的一组事件，若，且，
则称为的一个完备事件组或一个分割。
显然，任一事件A与就是一个完全事件组。
定理2（全概率公式）：设是的一个完备事件组，且（i=1,2,…,n）则对任一事件B有
证明：由且
由有限可加性及乘法公式有
例5：某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为0.05，第二车间的次品率为0.03，第三车间的次品率为0.01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500件，出厂时，三车间的产品完全混合，现从中任取一产品，求该产品是次品的概率。
解：设B＝{取到次品}，＝{取到第i个车间的产品}，i＝1,2，3
则有，且，，
利用全概率公式得
定理3贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：设是的一个完备事件组，且（i=1,2,…,n）。若对任一事件B，P(B)>0，
则有： j=1,2，…，n
证明：由条件概率公式
例6：某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查？
解：设D‘发生故障’；A‘元件是A类’；B‘元件是B类’；C‘元件是C类’
则
所以P(A/D)==7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21，
故应从C元件开始检查。
例7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：
(1)该疫区中某人患“非典”的概率；
(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率。
解：(1)设
E={确诊患了“非典”}
则易知A，B，C，D构成了一完备事件组，由全概率公式得：
(2)由贝叶斯公式知：
全概率公式和Bayes公式是概率论中的两个重要公式，有着广泛的应用。若把事件理解为‘原因’，而把B理解为‘结果’，则是原因引起结果B出现的可能性，是各种原因出现的可能性。全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小；而Bayes公式则反映了当结果出现时，它是由原因引起的可能性的大小，故常用于可靠性问题。如：可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等。
课后作业：1、仔细阅读P15-20；
2、作业：P27 18,19,20,21,22；
3、预习P21-24
四、事件的相互独立性一般来说，这表明事件B的发生提供了一些信息影响了事件A发生的概率。但是有些情况下，P（A/B）＝P（A），从这可以想象得到这必定是事件B的发生对A的发生不产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是‘无关’的。从概率上讲，这就是事件A、B相互独立。
1.定义：若两事件A，B满足，则称A与B相互独立。
注：①定义中，当或时，仍然适用，即与任何事件相互独立；
②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者是相对于概率的概念，但可以同时发生；而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。
例1：投掷两枚均匀的骰子一次，求出现双6点的概率。
解：设 A‘第一枚骰子出现6’；B‘第二枚骰子出现6’
则
我们知道，对于分别掷两颗骰子，其出现6点相互之间能有什么影响呢？不用计算也能肯定它们是相互独立的。在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的，看下面一个例子：
例2：一家中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，
令A={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩}
①考虑三个孩子的家庭：
，
则相互独立。
②考虑两孩子的家庭：
，
则，，，A、B不相互独立。
定理1：若P（B）＞0，则A、B相互独立P（A/B）＝P（A）。
定理2：若A、B独立，则
证明：
由对称性，
即与相互独立。
例3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为0.8，乙击中率为0.6，
求在一次射击中，目标被击中的概率。
解：设A＝{甲击中}，B＝{乙击中}，C＝{目标被击中}，则C＝AB
或
思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且则A、B相互独立。
2.多个事件的独立定义1：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式同时成立
P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），
P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
则称A、B、C相互独立。
注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。
反例1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。
分析：令A＝{抽到卡片上有数字},i=1,2,3，则：
P（A）＝2/4＝1/2，即P（A）＝P（A）＝P（A）
而P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）；P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）；
P（AA）＝1/4＝P（A）P（A）
可见A两两之间是独立的，但是总起来看
并不相互独立。
②对于两个以上的事件时，总起来相互独立也不能推出事件的两两独立。
反例2：八张同样大小的卡片，任抽一张。
分析：
但
因此对多个事件的独立性要求比较严格。
定义2：对任意n个事件，,若：
（共个式子）
均匀成立，则称相互独立。
例4：用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：①现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？
解：①‘第i支击中’,则要求
而
＝1－
②由
五、独立性在系统可靠性中的应用元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。
系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。
例5：设构成系统的每个元件的可靠性均为，且各元件能否正常工作是相互独立的，求下面附加通路系统的可靠性：
解：每条通路正常工作，当且仅当通路上各元件正常工作，其可靠性为
，即每条通路发生故障的概率为；
由于系统是由两条通路并联而成，则两通路同时发生故障的概率为，
所以上述系统的可靠性为，
故附加通路能使系统的可靠性增加。
课后作业：1、仔细阅读P21-24；
2、作业：P28 23,24,27,28；
3、预习P30-33
