,测量学, 学习辅导
,测量学,
同济大学 测量与国土信息工程系
第五章 测
量误差基本
知识
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆ 建立测量误差的基本概念
◆ 观测值的中误差
◆ 观测值函数的中误差
—— 误差传播定律
◆ 加 权平均值及其中误差
§ 5-1 测量误差的概念
一、测量误差的来源
1、仪器精度的局限性
2、观测者感官的局限性
3、外界环境的影响
二、测量误差的分类与对策
（一）分类
系统误差 —— 在相同的观测条件下，误差
出现在符号和数值相同，或按一定的规律
变化。
偶然误差 —— 在相同的观测条件下，误
差出现的符号和数值大小都不相同，从
表面看没有任何规律性，但大量的误差
有“统计规律”
粗差 —— 特别大的误差（错误）
（二）处理原则
粗差 —— 细心，多余观测
系统误差 —— 找出规律，加以改
正
偶然误差 —— 多余观测，制定
限差
如何处理含有偶然误差的数据？
? 例如：
?对同一量观测了 n次
?观测值为 l1,l2,l3,…,ln
? 如何取值？
如何评价数据的精度？
? 例如：
? 对 358个三角形在相同的
观测条件下观测了全部内
角，三角形内角和的误差
?i为
?i= ?i +?i+ ?i-180
其结果如表 5-1，图 5-1,
分析三角形内角和的误
差 ?I的规律。
? ?
?
误差区间 负误差 正误差 误差绝对值
dΔ " K K/n K K/n K K/n
0~3 45 0.126 46 0.128 91 0.254
3~6 40 0.112 41 0.115 81 0.226
6~9 33 0.092 33 0.092 66 0.184
9~12 23 0.064 21 0.059 44 0.123
12~15 17 0.047 16 0.045 33 0.092
15~18 13 0.036 13 0.036 26 0.073
18~21 6 0.017 5 0.014 11 0.031
21~24 4 0.011 2 0.006 6 0.017
24以上 0 0 0 0 0 0
Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000
表 2-1 偶然误差的统计
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=?
k/d?
偶然误差 的特性
? 有限性,在有限次观测中，偶然误差应
小于限值。
? 渐降性,误差小的出现的概率大
? 对称性,绝对值相等的正负误差概率相
等
? 抵偿性,当观测次数无限增大时，偶然
误差的平均数趋近于零。
5-2评定精度的标准
? 方差 和 标准差 （ 中误差 ）
的偶然误差是观测值式中：
叫标准差方差：
ii
n
i
i
l
n
?
?
?
?
?
??,
1
2
2
n
n
i
i?
?
?
? 1
2
2?
ii lX ???
标准差 ?常用 m表示，在
测绘界称为 中误差 。
按观测值的真误差计算中误差
第一组观测 第二组观测次序
观测值 l Δ Δ
2
观测值 l Δ Δ
2
1 180 ° 00 ˊ 03" -3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
2 180 ° 00 ˊ 02" -2 4 1 59 ° 59 ˊ 59 " +1 1
3 179 ° 59 ˊ 58" +2 4 180 ° 00 ˊ 0 7 " -7 49
4 179 ° 59 ˊ 56" +4 16 180 ° 00 ˊ 0 2 " -2 4
5 180 ° 00 ˊ 01" -1 1 180 ° 00 ˊ 0 1 " -1 1
6 180 ° 00 ˊ 00" 0 0 1 79 ° 59 ˊ 59 " +1 1
7 180 ° 00 ˊ 04" -4 16 1 79 ° 59 ˊ 52 " +8 64
8 179 ° 59 ˊ 57" +3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
9 1 79 ° 59 ˊ 58 " +2 4 1 79 ° 59 ˊ 57 " +3 9
10 180 ° 00 ˊ 03" -3 9 180 ° 00 ˊ 0 1 " -1 1
Σ || 24 72 24 130
中误差
7.2
2
1 ??
??
??
n
m
6.3
2
2
??
??
??
n
m
三,相对误差
某些观测值的误差与其本身
大小有关
用观测值的中误差与观测值之比
的形式描述观测的质量，称为相
对误差（全称, 相对中误差, ）
m
ll
m
T
1
??
例，用钢卷尺丈量 200m和 40m两段距
离，量距的中误差都是 ± 2cm，但不
能认为两者的精度是相同的
前者的相对中误差为 0,02／ 200 ＝ 1
／ 10000
而后者则为 0,02／ 40＝ l／ 2000
前者的量距精度高于后者。
正态分布
2
)(
2
)(
2
2
2
2
1
)(
1,0
0
2
1
)(
x
x
exf
x
exf
?
?
?
??
??
?
?????
??
?
??
?
??
?
?
则
若
正态分布的特征
? 正态分布密度以 为对称轴,并在 处
达到最大 。
? 当 时, f(x) 0,所以 f(x)以 x轴为渐近
线 。
? 用求导方法可知, 在 处 f(x)有两个拐
点 。
? 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机
变量在这个区间内取值的概率
??x
???x ?
?? ??x
??x
9 9 7 3.0)33()(
9 5 4 5.0)22()(
6 8 2 6.0)()(
1)(
,
),(~
3
3
2
2
2
2
??????
??????
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
????
??
??
??
??
??
??
??
??
XPxf
XPxf
XPxf
xf
X
NX
的正态分布为
服从参数随机变量
时当
极限误差
2
2
2
2
1
)(
0
?
??
?
x
exf
?
??
?
则
若
9 9 7 3.0)(
9 5 4 5.0)(
6 8 2 6.0)()(
3
3
2
2
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
xf
xf
XPxf
m2?? 允
三、容许误差
m3?? 允或：
?但大多数被观测对象的真值不知，
任何评定观测值的精度，即：
?=？ m=？
寻找最接近真值的值 x
5-3观测值的算术平均
值及改正值
集中趋势的测度（最优值）
? 中位数：设把 n个观测值按大小排列, 这时位
于最中间的数就是, 中位数, 。
? 众数：在 n个数中, 重复出现次数最多的数就
是, 众数, 。
? 切尾平均数, 去掉 lmax,lmin以后的平均数 。
? 调和平均数：
x
n
l
n
i
i
l ??
?
? 1
平均数的倒数
il
1
算术平均数,
满足最小二乘原则的最优解
nn lX
lX
lX
???
???
???
?
22
11
证明（ x是最或然值）
?
? 将上列等式相加，并除以 n,得到
?
X
n
l
n
nn
n
l
X
n
?
??
?
?
??
??
?
][
l i m
0
][
lim
4
][][
）特性更据偶然误差第（
x
n
l ?? ][
观测值的改正值
? 若被观测对象的真值不知，则取平均数
为最优解 x
iii lxllv ????
l
改正值的特性
? ? 0?? ? ivv
定义改正值
5-4观测值的精度评定
? 标准差可按下式计算
1
1
2
?
?
?
?
n
v
m
n
i
i
1
1
2
2
?
?
?
?
n
v
n
i
i
?
中误差
证明
? 将上列左右两式方便相减，得 nn
lX
lX
lX
???
???
???
?
22
11
11
11
11
lxv
lxv
lxv
??
??
??
?
)(
)(
)(
22
11
xXv
xXv
xXv
nn
????
????
????
?
取和
?
1
][][
][)(2
][
)(
)(
][][
)(][][
][
)(
)()(][][
22
13121
2
22
2
2
1
2
2
2
2
?
?
??
??
?
?????????
?
??????
?
?
??
???
??
?????
?
??
??????
?
n
vv
n
nn
nn
xX
xX
n
vv
n
xXnvv
n
xX
xXnxXnv
nn
n
?
?
计算标准差例子
次序 观测值 l 改正数 v vv
1 123,457 -5 25
2 123,450 +2 4
3 123,453 -1 1
4 123,449 +3 9
5 123,451 +1 1
S 123,452 0 40
毫米16.3
2
32.6
15
40
4 5 2.1 2 3
???
?
?
?
m
l
小结
? 一、已知真值 X，则
真误差
? 一、真值不知，则
ii lX ???
n
m
][ ??
??
i
lx
i
v
n
l
x
??
?
][
1
][
?
??
n
vv
m
二、中误差 二、中误差
5-5误差传播定律
?已知,mx1,mx2,---mxn
?求,my=?
.,, ),( 21 xxfy ?设有函数式：
n
m yyy
][ ??
??
误差传播定律
? 全微分,
...),( 21 xxfy ?设有函数式：
.,,,2211 ????? dxfdxfdy
? ?
ni
dxdxff
dxfdxfdxfdy
nxnx
....3,2,1
......
.....
2121
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
?
多次，设每个自变量都观测了
式中 f’有正有负
0..,
)(
2lim
..,
)(
2
..,
)()(
1
21
21
1
21
21
1
2
22
2
1
2
12
1
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
n
dxdx
ffn
n
dxdx
ff
n
dx
f
n
dx
f
n
dy
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
， 当
n
dx
f
n
dx
f
n
dx
f
n
dy
n
i
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
?
???
?
???
??
?
?
?
?
?
12
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
..
...
)()(
my2 m12 m22
mn2
中误差关系式,
? 小结
? 第一步：写出函数式
? 第二步：写出全微分式
? 第三步：写出中误差关系式
? 注意,只有自变量微分之间相互独立才可以进
一步写出中误差关系式 。
222
2
2
2
2
1
2
1
2,..
nny mfmfmfm
???????
§ 5-6 误差传播定律
应用举例
观测值：斜距 S和竖直角 v
待定值：高差 h
22222
222222
s i n
c o ss i n
c o ss i n
s i n
vSh
vSh
mDmvm
mvSmvm
dvvSdsvdh
vSh
????
????
????
?
或，
三，
二，
一，
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距 S和竖直角 v
待定值：水平距离 D
22222
222222
c o s
s i nc o s
s i nc o s
c o s
vSh
vSD
mhmvm
mvSmvm
dvvSdsvdD
vSD
????
????
????
?
或，
三，
二，
一，
误差传播定律
应用举例
算术平均值
已知,m1 =m2 =…,=mn=m
求,mx
n
lllx n???? ?21
m
n
m
n
m
n
m
n
m
dl
n
dl
n
dl
n
dx
nx
n
1
)
1
()
1
()
1
(
111
222
2
22
1
2
21
??
?????
????
?
?
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l Δ ΔΔ
1 180 -00-10,3 -10.3 106,1
2 179 -59-57,2 +2.8 7.8
3 179 -59-49,0 +1 1.0 121
4 180 -00-01,5 -1.5 2.6
5 180 -00-02,6 -2.6 6.8
S -1.6 244,3
秒0.7
5
3.2 4 4 ???
?m ? ??? CBA
22 3 mm ?? mm 3?
? 秒0.43/ ??? ?mm
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超
过 40秒；
2、用 DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的
限差；
3、两次仪器高法的高差限差。
§ 5-7加权平均数及其中误差
? 现有三组观测值，计算其最或然值
A组,123.34,123.39,123.35
B组,123.31,123.30,123.39,123.32
C组,123.34,123.38,123.35,123.39,123.32
? 各组的平均值 A组：
B组,123.333
C组,123.356
?Al
?Cl
?Bl
3
CBA lllx ???
x
=?
123.360
加权平均数
? ( ) ( ) ( )
? 各组的平均及其权
A组,123.360 权 PA=3
B组,123.333 PB=4
C组,123.356 PC=5
?Al
?Cl
?Bl
C
P
B
P
A
P
lPlPlPlll
lllllll
x
CCBBAACBA
??
??
?
??
??
?
????????
?
543
543
12
12874321
??
一、权与中误差
ll
C
B
A
A
A
pmm
mm
mm
mm
mm
llll
/
5/
4/
3/
9/3
3/)(
22
321
?
?
?
?
?
???
? 平均数的权 pA=3
? 平均数的中误差
? m—— 单位权中误差
? 权与误差的平方成反比
2
2
l
l m
mp ?
二、加权平均数
? 简单平均值的理论依据为
? ? m in?? ? vvW
? ?? ?
x
n
l
l
llnllv
v
v
W
i
iii
i
??
?????
??
?
?
?
???
?
0)(
0)(2
加权平均数
? 加权平均值的理论依据为
? ? ? ? m i n?? ? p v vvW
? ?? ?
x
p
lp
l
lpplllpvp
vp
v
W
i
ii
iiiiiii
ii
??
?????
??
?
?
?
?
????
?
0)(
0)(2
n
l
l
pp
i
i
?
?
?当：
三、加权平均值的中误差
SS
C
S
B
S
A
x
C
S
C
B
S
B
A
S
A
x
C
S
C
B
S
B
A
S
A
S
ii
i
ii
P
m
m
P
p
m
P
p
m
P
p
m
m
P
p
m
P
p
m
P
p
m
l
P
p
l
P
p
l
P
p
P
lp
p
lp
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
...
.,,,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?????? ?
?
?
?
?
??
p
m
P
m
m
S
l
?? ppl此式表明
i
i P
mm 22 ?
四、单位权中误差的计算
如果 m可以用真误差 ?j计算,则
如果 m要用改正数 v计算,则
? ?
? ?
n
mp
m
mpnm
CBAjmpm
jj
jj
jj
?
?
?
?
??
2
2
22
22
.,,,, ),,(
所以
因为
n
p
m ?
??
?
)(2
1
)(2
?
? ?
n
p vv
m
加权平均时标准差的算例
次序 观测值 l 权 p 改正数 v pv pvv
1 123.457 3 - 4.5 - 13.5 60.75
2 123.450 3.5 +2.5 8.8 21.88
3 123.453 5 - 0.5 - 2.5 1.25
4 123.449 1 +3.5 3.5 12.25
5 123.451 2.5 +1.5 3.7 5.62
S 123.4525 15.0 0 46.63
452.1230 ?? ll 毫米42.3
2
83.6
15
63.46
0 ?????m
毫米0.10 ???
? il p
mm
五、权倒数传播定律
有；
权倒数传播定律
m2 m2 m2 m2
2
2
j
j m
m
P ??
),,(,21 nxxxfy ??
222
2
2
2
2
1
2
1
2
nny mfmfmfm ??????? ?
n
n
y p
f
p
f
p
f
p
2
2
2
2
1
2
11
?
??
?
?
?
? ?
例题
有；已知
求：
pppp ??? ???
3
,180 ff ??????? ?????
??p
ppp
ppppp
2
3
6
9
9
61
9
11
9
11
9
41
60
333
??
????
??????
?
?
?
?
???
??
,测量学,
同济大学 测量与国土信息工程系
第五章 测
量误差基本
知识
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆ 建立测量误差的基本概念
◆ 观测值的中误差
◆ 观测值函数的中误差
—— 误差传播定律
◆ 加 权平均值及其中误差
§ 5-1 测量误差的概念
一、测量误差的来源
1、仪器精度的局限性
2、观测者感官的局限性
3、外界环境的影响
二、测量误差的分类与对策
（一）分类
系统误差 —— 在相同的观测条件下，误差
出现在符号和数值相同，或按一定的规律
变化。
偶然误差 —— 在相同的观测条件下，误
差出现的符号和数值大小都不相同，从
表面看没有任何规律性，但大量的误差
有“统计规律”
粗差 —— 特别大的误差（错误）
（二）处理原则
粗差 —— 细心，多余观测
系统误差 —— 找出规律，加以改
正
偶然误差 —— 多余观测，制定
限差
如何处理含有偶然误差的数据？
? 例如：
?对同一量观测了 n次
?观测值为 l1,l2,l3,…,ln
? 如何取值？
如何评价数据的精度？
? 例如：
? 对 358个三角形在相同的
观测条件下观测了全部内
角，三角形内角和的误差
?i为
?i= ?i +?i+ ?i-180
其结果如表 5-1，图 5-1,
分析三角形内角和的误
差 ?I的规律。
? ?
?
误差区间 负误差 正误差 误差绝对值
dΔ " K K/n K K/n K K/n
0~3 45 0.126 46 0.128 91 0.254
3~6 40 0.112 41 0.115 81 0.226
6~9 33 0.092 33 0.092 66 0.184
9~12 23 0.064 21 0.059 44 0.123
12~15 17 0.047 16 0.045 33 0.092
15~18 13 0.036 13 0.036 26 0.073
18~21 6 0.017 5 0.014 11 0.031
21~24 4 0.011 2 0.006 6 0.017
24以上 0 0 0 0 0 0
Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000
表 2-1 偶然误差的统计
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=?
k/d?
偶然误差 的特性
? 有限性,在有限次观测中，偶然误差应
小于限值。
? 渐降性,误差小的出现的概率大
? 对称性,绝对值相等的正负误差概率相
等
? 抵偿性,当观测次数无限增大时，偶然
误差的平均数趋近于零。
5-2评定精度的标准
? 方差 和 标准差 （ 中误差 ）
的偶然误差是观测值式中：
叫标准差方差：
ii
n
i
i
l
n
?
?
?
?
?
??,
1
2
2
n
n
i
i?
?
?
? 1
2
2?
ii lX ???
标准差 ?常用 m表示，在
测绘界称为 中误差 。
按观测值的真误差计算中误差
第一组观测 第二组观测次序
观测值 l Δ Δ
2
观测值 l Δ Δ
2
1 180 ° 00 ˊ 03" -3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
2 180 ° 00 ˊ 02" -2 4 1 59 ° 59 ˊ 59 " +1 1
3 179 ° 59 ˊ 58" +2 4 180 ° 00 ˊ 0 7 " -7 49
4 179 ° 59 ˊ 56" +4 16 180 ° 00 ˊ 0 2 " -2 4
5 180 ° 00 ˊ 01" -1 1 180 ° 00 ˊ 0 1 " -1 1
6 180 ° 00 ˊ 00" 0 0 1 79 ° 59 ˊ 59 " +1 1
7 180 ° 00 ˊ 04" -4 16 1 79 ° 59 ˊ 52 " +8 64
8 179 ° 59 ˊ 57" +3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
9 1 79 ° 59 ˊ 58 " +2 4 1 79 ° 59 ˊ 57 " +3 9
10 180 ° 00 ˊ 03" -3 9 180 ° 00 ˊ 0 1 " -1 1
Σ || 24 72 24 130
中误差
7.2
2
1 ??
??
??
n
m
6.3
2
2
??
??
??
n
m
三,相对误差
某些观测值的误差与其本身
大小有关
用观测值的中误差与观测值之比
的形式描述观测的质量，称为相
对误差（全称, 相对中误差, ）
m
ll
m
T
1
??
例，用钢卷尺丈量 200m和 40m两段距
离，量距的中误差都是 ± 2cm，但不
能认为两者的精度是相同的
前者的相对中误差为 0,02／ 200 ＝ 1
／ 10000
而后者则为 0,02／ 40＝ l／ 2000
前者的量距精度高于后者。
正态分布
2
)(
2
)(
2
2
2
2
1
)(
1,0
0
2
1
)(
x
x
exf
x
exf
?
?
?
??
??
?
?????
??
?
??
?
??
?
?
则
若
正态分布的特征
? 正态分布密度以 为对称轴,并在 处
达到最大 。
? 当 时, f(x) 0,所以 f(x)以 x轴为渐近
线 。
? 用求导方法可知, 在 处 f(x)有两个拐
点 。
? 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机
变量在这个区间内取值的概率
??x
???x ?
?? ??x
??x
9 9 7 3.0)33()(
9 5 4 5.0)22()(
6 8 2 6.0)()(
1)(
,
),(~
3
3
2
2
2
2
??????
??????
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
????
??
??
??
??
??
??
??
??
XPxf
XPxf
XPxf
xf
X
NX
的正态分布为
服从参数随机变量
时当
极限误差
2
2
2
2
1
)(
0
?
??
?
x
exf
?
??
?
则
若
9 9 7 3.0)(
9 5 4 5.0)(
6 8 2 6.0)()(
3
3
2
2
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
xf
xf
XPxf
m2?? 允
三、容许误差
m3?? 允或：
?但大多数被观测对象的真值不知，
任何评定观测值的精度，即：
?=？ m=？
寻找最接近真值的值 x
5-3观测值的算术平均
值及改正值
集中趋势的测度（最优值）
? 中位数：设把 n个观测值按大小排列, 这时位
于最中间的数就是, 中位数, 。
? 众数：在 n个数中, 重复出现次数最多的数就
是, 众数, 。
? 切尾平均数, 去掉 lmax,lmin以后的平均数 。
? 调和平均数：
x
n
l
n
i
i
l ??
?
? 1
平均数的倒数
il
1
算术平均数,
满足最小二乘原则的最优解
nn lX
lX
lX
???
???
???
?
22
11
证明（ x是最或然值）
?
? 将上列等式相加，并除以 n,得到
?
X
n
l
n
nn
n
l
X
n
?
??
?
?
??
??
?
][
l i m
0
][
lim
4
][][
）特性更据偶然误差第（
x
n
l ?? ][
观测值的改正值
? 若被观测对象的真值不知，则取平均数
为最优解 x
iii lxllv ????
l
改正值的特性
? ? 0?? ? ivv
定义改正值
5-4观测值的精度评定
? 标准差可按下式计算
1
1
2
?
?
?
?
n
v
m
n
i
i
1
1
2
2
?
?
?
?
n
v
n
i
i
?
中误差
证明
? 将上列左右两式方便相减，得 nn
lX
lX
lX
???
???
???
?
22
11
11
11
11
lxv
lxv
lxv
??
??
??
?
)(
)(
)(
22
11
xXv
xXv
xXv
nn
????
????
????
?
取和
?
1
][][
][)(2
][
)(
)(
][][
)(][][
][
)(
)()(][][
22
13121
2
22
2
2
1
2
2
2
2
?
?
??
??
?
?????????
?
??????
?
?
??
???
??
?????
?
??
??????
?
n
vv
n
nn
nn
xX
xX
n
vv
n
xXnvv
n
xX
xXnxXnv
nn
n
?
?
计算标准差例子
次序 观测值 l 改正数 v vv
1 123,457 -5 25
2 123,450 +2 4
3 123,453 -1 1
4 123,449 +3 9
5 123,451 +1 1
S 123,452 0 40
毫米16.3
2
32.6
15
40
4 5 2.1 2 3
???
?
?
?
m
l
小结
? 一、已知真值 X，则
真误差
? 一、真值不知，则
ii lX ???
n
m
][ ??
??
i
lx
i
v
n
l
x
??
?
][
1
][
?
??
n
vv
m
二、中误差 二、中误差
5-5误差传播定律
?已知,mx1,mx2,---mxn
?求,my=?
.,, ),( 21 xxfy ?设有函数式：
n
m yyy
][ ??
??
误差传播定律
? 全微分,
...),( 21 xxfy ?设有函数式：
.,,,2211 ????? dxfdxfdy
? ?
ni
dxdxff
dxfdxfdxfdy
nxnx
....3,2,1
......
.....
2121
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
?
多次，设每个自变量都观测了
式中 f’有正有负
0..,
)(
2lim
..,
)(
2
..,
)()(
1
21
21
1
21
21
1
2
22
2
1
2
12
1
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
n
dxdx
ffn
n
dxdx
ff
n
dx
f
n
dx
f
n
dy
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
， 当
n
dx
f
n
dx
f
n
dx
f
n
dy
n
i
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
?
???
?
???
??
?
?
?
?
?
12
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
..
...
)()(
my2 m12 m22
mn2
中误差关系式,
? 小结
? 第一步：写出函数式
? 第二步：写出全微分式
? 第三步：写出中误差关系式
? 注意,只有自变量微分之间相互独立才可以进
一步写出中误差关系式 。
222
2
2
2
2
1
2
1
2,..
nny mfmfmfm
???????
§ 5-6 误差传播定律
应用举例
观测值：斜距 S和竖直角 v
待定值：高差 h
22222
222222
s i n
c o ss i n
c o ss i n
s i n
vSh
vSh
mDmvm
mvSmvm
dvvSdsvdh
vSh
????
????
????
?
或，
三，
二，
一，
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距 S和竖直角 v
待定值：水平距离 D
22222
222222
c o s
s i nc o s
s i nc o s
c o s
vSh
vSD
mhmvm
mvSmvm
dvvSdsvdD
vSD
????
????
????
?
或，
三，
二，
一，
误差传播定律
应用举例
算术平均值
已知,m1 =m2 =…,=mn=m
求,mx
n
lllx n???? ?21
m
n
m
n
m
n
m
n
m
dl
n
dl
n
dl
n
dx
nx
n
1
)
1
()
1
()
1
(
111
222
2
22
1
2
21
??
?????
????
?
?
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l Δ ΔΔ
1 180 -00-10,3 -10.3 106,1
2 179 -59-57,2 +2.8 7.8
3 179 -59-49,0 +1 1.0 121
4 180 -00-01,5 -1.5 2.6
5 180 -00-02,6 -2.6 6.8
S -1.6 244,3
秒0.7
5
3.2 4 4 ???
?m ? ??? CBA
22 3 mm ?? mm 3?
? 秒0.43/ ??? ?mm
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超
过 40秒；
2、用 DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的
限差；
3、两次仪器高法的高差限差。
§ 5-7加权平均数及其中误差
? 现有三组观测值，计算其最或然值
A组,123.34,123.39,123.35
B组,123.31,123.30,123.39,123.32
C组,123.34,123.38,123.35,123.39,123.32
? 各组的平均值 A组：
B组,123.333
C组,123.356
?Al
?Cl
?Bl
3
CBA lllx ???
x
=?
123.360
加权平均数
? ( ) ( ) ( )
? 各组的平均及其权
A组,123.360 权 PA=3
B组,123.333 PB=4
C组,123.356 PC=5
?Al
?Cl
?Bl
C
P
B
P
A
P
lPlPlPlll
lllllll
x
CCBBAACBA
??
??
?
??
??
?
????????
?
543
543
12
12874321
??
一、权与中误差
ll
C
B
A
A
A
pmm
mm
mm
mm
mm
llll
/
5/
4/
3/
9/3
3/)(
22
321
?
?
?
?
?
???
? 平均数的权 pA=3
? 平均数的中误差
? m—— 单位权中误差
? 权与误差的平方成反比
2
2
l
l m
mp ?
二、加权平均数
? 简单平均值的理论依据为
? ? m in?? ? vvW
? ?? ?
x
n
l
l
llnllv
v
v
W
i
iii
i
??
?????
??
?
?
?
???
?
0)(
0)(2
加权平均数
? 加权平均值的理论依据为
? ? ? ? m i n?? ? p v vvW
? ?? ?
x
p
lp
l
lpplllpvp
vp
v
W
i
ii
iiiiiii
ii
??
?????
??
?
?
?
?
????
?
0)(
0)(2
n
l
l
pp
i
i
?
?
?当：
三、加权平均值的中误差
SS
C
S
B
S
A
x
C
S
C
B
S
B
A
S
A
x
C
S
C
B
S
B
A
S
A
S
ii
i
ii
P
m
m
P
p
m
P
p
m
P
p
m
m
P
p
m
P
p
m
P
p
m
l
P
p
l
P
p
l
P
p
P
lp
p
lp
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
...
.,,,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?????? ?
?
?
?
?
??
p
m
P
m
m
S
l
?? ppl此式表明
i
i P
mm 22 ?
四、单位权中误差的计算
如果 m可以用真误差 ?j计算,则
如果 m要用改正数 v计算,则
? ?
? ?
n
mp
m
mpnm
CBAjmpm
jj
jj
jj
?
?
?
?
??
2
2
22
22
.,,,, ),,(
所以
因为
n
p
m ?
??
?
)(2
1
)(2
?
? ?
n
p vv
m
加权平均时标准差的算例
次序 观测值 l 权 p 改正数 v pv pvv
1 123.457 3 - 4.5 - 13.5 60.75
2 123.450 3.5 +2.5 8.8 21.88
3 123.453 5 - 0.5 - 2.5 1.25
4 123.449 1 +3.5 3.5 12.25
5 123.451 2.5 +1.5 3.7 5.62
S 123.4525 15.0 0 46.63
452.1230 ?? ll 毫米42.3
2
83.6
15
63.46
0 ?????m
毫米0.10 ???
? il p
mm
五、权倒数传播定律
有；
权倒数传播定律
m2 m2 m2 m2
2
2
j
j m
m
P ??
),,(,21 nxxxfy ??
222
2
2
2
2
1
2
1
2
nny mfmfmfm ??????? ?
n
n
y p
f
p
f
p
f
p
2
2
2
2
1
2
11
?
??
?
?
?
? ?
例题
有；已知
求：
pppp ??? ???
3
,180 ff ??????? ?????
??p
ppp
ppppp
2
3
6
9
9
61
9
11
9
11
9
41
60
333
??
????
??????
?
?
?
?
???
??
