2章 材料科学中的数值模拟与计算
重庆大学材料学院 汤爱涛
? 温度场的模拟计算
? 浓度场的模拟计算
2.1 温度场的模拟计算
? 导热 问题的求解
? 概述
? 导热 问题的三种基本方法
(1) 理论分析法 ;(2) 数值计算 法 ;(3) 实验法
? 三种方法的基本求解过程
(1)所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接对微分方程在给定的定
解条件下进行积分,这样获得的解称之为分析解,或叫理论解 ;
(2) 数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场,用有限个离散点上
的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方
程,从而获得离散点上被求物理量的值 ;并称之为数值解 ;
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下,采用对所
研究对象的传热过程所求量的方法
2.1 温度场的模拟计算
? 概述（续）
? 三种方法的特点
分析法
精确解、普遍性、局限性
(2) 数值法,
适应性、成本低
(3) 实验法,
适应性差、成本高
分析解法与数值解法的异同点,
? 相同点,根本目的是相同的，即确定
T=f(x, y, z,τ) ；
? 不同点,数值解法求解的是区域或时间空
间坐标系中离散点的温度分布代替连续的
温度场；分析解法求解的是连续的温度场
的分布特征，而不是分散点的数值。
数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概
括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理
量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散
点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建
立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点
上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物
理量的数值解。
2.1 温度场的模拟计算
? 概述（续）
? 数值解法,
? 有限差分法 (finite-difference)
? 有限元法 (finite-element)
? 边界元法 (boundary- element)
2.1 温度场的模拟计算
? 导热 问题数值求解的基本思想
? 建立控制 方程 及定解条件
? 确定节点 (区域离散化 )
? 建立节点物理量的代数 方程
? 设立温度场的迭代初值
? 求解代数 方程
? 是否收敛
? 解的分析
? 改进初场
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
2.1 温度场的模拟计算
? 导热方程
? 定解条件
? 初始条件
? 边界条件
? 热物性性参数的处理
? 差分求解
? 应用举例
2.1.1 导热方程
? 见教材 p61~62
2.1.2 定解条件
? 初始条件,求解问题的初始温度场
Tlt=0 = T0
Tlt=0 = T0(x,y,z)
? 边界条件
? 第一类边界条件, 物体边界上的温度分布函数已知
? 第二类边界条件, 边界上的热流密度已知
? 第三类边界条件, 对流边界条件
? 物体与周围环境介质间对流系数 k和介质温度已知
2.1.3热物性性参数的处理
? 热物性性参数
比热容 c,热导率 λ,密度 ρ
? 处理方法
? 温度变化不大,平均值法
? 温度变化大,,近似值, 法
建立离散方程的常用方法,
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； *
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法 (也称为热平衡法 )
泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度 ti,j
来表示节点 (i+1,j)而温度 ti+1,j
用节点 (i,j)的温度 ti,j来表示节点 (i-1,j)的
温度 ti-1,j
2 2 3 3 4 4
1,,2 3 4
,,,2 6 2 4
m n m n
mn m n m n
t x t x t x tt t x
x x x x?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
L
2 2 3 3 4
1,,2 3 4
,,,
4
2 6 2 4m n m n mn m n m n
t x t x t x tt t x
x x x x?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? L
将上两式相加可得
2 4 4
2
1,1,,24
,
2
12m n m n m n mn
t x tt t t x
xx??
? ? ?? ? ? ? ? ?
??
L
2
2
,mn
t
x
?
?
将上式改写成 的表达式，有
)(2 22,1,,1
,
2
2
xox tttx t nmnmnm
nm
??? ????? ??
)(2 22 1,,1,
,
2
2
yoy ttty t nmnmnm
nm
??? ????? ??
同样可得,表示未明确写出的
级数余项中的 Δ X
的最低阶数为 2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
1,,1,,1,,1
22
22
0m n m n m n m n m n m n
t t t t t t
xy
? ? ? ?? ? ? ???
??
若 △ x=△ y 则有
,1,1,,1,1
1 ()
4m n m n m n m n m nt t t t t? ? ? ?? ? ? ?
22
22 0
tt
xy
????
??
得
2.1.4差分求解
? 稳态导热问题求解
? 非稳态导热问题求解
二维稳态导热问题求解
? 划分网格
? 差分方程建立
? 边界条件的处理
? 方程组求解
0
t
y
f3
th
f2
th
f1
th x
二维矩形域内稳态无内热
源，常物性的导热问题
例题条件
（ a）
（ b）
x
y
x?
y?
n
m
(m,n)
M
N
基本概念：控制容积、网格线、节点、界
面线、步长
二维矩
形域内
稳态无
内热源，
常物性
的导热
问题
如图（ a）所示二维矩形域内无内热源、稳
态、常物性的导热问题采用数值解法的 步骤
如下,
（ 1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即
导热微分方程 ）为,
22
22 0
tt
xy
????
??
边界条件
? 对流传热边界条件
? 热流边界条件
? 绝热边界条件
? 给定温度边界条件
（ 2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求
解区域划分成若干个子区域，用网格线的
交点作为需要确定温度值的空间位置，称
为 节点 ( 结点 ),节点的位置用该节点
在两个方向上的标号 m, n 表示。
相邻两节点间的距离称 步长 。
如图 (b) 所示。
（ 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）
节点上物理量的代数方程称离散方程。其
过程如下,
? 首先划分各节点的类型；
? 其次，建立节点离散方程；
? 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程，当 △ x=△ y
时，有,
,1,1,,1,1
1 ()
4m n m n m n m n m nt t t t t? ? ? ?? ? ? ?
边界条件的差分格式
? 对流传热边界条件
? 热流边界条件
? 绝热边界条件
? 给定温度边界条件
（ 4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用
迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温
度场预先设定一个解，这个解称为初场，并
在求解过程中不断改进。
（ 5） 求解代数方程组
求解时遇到的问题,
① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性 等。
如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点
的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建
立离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成
一个封闭的代数方程组。
1 ）线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数在整个求解过程中不再变化；
2 ）非线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数 在整个求解过程中不断更
新。
3 ）是否收敛判断,是指用迭代法求解代数
方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与
上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允
许值。
（ 5） 求解代数方程组 (续 )
（ 6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度
分布，根据温度场应进一步计算通过的热流
量，热应力及热变形等。因此，对于数值分
析计算所得的温度场及其它物理量应作详细
分析，以获得定性或定量上的结论。
非稳态导热问题求解
? 显式差分方程的建立
? 隐式差分方程的建立
? 6点隐式差分方程的建立
2.1.5 应用举例
—— 平板加热非稳态导热计算
平板在炉内加热,厚度 s=210mm,
λ=41w/m.K,cp=504J/kg.K,ρ=8000kg/m3,
入炉前 t0=20℃,在 1000℃,恒温加热,平板上
下对流给热系数 α=200w/m2.k。
求解平板加热 5分钟，整个平板沿厚度方向
上的温度分布。
2.1.5 应用举例
—— 二维淬火温度场的模拟计算
一,淬冷 温度场的计算模型
柱坐标下（ r,z)的二维热传导方程的一般形式
式中 τ：时间,s；
T：温度,℃,是 r,z,τ的函数 ；
ρ：材料的密度
c,比热容,J/(g,℃ )
λ, 导热系数,w/(cm,℃ )
h, 内热源强度,w/cm3 相变潜热
对于
式中 L为单位体积相变所释放的热量 ;
Δf为 Δτ时间内相变的体积分数,
令 cρ= ρc,则有
式中 cρ材料的比热容 J/(cm3,℃ );
H为热扩散系数 (cm2/s)
将上式代入前式,则沿 r轴方向有
沿 z轴方向有
计算框图
温度场的计算结果
将大端半径 R=1.5cm的 T8钢式样加热到 850℃ 完全奥式体化,
淬入 60 ℃ 的水中,冷却至 2.5s,7.0s,10.0s,12.0s时刻的温度场
计算结果如下,
上机实验 4
温度场的模拟计算实践
? 实验目的
? 了解温度场的模拟计算基本方法 ;
? 掌握一维非稳态温度场差分解方法,
? 实验内容
? 平板非稳态导热计算
? 实验要求,
? 采用中心差分格式建立差分方程 ;
? 用 Gauss-Seidel迭代法求解差分方程,
? 实验报告要求,
? 写出差分方程 ;
? 求出平板加热 5分钟后,整个平板沿厚度方向上的温度
分布