第五章 特征选择与特征提取 5.1 问题的提出 前面主要介绍的是各种分类器的设计方法，实际上我们已经完全可以解决模式识别的问题了。然而在实际应用中，在分类器设计之前，往往需要对抽取出的特征进行一下处理，争取尽量减小特征的维数。在实践中我们发现，特征的维数越大，分类器设计的难度也越大，一维特征的识别问题最容易解决，我们只要找到一个阈值，大于的为一类，小于的为一类。同时特征维数越大，要求的训练样本数量越多，例如在一维的情况下，10个训练样本就可以比较好的代表一个类别了，而在10维空间中，10个训练样本则是远远不够的。这一章中我们就来介绍一下减小特征维数的方法。 一般来说模式识别系统的输入是传感器对实物或过程进行测量所得到的一些数据，其中有一些数据直接可以作为特征，有一些数据经过处理之后可以作为特征，这样的一组特征一般称为原始特征。在原始特征中并不一定每个特征都是有用的，比如在识别苹果和橙子的系统中，我们可以抽取出的特征很多，（体积，重量，颜色，高度，宽度，最宽处高度），同样还有可能抽取出其它更多的特征。在这些特征中对分类有用的是（颜色，高度，最宽处高度），其它特征对识别意义不大，应该去除掉。这样的过程称为是特征选择，也可以称为是特征压缩。 特征选择可以描述成这样一个过程，原始特征为维特征，从中选择出个特征构成新的特征矢量，。 同时，特征矢量的每一个分量并不一定是独立的，它们之间可能具有一定的相关性，比如说高度和最宽处的高度，高度值越大，最宽处的高度值也越大，它们之间具有相关性，我们可以通过一定的变换消除掉这种相关性，比如取一个比值：最宽处的高度/高度。这样的过程称为特征提取。 特征提取可以描述为这样一个过程，对特征矢量施行变换：，，，产生出降维的特征矢量。 在一个实际系统的设计过程中，特征的选择和提取过程一般都需要进行，首先进行特征选择，去除掉无关特征，这些特征实践上根本就不需要抽取出来，这部分传感器根本不需要安装，这样也可以减小系统的的成本。然后进行特征提取，降低特征的维数。然后利用降维之后的样本特征来设计分类器。 5.2 模式类别的可分性判据 在讨论特征选择和特征压缩之前，我们先要确定一个选择和提取的原则。对一个原始特征来说，特征选择的方案很多，从维特征种选择出个特征共有中选法，其中哪一种方案最佳，则需要有一个原则来进行指导。同样，特征的压缩实际上是要找到个元函数，元函数的数量是不可数的，这也要有一个原则来指导找出个最佳的元函数。 我们进行特征选择和特征提取的最终目的还是要进行识别，因此应该是以对识别最有利原则，这样的原则我们称为是类别的可分性判据。用这样的可分性判据可以度量当前特征维数下类别样本的可分性。可分性越大，对识别越有利，可分性越小，对识别越不利。 人们对的特征的可分性判据研究很多，然而到目前为止还没有取得一个完全满意的结果，没有哪一个判据能够完全度量出类别的可分性。下面介绍几种常用的判据，我们需要根据实际问题，从中选择出一种。 一般来说，我们希望可分性判据满足以下几个条件： 与识别的错误率由直接的联系，当判据取最大值时，识别的错误率最小； 当特征独立时有可加性，即：  是第类和第类的可分性判据，越大，两类的可分程度越大，为维特征； 应具有某种距离的特点： ，当时； ，当时； ； 单调性，加入新的特征后，判据不减小： 。 但是遗憾的是现在所经常使用的各种判据很难满足上述全部条件，只能满足一个或几个条件。 一、基于几何距离的可分性判据 在介绍这一类判据之前，先来看一下各种几何距离的定义。 点与点的距离 这是我们前面已经介绍过的一种距离，可以有多种形式，如欧氏距离、街市距离、马氏距离等，特征矢量和之间的距离可以表示为：  （欧氏距离） 点与类别之间的距离 这也是我们前面定义过的一种距离度量，常用的有：平均样本法、平均距离法、最近距离法，-近邻法等。特征矢量与类别之间距离的平方可以表示为： （平均距离法） 其中为类中的样本，为类别中的样本数。 类内距离 设了由样本集，样本的均值矢量为，则由样本集定义的类内均方距离为：  当取欧氏距离时有：  类别之间的距离 在第二章中对类别之间的距离也做过定义，包括最短距离法，最长距离法，类平均距离法等。类与类之间的距离可以表示为：  （平均距离法） 当取欧氏距离时，可定义两类之间的均方距离：  有了距离度量之后，我们就可以在此基础上定义可分性测度了。一般来讲，当各个类别的类内距离越小时可分性越强，而类间距离越大时，可分性越强。因此可以有以各类样本之间的平均距离作为判据：  所反映的主要还是类别之间的分离程度，对类内的聚集程度反映不够。通常我们采用跟一般的矩阵形式来构造可分性判据。 类内散度矩阵 设有个类别，，类样本集，类的散度矩阵定义为：  总的类内散度矩阵为：  类间散度矩阵 第个类别和第个类别之间的散度矩阵定义为：  总的类间散度矩阵可以定义为：  令：为总体均值，，则有：  总体散度矩阵 总体散度矩阵可以定义为：  其中为总的样本数，。可以证明：。 可以看出三个散度矩阵均为实对称矩阵。 上面我们所定义的判据：=。表示取一个矩阵的迹，也就是主对角线元素之和，维方阵的迹为： 同样我们可以利用三个散度矩阵定义出一系列的可分性判据：     其中表示方阵的行列式的值，比较常用的判据是。 基于几何距离的可分性判据计算起来比较简单，只要我们已知各个类别的训练样本集，就可以计算出三个散度矩阵，同时也就可以计算出各种可分性判据。 二、基于概率分布的可分性判据 基于几何距离的可分性判据计算起来比较简单，然而它没有考虑各类别的概率分布，因此与识别错误率之间的联系却不是很紧密。下面介绍一种直接基于概率分布的可分性判据。 先以最简单的一维特征、两类问题为例，下图表示了两种极端情况：   第一种情况是两类完全可分：对所有的点，有； 第二种情况是两类完全不可分：对所有的有。 下面我们可以定义两个类条件概率密度函数之间的距离作为交叠程度的度量，应该满足如下条件： 非负性，； 当两类完全重叠时取最大值，即若对所有有时，，则； 当两类密度函数完全相同时，应为零，即若，则。 按照这样的要求，可以定义出多种可分性判据，这里我们只介绍其中一种—散度。 现在考虑和两类之间的可分性，取其对数似然比：  则类对类的平均可分性信息可以定义为：  同样类对类的平均可分性信息：  散度定义为区分类和类的总平均信息：  从的定义可以看出，当两类分不完全性同时，；当两类完全可分时，。 基于概率的可分性判据优点是直接与识别的错误率相联系，缺点是需要已知各个类别类概率密度函数，只有当我们预先已知各类别的概率分布时，才可以利用训练样本集合估计出概率密度函数，但是对很多实际问题来说各类别的概率分布情况我们是无法预先知道的。 5.3 特征选择 所谓特征选择，就是从一组数量为的特征中选择出一组数量为的最优特征，（）这里有两个问题要解决，1、选择一种可分性判据作为最优特征选择的标准；2、找到一个好的算法，来选择出这组最优特征。下面我们就来介绍几种特征选择的算法。 一个最简单的思路是：我们假设个特征之间相互独立，并且使用的可分性判据满足可加性：，这时候我们只要把个特征每个单独使用时的可分性判据计算出来，然后从大到小排序：，选择出前个特征就是一组最优的特征。然而问题往往没有这么简单，这种特征独立性假设多数情况下并不成立，并且可分性判据也不一定满足可加性。 另外一个简单的思路是(穷举法)：对从中选择出个特征的所有组合情况都计算其可分性判据，然后选择出其中的最大者作为解决方案。当的数值比较小时，这种方法一定是可行的，然而当比较大时，这个组合数会非常大，比如，时，组合数的数量级是，当，时，组合数为184756。将所有的组合都计算一遍显然是不现实的。因此我们需要有一个搜索算法来进行特征选择。 一、最优搜索算法—分支定界算法 到目前为止唯一能够找到最优解的算法是“分支定界”算法。它所利用的是可分性判据中的单调性质：，我们前面定义的各种判据都满足这个性质。 分支定界的思想 分支定界算法实际上是对一个特征选择的搜索树进行搜索，下面先以，的情况来说明一下搜索树。  在搜索树中根节点代表全部特征的集合，每向下一级节点代表从集合中删除一个特征，节点边上的数字表示在这一级中删除的特征，比如A节点表示删除特征，代表，因为最后要保留2个特征，因此树的级数为。每一个叶节点代表一种组合，比如C节点代表。 由于可分性判据具有单调性，因此在搜索树中的节点具有这样的性质：每个节点代表的特征集合的可分性判据要大于其后继节点代表的特征集合的可分性判据，比如：  根据这样的性质，我们就可以有如下的搜索算法。 分支定界算法（不严格） 搜索从右向左进行，首先设置一个界值，初始化为； 如果当前节点没有分支，则向下搜索，直到叶节点为止，计算叶节点代表的特征集合的可分性判据，如果大于界值，则将替换为这个判据值，并记录这个特征集合，作为当前的最优选择；向上回溯，直到有节点有未搜索过的分支为止，按照从右向左的顺序搜索其子节点； 如果当前节点有分支，则计算当前节点代表的特征集合的可分性判据，如果小于界值，则中止该节点向下的搜索，因为其子节点的可分性判据已经不可能大于了。否则按照从右向左的顺序搜索其子节点。 分支定界算法的计算时间是不确定的，同最优解分支所在位置有关，如果最优解分支在最右端，并且去掉或的可分性判据均小于最优解，则搜索时间最短，只需计算3组可分性判据；如果每个分支的可分性判据都大于其左端分支的可分性判据，则搜索时间最长，需计算可分性判据的次数可能次。 二、次优搜索算法 顺序前进法（Sequential Forward Selection, SFS） 每次从未入选的特征中选择一个特征，使得它与已入选的特征组合到一起所得到的可分性判据最大，直到特征数增加到为止。用表示在第步时的特征集合，搜索算法如下： 开始时，，从个特征中选择一个最大的特征，加入已选特征集，； 在第步，中包含已经选择的个特征，对未入选的个特征计算，，其中，并且按照由大到小排序，将可分性判据最大的特征加入，； 直到所选的特征数等于为止。 顺序后退法 (Sequential Backward Selection, SBS) 同顺序前进法的过程刚好相反，最开始时取，每次从中剔除一个特征，使得剩余的特征可分性判据最大。 增l减r法（法） 前两种方法可以进一步改进，比如每次不是加入1个特征，而是加入个特征；或者每次不是剔除一个特征，而是剔除个特征。这样的效果要比每次加1或减1的效果好，但是计算量要增大。 另外一种改进方法是将SFS和SBS结合，先使用SFS算法逐个选入个最佳特征，然后使用SBS算法逐个剔除个最差特征，，再使用SFS算法增加个特征，再使用SBS剔除个特征，…，直到选出个特征为止。 5.4 特征提取 特征抽取的方法很多，下面我们以其中的一种—基于离散K-L变换(DKLT)的特征抽取，其它方法与此类似。 设原始特征为为矢量，均值矢量，相关矩阵，协方差矩阵。 我们可以对作如下的标准正交变换，将其变为矢量:  的每个分量：，其中为一个的标准正交矩阵，为其第个列矢量，。也就是说的每个分量是每一个分量的线性组合。 同样可以表示为：  我们要进行特征提取，也就是要用的项来代替，这种代替必然带来误差，下面我们来对这个误差进行估计： 令：，，引入的均方误差为：   这又变成一个优化问题，我们希望寻找到一个标准正交矩阵，使得最小，因此可以去这样的准则函数：  第一项保证均方误差最小，第二项保证为标准正交矩阵，为一待定常数。 ， 即：，很明显为相关矩阵的特征值，为对应于的特征矢量，由于是一个实对称矩阵，所以相互正交，为一个正交矩阵。均方无差：  根据矩阵论，有这样的结论：一个的正定实对称矩阵有个特征值和特征矢量，这些特征矢量之间是正交的。相关矩阵就是一个实对称矩阵，当训练样本足够多时，也可以满足正定性，根据上式我们知道，当要从维特征中提取出维特征时，我们只需要统计出特征相关矩阵，然后计算其特征值和特征矢量，选择对应特征值最大的前个特征矢量作成一个特征变换矩阵，就可以完成特征提取。步骤如下： 利用训练样本集合估计出相关矩阵； 计算的特征值，并由大到小排序：，以及相应的特征矢量：； 选择前个特征矢量作成一个变换矩阵； 在训练和识别时，每一个输入的维特征矢量可以转换为维的新特征矢量：。 这种方法是利用相关矩阵进行变换，同样也可以利用协方差矩阵进行变换，还可以利用样本的散度矩阵，，或者进行变换。过程都是一样的，需要计算特征值和特征向量，选择最大的个特征值对应的特征矢量作出变换矩阵。 例5.1