第一章　初等积分法 　　　　　　 第1讲　微分方程与解 　　　　　　　　　第2讲　变量可分离方程 　　　　　　　　　第3讲　齐次微分方程 　　　　　　　　　第4讲　一阶线性微分方程 　　　　　　　　　第5讲　全微分方程与积分因子 　　　　　　　　　第6讲　一阶隐式微分方程 　　　　　　　　　第7讲　几种可降阶的高阶方程 　　　　　　　　　第8讲　应用举例 　　 　 第二章　基本定理 　　　　　　　第09讲　解的存在性与唯一性定理 　　　　　　　　　 第10讲　解的延展 　　　　　 　　　 第11讲　奇解与包络 　　　　　　　　　 第12讲　解对初值的连续依赖性 　　 第三章　线性微分方程组 　 第13讲　一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念 　　　　　　　　　第14讲　线性齐次微分方程组的一般理论 　　　　　　　　　第15讲　线性非齐次微分方程组的一般理论 　　　　　　　　　　　　　常系数线性微分方程组的解法(单实根） 　　　　　　　　　第16讲　常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 　　　　　　　　　第四章　线性微分方程 第17讲　n 阶线性微分方程的一般理论 　　　　　　　　　第18讲　n 阶常系数线性齐次方程的解法 　　　　　 　　 　第19讲　n 阶常系数线性非齐次方程的解法 　　　　　　　　　第20讲　二阶常系数线性方程与振动现象 　　　　　　　　　第五章　定性和稳定性理论简介 第21讲　稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 　　　　　　　　　第22讲　平面自治系统的基本概念 　　　　　　　　　　　　　平面定性理论简介(1) 　　　　　 　　　 第23讲　平面定性理论简介(2) ? 第1讲　微分方程与解 微分方程 　　什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 　　300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 　　例1 物体下落问题 　　设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系. 　　解 如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为  加速度为 　　　　　　　　　　　　　　　　　 质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 　　　　　　　　　　　　F = ma 　　　　(力=质量×加速度) 　　可以列出方程 　　　　　　　　　　　　　(·= ）　　　　　　(1.1) 　　其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度. 　　(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.2) 将上式对t积分两次得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.3) 　　其中和是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解. 　　一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 　　例如下面的方程都是常微分方程 　　　　　　　 （1.4） 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 （1.5） 　　　　　　　　　　　　(·= )　　　　　　　　 （1.6） 　　　　　　　　　　　　(′= )　　　　　　 （1.7） 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.8） 　　如果在(1.8)中能将y′解出，则得到方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.9） 　　或 　　　　　　　　　　　　　（1.10） 　　(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程. 　　n 阶隐式方程的一般形式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.11） 　　n 阶显式方程的一般形式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.12) 　　在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式： 　　 　　　　　　　（1.13） 显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程. 通解与特解 　　微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 　　定义1.１ 设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式， 　　　　　　　　　　 　　则称为方程(1.11)在区间I上的一个解. 　　这样，从定义1.1可以直接验证： 　　1. 函数y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数. 　　2. 函数是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中. 　　3. 函数是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数. 　　4. 函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数. 　这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有   所以在（－∞，＋∞）上有　　　　　　　　　　　  从而该函数是方程(1.6)的解. 　　从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解 ，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分. 　　由上面的定义，不难看出，函数和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件. 　初值问题 　　例 1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示. 　　　　　　　 　　　　　　　图a（C1＞固定，C2＞0）　　　　图b（C1=0,C2＞0） 　　而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即 　　　　初始位置　　　　x(0)= H 　　　初始速度  　　代入到通解中，推得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　于是，得到满足上述初值条件的特解为 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(1.14) 　　它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律. 　　求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题. 　　于是我们称(1.14)是初值问题 　　　　　　　　　　　 的解. 　　对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是 　　　　　　(1.15) 　　其中是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为 　　　　　 　　　(1.16) 　　初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 　　对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件 　　　　　　　　　　　　　　　 　　代入通解中，得到方程 　　　　　　　　　　　　　　　 　　从中解出C，设为，代入通解，即得满足初值条件的解. 　　对于n 阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式 　　　　 　(1.17) 　　如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的. 例2 求方程 　　　　　　　　　　　　　　 的满足初值条件的解. 　　解 方程通解为 　　　　　　　　　　　　　　 　　求导数后得 　　　　　　　　　　　　　　 将初值条件代入，得到方程组 　　　　　　　　　　　　　　 　　解出和得 　　　　　　　　　　　　　　 　　故所求特解为 　　　　　　　　　　　　　　 积分曲线 　　为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论. 　　最后，我们要指出，本书中按习惯用 　　　　　　　　　　　分别代表， 　　　　　　　　而 　　　　　　　　　　　分别代表 本　本节要点： 　　1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 　　2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 　　3．初值问题及初值问题解的求法. 　　4．解的几何意义，积分曲线. 作业： 　　　　练习1.1 　　　　1, 2. 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： 　（1）　　（2）　　（3） 　（4）　 （5）　 （6） 　2．验证给出函数是否为相应方程的解 　（1） ，　　 ，（C为任意常数） 　（2） ， ，（C为任意常数） 　（3） ，　　　 　（4） ，　　　 答案： 　　　1．（1）一阶，非线性 　　（2）一阶，非线性 　　　　（3）四阶，线性　　　　（4）三阶，非线性 　　　　（5）二阶，非线性 　　（6）一阶，非线性 　 ２．（1）是 　（2）是 　（3）不是　（4）是 什么是1．什第2讲　变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什么是21．什么是变量可分离方程？ 什形如 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.18） 　　或 　　　　　　　　　　　　　　（1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程． 　　方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含x的函数，另一个因式是只含y的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方程 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 都是变量可分离方程．而方程 　 　　　 都不是变量可分离方程 　1.2.1 显式变量可分离方程的解法. 　　1. 在方程(1.18)中，假设g(y)是常数，不妨设g(y)=1.此时方程(1.18)变为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.20) 　　设f(x)在区间(a,b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求f(x)的原函数(不定积分)的问题.于是由积分上限所确定的函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.21) 　　就是方程(1.21)的通解，其中C是一个任意常数，是一个固定数，是自变量. 　　2.假设g(y)不是常数，仍设f(x)在区间(a,b)上连续，而g(y)在区间上连续. 　　若是方程(1.18)的任意一个解，且满足，则由解的定义，有恒等式 　　　　　　　　　　　　　(1.22) 假设g(y)≠0，于是可用分离变量法把方程写成 　　　　　　　　　　 (1.23) 　　将上式两端积分，得到恒等式 　　　　　　　　　　(1.24) 　　上面的恒等式表明，当g(y)≠0时，方程(1.18)的任意一个解必定满足下面的隐函数方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.25) 　　反之，若是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的两边对x求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立，这就表明了隐函数方程(1.25)的解也是微分方程(1.18)的解. 　　在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式 　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1.26) 　由上面的证明可知，当g(y)≠0时，微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程，即若由(1.26)解出，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分.在求解过程中，对于通积分(1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了. 　　3. 若存在，使，则易见是方程(1.18)的一个解，这样的解称为常数解. 　　例1 求解方程 　　　　　　　　　　　　　　　 　　解 当时，分离变量，方程化为 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　两端积分，即得通积分　 　　　　　　　　 　　或　　　　　　　　　 　　解出 ，得方程通解 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　另外，也是方程的解.所以在通解中，任意常数C可以取零. 　　例2 求解方程 　　　　　　　　　　　　 　　　　解 当时，方程的通积分为 　　　　　　　　　　　　 　　即 　　　　　　　　 　　解出y，得到通解 　　　　　　　　　　　 　　另外，方程还有常数解，它们不包含在上述通解中. 例3 求方程 　　　　　　　　　　　　　 的满足初始条件及的解. 　　解 当时，方程通积分为 　　　　　　　　　　　　　 即 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 因此 　　　　　　　　　　　　　 解出通解为 　　　　　　　　　　 　　为求满足初始条件的解，以代入上解，应有 　　　　　　　　　　　　 　　可解得.代入通解，即得满足的解 　　　　　　　　　　　　 　　另外，易知为方程的解. 解显然满足初始条件，故它是所求的第二个解. 　　另外，通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图象。例如，在例3的通解中，当C为负数时，通解所对应的积分曲线位于带形区域之中；而当C为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于,它位于半平面上；另一条 定义于，它位于半平面上.图1-2描绘了所给方程的积分曲线的分布状况.  图 1-2 1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法 　　方程 　　　　　　　　　　 　　是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x与y都可以被认为是自变量或函数. 　　在求常数解时，若，则为方程(1.19)的解.同样，若，则也是方程(1.19)的解. 　　当时，用它除方程(1.19)两端，分离变量，得 　　　　　　　　　　　 　　上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分 　　　　　　　　　　　 　　例4 求解方程 　　　　　　　　　　　 　解 首先，易见，为方程的解.其次，当时，分离变量得 　　　　　　　　　　　　　 　　积分，得方程的通积分 　　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　 　　本节要点： 　　1．变量可分离方程的特征． 　　2．分离变量法的原理：微分方程（1.18）与分离变量后的积分方程（1.26）当时是同解方程． 　　3．变量可分离方程一定存在常数解, 并且满足． 　　作业： 　　　　练习1.2 　1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： 　　（1）　　　　　 （2） 　　（3）　　　　　　（4）  　2．求下列初值问题解： 　　（1）　　　　（2） 　 （3） 　　　（4）  　　　　答案 1. (1)　　　 (2) 　　　　　(3)　　　 (4) 2. (1)　　　　　　 (2) 　　　　　(3)　　 (4) 第3讲　齐次微分方程 1．什么是齐次方程？　　 　　上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程.　　如果一阶显式方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程. 　　例如，方程 　　　　　　　　　　 ，  可以分别改写成 　　　　　　　 　　　　　　　 　  所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以写为 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(1.27) 　1.3.1 齐次方程的解法 　　方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程. 　　令 　　　　　　　　　　　　　　 　　则有　　　　　　　　 　　代入方程(1.27)得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.28） 方程(1.28)是一个 变量可分离方程，当 时，分离变量并积分，得到它的通积分 　　　　　　　　　 　　　　　　　（1.29） 　或 　　　　　　　　　　　　　 　　即　　　　　　　　　　　 　　其中　　　　　　　　　 以代入，得到原方程(1.27)的通积分 　　　　　　　　　　　　　　 若存在常数，使，则，是(1.28)的解，由，得 是原方程(1.27)的解. 　　例1 求解方程 　　　　　　　　　　　　　 　解 将方程化成 　　　　　　　　　　　　　 　　令代入上式得 　　　　　　　　　　　　 　　即 　　　　　　　　　　　　　 　　易于看出，为这方程的一个解，从而为原方程的一个解. 　　　　当时，分离变量得，．两端积分后得 　　　　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　　　 将u换成，并解出y，便得到原方程的通解 　　　　　　　　　　　　　 　　在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函数能化成形状为的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质. 　　所谓对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意的常数，有恒等式 　　　　　　　　　 　　因此，令，则有 　　　　　　　　　　 　　因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式. 　　如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程. 1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 　　形如 　　　　　　　　　　　 　　　　　　(1.30) 　　的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 　　显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不是零次齐次函数，然而函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1.31） 　　则为零次齐次函数.事实上，我们有 　　　　　　　　　　　 　　下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程. 令　　(为待定常数) 　　则　　代入(1.30)得 　　　　　　　　　　　 　　选取使得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.32) 　　(1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关. 　　如果 　　　　　　　　　　　　 　　则(1.32)有唯一组解，把取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程 　　　　　　　　　　　　 求出这个方程解，并用变换 　　　　　　　　　　　 代回，即可得(1.30)的解. 上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当时，直线 　　　　　　　　　　　 与直线 　　　　　　　　　　　 相交于一点，将二式联立求得交点()，再作坐标平移，就把原点移到( ).又由于在坐标平移变换下有成立，这样(1.30)就变成齐次方程了. 　　如果，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解. 　　实际上由，有 　　　　　　　　　　　　 成立.下面仅以来讨论，(以讨论相同). 1)，此时(1.30)为 　　　　　　　　　　　 　　令，则得到关于z的变量可分离方程 　　　　　　　　　　　 　　2)中至多有一个为零. 　　当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为 　　　　　　　　　　　 　　这是一个变量可分离方程. 　　当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为 　　　　　　　　　　　 　　这也是一个变量可分离方程. 3) 当且 时，由(1.33)有 　　　　　　　　　　　　　　 　　于是 ，原方程(1.30)成为 　　　　　　　　　　　　　 　　令则 　　代入上面方程，得到一个关于z的方程 　　　　　　　　　　　　　 　　这也是一个变量可分离方程. 　　例2 求解方程 　　　　　　　　　　　　　 解 因为 　　　　　　　　　　　　　 　　方程组 　　　　　　　　　　　　　 　　有解 　　　　　　　　　　　　　 　　令 　　　　　　　　　 　　代入原方程，得到新方程 　　　　　　　　　　　　　　 　　令，代入上式，又得到新方程 　　　　　　　　　　　　　 当时，整理得 　　　　　　　　　　　 　　积分得 　　　　　　　　 　　即 　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　 　　以,代回，即得原方程的通积分 　　　　　　　　 　　当时，解得，还原后又得到原方程的两个解 　　　　　　和 本节要点： 　　1．一阶显式方程是齐次方程右端函数是一个零次齐次函数． 　　2．齐次方程解法的本质是，方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.27） 通过变量替换化为变量可分离方程求解． 　　3．方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解． 　　作业： 　　　　练习1.3 　　　　1.；2. (1), (3). 1．解下列方程 　　　(1)　　　　 (2) 　　　(3)　　　　　(4) 　　　(5)　　 (6) 　2．解下列方程 　　　(1) 　　　(2) 答案： 　　1.(1)　(2), 　　　(3),　　　　(4) 　　　(5)　　　　(6), 　　2.(1), 　　　(2) 1.4 一阶线性微分方程 ????本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型. 一阶线性微分方程的形式是 ????????????????????????????????????????????（1.34） 如果 ，即 ????????????????????????????????????????????????(1.35) 称为一阶线性齐次方程.如果不恒为零，则称(1.34)为一阶线性非齐次方程. 1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解 ????先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同，这 里指的是在(1.34)中不含“自由项” ，即 .显然，(1.35)是 一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是 ??????????????????????????????????????????????????(1.36) 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C 为常数时，函 数(1.36)的导数，恰等于该函数乘上- p(x),从而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于 .为此， 联系到乘积导数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数C(x)，即令 ???????????????????????????????????????????????(1.37) 为方程(1.34)的解，其中C(x)待定.将(1.37)代入(1.34)，有 ?????????? 即 ???? 积分后得 ????????????????????????? 把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式为 ?????????????????????????????(1.38) 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可. ????例1 求解方程 ??????????????????????????????????????????????????(1.39) ????解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程.  先求对应齐次方程 ?????????????????????????????? 的通解为???? ????????????????? 由常数变易法，令 ?????????????????????????????? 为方程(1.39)的解，代入(1.39)有 ?????????????????????? 即???????????????????????????? 积分得????????????????????? 代回后得原方程(1.39)的通解为 ????????????????????????? ????例2 求解方程 ????????????????????????? ????解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程.  先解对应齐次方程 ????????????????????????? 分离变量后再积分有 ????????????????????????? ????即??????????????????? 取指数后，得齐次通解 ????????????????????????? 由常数变易法，令 ????????????????????????? 为非齐次方程(1.40)的解，代入后得 ???????????????????? 即??????????????????????? 积分得??????????????????? 于是原方程(1.40)的通解为 ????????????????????????? 仔细看一下非齐次方程(1.34)的通解公式(1.38)，我们可以发现它由两项组成.第一 项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线 性非齐次方程(1.34)的通解，等于它所对应的齐次方程(1.35)的通解与非齐次 方程(1.34)的一个特解之和. ?为了求解初值问题 ????????????????????????? 常数变易法可采用定积分形式.即(1.37)可取为 ????????????????????????? ????????????????????（1.41） 代入(1.34)并化简，得 ????????????????????????? 积分得 ??????????????????????? 代入(1.41)得到 ???????????????? 将初值条件 代入上式，有 ，于是所求初值问题解为 ?????????????????????????(1.42) 或 ??????????????? ??????????????????(1.43) ????例3 设函数在上连续且有界，试证明：方程 ?????????????????????????????? 的所有解均在 上有界. ????证 设为方程的任一解，它满足初始值条件， 于是，由公式(1.43)，它可以表示为 ?????????????????? 我们只要证 在 上有界即可.设 ????????????????????????? 于是对 有 ????????????????????????? 原题得证. ?1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程 ????形如 ??????????????????????????????????(1.44) 的方程，称为伯努利方程. ????伯努利方程(1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程. ????在(1.44)两端除以 ，得 ????????????????????????????????????????(1.45) 为了化成线性方程，令 ????????????????????? 则 代入(1.45)得 ???????????????????? 这样，就把(1.44)化成以z为未知函数的线性方程了. ????例4 求解方程 ????????????????????????????? ????解 这是一个伯努利方程.两端同乘以2y，得 ????????????????????????????? 令 ，代入有 ????????????????????????????? 这已经是线性方程，它的解为 .于是，原方程的解为 ???????????????????????????? 本节要点： ????1．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位． ????2．由常数变易法求得的通解表达式（1.38）或特解表达式（1.43）能帮助我们证明解的某些渐近性质． ????3．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程． ????作业： ?????????练习1.4, ?????????1.(1),(3),(5),(7) 2.(2),(4) 3. 练习1.4 ????1．解下列方程： ??????（1） （3）  ??????（5） （7） ????2．解下列伯努利方程 ??????（2） （4）  ????3．设函数 ， 在 上连续，且 ， （a, b为常数）． ???????求证：????方程???????????????????? ??????的一切解在 上有界． 答案： ????1．（1） （3） ????????(5）（7） ????2．（2）， ????????(4） ， ????3．（略） ?1.5 全微分方程及积分因子 ????1.5.1 全微分方程 ????如果微分形式的一阶方程 ????????????????????????????????（1.10） 的左端恰好是一个二元函数的全微分， ????即 ??????????????????????????(1.46) 则称(1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数 称为微分式(1.46)的原函数. ????例如方程 ?????????????????????????????????????????????(1.47) 就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数 的全微分. ?全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函数 的全微分，从而方程可写成 ?????????????????????????????  若 是(1.47)的解，应有恒等式 ?????????????????????????????  ????从而??????????????????? ????????????????????（1.48） ????由此解出??????????????????? 这说明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表达式(1.48)中. 一般地，有如下定理?定理1.1 假如 是微分(1.46)的一个原函数，则全微分方程(1.10)的通积分为???? ??????????????????????????????????????????（１.49） 其中C 为任意常数. ????证明 先证(1.10)的任一解 均满足方程(1.49). 因为 为(1.10)的解，故有恒等式 ???????????????????? 因为 为(1.10)的原函数，所以有 ??????????????????????? ????从而 ?????????????????????? 于是 满足(1.49). ?再证明(1.49)所确定的任意隐函数 均为(1.10)的解.因为 是由(1.49)所确定的隐函数，所以存在常数C， ????使 ????????????????????????? 将上式微分并应用 是(1.46)的原函数的性质， ????即有 ???????????? 从而 是方程(1.10)的解，定理证毕. ????根据上述定理，为了求解全微分方程(1.10)，只须求出它的一个原函数 ，就可以得到它的通积分 ????????????????????????? . ????下面介绍两种求原函数的方法. ?1.求原函数的直接观察法 ????在某些简单情形下，可以由观察方程(1.10)直接 求出它的一个原函数，从而得到它的通积分.这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式. ????例如 ???????????????? ????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????? 例1 求解方程 ??????????????????? ????解 直接观察方程的左端，有 ??????????????????? 从而方程的左端是一个全微分，原函数为 ???????????????????? 于是原方程的通积分即为 ??????????????????? ????或 ??????????????????? 2．求原函数的一般方法. ????定理1.2 如果方程(1.10)中的 ，在矩形区域 ???????????????????? 上连续可微，则方程(1.10)是全微分方程的充要条件是：在R上有 ?????????????????????????????????????????????（1.50） ????证明 必要性，设(1.10)是全微分方程，则存在原函数 ，使得 ?????????????????? ????所以 ??????????????????? ?将以上二式分别对y和x求偏导数，得到 ??????????????????? 因为M ，N 连续可微，所以 ????????????????????????? 成立，即(1.50)成立. 充分性，设(1.50)在区域R内成立，现在求一个二元函数 ，使它满足 ?????????????????? ????即 ??????????????????? 由第一个等式，应有 ?????????????????? 其中 为y 的任意可微函数，为了使 ，再满足 ????????????????????  必须适当选取 ，使满足 ?????????????????? 由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为 ?参变量积分的分析性质: ????参变量积分 （1）; 是参变量． ????若 及在矩形 ????上连续，则参 变量积分（1）定义的函数在区间 ????上可微，并且 ???? ??????????????????  ????或 ?????????????????? ?从而应取 ????????????????????????? 积分后得到 ???????????????????? 因为只要一个 就够了，故取 .于是，函数 ???????????????????????(1.51) 就是所求的原函数，而全微分方程(1.10)的通积分是 ?????????????????????????????(1.52) 定理1.2 不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件，而且给出了当判别式(1.50)成立时，(1.51)式就是(1.10)左端的原函数，而(1.52)就是(1.10)的通积分. ?例2 求解方程 ?????????????????? ????解 因为???????????? 所以这方程是全微分方程. 及 在整个xoy平面都连续可微.不妨选取 (不一定非这么选不可，这么选只是为了简单).故方程通积分为 ?????????????????? ????即 ??????????????????? ????为了求全微分方程(1.10)满足初值条件 的解，以 代入(1.10)，可定出C=0.因此方程(1.10)满足初值条件 的初值问题的积分为 ?????????????????? ???????????????(1.53) 1.5.2 积分因子 ????以上我们给出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面这个简单方程 ???????????????????????????????????????????????(1.54) 就不是全微分方程，因为 ???????????????????????? 如果，将上面这个方程两端同乘以 ，得到方程 ?????????????????????????????????????????????(1.55) 这是一个全微分方程，因为此时有 ????????????????????????? 通常我们称 为方程(1.54)的积分因子，因为它可使方程(1.54)变成全微分方程(1.55).一般地，我们有下面的定义. ????假如存在这样的连续可微函数 ，使方程 ????????????????????????(1.56) 成为全微分方程，我们就把 称为方程(1.10)的一个积分因子. ????易于看到，当 时，方程(1.10)与(1.56)是同解的.于是，为了求解(1.10)，只须求解(1.56)就可以了，但是如何求得积分因子 呢?下面就来研究求积分因子 的方法. ????方程(1.56)是全微分方程的充要条件为 ????????????????????????? 展开并整理后，上式化成 ???????????????????????????????????(1.57) 一般地说，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不过，对于某些特殊情况，(1.57)的求解问题还是比较容易的.下面我们给出两种特殊的积分因子的求法. ???? 1．方程(1.10)存在只与x有关的积分因子的充要条件是 ???????????????????????? 只与x有关，且此时有 ???????????????????????????????????????????(1.58) ????证明 必要性，若方程(1.10)存在只与有关的积分因子，则有 ,这样(1.57)成为 ???????????????????????? 即 ????????????????????????????????????????(1.59) 因为(1.59)左端只与x 有关，所以它的右端也只与x 有关. 充分性，如果 只与x 有关，且 是方程(1.59)的解， ???? 即 ????????????????????????? 不难验证， 就是(1.10)的一个积分因子. 证毕. ????2．方程(1.10)存在只与y 有关的积分因子的充要条件是 ???????????????????????? 只与y 有关，且此时有 ??????????????????????????????????????????(1.60) 证明 与1．相似证明. ????例4 求解方程 ???????????????????????? ????解 因为 ???????????????????????? 与y无关，故原方程存在只与x有关的积分因子，由公式(1.58)有 ?????????????????????? 将积分因子 乘以原方程两端，即得全微分方程(1.55)．现取 则通积分为 ????????????????????????? ?即 ????????????????????????? ????本节要点: ????1．全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题． ????2．求原函数的常用方法 ????????观察法，适用于简单方程． ????????公式法，（1.51）式． ????3．积分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即会求只与x 有关或只与y 有关的积分因子． ???? ????作业： ????练习1.5， ????1. (2),(4),(6) 2. (1),(3). ?练习1.5 ????1．解下列方程： ??????（2） （4） ??????（6） ????2．求下列方程的积分因子和积分： ??????（1） （3） 答案 ????1．（2） （4） ???????（6） ????2．（1） ???????（3） ?1.6 一阶隐式微分方程 ????前面几节介绍的是求解显式方程 ????????????????????????? ?????????????????????????（1.9） 的一些初等积分法.本节要讨论如何求解隐式方程 ??????????????????????????????????????????????????（1.8） 方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程. ????求解方程(1.8)的问题分两种情况考虑： ????1． 假如能从(1.8)中把解出，就得到一个或几个显式方程 ???????????????????? 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. ????例1 求解方程 ?????????????????????? ?解 方程左端可以分解因式， 得 ????????????????????????? 从而得到两个方程 ????????????????????????? 这两个方程都可以求积， 得到 ????????????????????????? 它们都是原方程的解. ????2．如果在(1.8)中不能解出时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型， ????类型Ⅰ????????????? ????类型Ⅱ????????????? 类型Ⅰ的特点是，方程中不含y 或x ；类型Ⅱ的特点是y 可以解出或x 可以解出. ???? 首先，考虑类型Ⅰ中的方程   ???????????????????????????????????????????（1.61） 我们已经知道，方程(1.61)的一个解，在平面上的图象是一条曲线，而曲线是可以用参数表示的，称为参数形式解，即是定义在区间上的可微函数使得 ????????????????????????????? 在 上恒成立. ????显然，如果能从方程(1.61)中求出解 ，再把它参数化，就可以得到(1.61)的参数形式解，但这是没有什么意义的.下面介绍的参数法，是在方程(1.61)中当解不出来时，先把方程(1.61)化成等价的参数形式，然后根据某种恒等式，可以求出原方程(1.61)的参数形式解.这种求解过程就称为参数法.具体作法如下： (1)方程(1.61)化成参数形式 ????从几何上看，表示平面上的曲线，可以把这曲线表示为适当的参数形式 ??????????????????????????????????????????????????????（1.62） 这里t 是参数，当然有 ????????????????????????（1.63） 成立. ????(2)求(1.61)的参数形式解 ????由于(1.62)和沿着(1.61)的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式 ?????????????????????????????? 这样，把(1.62)代入上式，得 ???????????????????????????? 上式两端积分，得到 ??????????????????????????? 于是，得到方程(1.61)的参数形式通解 ?????????????????????????????????????????????（1.64） 不难验证：将(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，这说明(1.64)确实是(1.61)的参数形式通解. ????同理，可以讨论类型Ⅰ的方程 ???????????????????????????????????????????????????????(1.65) 设其可以表示的参数形式 ?????????????????????????????? 由于 ?????????????????????????????? ????有 ??????????????????????????? 积分，得 ??????????????????????????? 从而(1.65)的参数形式通解为 ??????????????????????????? 例2 求解方程 . ????解 令，有 原方程的参数形式为 ?????????????????????????????? 由基本关系式 ?????????????????????????????? 有 ????????????????????????? 积分得到 ????????????????????????????? 从而原方程的参数形式通解为 ??????????????????????????????? 也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为 ??????????????????????????????? 通解为 ??????????????????????????????? 现在，考虑类型Ⅱ中的方程 ??????????????????????????????????????????????????（1.66） 从几何上看，方程(1.66)表示空间中的曲面，令 ，有 ，这样(1.66)的参数形式是 ??????????????????????????????????????????????????(1.67） 同样，由基本关系式有 ?????????????????????????????? 将(1.67)代入上式，得 ??????????????????????? 或 ??????????????????????????????????（1.68） 这是一个关于自变量为 x ，未知函数为 p 的方程.如果能求得通解 ?????????????????????????????? 代入到(1.67)的第三个方程中，即得(1.66)的通解 ???????????????????????????? 如果只能求得(1.68)的通积分 ????????????????????????????? 则它与(1.67)的第三个方程联立， ????????????????????????????? 为(1.66)的参数形式解，若能消去参数 p ，可得(1.66)的通解或通积分. ????在上述求解过程中，请读者注意：当从方程(1.68)中解出时，只 要将其代入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再将 p 认为 ，再积分来求 y ．这是为什么呢?因为用参数法求解方程(1.66)的实质意义在于：当从(1.66)中不能解出时，通过参数法，把求解(1.66)化为一个以x为自变量，以为未知函数的方程(1.68)，一旦从(1.68)中解得， 那么它当然满足(1.67)中的第三式，即有，而这相当于在(1.66)中先把 解出，又由于方程(1.66)形式的特殊性，使得 成为了原方程(1.66)的通解. ????同理，可以考虑类型Ⅱ的方程 ??????????????????????????????????????????????????(1.69) 设其参数形式为 ?????????????????????????????? ??????????????????（1.70） 由其本关系式，有 ?????????????????????????????? 将(1.70)代入上式，得 ???????????????????????? ????或 ?????????????????????????????????????????（1.71） 如果能从(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通积分 ?????????????????????????????? 如果从(1.71)中解出通积分 ?????????????????????????????? 将它与(1.70)第三式联立， ?????????????????????????????? 将它与(1.70)第三式联立， ?????????????????????????????? 消去p ，可得(1.69)的通积分. 例4 求解方程 ???????????????????????????? 解 令 原方程的参数形式为 ??????????????????????????????????????????????????(1.72) 由基本关系式 ?????????????????????????????? ????有 ???????????????????????? ????或 ???????????????????????? 上式又可化为 ?????????????????????????? 由 ，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 . 再由 ，解得 ，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解 ???????????????????????????????????????? ?例5 求解方程 ???????????????????????????????????????????????(1.73) 这里，假定 是二次可微函数. ????解 (1.73)的参数形式为 ???????????????????????????????????????????????(1.74） 由基本关系式 ?????????????????????????????? ????有 ???????????????????????? 整理得 ?????????????????????????????? 由 ，得 ，代入(1.74)的第三式，得原方程通解 ??????????????????????????????  ????????????????(1.75) 由于 ，由 解得隐函数 ,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解 ???????????????????????????????????????????????(1.76) （隐函数存在定理及求导公式)，?隐函数存在定理及求导公式 ????????隐函数方程 （1） ????设 在点的某一领域内满足 ?????① 具有连续偏导数； ?????② ； ?????③ ，则方程（1）在的某领域内 ????恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数 ， ????满足 ，并且 ?????????????????????????????????（2） ????（2）称为隐函数求导公式. 方程(1.73)称为克莱洛 (Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用C取代 而成. ?本节要点： ????1．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即尽可能化成显式方程求解， 其次再考虑用参数法求解． ????2．理解好参数解法原理，类型Ⅰ和类型Ⅱ解法的原理是一样的．例如 方程 参数解法的原理是： ???（1）方程???????????????????? ??????????????????（1.61） 与其参数化方程?????????????????? ????????????????????(1.62) 在 平面上等价． ???（2）由 解出（1.62）的解． ???????????????????????????????????????????(1.64) (3)（1.64）是（1.61）的参数形式解，因为  ????3．类型Ⅱ方程 解法的基本思想是，先通过等价关系解得 ，然后代入原方程，从而得到到原方程的通解． ????作业： ?????????练习1.6 ????????2，4，6，8，10. 练习1.6 ????求解下列方程 ????2． 4． ????6． 8． ????10． ?答案 ????2． 4．, ， ????6． 8． . ????10． 　　　　　　　　　第7讲　几种可降阶的高阶方程 几种可降阶的高阶方程 　　本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”. 　　1.7.1? 第一种可降阶的高阶方程 　　方程 　　　　　 　　　　　　 　（1.78） 　　这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 .这时只要令 　　　　　　　　　　　　　　 　　(1.78)中就化成 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 （1.79） 　　如果(1.79)能求出通解 　　　　　　　　　　　　 　　则由对 　　　　　　　　　　　　 积分 ，就可以求出 y来了. 　　 　　例1 ? 求解方程 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　 　　解 ? 令 则有　　 　　通解为　　　　　　　 　　从而 　　　　　　　　　 　　积分四次，得到原方程的通解 　　　　　　　　　 第二种可降阶的高阶方程 　　方程 　　　　　　　　　　　　 　　这类方程的特点是不显含自变量 x，这时，总可以利用代换 ， 使方程降低一阶.以二阶方程 　　　　　　　　　　　　　 　　为例.令 ，于是有 　　　　　　　　　　　 　　代入原方程，就有 　　 　　"这是一个关于未知函数 p "的一阶方程.如果由它可求得 　　　　　　　　　　　　　　 则有 　　　　　　　　　　　　　　　 　　这是一个关于的变量可分离方程，可求得通积分. 　　例2 ? 求解方程 ． 　　解 ? 令 ,则 代入原方程得 　　　　　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　　　  　　积分后得 　　　　　　　　　　 　　"其中 a"为任意常数. 解出 p"得  或 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　积分后得 　　　　　　　　　　　　　　 　　其中 b为任意常数. 于是有　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　　  　　其中 为任意常数. 1.7.3? 恰当导数方程 　　假如方程 　　　　　　　　　　 　 　 　　　（ 1.80） 的左端恰为某一函数 对 x的导数，即(1.80)可化为　   则(1.80)称为恰当导数方程. 　　这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为 　　　　　　　　　　 　　　　 之后再设法求解这个方程. 　　例3? 求解方程 . 　　解 易知可将方程写成 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　故有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 . 　　积分后即得通解 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　例4 ? 求解方程 . 　　解 ? 先将两端同乘不为0的因子 ，则有 　　　　　　　　　　　　　  　故 ，从而通解为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　这一段解法技巧较高，关键是配导数的方法. 　初等积分法小结 ??? 　　1．5种基本解法 ? ??????　　分量变量法  ??????? 　　常数变易法  ??????? 　　积分因子法：化为全微分方程 参? 数? 法  　　　　降? 阶? 法  　　2．初等积分法的历史地位 　　自1676年微分方程的研究工作开始，其后100多年间是初等积分发展的重要时期． 　1841年法国数 （Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等积分求解，例如方程 就不能用初等积分求解．这说明初等积分法有相当的局限性． 　　但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也是初学者的基本训练之一． 　　作业：练习1.7 　1-8 练习1.7 求解下列方程 1． ??????? 2．  3． ????????? 4．  5． ??????????? 6．  7． ???????? 8．  答案 1． 　2．  　　　3． 　　　　4．  　　　5． 　　　　　　　6．  　　　7． 　　　　　　　8．5  第8讲　应用举例 一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤： 　　I．建立方程　对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应初值条件 　　II．求解方程 　　III．分析问题 　　通过已求得的解的性质，分析实际问题. 　　1.8.1? 等角轨线 　　我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成 给定的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线.等角轨线在其它很多学科(如天文、气象等)中都有应用.下面就来介绍求等角轨线的方法. 　　首先把问题进一步提明确一些． ?? 　　设在(x, y)平面上，给定一个单参数曲线族(C)： .求这样的曲线 ，使得 与 中每一条曲线的交角都是定角 (图1-3). 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　图1-3 　　设 的方程为 .为了求 ，我们先来求出 所应 满足的微分方程，也就是要先求得 的关系式.条件告诉我们 与 的曲线相交成定角 ，于是，可以想见， 和 必然应当与 中的曲线 及其切线的斜率 有一个关系.事实上，当 时，有 　　　　 或　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(1.81) 当 时，有 　　　　　　　　　　　　　　 ?　　　　　　　　　　　　(1.82) 　　又因为在交点处， ,于是，如果我们能求得 的关系 ，即曲线族 所满足的微分方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.8) 只要把 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得 所应满足的方程了. 　　如何求(1.8)呢? 采用分析法. 　　设 为 中任一条曲线，于是存在相应的C，使得 　　   　　因为要求 的关系，将上式对x求导数，得 　　　　　　　　　　 　　　　(1.84) 　　这样，将上两式联立，即由 ? 　　　　　　　　 　　　 　　　?　　(1.85) 　　消去C，就得到 所应当满足的关系   这个关系称为曲线族 的微分方程. 于是，等角轨线( )的微分方程就是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.86) 而正交轨线的微分方程为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　???　(1.87) 　　为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用 ，而仍用 ，只要我们 明确它是所求的等角轨线的方程就行了. 　　为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需求解上述两个方程即可. 　　例1　求直线束 的等角轨线和正交轨线. 　　解　首先求直线族 的微分方程. 　　将 对求x导,得 ，由 　　　　　　　　　　　　　　　 　　消去C，就得到 的微分方程 　　　　　　　　　　　　　　　 　　当 时，由(1.86)知道，等角轨线的微分方程为 　　　　　　　　　　　　　　 　　 或 　　　　　　　　　　　　　 及 　　　　　　　　　　　 　　 即 　　　　　　　　　　　 　　积分后得到 　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　　 　　如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线 (图1-4). 　　　 ?? 　　　　　　　　　　　　　　　图 1-4 　　如果 ，由(1.87)可知，正交轨线的微分方程为 　　　　　　　　　　　　　 即 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　或　　　　　　　　　　　　 　　故正交轨线为同心圆族 (图1-5). ??? 　　　　　　　　　 ???　　　　　　　　　　　　　　　图 1-5 1.8.2 动力学问题 　　前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律　　 　　这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数. 列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数——速度的关系. 只要找到这个关系，就可以由列出微分方程了. 　　在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等. 　　例2　物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4／5)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试证明在这种情况下，落体存在极限速度 。 　　解　设物体质量为 ，空气阻力系数为 ，又设在时刻 物体的下落速度为 ，于是在时刻 物体所受的合外力为 ? 　　　　　　　　　　　　　 ??(重力 - 空气阻力) ? ? ? 这里，建立的坐标系，使得重力 方向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　（1.88） 　　因为是自由落体，所以有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?　　(1.89) 　　解(1.88)，由(1.89)有 　　　　　　　　　　　　　 　　积分得 　　　　　　　　　　　　 　　或 　　　　　　　　　　　　 　　解出v，得 　　　　　　　　　　　　　　　 　　当 时,有 　　　　　　　　　　　　　　　 ???　　　　　　　　(1.90) 　　据测定， ,其中 为物体形状有关常数， 为介质密度， 为物体在地面上的投影面积. 　　人们正是根据公式(1.90)，来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的 .在落地速度 与 一定时，可定出s来. 1.8.3 增长与衰减问题 　　碳定年代法  考古、地质学等方面的专家常用 (碳－14)测定法(通常称为碳定年代法)去估计文物或化石的年代. 　　碳—14的蜕变规律 　　碳—14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氮气作用生成的一种具放射性的物质 ，这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物作食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内.由于 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断蜕变，我们先求出这种蜕变规律.通常假设 蜕变速度与该时刻 的存量成正比. 　　设在时刻t(年)生物体中 的存量为x(t),生物体的死亡时间记为 ，此时 含量为 ，则由假设，初值问题 ?　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 (1.96） 　　的解为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.97） 　　其中，k＞0为常数，k前置负号表示 的存量是递减的.(1.97)表明 是按指数曲线递减，而常数k可由半衰期确定.记 的半衰期为T，则有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.98) 　　将(1.98)代入(1.97)得 　　　　　　　　　　　　　　　 　　即有 　　　　　　　　　　 ??　　　　　　　　　　(1.99) 　　碳定年代法的根据 　　由于活着的生物通过新陈代射不断摄取 ，使得活着的生物体内的 与空气中的 有相同的含量，而生物死之后，它停止摄取 因而尸体内的 由于不断蜕变而不断减少.碳定年代法就是根据死亡之后生物体内的 蜕变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的. 碳定年代法的计算 　　由(1.99)解得 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　(1.100) 　　由于 不便于测量，我们可把(1.100)做如下修改. 　　对(1.97)式两边求导，得 　　　　　　　　　　　　 　　而 　　　　　　　　　　　　　 　　上面两式相除，得 　　　　　　　　　　　　　　 　　将上式代入(1.100)，得 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ? 　　　　　　　　　　(1.101) 　　这样由(1.101)可知，只要知道生物体中在死亡时 的蜕变速度 和现在时刻t的蜕变速度 ，就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中 的蜕变速度与生物体死亡时代生物体中 的蜕变速度相同. 　　马王堆一号墓年代的确定 　　马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的 平均原子蜕变数为29.78/分，而新砍伐烧成的木炭中 平均原子蜕变数为38.37／分，又知 的半衰期为5568年.这样，我们可以把 ＝38.37／分， 　 =29.78／分，T= 5568年代入(1.101)，得 　　　　　　　　　　　　 (年) 这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前. 作业：练习1.8 1,2,4,6,7 　　　　　　　练习1.8 　　1．求抛物线族 的正交轨线． 　　2．求曲线族 的正交轨线，其中 为参数． 　　4．求一曲线．使其上每一点的切线斜率为该点横坐标的2倍，且通过点 ． 　　6．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比． 　　（1）如果过4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？ 　　（2）如果在3小时的时候，有细菌数 个，在5小时的时候有 个，那 么在开始时有多少细菌？ 　　7．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦 ，试求： 　　（1）物体运动的微分方程； 　　（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案 　　1． ?2．  　　4． 6．（1）8倍，（2） 个 　　7．（2） 时， ， ， ． 　第二章　基本定理 　　　　　　　　　第09讲　解的存在性与唯一性定理 　　　　　　　　　第10讲　解的延展 　　　　　 　　　第11讲　奇解与包络 　　　　　　　　　第12讲　解对初值的连续依赖性 2.1 常微分方程的几何解释我们在1.1节已经给出了微分方程及其解的定义.本节将就一阶显式方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(1.9) 　　 给出这些定义的几何解释.由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征.首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数 在区域G内有定义(图2-1),即对G内任意一点 ，都存在确定值 .以点 为中点，作一单位线段，使其斜率恰为 ，称为在 的线素.于是在G内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G上确定了一个线素场. ?????　 ????? 　　　　图2-1 　　　 例1 试讨论方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  所确定的线素场. 　　解 右端函数除oy轴以外的左右两个半平面处处有定义，因而方程在这两个半平面上都确定了线素场.易于看出这个线素场在点 的线素与过原点(0,0)和点 的射线重合(图2-2). 　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-2 　例2 考虑方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  所确定的线素场. 　　解 右端函数除了ox轴以外的上下两个半平面上都有定义，方程在每一点 所确定的线素都与原点到该点的射线垂直(图2-3). 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　 　图 2-3 s 在例1中，右端函数 在y轴上无定义(变为无限).在例2中，右端函数 在x轴上无定义(变为无限).为了进行弥补，一般的，当方程 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　（1.9） 的右端函数 在某些点取无限值时，我们同时考虑方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1.9)′ 　　易见，在 取无限值的点， .于是,可以说线素场在这些点平行于oy轴. 　　例如，在例1中，同时考虑方程 　　　　　　　　　　　　　　 在例2中，同时考虑方程 　　　　　　　　　　　　　　　  这样，这两个方程，除点(0,0)外，都在全平面上确定了线素场. 　　下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系.前面，我们已经把(1.9)的解 的图象称为(1.9)的积分曲线. 　　定理2.1 曲线L为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在L上任一点，L的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即L在每点均与线素场的线素相切. 　　证明（略） 　　这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切.或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线. 2.2 解的存在唯一性定理 　　本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.1) 的初值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.2) 的解的存在与唯一性定理. 　　2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述 　　定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数 在闭矩形域 　　　　　　　　　　 上满足如下条件： 　　(1) 在R上连续; 　　(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点 和 有不等式： 　　　　　　　　  则初值问题(2.2)在区间 上存在唯一解 　　　　　　　　　　　　  其中  　　在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 　　1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数 在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界， .则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 　　　　　　　　　 其中 满足 ，从而 .如果 在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件. 2.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点 的积 　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到达R的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 但是，由2.1节的常微分方程的几何解释可知，定理2.1就是要证明：在线素场R中，存在唯一一条过点 的积分曲线　　　 　　 它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切. 现在定理假定 在R上连续,从而存在 　　　　　　　　　　　 　　 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 　　　　　　　　　　　 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中. 　　　  　　　　　　　　　　　　　　　图 2-6 2.2.2 存在性的证明 　　求解初值问题（2.2） 求解积分方程（2.3）. 　　　　　　　　 　　因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 　　下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行: 　　 1.构造逐次近似序列. 　　　　  　　近似序列 或写成 　　　　　　　　　　 的每一项都在 上有定义，这是因为 于是 ．这样，我们在区间 上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列) 　　  　　 2. 证明近似序列 在区间 上一致收敛（序列）. “ 函数序列的一致收敛 　　1．设 （1） 是定义在I上的函数序列，若对 ，数列 　　　 收敛，则称 为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域． 在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的 一个函数，称为极限函数．设此函数为 ，即  　　2．若对 ，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点 ，当 时，有 ，则称序列（1）在I上一致收敛．? 证明分如下二步： 　　（1）序列 在 上一致收敛 级数（2.7）在 上一致收敛（级数）． “ 函数项级数的一致收敛 　　1．设函数项级数??????????????????? ??????????（1） 在区间I上收敛于和函数 ，即对 ， 数项级数 收敛于 ，或级数（1）的部分和所组成的数列 = ???????? 由数列极限定义，对 ， ，使得 时，有? ????????????? 　　2．级数（1）在I上一致收敛 对 ， ， 使得对 ，当 时，有 ．?????? 　　3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛， 　　则（1）的和函数 在I上连续．? 因为级数 　　　　 ?????? （2.7） 的部分和 　　　　　　　　　　　　　 （2）级数（2.7）在 上一致收敛． 　　 用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数 　　 　　　　　 　　　　 的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法， 　“ 函数项级数的一致收敛判别法 （魏尔斯特拉斯优级数判别法） 函数项级数??????????????????? ??????????（1） 若函数项级数（1）在区间I上满足????????????????? （ I ） ；????????????????? （ II ） 正项级数 收敛．????????????? 则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．?????? 数项级数收敛的判别法 （比值判别法，达朗贝尔（ ）判别法） 若正项级数 的后项与前项的比值的极限等于 ：  则当 时级数收敛， 时（或 ） 时级数发散； 时级数可能收敛，也可能发散． 级数(2.7)在区间 上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为 ，从而近似序列 在区间 上一致收敛于 .由于 在区间上 连续，因而 也是连续的. 　　 3.证明 是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有 　　　　　　　　　 　　因为 　　　　　　　　　　 所以要证明 是积分方程（2.3）的解，即 　　　　　　　　　　　　　　　 成立，只需证明 　　　　　　　　　　　　 　　下面用“ε-N语言”证明上面的极限成立． 　　 我们先利用李普希兹条件，作下面的估计： 　　　　　　　　　　　　　　　由于序列 在区间 上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数 ,当 时，对区间 上所有x恒有 从而 　　　　　　　　　　　　　 由此推得 　　　　　　　　　　 　　换句话说，我们得到  　　现在对恒等式(2.6)两端取极限， 　　　　　　　　　　　 就得到  　　此即表明函数 是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕. 2.2.3 唯一性的证明 　　下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式. 　　贝尔曼引理 ?设y(x)为区间 上非负的连续函数， .若存在 使得y(x)满足不等式 　　　　 　　　　　 　　　　　　　　(2.9) 则有  　　证明 先证明 的情形. 　　令 ，于是从(2,9)式立即有 　　　　　　　　　　　　　　 上式两端同乘以因子 ,则有 　　　　　　　　　　　　　 上式两端从x0到x积分，则有 　　　　　　　　　　　　　  　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　由(2.9)知， ,从而由上式得到 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 的情形类似可证，引理证毕. 　　积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法. 　　假设积分方程(2.3)除了解 之外，还另外有解 ，我们下面要证明：在 上，必有 . 　　 事实上，因为 　　　　　　　　　　　　　　　 　　及 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　?  令 ,从而由贝尔曼引理可知，在 上有 ，即 . 　　至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完. 　　　　　　　　　　　　　　　　2.2.4 二点说明 　　为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明. 　　1.（见教材） 　　2. 如果方程(2.1)是线性方程，即 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　其中p(x)和q(x)在区间 上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值 .线性方程满足 的解在整个区间 上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6) 　　　　　　　　  在区间 上存在且连续即可. 　　由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题. 例1 试证方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　 经过xoy平面上任一点的解都是唯一的. 　　证明 右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于 轴外任何点 ，该方程满足 的解都存在且唯一. 于是，只有对于 轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性. 　　我们注意到y = 0为方程的解. 当y ≠0时，因为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故可得通解为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 为上半平面的通解, 为下半平面的通解. 这些解不可能y = 0相交. 因此，对于 轴上的点 ，只有y = 0通过，从而保证了初值解的唯一性. 　　 但是， 　　　　　　　　　　　　　 　　因为 故不可能存在 使得 　　　　　　　　　　　　  从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件. 　　 为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题. 　　 下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的. 例2 讨论方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解的唯一性. 　　解 方程的右端函 数 ,在全平面连续，当 时，用分离变量法可求得通解 　　　　　　　　　　　　　　 ，C为任意常数. 　　 又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7. 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　图 2-7 　　从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为 ， 它可表为：对任意满足 的a和b. 　　　　 　　本节要点： 　　1．一阶显式方程在其定义域内定义了一个线素场，积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切． 　　2．解的存在唯一性定理的证明． 　　3．定理条件的理解 　　（1）李普希兹条件是保证解唯一的充分条件而非必要条件． 　　（2）仅有连续条件不能保证解唯一． 　　（3）定理的结论：解的存在区间是局部的． 　　作业： ?　　　　 练习2.1 1. ? 　　　　练习2.2 ?1,2,3,4. 1．试画出下列各方程的积分曲线图： 　（1） （ 为常数） 　　　　（2）  　（3） 　　　　　　　　　　　（4）  　（5）  　答案? （略） 练习2.2 ? 　　　1．试判断方程 在区域 　　　（1） （2）  上是否满足定理2.1的条件？ 　　　2．判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且惟一？ 　　　（1） （2）  　　　（3） ? （4）  　　 　　　答案 练习2.2 　　1．（1）不满足 （2）满足 　　2．（1）整个xoy平面 （2）整个xoy平面 　　　（3）除y轴x = 0外的整个xoy平面 （4）除x轴y = 0外的整个xoy平面 　　3．对 ，  　　4． ， ， ， 　　　　　 练习2.2 ? 　　　3．讨论方程 在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过 的一切解． 　　　4．试用逐次逼近法方程求 满足初值条件 的近似解： ， ， ，  第10讲　解的延展 上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数f(x,y)存在区域D可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大. 　　2.3.1 延展解、不可延展解的定义 　　定义2.1 设 是初值问题（2，2）在区间 上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间 上的解 ，且满足 　　(1)  　　(2)当 时，  则称解 是可延展的，并称 是 在I２上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解 ，则称 是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I１和Ｉ２可以是开的也可以是闭的. .3.2 不可延展解的存在性 　　定义2.2 设 定义在开区域 上，如果对于D上任一点 ，都存在以 为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上 的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称 在D上关于y满足局部李普希兹条件. 　　定理2.3 如果方程(2.1)的右端函数 在区域 上连续，且对y满足局部李普希兹条件，则对任何 ，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解. 　　证明思路：仅证 方向，（ 方向同理）． 　　任取点 存在唯一解 在 = 上有定义． 又点 存在唯一解 在 = 上有定义． 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2—8 　　由解的唯一性，在I0和I1的公共部分上， 的一个延展解． 继续这种延展过程，直到一个解 ，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解， 就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明． 　　显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间.因为如果区间右端点 是闭的，那么解 的曲线可以达到 .于是点 ，由定理2.2，可将 延展到 的右方，这与 是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的. 2.3.3 不可延展解在端点的性状 　　下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解 ，当x趋于区间 的端点时的性状 　　引理 设 是有界开区域， 在D０上有界 、且对y满足局部李普希兹条件.如果 是初值问题(2.2)在D０上的不可延展解，则当 时，相应积分曲线上的点 都趋于D０的边界. 　　证明 首先证明极限 　　　　　　　　 的存在性.事实上，由于初值问题(2.2)的解 满足下面的积分方程 　　　　　　　　　　 　因此对任意 , 有 　　　　　　　　 由柯西收敛判别准则， “柯西收敛准则 ? 1．数列 收敛 对 ， N ，使当  ， ，就有?  ?? 2． 存在 对 ， N ，使当 ? ， 时，总有 ． ? 3． 存在 对 ， A> 0，使当 ? ，总有 ．” 可知 和 都存在. 　　记D０的边界为 ，现证明 .利用反证法，假如是 是D０的内点，则由定理2.2可知，存在 ，使得解 可以延到区间 上，这与β是不可延展解 的存在区间的右端点的假设矛盾.因此点 属于D０的边界点.同理，点 也属于D０的边界点.证毕. 　现在我们可以给出不可延展解的重要性质： 　　定理2.4 如果方程(2.1)的右端函数 在(有界或无界)区域D上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，那么对于D上任意一点 ，方程(2.1)的以 为初值的不可延展解 ，当 时，相应积分曲线上的点 都趋于D的边界. 　　证明 作有界区域 ，使得 　　　　　　　　 且 . 　　显然，当D为平面上有界区域时，只要取Dn为D的边界 的内侧邻域即可.当D为无界时，可取D与闭圆域 　　　　　　　　　　 的交集 .如此取的Dn满足上面的条件. 对于区域D１，由于 ，由引理可知积分曲线 可以到达D１的边界点A１和B１．对于区域D２，再次利用引理，积分曲线 又可以到达 的边界点A２和B２．如此继续下去，积分曲线可以到达Dn的边界点An和Bn，于是我们在积分曲线上得到两个点列 ．因为当 ,分别趋于D的边界，证毕． 　　注1. “积分曲线趋于D的边界”是指积分曲线上的点 当 和 可以与 无限接近，但是极限不一定存在. 　　通常把向 右侧延展的解称为右行解，反之则称为左行解.由上面的证明，不难得到. 　　推论 在定理2.4中的右行不可延展解的存在区间必为下列情形之一： 　　(1)［ ，＋∞），(见图2-9-1)，或 　　(2)［ ，b)，b为有限数 在后一种情形下，有且仅有下面二种可能 　　①当x→b-0时， 无界；(见图2-9-2), 　　② 在［x0, b］上有界，且  　　注2. 在［x0, b)上有界时，若 存在有限值d，那么(b, d) ,(见图2-9-3). 　　若 不存在，x→b-0时， 的值振荡,那么 .(见图2-9-4). 　　左行不可延展解的存在区间有相同结论. 　 　　　　　　　 　　　　图 2-9-1　　　　　　　　　 　　　　图 2-9-2 ?? 　　 　　　　　　　　　　 　　　 　图 2-9-3　　　　　　　　　　　　　　图 2-9-4 例1 试讨论方程 通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间. 　　解 此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是 　　　　　　　　　　　　　 故通过(1,1)的积分曲线为 　　　　　　　　　　　　　 　　它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10. ?　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 2-10 　　通过(3,-1)的积分曲线为 　　　　　　　　　　　　　　　　　 它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞). 　　顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展. 　　这个例子说明，尽管 在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去. 　　　　例2 讨论方程 　　　　　　　　　　　　　　 解的存在区间. 　　解 方程右端函数在无界区域　　 内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为 　　　　　　　　　　　　 过D１内任一点 的初值解. 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图 2-11 　　　　　　　　　　　　　 在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D１的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是 类似的. 　　延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的. 例3 考虑方程 　　　　　　　　　　　　 　　假设 及 在 平面上连续，试证明：对于任意 及 ,方程满足 的解都在(-∞,+∞)上存在. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图 2-12 证明 根据题设，可以证明方程右端函数在整个 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到， 为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足 任意， 的解 上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性， 又不能穿过直线 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12). 　　本节要点： 　　1． 不可延展解的定义． 　　2． 不可延展一定存在． 　　3．不可延展在区间端点的性状． 　　（1）右端函数 与不可延展解的关系， 　　（2）如何判断方程解在(-∞,+∞)上整体存在． 　　作业：练习2.3 　1,2,3 练习2.3 　　1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程 的解 在 上存在． 　　2．指出方程 的每一个解的最大存在区间，以及 当 趋于这区间的右端点时解的性状． 　　3．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明 方程 的任一解 在区间 上有定义． 答案 　　1．提示： 和 是解． ?????????? 2．提示： 是解． 　　3．见学习指导典型例题的例3 2.4.1 奇解 　　在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在. 　　例1 求方程  的所有解. 　　解 该方程的通解是  　　此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，  图 2-13 显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 　　本节主要讨论一阶隐式方程 (1.8) 和一阶显式方程 (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。 对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程  那么对每一个方程，应用定理2.2即可。 　　其次对于方程(1.8)，如果函数F(x,y,y′)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在的邻域内有  成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得  其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有  这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。 由上述定义，可见2.2节例2中的解是方程的奇解，而例1中的解和是方程的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法 　　假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D上连续且在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。 　　如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 　　例2　判断下列方程 (1) ??????(2) 是否存在奇解。 解 (1)方程右端函数,均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。 　　(2) 方程右端函数在区域上有定义且连续，在y > x上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x，即若方程(2)有奇解必定是y = x，然而y = x不是方程的解，从而方程(2)无奇解。 2.4.3 包络线及奇解的求法 　　下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分求它奇解的方法。 　　当任意常数C变化时，通积分给出了一个单参数曲线族(C)，其中C为参数，我们来定义(C)的包络线。 　　定义2.4 设给定单参数曲线族 (2.10) 其中C为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络。见图2-14  图 2-14 定理2.5 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。 　　证明 只须证明(C)的包络线L是方程(1.9)的积分曲线即可。 设p(x,y)为L上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线l过p点，且与L相切，即l与L在p点有公共切线。由于l是积分曲线，它在p点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L在p点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这就表明L在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L是(1.9)的积分曲线。证毕。 　　有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。 　　定理2.6 若L是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C-判别式 (2.11) 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线  且满足：和,（称为非退化条件），则是曲线族的包络线. 　证明 对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为  又因为p(x,y)在l上，故有恒等式 (2.12) L在p点的切线斜率为  l在p点的切线斜率为  因为l与L在p点相切，故有，即有关系式 (2.13) 另一方面，在(2.12)式两端对C求导得  此式与(2.13)比较，无论是在同时为零，或不同时为零的情况下均有下式 (2.14) 成立.即包络线满足C-判别式(2.11). 　　反之，在上任取一点q(C)=(Φ(C),ψ(C)),则有 (2.15) 成立. 因为不同时为零，所以对(2.10)在q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线,它在q点的斜率为 (2.16) 另一方面，Γ在q点的斜率为 (2.17) 现在，由(2.15)的第一式对C求导得  再利用(2.15)的第二式推出 (2.18) 因为和分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线γ在q点与曲线Γ相切.因此，Γ是曲线族(2.10)的包络线。 　　例3 求的奇解. 　　解 在本章2.2节已解得方程通解为由C-判别式  解得.由于,所以为原方程的奇解. 例4 求方程  的奇解。 　　解 由上面的例1，该方程的通解为,由C-判别式 (2.19) 的第二式解出  代入第一式，得到。 　　因为，故为方程的奇解。 例5 求克莱洛方程  的奇解，其中Ψ是二次可微函数且。 　　解 由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为  C-判别式为 (2.19) 因为,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。 本节要点： 　　1.奇解的定义。 　　2.不存在奇解的判别方法。 　　（1）全平面上解唯一不存在奇解。 　　（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。 　　3.求奇解的包络线求法。 　　　包络线满足C—判别式。 　　　在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线包络线。　　 作业： 练习2.4 1., 2., 3，。 第11讲作业： 　　练习2.4 　　1．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图． （1） 　　　　　　（2）  （3）  　　2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为1． 　　3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 ． 　　答案　　　　1．（1）有， （2）无 （3）有，  　　2． 3．  　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.5 解对初值的连续依赖性 　　直到现在，我们都是把初值看成固定的数值，然后再去研究微分方程(2.1)经过点的解.这个解是自变量x的函数.易于看出，当初值x0和y0变动时，对应的解也要跟着变动.所以，方程(2.1)的解也应该是初值的函数.例如，方程  过点的解为，它显然是所有变量,和的函数.对于一般情形，为了表示微分方程(2.1)过点的解是所有变量,和的函数，我们采用记号.  按记号的定义，应有 现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的? 我们知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解.但是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题的解在实用上就不会有多大的价值.所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值,变化不大时，相应的解变化不大.下面给出其数学上的确切的定义. 　　定义2.5 设初值问题  的解在区间上存在，如果对任意，存在,使得对于满足的一切，相应初值问题(2.2)的解都在上存在，且有  则称初值问题(2.2)的解在点连续依赖于初值 ， (图2-16)。  图 2-16 定理2.7 (解对初值连续依赖定理)设f(x,y)在区域D内连续，且关于变量y满足李普希兹条件.如果 ，初值问题(2.2)有解 ,且当 时， ,则对任意 ，存在 ，使对于满足  的任意，初值问题 (2.2) 的解也在区间 上有定义，且有  证明 对给定，选取 ，使得闭区域 U：  整个含在区域D内，这是能够做到的，因为区域D是开的，且当 时，,所以，只要选取足够小，以曲线为中线，宽为2的带开域U就整个包含在区域D内，如图2-17所示.  图 2-17 选取满足  其中N为李普希兹常数，，另外，还要保证闭正方形  含于带形区域U的内部。 　　由存在唯一性定理可知，对于任一,在的某领域上存在唯一解，且在尚有定义的区间上，有 (2.20） 另外，还有  对上述两式作差并估值：     由贝尔曼不等式，则有 (2.21) 因此，只要在尚有定义的区间上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明：在区间上有定义，只证在区间上有定义，对区间可类似证明. 　　因为解不能越过曲线，但是，由解的延展定理，解可以延展到无限接近区域D的边界，于是，它在向右延展时必须由穿出区域U，从而必须在上有定义，定理证毕. 　　例1 考虑与2.2节例1类似的方程 易知为解，为解，上半平面通解为,下半平面通解为. 积分曲线大致如图2-18。  图 2-18 　　可以看到，对于轴上的初值,在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，在上，无论,如何接近，当充分大时，过的积分曲线就不能与过的积分曲线(即)任意接近了。 　　这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍. 　第三章　线性微分方程组 　　　　　　　　　第13讲　一阶微分方程组及 　　　　　　　　　　　　　一阶线性微分方程组的一般概念 　　　　　　　　　第14讲　线性齐次微分方程组的一般理论 　　　　　　　　　第15讲　线性非齐次微分方程组的一般理论 　　　　　　　　　　　　　常系数线性微分方程组的解法(单实根） 　　　　　　　　　第16讲　常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 3．1 一阶微分方程组 　　在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 　　例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及点的坐标的关系为  且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。 因为和,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组  的满足初始条件  的解。 另外，在n阶微分方程 （1.12） 中,令就可以把它化成等价的一阶微分方程组  注意，这是一个含n个未知函数的一阶微分方程组。 含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为： (3.1) 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数  使得在上有恒等式  含有n个任意常数的解  称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组  则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 (3.2) 的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n个方程式，如果从其中解得，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 　　为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1).令n维向量函数  并定义  则(3.1)可记成向量形式 (3.3) 初始条件(3.2)可记为 , 其中 (3.2)′ (3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为 (3.4) 这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了. 进一步，对n维向量Y和矩阵,  定义  易于证明以下性质： 　　1.,当且仅当Y = 0(0表示零向量，下同); 　　2. 　　3.对任意常数，有 　　4. 　　5. 　　6.对任意常数，有 　　7. 　　8. 　　称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质  有了n维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念.即：如果对上的任意x，有  则称在上按范数收敛于Y(x).如果上式对上的x为一致的，则称在上按范数一致收敛于。 　　另外，如果对n维向量函数F(x)有  则称F(x)在连续. 　　有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域  上满足： 　　1) 连续； 　　2) 关于Y满足李普希兹条件，即存在N>0,使对于R上任意两点，，有  则存在,使初值问题(3.4)的解在上存在且唯一，其中。 　　定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 (3.5) 同解.为证(3.5)的解在上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成。 　　对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y换成向量Y即可。 　　最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是n+1维空间(x,Y)中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线。 3.2 一阶线性微分方程组的一般概念 　　如果在一阶微分方程组(3.1)中，函数，关于是线性的，即(3.1)可以写成 (3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组。我们总假设(3.6)的系数及在某个区间上连续。 为了方便，可以把(3.6)写成向量形式.为此,记  及  根据3.1节的记号，(3.6)就可以写成向量形式 (3.7) 　如果在I上，,方程组(3.7)变成 (3.8) 我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组。 　　如果(3.8)与(3.7)中A(x)相同，则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似，我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理. 　　定理3.1′ 如果(3.7)中的A(x)及F(x)在区间I =上连续，则对于上任一以及任意给定的，方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在上存在且唯一. 这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间上存在. 本节要点： 　　1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义。 　　2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在。 　　作业。1．完成定理3.1的证明。 　　2．完成定理3.1′的证明。 ?3.3一阶线性齐次方程组的一般理论 ?????1．一阶线性齐次微分方程组解的性质 ????本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手. ????定理3<.2 如果 ?????????? 是方程组(3.8)的m个解，则 ?????????? ??????????????????(3.9) 也是(3.8)的解，其中是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解. ?证明 因为是(3.8)的解，即 ???????????????? 成立. 再由 ??????????????? 这就证明了(3.9)是(3.8)的解. ????定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念. 定义3.1??设 ???????????????????? 是m个定义在区间I上的n维向量函数.如果存在m个不全为零的常数，使得 ?????????????? 在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则称它们在区间I上线性无关. ????显然，两个向量函数的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件.另外，如果在向量组中有一零向量， 则它们在区间I上线性相关. ????例1 向量函数 ?????????????? 在任何区间(a, b)上是线性相关的.事实上取有  ????例2 向量函数 ???????????????????? 在(-∞,+∞)上线性无关.事实上，要使得 ???????????????????? 成立，或写成纯量形式，有 ???????????????????? ?例3 向量函数  在(-∞,+∞)上线性无关.事实上，由于 ??????????????????? 相当于纯量形式  由此可以看出：仅当时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向 组在(-∞,+∞)上线性无关. ????例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价. 下面介绍n个n维向量函数组 ????????????????????????? ??????????????????????(3.10) 在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则. ????我们考察由这些列向量所组成的行列式 ???????????????????? 通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronski)行列式. ????定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零. ????证明 依假设，存在不全为零的常数,使得 ???????????????????? 把上式写成纯量形式，有 ???????????????????? 这是关于的线性齐次代数方程组，且它对任一，都有非零解.根据线性代数知识，它的系数行列式W (x)对任一都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕. ????对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函数 ???????????????????? 的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的. 然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论. ????定理3.4 如果是方程组(3.8)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x)在I上恒不为零. ????证明 (反证法) 如果有使得，考虑线性齐次代数方程组 ????????????????? 由于系数行列式,所以它存在非零解即 ????????????????? 考虑函数 ????????????????? 由定理3.2知函数是(3.8)的解，而且它满足初始条件另一方面，也是方程(3.8)的满足初值条件的解.因此，根据定理3.1′有 即 ???????????????? 因为不全为零，从而在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. ????由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论. ????推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W(x)在区间I上的某一点x0处不等于零，即,则向量组(3.10)在I上线性无关. ????实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题. ????推论3.2 如果方程组(3.8)的n个解的朗斯基行列式W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即,则该解组在I上必线性相关. 实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题. ????推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点不为零. ????条件的充分性由推论3.1立即可以得到． ????必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕． 2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构． 我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解称为它的基本解组. ????例4 易于验证向量函数 ???????????????? 是方程组 ???????????????? 的基本解组. ????定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组. ????证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件 ???????????????????? (3.11) 的n个解.由于它们所构成的朗斯基行列式W?? ???? ?? 因而，由推论3.3知 ???????????????????????????????????????????是基本解组. 满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组.下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了. ????定理3.6 如果是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合 ???????????????? (3.12) 是齐次方程组(3.8)的通解,其中为n个任意常数. ????证明 我们仅需证明如下两点. ????首先，由定理3.2，对任意一组常数 ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解，都可找到常数 ,使得 ???????????????? ????为此，作方程组 ???????????????? 或写成纯量形式 ???????????????? ??????(3.13) 这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解 的朗斯基行列式W(x)在处的值，由定理3.4知，从而方程组(3.13)有唯一解令 ???????????????? 显然，是(3.8)的一个解，且与满足同一个初始条件，由解的唯一性，≡定理得证. ????推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个. 实际上，设是(3.8)的任意n+1个解.现任取其中n个解，如果它们线性相关，这时易证n+1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n+1个解是线性相关的. ??????至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n维线性空间. ?3．刘维尔公式 ????齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. ????定理3.7 如果是齐次方程组(3.8)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式 ???????????????????????????? (3.14) 这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式. ????证明 仅证n = 2情形，n 的情形类似． ???????????????????? ??????????????（3.15） 设 ???????????????????? 是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式 ???????????????????? ?????????? 因为分别是（3.15）的解，所以有 ???????????????????? ??????????????? 分别代入中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以再与第二行相加，具体计算如下 ????????????????? 即 ?????????????????? ????????????????????? 或 ?????????????????? ????在代数学中，称为矩阵的迹，记作，因此刘维尔公式可表为 ?????????????????????? 从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式W(x) 或者恒为零，或者恒不为零． 本讲要点： ????1．一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间． ????2．向量函数组和解组相关性判定 向量函数组 向量解组 线性相关 线性相关 线性无关 线性无关 ????3．齐次线性方程组通解基本定理解空间是n维线性空间． ????4．刘维尔公式解与系数关系． ????作业： ?????????? 练习3.3 ?????????? 1., 2., 3. 练习3.3 ????1．将下列方程式化为一阶方程组 ????（1） （2） ????（3） ????2．求解方程组  ????其中在[a, b]上连续． ????3．设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组 与 ????有相同的基本解组，则? ????????　答案1．（1） （2） ???????（3） ????2． 3．提示：基本解组是可逆的． ?3．4 一阶线性非齐次方程组的一般理论 本节研究一阶线性非齐次方程组 ????????????????????????? 的通解结构与常数变易法. ????3.4.1 通解结构 ????定理3.8 如果是线性非齐次方程组(3.7)的解，而是其对应齐次方程组(3.8)的解，则是非齐次方程组(3.7)的解. ????证明 这只要直接代入验证即可. ????定理3.9 线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解. ????证明 设和是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式 ??????????????? ， ?于是有 ??????????????????? 上式说明是齐次方程组(3.8)的解. ????定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若是非齐次方程组(3.7)的一个特解，是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为 ??????????????????? 这里是任意常数. ?证明 首先由定理3.8，不论是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解. 其次对于方程组(3.7)的任何一个解，由定理3.9知，是对应齐次方程组的解. 于是由基本定理3.6，存在常数使得 ??????????????? 即 ??????????????? 所以(3.16)是(3.7)的通解.定理证毕. ????3.4.2 拉格朗日常数变易法 ????在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组.而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解. 为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下： ??????????????? 其中每一列均为(3.8)的解，且是(3.8)的一个基本解组.因此. ????由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为 ?????????????????????????????? , 其中C为列向量 ?????????????????????????????? 它的各个分量为任意常数. 现在求(3.7)的形如 ????????????????????????? ??????????????????(3.17) 的解，其中 ?????????????????????????  为待定向量函数. 将(3.17)代入(3.7)有 ?????????????????? 其中 ???????????????????? 因为是(3.8)的基本解矩阵，所以有.从而，上式变为 ????????????????????????????????????????????? (3.18) 由于是非奇异矩阵，故存在，于是 ???????????????????????????? 积分得 ???????????????????? 中任一点 代入(3.17)得到 ???????????????????? 显然是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式 ???????????????????? ?????????? (3.19) ????例1 求解方程组 ????解 由3.3节例4知，向量函数组 ???????????????????? 是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如 ????????????????????的特解，此时(3.18)的纯量形式为 ??????????????????????? 解之得 ?????????????????? 从而 ???????????? 最后可得该方程组的通解为 ???????????????????? ?3.5 常系数线性微分方程组的解法 ????由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组 ????????????????????????????????????????????? (3.20) 其中A是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一矩阵A，恒存在非奇异的矩阵T，使矩阵成为约当标准型.为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 ?????????????????????????? 其中将方程组(3.20)化为 ??????????????????????????????????????????(3.22) 我们知道，约当标准型的形式与矩阵A的特征方程 ????????4 的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式. 下面分两种情况讨论. 3.5.1 矩阵A的特征根均是单根的情形. 设特征根为，这时 ??????????????????????????? 方程组(3.20)变为 ???????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n个解 ???????????? 把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 ???????? 这里是矩阵第i 列向量，它恰好是矩阵A关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定.容易看出，构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为.于是我们得到 ????定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则 ???????????????????? 是方程组(3.20)的一个基本解组. ?例1 试求方程组 ????????????????????????? 的通解. 解 它的系数矩阵是 ??????????????????????? 特征方程是 ?????????????????? 即 ????????????????????????? 所以矩阵A的特征根为．先求对应的特征向量 ??????????????????????????????????? a, b, c满足方程 ??????????????????? 即 ???????????????????????????? 可得 ????????????????????????????? 取一组非零解，例如令，就有,,.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是 ????????????????????? 故方程组的通解是 ????????????????????????? ??? 本讲要点： ????1．非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解 ????2．常数变易法适用于： ????先求出齐次通解,再令为非齐次特解化入原方程确定. ????3.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。 ???? ????作业： ??????????练习3.5, 1. ???? 1．求解下列方程组： ????（1） （2） （3） ?答案 ??????1．（1） （2） （3） 　　第16讲　常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 1．常系数线性微分方程组的解法（复特征根） ????从上一讲我们已经知道，求解方程组 ????????????????????????? ???????????????（3.20） 归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形． 因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理3.11，对应解是 ???????????????????? 其中T1，T2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现． ????定理3.12 如果实系数线性齐次方程组 ????????????????????????? 有复值解其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部 ??????????? ????证明 因为是方程组(3.8)的解，所以 ?????????????????? 由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明： ??????????????????,  即U(x), V(x)都是方程组(3.8)的解.证毕. ?定理3.13 如果是区间(a,b)上的n个线性无关的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组 ?????????????????? (3.24) 在区间(a, b)上仍是线性无关的. ????证明 (反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n个不全为零的常数，使得对区间(a, b)上的所有x皆有 ?????? 所以 ?????? 因为线性无关，从而 ?????????? 从上式可知，,因为b1,b2≠0,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕. 由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果λ=a+ib是特征根，则其共轭也是特征根.由定理3.11，方程组(3.20)对应于的复值解形式是 ??????????????????????? ????????????? ? 这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根的解，记作. 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为?? ???? ? ?? 由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组. ????例2 求解方程组 ??????????????????????????????????? ?解 它的系数矩阵为 ????????????????????????? 特征方程是 ??????????????? 即 ????????????????????????? 特征根为 ??????????????????????????? 先求对应的特征向量为 ????????????????????????????? 再求所对应的特征向量.它应满足方程组 ????????????? 即 ???????????????????????????? 用2i乘上述第一个方程两端，得 ?????????????????????????? 显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即 ???????????????????????????? 求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是 ?????4 求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是 故，原方程组的通解为 ??????????????? 3.5.2 矩阵A的特征根有重根的情形 ????由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若是A 的重特征根，则由齐次线性方程组 ????????????????????????????? 所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若＜，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型???? ??????????? ???? 其中未标出符号的部分均为零无素，而 ??????????????????????? 是阶约当块，是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同. ????于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成 ??????????? ???????????????(3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组. 为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的. 设方程组 ??????????????????????????????? ??????????????????????（3.26） 中A是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组(3.26)化为 ??????????????????????????????????????????????????????? (3.27) 我们假定 ???????????????????? 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 ????????????????????????? ?????????????????????(3.28) v?????????????????????????????????????? (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得 ?????????????????????????? 同样对(3.29)可解得 ?????????????????????????? 这里是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现，在(3.29)中不出现．我们依次取 ???????????????????????? 可以得到方程组(3.27)的五个解如下 ??????  从而????? ???????????????????????? (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵.又 ???????????????????????????? , 所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组(3.26)的五个解， , ?????????????? 而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式 ????????????????? 则显然有. 至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解， ????????????????????????????????????????(3.32) 其中每个是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式 ????????????????????????? 其中都是五维常向量.而对于J中的二阶若当块，是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式 ??????????????????????????????? 其中也都是五维常向量. ????最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若是A的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于.这样，由以上分析我们得到 ????定理3.14 设是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为.那么，对于每一个，方程组(3.20)有个形如 ???????? 的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于-1的多项式.取遍所有的就得到(3.20)的基本解组. ????上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论. ?引理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是, , 记n维常数列向量所组成的线性空间为V，则 ????(1) V的子集合 ????????????????????????? 是矩阵A的维不变子空间，并且 ????(2) V有直和分解 ?????????????????????????; ????现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. ????定理3.15 如果是(3.20)的重特征根，则方程组(3.20)有个形如 ???????????????????? ????????(3.33) 的线性无关解，其中向量由矩阵方程 ????????????????????????????(3.34) 所确定.取遍所有的，则得到(3.20)的一个基本解组. 证明 由定理3.14知，若是（3.20）的重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有 ??????????????????????? 消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有 ?????????????? ????????（3.35） 注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材． ????这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出R0，再依次利用矩阵乘法求出.由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n个解.记这n个解构成的解矩阵为Y(x)，显然，Y(0)是由(3.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵Y(0)中的各列构成了n维线性空间V的一组基，因此，于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组. 例4 求解方程组 ???????????????????????????? ????解 系数矩阵为 ???????????????????????????? 特征方程为 ???????????????????????????? 特征根为  对应的解是 ??????????????????????????? 下面求所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如 ?????????????????????????? 并且满足 ?????????????????????????? 由于 ?????????????????? 那么由可解出两个线性无关向量 ?????????????????????????????? 将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是 ???????????????????? 最后得到通解 ??????????????????? 例5 求解方程组 ???????????????????????? ????解 系数矩阵是 ???????????????????????? 特征方程为 ???????????????????????????? 有三重特征根 ????????????????????????????由定理3.15，可设其解形如 ?????????????????????? 满足方程组 ?????????????????????????? 由于 ?????????????? ?????????????????????? 故可分别取 ?????????????????????????????? 再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为 ????????????????????????????? 为 ????????????????????????????? 于是，可得原方程组三个线性无关解 ??????????????????? ?????????????????????????? ???????????????????? 最后方程的通解可写成 ?????????????? ????本讲要点： ????1．复特征根对应实变量复值解，要掌握把复值解实值化． ????2．特征根有重根时，利用待定系数法求解． ????作业：?????????练习3.5 ??2．求解下列方程组： （2） （4） ????3．求解下列方程组： （1） （3） ????????????????????（5） （7） ????????　答案2．(2) ????(4)  ????3．(1) ???????????????????(3)  ????????(5) ? (7)  ? 　第四章　线性微分方程 　　　　　　　　　第17讲　n 阶线性微分方程的一般理论 　　　　　　　　　第18讲　n 阶常系数线性齐次方程的解法 　　　　　 　　　第19讲　n 阶常系数线性非齐次方程的解法 　　　　　　　　　第20讲　二阶常系数线性方程与振动现象 4.1.1 线性微分方程的一般概念 ????n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用．在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子. 例1 弹簧振动. ???????????????????? ???????????????????????????????????图 4-1 设一质量为m的物体B被系于挂在顶板上一弹簧的末端，(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式． ????当物体B不受外力扰动时，重力被作用于物体B上的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体B的静止位置取为坐标轴x的原点0，向下方向取为正向，如图4-1的(a). ????若有一外力f(t)沿垂直方向作用在物体B上，那么物体B将离开静止位置0，如图4-1的(b)，记表物体B在t时刻关于静止位置0的位移，于是分别表示物体B的速度和加速度． ????由牛顿第二定律F = ma, m是物体B的质量，a =是物体B位移的加速度，而F是作用于物体B上的合外力． ????这时，合外力F由如下几部分构成． ?(1)弹簧的恢复力f1，依虎克定律，弹簧恢复力f1与物体B的位移x成正比，即 ??????????????????????????????? 式中比例常数c(>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f1的方向与位移x的方向相反，所以上式右端添一负号． ????(2)空气的阻力f2，当速度不太大时，空气阻力f2可取为与物体B位移的速度成正比，亦即 ???????????????????????????? 式中比例常数(>0)叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力f2的方向与物体B的速度的方向相反． ????(3) 外力 因此，我们得到 ?????????????????????????? ???从而我们得物体B在外力作用下的运动微分方程式 ???????????????????????????????????????? (4.1) 我们将在本章第4节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质．由于方程(4.1)是描述物体B在外力f (t)经常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动． 一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形状： ????????????? ????(4.5) 方程(4.5)的初始条件记为 ?????????????????????? (4.6) ????n 阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理. ????在方程(4.5)中，令,(4.5)就可以化成一阶方程组 ??? (4.7) ???? (4.7)可以写成向量形式 ?????????????????????????????????? ????????????????(4.8) 其中 ????????????? ????????????????????,  方程组(4.8)的初始条件可记为 ??????????????????????????????Y()=Y0 其中 ???????????????????? ????引理4.1 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若是方程(4.5)在区间I上的解，则，，…，是方程组(4.7)在区间I上的解；反之，若，，…，是方程组(4.7)在区间I上的解，则是方程(4.5)在区间I上的解. ????证明 设是方程(4.5)在区间I上的解.令 ????????，，…，?????? (4.9) 则有 ????? (4.10) 在区间I上恒成立. 这表明，，，…，是方程组(4.7)在区间I上的解. ???? ???? 反之，设，，…，是方程组(4.7)在区间I上的解.于是(4.10)式在区间I上恒成立.由(4.10)的前n-1个等式.可以看出，函数，，…，满足关系式(4.9)，将它们代入到(4.10)的最后一个等式，就有 ? 在区间I上恒成立，这就表明是方程(4.5)在区间I上的解.证毕. ????由引理4.1和第三章的定理3.1′,我们立即可以得到下面的定理． ????定理4.1 如果方程(4.5)的系数(k=1,2,…，n)及其右端函数f(x)在区间I上有定义且连续，则对于I上的任一及任意给定的，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在I上存在且唯一. ????在下面的讨论中，总假设(4.5)的系数(k=1,2,…，n)及其右端函数f(x)在区间I上连续，从而，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间I上总存在且唯一. ????如果在(4.5)中，在区间I上恒等于零,(4.5)变成 ?????????????????????? (4.11) 方程(4.11)称为n 阶线性齐次微分方程 (或简称n阶齐次方程)，与此相应，(4.5)称为n 阶线性非齐次微分方程(或简称n阶非齐次方程).有时，为了叙述上的方便，还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程. 4.1.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论 ????由引理4.1，齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组 ?????????????????????????? (4.12) 这里和Y与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.11)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.11)的解的结构，我们需要下面的定义和引理. ????定义4.1 函数组，，…，称为在区间I上线性相关，如果存在一组不全为零的常数,,…,，使得 ?????????????? ??++…+= 0 ????????????????(4.13) 在区间I上恒成立. 反之，如果只当==…==0时，才能使(4.13)在I上成立，则称函数组，，…，在I上线性无关. ????引理4.2 一组n-1阶可微的数值函数，，…，在I上线性相关的充要条件是向量函数组 ??????????????????, ,…, ???????????(4.14) 在I上线性相关. ????证明 若，，…，在I上线性相关，则存在一组不全为零的常数,,…,，使得 ?????????????????? ++…+= 0 ?????????????(4.15)０ 在I上恒成立.将(4.15)0式对x逐次微分n-1次，得?????????????????? ??????????????????++…+= 0 ??????????????(4.15)１ ???????????????????… … … … … … … … … … … ???++…+= 0 ??????????(4.15)n-1 联合(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1，就得到向量函数组(4.14)是线性相关的. 反之，若向量函数组(4.14)在I上线性相关， 则存在不全为零的常数,,…,，使得(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1各式在I上恒成立，由(4.15)０表明，，…，在I上线性相关. 证毕. ????由引理4.2，为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则，自然需要引入下面的定义. ????定义4.2 设函数组，，…，中每一个函数均有n-1阶导数，我们称行列式 ???????????? 为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式. ????有了以上的准备工作，我们现在可以清楚地看到，齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由§3.3中关于齐次方程组的有关定理，可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理. ????定理4.2 齐次方程(4.11)的n个解 ??????????????????????，，…， 在其定义区间I上线性无关(相关)的充要条件是在I上存在点x0，使得它们的朗斯基行列式W(x０)≠0 (W(x０)＝0). ????定理4.3 如果，，…，是方程(4.11)的n个线性无关解，则 ????????????????????y = ++…+ ?????????????(4.16) 是方程(4.11)的通解，其中为n个任意常数. ????通常称定理4.3为方程(4.11)的基本定理. ????定义4.3 方程(4.11)的定义在区间I上的n个线性无关解称为(4.11)的基本解组. ??由定义4.3，方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合. ????例3 易于验证函数y１=cosx, y２=sinx是方程 ???????????????????????????y″＋y = 0 的解.并且由它们构成的朗斯基行列式 ????????????????????? 在（－∞，＋∞）上恒成立，因此，这两个函数是已知方程的两个线性无关解，即是一基本解组，故该方程的通解可写为 ???????????????????????y(x)=C１cosx+C２sinx 其中, C１，C２是任意常数. 不难看出，对于任意的非零常数k１和k２函数组 ??????????????????????y１＝k１cosx， y２=k２sinx 都是已知方程的基本解组. ????基本定理表明，齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个n维线性空间.进一步，我们还有 定理4.4 n 阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过n 个. ????定理4.5 n阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间I上的基本解组. ????最后，齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系. ????定理4.6 设，，…，是方程(4.11)的任意n个解，W(x)是它们朗斯基行列式，则对区间I上的任一x０有 ??????????????????????????W(x)=W(x０) ????????????????（4.11） 上述关系式称为刘维尔(Liouville)公式. ????由公式(4.17)可以再次看出齐次方程(4.11)的朗斯基行列式的两个重要性质： ????１．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点为零，则在整个区间I上恒等于零. ????２．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点不等于零，则在整个区间I上恒不为零 下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程 ??????????????????????????y″+p(x)y′+q(x)y=0 如果已知它的一个非零特解y１，依刘维尔公式(4.17),可用积分的方法求出与y1线性无关的另一特解，从而可求出它的通解. 设y是已知二阶齐次方程一个解，根据公式(4.17)有 ?????????????????????????? 或 ?????????????????????????? 为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得  由此可得 ????????????????????????? 易见是已知方程的另一个解，即C*= 0, C =1所对应的解.此外，由 ????????????????????????? 所以，所求得的解y与已知解y１是线性无关解.从而，可得已知方程的通解 ?????????????????????? ??????????????（4.18） 其中C*和C是任意常数. 例? 例4 求方程 ???????????????????????? 的通解. ???解 容易看出，已知方程有特解y１＝x.此处, 根据公式(4.18)，立刻可以求得通解 ?????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????  ?4.1.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论 ????由于n 阶非齐次方程(4.5)等价于一阶非齐次方程组(4.7)，于是由第三章的定理3.10，我们有下面的 ????定理4.7 n 阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和. ????由此可见，求(4.5)的通解问题，就归结为求(4.5)的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了. ????和一阶非齐次线性微分方程组一样，对于非齐次方程(4.5)，也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解，即常数变易法.具体作法如下. ????设是(4.5)的对应齐次方程的n个线性无关解，则函数 ??????????????????????????y = C１y１+C２y２+…+Cn yn 是(4.5)的对应齐次方程的通解，其中C１，C２，…，Cn是任意常数. ????现在设一组函数，使 ?????????????????????? ??????????(4.19) 成为非齐次方程(4.5)的解 ?由非齐次方程(4.5)与一阶非齐次方程组(4.7)的等价关系和第三章的(3.18)式，可知，，满足下面的非齐次方程组 ??????????= 它是关于变量的线性代数方程组，由于它的系数行列式恰是齐次方程的n个线性无关解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不为零，因此，上述方程组关于有唯一解.解出后再积分，并代入到(4.19)中，便得到(4.5)的一个特解. ????例5 求非齐次方程 ???????????????????????????? 的通解. 解 由例3知，是对应齐次方程的线性无关解，故它的通解为 ?????????????????????????  现在求已知方程形如 ??????????????????????? 的一个特解.由关系式(4.20), 满足方程组 ??????????????????????= 或写成纯量方程组 ????????????????????? 解上述方程组，得 ???????????????????????,  积分得 ???????????????????????， 故已知方程的通解为 ????????????????????y=C1cosx+C2sinx+cosxln｜cosx｜+ xsinx ????本讲要点： ????1．n 阶线性方程（4.5）与一阶线性方程组（4.7）的等价关系． ????2．n 阶线性方程（4.5）解的存在区间的特殊性． ????3．通过（4.5）与（4.7）的等价关系得到n阶线性方程（4.5）解的线性似性质，通解结构定理以及解与系数的关系一刘维尔公式． ????4．非齐次通解结构定理及常数变易法． ????作业： ?????????练习4.1 ?????????2，3，4，5，6 ?练习4.1 ????2．设在方程中，在区间上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数． ????3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数． ????4．已知方程的一个解，试求其通解． ????5．已知方程的一个解，求其通解． ????6．在方程中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数． ????????　答案??2．提示：利用刘维尔公式证明． 3．提示：利用刘维尔公式证明． ????4． 5． 6．常数 ? 4.2 n 阶常系数线性齐次方程解法 ????本节只讨论常系数线性齐次方程 ??????????????????????y(n)+a１y(n-1)+…＋an-1y′+any = 0 ?????????（4.21） 的求解问题，这里a1，a2，…，an为实常数.由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决.其中，一个自然的作法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解. ????首先，研究一个简单的一阶方程 ????????????????????????????y′+ ay = 0 ??????????????????????????（4.22） 其中a是常数，不难求出它有特解 ????????????????????????????y = e-ax. ???比较(4.21)与(4.22)，我们可以猜想方程(4.21)也有形如 ??????????????????????????????y = eλx ???????????????????????????（4.23） 的解，其中λ是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到 ??????????????(λn+a１λn-1+…+an－１λ+ an)eλx= 0 ??????????????????（4.24） 因为eλx≠0，所以有 ??????????????P(λ)=λn+a1λn-1+…+an－１λ+an = 0 ???????????????????（4.25） 我们称(4.25)为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根. ????这样，y = eλx是方程(4.21)的解，当且仅当λ是特征方程(4.25)的根. ????下面分两种情形讨论. ????4.2.1 特征根都是单根. ????定理4.8 若特征方程(4.25)有n个互异根λ1，λ2，…，λn，则 ?????????????? ??????????????（4.26） 是方程(4.21)的一个基本解组. ?证明 显然， (i=1,2,…，n)分别是(4.21)的解.它们的朗斯基行列式 ???????????????? ????????????????????? ????????????????????? 从而(4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.上述行列式为著名的范德蒙(Vandermond)行列式． ?? 例1 求方程 ??????????????????????????????y″－5y′= 0 的通解. ????解 特征方程为 ??????????????????????????????λ2－5λ＝0 特征根为λ1＝0，λ2＝5，故所求通解为 ?????????????????????????????y =C1+C2e5x 其中C1，C2为任意常数. ????例2 求方程 ??????????????????????????????y″－5y′+ 6y＝0 的通解及满足初始条件：当x = 0时，y = 1, y′＝2 的特解. ????解 特征方程为 ??????????????????????????????λ2－5λ+6＝0 特征根为λ1＝2，λ2＝3，故所求通解为 ?????????????????????????????y=C1e2x + C２e3x 其中C1，C2为任意常数. ????将初始条件代入方程组 ????????????????????????  得 ????????????????????????? 由此解得C2＝0，C1＝1. 因而所求特解为 ??????????????????????????????y = e2x ????特征方程(4.25)可能有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现.即此时在相异特征根λ1，λ2，…，λn中有复数，比如λk = a + ib，(a,b为实数)，则λk+1= a-ib也是(4.25)的根.由定理4.8，这两个特征根所对应的解是实变量复值函数 ????????????????????yk= e(a+ib)x= eaxcosbx+ ieaxsinbx ????????????????????yk＋1=e(a-ib)x= eaxcosbx－ieaxsinbx 我们可以按照3.5节中对常数线性方程组的同样处理方法，把这两个复值解实值化，即取其实部eaxcosbx和虚部eaxsinbx作为这两个根所对应的解，并且它们与其余的特征根所对应的解仍然是线性无关的. ????例3 求方程 ????????????????????????? 的通解. ????解 特征方程为 ????????????????????????λ3－3λ2＋9λ＋13＝0 或 ????????????????????????(λ+1)(λ2－4λ＋13)＝0 由此得 ??????????????λ1＝－1，λ2＝2 + 3i， λ3＝2－3i 因此，基本解组为 ????????????????????????e-x，e2xcos3x，e2xsin3x 通解为 ??????????????????????y = C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x) ????例4 求方程 ???????????????????????????? 的通解. ????解 特征方程为 ???????????????????????????λ3－λ2＋4λ－4＝0 由于 ????????????????????λ3－λ2＋4λ－4＝λ2(λ－1) + 4(λ－1) ?????????????????????????????????= (λ－1)(λ２＋4) 故特征根为 ?????????????????????????????λ１＝1，　λ２＝2i，　λ３＝－2i 基本解组为 ??????????????????????????????ex, cos2x，sin2x 故所求通解为 ?????????????????????????y = C1ex+C2cos2x+C3sin2x 通解为 ??????????????????????y = C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x) ???4.2.2 特征根有重根 ????设是(4.25)的重根(实的或复的)，由定理4.8知是(4.21)的一个解，如何求出其余的k-1个解呢?先看一下最简单的二阶常系数方程 ????????????????????????????y″＋py′+ qy＝0 并设p2＝4q. ????特征方程为 ????????????????????????????λ2＋pλ+ q = 0 由于p2＝4q，易见是二重特征根，它对应的解为 ?????????????????????????????? 现求已知方程和y1线性无关的另一特解.由公式(4.18)，这一特解可取为 ???????????????????? 这样，二重特征根所对应的两个线性无关解是 ???????????????????????????? 进一步，可以证明，若λ1是(4.25)的k重根，则(4.21)有形如 ???????????????????????? 的k个特解.为此，只需证明：对m = 0,1，…，k－1，总有 ???????????????????????????? 这里L是由方程(4.21)左端所定义的线性微分算子，即 ??????????????????L［y］= y(n)+a1y(n-1) + …＋an-1y′+ any ??????(4.27) 首先，我们知道，若λ1是(4.25)的k重根，则有 ??????????????????? (4.28) 其次，易见 ???????????????????????? 又由于 ??(4.29) 于是由(4.28)立刻得到函数 ?????????????????????????? 都是(4.21)的解. 一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根λ1，λ2，…，λp，它们的重数分别为m1，m2，…，mp，mi≥1，且m1＋m2＋…＋mp＝n，则与它们对应的(4.21)的特解是 ???????????????????????????????????????? (4.30) 且(4.30)构成(4.21)在区间(－∞，＋∞)上的基本解组. ????这个定理的证明请见教材． ????在(4.30)中可能出现复解，比如λ1＝a+ib是(4.21)的m1重特征根，则其共轭a－ib也是(4.21)的m１重特征根.因此，此时(4.30)中含有如下的2m1个解 ?????????????????????? 与单特征根处理复值解的同样作法，我们可在(4.30)中用下面的2m1个实值解替换这2m1个复值解. ???????????????????? 对于其它复根也同样处理，最后就得到方程(4.21)的n个线性无关的实解. ????例5 求方程 ??????????????????????????????y″＋4y′+ 4y ＝0 的通解. ????解 特征方程为 ??????????????????????????????λ2＋ 4λ＋4＝0 λ1＝－2是二重特征根，故所求通解是 y = e-2x(C1＋C2x) ????例6 求方程 ????????????????????? 的通解. ?解　特征方程是 ????????????????????????λ4－4λ3＋5λ2－4λ＋4＝0 由于 ???????????????????λ4－4λ3＋5λ2－4λ＋4＝(λ－2)2(λ2＋1) 故特征根是 ???????????????????????λ1,2＝2， λ3＝i， λ4＝－i 它们对应的实解为 ???????????????????????? 所求通解为  ????例7? 求方程 ?????????????????????????? 的通解. 解 特征方程是 ???????????????????????????λ3－3λ2＋3λ－1＝0 由于 ????????????????????????λ3－3λ2＋3λ－1 =(λ－1)3 故特征根为λ1, 2, 3＝1所对应的解为 ??????????????????????????????ex, xex, x2ex 故所求通解为 ????????????????????????y = ex（C1＋C2x＋C3x2） ????本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题解，而且还能求出边值问题解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题．常微分方程的边值问题与求解某些偏分微方程密切相关，例如弦振动方程的求解问题就归结为下面的二阶常系数线性方程边值问题是否存在非零解． ????例8 试讨论λ为何值时，方程 ??????????????????????????????y″+λy = 0 存在满足y(0) = y(1) = 0的非零解． ????解 当λ=0时，方程的通解是 ??????????????????????????????y = C1+ C2x 要使y(0) = y(1) = 0，必须C1 = C2 = 0，于是y(x)≡0. ????当λ<0时，令方程的通解是 ?????????????????????????????? 要使y(0)=0，必须C1+C2=0，即C2=－C1，因此，要使y(1)=0，即 ?????????????????????????????? 将C2=－C1代入上式，有 ?????????????????????????????? 必须有C１=0，从而C２=0，于是y(x)≡0. ????当λ>0时，方程的通解是 ???????????????????????????? 这要使y(0)=0，必须有C1= 0，于是 ?????????????????????????????? 要使y(1)=0，只要即可．要使, 当且仅当, 从而时方程有非零解yn(x)=C2sin nπx　 (C2≠0,　n = 0,±1,±2,…). ????本节要点： ????本节主要介绍n阶常系数线性齐次方程（4.21）的解法，所采用的是待定指数函数解法． ????这一方法的特点是把求解方程（4.21）化为求对应特征方程（4.25）的特征根问题．求解时关键是要熟练掌握特征根为单根、重根时对应解的形式． ????作业：练习4.2 1．试求下列各方程的通解 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 2．试求下述各方程满足给定的初始条件的解： （1），，； （2），，； （3），，． 答案 ?答案 ????1．（1） （2） （3） ???????（4） （5） ???????（6） （7） ????2．（1） （2） （3） ? 4.3 n 阶常系数线性非齐次方程解法 ????本节研究n阶常系数线性非齐次方程 ?????????????????? ?????????(4.33) 的解法.我们已知道，(4.33)的通解等于它的对应齐次方程通解和它本身一个特解之和.我们在上一节已经掌握了齐次方程通解的求法，现在问题归结到如何求(4.33)的一个特解，其方法主要有两种，一种是常数变易法，这在§4.1己介绍过，它是求非齐次方程特解的一般方法，但计算比较麻烦.下面介绍第二种方法，即待定系数法，其计算较为简便，但是主要适用于非齐次项的某些情形.这里，我们考虑如下两种类型的非齐次项 ?????????????????? 其中都是已知多项式，是常数．我们称前者为第一类型非齐次项，后者为第二类型齐次项． ????4.3.1 第一类型非齐次项特解的待定系数解法 现在，考虑时，非齐次方程(4.33)的非齐次特解的求法，先从最简单的二阶方程 ???????????????????????????? ????????????????????（4.34） 开始. ????因为经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如 ??????????????????????????????y = Aeαx ????????????????????????????（4.35） 的特解，其中A为待定常数. 将(4.35)代入(4.34)得到 ???????????????????????????? 则 ?????????????????????????????????????????????????? (4.36) ????这样，当不是特征方程 ??????????????????????????????λ2＋pλ+q = 0 ????????????????????????（4.37） 的根时，则用(4.36)所确定的A便得到(4.34)的特解. 当是(4.37)的单根时，即，这时(4.36)无法确定A.此时，可设特解为 ???????????????????????????????y=Axeαx ????????????????????????(4.38) 并将它作为形式解代入(4.34)式，得 ????????????????????Ax＋A(2＋p)＝ 因是单特征根，故可解出 ?????????????????????????????? ????????????????????(4.39) 这时(4.34)便有形如(4.38)的特解，其中A由(4.39)确定. ????如果是(4.37)的重根，则，这时(4.38)的形式已不可用.此时，可设特解为 ???????????????????????????????y = Ax2 将它作为形式解，代入(4.34)得到 ?????????????????? 由于是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到 ??????????????????????????? ????综上所述，可以得到如下结论： ????如果不是(4.37)的根，则(4.34)有形如A的特解；如果是(4.37)的单根，则(4.34)有形如Ax的特解；如果是(4.37)的重根，则(4.34)有形如Ax2的特解. ????例1 求方程 ????????????????????????????y″－3y′＝e5x 的通解. ????解 先求齐次通解，特征方程为 ?????????????????????????????λ2－3λ＝0 ????特征根为 ???????????????????????????λ1＝0， λ2＝3 故齐次方程的通解为 ???????????????????????????y = C１＋C２e3x ??由于不是特征根，故已知方程有形如 ??????????????????????????????y１＝Ae5x 的解.将它代入原方程，得到 ?????????????????????????????25Ae5x－15Ae5x = e5x 于是，已知方程有特解，从而得通解 ???????????????????????????? ????例2　　求方程 ?????????????????????????????? 的通解. ????解　对应齐次方程的特征方程为 ??????????????????????????????λ２－1＝0 特征根是λ＝±１，对应齐次通解为 ????????????????????????????y=C１ex+ C２e-x ????由于是特征方程的根，故已知方程有形如 ??????????????????????????????y１= Axex 的特解. 将它代入原方程，得 ?????????????????????????? 从而，故, 由此得通解 ???????????????????????? ????上述关于二阶方程的结果，可以推广到n阶常系数线性非齐次方程(4.33)． ????设Pm(x)是m次实或复系数的多项式，即 ???????????? ????(4.40) 则有 ????(1)当不是特征根时，(4.33)有形如 ??????????????????????????????y1(x)=Qm(x) 的特解，其中 ???????????????????????Ｑm(x)=q0xm+q1xm-1+…＋qm-1x+qm ????(2)当是k(≥1)重特征根时，(4.33)有形如 ????????????????????????????y1(x)=xkQm(x) 的特解，其中Qm(x)也是上述的m次多项式. ????证明见教材． ????例3 求方程 ???????????????????????y″－5y′＋6y = 6x2－10x＋2 的通解. ????解 先求对应齐次方程 ??????????????????????????y″－5y′＋6y = 0 的通解. ?特征方程是 ?????????????????????????????λ2－5λ＋6＝0 由于λ2－5λ＋6＝(λ－2)（λ－3），故特征根λ1＝2，λ2＝3，从而，对应齐次方程通解为 ?????????????????????????????y = C1e2x+C2e3x ????因为不是特征根，因而已知方程有形如 ????????????????????????????y1 =Ａx2+Bx+ C 的特解.为确定出系数A，B，C，将它代入原方程中.由于 ?????????????????????????? 故 ????????????????2A－5(2Ax+B) + 6(Ax２+ Bx + C) = 6x２－10x+2 或 ????????????????????6Ax2+(6B-10A)x+2A－5B+6C = 6x2－10x + 2 比较上式等号两端x的同次幂系数，可得 ??????????????????????????? 解上述方程组，得 ?????????????????????????????A=1, B = 0, C = 0 故已知方程特解为 ????????????????????????????????y１＝x２ 已知方程的通解为 ??????????????????????????y = x２＋C１e2x+ C２e3x ????例4　　求方程 ???????????????????????????y″－5y′＝－5x２＋2x 的通解. ????解　对应齐次方程的特征方程为 ??????????????????????????λ２－5λ＝0，　λ(λ－5)＝0 特征根为λ１＝0，λ２＝5，齐次方程的通解为 ????????????????????????????y = C１＋C２e5x 由于是单特征根，故已知非齐次方程有形如 ???????????????????????????y１=x(Ax２＋Bx + C) 的特解. ????将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数，得 ?????????????????????????? 故，最后可得所求通解 ?????????????????????????? ????例5　求方程 ???????????????????????????y″－4y′+4y＝2e2x 的通解. ??解　由于 ??????????????????????????λ2－4λ＋4＝0，λ1,2＝2 故齐次方程通解为 ????????????????????????????y = e2x(C1＋Ｃ2x) ????由于是二重特征根，故已知非齐次方程有形如 ??????????????????????????????y1＝Ａx2e2x 的特解．将它代入已知方程，比较x的同次幂系数，得 ????????????????????????????????A＝1 所求通解为 ??????????????????????????y＝x2e2x＋e2x(C1＋Ｃ2x) ?4.3.2 第二类型非齐次项特解的待定系数解法 ????考虑 ?????????????????? 时，非齐次方程(4.33)的特解的求法． ????设上式中的与是x的次数不高于m的多项式，但二者至少有一个的次数为m. ????根据欧拉公式，有 ?????????????????? 这样一来f(x)可改写成 ?????????? ????(4.4.1) 其中，,是m次多项式.因此，(4.41)式相当于两个(4.40)形状的函数相加.再由非齐次方程的一个性质——迭加原理，情形(4.41)可化为情形(4.40).下面就来介绍迭加原理. ????迭加原理 设有非齐次方程 ??????????????????????= f１(x) + f2（x）?????????????????? （4.42） 且y1(x), y2(x)分别是方程 ????????????????????= f１(x) , = f2(x) 的解，则函数y1(x) + y2(x)是方程(4.42)的解. ????证明 由于 L[y１(x)] = f１(x)， L[y２(x)] = f2(x) 故有 ???????????????? 证毕. ????根据迭加原理，就可以把情形(4.41)化为(4.40)了.再根据对于(4.40)讨论的结果，我们有如下的结论： ??(1) 如果不是特征根，则(4.33)有形如 ???????????????? ????????????????(4.43) 的特解，其中与是m次多项式； ????(2) 如果是k重特征根，则(4.33)有形如 ???????????????? ????????????(4.44) 的特解，其中与是m次多项式. ????为了求得对于(4.41)的情形方程(4.33)的实特解，可以由的定义，将(4.43)与(4.44)化成三角函数的形式.于是，对应于上述两种情形，有： ????(3) 如果不是特征根，则特解具有形状 ???????????????? 其中，是系数待定的m次多项式. ????(4)如果是k重特征根，则特解应具形状 ???????????????? 其中，是系数待定的m次多项式. ????，的系数的求法和上面类似，即把y1代入原方程，再比较x的同次幂系数即可求得. ????值得注意的是，即使在，中有一个恒为零，这时方程(4.33)的特解仍具有形状(4.43)，(4.44).即不能当≡0时在(4.43)或(4.44)中就令≡0，而≡0时，就令 ????例6 求方程 ????????????????????????y″＋y′－2y = ex(cosx－7sinx) 的通解. ????解　先求解对应的齐次方程： ????????????????????????????y″＋y′－2y = 0 我们有 ????????????????????????λ2＋λ－2＝0，λ１＝1，λ２＝－2 ?????????????????????????y =C１ex＋C２e-2x 因为数=1±i不是特征根，故原方程具有形如 ??????????????????????y1＝ex(Acosx+Bsinx) 的特解. 将上式代入原方程，由于 ??????????????????????y1＝ex(Acosx+Bsinx) ??????????????????y1′＝ex [(A＋B)cosx+(B－A)sinx] ??????????????????????y1″＝ex [2Bcosx－2Asinx] 故 ??????????? 或 ???????????????? 比较上述等式两端的cosx ,sinx的系数，可得 ???????????????????????－A+3B = 1, －3A－B = －7 因此，A = 2，B = 1. 故 ????????????????????????y１＝ex（2cosx＋sinx） 所求通解为 ????????????????y = ex(2cosx+sinx) + C１ex + C２e-2x ????例7 求方程 ??????????????????????????y″+ y′= 2sinx 的通解. ????解 齐次方程是y″+ y′= 0，我们有 ????????????????????????λ2＋1＝0， λ1，2＝±i ????????????????????????y = C1cosx + C2sinx ????由于=±i是特征方程的单根，故所求特解应具形式 ????????????????????????y1 = x(Acosx + Bsinx) 现将上式代入原方程，确定系数A，B. 由于 ?????????????? ?????????????? ????????????????? ?????????????? ????????????????? ??????????? ????????????????? 可求得 A＝－1，B＝0 ??????????????????????????y1＝－xcosx 因而，所求通解为 ????????????????????y =－xcosx + C1cosx + C2sinx ????例8 求方程 ????????????????????y″－6y′＋5y ＝－3ex＋5x2 的通解. ?解 对应的齐次方程是y″－6 y′＋5y＝0. 我们有 ????????????????????????λ2－6λ＋5＝0，λ1＝1，λ2＝5 故它的通解是y=C1ex＋C2e5x. ????因为原方程右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下述二方程 ????????????????????????y″－6y′＋5y ＝－3ex ????????????????????????y″－6y′＋5y ＝5x2 的特解，这二特解之和即为原方程的一个特解. ????对于其中第一个方程，有 ?????????????????????? 对于第二个方程，有 ???????????????? 因而， ???????????????????? 为原方程的一个特解，其通解为 ???????????????? ????本节要点： ????本节主要内容是介绍如何求解n阶常系数线性非齐次方程的解法． ????非齐次方程解法主要有两种，即 ????· 常数变易法 ????· 待定系数法 前者应用泛围较广，而后者只适用某些特殊的非齐次项形式．这里我们把非齐次项分成两个类型加以讨论，但是其核心思想是一致的，即多项式和指数函数的导数还是同类函数，这是待定系数法可行性的基础． ????作业：??练习4.3 1，3，5，7，9 ?练习4.3 ????求下列各方程的通解： ????1． 3． ????5． 7． ????9． ??答案: ????1． 3． ????5． ????7． ????9． 4.4 二阶常系数线性方程与振动现象 ????本节主要是具体求解在4.1节提出的，描述弹簧振动的方程 ???????????????????????? ??????????????????(4.1) 并且研究其解的物理意义. ????如果f(t)≡0，即假定没有外力f(t)，这时得到方程 ?????????????????????????????????????????????? (4.1)' 而称弹簧的振动为阻尼自由振动. ????如果f(t)≡0且μ=0，即假定没有外力且忽略阻力，这时得到方程 ???????????????????????????????????????????????????? (4.1)'' 而称弹簧的振动为无阻尼自由振动或简谐运动. 下面我们分别求解方程(4.1)，(4.1) ????4.4.1 简谐振动——无阻尼自由振动. ????令, 方程(4.1) ???????????????????????????? 这是一个二阶常系数齐次方程.特征方程为λ2+k2=0,特征根是λ1,2=±ik,它的通解为 ????????????????????????x = C1coskt + C2sinkt 其中C1, C2是任意常数. ????为了阐明上式的物理意义，像三角学中常做的那样，我们把上式改写成如下形式： ????????????? 或记为 ????????????????????????????x = Asin(kt+)???????????????????? (4.46) 其中 ?????????????? 由此可见，物体在平衡位置附近作简谐振动(图4-3) ?????????????????????? 图 4-3 量A称为振幅，幅角kt+称为振动的位相(或简称位相)，位相在t = 0时所取之值，即，称为初位相，是固有振动频率，为周期.易见，k仅与弹簧的刚度和物体的质量有关.因为，则周期还可以表为.将(4.50)对t微分，可以得物体运动的速度 ????????????????????????? 为了确定振幅及初位相，必须给出初始条件.例如，假设在初始时刻t = 0时，物体的位置是x = x0，速度是v = v0.这时有 ?????????????????????????x0 = Asin, v0 = Akcos 从而 ?????????????????????? 4.4.2 阻尼自由振动 ????如果令，则方程(4.1) ???????????????????????? ????????????????????(4.47) 的形式.它是一个二阶常系数线性齐次方程.它的特征方程是λ2＋2nλ+ k2＝0，特征根是 ???????????????????????? ?????????????????????(4.48) 现在分三种情况讨论. ????(1) n2－k2＜0，这时对应于介质阻尼相对不太大的情形.如果令，则(4.48)为 ????????????????????????λ1, 2＝－n±ik1 的形式. 这时，方程(4.47)的通解为 ????????????????????????x = e-nt (C1cosk1t＋C2sink1t) 用类似(4.46)的方法可将它化为 ????????????????????????x = Ae-ntsin(k1t＋) ???????????????????（4.49） ?如果初始条件为：当t = 0时x = x0, v ＝ v0.为了确定出相应的A及，先来计算 ???? 将t=0代入x及v的表达式中，可得 ????x0＝Asin， v0＝Ak1cos－Ansin 把第二个方程的两端除以第一个方程相应的两端，得 ???????????????? 从而 ，于是??????? ????????? ?因为 ?????????????????? 则 ??????????????????? (4.49)式表明，这时所发生的是阻尼振动，实际上，振幅Ae-nt是时间t的递减函数，且当t →+∞时，Ae-nt →0(图4-4). ?????????????????? ?????????????????????图 4-4 振动的“周期”由式子 ???????????? ??振动频率较简谐振动的频率要小()，它也与物体的初始状态无关. ????(2) n2－k2 = 0,这时通解为 ??????????????????????????x = e-nt(C1+C2t)　 ?????　　　　 (4.50) 此时运动不具振动性质，且当t →+∞时，x →0(图4-5). ?????????????????? ????????????????????????图 4-5 ????(3) n2－k2 > 0，这时对应于介质阻尼相对较大的情形. 令n2－k2 =h2，特征根为 ????????????????????????λ1, 2=－n±h =－(nh). 因为h<n，故这时两个特征根均为负，通解为 ???????????????????? 易见，此时运动不是周期的，因而不具振动性质，且当t→+∞时，x→0. ?4.4.3 阻尼强迫振动 ????设作用于物体的外力为 ????????????????????????????f(t) = Qsinpt 其中p, Q均为常量. 这时，方程(4.1)具形式 ???????????????????????? ????????????(4.51) 其中 ????这是一个二阶常系数线性非齐次方程.它所对应的齐次方程是(4.47). 我们假定介质阻尼不太大，即n2－k2<0，这时齐次方程有形如 ????????????????????????????x = Ae-ntsin(k1t+a) 的通解，其中.这个解所确定的是一个衰减的自由振动. 根据(4.51)右端的形状，它有形如 ???? ???? ???? ???? ????x1 = Mcospt + Nsinpt 的特解，其中M，N均为常数. ????为求出M，N，将x1代入(4.51)比较系数即可. 为此先来计算 ???? ???? ???? ???? ???? 将上述各式代入(4.51)，比较系数可得方程组 ???? ???? ???? ???? ???? 因为 ????????????? 故有 ????????????? 因而，所求特解为 ????????????? 上述表达式可以写成如下形式 ???????????? ???????????????? 若令 ???????????? ????????????????????????????????????????(4.52) 则 ????????????????????x1=Bsin(pt-δ)?????????????????????????(4.53) 表达式 ???????????????????? 称为相位差.(4.51)的通解为 ????????????x = Ae-ntsin(k1t+) + Bsin(pt-)???????????? (4.54) 在前面已经看到，上式的第一项当t→＋∞时，很快地消失，因而(4.54)的主要项应是它的第二项： ???????????????? ????????(4.54) 下面主要来研究这一项. ??首先，不难发现，(4.54)的振幅与t无关并且和周期性外力Ｑsinpt的振幅成比例(因为). 其次，由于 ???????????????????????? 易见，如果k2＞2n2，在时，B(p)取极大值(图4-6). ???????????????????????? ????????????????????????????????图 4-6 这时振幅的最大值为 ???????????????????????? ????????????(4.55) 在k2＜2n2时，B(p)不取极值. ????我们称为共振频率.这时产生的现象称为共振现象.(4.54)所确定的B称为共振振幅. ????如果n很小，则. 且(4.55)表明，当n →0时，B →＋∞．即当阻尼很小时，若系统的固有频率k接近于外力的频率，共振振幅可以变得很大. ????作业：????练习4.4 ，3，5 ?练习4.4 ????1．一拉紧弹簧所受到的拉力与它的长度成正比，当弹簧受到9.8N（1kg力）拉力时，其长度增长1cm。今有重2kg的物体挂在弹簧下端，保持平衡。假若将它稍向下拉，然后再放开，试求由此所产生振动的周期。 ????3．一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。 5．有一LRC电器，其中LC并联。再与R及电器E = 串联，试求：（1）通过电阻R的电流强度；（2）在解频率等于何值时，电流强度最大或最小？ ?答案: ????1．??????????? ????3． ????5．（1），（2）当时， 　第五章　定性和稳定性理论简介 　　　　　　　　　第21讲　稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 　　　　　　　　　第22讲　平面自治系统的基本概念 　　　　　　　　　　　　　平面定性理论简介(1) 　　　　　 　　　第23讲　平面定性理论简介(2) ? ???????????????????? 第5章 定性和稳定性理论简介 ????5．1 稳定性概念 ????5.1.1 稳定性定义 ????考虑微分方程 ???????????????????????? ????????????（5.1） 其中函数对和t(-∞,+∞)连续，对满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值()存在唯一解，而其它解记作.现在的问题是：当很小时，差的变化是否也很小?本章向量的范数取.? ?如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. ????如果对于任意给定的和0都存在，使得只要满足 ???????????????????????? 就有 ???????????????????? 对一切tt０成立，则称(5.1)的解是稳定的.否则是不稳定的. 假设是稳定的，而且存在，使得只要满足  就有 ?????????????????? 则称(5.1)的解是渐近稳定的. ????为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记作如下变量代换. 令???????????????? (5.2) 则 ???????????? ?于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成 ???????????????????????? ????????????(5.3) 其中.这样关于(5.1)的解的稳定性问题就化为(5.3)的零解y=0的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(5.1)的零解的稳定性，即假设，并有如下定义: ????定义5.1 若对任意>0和t00，存在，使当时有 ????????????????????????????????????(5.4) 对所有的tt0成立，则称(5.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. ????定义5.2 若(5.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当时有 ???????????????????????? 则称(5.1)的零解是渐近稳定的. 的零解的稳定性. ?例1 考察系统 ???????????? 的零解的稳定性. ????解 对于一切t0，方程组满足初始条件的解为 ???????????????????? 对 任一，取δ＝，则当时，有 ???? 故该系统的零解是稳定的. ????然而，由于 ???????????????? 所以该系统的零解不是渐近稳定的. ????例2 考察系统 ???????????????????????? 的零解的稳定性. ????解 在上，取初值为（）的解为： ???????????????????????? 其中 ????对任一，取 δ＝，则当时，有 ???????????????? 故该系的零解是稳定的. 又因为 ???????????? 可见该系统的零解是渐近稳定的. ?例3 考察系统 ???????????????????????????? 的零解的稳定性. ????解 方程组以（）为初值的解为 ?????????????????? 其中. ???????? ?由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此，对于任意，不管取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的. ????例4 考虑常系数线性微分方程组 ????????????????????????????????????????????(5.5) 其中,A是n×n阵.证明，若A的所有特征根都具严格负实部，则(5.3)的零解是渐近稳定的. ????证明 不失一般性，我们取初始时刻,设Φ(t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足的解可写成 ???????????????????????????????????? (5.6) 由A的所有特征根都具负实部知 ????????????????????????????????????????(5.7) 于是知存在t1>0，使t>t1时.从而对任意，取则当时，由(5.6)有 ???????????????? 当t[0,t1］时，由解对初值的连续相依性，对上述，存在δ1 >0，当时 ???????????????????? 取，综合上面讨论知，当时有 ???????????????????? 即是稳定的. ????由(5.7)知对任意有，故是渐近稳定的. ?5.2 李雅普诺夫第二方法 ????上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的. ????李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法： ????第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展； ????第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. ????为了便于理解，我们只考虑自治系统 ???????????????????? ???????????????? (5.11) 假设在上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0)＝0． ????为介绍李雅普诺夫基本定理，先引入李雅普诺夫函数概念. ????定义5.3 若函数 ???????????????????????? 满足V(0)＝0, 和都连续，且若存在0<HK,使在 上，则称是常正(负)的；若在D上除x=0外总有，则称是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的. ????通常我们称函数为李雅普诺夫函数. 易知：函数 在平面上为正定的； ????????函数 在平面上为负定的； ????????函数 在平面上为变号函数； ????????函数 在平面上是常正函数. ????李雅普诺夫函数有明显的几何意义. ????首先看正定函数. ????在三维空间中, 是一个位于坐标面x1O x2，即Ｖ＝0，上方的曲面.它与坐标面x1Ox2只在一个点，即原点Ｏ(0,0,0)接触(图5-1(a)). 如果用水平面V=C(正 ?? ????????????????????????????????图 5-1 常数)与V= V相交，并将截口垂直投影到x1O x2平面上， 就得到一组一个套一个的闭曲线族 (图5-1(b)),由于连续可微，且V(0,0)=0,故在的充分小的邻域中，可以任意小.即在这些邻域中存在C值可任意小的闭曲线V=C. ?对于负定函数可作类似的几何解释，只是曲面将在坐标面x1O x2的下方. ????对于变号函数，自然应对应于这样的曲面，在原点O的任意邻域，它既有在x1O x2平面上方的点，又有在其下方的点. ????定理5.2 对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 ????(1) 正定； ????(2)常负. 则(5.11)的零解是稳定的. ???????????????????????? ????????????????????????????图 5-2 证明 对任意ε>0(ε<H)，记 ???????????????????????? 则由V(x)正定，连续和Γ是有界闭集知 ???????????????????????? 由V(0)=0和V(x)连续知存在δ>0(δ<ε)，使当，V(x)<b,于是有 ???????????????? 时 ??????（5.12） 若上述不等式不成立，由和的连续性知存在t1>t0，当t∈[t0, t1]时，<ε,而=ε. 那么由b的定义,有 ???????????????????? ???????????????? （5.13） 另一方面，由条件(2)知在[t0, t1]上成立，即t∈[t0, t1]时 ???????????????????????? 自然有.与(5.13)予盾.即(5.12)成立. 例1 考虑无阻尼线性振动方程 ???????????????????????? ????????????????(5.14) 的平衡位置的稳定性. 解 把(5.14)化为等价系统 ???????????????????????? ????????????????(5.15) (5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V函数 ???????????????????????? ?有 ???????????????????? 即V(x,y)正定，0.于是由定理5.2知(5.15)的零解是稳定的，即(5.14)的平衡位置是稳定的. ????引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数 x(t)有  则 ????证明由读者自己完成. ????定理5.3 对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 ?(1) 正定, ????(2) 负定， 则(5.11)的零解渐近稳定. ????证明 由定理5.2知(5.11)的零解是稳定的.取为定理5.2的证明过程中的δ，于是当时，单调下降.若x0=0，则由唯一性知≡0,自然有 ???????????????????????? 不妨设x0≠0.由初值问题解的唯一性，对任意t，≠0.从而由V(x)的正定性质知V()>0总成立，那么存在a≥0使 ???????????????????????? 假设a>0,联系到V()的单调性有 ????????????????????????a<V()<V(x0) 对t>t0成立.从而由V(0)=0知存在h>0使t≥t0时 ???????????????????????????????????? (5.16) 成立. 由条件(2)有 ???????????????????????? 故从(5.16)知 ???????????????????????? 对上述不等式两端从t0到t>t0积分得 ????????????????. ?该不等式意味着 ???????????????????????? 矛盾.故a=0，即 ???????????????????????? 由于零解是稳定的，所以在［t0,+∞］上有界，再由引理知.定理证毕. ????例2 证明方程组 ???????????????????????????????????????? (5.17) 的零解渐近稳定. ????证明 作李雅普诺夫函数 ???????????????????????? 有 ???????????????????? 在区域上V(x,y)正定，负定，故由定理5.3知其零解渐近稳定. ????最后，我们给出不稳定性定理而略去证明. ????定理5.4 对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V(x)满足 ????（1） 正定， ????（2）V(x)不是常负函数， 则系统(5.11)的零解是不稳定的. ?本讲要点： ????1．李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定性定义。 ????2．李雅普诺夫第二方法的基本原理和直观意义。 ????作业：??练习5.2 1, 2, 5 练习5.1 ????1．设用语言叙述微分方程的零解不稳定的定义。 ????2．考虑纯量方程，是上的连续函数。证明： ????（1）零解x = 0是稳定的充分必要条件是存在，使得对一切成立。 ????（2）零解是渐近稳定的充分必要条件是。 ??答案 1．（略） ????2．提示：写出方程的通解，再根据稳定性定义证明。 ??5.3 平面自治系统的基本概念 ????本节考虑平面自治系统 ???????????????????????? ????????????（5.18） 以下总假定函数P(x,y),Q(x,y)在区域 ???????????????????? 上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件. ????5.3.1 相平面、相轨线与相图 ????我们把xOy平面称为(5.18)的相平面，而把(5.18)的解 x = x(t),y = y(t)在xOy平面上的轨迹称为(5.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图象称为(5.18)的相图. ????易于看出，解x = x(t),y = y(t)在相平面上的轨线，正是这个解在(t,x,y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到，用轨线来研究(5.18)的解通常要比用积分曲线方便得多. 下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系. ????例1  ????很明显，方程组有特解.它在(t, x, y)三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a))，它经过点(0，1，0).当t 增加时，螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy平面上的轨线是圆，它恰为上述积分曲线在xOy平面上的投影.当t增加时，轨线的方向如图5-3(b)所示. ????另外，易知对于任意常数，函数也是方程组的解.它们的积分曲线是经过点(-,1,0)的螺旋线.但是，它们与解有同一条轨线?????? ????????????????????????图5-3 ????同时，我们可以看出，的积分曲线可以由的积分曲线沿t 轴向下平移距离a而得到.由于a 的任意性，可知轨线对应看无穷多条积分曲线. ????为了画出方程组在相平面上的相图，我们求出方程组通解. ????????? 其中A，a为任意常数.于是，方程组的轨线就是圆族(图5-3（b）) ????特别，x = 0, y = 0是方程的解，它的轨线是原点O(0，0). 5.3.2 平面自治系统的三个基本性质 ????性质1. 积分曲线的平移不变性 ????设x = x(t),y = y(t)是自治系统(5.18)的一个解，则对于任意常数τ，函数 x = x(t +τ), y = y(t +τ) 也是(5.18)的一个解. ????事实上，我们有恒等式 ???????????? ????由这个事实可以推出：将(5.18)的积分曲线沿t轴作任意平移后，仍然是(5.18)的积分性质2. 轨线的唯一性 ????如果P(x, y)，Q(x ,y)满足初值解的存在与唯一性定理条件，则过相平面上的区域D的任一点，(5.18)存在一条且唯一条轨线. ????事实上，假设在相平面的P0点附近有两条不同的轨线段l1和l2都通过点．则在(t, x, y)空间中至少存在两条不同的积分曲线段和(它们有可能属于同一条积分曲线)，使得它们在相空间中的投影分别是l1和l2 (见图5-4)，这时不妨设t1< t2．现在把所在的积分曲线沿t轴向右平移t2- t1，则由性质1知道，平移后得到的仍是系统(5.18)的积分曲线，并且它与至少有一个公共点．因此，利用解的唯一性，和应完全重合，从而它们在相空间中有相同的投影．另一方面，与在相空间显然也有相同的投影，这蕴含和在相平面中的点附近有相同的投影，而这与上面的假设矛盾. ?????????????? ????????????????????????????????图5-4 ????性质1和性质2说明，相平面上每条轨线都是沿t 轴可平移重合的一族积分曲线的投影，而且只是这族积分曲线的投影. ????此外，由性质1同样还可知道，系统(5.18)的解的一个平移仍是(5.18)的解，并且它们满足同样的初始条件，从而由解的唯一性知 ????????== 因此，在(5.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻t0=0的解，并简记为 =,= ??*性质3 群的性质 (略) ????5.3.3 常点、奇点与闭轨 ????现在考虑自治系统(5.18)的轨线类型.显然，(5.18)的一个解x = x(t),y = y(t)所对应的轨线可分为自身不相交和自身相交的两种情形.其中轨线自身相交是指，存在不同时刻t１，t2，使得．这样的轨线又有以下两种可能形状： ????(1) 若对一切t（－∞，＋∞）有，则称，为(5.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是(t, x, y)空间中平行于t轴的直线.对应此解的轨线是相平面中一个点().我们称()为奇点 (或称平衡点).显然()是(5.18)的一个奇点的充分必要条件是 ???????????????????? 不是奇点的相点称为常点． ????(2) 若存在T＞0，使得对一切t有 ????????????????????, 则称为(5.18)的一个周期解，T 为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线，称为闭轨. ????由以上讨论和(5.18)轨线的唯一性，我们有如下结论：自治系统(5.18)的一条轨线只可能是下列三种类型之一： ????(1)奇点， (2)闭轨， (3)自不相交的非闭轨线. ????平面定性理论的研究目标就是：在不求解的情况下，仅从(5.18)右端函数的性质出发，在相平面上描绘出其轨线的分布图，称为相图.如何完成这一任务呢?现在我们从运动的观点给出(5.18)另一种几何解释： ????如果把(5.18)看成描述平面上一个运动质点的运动方程，那么(5.18)在相平面上每一点(x, y)确定了一个速度向量 ???? ???? ???? ???? ? ?因而，(5.18)在相平面上定义了一个速度场或称向量场.而(5.18)的轨线就是相平面上一条与向量场(5.20)相吻合的光滑曲线.这样积分曲线与轨线的显著区别是：积分曲线可以不考虑方向，而轨线是一条有向曲线，通常用箭头在轨线上标明对应于时间t增大时的运动方向. ????进一步，在方程(5.18)中消去t，得到方程 ???????????????????????? ????????????（5.21） 由(5.21)易见，经过相平面上每一个常点只有唯一轨线，而且可以证明：常点附近的轨线拓扑等价于平行直线.这样，只有在奇点处，向量场的方向不确定. ????因此，为了弄清(5.18)的相图，首先要从奇点入手，弄清楚奇点附近的轨线分布情况.其次，还要弄清(5.18)是否存在闭轨，因为一条闭轨线可以把平面分成其内部和外部，再由轨线的唯一性，对应内部的轨线不能走到外部，同样对应外部的轨线也不能进入内部.最后，如果(5.18)在全平面上有定义，还要分析(5.18)在平面的无穷远处是否存在奇点.通过以上三个步骤，我们就可以定性地描绘出(5.18)在全平面上的相图了，通常称为(5.18)的全局结构.下一节，我们将对这一过程作一简单介绍.?? 5.4 平面定性理论简介 ????本节将对如何获得平面系统(5.18)的整体相图结构作一简单介绍. ????5.4.1 初等奇点附近的轨线分布 ????前面我们已经得到，奇点是动力系统 ????????????????????????????????? (5.18) 的一类特殊轨线.它对于研究(5.18)的相图有重要的意义.为此，我们在本节先研究一类最简单的自治系统——平面线性系统的奇点与它附近的轨线的关系.平面线性系统的一般形式为 ???????????????????? ????????? (5.22)? ???? 我们假定其系数矩阵 ???????????????????????? 为非奇异矩阵，即其行列式 (即A不以零为特征根) ????显然，(5.22)只有一个奇点(0，0).我们研究(5.22)在(0，0)附近的轨线分布.因为(5.22)是可解的，我们的作法是先求出系统的通解，然后消去参数t，得到轨线方程.从而了解在奇点(0，0)附近的轨线分布情况.根据奇点附近轨线分布的形式，可以确定奇点有四种类型，即结点，鞍点，焦点和中心. 为了讨论问题方便，我们把方程写成向量形式. 令????????????????  ?此时方程组(5.22)可以写成向量形式 ???????????????????????????????????? (5.23) ????1. 系数矩阵为标准型的平面线性系统的奇点附近轨线分布 ????我们研究线性系统(5.23)在奇点(0，0)附近轨线分布的方法是，首先应用线性变换，把系统(5.23)化成标准型，并从化成标准型的方程中求出解来，确定其轨线分布，然后再回过头来考虑原系统(5.23)在奇点附近的轨线分布. ????根据线性代数中关于矩阵的定理，存在非奇异矩阵T，使得 ????????????????????（J 为约当标准型）. 令 ,作代换 则 ???????????????????? 于是系统(5.23)化成为 ????????????????????????????????（5.24） 由线性变换的理论可知，标准型J的形式由系数矩阵A的特征根的情况决定： ????（1） 特征根为相异实根λ，μ时，  ????(2) A的特征根为重根λ时，由A的初等因子的不同情形，A的标准型J可能有两种，为方便计，写成： ????????????????或  ????(3) A的特征根为共轭复根时， ???????????????????????? ?(因，特征根不能为零). ????考察(5.24)，为了书写方便，去掉上标，把(5.24)写成 ???????????????????????? ??????????(5.24)′ 下面就J的不同情况来研究(5.24)(即系统(5.24)′)的轨线分布. ????(1)当 ???????????????????????? （λ≠μ） 时，系统(5.24)′可写成纯量形式 ????????????????????????????????????(5.25) 求它的通解，得 ??????????????????????????? (5.26) 消去参数t，得轨线方程 ???????????????????????? （C为任意常数） ????????（5.27） 这里假定｜μ｜＞｜λ｜，即μ表示特征根中绝对值较大的一个(显然，这不妨碍对一般性的讨论，如｜μ｜＜｜λ｜，则只要互换x轴和y轴. ????a＝λ，μ同号 ????这时由于＞0，轨线(5.27)是抛物线型的(参看图5-5及图5-6).同时，由(5.26)知x轴的正、负半轴及y轴的正、负半轴也都是(5.25)的轨线.由于原点(0，0)是(5.25)的奇点以及轨线的唯一性，轨线(5.27)及四条半轴轨线均不能过原点.但是由(5.26)可以看出，当μ＜λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋于原点(图5-5)；当μ＞λ＞0时，轨线在t→－∞时趋于原点(图5-6).另外，我们有 ???????????????????????? 于是，当μ＜λ＜0，轨线(除正、负半y 轴外)的切线斜率在t→＋∞时趋于零，即轨线以x 轴为其切线的极限位置.当μ＞λ＞0，轨线(除正、负半y 轴外)的切线斜率在t→－∞时趋于零，即轨线以x 轴为其切线当t→－∞时的极限位置. 如果在某奇点附近的轨线具有如图5-5的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当μ＜λ＜０时，原点O是(5.25)的稳定结点. ???????????????? ????????????????????图 5-5 ????????????????????????????图 5-6 ?如果在某奇点附近的轨线具有如图5-6的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当μ＞λ＞0时，原点O是(5.25)的不稳定结点. ????b)λ，μ异号 ????这时，由于＜0，轨线(5.27)是双曲线型的(参看图5-7及图5-8).四个坐标半轴也是轨线. ????先讨论λ＜0＜μ的情形.由(5.26)易于看出当t→＋∞时，动点(x, y)沿正、负x半轴轨线趋于奇点(0，0)，而沿正、负y半轴轨线远离奇点(0，0).而其余的轨线均在一度接近奇点(0，0)后又远离奇点(图5-7). ????????? ????????????图 5-7 ?????????????????????????????图 5-8 ????对μ＜0＜λ的情形可以类似地加以讨论，轨线分布情形如图5-8. ????如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当异号时，原点O是(5.25)的鞍点.，它(2)当 ???????????????????????? 时，把系统(5.24)′写成纯量形式就得到 ???????????????????????? ?????????????(5.28) 积分此方程，得通解 ????????????????????;???????? (5.29) 消去参数t，得轨线方程 ????????????????????????????????????????????y = Cx???????????? (C为任意常数). ?根据λ的符号，轨线图象如图5-9和图5-10.轨线为从奇点出发的半射线. ???????????? ??????????????????图 5-9 ????????????????????图 5-10 ????如果在奇点附近的轨线具有这样的分布，就称这奇点为临界结点.由通解(5.29)可以看出：当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋近于原点.这时，我们称奇点O为稳定的临界结点；当λ＞0时，轨线的正向远离原点， 我们称O为不稳定的临界结点. 当 ???????????????????????? 时，系统(5.24)′的纯量形式为 ???????????????????????? 它的通解为 ???????????????????? 消去参数t，得到轨线方程 ???????????????????? 易于知道有关系 ?????????????????? ????????? ????????????图 5-11 ????????????????????????????图 5-12 所以当轨线接近原点时，以y轴为其切线的极限位置.此外，正、负y半轴也都是轨线.轨线在原点附近的分布情形如图5-11及图5-12所示.如果在奇点附近轨线具有这样的分布，就称它是退化结点.当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当λ＞0时，轨线在t→＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点. (3)当 ???????????????????????? 时，把系统(5.24)′写成纯量形式 ????????????????????????????????????（5.30） ????我们来积分上述方程组.将第一个方程乘以x，第二个方程乘以y，然后相加，得 ???????????????????? 或写成 ???????????????????????? 因而得到 ???????????????????? ????其次，对方程(5.30)第一个方程乘以y，第二个方程乘以x，然后相减，得 ???????????????????? 或写成 ???????????????????????? 于是得 ???????????????????????? 或 ???? ???? ???? ???? ???? 消去参数t，得到轨线的极坐标方程 ?????????????????????? ??????????????????（5.31） ?如≠0，则它为对数螺线族，每条螺线都以坐标原点O 为渐近点.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为焦点. ????由于，所以当＜0 时，随着t的无限增大，相点沿着轨线趋近于坐标原点，这时，称原点是稳定焦点 (见图5-13)，而当＞0 时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-14). ???????????????? ????????????????????????????????图 5-13  ????????????????????????????图 5-14 ????如＝0，则轨线方程(5.31)成为 ???????????????????? 或  它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.此时，由β的符号来确定轨线方向.当β＜0时，轨线的方向是逆时针的；当β＞0时是顺时针的(见图5-15及图5-16). ????????? ????????????????图 5-15 ????????????????????图 5-16 ????综上所述，方程组 ???????????????????? ????????(5.22) 经过线性变换，可化成标准型 ????????????(5.24) 由A的特征根的不同情况，方程(5.24)(亦即方程(5.24)′)的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型. ????本讲要点： ????1．为什么要用相平面研究平面自治系统解的性质，主要是降低维数． ????2．平面自治系统的性质 ????性质1：积分曲线的平移不变性． ????性质2：轨线的唯一性． ????3．轨线的分类 ????常点，奇点，闭轨，自不相交的非闭轨线．奇点和闭轨的存在和位置是求得相图的关键． ????4．初等奇点附近的轨线分布: 鞍点，结点，焦点，中心． 1.平面非线性系统的齐点 ????一般的平面常系数线性系统的奇点附近轨线分布 ????上面讲了系数矩阵为标准型的系统 ???????????????????????? ???????????（5.24） 的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况，现在回来研究一般的平面线性系统 ???????????????????????? ???????????(5.22) 的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况. ????我们知道，(5.22)可以从(5.24)经逆变换而得到，而且，由于是非奇异变换，也是非奇异变换，因而也就是一个仿射变换，它具有下述不变性： ????(1) 坐标原点不变； ????(2) 直线变成直线； ??(3) 如果曲线 (x(t), y(t))当t→＋∞(或t→－∞)时趋向原点，变换后的曲线，当t→＋∞(或t→－∞)时也趋向坐标原点； ????(4) 如果曲线(x(t), y(t))当t→＋∞(或t→－∞)时，盘旋地趋向原点，变换后的曲线当t→＋∞(或t→－∞)时也盘旋地趋向原点. ????(5) 闭曲线(x(t), y(t))经过变换后，所得曲线仍为闭曲线. 由此可见，方程(5.24)在各种情况下的轨线，经过线性变换后得到方程(5.22)的轨线，其结点型，鞍点型，焦点型，以及中心型的轨线分布是不变的.这就是轨线结构的不变性. ????于是，系统(5.22)的奇点O(0，0)，当，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型：并且，由于变换后轨线趋向原点的方向不变，所以结点、焦点的稳定性也不改变. ? ????因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.因此，下面来研究A的系数与奇点分类的关系. 方程(5.22)的系数矩阵的特征方程为 ???????????????????????? 或?????????????????  ????为了书写方便，令 ???????????????? 于是特征方程可写为 ???????????????????? ????特征根为 ???????????????????? ????下面就分特征根为相异实根，重根及复根三种情况加以研究： ???? ?综合上面的结论，由曲线２＝4Δ，Δ轴及轴把ΔO平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点(图5-17). ???????????????????? ????????????????????????图 5-17 ????平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布 以上是面平线性系统(5.22)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.下面再根据上面的讨论，介绍一点研究一般的平面系统  ????????(5.18) 的轨线在奇点附近的分布的方法. ????我们不妨假设原点O(0，0)是(5.18)的奇点，即P(0, 0)＝Ｑ(0, 0)＝0.这并不失一般性.因为，如果()为(5.18)的一个奇点，只要作变换 ????????????????????????  就可以把奇点移到原点(0，0). ????设(5.18)的右端函数P(x, y), Q(x, y)在奇点O(0,0)附近连续可微，并可以将(5.18)的右端写成 ???????????????????????? 其中 ???????????????????? 我们把平面线性系统 ??????????????????????? ???????（5.22） 称为一般平面自治系统(5.18)的一次近似.在条件 ???????????????????????? 的假设下，称(0，0)为系统(5.18)的初等奇点，否则，称它为高阶奇点.(5.22)的奇点的情况已讨论清楚. 一个常用的手法是将(5.18)与(5.22)比较，对“摄动” (x, y)及(x, y)加上一定的条件，就可以保证对于某些类型的奇点，(5.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布情形与(5.22)的轨线分布情形同.我们只介绍如下的一个常见的结果而不加以证明. ????定理5.5 如果在一次近似(5.22)中，有 ???? ???? ???? ???? ???? 且O(0，0)为其结点(不包括退化结点及临界结点)、鞍点或焦点，又(x, y)与(x, y)在O(0，0)的邻域连续可微，且满足 ???? ???? ???? ????， ????（5.32） 则系统(5.18)的轨线在O(0，0)附近的分布情形与(5.22)的完全相同. 其中????????????????????????. ????当O(0，0)为(5.22)的退化结点、临界结点或中心时，条件(5.32)不足以保证(5.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布与(5.22)的轨线分布情形相同，还必须加强这个条件，我们不再列举了. ?2.极限环 ????为了说明极限环的概念，先看看下面的例子. ????例1? 考察方程组 ??????????????????????????????????????? (5.33) 的轨线分布. ???? 解 将方程（5.33）的第一个方程两端乘以x，第二个两端乘以y，然后相加得到 ????????????????????????????? (5.34) 作极坐标变换  由，微分之，则得 ???????????????????????? 所以(5.34)可写成 ???????????????????????? 或???????????????????? ????????????(5.35) 其次，将方程组(5.33)的第一个方程乘以y，第二个方程乘以x，然后相减，得 ???????????????????????? 由，微分之，可知 ??????????????????? ??(5.36) 于是原方程(5.33)经变换后化为 ????????????????????????????????????????????(5.37) 积分所得方程(5.37).易于看出，方程组(5.37)有两个特解： ????????????????????????r =0，? ?r =1 其中r =0对应(5.33)奇点，而r =1对应于(5.33)的一个周期解，它所对应的闭轨线是以原点为中心以1为半径的圆. 进一步求方程组的通解，得 ???????????????? 或为 ???? ???? ???? ???? ???? ???? 于是方程(5.33)的轨线分布如图(5-18). ????从方程组(5.33)的相图上可看出，轨线分布是这样的： ????(i) (0，0)为奇点，为一闭轨线. ????(ii) 闭轨线的内部和外部的轨线，当t→+∞时分别盘旋地趋近于该闭轨线. ????我们在5.3节的例1中也提到过闭轨线，但当时的闭轨线都是一族连续分布的闭轨线.而且，当时没出现其他的轨线当t→±∞时趋近于闭轨线的情况.因此，上例中的闭轨线以及它附近的轨线的分布情形，是一种新的结构.我们作如下的定义.  ????????????????????????图 5-18 定义５.４ 设系统 ?????????????????????? ????????????(5.18) 具有闭轨线C.假如在C充分小邻域中，除C之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨线当t→＋∞或t→－∞时趋近于闭轨线C，则说闭轨线C是孤立的，并称之为(5.18)的一个极限环. ?极限环C将相平面分成两个区域：内域和外域. ????定义5.５? 如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t→+∞(-∞)时盘旋地趋近于C(图5-19)，则称C是内稳定(内不稳定的)；如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t→+∞(－∞)时盘旋地趋近于C(图5-20)，侧称C是外稳定的(外不稳定的)；如果当t→＋∞(－∞)时，C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C，则称C是稳定的(不稳定的) (如图5-21(a)),如果当t→＋∞(－∞)时，C的内外部的稳定性相反，则称C为半稳定的 (图5-21(b)). ???????? ????? ?????????????????图? 5-19????????????????????? 图? 5-20  ????????????????????????????????(b) ?????????????????????????????图 5-21 ?易于看出，例1中的轨线是稳定的极限环. ????5.4.3? 极限环的存在性 ????稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态，它在非线性振动问题 中有重要意义.一般说来，一个系统的极限环并不能像例1那样容易算出来.关于判断极限环存在性的方法，我们只叙述下面著名的庞卡莱—班迪克松 (Poincaré-Bendixson)环域定理，其证明可参阅专著［4］. ????定理5.6 设区域D是由两条简单闭曲线L1和L2所围成的环域，并且在上系统(5.18)无奇点；从L1和L2上出发的轨线都不能离开(或都不能进入).设L1和L2均不是闭轨线，则系统(5.18)在D内至少存在一条闭轨线Γ，它与L1和L2的相对位置如图5-22，即Γ在D内不能收缩到一点. ? ????????????????????????????????图 5-22 ????如果把系统(5.18)看成一平面流体的运动方程，那么上述环域定理表明：如果流体从环域D的边界流入D，而在D内又没有渊和源,那么流体在D内有环流存在.这个力学意义是比较容易想象的. ????习惯上，把L1和L2分别称作Poincaré-Bendixson环域的内、外境界线. ?极限环的不存在性 ?? 关于平面系统(5.18)不存在极限环的判定准则常用的是下面的 ?? 定理5.7 (Bendixson判断)设在单连通区域G内，系统(5.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数.若该向量场的散度 ??????????????????????????????????????????? ?(5.40) 保持常号，且不在G的任何子域内恒等于零，则系统(5.18)在G内无闭轨. ????证 用反证法.假设(5.18)在G内有闭轨Γ，其内部区域.由格林公式有 ????????????????? ????????????????????(5.41) 因为Γ是(5.18)的轨线，故沿Γ有 ???????????? 从而(5.41)右端的曲线积分为零.然而由本定理假设，(5.41)左端的二重积分不为零，此为矛盾.因此G 内无闭轨.证毕. ????定理5.8 ?(Dulac判断)设在单连通区域G 内，系统(5.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数，并存在连续可微函数B(x, y)使得 ???????????????????????? 保持常号，且不在G 内任何子区域内恒为零，则系统(5.18)在内无闭轨. ????此定理证明与定理5.7.相似. 3.全局结构的一个例子 ????为了得到(5.18)的全局结构，需要无穷远点分析，这部分内容比较复杂，我们不能详述，仅给出一个实例说明之. 详细论述可见参考文献［4］． ????研究(5.18)在平面的无穷远处的性状，需要借助Poincaré变换，这一变换的基本想法是： ????把整个xOy平面映成单位闭圆盘，平面上的有限点与圆盘内部的点一一对应，无穷远点对应为圆盘的圆周上的点.于是无穷远奇点存在于单位圆周上了. ????这样，对于一个具体的平面系统，求出全局结构相图的步骤是： ????(1)求出有限平面内的奇点和奇点类型， ????(2)判明是否存在闭轨， ????(3)无穷远点分析，即是否存在无穷远奇点并分析奇点类型.最后，把这些结果描绘在xOy平面的单位闭圆盘上，就得到系统的全局结构. ????例2 讨论系统 ????????????????????????????????????(5.42) 的全局结构. ????解 (1)奇点 ????(5.42)有两个奇点O(0，0)和E(-1，0). ????对于奇点O(0，0)，其线性近的方程的系数阵是 ???????????????????? 它的特征根是，显然是稳定焦点. 对于奇点E(-1，0)，其线性近似方程的系数阵是 ???????????????????? 它的特证根是,显然E(-1，0)是鞍点. ????（２）闭轨线. ????取函数B(x, y)= e2x,有 ????????????????????, 由定理5.8可见系统(5.42)在xOy平面上无闭轨.  ????????????????????????????????图 5-24 ????(3)无穷远奇点 ????可以求出(5.42)存在一个无穷远奇点，且是退化结点，这个奇点分裂在单位圆周上的D(0，1)和D′(0，－1)处. ????图5-24给出了系统(5.42)轨线分布的全局结构． ??如果在图5-24的坐标原点O(0，0)处，垂直于书面立上一个t轴，再把轨线沿t轴方向平行拉动，那么你就可以看到系统(5.42)在三维空间(t, x, y)上对应的积分曲线的性状了. ????本讲要点： ????本讲主要对平面定性理论作了一个简单的介绍，平面定性方法的一个主要目标是：求出方程在全平面上的相图．为此 ????1．先求有限平面内奇点及类型． ????2．判断方程在平面内是否有闭轨． ????3．最后求无穷远是否有奇点及类型． ????于是就可以得到方程在全平面上的相图，只不过是用一种特殊变换把全平面收缩到一个单位圆盘上． ????作业：????????练习5.4?? 1, 2, 3 1．通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性： ????（1） （2） ??????（3）（4） 2．确定下列各方程的奇点类型，轨线分布以及稳定性： ????（1）（2）  ????（3）（4） 3．确定下列方程原点的奇点类型及稳定性： ????（1）  ； ??（2）  ????????　答案 ????1．（1）稳定结点 （2）不稳定退化结点 ???????（3）中心 （4）不稳定结点 ????2．（1）稳定焦点 （2）不稳定焦点 ???????（3）鞍点 （4）鞍点 ????3．（1）不稳定结点；稳定结点； ????????不稳定焦点；稳定焦稳定焦点 ???????（2）鞍点 习题课　一 习题课　二 习题课　三 习题课　四 习题课　五 习题课　一 内容小结 　　1．1-1．5节的主要内容如下： 　　（1）基本概念 　　常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题. 　　（2）初等积分法中的3种基本解法. 　　分离变量法  变量可分离方程        齐次方程      常数变易法  ?    线性方程    努利方程    ?  积分因子法：化成全微分方程，求其原函数. 　　我们要求大家清楚了解上述基本概念，熟练掌握上述3种基本解法，并学会灵活运用. 2．习题选讲 　　1．1-1．5节的习题主要有两部分：计算题和证明题.我们将重点讲一下证明题的解题方法. 　　（1）证明方程任意解的渐近性 　　这类题主要是对一阶线性方程，因为能写出通解表达式，所以能够求出时，解的渐近性. 例1 设f(x)在[0，+∞）上连续，且.求证：方程的一切解y = y(x)，均有. 　　证明 设y = y(x)是方程任一解且满足y(x0) = y0,由1.4节公式（1.43）有 　　　　　　　　　 于是 　 　　　　　　　想了解请点击　洛必达法则 　　， 　　未定式型，或 　　1．设（1）（或），（或）； 　　（2）在点的某去心领域内，及都存在且； 　　（3）存在（或无穷大）； 　　那么 =。 　　2．设（1）（或），（或 ）； 　　（2）当时，与都存在且； 　　（3）存在（或无穷大）； 　　那么= 。 　　注意：当收敛，必有. 　　例2 设y(x)在[0，+∞）上连续可微，且有 　　　　　　　　　　　　　 　　　　试证：. 　　　　　　证明等价于 　　　　　　　　　 　其中，，利用上题结果，立刻得证. 　　例3 　设方程 　　　　　　　　　　　 中，f(x)在（0，+∞）上连续. 　　（1）当a＞0且证明方程只有一个解当时有界，并求出这个解当时的极限. 　　（2）当a＜0且证明方程的所有解当时趋于同一极限，求出这个极限. 　　证明 设y = y(x)是方程任一解且满足y(x0) = y0,，由1.4节公式（1.43）有 　　　　　　　　　　　 　于是， 　　 　　（1）当a≥1时，显然存在. 　　当0＜a＜1时，为广义积分或称瑕积分.由于存在，有f(x)在[0, x0]上有界，设，于是 　　 于是，收敛. 　　由上述分析，可见当a＞0时，只有取 　　　　　 时，用洛必达法则有 　　　　　 　　（2）当a＜0时，同样用洛必达法则有 　　　　　 （2）证明任意解的有界性 这类证明题，同样也是对一阶线性方程，如1.4节例3.同理可做练习1.4 的3题. 　　例4 设函数p(x),f(x)在[0，+∞]上连续，且（a,b)为常数.求证明 ：方程 　　　　　　　　　　　 的一切解在[0，+∞）上有界. 　　证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0) = y0,则 　　　　　　　　 由于，所以对任意，存在 ,使得时,有 　　　　　　　　 令，则 　　　　　　　　 与例3相似得到 　　　　　　　　　　　　　　　 　　又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 　　　　　　　　　　　　　　　 则　　　　　　　　　　　　　　。 　　（3）证明解的周期性 　　例5 设一阶线性齐次方程 　　　　　　　　　　　　　　　 的系数p(x)是以为周期的连续函数，证明该方程的非零解以为周解的充要条件是 　　证明 设y=y(x)是方程任一非零解。且满足y(x0)=y0，则 　　　　　　　　　　　　　　　 必要性， 　　　　　　　　 　　由于为周期函数，有下式成立. 　　　　　　　　　　　 有，所以. 充分性， 　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4）有关积分因子的习题 　　例6 求下列方程的积分因子 　　（1）变量可分离方程 　　　　　　　　　 　　（2）线性方程 　　（3）伯努利方程 　　（4）齐次方程 　　解 （1） 　　　　　　　　　　　　　　　 是全微分方程. 　　　（2） 　　　（3） 两边乘以y-n得 　　　　　　　　　　　　 即 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 由上题有，此方程的积分因子 　　　　　　　　　　　　　 因此，贝努利方程的积分因子 　　　　　　　　　　　　　 　　（4） 　令y=xu，则，代入上式，有 　　　　　　　　　　　　　　 即 　　　　　　　　　　　　　　 这是一个变量可分离方程 　　　　　　　　　　　　　　 是全微分方程，返回原变量，有 　　　　　　　　　　　　　　 计算，得 　　　　　　　　　　　　　 　　整理得 　　　　　　　　　　　　　　 　　即 　　　　　　　　　　　　　　 　所以 　　　　　　　　　　　　　　 习题课　二 内容小结 ????一、本章的中心内容是初值问题（2.2）解的存在唯一性定理，即定理2.2．这一定理是常微分方程的基本定理，无论在理论上还是在应用上，都是十分重要的．在学习这个定理的过程中，应注意以下几点： ????1．从几何的观点来看，方程在平面的某一区域内确定了一个线素场，而方程的积分曲线是处处以这个线素场所确定的线素方向为切线方向的曲线． ????2. f(x,y)对x,y的连续性只能保证解的存在，而保证不了解的唯一性．李普希兹条件是保证解的唯一性的一个最常见的充分条件． ????3．Picard的逐次逼近法，是分析学里的一种基础方法，有着广泛的应用．利用它不仅证明了解的存在唯一，而且还提供了近似解的具体求法．对于求得的近似解，还可以估计误差． ?二、对于解的延展定理，应注意的是： ????1．方程（2.1）存在不可延展解．（定理2.3） ????2．不可延展解在定义区间两端点的性状．（定理2.4） ????3. 不可延展解的定义区间因解而异．（推论） 习题选讲 ????2.1—2.2节的习题主要有两类．第一类是判断方程满足解存在唯一性定理条件的区域，第二类是求方程解的最大存在区间． ????1.求方程满足解的存在唯一性定理条件的区域． 此类题通常作法是，对方程 ???????????????????????????? 满足解存在唯一性定理条件的区域 = f(x,y)连续且连续的区域． ????例1 试判断方程在区域 ??????????（1）????? ??????????（2）????? 上是否满足定理2.2的条件？ ?解  ??????????????????????? 显然方程在区域R1内不满足定理2.2的条件， 而在区域R2内满足定理2.2 条件． ????例2 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一？ ????????（1） ????????（2） ????????（3） ????????????（4） ????解（1） ????方程在平面上初值解存在且唯一． ????（2） ????方程在平面上初值解存在且唯一． ?解  ??????????????????????? 显然方程在区域R1内不满足定理2.2的条件， 而在区域R2内满足定理2.2 条件． ????例2 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一？ ????????（1） ????????（2） ????????（3） ????????????（4） ????解（1） ????方程在平面上初值解存在且唯一． ????（2） ????方程在平面上初值解存在且唯一． 2.证明题常用方法 ????本章证明题多是讨论解的最大存在区间在什么条件下为无穷区间的问题.我们已经知道，对于一阶方程 ,既使右端函数在全平面上连续且对y满足李普希兹条件，也不能保证方程的所有解都在(-∞,+∞)上存在，见2.3节的例1，这就是说，还要对方程的右端函数再附加一些条件，才有可能保证方程的所有解或某些解的最大存在区间是无穷区间.由本章的定理2.4及其推论可知：当及在全平面上连续时，若再附加所考虑的解满足某种有界性条件，或方程右端函数满足某种有界性条件，那么这些解的存在区间就一定是(-∞,+∞).通常有下面三种“限制性”条件： ????(1)两个解的限制条件； ????(2)一个解和右端函数定号性限制条件； ????(3)右端函数有界性限制条件. 另外，有些问题还要求当x趋于区间端点时解的某些性质，这时常用下面的 ????(4)积分反证法. ?3.典型例题 ????例3 在方程中，己知在(－∞，＋∞)上连续，且.求证：对任意，方程满足的存在区间必为(－∞，＋∞). ［分析］此题是一个典型的限制性条件(1)情形.  ?证明 方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.显然，是方程的两个解，任取x0∈(－∞，＋∞)，若y0=+1(或y0=-1),其对应初值解为,它们都在(－∞，＋∞)上有定义.现取,记过该点解为，那么一方面可以向平面的无穷远延展，另一方面上不能穿过，下不能穿过，否则与解的唯一性矛盾，故定义区间必是(－∞，＋∞). ????例4 在方程 ??????????????? 中，若在(－∞，＋∞）上连续可微，且． ????求证：对平面上任一点，方程满足的解在 上存在. ????［分析］ 此题是一个典型的限制性条件(2)的情形.由题给条件易见方程有一个解y =0，且在上半平面，在下半平面. ????证明 显然方程右端函数在全平面上满足解的延展定理条件. 因为连续且满足，所以有f(0)=0，这 意味y =0是解，并且有 ????????????????????, 当 ????????????????????，当 不妨取，，记过的解为，由上面分析可见该解在上半平面单调递减，又不能下穿y =0(x轴)且要无限远离原点，那么该解的存在区间必是． ?例5 设在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数，试证明：方程的任一解在区间上有定义. ????［分析］ 此题是限制性条件（3）的情形.由右端函数的有界可推出解的整体存在性. ????证明 任取平面上一点，记过该点的解为，它满足下面的积分方程 ?????????????????????? 下面用反证法证右行解存在区间为． 假如该解的存在区间不是，那么存在，使得只能在上存在，于是有 ?????????????????? 即在上有界，从而，这与定理2.4的推论(2)－①情形相矛盾，又由已知条件在全平面上连续，可知任一解都可延展到平面的无穷远,那么定理2.4的推论(2)－②情形也不成立.故解的存在区间是.同理可证左行解存在区间为，这样就证明了该方程任一解的存在区间是（-∞，＋∞）. ????例6 证明例4中的解满足. ［分析］这里的证明常用积分反证法，具体作法如下. ????证明 由例2的证明可知在上存在，单调递减又不能下穿x轴，那是一个单调递减且有下界的函数，故存在，我们往证，否则，存在，使得.下面将解代入原方程，分离变量后再从积分,得 ????????????????????????????????????????? 或写成 ??????????????????????? 在上式两端取极限 ???????????????有限值= ????????????????????? 此为矛盾，故. 习题课　三 内容小结 ????本章以一阶线性微分方程组的基本理论及其求解方法为主要内容. ????1.线性微分方程组的解的存在唯一性定理.要注意该方程任一解在A(x), Y(x)连续的区间上整体存在，这是线性方程的解所特有的性质. ????2. 齐次线性微分方程组的通解结构： ????(1)所有解构成n维线性空间. ????(2)向量函数的线性相关性概念及其判别准则. ????(3)通解由n个线性无关解(基本解组)的线性组合构成. ????(4)解与系数关系，即刘维尔公式. ????3. 非齐次线性微分方程组的通解结构： ????(1)它的通解由对应齐次的通解与其本身的一个特解之和构成. ????(2)已知齐次通解求非齐次一个特解的常数变易法. ????4．常系数线性方程组的求解方法： ????(1)首先写出特征方程并求特征根. ????(2)特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组.注意单复根时，要把复值解实值化. ????(3)特征根有重根时，用待定系数法求出相应的解. 习题选讲 ??? （1）与解的存在唯一性定理有关的证明题 ??? 判定已求得的n个解是否是已知线性齐次微分方程组的基本解组，主要是计算其朗斯基行列式在任一点处的值，如果此值不为零，则是基本解组.从刘维尔公式也可看出，n个解组成的朗斯基行列在有定义的区间一点不为零(为零)，则在整个有定义的区间上不为零(为零).这里我们要着重指出：任一点的选取必须在解的定义区间内，否则上述结论不正确.请看下例， 例1 ?方程组 ???????????????????????????? 有两个解 ?????????????????????????? 它们的朗斯基行列式是 ?????????????????????????? 在时，这两个解是线性无关的，当时, ，这似乎与上面的论述矛盾.实际不然，因为不属于解的有定义的区间.事实上，如果将原方程变形为 ???????????????????????????? 再由线性方程组解的存在唯一性定理可以看出该方程的任一解在(－∞,0)和(0,＋∞)上存在. ??? ?例2? 设矩阵函数在上连续，试证明，若方程组 ??????????????? 有相同的基本解组，则. ??? 证明? 设为基本解组,因为基本解组是可逆的， 故有 ?????????????????????  于是. （2）与通解结构有关的证明题 ????例3?? 设是方程组 ????? ????????????????? ?????????????????（1） 的n+1个线性无关解，求证(1)的任何解X(t)恒可表为 ??????????? ??????????（2） 其中是满足 ??????????????????????????? 的某些常数；反之，对于任何满足上式的常数的(2)式均是(1)的解. ［分析］非齐次方程组的通解等于它的齐次通解加上一个非齐次特解，现在已知非齐次的n+1个线性无关解，那么只要求出对应齐次通解即可，由非齐次任意两个解之差是齐次解的性质，可以求出齐次通解. 证明? 令 ??????????????? 显然.是对应齐次方程组的解，用反证法可以证明它们线性无关，(请读者自证)，所以构成对应齐次方程组的一个基本解组.于是对于非方程组的任一解X(t)有 ???????  ???????????? ????????  这就证明了命题第一部分，反之部分是显然的. ????例4 ?试证线性非齐次方程组初值问题 ?????????????????????????? ????????????????（1） 解的唯一性等价于齐次方程组初值问题 ????????????????????????? ??????????????????（2） 的零解的唯一性. ????证明? 记是对应齐次方程组（2）的基本解矩阵，那么非齐次方程组（1）的任一解Y（x）可表为 ???????????????????????????? ????????（3） 其中C是n维向量，是（1）的一个特解，记.现在（3）中代入初始条件有 ????????????????????????? 或 ????????????????????????????? ????????????????（4） 显然（1）的初值解唯一（4）对C有唯一解. 另一方面，（2）的任一解可表为 ???????????????????????????? 代入初值条件，有 ????????????????????????????????????????? ?????????（5） 这样，（2）的初值问题的零解唯一方程组（5）对C只有零解.命题得证. ??? 例5? 对于常系数线性齐次方程组（3.20），证明： ????（1）若A的所有特征根具有负实部，则它的任一解当x →+∞时趋于零． ????（2）若A的所有特征根的实部均不为正数，且实部为零的特征根是单根，则它的一切解在[0，+∞]上有界． ????（3）若A的特征根中至少有一个具有正实部，则它至少有一个解的范数当t→+∞时趋于无穷大. 证明：以n = 2为例 ????????????????????????????? ??????????????????????????（3.20） 特证方程??????????? ?????? 特证根????????????? ???????? ??? （1）若两个根都是负数，且，则任一解为 ???????????????????? ??? 若，则任一解为 ???????????????????? ???????? ????若是复根，.则则任一解为 ?????????????????? 显然有???????? . ????(2)若特征根负实数. 则通解为 ???????????????????? 显然X(t)在[0，+∞]上有界． ????（3）若特证根 则对应解为 ?????????????????????????? 显然 ??????????????????（3）与刘维尔公式有关的证明题 ????例6 ?证明：如果，则线性齐次微分方程组（3.8）至少存在一个解在区间[x0,+∞]上是无界的，这里x0是给定实数． 证明? 此题用刘维尔公式证明，设是线性齐次微分方程组（3.8）的n个解组成的朗斯基行列式，则由刘维尔公式有 ???????????????????????? 下面用反证法，假设方程组的所有解都在[x0,+∞]上有界，那么它的任意n个解所组成的朗斯基行一式有 ???????????????????????? 另一方面，由已知条件 另一方面，由已知条件 ????????????????????? ??????????????????????????????  这样，由刘维尔公式，推出矛盾．原题得证． （4）几个杂题 ??? 例7? 设是以为周期的连续函数，试导出微分方程组 ?????????????????????????? 有周期为的解的充要条件． ????解? 先求对应齐次方程组 ?????????????????????????? ?的通解为 ???????????????????? 再求非齐次通解 ???????????????????? 其中由于都是周期函数，所以 ???????????????????? 于是以为周期的充要条件是 ???????????????????????? 而?????????????????????  即 ???????????????????? 成立. ???? 例8? 试证：变换可将方程组 ?????????????????????????? 化为常系数线性方程组（其中A是常数矩阵）． ????证明? 作变换令，则，代入方程组，有 ????????????????????????????????????????????? 于是原方程组化为常系数线性方程组 ????????????????????????  ????例9? 求解方程组 ????????????????????????  解? 由例8当时，作变换，将方程组化为方程组 ??????????????????????????????????????????????? （1） ????????????????????????? （1）的对应的齐次方程组 ?????????????????????????? 的特征方程的特征根为它的通解为 ?????????????????????????? 用待定系数法，求（1）的形如 ?????????????????????????? 的特解，其中a, b, c, d是待定系数，可得特解 ????????????????????????? ???????????????????? 于是，（1）的通解为 ???????????????????? ????????????? （2） 对（2）作的逆变换，最后得到原方程组的通解 ???????????????????????? 习题课　四 ?内容小结 ????本章主要内容有 ????(1) 通过把n阶线性微分方程化成等价的一阶线性微分方程组，得到n阶线性微分方程的基本理论和解的基本性质： ??????① 解的存在惟一性定理，注意解的存在区间的整体存在性； ??????② 齐次方程的所有解构成一个n维性空间，齐次方程的通解由基本解组的线性组合构成．非齐通解的结构． ??????③ 线性无关解的判别法． ??????④ 解与系数的关系，即刘维尔公式． ????(2) n阶线性微分方程的解法． ??????① 求常系数齐次线性方程基本解组的待定指数函数法． ??????② 求一般非齐次线性方程解的常数变易法． ??????③ 求特殊形非齐次常系数线性方程解的待定系数法． ????(3) 线性微分方程，特别是二阶线性微分方程在电学、力学等实际问题中有着广泛应用，本章主要介绍了弹簧振动和电振荡两个例子．通过这两个例子的学习，要学会利用微分方程解决实际问题的基本方法． 习题选讲 ??? （1）有关解的存在惟一性的证明题 ????例1? 试验证，函数均是方程 ?????????????????????????????????????? （1） 之满足初值条件y(0)=0, y’(0)=0的解.这是否与定理4.1的结论相矛盾?为什么? ????解? 易于验证，均是方程的解，且显然满足同一初值条件 ????????????????????????y(0)=0,  但这与定理4.1并不矛盾，因为就二阶线性方程来说，定理4.1要求二阶导数的系数等于1.这样方程(1)应化为 ???????????????????? ??????????????????? （2） 显然，方程(2)的系数在x=0点不连续，故不满足定理4.1的条件，因而也不能保证解惟一. 例2? 已知方程 ?????????????????????????????????????????? （3） 其中p(x),q(x)在区间(a,b)上连续，求证：如果(x)是方程(4.66)定义在(a, b)上的解，且满足初值条件，则(x)=0在(a, b)上恒成立. ????证明? 由已知条件，方程（3）的任一解在区间(a, b)上存在且惟一，又y(x)≡0显然是（3）的解，并且这个零解满足初值条件，这样与零解满足同一初值条件，由解的惟一性y1(x)≡0，. ????例3? 在解惟一的情况下，n阶线性齐次微分方程的非零是否可以与x轴相交? ????答? 显然n阶线性齐次微分方程有零解y≡0，那么在解惟一的情况下，它的非零解是否可以与x轴相交呢?这要看在什么空间里，以二阶方程 ???????????????????? 为例，且设p(x)，q(x)在（－∞，＋∞）上连续. 显然，该方程有零解y(x)≡ 0，设y = y１(x)是它的一个非零解，那么在三维空间(x, y, y′)内，这个非零解绝对不能与x 轴相交，否则破坏解的惟一性.如果在二维空间，即平面上看，这个非零解就可以与x 轴横截相交()但不能与x 轴相切，这由解的惟一性定义是显然的. ????例4? 设方程中的p(x)和q(x)在[a, b]上连续，且p(x)<0.试证：对于方程的任一非零解y = y(x)，函数为严格单调递增函数，其中. ????证明? 设y = y(x)是该方程的任一非零解，那么 ?? 由于y = y(x)是非零解，则对定义区间上任一点x，均不能有同时为零，否则与解的惟一性矛盾，因为原方程显然有零解．又，因此，有成立，即是严格单调递增函数. （2）与朗斯基行列式和刘维尔公式有关的证明题 ????例5? 试讨论下列函数组在它们的定义区间上是线性相关的，还是线性无关的？ ???????（1） ???????（2） ???????（3） ???????（4） ????解? 以（3）为例，其余同样处理． ?????????????????? 取x = 0，则 ? 因此，函数组线性无关. ????例6? 试举一例，说明函数的朗斯基行列式只是函数组在某区间上线性相关的必要条件而非充分条件． ????解? 考虑函数组 ???????????????? 显然 ???????????????????? 即，对所有x恒有,但y1, y2在（-∞，+∞）上是线性无关的．为此，只需证明，要使等式 ??????????????????????????c 对（-∞，+∞）上一切x成立,必需．实际上，若取，对有 ???????????????????? 显然，它不能在（0，+∞）上恒等于零，从而不能在（-∞，+∞）上恒等于零．同样，对也可类似讨论. ????例7? 设在方程中，p(x)在区间I上连续且恒不为零，试证它的任意两上线性无关解的朗斯基行列式是在区间I上的严格单调函数. ???? 证明? 由 ???????????????????? 有?????????????  得W(x)为区间I上的严格单调函数. ?（3）关于解的渐近性的证明题 ????例8? 试讨论当p, q取什么数值时，方程的一切解当x→+∞时，都趋于零. 该题与下面的例9一起考虑． ????例9? 试讨论，当p, q 取什么数值时，方程的一切解在[a, +∞]上有界，其中a 是某确定的常数. 解? 特征方程??????  ??? 特征根????????  为相异实根时，通解为?  为重根时，通解为?????  为复根时，通解为  当 时  当 一切解有界. ????例10? 在方程中，在[a,+∞]上连续，且,试证明已知方程的任一解y(x)均有. ????证明? 先求齐次通解 ???????????????????????? 再用常数变易法求非齐次特解，令 ???????????????????????? 是非齐次特解，则满足 ???????????????? 解得 ?????????????????? 原方程通解为 ???????????????? 在通解两边取极限，有 ??????????????????? 其中前两个极限为零，而 ???????????????? 最后一个极限同样处理．于是，得到 ?????????????????????????????? （4）关于二阶线性齐次方程解的零点 ????例11? 已知方程，p(x), q(x)在（a, b）上连续，如果y1(x), y2(x),是方程的二个线性无关解，且a1, b1是y1(x)的两个相邻的零点，（a1 , b1，则y2(x)在（a1 , b1）上有且仅有一个零点. ????证明? 不妨设 ??????????????????? 又设 ???????????????? 则由 ??存在x1(a1, b1)有y2(x1)=0 ????其次证明在（a1, b1）上y2(x)仅存在一个零点．采用反证法，假设x1，x2是y2(x)在（a1, b1）上的两个相邻零点，且设x1, x2,重复上面讨论，对调y1与y2的地位，可知在（x1，x2）内存在一点x*使y1(x*)=0这与a1,b1是y1(x)的两个相邻零点矛盾． ????例12? 已知方程，p(x),q(x)在[a, b]上连续，证明方程的任一非零解在[a, b]上只能有有限个零点. [分析]? 本题是要证明二阶线性齐次方程零点具有孤立性，即，如果x=x0是非零解y(x)的一个零点，则存在x0的一个邻域，使得y(x)在该邻域内，除x=x0外不再有零点. ????证明? （反证法）否则在区间[a,b]内存在无限点列x1，x2，…，xn…，使得非零解y(xn) = 0, n=1,2,…，且当n→＋∞时，xn→x0，x0∈[a, b]，由于y(x)是连续的，有 ????????????? 因为y(x)是方程的解，故存在，再根据函数极限与数列极限的等价关系，有 ?????????????????? 上面两式表明，y(x)满足：y(x0) = 0，= 0，根据定理4.1，有y(x)≡0，这与y(x)是非零解的假设矛盾. ????例13? 已知方程，p(x),q(x)在[a,b]上连续，且q(x)<0，证明方程的任一非零解在[a, b]上最多只有一个零点. ????证明? 用反证法．假设非零解y = y(x)在[a, b]上有两个相邻零点x0，x1，且不妨设 ???????????????????? 用乘方程两端，有 ?????????????? 或表为 ???????????????????? 上式两端从x0到x1积分，得 ??????????????? 由上面分析可见，上式左端<0，右端>0，此为矛盾.命题得证. （5）二阶线性非齐次方程的边值问题 ????例14? 设p(x),q(x)，f(x)在[0，1]上连续，试证明，方程 ????????????????????? ?????????????????(1) 满足条件y(0) = y(1) = 0的解惟一的充要条件是：方程 ?????????????????????????????? ???????????(2) 只有零解满足条件. ????[分析]? 此问题称为两点边值问题，我们可以用代数方程组解的存在定理加以解决. ????证明? 设（2）的通解为 ???????????????????? ?????????????????? （3） 则（1）的通解是 ???????????????????????????????? （4） 这里y1(x)，y2(x)是（2）的一个基本解组，而y*(x)是（1）的一个特解. ????在（4）中代入边值条件y(0) = y(1) = 0有 ???????????????????????????????????? （5） 若（5）对C1, C2有惟一解，（等价于（1）满足y(0) = y(1) = 0有惟一解），当且仅当 ????????????????????????????????????????? （6） 现设是（2）的满足条件的解，往证（这等价于（3）中），将边值条件代入有 ??????????????????????? ???? ????????????（7） 方程组（7）对只有零解，当且仅当 ???????????????????????????????????????? ?（8） 由（6）式与（8）式，显然原题得证． 习题课　五 ???第1章? 自测题 ????一、填空题 ????1．方程的所有常数解是（ ）. ????2．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为（）. ????3.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是（）. ????4.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x 轴和 y 轴上的截距分别是（）. ????答案 ????1． ????2． ????3． ????4． ?二、单选题 ????1．方程是（ ???? ?????）. ????(A)可分离变量方程 ??????????? （B）线性方程 ????(C)全微分方程 ??????????????? （D）贝努利方程 ????答案：（B） ????2．方程，过点（0，0）有（ ? ）. ????(A) 一个解 ?????????????????? （B）两个解 ????(C) 无数个解????????????????? （D）三个解 ???? 答案：（C） ????3．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（ ??? ）. ????(A)y=±1, x=±1,??????????????? (B) y=±1 ????(C) x=±1?????????????????????????????????????? (D) y=1, x=1 ???? 答案：（A） ?4．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x = e时y=(??????? ). ????(A)???????? (B) ????????????(C)2??????????? (D) e ????答案：（B） ????三、求下列方程通解或通积分 ????1． ??????2.  ????3. ??????????4.  ????5. ??????6. ????四、设y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个互不相同的解，证明此方程的任一解y=y(x)恒满足 ???????????????????? ?四、设y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个互不相同的解，证明此方程的任一解y=y(x)恒满足 ???????????????????? 其中C为常数. ????五、在方程中，当时，. ????求证：该方程满足初值条件x(1)=x0的初值解x(t),有成立. ????五题的证明：记x(t)=x(t,1,x0) ????由常数变易公式，有 ???????????????????? ? ????注意，易证收敛必有. 所以有成立. ?第2章? 自测题 ????一、填空题 ????1. 若在(-∞，+∞)上连续，则方程的任一非零解(???? )与x 轴相交. ????2. 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（??????????????? ）． ????3. 连续是保证方程初值解唯一的(?????????? )条件. ????4. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是(??? )． ????答案：1.不能， 2.满足的平面区域， ????3.充分， 4.（） ????二、单选题 ????1. 方程过点(0，0)的解为，此解的存在区间是( ). （A）（－∞，＋∞） ??????（B） ????（C）（－∞，0）???? ??????（D）［0，＋∞］ ????答案：（B） ????2. 方程满足解的存在 ????唯一性定理条件的区域是(??? ). ????(A)全平面；??????????????? (B)y＞0的上半平面； ????(C)y＜0的下半平面；??????? (D)除去x 轴的全平面. ????答案：（D） ????3. 方程是否存在奇解(??? ). ????(A)无奇解；???????????????? (B)有奇解； ????(C)不一定；???????????????? (D)可能有奇解. ????答案：（A） ?4.函数f(x, y)=｜y｜对y 是否满足李普希兹条件(?? ). ????(A)不满足；????????????? (B)满足. ????(C)可能满足；??????????? (D)可能不满足 ????答案：（B） ???? 三、求方程的奇解，并画出积分曲线与奇解相切的图形. ???? 四、若(u)在(-∞,+∞)上连续可微，且当u≠0时，＜0，求证：方程的任一解y = y(x)均在(-∞,+∞)上存在，且当y(x)是非常值解时，那么y(x)是严格单调函数. ???? 三题解答：这是克莱洛方程，通解为 ???????????????????? ????包络线的方程为 ???????????????????? 消去c 得 ????????????????????????， 由于，故为奇解. ????四题提示： ????1．方程在全平面满足解的存在唯一及延展定理条件 ????2．即y=kπ,k=0,±1，±2,…，是方程的常数解. ????3.对平面内任一条形区域 ???????????????????? ?4.上述条形区域内任一解，必在（-∞，+∞）上存在，且是严格单调函数. ??第3章? 自测题 ????一.填空题 ????1. 若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间(????? )与x轴相交. ????2. 方程组的任何一个解的图象是(??? )维空间中的一条积分曲线. ????3. 向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的(??? )条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0. ????4. 线性齐次微分方程组，的一个基本解组的个数不能多于(?????? )个. ????答案：1.不能，? 2.n+1,? 3.必要，? 4.n+1. ????二.单选题 ????1.线性非齐次方程组的所有解(????? ). ?????(A)构成一个n 维线性空间 ????(B)构成一个n +1维线性空间 ????(C)不是线性空间 ????(D)构成一个无穷维线性空间 ????答案：(C). ????2.若A(x), F(x)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组的任一非零解是否可以与x轴相交?(???? ). ????(A)可以与 x 轴相交?????????? (B)不可以与x 轴相交 ????(C)也许可以???????????????? (D)也许不可以 ????答案：(A). 3.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?(???? ) ????(A)不可以?????????????????? (B)可以 ????(C)也许不可以?????????????? (D)也许可以 答案：(A).???????????????????????? ??4.若是线性齐次方程组的一个基解矩阵，T为非奇异n×n常数矩阵，那么T是否还是此方程的基解矩阵.(???? ) ????(A)是???????????????????????? (B)不是 ????(C)也许是???????????????????? (D)也许不是 ????答案：(A). ????三、求方程组 ?????????????????????????????? 的通解. ?????四、求方程组 ???????????????????????? 的通解. ????五、设W１(t)和W２(t)是线性齐次微分方程组 ???????????????????????? 的两个基本解组的朗斯基行列式，试证W１(t)=ＣW２(t)，其中C是一个不为零的任意常数. ??第4章? 自测题 ????一.填空题 ????1．若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们(??? )有共同零点. ????2．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是(????? ). ????3．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上(?? )与x轴横截相交. ????4．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个(?? )维线性空间. ????答案：1.不能， 2.线性无关， 3.可以， 4.n. ????二、单选题 ????1．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，若p(x),q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的非零解在xOy平面上(?? )与x 轴相切. ????(A)可以；????? ????????????(B)不可以； ????(C)也许可以；????????????? (D)也许不可以. 答案：(B). ????2．函数,在区间［a,b］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a, b]上线性相关的(??? ). ????(A)充分条件；????????????? (B)必要条件； ????(C)充分必要条件；????????? (D)充分非必要条件. ???答案：(B). ????3．n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?(??? ) ????(A)是；???????????????????? (B)不是； ????(C)也许是；???????????????? (D)也许不是. ???答案：(B). ????4．方程y″+xy′+ x2y＝sinx的所有解的最大存在区间一定是(??? ). ????（A）(-∞,+∞);?????????? （B）(-∞,0); （C）(0,+∞);???????????? （D） ????答案：(A). ????三、求下列方程的通解 ????１．y″+4y = 3sin2x? ?????????２． ????四、在方程y″+p(x)y′+q(x)y = 0中，若p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，且存在x０(-∞,+∞)使该方程的两个解y１(x),y2(x)，同时在x０处取极值，试证明y１(x),y２(x)不能是该方程的基本解组.答案：(A). ????第5章? 自测题 ????一、填空题 ????1. 纯量方程中，当a<0时，其零解是(?? )稳定的. ????2. 方程组的奇点类型是(???? ). ????3. 平面系统的奇点类型是(???? ). ????4. 如果平面自治 系统的解唯一，那么它在相平面上的轨线一定是(??? )的. ????答案：1.渐近，? 2.鞍点，? 3.鞍点，? 4.唯一． ????二、单选题 ????1.是一个(??? )的V函数. ????????????????????????? (A)正定的????????????????????? (B)负定的 ????(C)常正的???????????????????? ?(D)常负的 ????答案：(C). ????2.一阶方程中，当a = 0时，其零解是(???? ). ????(A)渐近稳定的????????????????? (B)稳定的 ????(C)不稳定的??????????????????? (D)不存在的 ????答案：(B). ????3.平面自治系统的闭轨都是极限环吗?(?? ) ????(A)都是????????????????????????? (B)都不是 ????(C)一定是??????????????????????? (D)不一定是 ????答案：(D). ????4.相平面上的一条闭轨，它在(t, x, y)空间上所对应的积分曲线(??? ). ????(A)只有一条????????????????????? (B)只有二条 ????(C)有无数条????????????????????? (D)只有三条 ????答案：(C). 三、用李雅普诺夫方法判断方程组 ???????????????????? 的零解的稳定性. ????四、确定系统 ???????????????????? 的奇点(0，0)的类型. ????三题，解．取，由于 ? 所以，方程组的零解是稳定的． ????四题，解．  特证根， ， 又 ???????? 同理 ????  因此原方程的奇点（0，0）是鞍点．