第二节 晶体结构
本节主要内容,
1.2.1 晶体结构的周期性
1.2.2 原胞
1.2.3 密堆积、配位数和致密度
(b) (c) (a)
(a),(b),(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
§ 1.2 晶体结构
1.2.1 晶体结构的周期性
所有晶体的结构可以用 晶格 来描述，这种晶格的每个格点
上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元,基元在空间周
期性重复排列就形成 晶体结构 。
一个 理想的晶体 是由 完全相同 的 结构单元 在空间 周期性 重
复排列而成的。
(b) (c) (a)
1.基元、格点和晶格
在晶体中适当选取某些原子作为一个 基本结构单元,这个
基本结构单元称为 基元,基元是晶体结构中 最小 的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构 。
(1)基元
(b) (c) (a)
任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一
个基元中不同原子周围情况则不相同 。
(2)晶格
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有
规则地做 周期性无限 分布，通过这些点做三组不共面的平行直
线族，形成一些网格，称为 晶格 (或者说这些点在空间周期性
排列形成的骨架称为 晶格 )。
(b) (c) (a)
晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的
具体内容，保留了晶体结构的周期性。
),,( 321332211 取整数nnnanananR ???
用矢量 表示
格点的排列。
(3)格点
晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为 格点 。
一个格点代表一个基元,它可以代表基元重心的位置，
也可以代表基元中任意的点子。
晶格 +基元 =晶体结构
(b) (a)
2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
(1)布拉维晶格
格点的总体称为 布拉维晶格,这种格子的特点是 每点周围
的情况完全相同 。
(2)简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且 每
个原子周围的情况完全相同,则这种原子所组成的网格称为
简单晶格 。
复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原
子各构成和格点相同的网格，称为 子晶格,它们相对位移而
形成 复式晶格 。
简单晶格 复式晶格
在晶格中取 一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周
期为边长形成的平行六面体 作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成
晶体，这个平行六面体即为 原胞,代表原胞三个边的矢量称为
原胞的基本平移矢量,简称 基矢 。
1.2.2 原胞
在晶格中取 一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周
期为边长形成的平行六面体 作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成
晶体，这个平行六面体即为 原胞,代表原胞三个边的矢量称为
原胞的基本平移矢量,简称 基矢 。
特点,格点 只在平行六面体的顶角上,面上和内部均无格
点,平均每个 固体物理学原胞包含 1个格点 。 它反映了晶体结构
的周期性 。
构造：取一格点为顶点，由此点向 近邻 的三个格点作三个
不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为 固体物理
学原胞 。
(1)固体物理学原胞 (简称 原胞 )
1.原胞的分类
基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。
321,,aaa
? ?321 aaaΩ ???体积为,
原胞内任一点的位矢表示为,
? ?1,,0 321332211 ????? xxxaxaxaxr
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
? ? ? ?,点的位矢格为某一其中 RRrr ????
? ?为整数321332211,,lllalalalR l ?????????
(2)结晶学原胞 （简称 单胞 ）
构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方
向，它具有明显的对称性和周期性。
基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。 cba,,
? ? Ωncbav ????
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上
及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
体积为,
(3)维格纳 --塞茨原胞
构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面 (或中垂线 )，由这些中垂面 (或中垂线 )所围成的最小体积
(或面积 )即为 W--S原胞 。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 1
个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
a
b
(1)一维原子链
a
? ? ? ? ? ?axxnax ???? 0??
2.几种晶格的实例
一维单原子链
一维双原子链
(2)二维
(a) (b)
8a
7a6a 5a
4a
3a
1a
2a
固体物理学原胞 维格纳 --塞茨单胞
(3)三维
立方晶系
accbba ??? cba ??
kac,jab,iaa ???
布拉维原胞的体积, 3aV ?
设 晶格常量 (布拉维原胞棱边的长度 )为 a,
k,j,i取 为坐标轴的单位矢量,
即立方体边长为 a,
(a)简立方
a
b
c
kaa
jaa
iaa
?
?
?
3
2
1 每个布拉维原胞包含 1个格点。
固体物理学原胞的体积 3aΩ ?
布拉维晶格 (简单格 )
平均每个布拉维原胞包含 4个 格点 。
? ? 3321 41 aaaaΩ ????
(b)面心立方
? ?
? ?
? ?jiaa
ki
a
a
kj
a
a
??
??
??
2
2
2
3
2
1
固体物理学原胞的体积
1a
3a
2a
ia
ja
ka
(c)体心立方
? ?
? ?
? ?kjiaa
kji
a
a
kji
a
a
???
???
????
2
2
2
3
2
1
平均每个布拉维原胞包含 2个 格点 。
? ? 3321 21 aaaaΩ ????
ia
ja
ka
1a
3a
2a
固体物理学原胞的体积
复式格
(a)金刚石结构
金刚石结构属面心立方,每个结晶学原胞包含 4个 格点 。
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4
的长度套构而成,其布拉维晶格为 面心立方 。
c c
c c
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含 1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（ 000）和 处。 ?
?
??
?
? 414141
(b)氯化钠结构
氯化钠结构由两个 面心立方 子晶格沿体对角线位移 1/2的
长度套构而成。
Cl-和 Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉维晶格为 面心立方 。
氯化钠结构属面心立方。
每个固体物理学原胞包含 1个格点，每个结晶学原胞包含 4
个 格点 。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的
选取方法相同。
基元由一个 Cl-和一个 Na+组成。
(000)
?????? 212121
Cl-的坐标为, Na+的坐标为 。
(c)氯化铯结构
?Cl
?Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 1/2的
长度套构而成。 Cl-和 Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶
格为 简立方, 氯化铯结构属简立方 。
每个固体物理学原胞包含 1个格点，每个结晶学原胞包含 1
个 格点 。基元由一个 Cl-和一个 Cs+组成。
(000)
?????? 212121
Cl-的坐标为, Cs+的坐标为 。
(d)钙钛矿结构
钙钛矿结构常写成 ABO3的形式 。
Ba O Ti
钡、钛和 3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由 5个 简立方
子晶格套构而成的。
一个晶胞包含 1个钡原子,1个钛原子和 3个氧原子。
钙钛矿 的氧
八面体 结构
(e)?--钨结构
B
B
A A A
A A
A
两个 B原子和 6个 A原子各组成 简立方 。
?--钨结构 由 8个子晶格套构而成。
一个晶胞包含 2个 B原子和 6个 A原子。
1.2.3 密堆积、配位数和致密度
1.配位数
一个粒子周围 最近邻的粒子数 称为 配位数,
它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，
配位数越大。
2.密堆积
如果晶体由 完全相同 的一种粒子组成，而粒子被看作小
圆球，则这些全同的小圆球最 紧密的堆积 称为 密堆积 。
第一层：每个球与 6个球相切，有 6个空隙，
如编号 1,2,3,4,5,6。
第二层：占据 1,3,5空位中心。
第三层：在第一层球的正上方形成 ABABAB······排列方式。
(1)六角密积
A B
六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。
cbar 213132,???即
?????? 213132
基元由两个原子组成，一个位于
(000)，另一个原子位于,
(2)立方密积
第一层：每个球与 6个球相切，有 6个
空隙，如编号为 1,2,3,4,5,6。
第二层：占据 1,3,5空位中心。
第三层：占据 2,4,6空位中心，
按 ABCABCABC······方式排列，形
成面心立方结构，称为 立方密积 。
B
A
密堆积特点,结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为 12。
3.配位数的可能值
配位数的可能值为,12(密堆积 ),8(氯化铯型结构 ),6(氯化
钠型结构 ),4(金刚石型结构 ),3(石墨层状结构 ),2(链状结构 )。
下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。
[1] 氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。
取大球中心为立方体的顶角，小球位
于立方体的中心。
设大小球半径分别为 R和 r,且 晶格常
量为 a。
?Cl
?Cs
? ? RRr 732.013 ???
,Rr,时当 17320 ??
取配位数为 8的氯化铯型结构。
?Cl
?Cs
? ???
?
?
?
??
?
rRa
aR
23
2 时排列最紧密，结构最稳定。 当
[2] 氯化钠型结构
设大小球半径分别为 R和 r,且晶格常
量为 a,当大小球恰能相切时,
? ? ? ? 22 22 RrR ??
41.012 ???Rr
? ? ? ? 22 22 RrR ??
,.Rr,时当 730410 ??
为氯化钠型结构，配位数为 6。
3.致密度,
如果把 等体积的硬球 放置在晶体结构中原子所在的位置上，
球的体积取得尽可能大，以 使最近邻的球相切,我们把一个晶
胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为 致密度 (堆积比率或
最大空间利用率 )。
ia
ja
ka
单胞体积
单胞中原子所占体积
设晶格常量为 a,原子半径为 R,则
例 1：求面心立方的致密度,
N是单胞中原子个数
cefi nnnnN 8
1
4
1
2
1 ????
内部原
子数
面上原
子数
棱上原子
数
顶角上
原子数
3
3
π
3
4
RNv
aV
?
?
aR 24 ?
V
v??:致密度
4881621 ?????N
3
4
2π
3
44
???
?
???
?
??
π62?
ia
ja
ka
cefi nnnnN 8
1
4
1
2
1 ????
3
3
π
3
4
RNv
aV
?
?
aR 24 ?
典型的晶体结构
fcc(Cu) 4 (000) )02121(
)21210()2
10
2
1( 2
2a
bcc
(W) 2 (000)
)212121( 2
3a
CsCl Cs+ 1
Cl- 1 )212121(
(000)
2
3a
12
8
8
结构型 单胞中的
原子个数
原子在单胞
中的位置
最近邻
距离 配位数
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子个数 原子在单胞 中的位置 最近邻 距离 配位数
8 (000) )02121( )21210( )21021(
4
3a
)212121(
2
a
4
金刚石
)414141( )414343( )
4
3
4
1
4
3( )
4
3
4
3
4
1(
NaCl Na
+ 4
Cl- 4
(000) )0
2
1
2
1( )21210( )
2
10
2
1(
)0021( )0210( )2100(
6
本节主要内容,
1.2.1 晶体结构的周期性
1.2.2 原胞
1.2.3 密堆积、配位数和致密度
(b) (c) (a)
(a),(b),(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
§ 1.2 晶体结构
1.2.1 晶体结构的周期性
所有晶体的结构可以用 晶格 来描述，这种晶格的每个格点
上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元,基元在空间周
期性重复排列就形成 晶体结构 。
一个 理想的晶体 是由 完全相同 的 结构单元 在空间 周期性 重
复排列而成的。
(b) (c) (a)
1.基元、格点和晶格
在晶体中适当选取某些原子作为一个 基本结构单元,这个
基本结构单元称为 基元,基元是晶体结构中 最小 的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构 。
(1)基元
(b) (c) (a)
任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一
个基元中不同原子周围情况则不相同 。
(2)晶格
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有
规则地做 周期性无限 分布，通过这些点做三组不共面的平行直
线族，形成一些网格，称为 晶格 (或者说这些点在空间周期性
排列形成的骨架称为 晶格 )。
(b) (c) (a)
晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的
具体内容，保留了晶体结构的周期性。
),,( 321332211 取整数nnnanananR ???
用矢量 表示
格点的排列。
(3)格点
晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为 格点 。
一个格点代表一个基元,它可以代表基元重心的位置，
也可以代表基元中任意的点子。
晶格 +基元 =晶体结构
(b) (a)
2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
(1)布拉维晶格
格点的总体称为 布拉维晶格,这种格子的特点是 每点周围
的情况完全相同 。
(2)简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且 每
个原子周围的情况完全相同,则这种原子所组成的网格称为
简单晶格 。
复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原
子各构成和格点相同的网格，称为 子晶格,它们相对位移而
形成 复式晶格 。
简单晶格 复式晶格
在晶格中取 一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周
期为边长形成的平行六面体 作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成
晶体，这个平行六面体即为 原胞,代表原胞三个边的矢量称为
原胞的基本平移矢量,简称 基矢 。
1.2.2 原胞
在晶格中取 一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周
期为边长形成的平行六面体 作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成
晶体，这个平行六面体即为 原胞,代表原胞三个边的矢量称为
原胞的基本平移矢量,简称 基矢 。
特点,格点 只在平行六面体的顶角上,面上和内部均无格
点,平均每个 固体物理学原胞包含 1个格点 。 它反映了晶体结构
的周期性 。
构造：取一格点为顶点，由此点向 近邻 的三个格点作三个
不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为 固体物理
学原胞 。
(1)固体物理学原胞 (简称 原胞 )
1.原胞的分类
基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。
321,,aaa
? ?321 aaaΩ ???体积为,
原胞内任一点的位矢表示为,
? ?1,,0 321332211 ????? xxxaxaxaxr
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
? ? ? ?,点的位矢格为某一其中 RRrr ????
? ?为整数321332211,,lllalalalR l ?????????
(2)结晶学原胞 （简称 单胞 ）
构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方
向，它具有明显的对称性和周期性。
基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。 cba,,
? ? Ωncbav ????
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上
及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
体积为,
(3)维格纳 --塞茨原胞
构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面 (或中垂线 )，由这些中垂面 (或中垂线 )所围成的最小体积
(或面积 )即为 W--S原胞 。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 1
个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
a
b
(1)一维原子链
a
? ? ? ? ? ?axxnax ???? 0??
2.几种晶格的实例
一维单原子链
一维双原子链
(2)二维
(a) (b)
8a
7a6a 5a
4a
3a
1a
2a
固体物理学原胞 维格纳 --塞茨单胞
(3)三维
立方晶系
accbba ??? cba ??
kac,jab,iaa ???
布拉维原胞的体积, 3aV ?
设 晶格常量 (布拉维原胞棱边的长度 )为 a,
k,j,i取 为坐标轴的单位矢量,
即立方体边长为 a,
(a)简立方
a
b
c
kaa
jaa
iaa
?
?
?
3
2
1 每个布拉维原胞包含 1个格点。
固体物理学原胞的体积 3aΩ ?
布拉维晶格 (简单格 )
平均每个布拉维原胞包含 4个 格点 。
? ? 3321 41 aaaaΩ ????
(b)面心立方
? ?
? ?
? ?jiaa
ki
a
a
kj
a
a
??
??
??
2
2
2
3
2
1
固体物理学原胞的体积
1a
3a
2a
ia
ja
ka
(c)体心立方
? ?
? ?
? ?kjiaa
kji
a
a
kji
a
a
???
???
????
2
2
2
3
2
1
平均每个布拉维原胞包含 2个 格点 。
? ? 3321 21 aaaaΩ ????
ia
ja
ka
1a
3a
2a
固体物理学原胞的体积
复式格
(a)金刚石结构
金刚石结构属面心立方,每个结晶学原胞包含 4个 格点 。
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4
的长度套构而成,其布拉维晶格为 面心立方 。
c c
c c
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含 1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（ 000）和 处。 ?
?
??
?
? 414141
(b)氯化钠结构
氯化钠结构由两个 面心立方 子晶格沿体对角线位移 1/2的
长度套构而成。
Cl-和 Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉维晶格为 面心立方 。
氯化钠结构属面心立方。
每个固体物理学原胞包含 1个格点，每个结晶学原胞包含 4
个 格点 。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的
选取方法相同。
基元由一个 Cl-和一个 Na+组成。
(000)
?????? 212121
Cl-的坐标为, Na+的坐标为 。
(c)氯化铯结构
?Cl
?Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 1/2的
长度套构而成。 Cl-和 Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶
格为 简立方, 氯化铯结构属简立方 。
每个固体物理学原胞包含 1个格点，每个结晶学原胞包含 1
个 格点 。基元由一个 Cl-和一个 Cs+组成。
(000)
?????? 212121
Cl-的坐标为, Cs+的坐标为 。
(d)钙钛矿结构
钙钛矿结构常写成 ABO3的形式 。
Ba O Ti
钡、钛和 3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由 5个 简立方
子晶格套构而成的。
一个晶胞包含 1个钡原子,1个钛原子和 3个氧原子。
钙钛矿 的氧
八面体 结构
(e)?--钨结构
B
B
A A A
A A
A
两个 B原子和 6个 A原子各组成 简立方 。
?--钨结构 由 8个子晶格套构而成。
一个晶胞包含 2个 B原子和 6个 A原子。
1.2.3 密堆积、配位数和致密度
1.配位数
一个粒子周围 最近邻的粒子数 称为 配位数,
它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，
配位数越大。
2.密堆积
如果晶体由 完全相同 的一种粒子组成，而粒子被看作小
圆球，则这些全同的小圆球最 紧密的堆积 称为 密堆积 。
第一层：每个球与 6个球相切，有 6个空隙，
如编号 1,2,3,4,5,6。
第二层：占据 1,3,5空位中心。
第三层：在第一层球的正上方形成 ABABAB······排列方式。
(1)六角密积
A B
六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。
cbar 213132,???即
?????? 213132
基元由两个原子组成，一个位于
(000)，另一个原子位于,
(2)立方密积
第一层：每个球与 6个球相切，有 6个
空隙，如编号为 1,2,3,4,5,6。
第二层：占据 1,3,5空位中心。
第三层：占据 2,4,6空位中心，
按 ABCABCABC······方式排列，形
成面心立方结构，称为 立方密积 。
B
A
密堆积特点,结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为 12。
3.配位数的可能值
配位数的可能值为,12(密堆积 ),8(氯化铯型结构 ),6(氯化
钠型结构 ),4(金刚石型结构 ),3(石墨层状结构 ),2(链状结构 )。
下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。
[1] 氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。
取大球中心为立方体的顶角，小球位
于立方体的中心。
设大小球半径分别为 R和 r,且 晶格常
量为 a。
?Cl
?Cs
? ? RRr 732.013 ???
,Rr,时当 17320 ??
取配位数为 8的氯化铯型结构。
?Cl
?Cs
? ???
?
?
?
??
?
rRa
aR
23
2 时排列最紧密，结构最稳定。 当
[2] 氯化钠型结构
设大小球半径分别为 R和 r,且晶格常
量为 a,当大小球恰能相切时,
? ? ? ? 22 22 RrR ??
41.012 ???Rr
? ? ? ? 22 22 RrR ??
,.Rr,时当 730410 ??
为氯化钠型结构，配位数为 6。
3.致密度,
如果把 等体积的硬球 放置在晶体结构中原子所在的位置上，
球的体积取得尽可能大，以 使最近邻的球相切,我们把一个晶
胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为 致密度 (堆积比率或
最大空间利用率 )。
ia
ja
ka
单胞体积
单胞中原子所占体积
设晶格常量为 a,原子半径为 R,则
例 1：求面心立方的致密度,
N是单胞中原子个数
cefi nnnnN 8
1
4
1
2
1 ????
内部原
子数
面上原
子数
棱上原子
数
顶角上
原子数
3
3
π
3
4
RNv
aV
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aR 24 ?
V
v??:致密度
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3
4
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3
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3
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RNv
aV
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aR 24 ?
典型的晶体结构
fcc(Cu) 4 (000) )02121(
)21210()2
10
2
1( 2
2a
bcc
(W) 2 (000)
)212121( 2
3a
CsCl Cs+ 1
Cl- 1 )212121(
(000)
2
3a
12
8
8
结构型 单胞中的
原子个数
原子在单胞
中的位置
最近邻
距离 配位数
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子个数 原子在单胞 中的位置 最近邻 距离 配位数
8 (000) )02121( )21210( )21021(
4
3a
)212121(
2
a
4
金刚石
)414141( )414343( )
4
3
4
1
4
3( )
4
3
4
3
4
1(
NaCl Na
+ 4
Cl- 4
(000) )0
2
1
2
1( )21210( )
2
10
2
1(
)0021( )0210( )2100(
6
