第二章 信源熵
2010-5-21 1
讨论题
设有 12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只
知道假币的重量与真币的重量不同，但不知究
竟是重还是轻。现采用天平比较左右两边轻重
的方法来测量（因无砝码）。为了在天平上称
出哪一枚是假币，试问至少必须称多少次？
第二章 信源熵
2010-5-21 2
解答：在 12枚同值硬币中，哪一枚是假币，假币的重量是比真币的
重量重还是轻，都是“无知”、“不确定的”。而用天平比较左
右两边轻重的测量方法，每测一次，能获得一定的信息量，能消
除部分不确定性，则就能确定出其中一枚假币及其重量。因此，
设“在 12枚同值硬币中，某一枚为假币”这事件为,其出现的概
率为
又设“假币的重量比真币的重量是重或轻”这事件为,其出现
的概率为
事件 的不确定性为
事件 的不确定性为
a
1()
12pa ?
1()
2pb ?
22( ) l o g ( ) l o g 1 2I a p a? ? ?
22( ) l o g ( ) l o g 2I b p b? ? ?
b
b
a
第二章 信源熵
2010-5-21 3
要发现某假币并知其比真币重还是轻所需的信息量就
是要消除这两个事件的不确定性。因为这两个事件是
统计独立事件，所以需要获得的信息量为
而在天平上称一次能判断出三种情况：重、轻和相等，
这事件为 。这三种情况是等概率的。其概率
为 。
所以，天平测一次能获得的信息量（即消除的不确定
性）为
则至少必须称的次数为
因此至少必须称三次
1 2 2 2( ) ( ) l o g 1 2 l o g 2 l o g 2 4 4, 5 8 5 ( )I I a I b b it? ? ? ? ? ?
( ) 1/ 3pc ?
c
2 2 2( ) l o g ( ) l o g 3 1,5 8 5 ( )I I c p c b it? ? ? ? ?
12
22
l og 24 2.9( )
l og 3
I
I ?? 次
第二章 信源熵
2010-5-21 4
也可不用信息量的方法解答,
首先分成 3分，每分 4个。称任意两分。
? 如果两边相平就可以断定假币在另一份中，刚刚称过
的为标准币。把有假币的一份标记为 1,2,3,4。第
二次称，取 3枚标准币和 1,2,3称，如果平则假币是
4。那么用 1枚标准币和 4称可知假币轻重。如果不平，
不妨设 1,2,3重，则 1,2,3中有重币，称 1,2。
如果平则 3是假币，重。否则，谁重谁就是假币。轻
者，同样处理。
第二章 信源熵
2010-5-21 5
? 如果第一次称两边不平，则把重的标记为 1,2,3,4，
轻的标记为 5,6,7,8。剩下的标记为 9,10,11，
12。可知 9,10,11,12为标准币。第二次称 1,9，
10,11和 5,2,3,4。如果平，则说明 6,7,8中有
一个轻币，称 6,7。如果平，则 8是假币，轻。如果
不平，则轻者为假。好，如果第二次不平，不妨设 1，
9,10,11重，则有 2种可能,1重或者是 5轻。第三
次只要称 1和标准币就可以知道了。如果 1重，则 1是
假币。否则 5是假币，轻。
第二章 信源熵
2010-5-21 6
? 那么如果第二次不平,5,2,3,4重，则可
以说明 2,3,4中有一个重币。那么第三次称
2,3。如果平，则 4是重币，否则重者为假币。
? 至此，在 3次内称出了结果。
第二章 信源熵
2010-5-21 7
讨论
? 题中所问为找一种方法 至少必须称多少次 能够找出假
币
? 经过理论推算我们肯定有一种最优的方法可以在 3次
内找出这枚假币。由理论知要找出这枚假币至少要得
到 4.585比特的信息量，而若要在三次内找到这枚假
币就必须保证每次称量获得的信息量至少为 1.585比
特。
? 但是实际中有可能有的人只用一次就找到了假币，这
种概率很小,当然这个人只一次就获得了很大的信息量；
也有可能有人方法不当测了很多次都找不到这枚假币，
所以说由理论得出的结论只是一种最优次数。
2010-5-21 1
讨论题
设有 12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只
知道假币的重量与真币的重量不同，但不知究
竟是重还是轻。现采用天平比较左右两边轻重
的方法来测量（因无砝码）。为了在天平上称
出哪一枚是假币，试问至少必须称多少次？
第二章 信源熵
2010-5-21 2
解答：在 12枚同值硬币中，哪一枚是假币，假币的重量是比真币的
重量重还是轻，都是“无知”、“不确定的”。而用天平比较左
右两边轻重的测量方法，每测一次，能获得一定的信息量，能消
除部分不确定性，则就能确定出其中一枚假币及其重量。因此，
设“在 12枚同值硬币中，某一枚为假币”这事件为,其出现的概
率为
又设“假币的重量比真币的重量是重或轻”这事件为,其出现
的概率为
事件 的不确定性为
事件 的不确定性为
a
1()
12pa ?
1()
2pb ?
22( ) l o g ( ) l o g 1 2I a p a? ? ?
22( ) l o g ( ) l o g 2I b p b? ? ?
b
b
a
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2010-5-21 3
要发现某假币并知其比真币重还是轻所需的信息量就
是要消除这两个事件的不确定性。因为这两个事件是
统计独立事件，所以需要获得的信息量为
而在天平上称一次能判断出三种情况：重、轻和相等，
这事件为 。这三种情况是等概率的。其概率
为 。
所以，天平测一次能获得的信息量（即消除的不确定
性）为
则至少必须称的次数为
因此至少必须称三次
1 2 2 2( ) ( ) l o g 1 2 l o g 2 l o g 2 4 4, 5 8 5 ( )I I a I b b it? ? ? ? ? ?
( ) 1/ 3pc ?
c
2 2 2( ) l o g ( ) l o g 3 1,5 8 5 ( )I I c p c b it? ? ? ? ?
12
22
l og 24 2.9( )
l og 3
I
I ?? 次
第二章 信源熵
2010-5-21 4
也可不用信息量的方法解答,
首先分成 3分，每分 4个。称任意两分。
? 如果两边相平就可以断定假币在另一份中，刚刚称过
的为标准币。把有假币的一份标记为 1,2,3,4。第
二次称，取 3枚标准币和 1,2,3称，如果平则假币是
4。那么用 1枚标准币和 4称可知假币轻重。如果不平，
不妨设 1,2,3重，则 1,2,3中有重币，称 1,2。
如果平则 3是假币，重。否则，谁重谁就是假币。轻
者，同样处理。
第二章 信源熵
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? 如果第一次称两边不平，则把重的标记为 1,2,3,4，
轻的标记为 5,6,7,8。剩下的标记为 9,10,11，
12。可知 9,10,11,12为标准币。第二次称 1,9，
10,11和 5,2,3,4。如果平，则说明 6,7,8中有
一个轻币，称 6,7。如果平，则 8是假币，轻。如果
不平，则轻者为假。好，如果第二次不平，不妨设 1，
9,10,11重，则有 2种可能,1重或者是 5轻。第三
次只要称 1和标准币就可以知道了。如果 1重，则 1是
假币。否则 5是假币，轻。
第二章 信源熵
2010-5-21 6
? 那么如果第二次不平,5,2,3,4重，则可
以说明 2,3,4中有一个重币。那么第三次称
2,3。如果平，则 4是重币，否则重者为假币。
? 至此，在 3次内称出了结果。
第二章 信源熵
2010-5-21 7
讨论
? 题中所问为找一种方法 至少必须称多少次 能够找出假
币
? 经过理论推算我们肯定有一种最优的方法可以在 3次
内找出这枚假币。由理论知要找出这枚假币至少要得
到 4.585比特的信息量，而若要在三次内找到这枚假
币就必须保证每次称量获得的信息量至少为 1.585比
特。
? 但是实际中有可能有的人只用一次就找到了假币，这
种概率很小,当然这个人只一次就获得了很大的信息量；
也有可能有人方法不当测了很多次都找不到这枚假币，
所以说由理论得出的结论只是一种最优次数。
