分形与混沌
哈尔滨工业大学
刘 挺
内容目录
哲学与研究
分形的基本思想
混沌的基本思想
哲学与研究
哲学是人类认识世界的最高层次的思考。
寻找世界的本原问题；
人类在世界中的位置，即人类作为认识的主
体在研究中的重要性。
了解哲学是从总体上、大局上把握世界；把
握研究的方向，不至于走入死胡同。
付里叶变换
Fourier是法国大革命时期的数学家，他
在频谱分析领域做有卓越的贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种
哲学：世界是有, 基元, 组成的，任何
一种物质只是基元的加权的代数和。基
元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具
有一种相同的特性，即运动应由基元组
成。
付里叶变换（续）
Fourier通过研究, 振动弦, 的运动得出
一个规律：即振动弦的运动可以分解为
多个, 正弦, 信号的和。
又通过对很多现象的研究,Fourier得出
一个结论：任何一个信号可以分解为多
个, 简谐周期函数, 的加权和，而 sin(x)、
cos(x)是最简单的, 简谐周期函数, 。
付里叶变换（续）
由此，付里叶得出如下的结论：
))co s ()s i n ((2)( 0 n wtibn wtaatf n
n
n ??? ?
??
???
任意时
间周期
信号
基元权值
常量
付里叶变换（续）
从当时的角度（哲学观点）来看，是任
何一个信号可以表示为, 正弦, 信号的
加权和，符合哲学观点，推导正确。
当 Fourier将论文提交给法国研究院，由
Lagrangri等三名数学家组成的委员会没
有允许该论文的发表，原因是该数学推
导不严格,Lagrangri提出对于处处不可
导的信号（函数）该理论不成立。
神经元理论
神经元网络：神经元网络 (Nerual Net)指
由大量神经元互连而成的网络，有点象
服务器互连而成的国际互连网 (Internet).
人脑有 1000亿个神经元，每个神经元平
均与 10000个其他神经元互连，这就构成
了人类智慧的直接物质基础。
y
x1
?
x2
x3
xn
)(
1
?
?
??
n
i
ii xwfy ?
w1
w2
w3
wn
Artifi
cial Neural
Network(A
NN)
O1 O2 O3
神经元网络
是根据生物的神经元组成而得来的
两态工作，即只有兴奋和抑制两个状态
阈值作用，超过某个阈值，神经元兴奋
多输入、单输出，树状突起获得众多输
入，轴突单输出
空间、时间叠加
可塑性连接，突起的连接强度可调节
神经元网络（续）
每个神经元是基元，任何一个函数 f(x)可以通
过神经元的加权和而得到。神经元的数目可以
选择，层次的个数可以选择，原则上三层以上
即可以模拟任何一个函数（包括线性函数、非
线性函数）功能十分强大！
网络模型构建后，需要获得权值，权值的获取
方法是训练。即选择足够的训练样本空间，对
模型中的连接进行训练，训练完成，既可以用
于相关的应用。
神经元网络（续）
一个非常好的思路，可以同时解决线性和非线
性问题！
问题是：训练样本空间与应用样本空间不是一
个集合，用训练样本空间训练出来的神经元模
型对于样本空间的样本是最优的结果，而对于
应用样本空间就不一定是最优的结果！
例如：应用神经元网络识别 0~9个数字，选定
三层神经网（输入层、隐含层、输出层），隐
含层包含 128个节点，训练样本空间选择 0~9
的手写数字分别为 100个，共 1000个样本集。
神经元网络（续）
训练结束后，对于样本空间的样本的识
别率可以达到 100%，而如果选择一个手
写的字母, A”作为识别样本，发现他也
会得出一个 0~9之间的一个结果，显然出
现了误识。
那么误识率会是多大？
结 论
在世界是由基元组成这一哲学思想下，
产生了一系列的十分有效的技术，可见
哲学对研究的意义。
相反，如果没有一种哲学思想，我们的
研究如何归纳总结出一种一般的规律？
总结出的规律正确与否？
分形几何的基本思想
研究对象
欧几里得几何学的研究对象是具有特征
长度的几何物体：
一维空间：线段，有长度，没有宽度；
二维空间：平行四边形，有周长、面积；
三维空间：球，表面积、体积；
自然界中很多的物体具有特征长度，诸
如：人有高度、山有海拔高度等。
研究对象
有一类问题却比较特别,Mandelbrot就
提出了这样一个问题：英国的海岸线有
多长？
英国的海岸线地图
研究对象（续）
当你用一把固定长度的直尺 (没有刻度 )来测量
时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线
，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不
精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就
会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近
似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发
现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就
越大。
如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
研究对象（续）
得到的结论是：海岸线的长度是多少：
决定与尺子的长短。
海岸线的长度是无限的！
而显然海岸线的面积为零；
而我们确实看到了海岸线的存在，而且
海岸线应该是有界的。
海岸线什么有界？（长度、面积、体积
显然无界）。
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。
同样的道理：长度无限、面积为零、而
曲线还有, 界, 。
另外，有一个特点：当取其中的一部分
展开，与整体有完全的自相似性，似乎
是一个什么东西的无数次的自我复制。
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子
似乎与整体有某种相似
性。
England的海岸线从视
觉上也感觉有某种自相
似性
分形的概念
分形理论的创始人 B.B.Mandelbrot，有人译为
曼德尔布罗特，有人译为曼得勃罗等等 通过对
这些不具有特征长度（欧氏几何学研究不了的
问题）提出了一个全新的概念,分形、分形几
何、分数维 ----fractal。
fractal一词是由 Mandelbrot自创的,来自于描述碎石的拉丁文
fractus
曼德布罗特擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简
单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学特别是几何
学与计算机兼通的难得人才。 1967年发表于美国, 科学, 杂志上
的, 英国的海岸线有多长, 的划时代论文，是他的分形思想萌芽
的重要标志。 1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几
何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有
力工具。
分形的概念（续）
形看作具有如下所列性质的集合 F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整
体。
F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描
述。
F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统
计意义下的。
F在某种方式下定义的, 分维数, 通常大于 F的扑维
数。
F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
Julia Set
Julia Set:
Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代
入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散，
而發散與收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的
圖形。
根据 C,Z0的不同会生成不同的 Julia集合
Mandelbrot Set
在复平面中,M集是通过下述迭代式产生
的：
Zn+1=Zn^2+C。
其中,Z和 c都是复数，由各自的实部
和虚部组成
Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
展开得：
Xn+1 = Xn 2 -Yn2+Cx （实部）
Yn+1 = 2*XnYn+Cy （虚部）
对上述迭代式反复进行迭代，得到的数
集，称为 Mandelbrot集，简称 M集。在迭
代过程中,Z的初值定为 0，而 C选择一个
不为 0的数,使 C在复平面的某个区域内有
规律地变化，对于二次函数 fc(Z)=Z^2+C
的迭代，定义 M集为：
M={c∈ C:fck(0)/→ ∞ (k→∞ )}。
用不同的 C值反复进行迭代，由此产生的 Zk序
列有两种情况：
（ 1） Zk序列自由地朝着无穷大的方向扩散，
即发散；
（ 2） Zk序列被限制在复平面的某一区域内，
即收敛。
建立判断收敛与发散的判断准则，对于那些收
敛的 Zk序列的点，设置某种颜色的色调，就可
以显示 M集的计算机图象。对于那些发散的 Zk
序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的
规则着上不同颜色的色调，就能显示 M集周围
的图象。
自然界中的分形
山 星 云
星 云
天空中的云朵
植物的叶子
视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤
毛细血管分布
河流分布图
自然界中的分形
股票价格曲线
岩石裂缝
金属损伤裂缝
道路分布
神经末梢的分布
…………
局部结论
从分析上述现象可以看到,Julia,Mandelbrot
集合所显现出来的图形是极端复杂的，而且存
在着自相似性（即局部等于全体），而这么复
杂的图形是由一个非常简单的方程通过初值的
选择反复迭代得到的结果。
反推回来，一个具有分形特征的自然现象是否
可以认为是有一个非常简单的方程通过初值的
选择反复迭代得到的结果？如果是，只要找到
方程和初值，就可以随意地生成我们所希望的
图形？
如何来研究分形？
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在 Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点 ---0维；
线 ---1维；
面 ---2维；
体 ---3维。
如何来研究分形？（续）
将长度为 1的线段分为 n等分,每段长为 r,则
n ? r = 1
将面积为 1的正方形 n等分,每一个小正方形
的边长为 r,则
n ? r2 = 1
将体积为 1的正方体 n等分,每一个小正方体
的边长为 r,则
n ? r3 = 1
分形维数
从上面的等式中可以看到,r 的幂次实际
就是该几何体的空间维数,可以表示为,
n ? rD = 1
对上式两边取对数得,
显然,D具有维数的概念,
x
nD
ln
ln??
分形维数 (续 )
对 Koch曲线而言
分形维数 (续 )
在第 n步时,其等长折线段总数为 4n,每段
的长度为
则 Koch曲线的维数为,
英国海岸线的维数为 D=1.25 (Mandelbrot)
n?
?
??
?
?
3
1
2 6 1 8 6.1
3ln
4ln
3
1ln
4ln ??
?
?
??
?
?
?? n
n
D
如何来研究分形？（续）
拓扑维数：
拓扑维数是比分形维数更基本的量,以 Dt表示,
它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变
的,0维即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭
转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是 0,
而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是 1.所
以,拓扑维数就是几何对象的经典维数 Dt=d.拓
扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整
数维数,
Hausdorff维数：
对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维
数的 "尺 r"去度量,则可得到一确定的数值 N;
若用低于它维数的, 尺, 去量它,结果为无穷大 ;
若用高于它维数的, 尺, 去量它,结果为零,其数学
表达式为,
N(r)～ r-Dh
上式两边取自然对数,整理后可得
Dh=lnN(r)/ln(1/r)
或
Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)]
式中的 Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,
也可以是分数,
欧氏几何体,它们光滑平整,其 D值是整数,
人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称
为分形,把此时的 Dh值称为该分形的分形
维数,简称分维,也有人把该维数称为分数
维数,当然还必须看其是否具有自相似性
和标度不变性,
102 103 104101
102
103
104
105
101
log ?
log
N
(?)
25.1lo g )(lo g ?? ??ND
英国海岸线的
分形维数
D=1.25
英国海岸线的自相似性
及分形维数的获得
语音信号是分形的
102 103 104101
102
103
104
105
101
log ?
log
N
(?)
?
?
lo g
)(lo g ND ?
Texture语音的
分形维数
D=1.66
英国海岸线的
分形维数
D=1.25
维数的含义
分形是复杂不规则的系统,而描述这系统的粗糙,破碎,
不规则,不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就是非
整数维数,
分维,分数维数是描述复杂对象或系统的最基本特征 --
分形特征的定量参数,
分维 D度量了系统填充空间 (致密 )或缝隙 (疏松 )的能力,
刻划了系统的无序性,表征了动力学系统最低的基本或
独立变量的个数,
豪斯道夫维数定量地描述了一个集合规则与不规则的
几何尺度,其整数部分反映出图形的空间规模 (整数维
数 ).
对于奇怪吸引子,维数给出了需要表征其上点的位置所
需的信息量,广义维数或奇异谱主要表征多分形的非均
衡性和奇异性,
描述的对象 层次性自相似性 特征长度 表达方式 维数
人类创造的简
单的标准物体
(可微,可导,连
续,光滑,规整 )
常无 有 用数学公式 0 及正整数
1 或 2 或 3
大自然创造的
复 (非欧几何
学 ) 杂的真实
物体 (不连续,
不可导,不规则,
粗糙,不光滑,
曲折 )
有 无 用迭代语言,分
维
一般是分数
(可是正整数 )
分形几何学与欧氏几何学的差异
分
形
几
何
学
欧
氏
几
何
学
IFS
混沌的思想
混沌的产生
下面是著名的洛伦兹吸引子。洛伦兹
(E.N.Lorenz)是当代世界知名的动力气象学家、
混沌理论的少有几位创立者之一。他在 1963年发
表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了 12年
之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研
究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科 —
混沌理论，成为现代新兴学科的代表。洛伦兹吸
引子方程如下：
混沌的产生 (续 )
混沌的产生 (续 )
奇异吸引子
湍 流 (turbulence)
复杂、不规则、貌似游走无常的流体运动。
例如：水流的漩涡；
以前的理论解释：模态（ modes）周期运
动。
当流体受到外力的作用时，一定数目的模态就
被激发出来；
没有模态被激发，流体就处于定常状态；
如果单一模态被激发，就是周期振荡；
如果几个模态被激发，流动变得不规则；
许多模态被激发时，就是湍流。
初始条件敏感依赖性
有圆形或凸起障碍物的台球游戏
不考虑“自旋”；
忽略摩擦；
假设碰撞是弹性的；
?
真实球
虚拟球
混沌的定义
设 V为一个集合,f:V V称为在 V上是混沌
的,如果,
f 对初始条件的敏感依赖性 ;
f 是拓扑传递的 ;
周期点在 V中是稠密的 ;
? 烟头燃烧，没有
任何外力的情况下，
烟会自动分解。
?在什么时候分解？
?什么原因分解？
?分解时刻是否可以
预测？
一维逻辑斯蒂映射
映射 (mapping)也叫迭代 (iteration)
xn+1=2xn，若 x1=3,则 x2=6,x3=12…… 。
从控制系统的角度看，这也叫反馈 (feedback)，
把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反
馈的结果有若干种：
发散的、收敛的、周期的等等。
但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动
类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期
循环的迭代过程?
这就是有界非周期运动，它与混沌有关
逻辑斯蒂映射的形式为
其中 a是参数，取值范围是［ -2,4］，通常人们
只注意［ 0,4］这一半，其实另一半 ［ -2,0］
也一样有趣。 x的取值为［ 0,1］。映射的不动
点是指满足关系 ξ=aξ(1- ξ)的相点 ξ,解得
ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。设映射用 f 表示,f 的 2次
迭代记作 f 2,3次迭代记作 f 3，等等 。注意，
这种记法不表示乘方关系。 f 的不动点也叫 f 的
周期 1点。 f 2的不动点实际上是 f 的周期 2点。
同理 f n的不动点与 f 的周期 n点是一回事。
1 ( 1 )n n nx ax x? ??
映射 f 的周期 m点的稳定性由乘子
完全决定。映射 f 的周期点 (包括不动点，
它为周期 1点 )的稳定性可具体定义为：
｜ λ｜＜ 1，吸引，稳定；
｜ λ｜＞ 1，排斥，不稳定；
｜ λ｜ =1，中性；
λ=0，超稳定。
?
?
???
m
i
im
m
xfxfxfxf
dx
df
1
''
2
'
1
' )()(),,,()(?
以参数 a为横坐标、以 x的稳定定态
(stable steady states)为纵坐标作图,得
到 1、图 2等。从图中可以看出开始是周
期加倍分岔 (也称周期倍化分岔或周期倍
分岔 )，然后是混沌，混沌区中又有周期
窗口。窗口放大后又可见到同样结构的
一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根
鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻
分岔间距之 比收敛到一个不变的常数：
不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，
对于一维, 单峰, 映射，都能算出同一
个常数 δ 来。
δ的含义是什么？意义何在？
1
1
l i m 4.66 9,20 1,60 9....,..nn
n
nn
aa
aa?
?
??
?
???
?
The general concept of chaos
如果一个接近实际而没有系统内在随机
性的模型仍然具有 貌似随机 的行为,就可
以称这个真实的物理系统是混沌的,
例如,钟摆的摆动。如果科学家忽略任何
外来的随机扰动和气流，该模型应是线
性的、周期性的系统。
易于操作的概念
首先了解随机性的概念：
随机性包含两部分：
狭义随机性,随时发生的任何事件在下个
时刻也可能发生。 通常理解为：某特定事
件在下一时刻发生的概率等于其在此后任
意时刻发生的概率。诸如：投掷硬币，完
全的随机性。
广义随机性,下一个时刻可能出现的某些事
件中的任一个；这并不要求过去发生的任何
事件也可下个时刻发生。 诸如：洗牌过程。
下次的洗牌结果应与上次洗牌结果有关。不
是完全的随机性。
易于操作的概念
确定性
确定性序列中下一个时刻只可能发生一
件事，就是说其演变由精确的法则决定。
广义随机性与缺乏确定性是同一个意思。
对于公路上车速这样的连续变化量而言，
引入完全随机连续过程的概念是有意义
的。
混沌
混沌可以说他是确定性的行为；
或者，若考虑他出现在稍微有点随机性
的实际系统中，也可以说他是近似与确
定性的，然而却不是看起来像确定性的。
在某些动力系统中，两个几乎一致的状
态经过充分长的时间后会变得毫无一致
性。
动力系统
动力系统是指随时间确定性地变化的系
统，例如：中白、滚石、碎浪的数学模
型。系统的状态可由一个或几个变量的
数值来确定。
简单总结得出
上述的系统被称作敏感地依赖于 初始条
件 。
初始条件：是一个试验或计算开始时的
条件。也可以是研究者感兴趣所在的任
一时刻开始的条件。
初始条件应是内在的，而不是外部的条
件。
弹球器的例子
老式的弹球器。只由槽针组成。
球撞击槽针作为一个事件。一个事件的
后果包括：被撞的槽针、从槽针到球心
的方向、球离开槽针时的速度。
混沌可以理解为貌
似随机的确定性。
哈尔滨工业大学
刘 挺
内容目录
哲学与研究
分形的基本思想
混沌的基本思想
哲学与研究
哲学是人类认识世界的最高层次的思考。
寻找世界的本原问题；
人类在世界中的位置，即人类作为认识的主
体在研究中的重要性。
了解哲学是从总体上、大局上把握世界；把
握研究的方向，不至于走入死胡同。
付里叶变换
Fourier是法国大革命时期的数学家，他
在频谱分析领域做有卓越的贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种
哲学：世界是有, 基元, 组成的，任何
一种物质只是基元的加权的代数和。基
元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具
有一种相同的特性，即运动应由基元组
成。
付里叶变换（续）
Fourier通过研究, 振动弦, 的运动得出
一个规律：即振动弦的运动可以分解为
多个, 正弦, 信号的和。
又通过对很多现象的研究,Fourier得出
一个结论：任何一个信号可以分解为多
个, 简谐周期函数, 的加权和，而 sin(x)、
cos(x)是最简单的, 简谐周期函数, 。
付里叶变换（续）
由此，付里叶得出如下的结论：
))co s ()s i n ((2)( 0 n wtibn wtaatf n
n
n ??? ?
??
???
任意时
间周期
信号
基元权值
常量
付里叶变换（续）
从当时的角度（哲学观点）来看，是任
何一个信号可以表示为, 正弦, 信号的
加权和，符合哲学观点，推导正确。
当 Fourier将论文提交给法国研究院，由
Lagrangri等三名数学家组成的委员会没
有允许该论文的发表，原因是该数学推
导不严格,Lagrangri提出对于处处不可
导的信号（函数）该理论不成立。
神经元理论
神经元网络：神经元网络 (Nerual Net)指
由大量神经元互连而成的网络，有点象
服务器互连而成的国际互连网 (Internet).
人脑有 1000亿个神经元，每个神经元平
均与 10000个其他神经元互连，这就构成
了人类智慧的直接物质基础。
y
x1
?
x2
x3
xn
)(
1
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??
n
i
ii xwfy ?
w1
w2
w3
wn
Artifi
cial Neural
Network(A
NN)
O1 O2 O3
神经元网络
是根据生物的神经元组成而得来的
两态工作，即只有兴奋和抑制两个状态
阈值作用，超过某个阈值，神经元兴奋
多输入、单输出，树状突起获得众多输
入，轴突单输出
空间、时间叠加
可塑性连接，突起的连接强度可调节
神经元网络（续）
每个神经元是基元，任何一个函数 f(x)可以通
过神经元的加权和而得到。神经元的数目可以
选择，层次的个数可以选择，原则上三层以上
即可以模拟任何一个函数（包括线性函数、非
线性函数）功能十分强大！
网络模型构建后，需要获得权值，权值的获取
方法是训练。即选择足够的训练样本空间，对
模型中的连接进行训练，训练完成，既可以用
于相关的应用。
神经元网络（续）
一个非常好的思路，可以同时解决线性和非线
性问题！
问题是：训练样本空间与应用样本空间不是一
个集合，用训练样本空间训练出来的神经元模
型对于样本空间的样本是最优的结果，而对于
应用样本空间就不一定是最优的结果！
例如：应用神经元网络识别 0~9个数字，选定
三层神经网（输入层、隐含层、输出层），隐
含层包含 128个节点，训练样本空间选择 0~9
的手写数字分别为 100个，共 1000个样本集。
神经元网络（续）
训练结束后，对于样本空间的样本的识
别率可以达到 100%，而如果选择一个手
写的字母, A”作为识别样本，发现他也
会得出一个 0~9之间的一个结果，显然出
现了误识。
那么误识率会是多大？
结 论
在世界是由基元组成这一哲学思想下，
产生了一系列的十分有效的技术，可见
哲学对研究的意义。
相反，如果没有一种哲学思想，我们的
研究如何归纳总结出一种一般的规律？
总结出的规律正确与否？
分形几何的基本思想
研究对象
欧几里得几何学的研究对象是具有特征
长度的几何物体：
一维空间：线段，有长度，没有宽度；
二维空间：平行四边形，有周长、面积；
三维空间：球，表面积、体积；
自然界中很多的物体具有特征长度，诸
如：人有高度、山有海拔高度等。
研究对象
有一类问题却比较特别,Mandelbrot就
提出了这样一个问题：英国的海岸线有
多长？
英国的海岸线地图
研究对象（续）
当你用一把固定长度的直尺 (没有刻度 )来测量
时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线
，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不
精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就
会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近
似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发
现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就
越大。
如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
研究对象（续）
得到的结论是：海岸线的长度是多少：
决定与尺子的长短。
海岸线的长度是无限的！
而显然海岸线的面积为零；
而我们确实看到了海岸线的存在，而且
海岸线应该是有界的。
海岸线什么有界？（长度、面积、体积
显然无界）。
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。
同样的道理：长度无限、面积为零、而
曲线还有, 界, 。
另外，有一个特点：当取其中的一部分
展开，与整体有完全的自相似性，似乎
是一个什么东西的无数次的自我复制。
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子
似乎与整体有某种相似
性。
England的海岸线从视
觉上也感觉有某种自相
似性
分形的概念
分形理论的创始人 B.B.Mandelbrot，有人译为
曼德尔布罗特，有人译为曼得勃罗等等 通过对
这些不具有特征长度（欧氏几何学研究不了的
问题）提出了一个全新的概念,分形、分形几
何、分数维 ----fractal。
fractal一词是由 Mandelbrot自创的,来自于描述碎石的拉丁文
fractus
曼德布罗特擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简
单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学特别是几何
学与计算机兼通的难得人才。 1967年发表于美国, 科学, 杂志上
的, 英国的海岸线有多长, 的划时代论文，是他的分形思想萌芽
的重要标志。 1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几
何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有
力工具。
分形的概念（续）
形看作具有如下所列性质的集合 F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整
体。
F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描
述。
F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统
计意义下的。
F在某种方式下定义的, 分维数, 通常大于 F的扑维
数。
F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
Julia Set
Julia Set:
Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代
入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散，
而發散與收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的
圖形。
根据 C,Z0的不同会生成不同的 Julia集合
Mandelbrot Set
在复平面中,M集是通过下述迭代式产生
的：
Zn+1=Zn^2+C。
其中,Z和 c都是复数，由各自的实部
和虚部组成
Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
展开得：
Xn+1 = Xn 2 -Yn2+Cx （实部）
Yn+1 = 2*XnYn+Cy （虚部）
对上述迭代式反复进行迭代，得到的数
集，称为 Mandelbrot集，简称 M集。在迭
代过程中,Z的初值定为 0，而 C选择一个
不为 0的数,使 C在复平面的某个区域内有
规律地变化，对于二次函数 fc(Z)=Z^2+C
的迭代，定义 M集为：
M={c∈ C:fck(0)/→ ∞ (k→∞ )}。
用不同的 C值反复进行迭代，由此产生的 Zk序
列有两种情况：
（ 1） Zk序列自由地朝着无穷大的方向扩散，
即发散；
（ 2） Zk序列被限制在复平面的某一区域内，
即收敛。
建立判断收敛与发散的判断准则，对于那些收
敛的 Zk序列的点，设置某种颜色的色调，就可
以显示 M集的计算机图象。对于那些发散的 Zk
序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的
规则着上不同颜色的色调，就能显示 M集周围
的图象。
自然界中的分形
山 星 云
星 云
天空中的云朵
植物的叶子
视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤
毛细血管分布
河流分布图
自然界中的分形
股票价格曲线
岩石裂缝
金属损伤裂缝
道路分布
神经末梢的分布
…………
局部结论
从分析上述现象可以看到,Julia,Mandelbrot
集合所显现出来的图形是极端复杂的，而且存
在着自相似性（即局部等于全体），而这么复
杂的图形是由一个非常简单的方程通过初值的
选择反复迭代得到的结果。
反推回来，一个具有分形特征的自然现象是否
可以认为是有一个非常简单的方程通过初值的
选择反复迭代得到的结果？如果是，只要找到
方程和初值，就可以随意地生成我们所希望的
图形？
如何来研究分形？
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在 Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点 ---0维；
线 ---1维；
面 ---2维；
体 ---3维。
如何来研究分形？（续）
将长度为 1的线段分为 n等分,每段长为 r,则
n ? r = 1
将面积为 1的正方形 n等分,每一个小正方形
的边长为 r,则
n ? r2 = 1
将体积为 1的正方体 n等分,每一个小正方体
的边长为 r,则
n ? r3 = 1
分形维数
从上面的等式中可以看到,r 的幂次实际
就是该几何体的空间维数,可以表示为,
n ? rD = 1
对上式两边取对数得,
显然,D具有维数的概念,
x
nD
ln
ln??
分形维数 (续 )
对 Koch曲线而言
分形维数 (续 )
在第 n步时,其等长折线段总数为 4n,每段
的长度为
则 Koch曲线的维数为,
英国海岸线的维数为 D=1.25 (Mandelbrot)
n?
?
??
?
?
3
1
2 6 1 8 6.1
3ln
4ln
3
1ln
4ln ??
?
?
??
?
?
?? n
n
D
如何来研究分形？（续）
拓扑维数：
拓扑维数是比分形维数更基本的量,以 Dt表示,
它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变
的,0维即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭
转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是 0,
而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是 1.所
以,拓扑维数就是几何对象的经典维数 Dt=d.拓
扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整
数维数,
Hausdorff维数：
对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维
数的 "尺 r"去度量,则可得到一确定的数值 N;
若用低于它维数的, 尺, 去量它,结果为无穷大 ;
若用高于它维数的, 尺, 去量它,结果为零,其数学
表达式为,
N(r)～ r-Dh
上式两边取自然对数,整理后可得
Dh=lnN(r)/ln(1/r)
或
Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)]
式中的 Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,
也可以是分数,
欧氏几何体,它们光滑平整,其 D值是整数,
人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称
为分形,把此时的 Dh值称为该分形的分形
维数,简称分维,也有人把该维数称为分数
维数,当然还必须看其是否具有自相似性
和标度不变性,
102 103 104101
102
103
104
105
101
log ?
log
N
(?)
25.1lo g )(lo g ?? ??ND
英国海岸线的
分形维数
D=1.25
英国海岸线的自相似性
及分形维数的获得
语音信号是分形的
102 103 104101
102
103
104
105
101
log ?
log
N
(?)
?
?
lo g
)(lo g ND ?
Texture语音的
分形维数
D=1.66
英国海岸线的
分形维数
D=1.25
维数的含义
分形是复杂不规则的系统,而描述这系统的粗糙,破碎,
不规则,不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就是非
整数维数,
分维,分数维数是描述复杂对象或系统的最基本特征 --
分形特征的定量参数,
分维 D度量了系统填充空间 (致密 )或缝隙 (疏松 )的能力,
刻划了系统的无序性,表征了动力学系统最低的基本或
独立变量的个数,
豪斯道夫维数定量地描述了一个集合规则与不规则的
几何尺度,其整数部分反映出图形的空间规模 (整数维
数 ).
对于奇怪吸引子,维数给出了需要表征其上点的位置所
需的信息量,广义维数或奇异谱主要表征多分形的非均
衡性和奇异性,
描述的对象 层次性自相似性 特征长度 表达方式 维数
人类创造的简
单的标准物体
(可微,可导,连
续,光滑,规整 )
常无 有 用数学公式 0 及正整数
1 或 2 或 3
大自然创造的
复 (非欧几何
学 ) 杂的真实
物体 (不连续,
不可导,不规则,
粗糙,不光滑,
曲折 )
有 无 用迭代语言,分
维
一般是分数
(可是正整数 )
分形几何学与欧氏几何学的差异
分
形
几
何
学
欧
氏
几
何
学
IFS
混沌的思想
混沌的产生
下面是著名的洛伦兹吸引子。洛伦兹
(E.N.Lorenz)是当代世界知名的动力气象学家、
混沌理论的少有几位创立者之一。他在 1963年发
表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了 12年
之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研
究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科 —
混沌理论，成为现代新兴学科的代表。洛伦兹吸
引子方程如下：
混沌的产生 (续 )
混沌的产生 (续 )
奇异吸引子
湍 流 (turbulence)
复杂、不规则、貌似游走无常的流体运动。
例如：水流的漩涡；
以前的理论解释：模态（ modes）周期运
动。
当流体受到外力的作用时，一定数目的模态就
被激发出来；
没有模态被激发，流体就处于定常状态；
如果单一模态被激发，就是周期振荡；
如果几个模态被激发，流动变得不规则；
许多模态被激发时，就是湍流。
初始条件敏感依赖性
有圆形或凸起障碍物的台球游戏
不考虑“自旋”；
忽略摩擦；
假设碰撞是弹性的；
?
真实球
虚拟球
混沌的定义
设 V为一个集合,f:V V称为在 V上是混沌
的,如果,
f 对初始条件的敏感依赖性 ;
f 是拓扑传递的 ;
周期点在 V中是稠密的 ;
? 烟头燃烧，没有
任何外力的情况下，
烟会自动分解。
?在什么时候分解？
?什么原因分解？
?分解时刻是否可以
预测？
一维逻辑斯蒂映射
映射 (mapping)也叫迭代 (iteration)
xn+1=2xn，若 x1=3,则 x2=6,x3=12…… 。
从控制系统的角度看，这也叫反馈 (feedback)，
把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反
馈的结果有若干种：
发散的、收敛的、周期的等等。
但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动
类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期
循环的迭代过程?
这就是有界非周期运动，它与混沌有关
逻辑斯蒂映射的形式为
其中 a是参数，取值范围是［ -2,4］，通常人们
只注意［ 0,4］这一半，其实另一半 ［ -2,0］
也一样有趣。 x的取值为［ 0,1］。映射的不动
点是指满足关系 ξ=aξ(1- ξ)的相点 ξ,解得
ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。设映射用 f 表示,f 的 2次
迭代记作 f 2,3次迭代记作 f 3，等等 。注意，
这种记法不表示乘方关系。 f 的不动点也叫 f 的
周期 1点。 f 2的不动点实际上是 f 的周期 2点。
同理 f n的不动点与 f 的周期 n点是一回事。
1 ( 1 )n n nx ax x? ??
映射 f 的周期 m点的稳定性由乘子
完全决定。映射 f 的周期点 (包括不动点，
它为周期 1点 )的稳定性可具体定义为：
｜ λ｜＜ 1，吸引，稳定；
｜ λ｜＞ 1，排斥，不稳定；
｜ λ｜ =1，中性；
λ=0，超稳定。
?
?
???
m
i
im
m
xfxfxfxf
dx
df
1
''
2
'
1
' )()(),,,()(?
以参数 a为横坐标、以 x的稳定定态
(stable steady states)为纵坐标作图,得
到 1、图 2等。从图中可以看出开始是周
期加倍分岔 (也称周期倍化分岔或周期倍
分岔 )，然后是混沌，混沌区中又有周期
窗口。窗口放大后又可见到同样结构的
一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根
鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻
分岔间距之 比收敛到一个不变的常数：
不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，
对于一维, 单峰, 映射，都能算出同一
个常数 δ 来。
δ的含义是什么？意义何在？
1
1
l i m 4.66 9,20 1,60 9....,..nn
n
nn
aa
aa?
?
??
?
???
?
The general concept of chaos
如果一个接近实际而没有系统内在随机
性的模型仍然具有 貌似随机 的行为,就可
以称这个真实的物理系统是混沌的,
例如,钟摆的摆动。如果科学家忽略任何
外来的随机扰动和气流，该模型应是线
性的、周期性的系统。
易于操作的概念
首先了解随机性的概念：
随机性包含两部分：
狭义随机性,随时发生的任何事件在下个
时刻也可能发生。 通常理解为：某特定事
件在下一时刻发生的概率等于其在此后任
意时刻发生的概率。诸如：投掷硬币，完
全的随机性。
广义随机性,下一个时刻可能出现的某些事
件中的任一个；这并不要求过去发生的任何
事件也可下个时刻发生。 诸如：洗牌过程。
下次的洗牌结果应与上次洗牌结果有关。不
是完全的随机性。
易于操作的概念
确定性
确定性序列中下一个时刻只可能发生一
件事，就是说其演变由精确的法则决定。
广义随机性与缺乏确定性是同一个意思。
对于公路上车速这样的连续变化量而言，
引入完全随机连续过程的概念是有意义
的。
混沌
混沌可以说他是确定性的行为；
或者，若考虑他出现在稍微有点随机性
的实际系统中，也可以说他是近似与确
定性的，然而却不是看起来像确定性的。
在某些动力系统中，两个几乎一致的状
态经过充分长的时间后会变得毫无一致
性。
动力系统
动力系统是指随时间确定性地变化的系
统，例如：中白、滚石、碎浪的数学模
型。系统的状态可由一个或几个变量的
数值来确定。
简单总结得出
上述的系统被称作敏感地依赖于 初始条
件 。
初始条件：是一个试验或计算开始时的
条件。也可以是研究者感兴趣所在的任
一时刻开始的条件。
初始条件应是内在的，而不是外部的条
件。
弹球器的例子
老式的弹球器。只由槽针组成。
球撞击槽针作为一个事件。一个事件的
后果包括：被撞的槽针、从槽针到球心
的方向、球离开槽针时的速度。
混沌可以理解为貌
似随机的确定性。
