第二部分
材料力学
(本章剩余部分 )
§ 2-4 轴向拉伸与压缩
a,杆件
材料力学主要研究 杆件
横向尺寸远小于纵向尺
寸的构件 横截面
轴线
截面形心
一、可变形固体的若干概
念
b、杆件变形的基本形式
# 轴向拉伸与压缩
# 剪切与挤压
# 扭转
# 弯曲
（ 1）轴向拉伸和压缩
拉伸
变细变长
压缩
变短变粗
拉力与压力都是沿杆的轴线方向
（ 2）剪切和挤压
剪切变形
挤压变形
剪切变形
（ 3）扭转
Me
Me
g j
（ 4）弯曲
Me Me
C、外力、内力与应力
外力是指由其他物体施加的力或
由物体本身的质量引起的力
内力是指在外力作用下物体内各
个部分之间的作用力 ----可理解
为材料颗粒之间因相对位置改变
而产生的相互作用力
外力的正负号取决于所建立的
坐标系，与坐标轴同向为正反
向为负。
内力的正负号根据规定，不同
变形的内力有不同的规定。
应力是内力分布的集度，可以理解为是 单
位面积 的内力
正应力 垂直于截面的应力
剪应力 平行于截面的应力
?
?
?>0 ?<0
?>0 ?<0
正负号规定,正应力 拉为正，压为负。
剪应力 顺时针为正，逆时针为负
二、拉、压杆的内力与应力
轴向压缩构件 ----压杆
? 轴向拉伸构件 ---拉杆
受力特点, 外力合力的作
用线与 杆轴线重合
变形特点,杆沿轴向伸长
或缩短
思考题
轴向拉伸和压缩时的内力
? 1 内力的概念
? 物体内部某一部
分与另一部分间相互
作用的力
? 材料力学研究的
内力：因外力作用而
引起的内力改变量。
? 2 截面法 轴力
? 截面法：
? 1、截
PP
m
m
2,弃、代
PS′
m
m
3,平
PS
PS
X
?
??
??
0
0
或
PS
SP
X
?
??
??
'
0'
0
假设截面
轴力
3 轴力的符号规定：
离开截面为正，指向截面为负
拉为正，压为负
注意, 内力符号规定与静力学不同，是以变形的不同确
定正负，截面上的未知内力皆用正向画出
P
m
m
S
轴力
PP
P P
P
两种截面法：
一、利用平衡关系的截面法
截、弃、代、平。如前述，应选择最简单的部分为研究对象。
二、利用向截面简化的截面法
PP
m
m
假设截面
PP
m
m
P m
m P
PP
P
P
S
轴力 PS
PS
X
??
??
??
0
0
PP
m
m
假设截面
PP
m
m PP
结果,S=PPP
结果,S= -P
例 题,
? 例 1-1 设一杆轴线同时受力 P1,P2,P3的作用，其作用点
分别为 A,C,B,求杆的轴力。P
1=2kN
P1=2kN S1′=2kN
P2=3kN
P2=3kN
P3=1kN
A
A
BC
C
s1
s2
1 2
1 1
P1=2kN P2=3kN
A C
1 2
P3=1kN
B
2
B
S2′
P3=1kN
A BC
2kN
1kN
轴力图
横截面上的应力
内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力
来衡量它，称为 应力 。
单位：帕斯卡（ Pa）,或
kPa,Mpa,GPa
1Pa=1N/m2,1Mpa=106Pa
1GPa=103MPa=109Pa
工程制单位与国际单位换算关系：
1kgf/cm2=98.1kPa
1kgf/mm2=9.81MPa
1N/mm2=1MPa
1、应力的概念
(a) 几何 变形关系
P
2、用三大关系推导计算公式
(b) 变形和受力关系（物
理关系）
(c) 静力学 关系（内
力应力关系或静力平
衡关系）
P
A
?
? A=S=P
A
P
A
S ???
—— 轴向拉伸或压
缩时横截面上 应力
计算式
? 是垂直于横截面的应
力 -正应力
轴力为拉力时为 拉应力
轴力为压力时为 压应力
（ 可用负号表示）
?? E? ll???
纵向线应变
例 题
例 1 压下螺旋,求右图螺旋中的最大正应力 P=800KN
在最小截面处应用截面法：截
取分离体，在截面上画上内力，
画出分离体的受力图，利用平衡
方程或向截面简化求出内力
:0?? Y
kN800?? PS
M P a208
7014.3
1080044
2
3
2
m i n
m a x ??
?????
d
S
A
S
?
?
解,1、计算轴力，画轴力图 轴力图
0?? PS
2、用最小横截面面积计算最大压缩应力
三、拉伸压缩时材料的机械性质
杆件的应力与外力和构件的几何形状有关，而杆件
的变形却与材料的性质有关。
因此，有必要研究材料的力学性能。这种研究可以
通过实验进行。
1、低碳钢和铸铁 拉伸 \压缩 时的力学性能
在工程上使用最广泛，力学性能最典型
# 实验用试件
标点
L0
标距
d0
（ 1） 材料类型,
低碳钢,
灰铸铁,
2,标准试件,
塑性材料的典型代表；
脆性材料的典型代表 ；
（ 2） 标准试件,
标距,
用于测试的等截面部分长度；
尺寸符合国标的试件 ；
圆截面试件标距,L0=10d0或 5d0
# 低碳钢拉伸实验曲线
O
P
? L
Pe
PpPs
Pb
线弹性阶段
屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段 屈服极限,
0A
Ps
s ??
0A
Pb
b ??
强度极限,冷作硬化
%1 0 0
0
01 ???
L
LL?延伸率, %100
0
10 ???
A
AA?断面
收缩率,
弹性极限和比例极限
PP,Pe
a
E=tga
O1 O2
f1(f)
低碳钢拉伸
应力应变曲线D(?
s下 )(?e) B
C(?s上 )
A(?p)
E(?b)
g
Ey= tga
? (MPa)
200
400
?
0.1 0.2O
低碳钢压缩
应力应变曲线
?
?O
? bL
灰铸铁的
拉伸曲线
? by
灰铸铁的
压缩曲线 a
a = 45o~55o
剪应力引起断裂
塑性材料和脆性材料力学性能比较
塑性材料 脆性材料
断裂前有很大塑性变形 断裂前变形很小
抗压能力与抗拉能力相近 抗压能力远大于抗拉能力
延伸率 δ > 5% 延伸率 δ < 5%
可承受冲击载荷，适合于
锻压和冷加工
适合于做基础构件或外壳
材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件
的改变而改变
硬度及冲击韧性
? 1)硬度：
? 布氏硬度
洛氏硬度
2)冲击韧性
四、轴向拉伸压缩时的强度计算
1、材料的极限应力
塑性材料为屈服极限
脆性材料为强度极限
?
?
?
?
b
s
?
?
? 0
材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能
承受的最大应力值。
所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。
屈服极限
s?
强度极限
b?
A3 钢,235 MPa 372-392 MPa
35 钢,314 529
45 钢,353 598
16Mn,343 510
2、工作应力
A
N??？
工程实际中是否允许
?
?
???
b
s
?
?
?? 0
不允许！
? 前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件
的实际应力 —— 工作应力。
? 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。
只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成
的构件的工作应力是相同的。
? 对于同样的工作应力，为什麽有的构件破
坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。
原因：
# 实际与理想不相符
生产过程、工艺不可能完全符合要求
对外部条件估计不足
数学模型经过简化
某些不可预测的因素
# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备
# 考虑安全因素 许用应力
? ??
? ?
n
0?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
b
s
s
n
n
?
?
?
?
脆性材料：
塑性材料：
一般来讲
sb nn ?
因为断裂破坏比屈服
破坏更危险
3、许用应力
4、强度条件
? ??? ??
A
N工作应力
轴力
横截面积
材料的许用应力
m a x?? ?
5、强度条件的工程应用
? ??? ??
m in
m a x
m a x A
N
# 已知 N 和 A，可以校核强度，即考察是否
? ??? ?m a x
# 已知 N 和 [σ]，可以设计构件的
截面 A（几何形状）
? ??
m a x
m in
NA ?
# 已知 A和 [σ]，可以确定许可载荷
（ N?P） ? ??m inm ax AN ?
三个方面的应用
举例
例 1 上料小车，每根钢丝绳的拉力 Q=105kN，拉杆
的面积 A=60?100mm2 材 料为 Q235钢，安全系数
n=4。试校核拉杆的强度 。
由于钢丝绳的作用，
拉杆轴向受拉，每根
拉杆的轴力
NQN 310105 ???
横截面积
23106 mmA ??
N N
根据强度条件，有
? ??? ???
?
??? M P aM P a.
A
N 60517
106
101 0 5
3
3
查表,Q235号钢的屈服极限为 M P a
s 240??
许用应力
? ? M P a
n s
s 60?? ??
拉杆符合强度要求
例 题
? 例 1-5 上料小车。
每根钢丝绳的拉
力 Q=105KN，
拉杆的面积
A=60?100mm2
材 料为 A3钢，
安全系数 n=4。
试校核拉杆的强
度 。
解,
（ 1） 计算拉杆轴力
（确定研究对象，用截面
截取对象，画受力图 )
:0? ?Y S=Q=105kN
（ 2） 计算横截面积, A=60× 100=6000mm2=6× 10-3m2
（ 3） 确定许用应力, [?]= M P a60/ ?ns?
（ 4） 校核强度, 6 0 M P a
42 4 0][1 7, 5 M P aPa105.17106 1 0 0 01 0 5 63 ??????? ??? ? ?? AS
（ 5） 结论：满足强度条件
这是一个设计拉杆截面的问题，根据
? ??
m a x
m in
NA ?
首先需要计算拉杆的轴力
对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力
G + Q
NBC
NBA0??Y
? ? 0??? QGs inN BC a
最大轴力出现在点葫芦
位于 B
3 5 20451 51 22,.,lls i n
BC
AC ?
???a
kN.N BC 856?
? ? 2
3
406140 10856 mm.NA m a xm in ???? ?
求圆钢杆 BC 的直径
22 4 0 6
4
1 mmAd
m in ???
mm.d 822?
可以选取
mmd 25?
解,（ 1） 计算侧臂轴力
截取节点 A为研究对象
可设两杆轴力皆为 S,受
力分析如图。
? ??? 0c o s2,0 aSPY
得
aco s2
PS ?
? 例 1-7 一起重用吊环，侧臂 AC和 AB有两个横截面为
矩形的锻钢杆构成。 h=120mm,b=36mm,许用应力为
80MPa。求吊环的最大起重量 。
式中 92.0
420960
960c o s
22 ???a
再由平衡方程
代入上式得
PPS 5 4 4.092.02 ???
(2)求许用载荷
? ??AS ?
即
1, 2 7 M NN1 2 7 0 0 0 0805 4 4.0 )361 2 0(2
1080)10361 2 0(25 4 4.0 66
??????
?????? ?
P
P
故按侧杆强度，吊环的许用载荷为 1.27MN。
第 1-8节 应力集中的概念
? 在局部区域应力突然
增大的现象，称为 应
力集中 。
m?
?a
? m ax?
A
S
m ?
???
A
S
A ?
??
?? 0lim?
横截面上的最大应力 ?max与平均应力 ?m
的比值称为 应力集中系数,以 a?表示。
当 ?A 趋于零时，则此比值的极限
一点应力 的定义：
微面积上的平均应力为
小 结
小 结
小 结