实验一 RLC 串联电路特性的研究
电阻、电容及电感是电路中的基本元件，由 RC、RL 、RLC 构成的串联电路具有不同
的特性，包括暂态特性、稳态特性、谐振特性．它们在实际应用中都起着重要的作用．
【实验目的】
1．通过研究 RC、RL 和 RLC 串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感
的电磁感应特性及振荡回路特点的认识；
2．掌握 RC、RL 和 RLC 串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法；
3．用实验的方法测量 RLC 电路的谐振频率，利用幅频曲线求出电路的品质因数 Q 值．
【实验原理】
1．RC 、RL 、RLC 暂态过程
（1 ）RC 串联电路
在由 R、 C 组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程．图 1 为 RC 串联电路．其
中信号源用方波信号．在上半个周期内，方波电压+ E，其对电容充电；在下半个周期内，
方波电压为零，电容对地放电．充电过程中的回路方程为
EU
t
U
RC
C
C
=+
d
d
（1 ）
图 1 RC 串联电路
由初始条件t = 0 时，U
C
= 0，得解为
RC
t
R
RC
t
C
EeiRU
eEU
?
?
==
?= )1(
（2 ）
从U
C
、U
R
二式可见，U
C
是随时间 t 按指数函数规律增长，而电阻电压U
R
随时间 t 按指
数函数规律衰减，如图2 中U – t、U
C
– t 及U
R
– t 曲线所示．
在放电过程中的回路方程为
0
d
d
=+
C
C
U
t
U
RC （3 ）
由初始条件t = 0 时，U
C
= E，得解为
RC
t
R
RC
t
C
EeiRU
EeU
?
?
?==
=
（4 ）
从U
C
、U
R
式可见，它们都随时间
t
按指数函数规律衰减．式中的RC = τ 具有时间的量纲，
- 1 -
E
0 t
UC
T
E
0
U
t
T
E
0 t
UR
T
-E
图 2 RC 串联电路充放电曲线
称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重
要物理量．与时间常数 τ 有关的另一个在实验中较容
易测定的特征值，称为半衰期T
1/2
，即当U
C
（ t）下降
到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同
样反映了暂态过程的快慢程度，与 τ 的关系为
T
1/2
= τ ln2 = 0.693 τ （或 τ = 1.443T
1/2
） （5 ）
（2 ）RL 串联电路
与 RC 串联电路进行类似分析可得，RL 串联电路
的时间常数 τ 及半衰期T
1/2
分别为：
R
L
T
R
L
693.0693.0 ,
2/1
=== ττ （6 ）
（3 ）RLC 串联电路
先讨论 RLC 电路中突然接入电源，电容器上电压
满足的微分方程为
EU
t
U
RC
t
U
LC
C
CC
=++
d
d
d
d
2
2
（7 ）
等式边同除以 LC，并令
LR 2=β
LC
1
0
=ω （8 ）
则上式可化为
EU
t
U
t
U
C
CC 2
0
2
0
2
2
d
d
2
d
d
ωωβ =++ （9 ）
式（ 9）为一阻尼振荡方程， β
为阻尼系数， ω
0
为电路的固有频率．又由本过程的两个初始
条件
0
0
=
=t
C
U ； 0
d
d
0
=
=t
C
t
U
（10）
所以（10）式最终解的形式取决于 β 和 ω
0
的相对大小．
下面就分三种情况给出结果
（1 ）欠阻尼
当 时，称为欠阻尼， 0
2
0
2
<?ωβ
其解为
?
?
?
?
?
?
+?=
?
ttEeEU
t
C
ω
ω
β
ω
β
sincos （11 ）
- 2 -
式中，
22
0
βωω ?= ，式（11 ）称为阻尼振荡解．
（2 ）过阻尼
当 时，称为过阻尼． 0
2
0
2
>?ωβ
其解为
()()[ ]
t
tt
C
eee
r
E
EU
2
γ
γβ
γβγβ
??
??+?= （12）
式中：
2
0
2
ωβγ ?=
（3 ）临界阻尼
当 时，称为临界阻尼，此时其解为 0
2
0
2
=?ωβ
()
t
C
etEEU
β
β
?
+?= 1 （13）
当电路达到稳定后，突然撤去电源电动势（即 E = 0），电路的变化类似于充电过程．方
程的解也分为三种情况．
以上讨论的充、放电的条件是加阶越波且源内阻 = 0 ．在实验中，我们可以用源内阻
很小的方波源来代替上述条件．只要方波的周期远大于电路的时间常数就可以．
上述三种情况下U
C
随时间t 的变化如图 3 所示
图 3 RLC 串联电路充、放电波形
t0
U
C
E
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼
方波
2．RC 、RL 稳态电路
当把正弦交流电U
i
输入到RC （或RL ）组成的串联电路时，电容或电阻两端的输出电压
U
0
的幅度及相位将随输入电压U
i
的频率而变化．在这样的回路中的只要测得在不同输入频
率下的各元件的电压量值，就可以得到幅频和相频的关系．
R
L
tg
U
U
tg
R
L
ω
?
11 ??
== （14）
- 3 -
)
1
(
11
CR
tg
U
U
tg
R
C
ω
? ?=
?
=
??
（15）
3．RLC 谐振电路
图 4 RLC 串联电路
（1 ）如图 4 所示的是 RLC 串联电路．RLC 串联电路的阻抗和相位差可通过矢量图的
方法计算，因为通过各元件的电流是共同的．取电流矢量 I 为水平基准，又由于各分电压
与电流的相位差为
0=
R
? ，
2
π
? =
L
，
2
π
? ?=
c
所以各元件的电压有效值为
CIIZULIIZUIRIZU
CCLLR
ωω / , , ====== （16）
总电压
22
)(
CLR
UUUU ?+= 或
22
)
1
(
C
LRIU
ω
ω ?+= （17）
电路总阻抗为
22
)
1
(
C
LRZ
ω
ω ?+= （18）
电流与信号电压的位相差为
R
C
L
tg
U
UU
tg
R
CL ω
ω
?
1
11
?
=
?
=
??
（19）
- 4 -
（2 ）谐振现象
从上述可知，当电压一定时，若电源频率满足
C
L
0
0
1
ω
ω = 或
LC
1
0
=ω （20）
则电路阻抗达到其极小值Z
0
= R.，电路中，电流达到其极大值I
m
= U/R．这种现象，称为谐
振现象，发生谐振时的频率f
0
称为谐振频率
LC
f
π2
1
0
= （21）
利用上述关系式，可以得到串联谐振电路的阻抗Z 、电流I 和相位差 ? = ?
u
-?
i
随频率变
化的曲线，如图 5 所示．定性而言，由式（17 ）和（ 18）可以看出，低频时 f < f
0
， 1/ωC >
ωL，容抗大于感抗， ? < 0，此时总电压落后于电流，整个电路呈电容性；谐振时， ? = 0，
整个电路呈电阻性；高频时 f > f
0
， ωL >1/ωC，感抗大于容抗， ? > 0，此时总电压超前于
电流，整个电路呈电感性．
fO
R
Z
f
0 f
0
f
1
f
2
O
I
I m
I m 2
f
f
0
O
f
(a) (b)
(c)
图 5 串联谐振电路的谐振曲线以及相位随频率的变化
（3 ）谐振电路中的品质因数
（I ）Q 值的一种定义和电压分配
利用式I
m
= U/R，可以得到串联谐振电路中电阻、电感和电容上的电压分别为
URIU
mR
==
L
R
U
ZIU
LmL 0
ω== （22）
LCmC
U
CR
U
ZIU =?==
0
1
ω
谐振时电感上的电压U
L
与总电压U 的比值，称为谐振电路的品质因数，用Q 表示，即
- 5 -
R
L
U
U
Q
L 0
ω
== （23）
当总电压一定时，Q 值越高，U
L
和U
C
越大．Q 值是一个标志谐振电路性能好坏的物理量．
（II）谐振电路的频率选择性
谐振电路在无线电技术中最重要的应用是选择讯号．为了定量地说明频率选择性的好
坏程度，通常规定在谐振峰两边 ( )
m
II 21= 处的频率宽度为通频带宽度Δ f．如图 5（b ）
所示，有
12
fff ?=Δ （24）
() ()
2
21
m
I
fIfI == （25）
可以证明，谐振电路的通频带宽度Δ f 反比于谐振电路的 Q 值，即
Q
f
f
0
=Δ （26）
Q 值越大，通频带宽度Δ f 越小，谐振峰越尖锐．因此， Q 值越大，谐振电路的频率选择性
就越好．
【实验仪器】
数字万用表，数字式电容表，功率函数信号发生器，存贮示波器，晶体管毫伏表，实
验接线板，电阻、电容和电感等．
【实验内容】
1．取不同参数的 RC 或 RL 组成串联电路，测量并描绘当时间常数小于或大于方波的
半周期时的电容或电感上的波形，计算时间常数并与理论值比较；
2．选择不同的 RLC 组成的串联电路，测量并描绘欠阻尼过程、临界阻尼过程、过阻
尼过程时电容上的波形，计算时间常数并与理论值比较．注意，方波的周期应远大于 RLC
串联电路的时间常数；
3．把正弦交流电U
i
输入到 RC和 RL组成的串联电路，测量电容和电阻两端的输出电压
幅度随U
i
的频率变化，分别测量 10 个频点．在同一时间轴下绘出幅频和相频的关系曲线，
幅频曲线的幅值用相对变化表示；
4．把正弦交流电U
i
输入到RLC 组成的串联电路时，测量各元件两端的输出电压幅度随
U
i
的频率的变化．绘出幅频和相频的关系曲线，绘图要求同 3．确定谐振频率，计算品质
因素，分别测量 20 个频点；取不同的电容两个进行测量并进行比较分析．
【注意事项】
1．应用各种仪器前，仔细查阅有关说明书和使用方法．
- 6 -
2．各电路元件在测量时，接地点应于仪器的接地点一致．
【思考题】
1．在 RC 暂态过程中，固定方波的频率，而改变电阻的阻值，为什么会有不同的波形？
而改变方波的频率，会得到类似的波形吗？
2．在 RLC 暂态过程中，若方波的频率很高或很低，能观察到阻尼振荡的波形吗？如
何由阻尼振荡的波形来测量 RLC 电路的时间常数？
3．在 RC、RL 电路中，当 C 或 L 的损耗电阻不能忽略不计时，能否用本实验测量电
路中时间常数？
4．把一个幅值为U
i
，角频率 ω = 1/RC的正弦交流电加在RC 串联电路的输入端，如果R
= 1 kΩ，C = 0.5 μF，试计算U
R
、U
C
、｜U
C
/ U
i
｜及 ?
C
，并用矢量图表示．
5．根据 RLC 串联谐振的特点，在实验中如何判断电路达到了谐振？
6．串联谐振时，电路和电感上的瞬时电压的相位关系如何？若将电容和电感接到示波
器的 X 和 Y 轴上，将看到什么现象？为什么？
【参考资料】
[1] 赵凯华，陈熙谋．电磁学（下册）．北京：人民教育出版社，1980
[2] 程守珠，江之永．普通物理学（第五版）．北京：高等教育出版社，1998
[3] 谢行怒，康士秀．大学物理实验（第二册）．北京：高等教育出版社，2001
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【附录】
示波器的介绍
面板分为几个功能区，有这个概念后，使用和寻找都很方便．下面概要介绍本实验所
需使用的控制钮以及屏幕上显示的信息．（附图 1）
HARDCOPY RUN/STOP
AUTOSET
MENUS
SAVE/RECALL MEASURE ACQUIRE
UTILITY CURSOR DISPLAY
POSITION
CURSOR1
CH1
MENU
VOLTS/DIV
5V 2mV
POSITION
CURSOR1
CH2
MENU
VOLTS/DIV
5V 2mV
POSITION
HORIZONTAL
MENU
SEC/DIV
5S 5ns
HORIZONTALVERTICAL
MATH
MENU HOLDOFF
TRIGGER
MENU
LEVEL
SET LEVEL TO 50%
FORCE TRIGGER
TRIGGER VIEW
CH1 CH2 EXT TRIGPROB COMP
-5V
TWO CHANNEL
DIGITAL REAL-TIME OSCILLOSCOPE
60MHZ
1GS/S
TRIGGER
垂直
控制区
水平
控制区
触发
控制区
功能区
多
功
能
菜
单
参数显示及功能提示
附图 1 示波器面板图
1．显示区
显示图象中除了波形外，还包含许多有关波形和仪器控制设定值的细节．
2． VERTICAL： 垂直控制区
（ 1） CH 1
波形输入、放大倍数调整、垂直位置调整、屏幕菜单
（ 2） CH 2
同上
3． HORIZONTAL： 水平控制区
波形输入、扫描速度、水平位置调整、屏幕菜单
4． TRIGGER： 触发控制区
触发电平调整、触发菜单、触发模式常用键
5． 功能区
（ 1） SAVE/RECALL：储存 /调出菜单
可储存或调出波形
（ 2） MEASURE：测量菜单
使多功能键进入测量模式
（ 3） ACQUIRE：采样方式菜单
- 8 -
显示点采样方式选择
（ 4） CURSOR： 光标菜单
屏幕读出功能，垂直区的两个位置旋钮分别控制两个光标．
（ 5） DISPLAY： 显示模式菜单
（ 6） OUTOSET： 自动最佳参数设置
由仪器根据输入波形自动设置扫描参数，适用于多数测量情况．
（ 7） RUN/STOP： 启动 /停止键
扫描启动、停止键．
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