第 6章 螺纹连接与螺旋传动
6.1 运动副的摩擦
6.2 螺纹连接的基本知识
6.3 螺纹连接的预紧与防松
6.4 单个螺栓连接的强度计算
6.1运动副的摩擦
6.1.1移动副中的摩擦力
1、驱动功 (输入功 )：作用在机械上的驱动力所
作的功为驱动功 (即输入功 )Wd；
2,有效功 (输出功）,克服生产阻力所作的功为
有效功 (输出功 )Wr；
3,损耗功,克服有害阻力所作的功为损耗功 Wf。
它们之间的关系为 Wd＝ Wr ＋ Wf
6.1.2机械效率及自锁
一、机械功
1、机械效率,输出功和输入功的比值，反映了输入功
在机械中有效利用的程度，称为机械效率,通常用 η表示。
2、效率以功的形式表达,
3、效率以功率形式表达
将各功除以时间 t则得 Nd＝ Nr ＋ Nf
或
其中 Nd,Nr, Nf分别为输入功率、输出功率与损耗功率。
二、机械效率
4、效率以力或力矩的形式表达
设 P为驱动力,Q为生产阻力,v
P和 vQ分别为 P和 Q的作用
点沿该力作用线方向的速度，于是可得
理想机械,指没有摩擦的机械。
理想驱动力,指理想机械中为了克
服同样的生产阻力 Q,所需的驱动
力 P0。
理想机械的效率 η0,
即
于是得 机械效率的力表达式,
同理推得效率得力矩表达式为,
统一形式,
三、机械的自锁
由于机械中总存在着损失功，所以机械效率 η＜ 1。
若机械的输入功全部消耗于摩擦，结果就没有有用功
输出，则 η=0。 若机械的输入工不足以克服摩擦阻力
消耗的工，则 η ＜ 0。 在这种情况下不管驱动力多大
都不能使机械运动，机械发生自锁。因此机械自锁的
条件是 η≤0,其中 η=0为临界自锁状态，并不可靠。
6.1.3螺旋机构的效率
当以力矩 M拧紧螺母是，相当与滑块在驱动力 P作
用下克服阻力 Q沿斜面等速上升。
当拧松螺母时，相当与滑块在力 P’作用下下滑。
6.2螺纹连接的基本知识
6.2.1 常用螺纹的类型
常用螺纹的类型主要有普通螺纹,管螺纹,圆锥
螺纹,矩形螺纹,梯形螺纹,锯齿形螺纹等,前三种主
要用于连接,后三种主要用于传动。 起连接作用的螺纹称
为连接螺纹,起传动作用的螺纹称为传动螺纹。 标准螺纹
的基本尺寸可查阅有关标准。
6.2.2螺纹的主要参数
以图 6-1所示圆柱普通螺纹为例
图 6-1
6.2.3螺纹连接的分类及应用
如图 6-2所示，螺纹按其牙型角可分为三
角螺纹，梯形螺纹和锯齿形螺纹。三角螺纹主
要用于联接；矩形、梯形和锯齿形螺纹主要用
于传动。用于联接的三角螺纹又有普通螺纹，
英制螺纹以及用于管路系统联接的圆柱螺纹，
即管螺纹。在上述各种螺纹中，除矩形螺纹外，
均已标准化。普通螺纹的螺距和基本尺寸见表
（略）。
普遍螺纹即米制三角形螺纹，其牙型角为 60度，同
一公称直径下有多种螺距，其中螺距最大的称为粗牙螺
纹，其余为细牙螺纹。 如图 6-3所示
图 6-3
6.2.4螺纹连接的基本类型
1、螺栓连接 2、双头螺柱连接 3、螺钉连接 4、紧定螺钉连接
详细内容见表 6-1
螺栓连接 双头螺柱连接 螺钉连接
图 6-4
6.2.4螺纹连接的基本类型 表 6-1
6.2.4螺纹连接的基本类型 表 6-1
螺纹连接件实物
6.3螺纹连接的预紧与放松
6.3.1螺纹连接的预紧
一般螺纹连接在装配时都必须拧紧,使连接
件在承受工作载荷之前预先受到力的作用,这个预
加作用力称为预紧力。 预紧的目的是增大连接的
紧密性,可靠性和防松能力。
拧紧时,用扳手施加拧紧力矩 M,以克服螺
纹副中的阻力矩 M1和螺母支承面上的摩擦阻力矩
M2,故拧紧力矩
M=M1+M2 (12 - 1)
螺纹副间的摩擦力矩为
)t a n (2 21 ??? ??? dFM
式中,F′为预紧力,单位为 N； d2为螺纹中径,单位为 mm；
d为螺纹公称直径,单位为 mm； λ为螺纹升角； θυ当
量摩擦角。
对于 M10~M68的粗牙普通螺纹,无润滑时取
M≈0.2F′d (12 - 3)
(12 - 2)
图 6-5 测力矩扳手
图 6-6 定力矩扳手
6.3.2螺纹连接的防松
在静载荷作用下,连接螺纹升角较小,能满足自
锁条件。 但在受冲击,振动或变载荷以及温度变化
大时,连接有可能自动松脱,容易发生事故。 因此,在
设计螺纹连接时,必须考虑防松问题。
防松的根本问题在于防止螺纹副的相对转动。
按工作原理分有三种防松方式, 利用摩擦力防松； 利
用机械元件直接锁住防松； 破坏螺纹副的运动关系防
松。 常用防松方法如图 6-7, 6-8,6-9所示。
1、摩擦防松
对顶螺母 弹簧垫圈
自锁螺母
图 6-7
2、机械防松
开口销与槽形螺母
止动垫圈
图 6-8
2、机械防松
串联钢丝 止动垫圈
图 6-9
6.4单个螺栓连接的强度计算
螺栓连接的受载形式很多,但对单个螺栓 (包括双
头螺柱和螺钉 )来说主要有两类, 一为外载荷沿螺栓轴
线方向,称为轴向载荷； 二为外载荷垂直于螺栓轴线
方向,称为横向载荷。 当传递轴向载荷时,螺栓受轴向
拉力,称为受拉螺栓。 螺栓连接可分为不预紧的松连
接和有预紧的紧连接。 当传递横向载荷时,一种是普
通螺栓连接,靠预紧力在被连接件间产生的摩擦力传递
横向载荷,螺栓仍受轴向拉力； 另一种是铰制孔螺栓
连接,工作时螺杆受剪,杆壁和孔壁互相挤压来传递载
荷,称为受剪螺栓。
大多数情况下,螺栓连接都是成组使用的,在进
行螺栓组连接强度计算时,一般先根据连接的工
作情况,找出受力最大的螺栓和它的工作载荷,
然后计算这个螺栓的直径。 而其他受力较小的
螺栓也都采用与其相同的尺寸。 所以,单个螺
栓连接强度计算是螺栓组强度计算的基础。
大多数情况下螺栓的尺寸都是按经验,规
范来确定的。 对于重要的螺栓连接,如发
动机中的连杆螺栓,汽缸上受载的双头螺
柱,高温高压容器盖的连接螺栓,重载
法兰连接螺栓等,则必须进行强度计算。
螺栓的强度计算主要是确定螺纹的小径 d1,
然后按标准选取螺纹的公称直径 d等尺寸。
6.4.1、受拉螺栓连接
1、松螺栓联接
这种联接在承受
工作载荷以前螺栓不
旋紧，即不受力。如
图 6-10所示的起重吊
钩尾部的松螺栓联接。
图 6-10
设螺栓所受的最大轴向载荷为 F,则强度条件为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
F
d
d
F
4
4
1
2
1
式中,d1为螺栓小径,单位为 mm；
［ ζ］为松螺纹连接许用应力,单位为 MPa。
2、紧螺栓连接
（ 1）只受预紧力的紧螺栓连接
紧螺栓连接在承受工作载荷之前必须预紧,因此,
螺栓一方面受拉,另一方面因螺纹副中摩擦阻力矩的作
用而受扭,故在危险截面上既有拉应力,又有受扭矩而
产生的切应力。 螺栓常用塑性材料,根据第四强度理
论,其螺栓部分的强度仍按拉伸强度公式计算,考虑到
扭转切应力的影响,把螺栓所受的轴向拉应力增加 30%,
即变为 1.3倍,因此,螺栓的强度条件和设计计算公式可
简化为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0
1
2
1
0
2.5
43.1
F
d
d
F
（ 2）, 受横向外载荷的紧螺栓连接
1) 受力分析
如图 6-11所示的普通螺栓连接,被连接
件承受垂直于轴线的横向载荷 FR。
因螺栓杆与螺栓孔间有间隙,故螺栓不
直接承受横向载荷 FR,而是预先拧紧螺栓,使
被连接零件表面间产生压力 F0,从而使被连接
件接合面间产生的摩擦力来承受横向载荷。
图 6-11 普通螺栓连接
受横向载荷的紧螺栓连接预紧后
摩擦 面数 m=1 摩擦 面数 m=2
图 6-12
摩擦 面数 m=1 摩擦 面数 m=2
受横向载荷的紧螺栓连接加载后
图 6-13
若摩擦力之总和大于或等于横向载荷 FR,则被连
接件间不会相互滑移,故可达到连接的目的。 因
此,每个连接作用于被连接件间的压力即预紧力
F0,其大小可由下式算出,
fz m
FK
F
FKfz mF
Rf
Rf
?
?
0
0
式中,FR为横向外载； F0为每个螺栓的预紧力；
f为被连接件表面的摩擦系数,见表 6-2； z为螺栓
连接的个数； m为接合面数 (图 6-11中,m=2)； Kf
为过载系数,通常取 Kf=1.2。
表 6-2 连接接合面间的摩擦系数 f
（ 3）、受轴向载荷的紧
螺栓连接
1) 受力分析
图 6 - 14所示的气
缸盖螺栓连接,即承受轴
向外载荷的紧螺栓连接,
其受力分析见图 6 - 15。
未拧紧时,螺栓与被连接
件皆不受力。 拧紧后,螺
栓受预紧力 F0,而被连接
件则受预紧压力 F0的作用,
且产生压缩变形 δ1。
图 6-14
当如图 6 - 14所示的气缸内通入气体后,螺栓又受到轴
向外载荷 F的作用,由于螺栓中总拉力由 F0增至 FΣ,螺
栓比预紧状态时增加伸长变形 δ2,被连接件则要回弹
变形 δ2。 由于被连接件压缩变形量减小,故其所受压
力将减小,不是原来的预紧力 F0了,而变成减小后的剩
余预紧力 F′0,由此可知,螺栓受轴向载荷 F后,螺栓所
受的总拉力 FΣ为工作拉力 F与剩余预紧力 F′0之和,即
FΣ=F+F0
剩余预紧力 F′0的值可参照表 6-3选取。
图 6 - 15 螺栓与被连接件的受力与变形
表 6-3 剩余预紧力 F′0的取值范围
螺栓杆的剪切强度条件及螺栓杆与孔壁的挤压强度条件为,
式中,F-----单个螺栓承受的横向载荷 (N)；
d0------螺栓杆的直径 (mm)；
m-----螺栓受剪切面的个数；
[τ]-----螺栓的许用剪应力 (MPa)；
δmin-----被联接件孔壁的最小轴向长度 (mm)，取
δmin≈1.25d0；
[σ]p-----螺栓或孔壁材料的许用挤压应力 (MPa),见表；材料
不同时取最弱者。
第 7章 带传动
7.1 概述
7.2 V带的标准及带轮的结构
7.3 带传动的工作原理
7.4 普通 V带传动设计
7.1概述
带传动是一种常用的机械传动形式，它的主要作用
是传递转矩和改变转速。大部分带传动是依靠挠性传动
带与带轮间的摩擦力来传递运动和动力的。本章将对带
传动的工作情况进行分析，并给出带传动的设计准则和
计算方法。重点介绍 V带传动的设计计算。
如图 7-1所示，带传动一般是由主动轮、从动
轮、紧套在两轮上的传动带及机架组成。当原动机
驱动主动带轮转动时，由于带与带轮之间摩擦力的
作用，使从动带轮一起转动，从而实现运动和动力
的传递。
图 7-1
主动轮
从动轮
传动带
7.1.1、带传动的特点
(1) 带传动是通过中间挠性件 ——带传递运
动和动力的,传动带具有良好的弹性,有缓冲和吸
振作用,因此带传动传动平稳,噪音小。
(2) 带传动可用于中心距较大的两轴间的
传动。 其结构简单,制造,安装,维护方便。
(3) 对于摩擦型带传动,过载时带和带轮面间发
生打滑,可防止其他零件破坏,故对系统具有保
护作用。
(4) 在摩擦带传动中,带与带轮接触面间有相
对滑动,不能保证准确的传动比,对轴和轴承的
压力较大,传动效率低,带的寿命较短,传动的外
廓尺寸较大。
7.1.2、带传动的类型
1.按传动原理分
（ 1）摩擦带传动 靠传动带与带轮间的摩擦力实现传动，
如 V带传动、平带传动等；
（ 2）啮合带传动 靠带内侧凸齿与带轮外缘上的齿槽相啮
合实现传动，如同步带传动。
2.按用途分
（ 1）传动带 传递动力用
（ 2）输送带 输送物品用。本章仅讨论传动带
3,按传动带的截面形状分
（ 1）平带 平带的截面形状为矩形,内表面为工作面,
主要用于两轴平行,转向相同的较远距离的传动。如图
7-2所示
图 7-2
平带实物
（ 2） V带,V带的截面形状为梯形,两侧面为工作
面,带轮的轮槽截面也为梯形。 根据斜面的受力分
析可知,在相同张紧力和相同摩擦系数的条件下,V
带产生的摩擦力要比平带的摩擦力大,所以,V带传
动能力强,结构更紧凑,在机械传动中应用最广泛。
如图 7-3所示
图 7-3
V带实物
（ 3）多楔带,多楔带是平带基体上有若干纵向楔
形凸起,如图 7-4(b)所示,它兼有平带和 V带的优点
且弥补其不足,多用于结构紧凑的大功率传动中。
图 7-4
（ a） （ b）
多楔带实物
（ 4）圆形带,圆形带的截面形状为圆形,如图 7 - 5所
示,仅用于如缝纫机,仪器等低速小功率的传动。
图 7-5
（ 5）齿形带（同步带）,
同步齿形带即为啮合型传动带,如图 7 - 6所示。
同步带内周有一定形状的齿。
图 7-6 同步带传动
同步带实物
传动带实物
7.2 V带的标准及带轮的结构
7.2.1、普通 V带标准,
普通 V带应用最广，其截面呈楔角等于 40゜的梯形，
相对高度 h/bp≈0.7，工作面是带的两侧面，带与轮槽底部应
有间隙。考虑到 V带张紧后产生的横向收缩变形，小带轮
槽角 ψ=32゜,34゜,36゜,38゜。普通 V带的规格尺寸、
性能、测量方法及使用要求等均已标准化。普通 V带按截
面大小分为 Y,Z,A,B,C,D,E七种型号，各型号代
表的截面尺寸及具有的长度查表 7-1。
表 7 - 1 普通 V带截面尺寸和单位带长质量 (GB/T 11544-1992)
V带实物
7.2.2,V带的结构
标准 V带都制成无接头的环形带，其横截面结构
如图 7-7所示。强力层的结构形式有帘布结构和线
绳结构。
图 7-7
7.2.3普通 V带轮的结构
1,V带轮的设计要求
质量小、结构工艺性好、无过大的铸造内应力；质量
分布均匀，转速高时要经过动平衡；轮槽工作面要精细加
工 (表面粗糙度一般应为 3.2)，以减小带的磨损；各槽的尺寸
和角度应保持一定的精度，以使载荷分布较为均匀。
2带轮的材料
带轮的材料主要采用铸铁，常用材料的牌号为 HT150或
HT200；转速较高时宜采用铸钢 (或用钢板冲压后焊接而成 )；
小功率时可用铸铝或塑料。
3,V带轮的结构
带轮由轮缘、腹板（轮辐）和轮毂三部分组成。
轮缘是带轮的工作部分，制有梯形轮槽。轮槽尺
寸见表。轮毂是带轮与轴的联接部分，轮缘与轮
毂则用轮辐（腹板）联接成一整体。
实心带轮
V带轮按腹板（轮辐）结构的不同分为以下几种型式,
（ 1）实心带轮
（ 2）腹板带轮
腹板带轮
（ 3）孔板带轮
孔板带轮
（ 4）轮辐带轮。
轮辐带轮
7.3带传动的工作原理
7.3.1带传动的受力分析
1.初拉力
为保证带传动正常工作，传动带必须以一定的
张紧力套在带轮上。当传动带静止时，带两边承受
相等的拉力，称为初拉力 F0，如图 7-8所示。
图 7-8 不工作时
当传动带传动时，由于带与带轮接触面之间摩
擦力的作用，带两边的拉力不再相等，如图 7-9所
示。一边被拉紧，拉力由 F0增大到 F1，称为紧边；
一边被放松，拉力由 F0减少到 F2，称为松边。设环
形带的总长度不变，则紧边拉力的增加量 F1-F0应
等于松边拉力的减少量 F0-F2。
F1-F0=F0-F2
F0=（ F1+F2） /2
图 7-9 工作时
2.有效拉力
带两边的拉力之差 F称为带传动的有效拉力。实际上 F
是带与带轮之间摩擦力的总和，在最大静摩擦力范围内，
带传动的有效拉力 F与总摩擦力相等,F同时也是带传动所
传递的圆周力，即
F=F1-F2 (7 - 1)
带传动所传递的功率为 P=Fv/1000 (7 - 2)
式中,P为带传递功率,单位为 kW； v为带速,单位为 m/s。
当带速一定时,传递功率 P愈大,则有效拉力 F愈大,所需带
与轮面间的摩擦力也愈大 。 当功率一定时,转速愈高,带的
有效拉力就愈小 。
设带的总长度不变,则工作时紧边增加的长度与松
边减少的长度相等； 紧边增加的拉力与松边减小的
拉力相等。 即
F1-F0=F0-F2
所以
F1+F2 =2F0 （ 7-3）
在一定的初拉力 F0作用下，带与带轮接触面间摩擦
力的总和有一极限值。当带所传递的圆周力超过带与带轮
接触面间摩擦力的总和的极限值时，带与带轮将发生明显
的相对滑动，这种现象称为打滑。带打滑时从动轮转速急
剧下降，使传动失效，同时也加剧了带的磨损，应避免打
滑。
3.带传动的最大摩擦力 ——有效拉力的临界值
当传动带和带轮间有全面滑动趋势时，摩擦力达到最
大值，即有效圆周力达到最大值。此时，紧边拉力和松边
拉力之间的关系可用欧拉公式表示，即
（ 7-4）
（ 7-5）
（ 7-6）
7.3.2 带传动的应力分析
带传动工作时,带中的应力由以下三部分组成
1,带的拉力产生的紧边拉应力 ζ1和松边拉应力 ζ2为
?
?
?
??
?
?
?
?
A
F
A
F
2
2
1
1
?
?
式中,A为带的横截面面积,单位为 mm2。
2,带的离心力产生的离心拉应力
由于带本身的质量,带绕过带轮时随着带轮作
圆周运动将产生离心力。 离心力将使带受拉,在截面
产生离心拉应力
A
q
c
2?
? ?
式中,ζc为离心拉应力,单位为 MPa； v为带速,单位为
m/s； q为带单位长度上的质量,单位为 kg/m,见表 7 - 1。
表 7 - 1 普通 V带截面尺寸和单位带长质量 (GB/T 11544-1992)
3,带的弯曲产生的弯曲应力
弯曲时横截面上的正应力分布规律如图 7-10所示
受拉力
中性轴
受压力
b
M
h
M M
o
y
M
?
y
o
h
( b )( a )
z
图 7-10
传动带绕经带轮时要弯曲,其弯曲应力可近似按下式确定,
d
b d
Eh??
式中,E为带的弹性模量,单位为 MPa； h为带的厚度,单
位为 mm； dd为带轮的基准直径,单位为 mm。
图示 7-11为带工作时的应力分布情况,各截面的应力
大小由该处引出的带的法线长短表示。 最大应力发生在
紧边和小轮接触处,其值为
ζmax=ζ1+ζc+ζb1 (7 - 7)
由图 7-11可知,带在工作过程中,其应力是在
ζmin=ζ2+ζc与 ζmax=ζ1+ζc+ζb1之间不断变化的,因此,
带经长期运行后会发生疲劳破坏。
ζmax=ζ1+ζc+ζb1
图 7-11
为保证带具有足够的疲劳强度,应满足
ζmax=ζ1+ζc+ζb1≤［ ζ］ 式中,［ ζ］为根据疲
劳寿命决定的带的许用应力,其单位为 MPa,其值由疲劳
实验得出。
疲劳破坏是指材料在交变应力作用下的破坏,
7.3.3带传动的弹性滑动和传动比
1,弹性滑动
传动带是弹性体，受到拉力后会产生弹性伸长，伸长
量随拉力大小的变化而改变。带由紧边绕过主动轮进
入松边时，带的拉力由 F1减小为 F2,其弹性伸长量也由
δ1减小为 δ2。这说明带在绕过带轮的过程中，相对于
轮面向后收缩了（ δ1-δ2）,带与带轮轮面间出现局部
相对滑动，导致带的速度逐步小于主动轮的圆周速度，
如图 7-12示。同样，当带由松边绕过从动轮进入紧边
时，拉力增加，带逐渐被拉长，沿轮面产生向前的弹
性滑动，使带的速度逐渐大于从动轮的圆周速度。这
种由于带的弹性变形而产生的带与带轮间的滑动称为
弹性滑动 。
从动轮
主动轮
松边
紧边
图 7-12
这种由于带的弹性和拉力差而引起的带与带轮之间的
局部相对滑动称弹性滑动。 所以,带工作时弹性滑动是
不可避免的。
由上述可知,由于弹性滑动的存在,导致从动轮
的圆周速度 v2低于主动轮的圆周速度 v1,其降低程度用
滑动率 ε表示,
11
2211
11
2211
1
21
nd
ndnd
nd
ndnd
d
dd
d
dd ??????
?
??
?
???
考虑弹性滑动影响而得出的传动比公式表示如下,
)1(1
2
2
1
??
??
d
d
d
d
n
ni
式中,n1,n2为主,从动轮转速,单位为 r/min； dd1,
dd2为主,从动轮基准直径,单位为 mm。
（ 7-8）
表 7 - 2 弹性滑动和打滑的区别
7.4 普通 V带传动设计
7.4.1,带传动的失效形式和设计准则
带传动的主要失效形式是打滑和带的疲劳断裂。
因此,带传动的设计准则为, 在保证不打滑的条件下,带
有一定的疲劳强度。
7.4.2,单根 V带的基本额定功率
单根 V带所能传递的功率与带的型号,长
度,带速,带轮直径,包角大小及载荷性质等
有关。 为便于设计,将实验测得的在载荷平稳,
包角为 180°及特定长度条件下的单根 V带在保
证不打滑并具有一定寿命时所能传递的功率 P0称
为基本额定功率,依此作为设计的依据。 各种型
号 V带的 P0值见表 7 - 3。
表 7 - 3 单根 V带的基本额定功率 (略）
当实际使用条件与实验条件不符时,表 7 - 3中的
P0值应当加以修正,修正后即得实际工作条件下
单根 V带所能传递的功率,称为许用功率［ P0］。
［ P0］ 的计算公式为
［ P0］ =(P0+ΔP0)KαKL (7 - 9)
式中,Kα为包角系数,考虑不同包角对传动能力
的影响,其值见表 7 - 4； KL为长度系数,考虑不
同带长对传动能力的影响,其值见表 7 - 5； ΔP0
为功率增量,单位为 kW,考虑传动比 i≠1时带在
大带轮上的弯曲应力较小,从而使 P0值有所提
高,见表 7 - 6。
表 7- 6 单根普通 V带 i≠1时额定功率的增
量 Δ（ 略）
表 7 – 4 包 角 系 数 Kα
表 7 - 5 普通 V带的长度系列和带长修正系数
7.4.3,设计计算
设计 V带传动时,一般已知条件是传
动的用途,工作条件,传递的功率,主从
动轮的转速 (或传动比 ),传动的位置要求及
原动机类型等； 设计的内容是确定 V带的型
号,长度和根数,传动中心距,带轮的材料,
结构和尺寸,作用于轴上的压力等。
设计步骤如下,
(1) 确定计算功率 Pc,
Pc=KAP (7 - 10)
式中,KA为工况系数,见表 7 - 7；
P为传递名义功率 (如电动机的额定功率 ),单
位为 kW。
表 7 - 7 工 况 系 数 KA
(2) 选择带的型号。 带的型号可根据计算功率 Pc和小
带轮转速 n1由图 7 - 13选取。 临近两种型号的交界线
时,一般选小型号,或按两种型号同时计算,分析比较
后决定取舍。
(3) 确定小带轮直径 dd1。 带轮直径愈小,传动所占空间
愈小,但弯曲应力愈大,带愈易疲劳。 表 7 - 8列出了普
通 V带轮的最小基准直径。 设计时,应使小带轮基准
直径 dd1≥ddmin。
图 7-13
表 7 - 8 普通 V带轮最小基准直径
(4) 验算带速 v。 普通 V带质量较大,带速较高,会因惯
性离心力过大而降低带与带轮间的正压力,从而降低
摩擦力和传动能力； 带速过低,则在递相同功率的条
件下所需有效拉力 F较大,要求带的根数较多。
一般以 v=(5~25) m/s为宜。 带速的计算公式为
2
11
1060 ?
? nd d?? （ 7-11）
(5) 确定大带轮基准直径
1
2
1
2 dd dn
nd ?
dd2,dd1通常按表 7 - 8推荐的基准直径系列进行调整。
（ 7-12）
表 7 - 8 带轮基准直径 dd系列
(6) 确定中心距 a和带的基准长度 Ld。 当中心距较小时,
传动较为紧凑,但带长也减小,在单位时间内带绕过带轮
的次数增多,即带内应力循环次数增加,会加速带的疲劳；
而中心距过大时,传动的外廓尺寸大,且高速运转时易引
起带的颤动,影响正常工作。
一般初定中心距 a0可根据题目要求或按以下范围
估算,
0.7(dd1＋ dd2)＜ a0＜ 2(dd1＋ dd2) (7 -
13)
初选后,可根据下式计算 V带的初选长度 L0
0
2
12
2100 4
)()(
2
2
a
ddddaL dd
dd
????? ?
（ 7-14）
根据 L0,按表 7 - 5选取接近的基准长度 Ld。 传动的实
际中心距可近似按下式确定,
2
0
0
LLaa d ??? （ 7-15）
考虑到安装,调整和带松弛后张紧的需要,
中心距应当
可调,并留有调整余量,其变动范围为
amin＝ a－ 0.015Ld
amax＝ a＋ 0.03Ld
（ 7-16）
（ 7-17）
(7) 验算小带轮上的包角 α1。 包角是影响带传动
工作能力的主要参数之一。 包角大,带的承载
能力高； 反之易打滑。 在 V带传动中,一般小
带轮上的包角 α1不宜小于 120°,个别情况下可
小到 90°,否则应增大中心距或减小传动比,也
可以加张紧轮。 α1的计算公式为
?? 3.571 8 0 12
1 ?
???
a
dd dd?
（ 7-18）
(8) 确定 V带的根数 Z。 V带的根数 Z可由下式计算,
? ? La
cc
KKPP
P
P
PZ
)( 000 ??
??
（ 7-19）
(9) 计算初拉力 F0。 初拉力是保证带传动正常工作
的重要参数。 初拉力不足,易出现打滑； 初拉力
过大,V带寿命缩短,压轴力增大。
既保证传动功率,又不出现打滑的单根 V带
所需的初拉力 F0可由下式计算,
2
0 1
5.2500 ?
?
q
KaZ
PF c ?
?
?
??
?
? ??
（ 7-20）
(10) 计算轴上压力 Fy。 为了设计支承带轮的轴和
轴承,需知带作用在轴上的载荷 Fy的大小。 为了
简化计算,可近似的按两倍带初拉力 F0进行计算。
由图 7 - 14可知,
2s i n2
1
0
?ZFF
y ?
（ 7-21）
式中,Fy为作用在带轮轴的径向压力,单位为 N； Z为
带的根数； F0为单根带的初拉力,单位为 N； α1为小
带轮上的包角,单位为度 (° )。
图 7-14
第 8章 链传动
8.1 链传动的特点,类型与应用
8.2 链传动的运动特性
8.3 滚子链传动的设计计算
8.4 链传动的合理布置与润滑
8.1 链传动的特点,类型与应用
8.1.1,链传动的组成
链传动由主动链轮 1,从动链轮 2和跨绕在两链
轮上的闭合链条 3组成。 工作时,通过链条上链节与
链轮轮齿的相互啮合来传递运动和动力,如图 8-1所示。
第 8章 链传动
图 8 - 1 链传动
8.1.2,链传动的特点
与带传动相比,链传动主要有以下特点,
(1) 链传动属于具有挠性件的啮合传动,能获得
准确的平均传动比,适宜较大中心距的两平行轴间的
传动；
(2) 链传动张紧力小,作用于轴上的压力较小；
(3) 链传动可在多粉尘,油污,潮湿,高温等
恶劣环境中工作,对链轮齿形加工误差,链条几何形
状误差要求不高；
(4) 链的瞬时速度是变化的,瞬时传动比不等于
常数,传动平稳性较差,有冲击,振动和噪声,不适宜
高速场合。
8.1.3,链传动的类型与应用
按用途区分,链传动有传动链,起重链和曳引链
等。
按结构区分,链传动有套筒链,滚子链和齿形链
等。
链传动广泛应用于矿山机械,冶金机械,运输
机械,机床传动及石油化工等行业。
齿形链由多排链片铰接而成（图 8-2(b)）比滚
子链（图 8-2(a)）工作平稳、噪声小，承受冲击载
荷能力强，但结构较复杂，成本较高。滚子链的应
用最为广泛，本章只讨论滚子链。
滚子链（ a） 齿形链（ b）
图 8-2
8.2滚子链
8.2.1 滚子链的结构
滚子链由内链板 1,外链板 2,套筒 3,销轴 4和
滚子 5组成。 如图 8 - 3所示,外链板与销轴,内链板
与套筒之间采用过盈配合,而销轴与套筒之间为间隙
配合,可以作相对转动,以适应链条进入和退出链轮时
的屈伸； 滚子与套筒之间采用间隙配合,以使链与链
轮在进入与退出啮合时,滚子与轮齿形成滚动摩擦,减
小链和轮齿的磨损。
1.内链板 2.外链板 3.销轴 4.套筒 5.滚子
图 8 - 3 滚子链
内,外链板均为 8字形,且交错连接并构成铰链,
这样既可保证链板各横截面等强度,又可以减轻链
的质量,节约材料。
相邻两滚子轴线间的距离称链为节距,用 p
表示,如图 8 - 3所示。 p值愈大,链的各部分尺寸愈
大,承载能力愈高,且在齿数一定时,链轮尺寸随之
增大。
滚子链有单排或多排结构,如图 8 - 4所示。 排数愈多,
承载能力愈高,但制造,安装误差也愈大,各排链受
载不均匀现象愈严重。 一般链的排数不超过 4排。
单排滚子链 多排滚子链
图 8-4
滚子链的接头形式见图 8 - 5。 当链节数为偶数时,采
用图 8 - 5(a)所示的开口销或图 8 - 5(b)所示的弹簧卡来
固定；
图 8 - 5滚子链的接头形式
当链节数为奇数时,需用一个过渡链节,如图 8 -
5(c)所示。 由于过渡链节的弯链板工作时受到附加弯曲
应力,因此应尽量避免使用奇数链节。
过渡链节 过度链节连接
图 8 – 5(c) 滚子链的接头形式
8.2.2滚子链的标准
滚子链是标准件，其规格由链号表示，主要参数示例于下
8.2.3,链轮
1、链轮的齿形
链轮的齿形应能使链轮与链条接触良好,
受力均匀,并使链节能顺利的进入和退出与轮齿
的啮合。 链轮的齿形已有国家标准,并用标准刀
具以范成法加工。 根据 GB 1244-85的规定,链轮
端面的齿形推荐采用, 三圆弧一直线, 的形状
(三段圆弧 aa, ab, cd 和一段直线 bc),如图 8 - 6
所示。
链轮的轴向齿廓如图 8 - 7所示,齿形两侧
呈圆弧状,以便链节进入或退出啮合。
图 8-6
图 8-7
2、链轮的几何参数和尺寸
链轮的主要尺寸及计算公式见表 8 -
1。 链轮齿槽尺寸见表 8 - 2,轴向齿廓尺寸
见表 8 - 3。
表 8-1链轮的几何参数和尺寸
表 8-1链轮的几何参数和尺寸
表 8 - 2 齿槽尺寸
表 8 - 3 轴向齿廓尺寸
3、链轮的材料
一般为中碳钢淬火处理；高速重载用低碳钢
渗碳淬火处理； 低速时也可用铸铁等温淬火
处理；小链轮对材料的要求比大链轮高（当
大链轮用铸铁时，小链轮用钢）。具体见 表
8-4
表 8 - 4 链轮材料及齿面硬度
4、链轮的结构
链轮的结构如图 8 - 8所示,小直径链轮可做成整体式 (见图
8 - 8(a))； 中等直径链轮多用孔板式 (见图 8 - 8(b))； 大直
径链轮可制成组合式 (见图 8 - 8(c),8 (d)),此时齿圈与轮心
可用不同材料制造 。
图 8-8
（ a） （ b） （ c） （ d）
图 8-8链轮结构实物图
实心式 孔板式 齿圈组合式
8.3 链传动的运动特性
具有刚性链板的链条呈多边形绕在链轮上如同具有
柔性的传动带绕在正多边形的带轮上，多边形的边长和
边数分别对应于链条的节距 p和链轮的齿数 z。
1,平均链速和平均传动比
链轮回转一周,链移动的距离为 zp,故链的
平均速度 v(m/s)为
1 0 0 0601 0 0 060
2211
?
?
?
? pznpzn? （ 8-1）
式中,p为链节距,单位为 mm； z1,z2为主,从动链
轮的齿数； n1,n2为主,从动链轮的转速,单位为
r/min。 由上式可得链传动的平均传动比
1
2
2
1
z
z
n
n
i ??
（ 8-2）
2,瞬时链速和瞬时传动比
当主动链轮匀速转动时，链条铰链 A在任一位置（以 β
角度量）上的瞬时速度为
链条前进分速度为,
链条上下运动分速度,
每一链节在主动链轮上对应
中心角为
β角的变化范围为
所以，主动链轮作等速回转时，链条前进的瞬时速度 v周期
性地由小变大，又由大变小，每转过一个节距就变化一次。
与此同时,V’的大小也在周期性的变化，使链节以减速上
升，然后以加速下降。同样地传动比也也在周期性变化，
只有在 z1＝ z2，且传动的中心距恰为节距 p的整数倍时，传
动比才可能在啮合过程中保持不变，恒为 1。
3、链传动的运动不均匀性
8.4 滚子链传动 的失效形式
由于链条强度不如链轮高,所以
一般链传动的失效主要是链条的失
效,常见的失效形式有以下几种,
1,链条疲劳破坏
在链传动中,由于松边和紧
边的拉力不同,使得链条所受的拉
力是变应力,当应力达到一定数值,
且经过一定的循环次数后,链板,
滚子,套筒等组件会发生疲劳破
坏。 这种疲劳破坏是闭式链传动
的主要失效形式。
链板疲劳断裂
2.铰链磨损
链节在绕上链轮时，销轴与套筒之间产生相对滑
动，在不能保证充分润滑的条件下，将引起铰链的磨损。
磨损导致链轮节距增加，链与链轮的啮合点外移，最终
将产生跳齿或脱链而使传动失效。铰链磨损是开式链传
动的主要失效形式。
3.滚子和套筒的冲击疲劳破坏
由于链传动的特点，链条工作滚子、套筒和销轴受
到较大的冲击载荷，经过一定次数的冲击，最后产生冲
击断裂。它的应力总循环次数一般在 以内，它的载荷
一般较疲劳破坏允许的载荷要大，但比一次冲击破断载
荷为小。
滚子疲劳
4.链条铰链的胶合
在链轮转速过高时，润滑条件恶化，套筒与销轴
间发生金属直接接触而产生很大摩擦力，其产生的热
量导致套筒与销轴的胶合。
5.静力拉断
在低速重载的传动中或者链突然承受很大的过载时，链
条静力拉断，承载能力受到链元件的静拉力强度的限制。
链板静力拉断 销轴断裂
8.5链传动的布置、张紧及润滑
8.5.1、链传动的布置
链传动的布置是否合理，对
传动的质量和使用寿命有较大的
影响。布置时,
(1) 两链轮的回转平面应在同一
平面内,否则易使链条脱落或产
生不正常磨损。
合理布置
(2) 两链轮的中心线最好在水平面内,若需要倾斜布置时,
倾角应小于 45° (见图 8 - 9(a)),应避免垂直布置 (见图 8-
9(b)),因为过大的下垂量会影响链轮与链条的正确啮合,
降低传动能力。
图 8 - 9 不合理布置
(3) 链传动最好紧边在上,松边在下,以防松边下垂量过
大使链条与链轮轮齿发生干涉 (见图 8 - 9(c))或松边与紧
边相碰。
图 8 - 9 不合理布置
8.5.2 链传动的张紧
链传动张紧的目的，主要是为了避免在链条的垂度过大时
产生啮合不良和链条的振动现象；同时也为了增加链条与
链轮的啮合包角。
当链传动的中心距可调整时，可通过调整中心距张紧；
当中心距不可调时，可通过设置张紧轮张紧。张紧轮一般
压在松边靠近小轮处。张紧轮可以是链轮，也可以是无齿
的辊轮。张紧轮的直径应与小链轮的直径相近。辊轮的直
径略小，宽度应比链约宽 5mm，并常用夹布胶木制造。张
紧轮有自动张紧式和定期张紧两种。前者多用弹簧、吊重
等自动张紧装置；后者用螺栓、偏心等调整装置。另外，
还有用托板、压板张紧。如图 8-10所示。
图 8-10 链传动的张紧装置
8.5.3 链传动的润滑
链传动的良好润滑能缓和冲击,减小摩擦,减轻磨
损； 不良的润滑会降低链的使用寿命。
链传动的润滑方式可根据图 8 - 11选取。 具体
润滑装置见图 8 - 12。 润滑时应设法在链活动关节的
缝隙中注入润滑油,并均匀地分布在链宽上。 常用的
润滑油有 L-AN32,L-AN46,L-AN68,L-AN100
等。
6
8
9, 5 2 5
1 2, 7
1 5, 8 7 5
1 9, 0 5
2 5, 4
3 1, 7 5
3 8, 7 5
4 4, 4 5
5 0, 8
5 1, 7 5
6 3, 5
1 1 4, 3
1 0 1, 6
8 8, 9
7 6, 2
6 3, 5
0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 8 1 2 3 4 5 6 8 10
链条
节距
p
/
m
m
链条速度
/ ( m · s
－ 1
)
Ⅰ用油刷或油壶人工
定期润滑
Ⅱ滴润滑
Ⅲ油浴或飞溅润滑
Ⅳ油泵压力喷油
图 8 - 11 链传动润滑方式的选择
图 8 - 12 链传动的润滑
9.1圆轴扭转
9.2弯曲
9.3组合变形
9.4概述
9.5轴的材料
9-6轴及轴系的结构设计
9-7轴的设计计算
第 9章 轴
9.1 圆轴扭转
9.1.1 扭转的概念
杆件的两端受到一对大小相等、方向相反，且
作用面都垂直于杆件轴线的两个力偶的作用。
杆件在这一对力偶的作用下，使杆件的任意两
横截面绕轴线产生相对转动,但杆的轴线位置
和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转
为主要变形的杆件称为轴。
T T ?
图 9-1
如图 9-1所示
F
F
d
M
e
图 9-2 扭转实例
图 9-2
9.1.2 外力偶矩的计算
在工程中, 作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的,
通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速 。 因此, 需要了解功
率, 转速和外力偶矩三者之间的关系, 即
n
PM 9549?
式中,M——作用于轴上的外力偶矩,单位, N·m ；
P——轴所传递的功率,单位, kW
n——轴的转速,单位, r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩, 其转向与轴的转向相
同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩, 其转向与轴的转向相反 。
（ 9-1）
【 例 9-1】 已知某传动轴传递的功率为 7.5 kW,转速为 300
r/min,试计算此传动轴传递的外力偶矩 。
解 由公式 (9-1)计算得
mNM ???? 725.238300 5.79549
图 9-3
M
1 m
m
M
2 M
3
M
1
T
M
2
M
3
T ?
( a )
( b )
( c )
9.1.3扭矩
当轴上的外力偶矩确定以后，即可用截面法研究横截面上
的内力。以图 9-3（ a）为例
由力偶平衡条件可知,m-m截面上必须有一个内力偶矩与外
力偶矩 Ｍ 1平衡, 此内力偶矩称为扭矩, 用符号 T表示, T的单位
为 N·m。 如图 9-3（ b）
由 ∑m=0得
11 0 MTTM ???
若取 m-m横截面的右端部分为研究对象, 画出受力图,如图 9-
3(c)所示 。 可求得 m-m横截面上的扭矩 T′,显然, T′与 T大小相等,
方向相反, 即为作用与反作用关系 。
由 ∑m=0
T′+Ｍ 2-M3=0 T′=M3-M2(M1=M3-M2)
图 9-4
M
e
T
n
x
( ＋ )
( a )
( ＋ ) n
x
M
e
( b )
T
扭矩的正负规定,用右手螺旋法则 如图 9-4所示
9.1.4 扭矩图
通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的 。 为了直观地表
示圆轴上扭矩的作用情况, 把圆轴的轴线作为 x轴 （ 横坐标
轴 ）, 以纵坐标轴表示扭矩 T,这种用来表示圆轴横截面上扭
矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图 。
【 例 9-2】 绘出图 9-5(a)所示的悬臂梁的扭矩图。
图 9-5
2
2
2 0 0 0 N · m
B
5 0 0 N · m
5 0 0 N · m
T
1
2
2
T
2
B
2 0 0 0 N · m
1
1
1
1
5 0 0 N · m
C
T ( N · m )
O
5 0 0 N · m
－ 1 5 0 0 N · m
x
( a )
( b )
( c )
( d )
C
A
解 (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩 。
因为是悬臂梁, 可取截面的自由端部分 BC段,如图 9-5（ b）
所示 。
由平衡方程 T1-500=0
T1 =500 N·m
AB段：如图 9-5（ c） 所示 。
T2+2000-500=0
T2 =-1500 N·m
(2) 绘制扭矩图如图 9-5 (d) 所示。
【 例 9-3】 已知一传动轴如图 9-6(a)所示, 主动轮 A上输入功
率为 15 kW,B,C轮为输出轮, 输出轮 B上输出功率为 10 kW,
轴的转速为 n=1000 r/min。 试求各段轴横截面上的扭矩, 并绘出
扭矩图 。
解 (1) 计算外力偶矩 M。
mNM
mNM
B
A
????
????
49.95
1 0 0 0
10
9 5 4 9
24.1 4 3
1 0 0 0
15
9 5 4 9
方向与轴的转向相同
方向与轴的转向相反
(2) 计算扭矩 T。
由图 9-6(b)可得
T1+MA=0 T1= -MA=-143.24N·m
由图 9-6(c)可得
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图
如图 9-6(d)所示 。 由
图可知, AB段所承
受的扭矩最大, 其值
为 -143.24 N·m 。
图 9-6
A
M
A
1
1
1
1
T
1
2
2
M
B
M
C
B C
M
A
M
A
M
B
2
2
T
2
0
x
－ 1 4 3, 2 4 B N · m
－ 4 7, 7 5 N · m
( a )
( b )
( c )
( d )
T
9.1.5 圆轴扭转的切应力与强度计算
1,变形几何关系
取一等截面圆轴, 在其表面上作出两条平行于轴线的纵向
线 aa,bb,两条圆周线 11,22,如图 9-7 (a) 所示 。 再在圆轴
的两端分别作用一个外力偶 M,使杆件发生扭转变形 。 由图 9-7
(b） 可以看到以下变形现象：各圆周线的形状, 大小, 间距保
持不变, 只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角
度 γ,由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形 。
由以上分析可知：圆轴受扭转变形后, 其横截面大小和形状
不变, 由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于
相邻横截面的间距不变, 因此横截面上无正应力作用 。 但因为
相邻横截面发生绕轴线的相对转动, 所以横截面上必然有垂直
于半径方向的切应力 。 切应力用符号 η表示 。
在圆轴上取一微段 dx,放大后如图 9-7(c)所示, 右截面相对
于左截面转过了一个角度 dθ,半径由 O2B转至 O2C位置, 纵向线
AB倾斜 γ角度达到 AC位置, A点的切应变为
dx
dR ??? ?? t a n
图 9-7
( a )
1 1
2 2
a
b
?
a
b
?
1 2
d x
R
?
O
1
A ?
A
?
?
? B ?
O
2
C
C ?
1 2
B
d
?
( b ) ( c )
M
a
b
1 2
1 2
a
b
2,横截面上的切应力
由剪切胡克定律可得 ηρ=Gγρ,即
dx
dG ???
? ?
（ 9-2）
式中, G为材料的切变模量, 其数值可由实验测得, 常用单位
为 GPa。 ηρ为截面上离轴心距离为 ρ的各处切应力 。
（ 9-2） 式表明：横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的
距离成正比, 其方向与半径垂直, 可以证明横截面上任意一点
的切应力计算公式为 ηρ=Tρ/Ip。 式中 Ip为横截面对圆心 O点的极惯
性矩, 按公式计算,
实心圆截面,
32
4d
I p ??
空心圆截面,
D
ddI
p ??? ??
? )1(
32
4
4
因此，实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图 9-8表
示。
图 9-8
O
T
??
?
?
m a x
T
?
m a x
由上图可知：在圆轴横截面上, 当 ρ=0时, η=0；当 ρ=R时,
即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值 ηmax,且切应力沿半
径方向呈线性增长 。 其最大切应力 ηmax为
pW
T?
m a x?
（ 9-3）
显然, Wp=Tp/R。 上式中,Wp为抗扭截面系数, 单位为 m3,mm3。
对于如图 9-9所示的实心圆轴，其抗扭截面系数 Wp为
16
3d
W p ??
图 9-9
d
对于如图 9-10所示的空心圆轴，其抗扭截面系数 Wp为
)1(16 4
3
?? ?? DW p
图 9-10
其中 α=d/D。
D
d
3,强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于
或等于材料的许用切应力,即 ηmax≤［ η］ 。
对于等截面圆轴有
][m a xm a x ?? ??
pW
T
【 例 9-4】 一阶梯圆轴如图 9-11(a)所示, 轴上受到外力偶矩
M1=6 kN·m,M2=4 kN·m,M3=2kN·m,轴材料的许用切应力
［ η］ =60 MPa,试校核此轴的强度 。
解 (1) 绘制扭矩图如图 9-11(b) 所示 。
(2) 校核 AB段的强度 。
][69.17
16
12.0
6 0 0 0
3m a x ??? ???? M P a
则强度足够。
(a)
(3) 校核 BC段的强度。
][90.19
16
08.0
2 0 0 0
3m a x ??? ???? M P a
(b)
则强度足够。
图 9-11
?
?
1
2
0
0
T
6 k N · m
2 k N · m
X
A B
C
M
1
M
2
M
3
1 0 0 0 8 0 0
?
80( a )
( b )
9.1.6 圆轴扭转变形与刚度计算
1,扭转变形
圆轴扭转时的变形采用两个横截面之间的相对转角 θ来表示 。
对于长度为 L,扭矩为 T,且截面大小不变的等截面圆轴, 其变
形计算公式为
pGI
TL??
对于直径变化的圆轴 (阶梯轴 ),或者扭矩分段变化的等截面
圆轴, 必须分段计算相对转角, 然后计算代数和 。
2,刚度条件
圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角 θmax不超
过许用的单位长度扭转角 ［ θ］ 。 即
][180m a xm a x ???? ????
pGI
T
L
式中 θ的单位为 ° /m。
精密机器的轴, ［ θ］ =0.25～ 0.50 (° /m)
一般传动轴, ［ θ］ =0.50～ 1.00 (° /m)
要求不高的轴, ［ θ］ =1.00～ 2.5 (° /m)。
【 例 9-5】 汽车传动轴输入的力偶矩 M=1.5kN·m,直径
d=75mm,轴的许用扭转角 ［ θ］ =0.50° /m,材料的切变模量
G=80 GPa,试校核此传动轴的刚度 。
解 (1) 计算扭矩 。
此传动轴横截面上的扭矩为 T=M=1.5kN·m 。
(2) 计算 Ip。
46
44
1012.532 075.014.332 mdI p ?????? ?
(3) 校核轴的刚度。
][/21.014.31801012.51080 105.1180 69
3
m a x
m a x ??? ???
??
???
?????
? mGI
T
p
故此传动轴刚度足够。
9.2 弯曲
9.2.1 基本概念
图 9-12
F
q
( a ) ( b )
以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内, 受到
力偶或垂直于轴线的外力作用 。 其变形特点是：构件的轴线由
直线变成一条曲线, 这种变形称为弯曲变形 。 以弯曲变形为主
的构件习惯上称为梁 。
工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形, 矩形, T字
形和工字形等, 如图 9-13所示 。
图 9-13
y
z
y
z
y
z
y
z
以上横截面一般都有一个或几个对称轴, 由纵向对称轴与
梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面, 如图 9-14所示 。
图 9-14
N
A
弯曲后的轴线
N
B
q
F
纵向对称面
对称轴
轴线
M
工程实践中, 通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的
纵向对称平面内, 且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称
平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲 。
9.2.2 梁的类型
工程实际中, 梁的结构繁简不一 。 为便于分析计算, 通常
对梁进行简化 。 根据支座对梁的约束的不同情况, 简单的梁有
三种类型, 其简图如图 9-15所示 。
(1) 简支梁,梁的一端为固定铰链支座, 另一端为活动铰
链支座, 如图 9-15(a)所示 。
(2) 悬臂梁,梁的一端为固定端支座, 另一端为自由端,
如图 9-15(b)所示 。
(3) 外伸梁,梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁,如
图 9-15(c)所示。
图 9-15
BA
BA
BA
( a )
( b )
( c )
9.2.3 梁的内力与内力图
1,剪力与弯矩
图 9-16
A
x
m
m
F
B
N
A
N
B
a
l
N
A
A C
1
m
m
M
F
s
m
m
F
B
N
B
s
F ?
M ?
( a )
( b )
( c )
首先，利用静力平衡条件求出 A,B的支座反力 NA与 NB为
FlaNFl alN BA ?????,
其次, 假想地用一截面将梁沿 m-m截面截开, 取左段进行分
析, 如图 9-16(b)所示 。 为了达到平衡, 在 m-m截面上必须作用
一个与 NA等值, 反向的力 Fs。 NA与 Fs构成力偶, 又有让梁顺时
针转动的趋势 。 为了达到转动平衡, 截面上必须作用有一个力
偶 M。 图 9-16中使梁的横截面发生错动的内力 Fs称为剪力；使梁
的轴线发生弯曲的内力偶矩 M称为弯矩 。 其大小可以由平衡条
件求出, 即,
xF
l
al
MxNMm
F
l
al
NFFNF
AC
AssA
??
?
????
?
?
?????
?
?
1
0
式中, C1为左段截面形心 。
若取 m-m截面右段为研究对象, 作同样分析后, 可求得与左段
截面上等值, 反向的剪力 Ｆ s′和弯矩 M′,与左段截面上的剪力 Fs和
弯矩 M互为作用与反作用的关系 。
为了使同一截面取左, 右不同的两段时求得的剪力和弯矩符
号相同, 把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生, 左上
右下, 的相对错动的剪力方向为正, 反之为负, 如图 9-17所示；
使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正, 反之为负, 如图 9-18
所示 。
图 9-17
F
s
F
s
F
s
F
s
( － )( ＋ )
图 9-18
( ＋ )
( － )
M M
M M
2,
工程中, 梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 。
若以横坐标 x表示梁的横截面位置, 则梁在各横截面上的剪力 Fs
和弯矩 M可以写成 x的函数,
Fs=Fs(x)
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程 。
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化
规律, 可根据剪力方程和弯矩方程,用横坐标 x表示梁的横截面
的位置,纵坐标分别表示剪力 Fs和弯矩 M的大小而画出的图形,
分别称为剪力图和弯矩图 。
【 例 9-6】 如图 9-19 (a) 所示, 简支梁 AB受集中截荷 F=12kN,
试画出其剪力图和弯矩图 。
解 (1) 求 A,B的支座反力 。
kNNFN
kNFN
FNm
AB
A
AB
8
4
3
1
013
???
??
???????
图 9-19
( a )
A
2 m
F
1 m
B
N
A
N
B
x
1
x
2
( b )
C
1
x
1 F
s 1
M
1
N
A
N
A
x
2
F
C
2
F
s 2
F
s
A
0
4 k N
C B
x
－ 8 k N
M
A
0
8 k N · m
C B
( c )
( d )
( e )
C
M
2
x
(2) 列剪力方程与弯矩方程 。
① 对 AC段, 取距 A端为 x1的截面左段, 画出受力图, 如图
9-19(b)所示 。 列平衡方程,
)20(4
0
4
0
111
1
1
1
1
???
????
??
??
?
xxM
xNMm
kNNF
NF
AC
As
As
② 对 CB段, 取距 A端为 x2的截面左段, 画出受力图, 如图
9-19(c)所示 。 列平衡方程,
)32(824
0)2(
8124
0
222
222
2
2
2
????
???????
??????
???
?
xxM
xNxFMm
kNFNF
NFF
AC
As
As
(3) 绘制剪力图和弯矩图 。
根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程, 绘出剪力图,
如图 9-19(d)所示,绘出弯矩图, 如图 9-19(e)所示 。
从剪力图上可以看出, 在集中力 F作用处, 剪力图上会发
生突变, 突变值即等于集中力 F的大小 。
由剪力图和弯矩图可知,集中力 F作用在 C截面上, 剪力和
弯矩都达到最大值 。
【 例 9-7】 如图 9-20(a)所示, 悬臂梁 AB受均布载荷作用,试
绘制其剪力图和弯矩图 。
解 设截面 m-m与 B端之间的距离为 x,取 m-m截面的右段为
研究对象, 画出受力图,如图 9-20（ b） 所示 。
根据平衡条件,
Fs-qx=0
Fs=qx (0≤x≤l)
02 ??? xqxM 2
2
1 qxM ?? (0≤x≤l)
图 9-20
q
m
1
m
x
l
A
B
M
F
s
m
m
q
B
ql
F
s
x
x
M
0
0
2
2
1
ql?
( a )
( b )
( c )
( d )
l
9.2.4 弯曲时的正应力与强度计算
1,变形几何关系
纯弯曲：横截面上
只有正应力，没有
切应力的弯曲。如
图 9-21所示梁的 BC
段。
图 9-21
A
P P
B C
D
l l
F
s
A
0
P
B C D
x
－ P
M
0
A
Pl
B C D x
若将 11和 22所夹部分取出, 如图 9-22(c)所示 。 上部纤维缩
短, 下部纤维伸长, 根据变形的连续性, 它们之间有一层纵向
纤维既不伸长又不缩短, 这一层称为中性层 。 中性层与横截面
的交线称为中性轴 。 中性层将横截面分为受拉区和受压区, 在
受拉区或受压区内, 纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比,
这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比 。 由于每
根纵向纤维可以代表横截面上的一点, 因此横截面上任意一点
的正应力与该点到中性轴的距离成正比 。
图 9-22
1 2
a a
b b
1 2
( a )
1 2
a a
b b
1 2
M M
( b )
( c )
1
1
中性 层
中性 轴
Z
2
2
2,横截面上的正应力
梁受纯弯曲时, 其横截面上只有正应力, 没有切应力 。 横截
面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比, 距中性
轴等高度的各点正应力相等, 而中性轴上各点处正应力为零 。
横截面上应力分布如图 9-23(a)所示 。 可以证明距离中性轴为 y处
点的正应力计算公式为 ζy=My/Iz,如图 9-23(b)所示 。 式中 Iz为横截
面对中性轴的惯性矩, 对矩形截面 Iz=bh3/12,圆形面 Iz=πd4/64。
图 9-23
受拉力
中性轴
受压力
b
M
h
M M
o
y
M
?
y
o
h
( b )( a )
z
从上图可以看出, 离中性轴最远的梁的上, 下边缘处正应
力最大, 最大正应力用符号 ζmax表示, 其值为
zW
M?
m a x?
上式中,称为截面对中性轴 z的抗弯截面系数,
其单位为 m3或 mm3。 对于常见的截面其抗弯截面系数分别如下 。 ?/m a x h
I
y
IW zz
z ??
(1) 矩形截面 (如图 9-24 (a) 所示 ),
6
2bh
W z ?
(2) 圆形截面 (如图 9-24(b) 所示 ),
32
3d
W z ??
(3) 圆环截面 (如图 9-24(c)所示 ),
)1(32 4
3
?? ?? DW z
其中
D
d??
图 9-24
y
h
z
b
y
z
d
y
D
d
z
( a ) ( b )
( c )
3,弯曲正应力强度条件
对于等截面梁, 最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上,
此截面称为危险截面 。 危险截面的上, 下边缘正应力最大 。 正
应力最大的点称为危险截面上的危险点 。 按弯曲正应力建立强
度条件为：梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力,
即
][m a xm a x ?? ??
zW
M
对于一般材料其抗拉强度与抗压强度相等时, ［ ζ］ 采用材料
的许用拉 (压 )应力 。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同, 或
横截面相对中性轴不对称时, 应分别校核抗拉强度与抗压强度 。
实际工程中, 运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯
曲强度, 求许可载荷和设计截面尺寸 。
【 例 9-8】 某建筑工地上,用长为 l=3 m的矩形截面木板做跳
板,木板横截面尺寸 b=500 mm,h=50 mm,木板材料的许用应力
［ σ］ =6 MPa,试求,
（ 1） 一体重为 700N的工人走过是否安全？
（ 2） 要求两名体重均为 700N的工人抬着 1500 N的货物安
全走过, 木板的宽度不变, 重新设计木板厚度 h。
解 （ 1）计算弯矩的最大值 Ｍ max。当工人行走到跳板中央
时，弯矩最大。
mNM ???? 5 2 52327 0 0m a x
校核弯曲强度,
][52.2
6
50500
10525
2
3
m a x
m a x ?? ???
?
?? M P a
W
M
z
所以,体重为 700 N的工人走过是安全的。
(2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力, 且作用在跳
板长度的中点时最危险, 此处弯矩最大值为
mNM ?????? 2175232 15002700m a x
按弯曲强度设计,
6
6
5 0 0
102 1 7 5
2
3
m a x
m a x ??
?
??
hW
M
z
?
h≥65.95
所以，木板厚度 h应满足 h≥66 mm。
9.2.5 梁 的 变 形
1,挠度与转角
如图 9-25所示, 悬臂梁 AB受载以后轴线由直线弯曲成一条
光滑的连续曲线 AB′,曲线 AB′称为挠曲线 。 梁的变形可以用挠
度 w和转角 θ来度量 。
挠度：取轴线上任意一点 C,变形后移至 C1,其线位移 ω为
C点的挠度值 。
转角：梁弯曲变形后, 轴上任意一点 C处的横截面 m-m将绕
中性轴转动一个角度至 m′-m′,其角位移 θ称为该截面的转角 。
图 9-25
A
y
t
?
C
1
C
m
?
B
x
t
B ?
m ?
m ?
m
?
2,计算变形的叠加法
梁的挠度和转角都是载荷的一次函数, 当梁上同时受到几
个载荷作用时, 由某一载荷作用引起梁的变形不受其他载荷作
用的影响, 故梁的变形满足线性叠加原理 。 即可以分别计算出
单个载荷作用下梁的挠度和转角, 再将它们求代数和, 得到所
有载荷同时作用时梁的总变形 。
几种常见梁在简单载荷作用下的变形见表 9.1。
表 9.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
A
l
B
F
?
?
?
B
A
l
?
B
B
M
e
梁的 简图 端截 面转角
z
B
EI
Fl
2
2
???
A
a
l
?
B
?
B
F
B
?
B
z
B
EI
Fl
3
2
???
最大 挠度
z
e
B
EI
M
2
???
z
e
B
EI
lM
2
2
???
z
B
EI
Fa
2
2
??? )3(
6
2
al
EI
Fa
z
B
????
表 9.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
z
B
EI
ql
6
3
???
z
B
EI
ql
8
4
???
z
BA
EI
Fl
16
2
???? ??
z
EI
Fl
48
3
m a x
???
z
BA
EI
ql
24
2
???? ??
z
EI
ql
38
5
4
m a x
???
z
BA
EI
F a l
62
1
??? ??
)(
3
2
al
EI
Fa
z
C
????
)( al
EI
Fa
z
C
32
6
????
A
l a
B C
F
?
C
?
B
?
A
A
l
B
q
?
A
?
B
A
l /2 l /2
C
F
B
A
q
?
B
?
B
l
B
?
B
?
A
3,刚度条件
梁的刚度条件为：最大挠度小于或等于许用挠度，最大转
角小于或等于许用转角。即
][
][
m a x
m a x
??
??
?
?
其中［ ω］、［ θ］的具体数值可查有关设计手册。
【 例 9-9】 如图 9-26(a)所示, 行车大梁采用 NO.45a工字钢,
跨度 l=9m,电动葫芦重 5 kN,最大起重量为 55 kN,许用挠度
［ ω］ =l/500,试校核行车大梁的刚度 。
图 9-26
l
F
A
q
F
C
B
?
CF
＋ ?
Cq
( b )( a )
解 将行车简化后受力情况如图 9-26(b)所示 。 把梁的自重
看成均布载荷, 并且, 当电动葫芦处于梁的中央时, 梁的变形
最大 。
(1) 用叠加法求挠度 。
查手册可知,NO.45a工字钢的 q=788N/m,Iz=32 240 cm4,
E=200GPa。
梁需要承受的最大载荷 F=5+55=60kN。
查表 9.1可得，在力 F作用下产生的挠度为
m
EI
Fl
CF
CF
0 1 4.0
102 4 032102 0 048
91060
48
89
3
3
?
????
??
?
?
?
?
?
在均布载荷 q作用下产生的挠度为
m
EI
ql
Cq
z
CF
001.0
102403210200348
97885
38
5
89
4
4
?
????
??
?
?
?
?
?
梁的最大变形,ωc max=ωCF+ωCq=0.015 m。
(2) 校核梁的刚度。
梁的许用挠度 ? ?
ml 018.05009500 ????
，则
][m a x ?? ?c
所以梁的刚度足够。
9.3 组合变形
9.3.1 组合变形的概念
工程实际中, 许多构件同时受到多种基本变形的作用 。 如
有的构件同时受到拉 (压 )与弯曲, 或者同时受到弯曲与扭转的
作用 。 像这种同时受两种或两种以上基本变形的变形形式, 称
为组合变形 。
如图 9-27(a)所示的 AB构件, 受力图如图 9-27(b)。 其上作用
的力 NAx和 Fx使杆产生压缩变形；力 NAy,Fy与 G使杆产生弯曲变
形 。 所以 AB杆的变形属组合变形 。
图 9-27
A
D
C?
G
N
A y
A
N
Ax
F
x
F
F
y
?
B
G
C
( a ) ( b )
B
9.3.2,拉伸 (压缩 )与弯曲的组合变形
图 9-28
y
A B
l
F
y
F
?
F
x
x
A B
x
F
x
A B
x
F
y
?
N
?
W
?
＋
( a )
( b )
( c )
( d )
y
?
－
(1) 内力分析。
将力 F分解为
Fx=F cosθ
Fy=F sinθ
分力 Fx使 AB杆产生拉伸变形, 横截面上的应力为均匀分布
的拉应力 ζN。 如图 9-28（ b） 所示 。
分力 Fy使杆 AB产生弯曲变形, 横截面上应力分布如图 9-28
（ c） 所示 。
(2) 应力计算 。
由于杆 AB任一截面上的应力都有拉伸产生的正应力与弯曲
产生的正应力, 同一截面上两种应力平行, 所以叠加时可以代
数相加 。 叠加后横截面上应力分布如图 9-28（ d） 所示, 并且最
大正应 ζmax为
ζmax=ζN+ζW
(3) 强度条件 。
为了保证此组合变形杆件的承载能力, 必须使其横截面上
的最大正应力小于或等于材料的许用应力 。 即
ζmax≤［ ζ
对于塑性材料, ［ ζ］ 取材料的拉伸许用应力；对于脆性
材料, 因材料的抗拉与抗压强度不同, 应分别校核 。
9.3.3 扭转与弯曲的组合变形
图 9-29
C
A
F
a
B
C
T
B
F
T ＝ F ·a
x
( a )
( b )
( c )
( d )
( e )
?
?
?
?
M
x
T
x
(1) 内力分析 。
BC杆在力 F的作用下产生弯曲变形 。 作出弯矩图, 如图 9-
29(c)所示 。 作出其扭矩图, 如图 9-29(d)所示 。
(2) 应力分析 。
从上面分析可知, 固定端 C处弯矩最大, 由弯矩 M产生的正
应力 ζ 垂直横截面, 且在上, 下边缘最大；由扭矩 T产生的切应
力 η平行横截面, 且边缘最大 。 横截面上应力分布如图 9-29(e)
所示 。 由图 （ e） 可知, Ｃ 截面上正上方和正下方两点应力达到
最大值, 是危险点 。
(3) 强度计算 。
由于在弯曲与扭转组合变形中, 构件横截面上的切应力和
正应力分别作用在两个互相垂直的平面内, 不能采用简单应力
叠加的方法, 而要采用第三强度理论或第四强度理论进行计算
其强度计算公式如下,
][4 223 ???? ???r
运用第四强度理论计算公式为
][3 224 ???? ???r
对于塑料材料圆截面杆
zW
M??
pW
T??
再将 Wp=2Wz代入以上公式得,
][
75.0
][
22
4
22
3
??
??
?
?
?
?
?
?
z
r
z
r
W
TM
W
TM
9.4 概 述
9.4.1 轴的类型及其特点
1,按中心线形状不同分类
(1) 直轴,
中心线为一直线的轴称为直轴 。 在
轴的全长上直径都相等的直轴称为光轴,
如图 9-25(a)所示 ; 各段直径不等的直轴称
为阶梯轴,如图 9-25(b)所示 。
由于阶梯轴上零件便于拆装和固定,
又利于节省 材料和减轻重量,因此在
机械中应用最普遍 。 在某些机器中
也有采用空心轴 (见图 9-25(c))的,以
减轻轴的重量或利用空心轴孔输送润
滑油, 冷却液等 。
图 9-25 直轴
(a) 光轴 ; (b) 阶梯轴 ; (c) 空心轴
(2) 曲轴,
中心线为折线的轴称为曲轴,如图 9-
26所示 。 它主要用在需要将回转运动与
往复直线运动相互转换的机械中 。
图 9-26 曲轴
(3) 挠性软轴,
能把旋转运动灵活地传到任何位置
的钢丝软轴称为挠性软轴,如图 9-27 所示 。
它由多组钢丝分层卷绕而成 (见图 9-
28),其特点是具有良好的挠性 。 它常用
于医疗器械和小型机具等移动设备上 。
图 9-27 钢丝软轴
图 9-28 钢丝软轴的结构
2,按承载情况不同分类
(1) 转轴,
工作中同时受弯矩和扭矩的轴称为
转轴 。 转轴在各种机器中最常见,如减速
箱中的齿轮轴 (见图 9-29)。
(2) 传动轴,
只受扭矩不受弯矩或所受弯矩很小
的轴称为传动轴 。 如汽车传动轴 (见图 9-
30)。
(3) 心轴,
只承受弯矩的轴称为心轴。 心轴又
分为转动心轴和固定心轴,前者如机车车
轴 (见图 9-31(a)),后者如自行车的前轴 (见
图 9-31(b))。
图 9-29 转轴
图 9-30 传动轴
图 9-31 心轴
(a) 机车车轴 ; (b) 自行车前轴
9.5 轴的材料
1,碳素钢
碳素钢比合金钢价廉,对应力集中不
敏感,并可用热处理的方法改善其力学性
能 。 一般机械中常用 35,45,50钢等优
质碳素钢,并进行正火或调质处理,其中
以 45钢用得最为广泛 。
不重要的, 受力较小的轴可采用
Q235,Q275等碳素结构钢 。
2,合金钢
合金钢具有较高的力学性能和良好
的热处理工艺性,但对应力集中比较敏感,
且价格较贵,多用于高速, 重载及有特殊
要求的轴材料 。 对于耐磨性要求较高的
轴,可选用 20Cr,20CrMnTi等低碳合金
钢,进行渗碳淬火处理 。 对于在高温,
高速和重载条件下工作的轴,可选用
38CrMoAlA,40CrNi等合金结构钢 。
由于在一般工作温度下,碳素钢和合
金钢的弹性模量相差无几,因此,不能用
合金钢代替碳素钢来提高轴的刚度。
轴的毛坯通常用锻件和热轧圆钢。
对于某些结构外形复杂的轴可采用铸钢
或球墨铸铁,后者具有吸震性,耐磨性好,
价格低廉,对应力集中敏感性差等优点。
表 9-2列出了几种轴的常用材料及其
力学性能。
表 9 - 2 轴的常用材料及其主要力学性能
9.6 轴及轴系的结构设计
轴及轴系的结构设计主要要求是,
(1) 便于加工,具有良好加工和装配的
工艺性,轴上零件便于拆装和调整；
(2) 轴上零件布置合理,受力合理,利
于提高轴的强度和刚度；
(3) 轴上零件的轴向定位, 周向定位
准确,固定可靠；
(4) 尽量减少应力集中,节约材料 。
9.6.1 零件在轴上的轴向固定
零件在轴上的轴向固定方法很多,如
图 9 - 32所示,选择时要综合考虑零件在
轴上的位置, 轴向力的大小, 具体的安
装条件等 。
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
1,轴肩和轴环
阶梯轴上常采用轴肩或轴环定位,如
图 9-33所示 。 轴肩或轴环是阶梯轴上截
面变化的部分,由定位面和过渡圆角组成 。
轴肩结构简单,能承受较大的轴向力,应
用较多 。
图 9-33 轴肩和轴环
表 9-3 轴肩圆角半径
2,套筒
在轴的中部,当两个零件间距离较
小时,常采用套筒作相对固定,如图 9-34
所示 。 使用套筒可简化轴的结构,避免在
轴上制出螺纹, 环形槽等,能有效地提高
轴的疲劳强度,但增加了一些重量,故套
筒不应太长 。 且因套筒与轴的配合较松,
所以也不宜用于高速轴 。
图 9-34 套筒的使用
3,圆螺母
圆螺母可承受较大的轴向力,但在螺
纹处有应力集中,会降低轴的疲劳强度,
故其多用于固定装在轴端的零件,一般采
用细牙螺纹 。 为防止圆螺母松脱,可采用
加止动垫圈或用双圆螺母 (见图 9-35)。
图 9-35 圆螺母
4,挡圈
挡圈通常与轴肩联合使用定位,常
用的有螺钉锁紧挡圈, 弹性挡圈和轴端
挡圈三种 (见图 9-32(b),(c),(e))。 螺钉
锁紧挡圈用紧定螺钉固定在轴上,若在轴
上零件两侧各用一个锁紧挡圈时,可任意
调整轴上零件的位置,装拆方便 。 但紧定
螺钉不能承受大的轴向力,且钉端会引起
轴应力集中 。 轴上零件作轴向固定也可
使用弹性挡圈,这种固定方法简单,但承
受轴向力小,且轴上需设沟槽,也会因应
力集中而削弱轴的强度 。
弹性挡圈常用作滚动轴承的轴向固定 。
轴端挡圈 (又称压板 )常用于轴端零件的固
定,如图 9-34中的联轴器就是利用轴端挡
圈和螺母将零件压紧在轴肩上的 。 这种
固定方法工作可靠,应用颇广 。
5,锥形轴头
轴和毂孔利用锥面配合,对中性好,
轴上零件装拆方便,且可兼作周向固定,
常用于转速较高的场合 。 当用于轴端零
件的固定时,可与轴端挡圈配合使用,使
零件得到双向定位和固定 。 在用套筒,
圆螺母, 轴端挡圈作轴向固定时,为确保
轴上零件定位可靠,轴头的长度应比零件
轮毂的宽度短 2～ 3 mm(见图 9-36)。
图 9-36 轴段长度稍短
9.6.2 零件在轴上的周向固定
为了传递运动和转矩,防止轴上零件
与轴作相对转动,必须有可靠的周向固定 。
转动零件与轴的周向固定所形成的联结,
称为轴毂联结 。 轴毂联结的形式很多,常
用的周向固定方法有键, 花键,成形,
销,弹性环, 过盈等联结,如图 9-37所示,
可根据传递转矩的大小进行选取 。
图 9-37 轴上零件常用的周向固定方法
图 9-37 轴上零件常用的周向固定方法
9.6.3 轴的结构工艺性
设计轴的结构时,应使轴的结构形状
便于加工, 装配和维修 。 例如,对于需
要磨削的轴段,应留有砂轮越程槽,如图
9-38所示； 对于需要切削螺纹的轴段,应
留有退刀槽,如图 9-39 所示 。 砂轮越程
槽通常宽 2～ 4 mm,深 0.5～ 1 mm； 螺
纹退刀槽与螺纹牙高度有关,槽的尺寸可
参看有关设计手册, 图册 。
图 9-38 砂轮越程槽
图 9-39 螺纹退刀槽
为便于零件在轴上的装配,轴端应加
工成 45° (或 30°, 60° )倒角 。 过盈配
合部分的零件装入端常加工出半锥为
10° (或 30° )的导向锥面 (见图 9-40)； 对
于受变载荷的重要零件,则应加工出圆角 。
图 9-40 引导锥
9.7 轴的设计计算
9.7.1 轴的计算简图
在进行轴的强度和刚度计算时,为便
于分析和计算,常通过必要的简化,找出
轴的合理简化模型,即轴的计算简图 。
通常将轴简化为一铰链支座的梁,轴
和轴上零件的自重可忽略不计,轴上分布
载荷按图 9-41所示方法简化 。 作用在轴
上的扭矩通常从传动件轮毂中点计算 。
轴的支座反力的作用点随轴承类型, 布
置方式不同而异,可按图 9-42确定,图中 a,
b,e的值可查, 机械设计手册, 。
图 9-41 轴的计算简图
(a) 一般情况 ; (b) 过盈情况
图 9-42 轴上支点的简化
(a) 向心轴承 ; (b) 角接触轴承 ; (c) 两个向心轴承 ; (d) 滑动轴承
9.7.2 轴的强度计算
1,按扭转强度计算
对于传动轴,可只按扭矩计算轴的直径；
对于转轴,常用此法估算轴的最小直径,然后进
行轴的结构设计 。
对于圆截面轴,扭转强度条件为
? ??? ????
nd
P
W
T
P
3
6
2.0
1055.9 (9-4)
式中,τ为轴的扭转剪应力,单位为 MPa； T为轴
传递的扭矩,单位为 N·mm； P为轴传递的功率,单位为
kW； n为轴的转速,单位为 r/min； d为轴的直径,单位
为 mm； ［ τ］ 为许用扭转剪应力,单位为 MPa,其值查
表 9-4选取； Wp为轴抗扭截面系数,单位为 mm3,对圆截
面轴 Wp≈0.2d3。
由式 (9-4),可推出轴的设计公式为
? ?
333
6
2.0
1055.9
n
PC
n
Pd ????
?
(9-5)
式中,C为由轴的材料和承载情况确定的常数,见表 9-4。
表 9-4 常用材料的 ［ η］ 和 C值
2,按弯扭合成强度计算
在轴的结构设计初步完成后,通常要
对转轴进行弯扭合成强度校核 。
对于一般钢制的转轴,可用第三强度
理论写出弯扭组合强度条件为
? ? he d TMWM 13
2
1.0
)(2
??
??? ???
?
(9-6)
由上式可推得轴的计算公式为
? ?3 11.0 h
eMd
?
?
?
(9-7)
式中,ζe为当量应力,单位为 MPa； d为轴
的直径,单位为 mm； Me为当量弯矩,单位为
N·mm,
22 )( TMM e ???
M为危险截面上的合成弯矩,单位为 N·mm,
22 VH MMM ??
MH为水平面上的弯矩,单位为 N·mm； MV为垂
直面上的弯矩,单位为 N·mm； W为轴危险截面抗弯截
面系数,对圆截面轴,W≈0.1d3； α为由扭转剪应力性质
而定的折算系数。 对于不变的扭转剪应力,
? ?
? ? 3.01
1 ??
?
?
b
h
?
??
当转矩产生的剪应力为脉动循环变应力时,
? ?
? ? 6.01
1 ??
?
?
b
h
?
??
对于频繁正反转的轴,扭转剪应力可
视为对称循环变应力,α=1。 设计时,即使
转矩大小不变,但考虑到启动,停车等因素,
一般按脉动循环计算。当转矩变化规律不
明时,也按脉动循环处理。 不同材料的轴在
对称循环,脉动循环和静应力状态下的许
用弯曲应力见表 9-5。
表 9-5 轴的许用弯曲应力
9.7.3 轴的刚度计算
轴受载后会产生弹性变形 。 机械中, 若
轴的刚度不够,则会影响机器的正常工作 。 如
机床的主轴变形太大时,将影响机床的加工精
度； 电机转子轴的弯曲变形太大时,将使转子
和定子的间隙改变而影响电机性能 。 所以,轴
必须有足够的刚度 。 轴的刚度主要是指弯曲刚
度和扭转刚度,前者用挠度 y和偏转角 θ来度量
(见图 9-43),后者用扭转角 υ来度量 (见图 9-44),
其值可按材料力学中的公式进行计算 。
图 9-43 轴的挠度和偏转角
图 9-44 轴的扭转角
对于有刚度要求的轴,为使轴不因
刚度不足而失效,设计时应根据轴的不同
要求限制其变形量, y≤［ y］,θ≤［ θ］,θ≤
［ θ］。 ［ y］,［ θ］, ［ θ］分别为
许用挠度、许用偏转角和许用扭转角,其
值参见有关参考书。
例 9-10 图示为一电动机
通过一级直齿圆柱齿轮
减速器带动带传动的简
图。已知电动机功率为
30KW,转速
n=970r/min,减速器效
率为 0.92，传动比 i=4,单
向传动，从动齿轮分度
圆直径 d2=410mm,轮毂长
度
105mm,采用深沟球轴
承。试设计从动齿轮轴
的结构和尺寸。
解：（ 1）求输出轴的转
速与输出功率。
n2=n1/i=970/4=242.5
r/min
P2=0.92*P1=0.92*30
=27.6KW
考虑键的削弱，将轴径
增大 5%，即取
d=53.3*1.05=55.9mm 查
得标准直径 d=60mm。
(4)轴的结构设计及绘制结构草图
(5)按弯、扭组合作用验算轴的强度
(6)键槽设计及其公差
(7)确定轴的各处倒角、圆角，公差
(8)绘制轴的工作图
第 10章 齿轮传动
10.1 齿轮传动的基本类型及特点
10.2 渐开线齿廓
10.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺
寸计算
10.4 渐开线齿轮的加工方法
10.5 渐开线标准直齿圆柱齿轮的根切现象和最少齿数
10.6 变位齿轮传动
10.7齿轮常见的失效形式与设计准则
10.8齿轮的常用材料及热处理
10.9渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
10.10,圆柱齿轮传动的设计计算
10.11平行轴斜齿圆柱齿轮传动
10.12直齿圆锥齿轮传动
10.13齿轮的结构设计及齿轮传动的润滑
10.1齿轮传动的基本类型及特点
10.1.1、特点
齿轮传动用来传递任意两轴间的运动和动力，其圆周
速度可达到 300m/s，传递功率可达 105KW，齿轮直径可
从不到 1mm到 150m以上，是现代机械中应用最广的一种
机械传动。
齿轮传动与带传动相比主要有以下优点,
（ 1）传递动力大、效率高；
（ 2）寿命长，工作平稳，可靠性高；
（ 3）能保证恒定的传动比，能传递任意夹角两轴间的运
动。
齿轮传动与带传动相比主要缺点有,
（ 1）制造、安装精度要求较高，因而成本也较高；
（ 2）不宜作远距离传动。
10.1.2、类型
齿轮传动的分类
齿轮传动就装置形式分,
1）开式、半开式传动
在农业机械、建筑机械以及简易的机械设备中，有一些齿
轮传动没有防尘罩或机壳，齿轮完全暴露在外边，这叫开
式齿轮传动。这种传动不仅外界杂物极易侵入，而且润滑
不良，因此工作条件不好，轮齿也容易磨损，故只宜用于
低速传动。齿轮传动装有简单的防护罩，有时还把大齿轮
部分地浸入油池中，则称为半开式齿轮传动。它工作条件
虽有改善，但仍不能做到严密防止外界杂物侵入，润滑条
件也不算最好。
2）闭式传动
而汽车、机床、航空发动机
等所用的齿轮传动，都是装
在经过精确加工而且封闭严
密的箱体 (机匣 )的，这称为
闭式齿轮传动 (齿轮箱 )如图
10-1所示。它与开式或半开
式的相比，润滑及防护等条
件最好，多用于重要的场合。
图 10-1
按齿面硬度分,
1）软齿面齿轮 轮齿工作面的硬度小于或等于
350HBS或 38HRC；
2）硬齿面齿轮 轮齿工作面的硬度大于 350HBS
或 38HRC。
按照一对齿轮传动的角速比是否恒定 分为
1）圆形齿轮传动（角速比恒定）
2）非圆齿轮传动（角速比变化）
按照轮齿齿廓曲线的不同 分为
1）渐开线齿轮,
2）圆弧齿轮,
3）摆线齿轮
齿轮实物
齿轮实物
10.2 渐开线齿廓
10.2.1 渐开线的形成
如图 10-2所示，一条直线沿一个半径为 rb的圆周作纯
滚动，该直线上任一点 k的轨迹称为该圆的渐开线。这
个圆称为基圆，该直线称为渐开线的发生线。
图 10-2
渐开线上任一点 k的向径 OK与起始点 A的向径 OA之间
的夹角 ∠ AOK（ ∠ AOK=θk称为渐开线（ AK段）的
展角
10.2.2渐开线的性质
1,发生线沿基圆滚过的线段长度等于基圆上被滚过的相
应弧长。如图 10-3所示。
图 10-3
2,渐开线上任意一点法线必然与基圆相切。换言
之，基圆的切线必为渐开线上某点的法线。
因为当发生线在基圆上作纯滚动时，它与基
圆的切点 B是发生线上各点在这一瞬时的速度瞬心，
渐开线上 K点的轨迹可视为以 B点为圆心,BK为半
径所作的极小圆弧，故 B点为渐开线上 K点的曲率
中心,BK为其曲率半径和 K点的法线，而发生线始
终相切于基圆，所以渐开线上任意一点法线必然与
基圆相切。
3、渐开线齿廓上某点的法线与该点的速度方向所夹的锐
角称为该点的压力角。如图 10-4所示
图 10-4
4 渐开线的形状只取决于基圆大小。如图 10-5 所示
5 基圆内无渐开线。
图 10-5
10.2.3渐开线齿廓的啮合特点
1,具有可分性
上式表明：渐开线齿轮的传
动比等于两轮基圆半径的反
比。
图 10-6
2 齿廓间正压力方向不变
如图 10-6所示，过节点 C作两节
圆的公切线 tt，它与啮合线 nn的
夹角 α’称为啮合角。由理论力学
知道，齿廓间正压力方向为接触
点公法线方向，由于公法线与啮
合线重合且位置不变，显然，啮
合角 α’是一个常数，所以齿廓间
正压力方向也不会改变。当齿轮
传递的转矩为常数时，正压力的
大小也不变。这对于提高齿轮传
动的平稳性是极为有利的。由图
还可知道，啮合角 α’在数值上等
于渐开线在节圆上的压力角。 图 10-6
3 齿廓间存在相对滑动
由齿廓啮合基本定律证明可知，一对齿廓如在
节点 C以外的其它点啮合，由于两齿廓在接触点
的线速度不等，即齿廓接触点沿公切线方向的速
度分量不等（ ad>bd)，则齿廓间将产生相对滑动。
齿廓间的这种相对滑动会引起传动时的摩擦损失
和齿面磨损。
10.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算
10.3.1、齿轮各部分名称和符号
图 10-7
(1) 齿顶圆, 过所有轮齿顶部所作的圆称
为齿顶圆,其直径和半径分别用 da和 ra表示 。
(2) 齿根圆, 过轮齿根部所作的圆称为齿根
圆,其直径和半径分别用 df和 rf表示 。
(3) 基圆, 发生渐开线齿廓的圆称基圆,其
直径和半径分别用 db和 rb表示 。
(4) 齿厚, 在直径为 dk的任一圆周上,一个轮
齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿厚,用 sk表
示 。
(5) 齿槽宽, 在直径为 dk的圆周上,相
邻轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的
齿槽宽,用 ek表示。
(6) 齿距, 在直径为 dk的圆周上,相邻
两齿同名齿廓之间的弧长称为该圆上的
齿距,用 pk表示,pk=sk+ek。 基圆齿距用 pb
表示,pb=sb+eb。 sb,eb分别为基圆上的
齿厚和齿槽宽。
(7) 分度圆, 在齿顶圆和齿根圆之间
的作为齿轮尺寸计算基准的圆,其直径和
半径分别用 d和 r表示 。 在标准齿轮上齿
厚与齿槽宽相等,且分度圆的齿距 p,齿
厚 s,齿槽宽 e的关系是, s=e=p/2。
(8) 齿顶高,齿顶圆和分度圆之间的
径向距离称为齿顶高,用 ha表示 。 显然
ha=(da-d)/2。
(9) 齿根高, 分度圆和齿根圆之间的
径向距离称为齿根高,用 hf表示 。 显然
hf=(d-df)/2。
(10) 齿高, 齿顶圆和齿根圆之间的
径向距离称为齿高,用 h表示 。 显然
h=ha+hf。
(11) 齿轮宽度,沿齿轮轴线的长度
称为齿宽,用 b表示。
10.3.2、标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算
一、基本参数
1、齿数,齿轮整个圆周上轮齿的总数,用 z表示。
图 10-8
2,模数,根据圆的周长和齿距的定义可知
?
? kkkk zpdzpd ??
式中,比值 pk/π含有无理数 π,这给设计,制造及测量带来
不便,为此需在齿轮上取一圆,将该圆 pk/π的比值规定为
标准值,并使该圆上的压力角也为标准值,这个圆即为分
度圆。 规定分度圆上的齿距 p对 π的比值为标准值 (整数或
有理数 )称为模数,用 m表示,即
?
pm ? （ 10-1）
式中,m的单位为 mm。 模数是齿轮
的一个重要的基本参数,我国已制定了标
准模数系列 (见表 10-1)。 因此,分度圆的
直径为
mzpzd ?? ?
(10-2)
分度圆的齿距 p为
p=s+e=πm (10-3)
表 10 - 1标准模数系列 (GB 1357-87)
图 10-9 不同模数轮齿大小的比较
3,压力角
渐开线上各点的压力角是不同的,通常所说的
压力角指分度圆上的压力角,用 α表示。 国家标准规
定齿轮分度圆压力角为标准值 α=20° 。
图 10-10 不同压力角时轮齿的形状
4 齿顶高系数
ha=ha*m （ ha*=1）
5 顶隙系数
C=c*m (c*=0.25) hf=(ha*+c*)m
全齿高 h=ha+hf=(2ha*+c*)m
标准齿轮 是指模数、压
力角、齿顶高系数和顶
隙系数均为标准值，且
分度圆上的齿厚等于齿
槽宽的齿轮。
图 10-11
10.3.2、渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要几何尺寸计算
1 外齿轮
10.4一对渐开线标准直齿圆柱齿轮的正确啮合条件
齿轮传动时,它的每一对轮齿仅啮合一段时间便
要分离,而由后一对轮齿接替。 为了保证一对轮齿
在接触过程中瞬时传动比不变,当前一对轮齿在 K
点接触时,后一对轮齿应在啮合线的另一点 K′接触。
由图 10-12可知,要使前后两对轮齿能够同时在啮合
线上接触,则两齿轮上相邻两齿同向齿廓在啮合线
上的长度 (称为法向齿距 )必须相等,否则就会出现
两轮齿廓分离或重叠的情况。
图 10-12 正确啮合的条件
由渐开线的性质可
知,齿轮的法向齿
距 pn等于两轮基圆
齿距 pb,因此,要使
两轮正确啮合,必
须满足
pb1=pb2 如
图 10-13所示
图 10-13
图 10-13
图 10-14
10.4 渐开线齿轮的加工方法
10.4.1、仿形法
仿形法是在普通铣床上用轴向剖面形状与被切齿轮
齿槽形状完全相同的铣刀切制齿轮的方法，如图所示。
铣完一个齿槽后，分度头将齿坯转过 3600/z，再铣下一
个齿槽，直到铣出所有的齿槽。
仿形法加工方便易行，但精度难以保证。由于渐开
线齿廓形状取决于基圆的大小，而基圆半径
rb=(mzcosα)/2，故齿廓形状与 m,z,α有关。欲加工精
确齿廓，对模数和压力角相同的、齿数不同的齿轮，
应采用不同的刀具，而这在实际中是不可能的。生产
中通常用同一号铣刀切制同模数、不同齿数的齿轮，
故齿形通常是近似的。表 10-2中列出了 1-8号圆盘铣刀
加工齿轮的齿数范围。
圆盘铣刀加工齿数的范围 有图
表 10-2
10.4.2、范成法（展成法）
范成法是利用一对齿轮无侧隙啮合时两轮的齿廓互
为包络线的原理加工齿轮的。加工时刀具与齿坯的运
动就像一对互相啮合的齿轮，最后刀具将齿坯切出渐
开线齿廓。范成法切制齿轮常用的刀具有三种,
（ 1）齿轮插刀 是一个齿廓为刀刃的外齿轮；
（ 2）齿条插刀 是一个齿廓为刀刃的齿条；
（ 3）齿轮滚刀 像梯形螺纹的螺杆，轴向剖面齿廓为
精确的直线齿廓，滚刀转动时相当于齿条在移动。可
以实现连续加工，生产率高。
切削 （沿轮坯轴向）
进刀和让刀 （沿轮坯径向）
范成运动 （ 模拟齿轮啮合 传动）
刀具与轮坯以 i12=?1/?2=Z2 /Z1回转
用同一把刀具,通
过调节 i12,就可以
加工相同模数、相
同 压力角,不同齿
数 的齿轮。
齿轮插刀
齿条插刀
齿轮滚刀
用展成法加工齿轮时，只要刀具与被切齿轮的模
数和压力角相同，不论被加工齿轮的齿数是多少，都
可以用同一把刀具来加工，这给生产带来了很大的方
便，因此展成法得到了广泛的应用。
10.5 渐开线标准直齿圆柱齿轮的根切现象和最少齿数
10.5.1、根切现象和原因
用展成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线（或齿顶圆）
超过理论啮合线极限点 N时（如图 10-7（ b ）所示），被
加工齿轮齿根附近的渐开线齿廓将被切去一部分，这种现
象称为根切（如图 10-8所示）。
根切产生的原因
图 10-7 （ a）
（ b）
图 10-8轮齿的根切现象
10.5.2、标准齿轮的最少齿数
1、根切现象
如图 10-9所示为齿条插刀加工标准外齿轮的情况，齿条插
刀的分度线与齿轮的分度圆相切。要使被切齿轮不产生根切，
刀具的齿顶线不得超过 N点。
图 10-9避免根切的条件
2、标准外啮合直齿轮的最少齿数
基圆大小影响极限啮合点的位置
避免根切的条件
10.6变位齿轮传动
10.6.1变位齿轮
前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计计算
简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着一些局限
性：（ 1）受根切限制，齿数不得少于 Zmin，使传动结
构不够紧凑；（ 2）不适合于安装中心距 a'不等于标准
中心距 a的场合。当 a'<a时无法安装，当 a'>a时，虽然可
以安装，但会产生过大的侧隙而引起冲击振动，影响
传动的平稳性；（ 3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的
齿根厚度小而啮合次数又较多，故小齿轮的强度较低，
齿根部分磨损也较严重，因此小齿轮容易损坏，同时
也限制了大齿轮的承载能力。
为了改善齿轮传动的性能，出现了变位齿
轮。如图 10-10所示，当齿条插刀齿顶线超过极
限啮合点 N1，切出来的齿轮发生根切。若将齿条
插刀远离轮心 O1一段距离（ xm），齿顶线不再
超过极限点 N1，则切出来的齿轮不会发生根切，
但此时齿条的分度线与齿轮的分度圆不再相切。
这种改变刀具与齿坯相对位置后切制出来的齿轮
称为 变位齿轮,刀具移动的距离 xm称为 变位量,
x称为 变位系数 。刀具远离轮心的变位称为 正变
位,此时 x>0；刀具移近轮心的变位称为 负变位,
此时 x<0。标准齿轮就是变位系数 x=0的齿轮。
刀具中心
线位置
刀具中心
线位置
图 10-10
变位齿轮加工原理
图 10-11
变位齿轮的齿廓
图 10-12
10.6.2最小变位系数
ha*m-xm≤N1E
N1E=CN1sinα
=rsin2α
=mz/2sin2α
图 10-13
式中 z为被切齿轮的齿数。联立以上二式得
x≥ha*-z/2sin2α
由式 zmin=2ha*/sin2α,
x≥ha*(zmin-z)/zmin
由此可得最小变位系数为
xmin=ha*(zmin-z)/zmin
当 ha*=1,α=200时,
xmin=(17-z)/17
10.6.3 变位齿轮的几何尺寸和传动类型
1,变位齿轮的几何尺寸
变位齿轮的齿数、模数、压力角与标准齿轮相同，
所以分度圆直径、基圆直径和齿距也都相同，但变位
齿轮的齿厚、齿顶圆、齿根圆等都发生了变化，具体
的尺寸计算公式列于表 10-3中。
外啮合变位直齿轮基本尺寸的计算公式
名称 符号 计 算 公 式
分度圆直径
d
d = mz
齿厚 s s = m(π /2 + 2xtgα )
啮合角 α' invα '= invα +2tgα (x1+x2)/(z1+z2) 或 cosα'=a/a'cosα
节圆直径 d' d'= dcosα /cosα'
中心距变动
系数 y
齿高变动系
数 σ σ= x1+x2-y
齿顶高 ha ha=(ha*+x-σ)m
齿根高 hf hf=(ha*+c*-x)m
齿全高 h h=(2ha*+c*-σ)m
齿顶圆直径 da da=d+2ha
齿根圆直径 df df=d-2hf
中心距 a' a'=(d1'+d2')/2
公法线长度 Wk Wk = mcosα [(k-0.5)π + zinvα ]+2xmsinα
表 10-3
分度圆齿厚、齿槽宽和公法线长度的计算
s = m(π/2 + 2xtgα)
e = m(π/2 –2xtgα)
Wk = mcosα[(k-0.5)π+ zinvα]+2xmsinα
k=αmz/1800+0.5
αm-----半径为 rm=r+xm的圆周上的压力角。
啮合角 α'与总变位系数 x1+x2的关系
invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2) + invα
中心距与啮合角的关系；中心距变动系数 y的计算
顶隙为,
σ称为齿顶高变动系数。
齿高、齿顶圆和齿根圆的计算
2 变位齿轮传动的类型
根据变位系数之和的不同值，变位齿轮传动
可分为三种类型，标准齿轮传动可看作是零传
动的特例。表 10-4中列出了各类齿轮传动的性能
与特点。
表 10-4
10.7齿轮常见的失效形式与设计准则
10.7.1 齿轮轮齿的失效形式
1,轮齿折断
从形态看,轮齿折断有整体折断和局部折断两
种形式。 整体折断一般发生在齿根,这是因为轮齿相
当于一个悬臂梁,受载后轮齿根部产生的弯曲应力最
大,而且是交变应力。 当齿轮单侧受载时,应力呈脉动
循环变化； 当齿轮双侧受载时,应力呈对称循环变化。
轮齿在周期变化的弯曲应力作用下,齿根过渡
部分常存在应力集中,当应力值超过材料的弯
曲疲劳极限时,齿根处产生疲劳裂纹,裂纹逐渐
扩展,致使轮齿整体折断,这种折断称为疲劳折
断,如图 10-14（ a）所示。 局部折断通常发生
于轮齿的一端,这是由于载荷集中造成的。
( a ) ( b )
图 10-14 轮齿折断
一般地说,为防止轮齿折断,首先应对轮齿进行抗弯疲
劳强度计算,使齿轮必须具有足够的模数； 其次采用增大
齿根过渡圆角半径,降低表面粗糙度,进行齿面强化处
理 (如喷丸 ),减轻加工过程中的损伤等工艺措施,有利于
提高轮齿抗疲劳折断的能力； 再次,尽可能消除载荷的分
布不均匀现象,可有效避免轮齿的局部折断。
2,齿面点蚀
轮齿工作时,齿面接触处产生很大的接触应
力,脱离啮合后接触应力消失,对齿面某一固定点
来说它受到的接触应力是周期变化的脉动循环应
力。
当这种接触应力超过了轮齿材料的接触疲
劳极限时,齿面产生裂纹,裂纹扩展致使表层金属
微粒脱落,形成一些浅坑 (小麻点 ),这种现象称为齿
面点蚀,如图 10-15所示。
疲劳点蚀 齿面点蚀
图 10-15
齿面点蚀通常出现在润滑良好的闭式齿轮传动中。 实
践表明,点蚀的部位发生在轮齿齿面节线附近靠齿根的一侧,
这是由于该处通常只有一对轮齿啮合,接触应力较高,轮齿
间相对滑动速度小,润滑油膜不易形成的缘故。 为防止齿
面过早点蚀,可采用提高齿面硬度,降低齿面粗糙度,使用粘
度较高的润滑油等措施。 一般在闭式软齿面齿轮设计时,
应按齿面接触疲劳强度进行设计计算。
3,齿面磨损
轮齿在啮合过程中存在相对滑动,致使齿面
间产生摩擦,磨损。 当金属微粒,砂粒,灰尘等
硬质磨粒进入轮齿间时引起磨粒磨损,如图 10-16所
示。 齿面磨损使渐开线齿廓破坏,齿厚减薄,致使
侧隙增大而引起冲击和振动。 而且还会因齿厚减
薄使强度降低而导致轮齿折断。
闭式齿轮传动中,只要经常注意润滑油的更
换和清洁,一般不会发生磨粒磨损。 而开式齿轮传
动中,由于磨损速度较快,通常齿面还来不及达到点
蚀的程度,其表层材料就已被磨粒,引起磨粒磨损,
因此点蚀现象一般不会发生。
图 10-16 齿面磨损
4,齿面胶合
在高速重载齿轮传动中,由于轮齿齿面
受到很大的压力,润滑油膜容易破裂； 而在
低速重载齿轮传动中,齿面润滑油膜不易形成,
这些都会造成轮齿啮合区局部相互接触的齿
面发生高温粘连或是压力粘连。 同时齿廓间
存在相对滑动,致使齿面金属被撕落下来,在
齿面沿滑动方向出现条状伤痕,这称为胶合,
如图 10-17所示。
图 10-17 齿面胶合
5,塑性变形
重载时,在摩擦力作用下,轮齿表层材料
将沿着摩擦力方向发生塑性流动,导致主动齿轮
齿面节线处出现凹坑,从动齿轮齿面节线处出现
凸脊,此称为齿面塑性变形,如图 10-18所示。 齿
面塑性变形使齿形被破坏,直接影响齿轮的正常
啮合。 为防止齿面的塑性变形,可采用提高齿
面硬度,选用粘度较高的润滑油等措施。
?
1
主动轮
从动轮
?
2
摩擦力主向
图 10-18 塑性变形
10.7.2齿轮的设计准则
1,闭式传动
闭式传动的主要失效形式为齿面点蚀和轮齿的
弯曲疲劳折断。 当采用软齿面 (硬度 ≤350 HBS)时,其齿
面接触疲劳强度相对较低,因此设计时首先按齿面接触
疲劳强度条件进行设计计算,并确定齿轮的主要参数和
尺寸,然后再按轮齿的弯曲疲劳强度进行校核。 当采
用硬齿面 (硬度＞ 350 HBS)时,一般首先按轮齿的弯曲疲
劳强度条件进行设计计算,确定齿轮的模数及其主要几
何尺寸,然后再校核其齿面接触疲劳强度。
2,开式传动
开式传动的主要失效形式为磨粒磨损。
通常按照齿根弯曲疲劳强度进行设计计算,确
定齿轮的模数及其他参数,但考虑磨粒磨损的
影响再将模数增大 10%~20%,无须校核接触强
度。
10.8齿轮的常用材料及热处理
10.8.1齿轮的材料的基本要求
为了使齿轮能正常工作,齿轮材料应保
证轮齿表面有足够的硬度,以增强它的抗点蚀,
抗磨损,抗胶合和抗塑性变形的能力； 轮芯
部应有足够的强度和韧性,以抵抗齿根折断和
冲击载荷； 同时材料应具有良好的加工性和
热处理性能,使之便于加工,利于提高其力学
性能。
10.8.2齿轮的材料与热处理
常用的齿轮材料首先是优质碳素钢和合金结
构钢； 其次是铸钢和铸铁； 再次是有色金属和工
程塑料。 除尺寸较小,普通用途的齿轮采用圆轧
钢毛坯外,大多数齿轮都采用锻钢毛坯；对形状复
杂,直径较大和不易锻造的齿轮采用铸钢或球墨
铸铁材料； 对传递功率不大,低速,无冲击及开
式齿轮传动中的齿轮,常采用灰铸铁材料。
有色金属仅用于制造有特殊要求 (如抗腐蚀,
防磁性等 )的齿轮。
对高速,轻载及精度要求不高的齿轮,为减
小噪声,也可采用非金属材料 (如塑料,尼龙,夹
布胶木等 )做成小齿轮,大齿轮仍用钢或铸铁材料。
1,软齿面齿轮
对于软齿面齿轮,常用的齿轮材料有 35,
45,35SiMn,40Cr等,其热处理方法为调质或正
火处理。 调质后材料的综合性能良好,硬度一般
为 280~300 HBS,切齿后的精度一般可达 8级,精切
可达 7级。 正火处理可以改善材料的力学性能和
切削性能,齿面硬度一般为 150~200 HBS。
2,硬齿面齿轮
对于硬齿面齿轮,通常是在调质后切齿,
然后进行表面硬化处理。 有的齿轮在硬化处理
后还要进行精加工 (如磨齿,剃齿等 ),故调质后
的切齿应留有适当的加工余量。 硬齿面主要用
于高速,重载或要求尺寸紧凑的重要传动中。
表 10-5 常用齿轮材料及其力学性能
10.9渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
10.9.1齿轮传动的受力分析
进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上
所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析。当然，
对齿轮传动进行力分析也是计算安装齿轮的轴及轴承
时所必需的。 齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿
间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。
1、力的大小,
若略去摩擦力的影响,则该集中力为沿啮合线指向齿面的法
向力 Fn。 法向力可分解为两个分力,即切向力 Ft和径向力
Fr,各力的大小计算如下,
齿轮传动受力分析
图 10-19
切向力
径向力
法向力 ??
?
c o s
2
c o s
t a n
2
1
1
1
1
d
TF
F
FF
d
T
F
t
n
tr
t
??
?
?
（式 10-4）
式中,d1为主动齿轮的分度圆直径,单位为 mm； T1为主
动齿轮传递的名义转矩,单位为 N·mm。 如果主动轮传递功
率为 P1(kW),转速为 n1(r/min),则
mmN
n
PT ???
1
16
1 1055.9
α为分度圆压力角,α=20° 。
b
a
F
t
F
n
c
F
r
?
C
?
1
O
1
d
1
?
a
b
F
n
F
t
F
r
c
C
d
1
?
1
O
1
( a ) ( b )
直齿圆柱齿轮的受力分析
图 10-20
2、力的方向
力的方向判定, 如图 10 - 21所示,作用在主动轮和从
动轮上的各对分力等值反向。 主动轮上的切向力
Ft1为工作阻力,其方向与其回转方向相反； 从动
轮上的切向力 Ft2为驱动力,与其回转方向相同。
两轮的径向力 Fr1和 Fr2分别指向各自的轮心。
?
1
F
r1
F
t1
F
n
F
t2
F
n
F
r2
?
2
?
图 10-21 直齿圆柱齿轮各力的方向
10.9.2轮齿的计算载荷
按式 (10-4)和式 (11 - 10)计算的 Ft,Fr,Fn均
是作用在轮齿上的名义载荷,在实际传动中常受到很多
因素的影响,故应将名义载荷修正为计算载荷。 以轮齿
的法向力 Fn为例,计算载荷 Fnc可表示为
Fnc= KFn (10-5)
式中,K为载荷系数,可由表 10-5查取。
表 10-5 载荷系数
10.9.3齿面接触强度计算
1,齿面接触疲劳强度的计算
齿面接触疲劳强度计算是针对齿面疲劳
点蚀进行的。 如图 10-22所示,一对渐开线圆柱
齿轮啮合时,其齿面接触状况可近似认为与圆
柱体的接触相当,故其齿面的接触应力 σH可近
似地用赫兹公式进行计算。 前已述及,点蚀往
往在节线附近的齿根表面出现,所以接触疲劳
强度的计算通常以节点为计算点。
前已述及,点蚀往往在节线附近的齿根表面出现,所
以接触疲劳强度的计算通常以节点为计算点。 因此,防
止齿面点蚀的强度条件为, 节点处的计算接触应力应小
于或等于齿轮材料的许用接触应力,即
? ?
? ?
H
n
H
HH
EE
b
F
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
2
1
21
11
11
d
′
2
d
b
2
? ′
N
2
C
? ′N
1
d
′
1
d
b
1
?
1
? 2
图 10-22 齿轮接触强度计算
为计算方便,用转矩 T1表示载荷,并考虑各种影响引入载荷
系数 K,经等量变换,整理后,可得齿面接触强度的校核公
式为
? ?HEH
ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1 )1(52.3
引入齿宽系数 ψd=b/d1,并带入上式,得到齿面接触疲劳
强度的设计公式为
? ?
3
2
1
1
52.3)1(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
H
E
d
Z
u
uKT
d
??
且许用接触应力［ ζH］为
H
HN
H S
Z lim?? ?
2,齿根弯曲疲劳强度的计算
齿根弯曲疲劳强度的计算是针对轮齿疲劳折断进行
的。 计算时假设全部载荷仅由一对齿轮承担,并作用在轮
齿的齿顶,受载轮齿视作悬臂梁。 实验研究表明,轮齿的
危险截面在与轮齿对称中心成 30° 夹角且与齿根圆角相切
的切点间连线的位置,如图 10-23所示。 计算时将 Fn移至
轮齿的对称线上,并分解为两个分力,即径向力 Fn sinαF和
切向力 Fn cosαF。切向力使齿根产生弯曲应力和切应力,
径向力对齿根产生压应力。 由于弯曲应力起主要作用,因
此防止齿根疲劳折断的强度条件为,
F
n
c o s ?
F
F
n
?
F
F
n
s i n ?
F
3 0 ° 3 0 °
s
F
h
F
?
F
图 10-23 齿根弯曲疲劳强度
齿根危险截面的最大弯曲应力应小于或等于轮齿材料的许
用弯曲应力,即
齿根最大弯曲应力,由材料力学中弯曲应力公式求得,
2
6
1
c o s
F
FFn
F
bS
hF
W
M ?
? ??
现引入齿形系数 YF,令
?
?
c o s
c o s6
2
?
?
?
?
?
?
?
m
S
m
h
Y
F
FF
F
齿形系数 YF是考虑齿形对齿根弯曲应力影响的系
数。 由于 SF都与模数成正比,故齿形系数 YF
只与齿廓形状有关,而与模数大小无关,是一个
无因次的系数。 齿形系数取决于齿数和变位系数,
对于标准齿轮仅取决于齿数,标准外齿轮的齿形
系数值见表 10-6。
表 10-6 标准外齿轮的齿形系数值
考虑齿根应力集中和危险截面上压
应力与切应力的影响,引入应力修正系数
YS(见表 10-7 ),计入载荷系数 K(见表 10-5),即
可得轮齿齿根弯曲疲劳强度的校核公式为
? ?FSFSFF YYzbm KTYYb m dKT ?? ???
1
2
1
1
1 22
引入齿宽系数 ψd=b/d1并带入上式,得到齿根弯曲疲劳
强度的设计公式为
? ?3 21
126.1
Fd
SF
z
YYKTm
??
?
许用弯曲应力计算公式为
? ?
F
FN
F S
Y lim?? ?
表 10-7 标准外齿轮的应力修正系数值
10.10,圆柱齿轮传动的设计计算
齿轮传动设计的主要内容是, 选择齿轮材料
和热处理方法,确定齿轮的主要参数,几何尺寸,
结构形式和精度等级等,绘制齿轮工作图。
1,参数选择
(1) 传动比 i,对于一般齿轮传动,当传动比 i
＜ 8可采用单级传动； 当 i＞ 8时,宜采用多级传动,
以免传动装置的外廓尺寸过大。 直齿圆柱齿轮的
传动比一般取 i≤3,最大可达 5； 斜齿圆柱齿轮的传
动比可大些,取 i≤5,最大可达 8。
(2) 齿数, 一般取 z＞ zmin,以避免轮齿根切。 在
闭式软齿面齿轮传动中,齿轮的弯曲强度总是足
够的,因此齿数可取多些,以增大重合度,提高传
动平稳性,改善传动质量,减少磨损,推荐取
z1=20~40。 对于闭式硬齿面齿轮,开式齿轮和
铸铁齿轮传动,应取较小齿数,以保证模数取值合
理,提高轮齿的弯曲强度。
(3) 模数 m(mn),设计时在保证弯曲强度的条件
下取较小的模数,对于传递动力的齿轮其模数
应保证 m(mn)≥1.5~2 mm,且计算出的模数应按
标准模数圆整。
(4) 齿宽系数 ψd,齿宽系数 ψd =b/d1,当 d1一定
时,增大齿宽系数必然增大齿宽,而轮齿越宽,
载荷能力越高,但载荷沿齿宽分布的不均匀性
增大,而使传动能力降低,因此,齿宽系数应
选择适当。 一般圆柱齿轮的齿宽系数可参考
表 10-8选取。
表 10-8 圆柱齿轮的齿宽系数 ψd
(5) 螺旋角, 螺旋角 β太小会失去斜齿轮传动的优点； β
太大则齿轮的轴向力增大,且传动效率降低,从经济角
度不可取。 一般高速大功率传动的场合,β应取大些；
低速小功率传动的场合,β应取小些。 一般设计时常取
β=8° ~15°,β的计算值应精确到分 (′)。
2,设计步骤
已知条件：功率、转速、传动比等
设计：确定齿轮副材料及热处理；主要参数、几何
尺寸及齿轮结构；选择精度等级并绘制齿轮工作图。
1,确定齿轮副材料及热处理方法
2,按强度条件确定基本参数
选择公式计算 a或 m。
3,确定齿轮
Z1≥17,一般常取 20——40。 Z2=iZ1 并圆整。
4.确定模数和实际中心距
5,校核
6,计算齿轮的几何尺寸
7,确定齿轮的结构尺寸
8,确定齿轮精度并绘制齿轮工作图
10.11平行轴斜齿圆柱齿轮传动
10.11.1、斜齿圆柱齿轮齿面的形成及啮合特点
由于圆柱齿轮是有一定宽度的，因此轮齿的齿
廓沿轴线方向形成一曲面。直齿轮轮齿渐开线曲
面的形成如图 10-24所示。平面与基圆柱相切于母
线，当平面沿基圆柱作纯滚动时，其上与母线平
行的直线 KK在空间所走过的轨迹即为渐开线曲面，
平面称为发生面，形成的曲面即为直齿轮的齿廓
曲面。
10-24 直齿轮轮齿渐开线曲面的形成
斜齿圆柱齿轮齿廓
曲面的形成如图 10-25
所示，当平面沿基圆柱
作纯滚动时，其上与母
线成一倾斜角 βb的斜直
线 KK在空间所走过的
轨迹为渐开线螺旋面，
该螺旋面即为斜齿圆柱
齿轮齿廓曲面,βb称为
基圆柱上的螺旋角。
图 10-25
直齿圆柱齿轮啮合
时，齿面的接触线均平行
于齿轮轴线。因此轮齿是
沿整个齿宽同时进入啮合、
同时脱离啮合的，载荷沿
齿宽突然加上及卸下。因
此直齿轮传动的平稳性较
差，容易产生冲击和噪声，
不适合用于高速和重载的
传动中。
圆柱齿轮啮合的接触线
一对平行轴斜齿圆
柱齿轮啮合时，斜齿轮的
齿廓是逐渐进入啮合、逐
渐脱离啮合的。如图所示，
斜齿轮齿廓接触线的长度
由零逐渐增加，又逐渐缩
短，直至脱离接触，载荷
也不是突然加上或卸下的，
因此斜齿轮传动工作较平
稳。 斜齿轮啮合的接触线
10.11.2斜齿圆柱齿轮的主要参数和几何尺寸计算
1,斜齿圆柱齿轮的主要参数
斜齿轮的轮齿为螺旋形，在垂直于齿轮轴线的端
面（下标以 t表示）和垂直于齿廓螺旋面的法面（下标
以 n表示）上有不同的参数。斜齿轮的端面是标准的
渐开线，但从斜齿轮的加工和受力角度看，斜齿轮的
法面参数为标准值。
1 主要参数
（ 1）螺旋角
（ 2）模数
（ 3）压力角
(4)齿顶高系数与顶隙系数
斜齿轮的齿顶高和齿根高不论从端面还是从法
面来看都是相等的，即
2 斜齿轮的几何尺寸计算
10.11.3斜齿圆柱齿轮传动的正确啮合条件
一对外啮合斜齿轮传动的正确啮合条件为,
1）两斜齿轮的法面模数相等；
2）两斜齿轮的法面压力角相等；
3）两斜齿轮的螺旋角大小相等，方向相反。
若不满足条件 3），就成为交错轴斜齿轮传动。
10.11.4斜齿轮的当量齿轮和最少齿数
10.12直齿圆锥齿轮传动
10.12.1、概述
直齿圆锥齿轮传动
10.12.2直齿圆锥齿轮的齿廓曲线
1、锥齿轮的齿廓曲线
球面渐开线的形成
2、直齿圆锥齿轮的背锥和当量齿数
背锥
当量
齿轮
10.12.3直齿圆锥齿轮的正确啮合条件
两轮大端模数及压力角相等。
10.12.4直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算（垂直相交）
尺寸计算
10.12.5直齿圆锥齿轮传动的强度计算
1、直齿圆锥齿轮传动的受力分析
2、直齿圆锥齿轮传动的强度计算
为使计算简化，一对轴交角 为的直齿圆锥齿轮
的强度可近似按平均分度圆处的当量直齿圆柱齿轮进行
计算。
10.13齿轮的结构设计及齿轮传动的润滑
10.13.1齿轮的结构设计
名称 结构形式 结构尺寸
锻
造
齿
轮
腹板式齿轮
腹板式齿轮
锻造齿轮
铸造齿轮
10.13.2齿轮传动的润滑
齿轮传动时，相啮合的齿面间有相对滑动，因此
就要发生摩擦和磨损，增加动力消耗，降低传动效率，
特别是高速传动，就更需要考虑齿轮的润滑。
轮齿啮合面间加注润滑剂，可以避免金属直接接
触，减少摩擦损失，还可以散热及防锈蚀。因此，对
齿轮传动进行适当的润滑，可以大为改善齿轮的工作
状况，且保持运转正常及预期的寿命。
1、齿轮传动的润滑方式
开式及半开式齿轮传动，或速度较低的闭式
齿轮传动，通常用人工周期性加油润滑，所用润滑
剂为润滑油或润滑脂。
通用的闭式齿轮传动，其润滑方法根据齿轮的
圆周大小而定。当齿轮的圆周速度 v<12m/s时，常将
大齿轮的轮齿进入油池中进行浸油润滑（下左图）。
这样，齿轮在传动时，就把润滑油带到啮合的齿面
上，同时也将油甩到箱壁上，借以散热。齿轮浸入
油中的深度可视齿轮的圆周速度大小而定，对圆柱
齿轮通常不宜超过一个齿高，但一般亦不应小于
10mm；对圆锥齿轮应浸入全齿宽，至少应浸入齿宽
的一半。在多级齿轮传动中，可借带油轮将油带到
未进入油池内的齿轮的齿面上（下右图）。
在多级齿轮传动中，可借带油轮将油带到
未进入油池内的齿轮的齿面上（下右图）。
油池中的油量多少，取决于齿轮传递功率大小。对单
级传动，每传递 1kW的功率，需油量约为 0.35～ 0.7L 。对
于多级传动，需油量按级数成倍地增加。
当齿轮的圆周速度
v>12m/s时，应采用喷油润滑
（右图），即由油泵或中心油
站以一定的压力供油，借喷嘴
将润滑油喷到轮齿的啮合面上。
当 v≤25m/s时，喷嘴位于轮齿
啮入边或啮出边均可；当
v>25m/s时，喷嘴应位于轮齿
啮出的一边，以便借润滑油及
时冷却刚啮合过的轮齿，同时
亦对轮齿进行润滑。
6.1 运动副的摩擦
6.2 螺纹连接的基本知识
6.3 螺纹连接的预紧与防松
6.4 单个螺栓连接的强度计算
6.1运动副的摩擦
6.1.1移动副中的摩擦力
1、驱动功 (输入功 )：作用在机械上的驱动力所
作的功为驱动功 (即输入功 )Wd；
2,有效功 (输出功）,克服生产阻力所作的功为
有效功 (输出功 )Wr；
3,损耗功,克服有害阻力所作的功为损耗功 Wf。
它们之间的关系为 Wd＝ Wr ＋ Wf
6.1.2机械效率及自锁
一、机械功
1、机械效率,输出功和输入功的比值，反映了输入功
在机械中有效利用的程度，称为机械效率,通常用 η表示。
2、效率以功的形式表达,
3、效率以功率形式表达
将各功除以时间 t则得 Nd＝ Nr ＋ Nf
或
其中 Nd,Nr, Nf分别为输入功率、输出功率与损耗功率。
二、机械效率
4、效率以力或力矩的形式表达
设 P为驱动力,Q为生产阻力,v
P和 vQ分别为 P和 Q的作用
点沿该力作用线方向的速度，于是可得
理想机械,指没有摩擦的机械。
理想驱动力,指理想机械中为了克
服同样的生产阻力 Q,所需的驱动
力 P0。
理想机械的效率 η0,
即
于是得 机械效率的力表达式,
同理推得效率得力矩表达式为,
统一形式,
三、机械的自锁
由于机械中总存在着损失功，所以机械效率 η＜ 1。
若机械的输入功全部消耗于摩擦，结果就没有有用功
输出，则 η=0。 若机械的输入工不足以克服摩擦阻力
消耗的工，则 η ＜ 0。 在这种情况下不管驱动力多大
都不能使机械运动，机械发生自锁。因此机械自锁的
条件是 η≤0,其中 η=0为临界自锁状态，并不可靠。
6.1.3螺旋机构的效率
当以力矩 M拧紧螺母是，相当与滑块在驱动力 P作
用下克服阻力 Q沿斜面等速上升。
当拧松螺母时，相当与滑块在力 P’作用下下滑。
6.2螺纹连接的基本知识
6.2.1 常用螺纹的类型
常用螺纹的类型主要有普通螺纹,管螺纹,圆锥
螺纹,矩形螺纹,梯形螺纹,锯齿形螺纹等,前三种主
要用于连接,后三种主要用于传动。 起连接作用的螺纹称
为连接螺纹,起传动作用的螺纹称为传动螺纹。 标准螺纹
的基本尺寸可查阅有关标准。
6.2.2螺纹的主要参数
以图 6-1所示圆柱普通螺纹为例
图 6-1
6.2.3螺纹连接的分类及应用
如图 6-2所示，螺纹按其牙型角可分为三
角螺纹，梯形螺纹和锯齿形螺纹。三角螺纹主
要用于联接；矩形、梯形和锯齿形螺纹主要用
于传动。用于联接的三角螺纹又有普通螺纹，
英制螺纹以及用于管路系统联接的圆柱螺纹，
即管螺纹。在上述各种螺纹中，除矩形螺纹外，
均已标准化。普通螺纹的螺距和基本尺寸见表
（略）。
普遍螺纹即米制三角形螺纹，其牙型角为 60度，同
一公称直径下有多种螺距，其中螺距最大的称为粗牙螺
纹，其余为细牙螺纹。 如图 6-3所示
图 6-3
6.2.4螺纹连接的基本类型
1、螺栓连接 2、双头螺柱连接 3、螺钉连接 4、紧定螺钉连接
详细内容见表 6-1
螺栓连接 双头螺柱连接 螺钉连接
图 6-4
6.2.4螺纹连接的基本类型 表 6-1
6.2.4螺纹连接的基本类型 表 6-1
螺纹连接件实物
6.3螺纹连接的预紧与放松
6.3.1螺纹连接的预紧
一般螺纹连接在装配时都必须拧紧,使连接
件在承受工作载荷之前预先受到力的作用,这个预
加作用力称为预紧力。 预紧的目的是增大连接的
紧密性,可靠性和防松能力。
拧紧时,用扳手施加拧紧力矩 M,以克服螺
纹副中的阻力矩 M1和螺母支承面上的摩擦阻力矩
M2,故拧紧力矩
M=M1+M2 (12 - 1)
螺纹副间的摩擦力矩为
)t a n (2 21 ??? ??? dFM
式中,F′为预紧力,单位为 N； d2为螺纹中径,单位为 mm；
d为螺纹公称直径,单位为 mm； λ为螺纹升角； θυ当
量摩擦角。
对于 M10~M68的粗牙普通螺纹,无润滑时取
M≈0.2F′d (12 - 3)
(12 - 2)
图 6-5 测力矩扳手
图 6-6 定力矩扳手
6.3.2螺纹连接的防松
在静载荷作用下,连接螺纹升角较小,能满足自
锁条件。 但在受冲击,振动或变载荷以及温度变化
大时,连接有可能自动松脱,容易发生事故。 因此,在
设计螺纹连接时,必须考虑防松问题。
防松的根本问题在于防止螺纹副的相对转动。
按工作原理分有三种防松方式, 利用摩擦力防松； 利
用机械元件直接锁住防松； 破坏螺纹副的运动关系防
松。 常用防松方法如图 6-7, 6-8,6-9所示。
1、摩擦防松
对顶螺母 弹簧垫圈
自锁螺母
图 6-7
2、机械防松
开口销与槽形螺母
止动垫圈
图 6-8
2、机械防松
串联钢丝 止动垫圈
图 6-9
6.4单个螺栓连接的强度计算
螺栓连接的受载形式很多,但对单个螺栓 (包括双
头螺柱和螺钉 )来说主要有两类, 一为外载荷沿螺栓轴
线方向,称为轴向载荷； 二为外载荷垂直于螺栓轴线
方向,称为横向载荷。 当传递轴向载荷时,螺栓受轴向
拉力,称为受拉螺栓。 螺栓连接可分为不预紧的松连
接和有预紧的紧连接。 当传递横向载荷时,一种是普
通螺栓连接,靠预紧力在被连接件间产生的摩擦力传递
横向载荷,螺栓仍受轴向拉力； 另一种是铰制孔螺栓
连接,工作时螺杆受剪,杆壁和孔壁互相挤压来传递载
荷,称为受剪螺栓。
大多数情况下,螺栓连接都是成组使用的,在进
行螺栓组连接强度计算时,一般先根据连接的工
作情况,找出受力最大的螺栓和它的工作载荷,
然后计算这个螺栓的直径。 而其他受力较小的
螺栓也都采用与其相同的尺寸。 所以,单个螺
栓连接强度计算是螺栓组强度计算的基础。
大多数情况下螺栓的尺寸都是按经验,规
范来确定的。 对于重要的螺栓连接,如发
动机中的连杆螺栓,汽缸上受载的双头螺
柱,高温高压容器盖的连接螺栓,重载
法兰连接螺栓等,则必须进行强度计算。
螺栓的强度计算主要是确定螺纹的小径 d1,
然后按标准选取螺纹的公称直径 d等尺寸。
6.4.1、受拉螺栓连接
1、松螺栓联接
这种联接在承受
工作载荷以前螺栓不
旋紧，即不受力。如
图 6-10所示的起重吊
钩尾部的松螺栓联接。
图 6-10
设螺栓所受的最大轴向载荷为 F,则强度条件为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
F
d
d
F
4
4
1
2
1
式中,d1为螺栓小径,单位为 mm；
［ ζ］为松螺纹连接许用应力,单位为 MPa。
2、紧螺栓连接
（ 1）只受预紧力的紧螺栓连接
紧螺栓连接在承受工作载荷之前必须预紧,因此,
螺栓一方面受拉,另一方面因螺纹副中摩擦阻力矩的作
用而受扭,故在危险截面上既有拉应力,又有受扭矩而
产生的切应力。 螺栓常用塑性材料,根据第四强度理
论,其螺栓部分的强度仍按拉伸强度公式计算,考虑到
扭转切应力的影响,把螺栓所受的轴向拉应力增加 30%,
即变为 1.3倍,因此,螺栓的强度条件和设计计算公式可
简化为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0
1
2
1
0
2.5
43.1
F
d
d
F
（ 2）, 受横向外载荷的紧螺栓连接
1) 受力分析
如图 6-11所示的普通螺栓连接,被连接
件承受垂直于轴线的横向载荷 FR。
因螺栓杆与螺栓孔间有间隙,故螺栓不
直接承受横向载荷 FR,而是预先拧紧螺栓,使
被连接零件表面间产生压力 F0,从而使被连接
件接合面间产生的摩擦力来承受横向载荷。
图 6-11 普通螺栓连接
受横向载荷的紧螺栓连接预紧后
摩擦 面数 m=1 摩擦 面数 m=2
图 6-12
摩擦 面数 m=1 摩擦 面数 m=2
受横向载荷的紧螺栓连接加载后
图 6-13
若摩擦力之总和大于或等于横向载荷 FR,则被连
接件间不会相互滑移,故可达到连接的目的。 因
此,每个连接作用于被连接件间的压力即预紧力
F0,其大小可由下式算出,
fz m
FK
F
FKfz mF
Rf
Rf
?
?
0
0
式中,FR为横向外载； F0为每个螺栓的预紧力；
f为被连接件表面的摩擦系数,见表 6-2； z为螺栓
连接的个数； m为接合面数 (图 6-11中,m=2)； Kf
为过载系数,通常取 Kf=1.2。
表 6-2 连接接合面间的摩擦系数 f
（ 3）、受轴向载荷的紧
螺栓连接
1) 受力分析
图 6 - 14所示的气
缸盖螺栓连接,即承受轴
向外载荷的紧螺栓连接,
其受力分析见图 6 - 15。
未拧紧时,螺栓与被连接
件皆不受力。 拧紧后,螺
栓受预紧力 F0,而被连接
件则受预紧压力 F0的作用,
且产生压缩变形 δ1。
图 6-14
当如图 6 - 14所示的气缸内通入气体后,螺栓又受到轴
向外载荷 F的作用,由于螺栓中总拉力由 F0增至 FΣ,螺
栓比预紧状态时增加伸长变形 δ2,被连接件则要回弹
变形 δ2。 由于被连接件压缩变形量减小,故其所受压
力将减小,不是原来的预紧力 F0了,而变成减小后的剩
余预紧力 F′0,由此可知,螺栓受轴向载荷 F后,螺栓所
受的总拉力 FΣ为工作拉力 F与剩余预紧力 F′0之和,即
FΣ=F+F0
剩余预紧力 F′0的值可参照表 6-3选取。
图 6 - 15 螺栓与被连接件的受力与变形
表 6-3 剩余预紧力 F′0的取值范围
螺栓杆的剪切强度条件及螺栓杆与孔壁的挤压强度条件为,
式中,F-----单个螺栓承受的横向载荷 (N)；
d0------螺栓杆的直径 (mm)；
m-----螺栓受剪切面的个数；
[τ]-----螺栓的许用剪应力 (MPa)；
δmin-----被联接件孔壁的最小轴向长度 (mm)，取
δmin≈1.25d0；
[σ]p-----螺栓或孔壁材料的许用挤压应力 (MPa),见表；材料
不同时取最弱者。
第 7章 带传动
7.1 概述
7.2 V带的标准及带轮的结构
7.3 带传动的工作原理
7.4 普通 V带传动设计
7.1概述
带传动是一种常用的机械传动形式，它的主要作用
是传递转矩和改变转速。大部分带传动是依靠挠性传动
带与带轮间的摩擦力来传递运动和动力的。本章将对带
传动的工作情况进行分析，并给出带传动的设计准则和
计算方法。重点介绍 V带传动的设计计算。
如图 7-1所示，带传动一般是由主动轮、从动
轮、紧套在两轮上的传动带及机架组成。当原动机
驱动主动带轮转动时，由于带与带轮之间摩擦力的
作用，使从动带轮一起转动，从而实现运动和动力
的传递。
图 7-1
主动轮
从动轮
传动带
7.1.1、带传动的特点
(1) 带传动是通过中间挠性件 ——带传递运
动和动力的,传动带具有良好的弹性,有缓冲和吸
振作用,因此带传动传动平稳,噪音小。
(2) 带传动可用于中心距较大的两轴间的
传动。 其结构简单,制造,安装,维护方便。
(3) 对于摩擦型带传动,过载时带和带轮面间发
生打滑,可防止其他零件破坏,故对系统具有保
护作用。
(4) 在摩擦带传动中,带与带轮接触面间有相
对滑动,不能保证准确的传动比,对轴和轴承的
压力较大,传动效率低,带的寿命较短,传动的外
廓尺寸较大。
7.1.2、带传动的类型
1.按传动原理分
（ 1）摩擦带传动 靠传动带与带轮间的摩擦力实现传动，
如 V带传动、平带传动等；
（ 2）啮合带传动 靠带内侧凸齿与带轮外缘上的齿槽相啮
合实现传动，如同步带传动。
2.按用途分
（ 1）传动带 传递动力用
（ 2）输送带 输送物品用。本章仅讨论传动带
3,按传动带的截面形状分
（ 1）平带 平带的截面形状为矩形,内表面为工作面,
主要用于两轴平行,转向相同的较远距离的传动。如图
7-2所示
图 7-2
平带实物
（ 2） V带,V带的截面形状为梯形,两侧面为工作
面,带轮的轮槽截面也为梯形。 根据斜面的受力分
析可知,在相同张紧力和相同摩擦系数的条件下,V
带产生的摩擦力要比平带的摩擦力大,所以,V带传
动能力强,结构更紧凑,在机械传动中应用最广泛。
如图 7-3所示
图 7-3
V带实物
（ 3）多楔带,多楔带是平带基体上有若干纵向楔
形凸起,如图 7-4(b)所示,它兼有平带和 V带的优点
且弥补其不足,多用于结构紧凑的大功率传动中。
图 7-4
（ a） （ b）
多楔带实物
（ 4）圆形带,圆形带的截面形状为圆形,如图 7 - 5所
示,仅用于如缝纫机,仪器等低速小功率的传动。
图 7-5
（ 5）齿形带（同步带）,
同步齿形带即为啮合型传动带,如图 7 - 6所示。
同步带内周有一定形状的齿。
图 7-6 同步带传动
同步带实物
传动带实物
7.2 V带的标准及带轮的结构
7.2.1、普通 V带标准,
普通 V带应用最广，其截面呈楔角等于 40゜的梯形，
相对高度 h/bp≈0.7，工作面是带的两侧面，带与轮槽底部应
有间隙。考虑到 V带张紧后产生的横向收缩变形，小带轮
槽角 ψ=32゜,34゜,36゜,38゜。普通 V带的规格尺寸、
性能、测量方法及使用要求等均已标准化。普通 V带按截
面大小分为 Y,Z,A,B,C,D,E七种型号，各型号代
表的截面尺寸及具有的长度查表 7-1。
表 7 - 1 普通 V带截面尺寸和单位带长质量 (GB/T 11544-1992)
V带实物
7.2.2,V带的结构
标准 V带都制成无接头的环形带，其横截面结构
如图 7-7所示。强力层的结构形式有帘布结构和线
绳结构。
图 7-7
7.2.3普通 V带轮的结构
1,V带轮的设计要求
质量小、结构工艺性好、无过大的铸造内应力；质量
分布均匀，转速高时要经过动平衡；轮槽工作面要精细加
工 (表面粗糙度一般应为 3.2)，以减小带的磨损；各槽的尺寸
和角度应保持一定的精度，以使载荷分布较为均匀。
2带轮的材料
带轮的材料主要采用铸铁，常用材料的牌号为 HT150或
HT200；转速较高时宜采用铸钢 (或用钢板冲压后焊接而成 )；
小功率时可用铸铝或塑料。
3,V带轮的结构
带轮由轮缘、腹板（轮辐）和轮毂三部分组成。
轮缘是带轮的工作部分，制有梯形轮槽。轮槽尺
寸见表。轮毂是带轮与轴的联接部分，轮缘与轮
毂则用轮辐（腹板）联接成一整体。
实心带轮
V带轮按腹板（轮辐）结构的不同分为以下几种型式,
（ 1）实心带轮
（ 2）腹板带轮
腹板带轮
（ 3）孔板带轮
孔板带轮
（ 4）轮辐带轮。
轮辐带轮
7.3带传动的工作原理
7.3.1带传动的受力分析
1.初拉力
为保证带传动正常工作，传动带必须以一定的
张紧力套在带轮上。当传动带静止时，带两边承受
相等的拉力，称为初拉力 F0，如图 7-8所示。
图 7-8 不工作时
当传动带传动时，由于带与带轮接触面之间摩
擦力的作用，带两边的拉力不再相等，如图 7-9所
示。一边被拉紧，拉力由 F0增大到 F1，称为紧边；
一边被放松，拉力由 F0减少到 F2，称为松边。设环
形带的总长度不变，则紧边拉力的增加量 F1-F0应
等于松边拉力的减少量 F0-F2。
F1-F0=F0-F2
F0=（ F1+F2） /2
图 7-9 工作时
2.有效拉力
带两边的拉力之差 F称为带传动的有效拉力。实际上 F
是带与带轮之间摩擦力的总和，在最大静摩擦力范围内，
带传动的有效拉力 F与总摩擦力相等,F同时也是带传动所
传递的圆周力，即
F=F1-F2 (7 - 1)
带传动所传递的功率为 P=Fv/1000 (7 - 2)
式中,P为带传递功率,单位为 kW； v为带速,单位为 m/s。
当带速一定时,传递功率 P愈大,则有效拉力 F愈大,所需带
与轮面间的摩擦力也愈大 。 当功率一定时,转速愈高,带的
有效拉力就愈小 。
设带的总长度不变,则工作时紧边增加的长度与松
边减少的长度相等； 紧边增加的拉力与松边减小的
拉力相等。 即
F1-F0=F0-F2
所以
F1+F2 =2F0 （ 7-3）
在一定的初拉力 F0作用下，带与带轮接触面间摩擦
力的总和有一极限值。当带所传递的圆周力超过带与带轮
接触面间摩擦力的总和的极限值时，带与带轮将发生明显
的相对滑动，这种现象称为打滑。带打滑时从动轮转速急
剧下降，使传动失效，同时也加剧了带的磨损，应避免打
滑。
3.带传动的最大摩擦力 ——有效拉力的临界值
当传动带和带轮间有全面滑动趋势时，摩擦力达到最
大值，即有效圆周力达到最大值。此时，紧边拉力和松边
拉力之间的关系可用欧拉公式表示，即
（ 7-4）
（ 7-5）
（ 7-6）
7.3.2 带传动的应力分析
带传动工作时,带中的应力由以下三部分组成
1,带的拉力产生的紧边拉应力 ζ1和松边拉应力 ζ2为
?
?
?
??
?
?
?
?
A
F
A
F
2
2
1
1
?
?
式中,A为带的横截面面积,单位为 mm2。
2,带的离心力产生的离心拉应力
由于带本身的质量,带绕过带轮时随着带轮作
圆周运动将产生离心力。 离心力将使带受拉,在截面
产生离心拉应力
A
q
c
2?
? ?
式中,ζc为离心拉应力,单位为 MPa； v为带速,单位为
m/s； q为带单位长度上的质量,单位为 kg/m,见表 7 - 1。
表 7 - 1 普通 V带截面尺寸和单位带长质量 (GB/T 11544-1992)
3,带的弯曲产生的弯曲应力
弯曲时横截面上的正应力分布规律如图 7-10所示
受拉力
中性轴
受压力
b
M
h
M M
o
y
M
?
y
o
h
( b )( a )
z
图 7-10
传动带绕经带轮时要弯曲,其弯曲应力可近似按下式确定,
d
b d
Eh??
式中,E为带的弹性模量,单位为 MPa； h为带的厚度,单
位为 mm； dd为带轮的基准直径,单位为 mm。
图示 7-11为带工作时的应力分布情况,各截面的应力
大小由该处引出的带的法线长短表示。 最大应力发生在
紧边和小轮接触处,其值为
ζmax=ζ1+ζc+ζb1 (7 - 7)
由图 7-11可知,带在工作过程中,其应力是在
ζmin=ζ2+ζc与 ζmax=ζ1+ζc+ζb1之间不断变化的,因此,
带经长期运行后会发生疲劳破坏。
ζmax=ζ1+ζc+ζb1
图 7-11
为保证带具有足够的疲劳强度,应满足
ζmax=ζ1+ζc+ζb1≤［ ζ］ 式中,［ ζ］为根据疲
劳寿命决定的带的许用应力,其单位为 MPa,其值由疲劳
实验得出。
疲劳破坏是指材料在交变应力作用下的破坏,
7.3.3带传动的弹性滑动和传动比
1,弹性滑动
传动带是弹性体，受到拉力后会产生弹性伸长，伸长
量随拉力大小的变化而改变。带由紧边绕过主动轮进
入松边时，带的拉力由 F1减小为 F2,其弹性伸长量也由
δ1减小为 δ2。这说明带在绕过带轮的过程中，相对于
轮面向后收缩了（ δ1-δ2）,带与带轮轮面间出现局部
相对滑动，导致带的速度逐步小于主动轮的圆周速度，
如图 7-12示。同样，当带由松边绕过从动轮进入紧边
时，拉力增加，带逐渐被拉长，沿轮面产生向前的弹
性滑动，使带的速度逐渐大于从动轮的圆周速度。这
种由于带的弹性变形而产生的带与带轮间的滑动称为
弹性滑动 。
从动轮
主动轮
松边
紧边
图 7-12
这种由于带的弹性和拉力差而引起的带与带轮之间的
局部相对滑动称弹性滑动。 所以,带工作时弹性滑动是
不可避免的。
由上述可知,由于弹性滑动的存在,导致从动轮
的圆周速度 v2低于主动轮的圆周速度 v1,其降低程度用
滑动率 ε表示,
11
2211
11
2211
1
21
nd
ndnd
nd
ndnd
d
dd
d
dd ??????
?
??
?
???
考虑弹性滑动影响而得出的传动比公式表示如下,
)1(1
2
2
1
??
??
d
d
d
d
n
ni
式中,n1,n2为主,从动轮转速,单位为 r/min； dd1,
dd2为主,从动轮基准直径,单位为 mm。
（ 7-8）
表 7 - 2 弹性滑动和打滑的区别
7.4 普通 V带传动设计
7.4.1,带传动的失效形式和设计准则
带传动的主要失效形式是打滑和带的疲劳断裂。
因此,带传动的设计准则为, 在保证不打滑的条件下,带
有一定的疲劳强度。
7.4.2,单根 V带的基本额定功率
单根 V带所能传递的功率与带的型号,长
度,带速,带轮直径,包角大小及载荷性质等
有关。 为便于设计,将实验测得的在载荷平稳,
包角为 180°及特定长度条件下的单根 V带在保
证不打滑并具有一定寿命时所能传递的功率 P0称
为基本额定功率,依此作为设计的依据。 各种型
号 V带的 P0值见表 7 - 3。
表 7 - 3 单根 V带的基本额定功率 (略）
当实际使用条件与实验条件不符时,表 7 - 3中的
P0值应当加以修正,修正后即得实际工作条件下
单根 V带所能传递的功率,称为许用功率［ P0］。
［ P0］ 的计算公式为
［ P0］ =(P0+ΔP0)KαKL (7 - 9)
式中,Kα为包角系数,考虑不同包角对传动能力
的影响,其值见表 7 - 4； KL为长度系数,考虑不
同带长对传动能力的影响,其值见表 7 - 5； ΔP0
为功率增量,单位为 kW,考虑传动比 i≠1时带在
大带轮上的弯曲应力较小,从而使 P0值有所提
高,见表 7 - 6。
表 7- 6 单根普通 V带 i≠1时额定功率的增
量 Δ（ 略）
表 7 – 4 包 角 系 数 Kα
表 7 - 5 普通 V带的长度系列和带长修正系数
7.4.3,设计计算
设计 V带传动时,一般已知条件是传
动的用途,工作条件,传递的功率,主从
动轮的转速 (或传动比 ),传动的位置要求及
原动机类型等； 设计的内容是确定 V带的型
号,长度和根数,传动中心距,带轮的材料,
结构和尺寸,作用于轴上的压力等。
设计步骤如下,
(1) 确定计算功率 Pc,
Pc=KAP (7 - 10)
式中,KA为工况系数,见表 7 - 7；
P为传递名义功率 (如电动机的额定功率 ),单
位为 kW。
表 7 - 7 工 况 系 数 KA
(2) 选择带的型号。 带的型号可根据计算功率 Pc和小
带轮转速 n1由图 7 - 13选取。 临近两种型号的交界线
时,一般选小型号,或按两种型号同时计算,分析比较
后决定取舍。
(3) 确定小带轮直径 dd1。 带轮直径愈小,传动所占空间
愈小,但弯曲应力愈大,带愈易疲劳。 表 7 - 8列出了普
通 V带轮的最小基准直径。 设计时,应使小带轮基准
直径 dd1≥ddmin。
图 7-13
表 7 - 8 普通 V带轮最小基准直径
(4) 验算带速 v。 普通 V带质量较大,带速较高,会因惯
性离心力过大而降低带与带轮间的正压力,从而降低
摩擦力和传动能力； 带速过低,则在递相同功率的条
件下所需有效拉力 F较大,要求带的根数较多。
一般以 v=(5~25) m/s为宜。 带速的计算公式为
2
11
1060 ?
? nd d?? （ 7-11）
(5) 确定大带轮基准直径
1
2
1
2 dd dn
nd ?
dd2,dd1通常按表 7 - 8推荐的基准直径系列进行调整。
（ 7-12）
表 7 - 8 带轮基准直径 dd系列
(6) 确定中心距 a和带的基准长度 Ld。 当中心距较小时,
传动较为紧凑,但带长也减小,在单位时间内带绕过带轮
的次数增多,即带内应力循环次数增加,会加速带的疲劳；
而中心距过大时,传动的外廓尺寸大,且高速运转时易引
起带的颤动,影响正常工作。
一般初定中心距 a0可根据题目要求或按以下范围
估算,
0.7(dd1＋ dd2)＜ a0＜ 2(dd1＋ dd2) (7 -
13)
初选后,可根据下式计算 V带的初选长度 L0
0
2
12
2100 4
)()(
2
2
a
ddddaL dd
dd
????? ?
（ 7-14）
根据 L0,按表 7 - 5选取接近的基准长度 Ld。 传动的实
际中心距可近似按下式确定,
2
0
0
LLaa d ??? （ 7-15）
考虑到安装,调整和带松弛后张紧的需要,
中心距应当
可调,并留有调整余量,其变动范围为
amin＝ a－ 0.015Ld
amax＝ a＋ 0.03Ld
（ 7-16）
（ 7-17）
(7) 验算小带轮上的包角 α1。 包角是影响带传动
工作能力的主要参数之一。 包角大,带的承载
能力高； 反之易打滑。 在 V带传动中,一般小
带轮上的包角 α1不宜小于 120°,个别情况下可
小到 90°,否则应增大中心距或减小传动比,也
可以加张紧轮。 α1的计算公式为
?? 3.571 8 0 12
1 ?
???
a
dd dd?
（ 7-18）
(8) 确定 V带的根数 Z。 V带的根数 Z可由下式计算,
? ? La
cc
KKPP
P
P
PZ
)( 000 ??
??
（ 7-19）
(9) 计算初拉力 F0。 初拉力是保证带传动正常工作
的重要参数。 初拉力不足,易出现打滑； 初拉力
过大,V带寿命缩短,压轴力增大。
既保证传动功率,又不出现打滑的单根 V带
所需的初拉力 F0可由下式计算,
2
0 1
5.2500 ?
?
q
KaZ
PF c ?
?
?
??
?
? ??
（ 7-20）
(10) 计算轴上压力 Fy。 为了设计支承带轮的轴和
轴承,需知带作用在轴上的载荷 Fy的大小。 为了
简化计算,可近似的按两倍带初拉力 F0进行计算。
由图 7 - 14可知,
2s i n2
1
0
?ZFF
y ?
（ 7-21）
式中,Fy为作用在带轮轴的径向压力,单位为 N； Z为
带的根数； F0为单根带的初拉力,单位为 N； α1为小
带轮上的包角,单位为度 (° )。
图 7-14
第 8章 链传动
8.1 链传动的特点,类型与应用
8.2 链传动的运动特性
8.3 滚子链传动的设计计算
8.4 链传动的合理布置与润滑
8.1 链传动的特点,类型与应用
8.1.1,链传动的组成
链传动由主动链轮 1,从动链轮 2和跨绕在两链
轮上的闭合链条 3组成。 工作时,通过链条上链节与
链轮轮齿的相互啮合来传递运动和动力,如图 8-1所示。
第 8章 链传动
图 8 - 1 链传动
8.1.2,链传动的特点
与带传动相比,链传动主要有以下特点,
(1) 链传动属于具有挠性件的啮合传动,能获得
准确的平均传动比,适宜较大中心距的两平行轴间的
传动；
(2) 链传动张紧力小,作用于轴上的压力较小；
(3) 链传动可在多粉尘,油污,潮湿,高温等
恶劣环境中工作,对链轮齿形加工误差,链条几何形
状误差要求不高；
(4) 链的瞬时速度是变化的,瞬时传动比不等于
常数,传动平稳性较差,有冲击,振动和噪声,不适宜
高速场合。
8.1.3,链传动的类型与应用
按用途区分,链传动有传动链,起重链和曳引链
等。
按结构区分,链传动有套筒链,滚子链和齿形链
等。
链传动广泛应用于矿山机械,冶金机械,运输
机械,机床传动及石油化工等行业。
齿形链由多排链片铰接而成（图 8-2(b)）比滚
子链（图 8-2(a)）工作平稳、噪声小，承受冲击载
荷能力强，但结构较复杂，成本较高。滚子链的应
用最为广泛，本章只讨论滚子链。
滚子链（ a） 齿形链（ b）
图 8-2
8.2滚子链
8.2.1 滚子链的结构
滚子链由内链板 1,外链板 2,套筒 3,销轴 4和
滚子 5组成。 如图 8 - 3所示,外链板与销轴,内链板
与套筒之间采用过盈配合,而销轴与套筒之间为间隙
配合,可以作相对转动,以适应链条进入和退出链轮时
的屈伸； 滚子与套筒之间采用间隙配合,以使链与链
轮在进入与退出啮合时,滚子与轮齿形成滚动摩擦,减
小链和轮齿的磨损。
1.内链板 2.外链板 3.销轴 4.套筒 5.滚子
图 8 - 3 滚子链
内,外链板均为 8字形,且交错连接并构成铰链,
这样既可保证链板各横截面等强度,又可以减轻链
的质量,节约材料。
相邻两滚子轴线间的距离称链为节距,用 p
表示,如图 8 - 3所示。 p值愈大,链的各部分尺寸愈
大,承载能力愈高,且在齿数一定时,链轮尺寸随之
增大。
滚子链有单排或多排结构,如图 8 - 4所示。 排数愈多,
承载能力愈高,但制造,安装误差也愈大,各排链受
载不均匀现象愈严重。 一般链的排数不超过 4排。
单排滚子链 多排滚子链
图 8-4
滚子链的接头形式见图 8 - 5。 当链节数为偶数时,采
用图 8 - 5(a)所示的开口销或图 8 - 5(b)所示的弹簧卡来
固定；
图 8 - 5滚子链的接头形式
当链节数为奇数时,需用一个过渡链节,如图 8 -
5(c)所示。 由于过渡链节的弯链板工作时受到附加弯曲
应力,因此应尽量避免使用奇数链节。
过渡链节 过度链节连接
图 8 – 5(c) 滚子链的接头形式
8.2.2滚子链的标准
滚子链是标准件，其规格由链号表示，主要参数示例于下
8.2.3,链轮
1、链轮的齿形
链轮的齿形应能使链轮与链条接触良好,
受力均匀,并使链节能顺利的进入和退出与轮齿
的啮合。 链轮的齿形已有国家标准,并用标准刀
具以范成法加工。 根据 GB 1244-85的规定,链轮
端面的齿形推荐采用, 三圆弧一直线, 的形状
(三段圆弧 aa, ab, cd 和一段直线 bc),如图 8 - 6
所示。
链轮的轴向齿廓如图 8 - 7所示,齿形两侧
呈圆弧状,以便链节进入或退出啮合。
图 8-6
图 8-7
2、链轮的几何参数和尺寸
链轮的主要尺寸及计算公式见表 8 -
1。 链轮齿槽尺寸见表 8 - 2,轴向齿廓尺寸
见表 8 - 3。
表 8-1链轮的几何参数和尺寸
表 8-1链轮的几何参数和尺寸
表 8 - 2 齿槽尺寸
表 8 - 3 轴向齿廓尺寸
3、链轮的材料
一般为中碳钢淬火处理；高速重载用低碳钢
渗碳淬火处理； 低速时也可用铸铁等温淬火
处理；小链轮对材料的要求比大链轮高（当
大链轮用铸铁时，小链轮用钢）。具体见 表
8-4
表 8 - 4 链轮材料及齿面硬度
4、链轮的结构
链轮的结构如图 8 - 8所示,小直径链轮可做成整体式 (见图
8 - 8(a))； 中等直径链轮多用孔板式 (见图 8 - 8(b))； 大直
径链轮可制成组合式 (见图 8 - 8(c),8 (d)),此时齿圈与轮心
可用不同材料制造 。
图 8-8
（ a） （ b） （ c） （ d）
图 8-8链轮结构实物图
实心式 孔板式 齿圈组合式
8.3 链传动的运动特性
具有刚性链板的链条呈多边形绕在链轮上如同具有
柔性的传动带绕在正多边形的带轮上，多边形的边长和
边数分别对应于链条的节距 p和链轮的齿数 z。
1,平均链速和平均传动比
链轮回转一周,链移动的距离为 zp,故链的
平均速度 v(m/s)为
1 0 0 0601 0 0 060
2211
?
?
?
? pznpzn? （ 8-1）
式中,p为链节距,单位为 mm； z1,z2为主,从动链
轮的齿数； n1,n2为主,从动链轮的转速,单位为
r/min。 由上式可得链传动的平均传动比
1
2
2
1
z
z
n
n
i ??
（ 8-2）
2,瞬时链速和瞬时传动比
当主动链轮匀速转动时，链条铰链 A在任一位置（以 β
角度量）上的瞬时速度为
链条前进分速度为,
链条上下运动分速度,
每一链节在主动链轮上对应
中心角为
β角的变化范围为
所以，主动链轮作等速回转时，链条前进的瞬时速度 v周期
性地由小变大，又由大变小，每转过一个节距就变化一次。
与此同时,V’的大小也在周期性的变化，使链节以减速上
升，然后以加速下降。同样地传动比也也在周期性变化，
只有在 z1＝ z2，且传动的中心距恰为节距 p的整数倍时，传
动比才可能在啮合过程中保持不变，恒为 1。
3、链传动的运动不均匀性
8.4 滚子链传动 的失效形式
由于链条强度不如链轮高,所以
一般链传动的失效主要是链条的失
效,常见的失效形式有以下几种,
1,链条疲劳破坏
在链传动中,由于松边和紧
边的拉力不同,使得链条所受的拉
力是变应力,当应力达到一定数值,
且经过一定的循环次数后,链板,
滚子,套筒等组件会发生疲劳破
坏。 这种疲劳破坏是闭式链传动
的主要失效形式。
链板疲劳断裂
2.铰链磨损
链节在绕上链轮时，销轴与套筒之间产生相对滑
动，在不能保证充分润滑的条件下，将引起铰链的磨损。
磨损导致链轮节距增加，链与链轮的啮合点外移，最终
将产生跳齿或脱链而使传动失效。铰链磨损是开式链传
动的主要失效形式。
3.滚子和套筒的冲击疲劳破坏
由于链传动的特点，链条工作滚子、套筒和销轴受
到较大的冲击载荷，经过一定次数的冲击，最后产生冲
击断裂。它的应力总循环次数一般在 以内，它的载荷
一般较疲劳破坏允许的载荷要大，但比一次冲击破断载
荷为小。
滚子疲劳
4.链条铰链的胶合
在链轮转速过高时，润滑条件恶化，套筒与销轴
间发生金属直接接触而产生很大摩擦力，其产生的热
量导致套筒与销轴的胶合。
5.静力拉断
在低速重载的传动中或者链突然承受很大的过载时，链
条静力拉断，承载能力受到链元件的静拉力强度的限制。
链板静力拉断 销轴断裂
8.5链传动的布置、张紧及润滑
8.5.1、链传动的布置
链传动的布置是否合理，对
传动的质量和使用寿命有较大的
影响。布置时,
(1) 两链轮的回转平面应在同一
平面内,否则易使链条脱落或产
生不正常磨损。
合理布置
(2) 两链轮的中心线最好在水平面内,若需要倾斜布置时,
倾角应小于 45° (见图 8 - 9(a)),应避免垂直布置 (见图 8-
9(b)),因为过大的下垂量会影响链轮与链条的正确啮合,
降低传动能力。
图 8 - 9 不合理布置
(3) 链传动最好紧边在上,松边在下,以防松边下垂量过
大使链条与链轮轮齿发生干涉 (见图 8 - 9(c))或松边与紧
边相碰。
图 8 - 9 不合理布置
8.5.2 链传动的张紧
链传动张紧的目的，主要是为了避免在链条的垂度过大时
产生啮合不良和链条的振动现象；同时也为了增加链条与
链轮的啮合包角。
当链传动的中心距可调整时，可通过调整中心距张紧；
当中心距不可调时，可通过设置张紧轮张紧。张紧轮一般
压在松边靠近小轮处。张紧轮可以是链轮，也可以是无齿
的辊轮。张紧轮的直径应与小链轮的直径相近。辊轮的直
径略小，宽度应比链约宽 5mm，并常用夹布胶木制造。张
紧轮有自动张紧式和定期张紧两种。前者多用弹簧、吊重
等自动张紧装置；后者用螺栓、偏心等调整装置。另外，
还有用托板、压板张紧。如图 8-10所示。
图 8-10 链传动的张紧装置
8.5.3 链传动的润滑
链传动的良好润滑能缓和冲击,减小摩擦,减轻磨
损； 不良的润滑会降低链的使用寿命。
链传动的润滑方式可根据图 8 - 11选取。 具体
润滑装置见图 8 - 12。 润滑时应设法在链活动关节的
缝隙中注入润滑油,并均匀地分布在链宽上。 常用的
润滑油有 L-AN32,L-AN46,L-AN68,L-AN100
等。
6
8
9, 5 2 5
1 2, 7
1 5, 8 7 5
1 9, 0 5
2 5, 4
3 1, 7 5
3 8, 7 5
4 4, 4 5
5 0, 8
5 1, 7 5
6 3, 5
1 1 4, 3
1 0 1, 6
8 8, 9
7 6, 2
6 3, 5
0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 8 1 2 3 4 5 6 8 10
链条
节距
p
/
m
m
链条速度
/ ( m · s
－ 1
)
Ⅰ用油刷或油壶人工
定期润滑
Ⅱ滴润滑
Ⅲ油浴或飞溅润滑
Ⅳ油泵压力喷油
图 8 - 11 链传动润滑方式的选择
图 8 - 12 链传动的润滑
9.1圆轴扭转
9.2弯曲
9.3组合变形
9.4概述
9.5轴的材料
9-6轴及轴系的结构设计
9-7轴的设计计算
第 9章 轴
9.1 圆轴扭转
9.1.1 扭转的概念
杆件的两端受到一对大小相等、方向相反，且
作用面都垂直于杆件轴线的两个力偶的作用。
杆件在这一对力偶的作用下，使杆件的任意两
横截面绕轴线产生相对转动,但杆的轴线位置
和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转
为主要变形的杆件称为轴。
T T ?
图 9-1
如图 9-1所示
F
F
d
M
e
图 9-2 扭转实例
图 9-2
9.1.2 外力偶矩的计算
在工程中, 作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的,
通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速 。 因此, 需要了解功
率, 转速和外力偶矩三者之间的关系, 即
n
PM 9549?
式中,M——作用于轴上的外力偶矩,单位, N·m ；
P——轴所传递的功率,单位, kW
n——轴的转速,单位, r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩, 其转向与轴的转向相
同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩, 其转向与轴的转向相反 。
（ 9-1）
【 例 9-1】 已知某传动轴传递的功率为 7.5 kW,转速为 300
r/min,试计算此传动轴传递的外力偶矩 。
解 由公式 (9-1)计算得
mNM ???? 725.238300 5.79549
图 9-3
M
1 m
m
M
2 M
3
M
1
T
M
2
M
3
T ?
( a )
( b )
( c )
9.1.3扭矩
当轴上的外力偶矩确定以后，即可用截面法研究横截面上
的内力。以图 9-3（ a）为例
由力偶平衡条件可知,m-m截面上必须有一个内力偶矩与外
力偶矩 Ｍ 1平衡, 此内力偶矩称为扭矩, 用符号 T表示, T的单位
为 N·m。 如图 9-3（ b）
由 ∑m=0得
11 0 MTTM ???
若取 m-m横截面的右端部分为研究对象, 画出受力图,如图 9-
3(c)所示 。 可求得 m-m横截面上的扭矩 T′,显然, T′与 T大小相等,
方向相反, 即为作用与反作用关系 。
由 ∑m=0
T′+Ｍ 2-M3=0 T′=M3-M2(M1=M3-M2)
图 9-4
M
e
T
n
x
( ＋ )
( a )
( ＋ ) n
x
M
e
( b )
T
扭矩的正负规定,用右手螺旋法则 如图 9-4所示
9.1.4 扭矩图
通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的 。 为了直观地表
示圆轴上扭矩的作用情况, 把圆轴的轴线作为 x轴 （ 横坐标
轴 ）, 以纵坐标轴表示扭矩 T,这种用来表示圆轴横截面上扭
矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图 。
【 例 9-2】 绘出图 9-5(a)所示的悬臂梁的扭矩图。
图 9-5
2
2
2 0 0 0 N · m
B
5 0 0 N · m
5 0 0 N · m
T
1
2
2
T
2
B
2 0 0 0 N · m
1
1
1
1
5 0 0 N · m
C
T ( N · m )
O
5 0 0 N · m
－ 1 5 0 0 N · m
x
( a )
( b )
( c )
( d )
C
A
解 (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩 。
因为是悬臂梁, 可取截面的自由端部分 BC段,如图 9-5（ b）
所示 。
由平衡方程 T1-500=0
T1 =500 N·m
AB段：如图 9-5（ c） 所示 。
T2+2000-500=0
T2 =-1500 N·m
(2) 绘制扭矩图如图 9-5 (d) 所示。
【 例 9-3】 已知一传动轴如图 9-6(a)所示, 主动轮 A上输入功
率为 15 kW,B,C轮为输出轮, 输出轮 B上输出功率为 10 kW,
轴的转速为 n=1000 r/min。 试求各段轴横截面上的扭矩, 并绘出
扭矩图 。
解 (1) 计算外力偶矩 M。
mNM
mNM
B
A
????
????
49.95
1 0 0 0
10
9 5 4 9
24.1 4 3
1 0 0 0
15
9 5 4 9
方向与轴的转向相同
方向与轴的转向相反
(2) 计算扭矩 T。
由图 9-6(b)可得
T1+MA=0 T1= -MA=-143.24N·m
由图 9-6(c)可得
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图
如图 9-6(d)所示 。 由
图可知, AB段所承
受的扭矩最大, 其值
为 -143.24 N·m 。
图 9-6
A
M
A
1
1
1
1
T
1
2
2
M
B
M
C
B C
M
A
M
A
M
B
2
2
T
2
0
x
－ 1 4 3, 2 4 B N · m
－ 4 7, 7 5 N · m
( a )
( b )
( c )
( d )
T
9.1.5 圆轴扭转的切应力与强度计算
1,变形几何关系
取一等截面圆轴, 在其表面上作出两条平行于轴线的纵向
线 aa,bb,两条圆周线 11,22,如图 9-7 (a) 所示 。 再在圆轴
的两端分别作用一个外力偶 M,使杆件发生扭转变形 。 由图 9-7
(b） 可以看到以下变形现象：各圆周线的形状, 大小, 间距保
持不变, 只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角
度 γ,由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形 。
由以上分析可知：圆轴受扭转变形后, 其横截面大小和形状
不变, 由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于
相邻横截面的间距不变, 因此横截面上无正应力作用 。 但因为
相邻横截面发生绕轴线的相对转动, 所以横截面上必然有垂直
于半径方向的切应力 。 切应力用符号 η表示 。
在圆轴上取一微段 dx,放大后如图 9-7(c)所示, 右截面相对
于左截面转过了一个角度 dθ,半径由 O2B转至 O2C位置, 纵向线
AB倾斜 γ角度达到 AC位置, A点的切应变为
dx
dR ??? ?? t a n
图 9-7
( a )
1 1
2 2
a
b
?
a
b
?
1 2
d x
R
?
O
1
A ?
A
?
?
? B ?
O
2
C
C ?
1 2
B
d
?
( b ) ( c )
M
a
b
1 2
1 2
a
b
2,横截面上的切应力
由剪切胡克定律可得 ηρ=Gγρ,即
dx
dG ???
? ?
（ 9-2）
式中, G为材料的切变模量, 其数值可由实验测得, 常用单位
为 GPa。 ηρ为截面上离轴心距离为 ρ的各处切应力 。
（ 9-2） 式表明：横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的
距离成正比, 其方向与半径垂直, 可以证明横截面上任意一点
的切应力计算公式为 ηρ=Tρ/Ip。 式中 Ip为横截面对圆心 O点的极惯
性矩, 按公式计算,
实心圆截面,
32
4d
I p ??
空心圆截面,
D
ddI
p ??? ??
? )1(
32
4
4
因此，实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图 9-8表
示。
图 9-8
O
T
??
?
?
m a x
T
?
m a x
由上图可知：在圆轴横截面上, 当 ρ=0时, η=0；当 ρ=R时,
即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值 ηmax,且切应力沿半
径方向呈线性增长 。 其最大切应力 ηmax为
pW
T?
m a x?
（ 9-3）
显然, Wp=Tp/R。 上式中,Wp为抗扭截面系数, 单位为 m3,mm3。
对于如图 9-9所示的实心圆轴，其抗扭截面系数 Wp为
16
3d
W p ??
图 9-9
d
对于如图 9-10所示的空心圆轴，其抗扭截面系数 Wp为
)1(16 4
3
?? ?? DW p
图 9-10
其中 α=d/D。
D
d
3,强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于
或等于材料的许用切应力,即 ηmax≤［ η］ 。
对于等截面圆轴有
][m a xm a x ?? ??
pW
T
【 例 9-4】 一阶梯圆轴如图 9-11(a)所示, 轴上受到外力偶矩
M1=6 kN·m,M2=4 kN·m,M3=2kN·m,轴材料的许用切应力
［ η］ =60 MPa,试校核此轴的强度 。
解 (1) 绘制扭矩图如图 9-11(b) 所示 。
(2) 校核 AB段的强度 。
][69.17
16
12.0
6 0 0 0
3m a x ??? ???? M P a
则强度足够。
(a)
(3) 校核 BC段的强度。
][90.19
16
08.0
2 0 0 0
3m a x ??? ???? M P a
(b)
则强度足够。
图 9-11
?
?
1
2
0
0
T
6 k N · m
2 k N · m
X
A B
C
M
1
M
2
M
3
1 0 0 0 8 0 0
?
80( a )
( b )
9.1.6 圆轴扭转变形与刚度计算
1,扭转变形
圆轴扭转时的变形采用两个横截面之间的相对转角 θ来表示 。
对于长度为 L,扭矩为 T,且截面大小不变的等截面圆轴, 其变
形计算公式为
pGI
TL??
对于直径变化的圆轴 (阶梯轴 ),或者扭矩分段变化的等截面
圆轴, 必须分段计算相对转角, 然后计算代数和 。
2,刚度条件
圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角 θmax不超
过许用的单位长度扭转角 ［ θ］ 。 即
][180m a xm a x ???? ????
pGI
T
L
式中 θ的单位为 ° /m。
精密机器的轴, ［ θ］ =0.25～ 0.50 (° /m)
一般传动轴, ［ θ］ =0.50～ 1.00 (° /m)
要求不高的轴, ［ θ］ =1.00～ 2.5 (° /m)。
【 例 9-5】 汽车传动轴输入的力偶矩 M=1.5kN·m,直径
d=75mm,轴的许用扭转角 ［ θ］ =0.50° /m,材料的切变模量
G=80 GPa,试校核此传动轴的刚度 。
解 (1) 计算扭矩 。
此传动轴横截面上的扭矩为 T=M=1.5kN·m 。
(2) 计算 Ip。
46
44
1012.532 075.014.332 mdI p ?????? ?
(3) 校核轴的刚度。
][/21.014.31801012.51080 105.1180 69
3
m a x
m a x ??? ???
??
???
?????
? mGI
T
p
故此传动轴刚度足够。
9.2 弯曲
9.2.1 基本概念
图 9-12
F
q
( a ) ( b )
以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内, 受到
力偶或垂直于轴线的外力作用 。 其变形特点是：构件的轴线由
直线变成一条曲线, 这种变形称为弯曲变形 。 以弯曲变形为主
的构件习惯上称为梁 。
工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形, 矩形, T字
形和工字形等, 如图 9-13所示 。
图 9-13
y
z
y
z
y
z
y
z
以上横截面一般都有一个或几个对称轴, 由纵向对称轴与
梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面, 如图 9-14所示 。
图 9-14
N
A
弯曲后的轴线
N
B
q
F
纵向对称面
对称轴
轴线
M
工程实践中, 通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的
纵向对称平面内, 且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称
平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲 。
9.2.2 梁的类型
工程实际中, 梁的结构繁简不一 。 为便于分析计算, 通常
对梁进行简化 。 根据支座对梁的约束的不同情况, 简单的梁有
三种类型, 其简图如图 9-15所示 。
(1) 简支梁,梁的一端为固定铰链支座, 另一端为活动铰
链支座, 如图 9-15(a)所示 。
(2) 悬臂梁,梁的一端为固定端支座, 另一端为自由端,
如图 9-15(b)所示 。
(3) 外伸梁,梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁,如
图 9-15(c)所示。
图 9-15
BA
BA
BA
( a )
( b )
( c )
9.2.3 梁的内力与内力图
1,剪力与弯矩
图 9-16
A
x
m
m
F
B
N
A
N
B
a
l
N
A
A C
1
m
m
M
F
s
m
m
F
B
N
B
s
F ?
M ?
( a )
( b )
( c )
首先，利用静力平衡条件求出 A,B的支座反力 NA与 NB为
FlaNFl alN BA ?????,
其次, 假想地用一截面将梁沿 m-m截面截开, 取左段进行分
析, 如图 9-16(b)所示 。 为了达到平衡, 在 m-m截面上必须作用
一个与 NA等值, 反向的力 Fs。 NA与 Fs构成力偶, 又有让梁顺时
针转动的趋势 。 为了达到转动平衡, 截面上必须作用有一个力
偶 M。 图 9-16中使梁的横截面发生错动的内力 Fs称为剪力；使梁
的轴线发生弯曲的内力偶矩 M称为弯矩 。 其大小可以由平衡条
件求出, 即,
xF
l
al
MxNMm
F
l
al
NFFNF
AC
AssA
??
?
????
?
?
?????
?
?
1
0
式中, C1为左段截面形心 。
若取 m-m截面右段为研究对象, 作同样分析后, 可求得与左段
截面上等值, 反向的剪力 Ｆ s′和弯矩 M′,与左段截面上的剪力 Fs和
弯矩 M互为作用与反作用的关系 。
为了使同一截面取左, 右不同的两段时求得的剪力和弯矩符
号相同, 把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生, 左上
右下, 的相对错动的剪力方向为正, 反之为负, 如图 9-17所示；
使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正, 反之为负, 如图 9-18
所示 。
图 9-17
F
s
F
s
F
s
F
s
( － )( ＋ )
图 9-18
( ＋ )
( － )
M M
M M
2,
工程中, 梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 。
若以横坐标 x表示梁的横截面位置, 则梁在各横截面上的剪力 Fs
和弯矩 M可以写成 x的函数,
Fs=Fs(x)
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程 。
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化
规律, 可根据剪力方程和弯矩方程,用横坐标 x表示梁的横截面
的位置,纵坐标分别表示剪力 Fs和弯矩 M的大小而画出的图形,
分别称为剪力图和弯矩图 。
【 例 9-6】 如图 9-19 (a) 所示, 简支梁 AB受集中截荷 F=12kN,
试画出其剪力图和弯矩图 。
解 (1) 求 A,B的支座反力 。
kNNFN
kNFN
FNm
AB
A
AB
8
4
3
1
013
???
??
???????
图 9-19
( a )
A
2 m
F
1 m
B
N
A
N
B
x
1
x
2
( b )
C
1
x
1 F
s 1
M
1
N
A
N
A
x
2
F
C
2
F
s 2
F
s
A
0
4 k N
C B
x
－ 8 k N
M
A
0
8 k N · m
C B
( c )
( d )
( e )
C
M
2
x
(2) 列剪力方程与弯矩方程 。
① 对 AC段, 取距 A端为 x1的截面左段, 画出受力图, 如图
9-19(b)所示 。 列平衡方程,
)20(4
0
4
0
111
1
1
1
1
???
????
??
??
?
xxM
xNMm
kNNF
NF
AC
As
As
② 对 CB段, 取距 A端为 x2的截面左段, 画出受力图, 如图
9-19(c)所示 。 列平衡方程,
)32(824
0)2(
8124
0
222
222
2
2
2
????
???????
??????
???
?
xxM
xNxFMm
kNFNF
NFF
AC
As
As
(3) 绘制剪力图和弯矩图 。
根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程, 绘出剪力图,
如图 9-19(d)所示,绘出弯矩图, 如图 9-19(e)所示 。
从剪力图上可以看出, 在集中力 F作用处, 剪力图上会发
生突变, 突变值即等于集中力 F的大小 。
由剪力图和弯矩图可知,集中力 F作用在 C截面上, 剪力和
弯矩都达到最大值 。
【 例 9-7】 如图 9-20(a)所示, 悬臂梁 AB受均布载荷作用,试
绘制其剪力图和弯矩图 。
解 设截面 m-m与 B端之间的距离为 x,取 m-m截面的右段为
研究对象, 画出受力图,如图 9-20（ b） 所示 。
根据平衡条件,
Fs-qx=0
Fs=qx (0≤x≤l)
02 ??? xqxM 2
2
1 qxM ?? (0≤x≤l)
图 9-20
q
m
1
m
x
l
A
B
M
F
s
m
m
q
B
ql
F
s
x
x
M
0
0
2
2
1
ql?
( a )
( b )
( c )
( d )
l
9.2.4 弯曲时的正应力与强度计算
1,变形几何关系
纯弯曲：横截面上
只有正应力，没有
切应力的弯曲。如
图 9-21所示梁的 BC
段。
图 9-21
A
P P
B C
D
l l
F
s
A
0
P
B C D
x
－ P
M
0
A
Pl
B C D x
若将 11和 22所夹部分取出, 如图 9-22(c)所示 。 上部纤维缩
短, 下部纤维伸长, 根据变形的连续性, 它们之间有一层纵向
纤维既不伸长又不缩短, 这一层称为中性层 。 中性层与横截面
的交线称为中性轴 。 中性层将横截面分为受拉区和受压区, 在
受拉区或受压区内, 纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比,
这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比 。 由于每
根纵向纤维可以代表横截面上的一点, 因此横截面上任意一点
的正应力与该点到中性轴的距离成正比 。
图 9-22
1 2
a a
b b
1 2
( a )
1 2
a a
b b
1 2
M M
( b )
( c )
1
1
中性 层
中性 轴
Z
2
2
2,横截面上的正应力
梁受纯弯曲时, 其横截面上只有正应力, 没有切应力 。 横截
面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比, 距中性
轴等高度的各点正应力相等, 而中性轴上各点处正应力为零 。
横截面上应力分布如图 9-23(a)所示 。 可以证明距离中性轴为 y处
点的正应力计算公式为 ζy=My/Iz,如图 9-23(b)所示 。 式中 Iz为横截
面对中性轴的惯性矩, 对矩形截面 Iz=bh3/12,圆形面 Iz=πd4/64。
图 9-23
受拉力
中性轴
受压力
b
M
h
M M
o
y
M
?
y
o
h
( b )( a )
z
从上图可以看出, 离中性轴最远的梁的上, 下边缘处正应
力最大, 最大正应力用符号 ζmax表示, 其值为
zW
M?
m a x?
上式中,称为截面对中性轴 z的抗弯截面系数,
其单位为 m3或 mm3。 对于常见的截面其抗弯截面系数分别如下 。 ?/m a x h
I
y
IW zz
z ??
(1) 矩形截面 (如图 9-24 (a) 所示 ),
6
2bh
W z ?
(2) 圆形截面 (如图 9-24(b) 所示 ),
32
3d
W z ??
(3) 圆环截面 (如图 9-24(c)所示 ),
)1(32 4
3
?? ?? DW z
其中
D
d??
图 9-24
y
h
z
b
y
z
d
y
D
d
z
( a ) ( b )
( c )
3,弯曲正应力强度条件
对于等截面梁, 最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上,
此截面称为危险截面 。 危险截面的上, 下边缘正应力最大 。 正
应力最大的点称为危险截面上的危险点 。 按弯曲正应力建立强
度条件为：梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力,
即
][m a xm a x ?? ??
zW
M
对于一般材料其抗拉强度与抗压强度相等时, ［ ζ］ 采用材料
的许用拉 (压 )应力 。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同, 或
横截面相对中性轴不对称时, 应分别校核抗拉强度与抗压强度 。
实际工程中, 运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯
曲强度, 求许可载荷和设计截面尺寸 。
【 例 9-8】 某建筑工地上,用长为 l=3 m的矩形截面木板做跳
板,木板横截面尺寸 b=500 mm,h=50 mm,木板材料的许用应力
［ σ］ =6 MPa,试求,
（ 1） 一体重为 700N的工人走过是否安全？
（ 2） 要求两名体重均为 700N的工人抬着 1500 N的货物安
全走过, 木板的宽度不变, 重新设计木板厚度 h。
解 （ 1）计算弯矩的最大值 Ｍ max。当工人行走到跳板中央
时，弯矩最大。
mNM ???? 5 2 52327 0 0m a x
校核弯曲强度,
][52.2
6
50500
10525
2
3
m a x
m a x ?? ???
?
?? M P a
W
M
z
所以,体重为 700 N的工人走过是安全的。
(2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力, 且作用在跳
板长度的中点时最危险, 此处弯矩最大值为
mNM ?????? 2175232 15002700m a x
按弯曲强度设计,
6
6
5 0 0
102 1 7 5
2
3
m a x
m a x ??
?
??
hW
M
z
?
h≥65.95
所以，木板厚度 h应满足 h≥66 mm。
9.2.5 梁 的 变 形
1,挠度与转角
如图 9-25所示, 悬臂梁 AB受载以后轴线由直线弯曲成一条
光滑的连续曲线 AB′,曲线 AB′称为挠曲线 。 梁的变形可以用挠
度 w和转角 θ来度量 。
挠度：取轴线上任意一点 C,变形后移至 C1,其线位移 ω为
C点的挠度值 。
转角：梁弯曲变形后, 轴上任意一点 C处的横截面 m-m将绕
中性轴转动一个角度至 m′-m′,其角位移 θ称为该截面的转角 。
图 9-25
A
y
t
?
C
1
C
m
?
B
x
t
B ?
m ?
m ?
m
?
2,计算变形的叠加法
梁的挠度和转角都是载荷的一次函数, 当梁上同时受到几
个载荷作用时, 由某一载荷作用引起梁的变形不受其他载荷作
用的影响, 故梁的变形满足线性叠加原理 。 即可以分别计算出
单个载荷作用下梁的挠度和转角, 再将它们求代数和, 得到所
有载荷同时作用时梁的总变形 。
几种常见梁在简单载荷作用下的变形见表 9.1。
表 9.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
A
l
B
F
?
?
?
B
A
l
?
B
B
M
e
梁的 简图 端截 面转角
z
B
EI
Fl
2
2
???
A
a
l
?
B
?
B
F
B
?
B
z
B
EI
Fl
3
2
???
最大 挠度
z
e
B
EI
M
2
???
z
e
B
EI
lM
2
2
???
z
B
EI
Fa
2
2
??? )3(
6
2
al
EI
Fa
z
B
????
表 9.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
z
B
EI
ql
6
3
???
z
B
EI
ql
8
4
???
z
BA
EI
Fl
16
2
???? ??
z
EI
Fl
48
3
m a x
???
z
BA
EI
ql
24
2
???? ??
z
EI
ql
38
5
4
m a x
???
z
BA
EI
F a l
62
1
??? ??
)(
3
2
al
EI
Fa
z
C
????
)( al
EI
Fa
z
C
32
6
????
A
l a
B C
F
?
C
?
B
?
A
A
l
B
q
?
A
?
B
A
l /2 l /2
C
F
B
A
q
?
B
?
B
l
B
?
B
?
A
3,刚度条件
梁的刚度条件为：最大挠度小于或等于许用挠度，最大转
角小于或等于许用转角。即
][
][
m a x
m a x
??
??
?
?
其中［ ω］、［ θ］的具体数值可查有关设计手册。
【 例 9-9】 如图 9-26(a)所示, 行车大梁采用 NO.45a工字钢,
跨度 l=9m,电动葫芦重 5 kN,最大起重量为 55 kN,许用挠度
［ ω］ =l/500,试校核行车大梁的刚度 。
图 9-26
l
F
A
q
F
C
B
?
CF
＋ ?
Cq
( b )( a )
解 将行车简化后受力情况如图 9-26(b)所示 。 把梁的自重
看成均布载荷, 并且, 当电动葫芦处于梁的中央时, 梁的变形
最大 。
(1) 用叠加法求挠度 。
查手册可知,NO.45a工字钢的 q=788N/m,Iz=32 240 cm4,
E=200GPa。
梁需要承受的最大载荷 F=5+55=60kN。
查表 9.1可得，在力 F作用下产生的挠度为
m
EI
Fl
CF
CF
0 1 4.0
102 4 032102 0 048
91060
48
89
3
3
?
????
??
?
?
?
?
?
在均布载荷 q作用下产生的挠度为
m
EI
ql
Cq
z
CF
001.0
102403210200348
97885
38
5
89
4
4
?
????
??
?
?
?
?
?
梁的最大变形,ωc max=ωCF+ωCq=0.015 m。
(2) 校核梁的刚度。
梁的许用挠度 ? ?
ml 018.05009500 ????
，则
][m a x ?? ?c
所以梁的刚度足够。
9.3 组合变形
9.3.1 组合变形的概念
工程实际中, 许多构件同时受到多种基本变形的作用 。 如
有的构件同时受到拉 (压 )与弯曲, 或者同时受到弯曲与扭转的
作用 。 像这种同时受两种或两种以上基本变形的变形形式, 称
为组合变形 。
如图 9-27(a)所示的 AB构件, 受力图如图 9-27(b)。 其上作用
的力 NAx和 Fx使杆产生压缩变形；力 NAy,Fy与 G使杆产生弯曲变
形 。 所以 AB杆的变形属组合变形 。
图 9-27
A
D
C?
G
N
A y
A
N
Ax
F
x
F
F
y
?
B
G
C
( a ) ( b )
B
9.3.2,拉伸 (压缩 )与弯曲的组合变形
图 9-28
y
A B
l
F
y
F
?
F
x
x
A B
x
F
x
A B
x
F
y
?
N
?
W
?
＋
( a )
( b )
( c )
( d )
y
?
－
(1) 内力分析。
将力 F分解为
Fx=F cosθ
Fy=F sinθ
分力 Fx使 AB杆产生拉伸变形, 横截面上的应力为均匀分布
的拉应力 ζN。 如图 9-28（ b） 所示 。
分力 Fy使杆 AB产生弯曲变形, 横截面上应力分布如图 9-28
（ c） 所示 。
(2) 应力计算 。
由于杆 AB任一截面上的应力都有拉伸产生的正应力与弯曲
产生的正应力, 同一截面上两种应力平行, 所以叠加时可以代
数相加 。 叠加后横截面上应力分布如图 9-28（ d） 所示, 并且最
大正应 ζmax为
ζmax=ζN+ζW
(3) 强度条件 。
为了保证此组合变形杆件的承载能力, 必须使其横截面上
的最大正应力小于或等于材料的许用应力 。 即
ζmax≤［ ζ
对于塑性材料, ［ ζ］ 取材料的拉伸许用应力；对于脆性
材料, 因材料的抗拉与抗压强度不同, 应分别校核 。
9.3.3 扭转与弯曲的组合变形
图 9-29
C
A
F
a
B
C
T
B
F
T ＝ F ·a
x
( a )
( b )
( c )
( d )
( e )
?
?
?
?
M
x
T
x
(1) 内力分析 。
BC杆在力 F的作用下产生弯曲变形 。 作出弯矩图, 如图 9-
29(c)所示 。 作出其扭矩图, 如图 9-29(d)所示 。
(2) 应力分析 。
从上面分析可知, 固定端 C处弯矩最大, 由弯矩 M产生的正
应力 ζ 垂直横截面, 且在上, 下边缘最大；由扭矩 T产生的切应
力 η平行横截面, 且边缘最大 。 横截面上应力分布如图 9-29(e)
所示 。 由图 （ e） 可知, Ｃ 截面上正上方和正下方两点应力达到
最大值, 是危险点 。
(3) 强度计算 。
由于在弯曲与扭转组合变形中, 构件横截面上的切应力和
正应力分别作用在两个互相垂直的平面内, 不能采用简单应力
叠加的方法, 而要采用第三强度理论或第四强度理论进行计算
其强度计算公式如下,
][4 223 ???? ???r
运用第四强度理论计算公式为
][3 224 ???? ???r
对于塑料材料圆截面杆
zW
M??
pW
T??
再将 Wp=2Wz代入以上公式得,
][
75.0
][
22
4
22
3
??
??
?
?
?
?
?
?
z
r
z
r
W
TM
W
TM
9.4 概 述
9.4.1 轴的类型及其特点
1,按中心线形状不同分类
(1) 直轴,
中心线为一直线的轴称为直轴 。 在
轴的全长上直径都相等的直轴称为光轴,
如图 9-25(a)所示 ; 各段直径不等的直轴称
为阶梯轴,如图 9-25(b)所示 。
由于阶梯轴上零件便于拆装和固定,
又利于节省 材料和减轻重量,因此在
机械中应用最普遍 。 在某些机器中
也有采用空心轴 (见图 9-25(c))的,以
减轻轴的重量或利用空心轴孔输送润
滑油, 冷却液等 。
图 9-25 直轴
(a) 光轴 ; (b) 阶梯轴 ; (c) 空心轴
(2) 曲轴,
中心线为折线的轴称为曲轴,如图 9-
26所示 。 它主要用在需要将回转运动与
往复直线运动相互转换的机械中 。
图 9-26 曲轴
(3) 挠性软轴,
能把旋转运动灵活地传到任何位置
的钢丝软轴称为挠性软轴,如图 9-27 所示 。
它由多组钢丝分层卷绕而成 (见图 9-
28),其特点是具有良好的挠性 。 它常用
于医疗器械和小型机具等移动设备上 。
图 9-27 钢丝软轴
图 9-28 钢丝软轴的结构
2,按承载情况不同分类
(1) 转轴,
工作中同时受弯矩和扭矩的轴称为
转轴 。 转轴在各种机器中最常见,如减速
箱中的齿轮轴 (见图 9-29)。
(2) 传动轴,
只受扭矩不受弯矩或所受弯矩很小
的轴称为传动轴 。 如汽车传动轴 (见图 9-
30)。
(3) 心轴,
只承受弯矩的轴称为心轴。 心轴又
分为转动心轴和固定心轴,前者如机车车
轴 (见图 9-31(a)),后者如自行车的前轴 (见
图 9-31(b))。
图 9-29 转轴
图 9-30 传动轴
图 9-31 心轴
(a) 机车车轴 ; (b) 自行车前轴
9.5 轴的材料
1,碳素钢
碳素钢比合金钢价廉,对应力集中不
敏感,并可用热处理的方法改善其力学性
能 。 一般机械中常用 35,45,50钢等优
质碳素钢,并进行正火或调质处理,其中
以 45钢用得最为广泛 。
不重要的, 受力较小的轴可采用
Q235,Q275等碳素结构钢 。
2,合金钢
合金钢具有较高的力学性能和良好
的热处理工艺性,但对应力集中比较敏感,
且价格较贵,多用于高速, 重载及有特殊
要求的轴材料 。 对于耐磨性要求较高的
轴,可选用 20Cr,20CrMnTi等低碳合金
钢,进行渗碳淬火处理 。 对于在高温,
高速和重载条件下工作的轴,可选用
38CrMoAlA,40CrNi等合金结构钢 。
由于在一般工作温度下,碳素钢和合
金钢的弹性模量相差无几,因此,不能用
合金钢代替碳素钢来提高轴的刚度。
轴的毛坯通常用锻件和热轧圆钢。
对于某些结构外形复杂的轴可采用铸钢
或球墨铸铁,后者具有吸震性,耐磨性好,
价格低廉,对应力集中敏感性差等优点。
表 9-2列出了几种轴的常用材料及其
力学性能。
表 9 - 2 轴的常用材料及其主要力学性能
9.6 轴及轴系的结构设计
轴及轴系的结构设计主要要求是,
(1) 便于加工,具有良好加工和装配的
工艺性,轴上零件便于拆装和调整；
(2) 轴上零件布置合理,受力合理,利
于提高轴的强度和刚度；
(3) 轴上零件的轴向定位, 周向定位
准确,固定可靠；
(4) 尽量减少应力集中,节约材料 。
9.6.1 零件在轴上的轴向固定
零件在轴上的轴向固定方法很多,如
图 9 - 32所示,选择时要综合考虑零件在
轴上的位置, 轴向力的大小, 具体的安
装条件等 。
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
图 9-32 轴上零件的轴向固定方法
1,轴肩和轴环
阶梯轴上常采用轴肩或轴环定位,如
图 9-33所示 。 轴肩或轴环是阶梯轴上截
面变化的部分,由定位面和过渡圆角组成 。
轴肩结构简单,能承受较大的轴向力,应
用较多 。
图 9-33 轴肩和轴环
表 9-3 轴肩圆角半径
2,套筒
在轴的中部,当两个零件间距离较
小时,常采用套筒作相对固定,如图 9-34
所示 。 使用套筒可简化轴的结构,避免在
轴上制出螺纹, 环形槽等,能有效地提高
轴的疲劳强度,但增加了一些重量,故套
筒不应太长 。 且因套筒与轴的配合较松,
所以也不宜用于高速轴 。
图 9-34 套筒的使用
3,圆螺母
圆螺母可承受较大的轴向力,但在螺
纹处有应力集中,会降低轴的疲劳强度,
故其多用于固定装在轴端的零件,一般采
用细牙螺纹 。 为防止圆螺母松脱,可采用
加止动垫圈或用双圆螺母 (见图 9-35)。
图 9-35 圆螺母
4,挡圈
挡圈通常与轴肩联合使用定位,常
用的有螺钉锁紧挡圈, 弹性挡圈和轴端
挡圈三种 (见图 9-32(b),(c),(e))。 螺钉
锁紧挡圈用紧定螺钉固定在轴上,若在轴
上零件两侧各用一个锁紧挡圈时,可任意
调整轴上零件的位置,装拆方便 。 但紧定
螺钉不能承受大的轴向力,且钉端会引起
轴应力集中 。 轴上零件作轴向固定也可
使用弹性挡圈,这种固定方法简单,但承
受轴向力小,且轴上需设沟槽,也会因应
力集中而削弱轴的强度 。
弹性挡圈常用作滚动轴承的轴向固定 。
轴端挡圈 (又称压板 )常用于轴端零件的固
定,如图 9-34中的联轴器就是利用轴端挡
圈和螺母将零件压紧在轴肩上的 。 这种
固定方法工作可靠,应用颇广 。
5,锥形轴头
轴和毂孔利用锥面配合,对中性好,
轴上零件装拆方便,且可兼作周向固定,
常用于转速较高的场合 。 当用于轴端零
件的固定时,可与轴端挡圈配合使用,使
零件得到双向定位和固定 。 在用套筒,
圆螺母, 轴端挡圈作轴向固定时,为确保
轴上零件定位可靠,轴头的长度应比零件
轮毂的宽度短 2～ 3 mm(见图 9-36)。
图 9-36 轴段长度稍短
9.6.2 零件在轴上的周向固定
为了传递运动和转矩,防止轴上零件
与轴作相对转动,必须有可靠的周向固定 。
转动零件与轴的周向固定所形成的联结,
称为轴毂联结 。 轴毂联结的形式很多,常
用的周向固定方法有键, 花键,成形,
销,弹性环, 过盈等联结,如图 9-37所示,
可根据传递转矩的大小进行选取 。
图 9-37 轴上零件常用的周向固定方法
图 9-37 轴上零件常用的周向固定方法
9.6.3 轴的结构工艺性
设计轴的结构时,应使轴的结构形状
便于加工, 装配和维修 。 例如,对于需
要磨削的轴段,应留有砂轮越程槽,如图
9-38所示； 对于需要切削螺纹的轴段,应
留有退刀槽,如图 9-39 所示 。 砂轮越程
槽通常宽 2～ 4 mm,深 0.5～ 1 mm； 螺
纹退刀槽与螺纹牙高度有关,槽的尺寸可
参看有关设计手册, 图册 。
图 9-38 砂轮越程槽
图 9-39 螺纹退刀槽
为便于零件在轴上的装配,轴端应加
工成 45° (或 30°, 60° )倒角 。 过盈配
合部分的零件装入端常加工出半锥为
10° (或 30° )的导向锥面 (见图 9-40)； 对
于受变载荷的重要零件,则应加工出圆角 。
图 9-40 引导锥
9.7 轴的设计计算
9.7.1 轴的计算简图
在进行轴的强度和刚度计算时,为便
于分析和计算,常通过必要的简化,找出
轴的合理简化模型,即轴的计算简图 。
通常将轴简化为一铰链支座的梁,轴
和轴上零件的自重可忽略不计,轴上分布
载荷按图 9-41所示方法简化 。 作用在轴
上的扭矩通常从传动件轮毂中点计算 。
轴的支座反力的作用点随轴承类型, 布
置方式不同而异,可按图 9-42确定,图中 a,
b,e的值可查, 机械设计手册, 。
图 9-41 轴的计算简图
(a) 一般情况 ; (b) 过盈情况
图 9-42 轴上支点的简化
(a) 向心轴承 ; (b) 角接触轴承 ; (c) 两个向心轴承 ; (d) 滑动轴承
9.7.2 轴的强度计算
1,按扭转强度计算
对于传动轴,可只按扭矩计算轴的直径；
对于转轴,常用此法估算轴的最小直径,然后进
行轴的结构设计 。
对于圆截面轴,扭转强度条件为
? ??? ????
nd
P
W
T
P
3
6
2.0
1055.9 (9-4)
式中,τ为轴的扭转剪应力,单位为 MPa； T为轴
传递的扭矩,单位为 N·mm； P为轴传递的功率,单位为
kW； n为轴的转速,单位为 r/min； d为轴的直径,单位
为 mm； ［ τ］ 为许用扭转剪应力,单位为 MPa,其值查
表 9-4选取； Wp为轴抗扭截面系数,单位为 mm3,对圆截
面轴 Wp≈0.2d3。
由式 (9-4),可推出轴的设计公式为
? ?
333
6
2.0
1055.9
n
PC
n
Pd ????
?
(9-5)
式中,C为由轴的材料和承载情况确定的常数,见表 9-4。
表 9-4 常用材料的 ［ η］ 和 C值
2,按弯扭合成强度计算
在轴的结构设计初步完成后,通常要
对转轴进行弯扭合成强度校核 。
对于一般钢制的转轴,可用第三强度
理论写出弯扭组合强度条件为
? ? he d TMWM 13
2
1.0
)(2
??
??? ???
?
(9-6)
由上式可推得轴的计算公式为
? ?3 11.0 h
eMd
?
?
?
(9-7)
式中,ζe为当量应力,单位为 MPa； d为轴
的直径,单位为 mm； Me为当量弯矩,单位为
N·mm,
22 )( TMM e ???
M为危险截面上的合成弯矩,单位为 N·mm,
22 VH MMM ??
MH为水平面上的弯矩,单位为 N·mm； MV为垂
直面上的弯矩,单位为 N·mm； W为轴危险截面抗弯截
面系数,对圆截面轴,W≈0.1d3； α为由扭转剪应力性质
而定的折算系数。 对于不变的扭转剪应力,
? ?
? ? 3.01
1 ??
?
?
b
h
?
??
当转矩产生的剪应力为脉动循环变应力时,
? ?
? ? 6.01
1 ??
?
?
b
h
?
??
对于频繁正反转的轴,扭转剪应力可
视为对称循环变应力,α=1。 设计时,即使
转矩大小不变,但考虑到启动,停车等因素,
一般按脉动循环计算。当转矩变化规律不
明时,也按脉动循环处理。 不同材料的轴在
对称循环,脉动循环和静应力状态下的许
用弯曲应力见表 9-5。
表 9-5 轴的许用弯曲应力
9.7.3 轴的刚度计算
轴受载后会产生弹性变形 。 机械中, 若
轴的刚度不够,则会影响机器的正常工作 。 如
机床的主轴变形太大时,将影响机床的加工精
度； 电机转子轴的弯曲变形太大时,将使转子
和定子的间隙改变而影响电机性能 。 所以,轴
必须有足够的刚度 。 轴的刚度主要是指弯曲刚
度和扭转刚度,前者用挠度 y和偏转角 θ来度量
(见图 9-43),后者用扭转角 υ来度量 (见图 9-44),
其值可按材料力学中的公式进行计算 。
图 9-43 轴的挠度和偏转角
图 9-44 轴的扭转角
对于有刚度要求的轴,为使轴不因
刚度不足而失效,设计时应根据轴的不同
要求限制其变形量, y≤［ y］,θ≤［ θ］,θ≤
［ θ］。 ［ y］,［ θ］, ［ θ］分别为
许用挠度、许用偏转角和许用扭转角,其
值参见有关参考书。
例 9-10 图示为一电动机
通过一级直齿圆柱齿轮
减速器带动带传动的简
图。已知电动机功率为
30KW,转速
n=970r/min,减速器效
率为 0.92，传动比 i=4,单
向传动，从动齿轮分度
圆直径 d2=410mm,轮毂长
度
105mm,采用深沟球轴
承。试设计从动齿轮轴
的结构和尺寸。
解：（ 1）求输出轴的转
速与输出功率。
n2=n1/i=970/4=242.5
r/min
P2=0.92*P1=0.92*30
=27.6KW
考虑键的削弱，将轴径
增大 5%，即取
d=53.3*1.05=55.9mm 查
得标准直径 d=60mm。
(4)轴的结构设计及绘制结构草图
(5)按弯、扭组合作用验算轴的强度
(6)键槽设计及其公差
(7)确定轴的各处倒角、圆角，公差
(8)绘制轴的工作图
第 10章 齿轮传动
10.1 齿轮传动的基本类型及特点
10.2 渐开线齿廓
10.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺
寸计算
10.4 渐开线齿轮的加工方法
10.5 渐开线标准直齿圆柱齿轮的根切现象和最少齿数
10.6 变位齿轮传动
10.7齿轮常见的失效形式与设计准则
10.8齿轮的常用材料及热处理
10.9渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
10.10,圆柱齿轮传动的设计计算
10.11平行轴斜齿圆柱齿轮传动
10.12直齿圆锥齿轮传动
10.13齿轮的结构设计及齿轮传动的润滑
10.1齿轮传动的基本类型及特点
10.1.1、特点
齿轮传动用来传递任意两轴间的运动和动力，其圆周
速度可达到 300m/s，传递功率可达 105KW，齿轮直径可
从不到 1mm到 150m以上，是现代机械中应用最广的一种
机械传动。
齿轮传动与带传动相比主要有以下优点,
（ 1）传递动力大、效率高；
（ 2）寿命长，工作平稳，可靠性高；
（ 3）能保证恒定的传动比，能传递任意夹角两轴间的运
动。
齿轮传动与带传动相比主要缺点有,
（ 1）制造、安装精度要求较高，因而成本也较高；
（ 2）不宜作远距离传动。
10.1.2、类型
齿轮传动的分类
齿轮传动就装置形式分,
1）开式、半开式传动
在农业机械、建筑机械以及简易的机械设备中，有一些齿
轮传动没有防尘罩或机壳，齿轮完全暴露在外边，这叫开
式齿轮传动。这种传动不仅外界杂物极易侵入，而且润滑
不良，因此工作条件不好，轮齿也容易磨损，故只宜用于
低速传动。齿轮传动装有简单的防护罩，有时还把大齿轮
部分地浸入油池中，则称为半开式齿轮传动。它工作条件
虽有改善，但仍不能做到严密防止外界杂物侵入，润滑条
件也不算最好。
2）闭式传动
而汽车、机床、航空发动机
等所用的齿轮传动，都是装
在经过精确加工而且封闭严
密的箱体 (机匣 )的，这称为
闭式齿轮传动 (齿轮箱 )如图
10-1所示。它与开式或半开
式的相比，润滑及防护等条
件最好，多用于重要的场合。
图 10-1
按齿面硬度分,
1）软齿面齿轮 轮齿工作面的硬度小于或等于
350HBS或 38HRC；
2）硬齿面齿轮 轮齿工作面的硬度大于 350HBS
或 38HRC。
按照一对齿轮传动的角速比是否恒定 分为
1）圆形齿轮传动（角速比恒定）
2）非圆齿轮传动（角速比变化）
按照轮齿齿廓曲线的不同 分为
1）渐开线齿轮,
2）圆弧齿轮,
3）摆线齿轮
齿轮实物
齿轮实物
10.2 渐开线齿廓
10.2.1 渐开线的形成
如图 10-2所示，一条直线沿一个半径为 rb的圆周作纯
滚动，该直线上任一点 k的轨迹称为该圆的渐开线。这
个圆称为基圆，该直线称为渐开线的发生线。
图 10-2
渐开线上任一点 k的向径 OK与起始点 A的向径 OA之间
的夹角 ∠ AOK（ ∠ AOK=θk称为渐开线（ AK段）的
展角
10.2.2渐开线的性质
1,发生线沿基圆滚过的线段长度等于基圆上被滚过的相
应弧长。如图 10-3所示。
图 10-3
2,渐开线上任意一点法线必然与基圆相切。换言
之，基圆的切线必为渐开线上某点的法线。
因为当发生线在基圆上作纯滚动时，它与基
圆的切点 B是发生线上各点在这一瞬时的速度瞬心，
渐开线上 K点的轨迹可视为以 B点为圆心,BK为半
径所作的极小圆弧，故 B点为渐开线上 K点的曲率
中心,BK为其曲率半径和 K点的法线，而发生线始
终相切于基圆，所以渐开线上任意一点法线必然与
基圆相切。
3、渐开线齿廓上某点的法线与该点的速度方向所夹的锐
角称为该点的压力角。如图 10-4所示
图 10-4
4 渐开线的形状只取决于基圆大小。如图 10-5 所示
5 基圆内无渐开线。
图 10-5
10.2.3渐开线齿廓的啮合特点
1,具有可分性
上式表明：渐开线齿轮的传
动比等于两轮基圆半径的反
比。
图 10-6
2 齿廓间正压力方向不变
如图 10-6所示，过节点 C作两节
圆的公切线 tt，它与啮合线 nn的
夹角 α’称为啮合角。由理论力学
知道，齿廓间正压力方向为接触
点公法线方向，由于公法线与啮
合线重合且位置不变，显然，啮
合角 α’是一个常数，所以齿廓间
正压力方向也不会改变。当齿轮
传递的转矩为常数时，正压力的
大小也不变。这对于提高齿轮传
动的平稳性是极为有利的。由图
还可知道，啮合角 α’在数值上等
于渐开线在节圆上的压力角。 图 10-6
3 齿廓间存在相对滑动
由齿廓啮合基本定律证明可知，一对齿廓如在
节点 C以外的其它点啮合，由于两齿廓在接触点
的线速度不等，即齿廓接触点沿公切线方向的速
度分量不等（ ad>bd)，则齿廓间将产生相对滑动。
齿廓间的这种相对滑动会引起传动时的摩擦损失
和齿面磨损。
10.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算
10.3.1、齿轮各部分名称和符号
图 10-7
(1) 齿顶圆, 过所有轮齿顶部所作的圆称
为齿顶圆,其直径和半径分别用 da和 ra表示 。
(2) 齿根圆, 过轮齿根部所作的圆称为齿根
圆,其直径和半径分别用 df和 rf表示 。
(3) 基圆, 发生渐开线齿廓的圆称基圆,其
直径和半径分别用 db和 rb表示 。
(4) 齿厚, 在直径为 dk的任一圆周上,一个轮
齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿厚,用 sk表
示 。
(5) 齿槽宽, 在直径为 dk的圆周上,相
邻轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的
齿槽宽,用 ek表示。
(6) 齿距, 在直径为 dk的圆周上,相邻
两齿同名齿廓之间的弧长称为该圆上的
齿距,用 pk表示,pk=sk+ek。 基圆齿距用 pb
表示,pb=sb+eb。 sb,eb分别为基圆上的
齿厚和齿槽宽。
(7) 分度圆, 在齿顶圆和齿根圆之间
的作为齿轮尺寸计算基准的圆,其直径和
半径分别用 d和 r表示 。 在标准齿轮上齿
厚与齿槽宽相等,且分度圆的齿距 p,齿
厚 s,齿槽宽 e的关系是, s=e=p/2。
(8) 齿顶高,齿顶圆和分度圆之间的
径向距离称为齿顶高,用 ha表示 。 显然
ha=(da-d)/2。
(9) 齿根高, 分度圆和齿根圆之间的
径向距离称为齿根高,用 hf表示 。 显然
hf=(d-df)/2。
(10) 齿高, 齿顶圆和齿根圆之间的
径向距离称为齿高,用 h表示 。 显然
h=ha+hf。
(11) 齿轮宽度,沿齿轮轴线的长度
称为齿宽,用 b表示。
10.3.2、标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算
一、基本参数
1、齿数,齿轮整个圆周上轮齿的总数,用 z表示。
图 10-8
2,模数,根据圆的周长和齿距的定义可知
?
? kkkk zpdzpd ??
式中,比值 pk/π含有无理数 π,这给设计,制造及测量带来
不便,为此需在齿轮上取一圆,将该圆 pk/π的比值规定为
标准值,并使该圆上的压力角也为标准值,这个圆即为分
度圆。 规定分度圆上的齿距 p对 π的比值为标准值 (整数或
有理数 )称为模数,用 m表示,即
?
pm ? （ 10-1）
式中,m的单位为 mm。 模数是齿轮
的一个重要的基本参数,我国已制定了标
准模数系列 (见表 10-1)。 因此,分度圆的
直径为
mzpzd ?? ?
(10-2)
分度圆的齿距 p为
p=s+e=πm (10-3)
表 10 - 1标准模数系列 (GB 1357-87)
图 10-9 不同模数轮齿大小的比较
3,压力角
渐开线上各点的压力角是不同的,通常所说的
压力角指分度圆上的压力角,用 α表示。 国家标准规
定齿轮分度圆压力角为标准值 α=20° 。
图 10-10 不同压力角时轮齿的形状
4 齿顶高系数
ha=ha*m （ ha*=1）
5 顶隙系数
C=c*m (c*=0.25) hf=(ha*+c*)m
全齿高 h=ha+hf=(2ha*+c*)m
标准齿轮 是指模数、压
力角、齿顶高系数和顶
隙系数均为标准值，且
分度圆上的齿厚等于齿
槽宽的齿轮。
图 10-11
10.3.2、渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要几何尺寸计算
1 外齿轮
10.4一对渐开线标准直齿圆柱齿轮的正确啮合条件
齿轮传动时,它的每一对轮齿仅啮合一段时间便
要分离,而由后一对轮齿接替。 为了保证一对轮齿
在接触过程中瞬时传动比不变,当前一对轮齿在 K
点接触时,后一对轮齿应在啮合线的另一点 K′接触。
由图 10-12可知,要使前后两对轮齿能够同时在啮合
线上接触,则两齿轮上相邻两齿同向齿廓在啮合线
上的长度 (称为法向齿距 )必须相等,否则就会出现
两轮齿廓分离或重叠的情况。
图 10-12 正确啮合的条件
由渐开线的性质可
知,齿轮的法向齿
距 pn等于两轮基圆
齿距 pb,因此,要使
两轮正确啮合,必
须满足
pb1=pb2 如
图 10-13所示
图 10-13
图 10-13
图 10-14
10.4 渐开线齿轮的加工方法
10.4.1、仿形法
仿形法是在普通铣床上用轴向剖面形状与被切齿轮
齿槽形状完全相同的铣刀切制齿轮的方法，如图所示。
铣完一个齿槽后，分度头将齿坯转过 3600/z，再铣下一
个齿槽，直到铣出所有的齿槽。
仿形法加工方便易行，但精度难以保证。由于渐开
线齿廓形状取决于基圆的大小，而基圆半径
rb=(mzcosα)/2，故齿廓形状与 m,z,α有关。欲加工精
确齿廓，对模数和压力角相同的、齿数不同的齿轮，
应采用不同的刀具，而这在实际中是不可能的。生产
中通常用同一号铣刀切制同模数、不同齿数的齿轮，
故齿形通常是近似的。表 10-2中列出了 1-8号圆盘铣刀
加工齿轮的齿数范围。
圆盘铣刀加工齿数的范围 有图
表 10-2
10.4.2、范成法（展成法）
范成法是利用一对齿轮无侧隙啮合时两轮的齿廓互
为包络线的原理加工齿轮的。加工时刀具与齿坯的运
动就像一对互相啮合的齿轮，最后刀具将齿坯切出渐
开线齿廓。范成法切制齿轮常用的刀具有三种,
（ 1）齿轮插刀 是一个齿廓为刀刃的外齿轮；
（ 2）齿条插刀 是一个齿廓为刀刃的齿条；
（ 3）齿轮滚刀 像梯形螺纹的螺杆，轴向剖面齿廓为
精确的直线齿廓，滚刀转动时相当于齿条在移动。可
以实现连续加工，生产率高。
切削 （沿轮坯轴向）
进刀和让刀 （沿轮坯径向）
范成运动 （ 模拟齿轮啮合 传动）
刀具与轮坯以 i12=?1/?2=Z2 /Z1回转
用同一把刀具,通
过调节 i12,就可以
加工相同模数、相
同 压力角,不同齿
数 的齿轮。
齿轮插刀
齿条插刀
齿轮滚刀
用展成法加工齿轮时，只要刀具与被切齿轮的模
数和压力角相同，不论被加工齿轮的齿数是多少，都
可以用同一把刀具来加工，这给生产带来了很大的方
便，因此展成法得到了广泛的应用。
10.5 渐开线标准直齿圆柱齿轮的根切现象和最少齿数
10.5.1、根切现象和原因
用展成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线（或齿顶圆）
超过理论啮合线极限点 N时（如图 10-7（ b ）所示），被
加工齿轮齿根附近的渐开线齿廓将被切去一部分，这种现
象称为根切（如图 10-8所示）。
根切产生的原因
图 10-7 （ a）
（ b）
图 10-8轮齿的根切现象
10.5.2、标准齿轮的最少齿数
1、根切现象
如图 10-9所示为齿条插刀加工标准外齿轮的情况，齿条插
刀的分度线与齿轮的分度圆相切。要使被切齿轮不产生根切，
刀具的齿顶线不得超过 N点。
图 10-9避免根切的条件
2、标准外啮合直齿轮的最少齿数
基圆大小影响极限啮合点的位置
避免根切的条件
10.6变位齿轮传动
10.6.1变位齿轮
前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计计算
简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着一些局限
性：（ 1）受根切限制，齿数不得少于 Zmin，使传动结
构不够紧凑；（ 2）不适合于安装中心距 a'不等于标准
中心距 a的场合。当 a'<a时无法安装，当 a'>a时，虽然可
以安装，但会产生过大的侧隙而引起冲击振动，影响
传动的平稳性；（ 3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的
齿根厚度小而啮合次数又较多，故小齿轮的强度较低，
齿根部分磨损也较严重，因此小齿轮容易损坏，同时
也限制了大齿轮的承载能力。
为了改善齿轮传动的性能，出现了变位齿
轮。如图 10-10所示，当齿条插刀齿顶线超过极
限啮合点 N1，切出来的齿轮发生根切。若将齿条
插刀远离轮心 O1一段距离（ xm），齿顶线不再
超过极限点 N1，则切出来的齿轮不会发生根切，
但此时齿条的分度线与齿轮的分度圆不再相切。
这种改变刀具与齿坯相对位置后切制出来的齿轮
称为 变位齿轮,刀具移动的距离 xm称为 变位量,
x称为 变位系数 。刀具远离轮心的变位称为 正变
位,此时 x>0；刀具移近轮心的变位称为 负变位,
此时 x<0。标准齿轮就是变位系数 x=0的齿轮。
刀具中心
线位置
刀具中心
线位置
图 10-10
变位齿轮加工原理
图 10-11
变位齿轮的齿廓
图 10-12
10.6.2最小变位系数
ha*m-xm≤N1E
N1E=CN1sinα
=rsin2α
=mz/2sin2α
图 10-13
式中 z为被切齿轮的齿数。联立以上二式得
x≥ha*-z/2sin2α
由式 zmin=2ha*/sin2α,
x≥ha*(zmin-z)/zmin
由此可得最小变位系数为
xmin=ha*(zmin-z)/zmin
当 ha*=1,α=200时,
xmin=(17-z)/17
10.6.3 变位齿轮的几何尺寸和传动类型
1,变位齿轮的几何尺寸
变位齿轮的齿数、模数、压力角与标准齿轮相同，
所以分度圆直径、基圆直径和齿距也都相同，但变位
齿轮的齿厚、齿顶圆、齿根圆等都发生了变化，具体
的尺寸计算公式列于表 10-3中。
外啮合变位直齿轮基本尺寸的计算公式
名称 符号 计 算 公 式
分度圆直径
d
d = mz
齿厚 s s = m(π /2 + 2xtgα )
啮合角 α' invα '= invα +2tgα (x1+x2)/(z1+z2) 或 cosα'=a/a'cosα
节圆直径 d' d'= dcosα /cosα'
中心距变动
系数 y
齿高变动系
数 σ σ= x1+x2-y
齿顶高 ha ha=(ha*+x-σ)m
齿根高 hf hf=(ha*+c*-x)m
齿全高 h h=(2ha*+c*-σ)m
齿顶圆直径 da da=d+2ha
齿根圆直径 df df=d-2hf
中心距 a' a'=(d1'+d2')/2
公法线长度 Wk Wk = mcosα [(k-0.5)π + zinvα ]+2xmsinα
表 10-3
分度圆齿厚、齿槽宽和公法线长度的计算
s = m(π/2 + 2xtgα)
e = m(π/2 –2xtgα)
Wk = mcosα[(k-0.5)π+ zinvα]+2xmsinα
k=αmz/1800+0.5
αm-----半径为 rm=r+xm的圆周上的压力角。
啮合角 α'与总变位系数 x1+x2的关系
invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2) + invα
中心距与啮合角的关系；中心距变动系数 y的计算
顶隙为,
σ称为齿顶高变动系数。
齿高、齿顶圆和齿根圆的计算
2 变位齿轮传动的类型
根据变位系数之和的不同值，变位齿轮传动
可分为三种类型，标准齿轮传动可看作是零传
动的特例。表 10-4中列出了各类齿轮传动的性能
与特点。
表 10-4
10.7齿轮常见的失效形式与设计准则
10.7.1 齿轮轮齿的失效形式
1,轮齿折断
从形态看,轮齿折断有整体折断和局部折断两
种形式。 整体折断一般发生在齿根,这是因为轮齿相
当于一个悬臂梁,受载后轮齿根部产生的弯曲应力最
大,而且是交变应力。 当齿轮单侧受载时,应力呈脉动
循环变化； 当齿轮双侧受载时,应力呈对称循环变化。
轮齿在周期变化的弯曲应力作用下,齿根过渡
部分常存在应力集中,当应力值超过材料的弯
曲疲劳极限时,齿根处产生疲劳裂纹,裂纹逐渐
扩展,致使轮齿整体折断,这种折断称为疲劳折
断,如图 10-14（ a）所示。 局部折断通常发生
于轮齿的一端,这是由于载荷集中造成的。
( a ) ( b )
图 10-14 轮齿折断
一般地说,为防止轮齿折断,首先应对轮齿进行抗弯疲
劳强度计算,使齿轮必须具有足够的模数； 其次采用增大
齿根过渡圆角半径,降低表面粗糙度,进行齿面强化处
理 (如喷丸 ),减轻加工过程中的损伤等工艺措施,有利于
提高轮齿抗疲劳折断的能力； 再次,尽可能消除载荷的分
布不均匀现象,可有效避免轮齿的局部折断。
2,齿面点蚀
轮齿工作时,齿面接触处产生很大的接触应
力,脱离啮合后接触应力消失,对齿面某一固定点
来说它受到的接触应力是周期变化的脉动循环应
力。
当这种接触应力超过了轮齿材料的接触疲
劳极限时,齿面产生裂纹,裂纹扩展致使表层金属
微粒脱落,形成一些浅坑 (小麻点 ),这种现象称为齿
面点蚀,如图 10-15所示。
疲劳点蚀 齿面点蚀
图 10-15
齿面点蚀通常出现在润滑良好的闭式齿轮传动中。 实
践表明,点蚀的部位发生在轮齿齿面节线附近靠齿根的一侧,
这是由于该处通常只有一对轮齿啮合,接触应力较高,轮齿
间相对滑动速度小,润滑油膜不易形成的缘故。 为防止齿
面过早点蚀,可采用提高齿面硬度,降低齿面粗糙度,使用粘
度较高的润滑油等措施。 一般在闭式软齿面齿轮设计时,
应按齿面接触疲劳强度进行设计计算。
3,齿面磨损
轮齿在啮合过程中存在相对滑动,致使齿面
间产生摩擦,磨损。 当金属微粒,砂粒,灰尘等
硬质磨粒进入轮齿间时引起磨粒磨损,如图 10-16所
示。 齿面磨损使渐开线齿廓破坏,齿厚减薄,致使
侧隙增大而引起冲击和振动。 而且还会因齿厚减
薄使强度降低而导致轮齿折断。
闭式齿轮传动中,只要经常注意润滑油的更
换和清洁,一般不会发生磨粒磨损。 而开式齿轮传
动中,由于磨损速度较快,通常齿面还来不及达到点
蚀的程度,其表层材料就已被磨粒,引起磨粒磨损,
因此点蚀现象一般不会发生。
图 10-16 齿面磨损
4,齿面胶合
在高速重载齿轮传动中,由于轮齿齿面
受到很大的压力,润滑油膜容易破裂； 而在
低速重载齿轮传动中,齿面润滑油膜不易形成,
这些都会造成轮齿啮合区局部相互接触的齿
面发生高温粘连或是压力粘连。 同时齿廓间
存在相对滑动,致使齿面金属被撕落下来,在
齿面沿滑动方向出现条状伤痕,这称为胶合,
如图 10-17所示。
图 10-17 齿面胶合
5,塑性变形
重载时,在摩擦力作用下,轮齿表层材料
将沿着摩擦力方向发生塑性流动,导致主动齿轮
齿面节线处出现凹坑,从动齿轮齿面节线处出现
凸脊,此称为齿面塑性变形,如图 10-18所示。 齿
面塑性变形使齿形被破坏,直接影响齿轮的正常
啮合。 为防止齿面的塑性变形,可采用提高齿
面硬度,选用粘度较高的润滑油等措施。
?
1
主动轮
从动轮
?
2
摩擦力主向
图 10-18 塑性变形
10.7.2齿轮的设计准则
1,闭式传动
闭式传动的主要失效形式为齿面点蚀和轮齿的
弯曲疲劳折断。 当采用软齿面 (硬度 ≤350 HBS)时,其齿
面接触疲劳强度相对较低,因此设计时首先按齿面接触
疲劳强度条件进行设计计算,并确定齿轮的主要参数和
尺寸,然后再按轮齿的弯曲疲劳强度进行校核。 当采
用硬齿面 (硬度＞ 350 HBS)时,一般首先按轮齿的弯曲疲
劳强度条件进行设计计算,确定齿轮的模数及其主要几
何尺寸,然后再校核其齿面接触疲劳强度。
2,开式传动
开式传动的主要失效形式为磨粒磨损。
通常按照齿根弯曲疲劳强度进行设计计算,确
定齿轮的模数及其他参数,但考虑磨粒磨损的
影响再将模数增大 10%~20%,无须校核接触强
度。
10.8齿轮的常用材料及热处理
10.8.1齿轮的材料的基本要求
为了使齿轮能正常工作,齿轮材料应保
证轮齿表面有足够的硬度,以增强它的抗点蚀,
抗磨损,抗胶合和抗塑性变形的能力； 轮芯
部应有足够的强度和韧性,以抵抗齿根折断和
冲击载荷； 同时材料应具有良好的加工性和
热处理性能,使之便于加工,利于提高其力学
性能。
10.8.2齿轮的材料与热处理
常用的齿轮材料首先是优质碳素钢和合金结
构钢； 其次是铸钢和铸铁； 再次是有色金属和工
程塑料。 除尺寸较小,普通用途的齿轮采用圆轧
钢毛坯外,大多数齿轮都采用锻钢毛坯；对形状复
杂,直径较大和不易锻造的齿轮采用铸钢或球墨
铸铁材料； 对传递功率不大,低速,无冲击及开
式齿轮传动中的齿轮,常采用灰铸铁材料。
有色金属仅用于制造有特殊要求 (如抗腐蚀,
防磁性等 )的齿轮。
对高速,轻载及精度要求不高的齿轮,为减
小噪声,也可采用非金属材料 (如塑料,尼龙,夹
布胶木等 )做成小齿轮,大齿轮仍用钢或铸铁材料。
1,软齿面齿轮
对于软齿面齿轮,常用的齿轮材料有 35,
45,35SiMn,40Cr等,其热处理方法为调质或正
火处理。 调质后材料的综合性能良好,硬度一般
为 280~300 HBS,切齿后的精度一般可达 8级,精切
可达 7级。 正火处理可以改善材料的力学性能和
切削性能,齿面硬度一般为 150~200 HBS。
2,硬齿面齿轮
对于硬齿面齿轮,通常是在调质后切齿,
然后进行表面硬化处理。 有的齿轮在硬化处理
后还要进行精加工 (如磨齿,剃齿等 ),故调质后
的切齿应留有适当的加工余量。 硬齿面主要用
于高速,重载或要求尺寸紧凑的重要传动中。
表 10-5 常用齿轮材料及其力学性能
10.9渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
10.9.1齿轮传动的受力分析
进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上
所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析。当然，
对齿轮传动进行力分析也是计算安装齿轮的轴及轴承
时所必需的。 齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿
间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。
1、力的大小,
若略去摩擦力的影响,则该集中力为沿啮合线指向齿面的法
向力 Fn。 法向力可分解为两个分力,即切向力 Ft和径向力
Fr,各力的大小计算如下,
齿轮传动受力分析
图 10-19
切向力
径向力
法向力 ??
?
c o s
2
c o s
t a n
2
1
1
1
1
d
TF
F
FF
d
T
F
t
n
tr
t
??
?
?
（式 10-4）
式中,d1为主动齿轮的分度圆直径,单位为 mm； T1为主
动齿轮传递的名义转矩,单位为 N·mm。 如果主动轮传递功
率为 P1(kW),转速为 n1(r/min),则
mmN
n
PT ???
1
16
1 1055.9
α为分度圆压力角,α=20° 。
b
a
F
t
F
n
c
F
r
?
C
?
1
O
1
d
1
?
a
b
F
n
F
t
F
r
c
C
d
1
?
1
O
1
( a ) ( b )
直齿圆柱齿轮的受力分析
图 10-20
2、力的方向
力的方向判定, 如图 10 - 21所示,作用在主动轮和从
动轮上的各对分力等值反向。 主动轮上的切向力
Ft1为工作阻力,其方向与其回转方向相反； 从动
轮上的切向力 Ft2为驱动力,与其回转方向相同。
两轮的径向力 Fr1和 Fr2分别指向各自的轮心。
?
1
F
r1
F
t1
F
n
F
t2
F
n
F
r2
?
2
?
图 10-21 直齿圆柱齿轮各力的方向
10.9.2轮齿的计算载荷
按式 (10-4)和式 (11 - 10)计算的 Ft,Fr,Fn均
是作用在轮齿上的名义载荷,在实际传动中常受到很多
因素的影响,故应将名义载荷修正为计算载荷。 以轮齿
的法向力 Fn为例,计算载荷 Fnc可表示为
Fnc= KFn (10-5)
式中,K为载荷系数,可由表 10-5查取。
表 10-5 载荷系数
10.9.3齿面接触强度计算
1,齿面接触疲劳强度的计算
齿面接触疲劳强度计算是针对齿面疲劳
点蚀进行的。 如图 10-22所示,一对渐开线圆柱
齿轮啮合时,其齿面接触状况可近似认为与圆
柱体的接触相当,故其齿面的接触应力 σH可近
似地用赫兹公式进行计算。 前已述及,点蚀往
往在节线附近的齿根表面出现,所以接触疲劳
强度的计算通常以节点为计算点。
前已述及,点蚀往往在节线附近的齿根表面出现,所
以接触疲劳强度的计算通常以节点为计算点。 因此,防
止齿面点蚀的强度条件为, 节点处的计算接触应力应小
于或等于齿轮材料的许用接触应力,即
? ?
? ?
H
n
H
HH
EE
b
F
?
??
??
?
?
??
?
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?
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?
?
?
?
? ?
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?
?
2
2
2
1
2
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21
11
11
d
′
2
d
b
2
? ′
N
2
C
? ′N
1
d
′
1
d
b
1
?
1
? 2
图 10-22 齿轮接触强度计算
为计算方便,用转矩 T1表示载荷,并考虑各种影响引入载荷
系数 K,经等量变换,整理后,可得齿面接触强度的校核公
式为
? ?HEH
ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1 )1(52.3
引入齿宽系数 ψd=b/d1,并带入上式,得到齿面接触疲劳
强度的设计公式为
? ?
3
2
1
1
52.3)1(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
H
E
d
Z
u
uKT
d
??
且许用接触应力［ ζH］为
H
HN
H S
Z lim?? ?
2,齿根弯曲疲劳强度的计算
齿根弯曲疲劳强度的计算是针对轮齿疲劳折断进行
的。 计算时假设全部载荷仅由一对齿轮承担,并作用在轮
齿的齿顶,受载轮齿视作悬臂梁。 实验研究表明,轮齿的
危险截面在与轮齿对称中心成 30° 夹角且与齿根圆角相切
的切点间连线的位置,如图 10-23所示。 计算时将 Fn移至
轮齿的对称线上,并分解为两个分力,即径向力 Fn sinαF和
切向力 Fn cosαF。切向力使齿根产生弯曲应力和切应力,
径向力对齿根产生压应力。 由于弯曲应力起主要作用,因
此防止齿根疲劳折断的强度条件为,
F
n
c o s ?
F
F
n
?
F
F
n
s i n ?
F
3 0 ° 3 0 °
s
F
h
F
?
F
图 10-23 齿根弯曲疲劳强度
齿根危险截面的最大弯曲应力应小于或等于轮齿材料的许
用弯曲应力,即
齿根最大弯曲应力,由材料力学中弯曲应力公式求得,
2
6
1
c o s
F
FFn
F
bS
hF
W
M ?
? ??
现引入齿形系数 YF,令
?
?
c o s
c o s6
2
?
?
?
?
?
?
?
m
S
m
h
Y
F
FF
F
齿形系数 YF是考虑齿形对齿根弯曲应力影响的系
数。 由于 SF都与模数成正比,故齿形系数 YF
只与齿廓形状有关,而与模数大小无关,是一个
无因次的系数。 齿形系数取决于齿数和变位系数,
对于标准齿轮仅取决于齿数,标准外齿轮的齿形
系数值见表 10-6。
表 10-6 标准外齿轮的齿形系数值
考虑齿根应力集中和危险截面上压
应力与切应力的影响,引入应力修正系数
YS(见表 10-7 ),计入载荷系数 K(见表 10-5),即
可得轮齿齿根弯曲疲劳强度的校核公式为
? ?FSFSFF YYzbm KTYYb m dKT ?? ???
1
2
1
1
1 22
引入齿宽系数 ψd=b/d1并带入上式,得到齿根弯曲疲劳
强度的设计公式为
? ?3 21
126.1
Fd
SF
z
YYKTm
??
?
许用弯曲应力计算公式为
? ?
F
FN
F S
Y lim?? ?
表 10-7 标准外齿轮的应力修正系数值
10.10,圆柱齿轮传动的设计计算
齿轮传动设计的主要内容是, 选择齿轮材料
和热处理方法,确定齿轮的主要参数,几何尺寸,
结构形式和精度等级等,绘制齿轮工作图。
1,参数选择
(1) 传动比 i,对于一般齿轮传动,当传动比 i
＜ 8可采用单级传动； 当 i＞ 8时,宜采用多级传动,
以免传动装置的外廓尺寸过大。 直齿圆柱齿轮的
传动比一般取 i≤3,最大可达 5； 斜齿圆柱齿轮的传
动比可大些,取 i≤5,最大可达 8。
(2) 齿数, 一般取 z＞ zmin,以避免轮齿根切。 在
闭式软齿面齿轮传动中,齿轮的弯曲强度总是足
够的,因此齿数可取多些,以增大重合度,提高传
动平稳性,改善传动质量,减少磨损,推荐取
z1=20~40。 对于闭式硬齿面齿轮,开式齿轮和
铸铁齿轮传动,应取较小齿数,以保证模数取值合
理,提高轮齿的弯曲强度。
(3) 模数 m(mn),设计时在保证弯曲强度的条件
下取较小的模数,对于传递动力的齿轮其模数
应保证 m(mn)≥1.5~2 mm,且计算出的模数应按
标准模数圆整。
(4) 齿宽系数 ψd,齿宽系数 ψd =b/d1,当 d1一定
时,增大齿宽系数必然增大齿宽,而轮齿越宽,
载荷能力越高,但载荷沿齿宽分布的不均匀性
增大,而使传动能力降低,因此,齿宽系数应
选择适当。 一般圆柱齿轮的齿宽系数可参考
表 10-8选取。
表 10-8 圆柱齿轮的齿宽系数 ψd
(5) 螺旋角, 螺旋角 β太小会失去斜齿轮传动的优点； β
太大则齿轮的轴向力增大,且传动效率降低,从经济角
度不可取。 一般高速大功率传动的场合,β应取大些；
低速小功率传动的场合,β应取小些。 一般设计时常取
β=8° ~15°,β的计算值应精确到分 (′)。
2,设计步骤
已知条件：功率、转速、传动比等
设计：确定齿轮副材料及热处理；主要参数、几何
尺寸及齿轮结构；选择精度等级并绘制齿轮工作图。
1,确定齿轮副材料及热处理方法
2,按强度条件确定基本参数
选择公式计算 a或 m。
3,确定齿轮
Z1≥17,一般常取 20——40。 Z2=iZ1 并圆整。
4.确定模数和实际中心距
5,校核
6,计算齿轮的几何尺寸
7,确定齿轮的结构尺寸
8,确定齿轮精度并绘制齿轮工作图
10.11平行轴斜齿圆柱齿轮传动
10.11.1、斜齿圆柱齿轮齿面的形成及啮合特点
由于圆柱齿轮是有一定宽度的，因此轮齿的齿
廓沿轴线方向形成一曲面。直齿轮轮齿渐开线曲
面的形成如图 10-24所示。平面与基圆柱相切于母
线，当平面沿基圆柱作纯滚动时，其上与母线平
行的直线 KK在空间所走过的轨迹即为渐开线曲面，
平面称为发生面，形成的曲面即为直齿轮的齿廓
曲面。
10-24 直齿轮轮齿渐开线曲面的形成
斜齿圆柱齿轮齿廓
曲面的形成如图 10-25
所示，当平面沿基圆柱
作纯滚动时，其上与母
线成一倾斜角 βb的斜直
线 KK在空间所走过的
轨迹为渐开线螺旋面，
该螺旋面即为斜齿圆柱
齿轮齿廓曲面,βb称为
基圆柱上的螺旋角。
图 10-25
直齿圆柱齿轮啮合
时，齿面的接触线均平行
于齿轮轴线。因此轮齿是
沿整个齿宽同时进入啮合、
同时脱离啮合的，载荷沿
齿宽突然加上及卸下。因
此直齿轮传动的平稳性较
差，容易产生冲击和噪声，
不适合用于高速和重载的
传动中。
圆柱齿轮啮合的接触线
一对平行轴斜齿圆
柱齿轮啮合时，斜齿轮的
齿廓是逐渐进入啮合、逐
渐脱离啮合的。如图所示，
斜齿轮齿廓接触线的长度
由零逐渐增加，又逐渐缩
短，直至脱离接触，载荷
也不是突然加上或卸下的，
因此斜齿轮传动工作较平
稳。 斜齿轮啮合的接触线
10.11.2斜齿圆柱齿轮的主要参数和几何尺寸计算
1,斜齿圆柱齿轮的主要参数
斜齿轮的轮齿为螺旋形，在垂直于齿轮轴线的端
面（下标以 t表示）和垂直于齿廓螺旋面的法面（下标
以 n表示）上有不同的参数。斜齿轮的端面是标准的
渐开线，但从斜齿轮的加工和受力角度看，斜齿轮的
法面参数为标准值。
1 主要参数
（ 1）螺旋角
（ 2）模数
（ 3）压力角
(4)齿顶高系数与顶隙系数
斜齿轮的齿顶高和齿根高不论从端面还是从法
面来看都是相等的，即
2 斜齿轮的几何尺寸计算
10.11.3斜齿圆柱齿轮传动的正确啮合条件
一对外啮合斜齿轮传动的正确啮合条件为,
1）两斜齿轮的法面模数相等；
2）两斜齿轮的法面压力角相等；
3）两斜齿轮的螺旋角大小相等，方向相反。
若不满足条件 3），就成为交错轴斜齿轮传动。
10.11.4斜齿轮的当量齿轮和最少齿数
10.12直齿圆锥齿轮传动
10.12.1、概述
直齿圆锥齿轮传动
10.12.2直齿圆锥齿轮的齿廓曲线
1、锥齿轮的齿廓曲线
球面渐开线的形成
2、直齿圆锥齿轮的背锥和当量齿数
背锥
当量
齿轮
10.12.3直齿圆锥齿轮的正确啮合条件
两轮大端模数及压力角相等。
10.12.4直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算（垂直相交）
尺寸计算
10.12.5直齿圆锥齿轮传动的强度计算
1、直齿圆锥齿轮传动的受力分析
2、直齿圆锥齿轮传动的强度计算
为使计算简化，一对轴交角 为的直齿圆锥齿轮
的强度可近似按平均分度圆处的当量直齿圆柱齿轮进行
计算。
10.13齿轮的结构设计及齿轮传动的润滑
10.13.1齿轮的结构设计
名称 结构形式 结构尺寸
锻
造
齿
轮
腹板式齿轮
腹板式齿轮
锻造齿轮
铸造齿轮
10.13.2齿轮传动的润滑
齿轮传动时，相啮合的齿面间有相对滑动，因此
就要发生摩擦和磨损，增加动力消耗，降低传动效率，
特别是高速传动，就更需要考虑齿轮的润滑。
轮齿啮合面间加注润滑剂，可以避免金属直接接
触，减少摩擦损失，还可以散热及防锈蚀。因此，对
齿轮传动进行适当的润滑，可以大为改善齿轮的工作
状况，且保持运转正常及预期的寿命。
1、齿轮传动的润滑方式
开式及半开式齿轮传动，或速度较低的闭式
齿轮传动，通常用人工周期性加油润滑，所用润滑
剂为润滑油或润滑脂。
通用的闭式齿轮传动，其润滑方法根据齿轮的
圆周大小而定。当齿轮的圆周速度 v<12m/s时，常将
大齿轮的轮齿进入油池中进行浸油润滑（下左图）。
这样，齿轮在传动时，就把润滑油带到啮合的齿面
上，同时也将油甩到箱壁上，借以散热。齿轮浸入
油中的深度可视齿轮的圆周速度大小而定，对圆柱
齿轮通常不宜超过一个齿高，但一般亦不应小于
10mm；对圆锥齿轮应浸入全齿宽，至少应浸入齿宽
的一半。在多级齿轮传动中，可借带油轮将油带到
未进入油池内的齿轮的齿面上（下右图）。
在多级齿轮传动中，可借带油轮将油带到
未进入油池内的齿轮的齿面上（下右图）。
油池中的油量多少，取决于齿轮传递功率大小。对单
级传动，每传递 1kW的功率，需油量约为 0.35～ 0.7L 。对
于多级传动，需油量按级数成倍地增加。
当齿轮的圆周速度
v>12m/s时，应采用喷油润滑
（右图），即由油泵或中心油
站以一定的压力供油，借喷嘴
将润滑油喷到轮齿的啮合面上。
当 v≤25m/s时，喷嘴位于轮齿
啮入边或啮出边均可；当
v>25m/s时，喷嘴应位于轮齿
啮出的一边，以便借润滑油及
时冷却刚啮合过的轮齿，同时
亦对轮齿进行润滑。
