§1.3 算术基本定理定理1 任一整数都可以表示成素数的乘积，且在不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是惟一的。即
， （1）
其中是素数。并且若有
，
其中是素数，则
。
证 由第一节定理2（1）式对所有大于1的整数都成立，下证惟一性。设还有
，
其中是素数，则
 （2）
因此，根据1.2例4，存在使得，但都是素数，故
同理可证存在使得，即有

所以。将（2）式的两端同时消除，则有

同理可以推出，依次类推得到

把式（1）中相同的素数合并，即得
，， （3）
称（3）式为整数的标准素因数分解式。
应用上一节性质2（ⅴ）关于整除的性质可以得到如下推论推论1 设整数由（3）式给出。那么是的正因数的充分必要条件是
，， （4）
从而整数的正因数的个数为

推论1告诉我们：只要知道了正整数的标准分解式，它的所有正约数就全知道了，且由等式（4）给出。
例1 设，证明：。
在实际应用中，为了简便，我们经常使用整数素因数分解如下的形式
，，
它与（3）式的区别是允许某些，很明显这种分解方法不是惟一的，有了这种分解形式，我们很容易得到如下关于最大公因数和最小公倍数的求解方法。
推论2 设整数有如下素因数分解形式
，，
 （5）
记，,，则有
，
进一步由恒等式有
。
例2 设都是正整数，则有

利用整数的惟一分解式，可以得到如下结果，这一结果将用于高次剩余中原根的构造。
例3 设是两个正整数，则存在正整数，满足

§1.4 习题设是正整数的最小素因数，证明：若，则是素数。
设。证明：的充要条件是。
证明对于一切整数，n2+2n+12都不是121的倍数。
证明：（1）；（2）。
证明对于任意整数，是整数。
证明：当为大于1的正整数时，
不是整数。
设为大于1的正整数，若对任意的整数，由可推出或至少有一个成立，则一定是素数。
设n>2，证明在n和n!之间一定有一个素数。
设是奇数。证明：必有正整数使得。
用C语言实现算法1.2.6，并求不定方程在下的一切整数解。
如果一个正整数具有20个正因数，问这个正整数最小是什么？
求满足的最小正整数，并且证明的全部正因数的乘积等于。