《计算机组成与结构》
——本科生课程教学计算机学院计算机学院
(
(
XBXU)
XBXU)
计算机学院(XBXU)
计算机组成与结构计算机组成与结构
?本课程主要讲授计算机系统的硬件和软件构成方法，包括硬件系统中运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备和总线系统的构成原理等；并与当代先进的计算机技术相结合。是计算机科学与技术本科专业核心课程。
?本课程着重计算机系统组成与结构方面的教学和研究。
?计算机结构定义为系统程序员所能见到的计算机硬件特性；
?计算机组成是指计算机硬件的具体实现。
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第三章第三章运算方法和运算部件运算方法和运算部件
?数据的表示方法和转换
?带符号数的表示方法及加减运算
?二进制乘法运算
?二进制除法运算
?浮点数的运算方法
?运算部件
?数据校验码计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换一、数值数据的表示和转换
1,进位计数制
(1)十进制数:
?特点:有十个不同的符号0,1,2,…9；
逢“十”进位。
?表达形式：同一个数字符号在不同的位代表的数值是不同的，如：
?任意一个十进制数A,可以表示为:
321012
106106106106106106666.666
×+×+×+×+×+×=
m
m
n
n
n
n
AAA
AAAAA
×++×+×+
×+×++×+×=
101010
10101010
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
AA
1
10
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(2) 二进制数:
?特点:有两个不同的符号0、1；
逢“二”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数B也可以表示为：
m
m
n
n
n
n
BBB
BBBBB
×++×+×+
×+×++×+×=
222
2222
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
3102
2
21212121)101.101(
×+×+×+×=
∑
=
×=
m
ni
i
i
BB
1
2
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(3) 八进制数：
?特点:有两八不同的符号0，1，2，3，4，5，6，7；
逢“八”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数C也可以表示为：
3210123
8
87868584838281)567.1234(
×+×+×+×+×+×+×=
m
m
n
n
n
n
CCC
CCCCC
×++×+×+
×+×++×+×=
888
8888
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
CC
1
8
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(4) 十六进制数：
?特点:有两十六个不同的符号0－9，A-F；
逢“十六”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数D也可以表示为：
321012
16
16161641616162)4.2(
×+×+×+×+×+×= DCBACDAB
m
m
n
n
n
n
DDD
DDDDD
×++×+×+
×+×++×+×=
161616
16161616
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
DD
1
16
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?各种进位计数制的共同特点：
?（1）每种进位计数制都有一个固定的基数J，每位可以取
J个不同值。
?（2）各种进位制均逢“J”进位。
?（3）每一位数i对应一个固定的Ji，Ji称为该数的“权”
?（4）小数点左边各位的权依次为J的正幂次方；小数点右边各位的权依次为J的负幂次方。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
? P.60.表3.1给出了各种进位计数制的对应关系。
十进制二进制八进制十六进制
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
2,进位计数制的转换
（1）任意进位制数转换成十进制数
?基本方法：按权位值相加。
（2）十进位制数转换成二进制数
?基本方法：整数，用2去除十进制整数，每次余数即为二进制系数，直到商为0为止。
小数，用2去乘十进制小数，每次所得的整数（0或1
）即为二进制系数。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
（3）十进制数转换成八进制数
?基本方法：整数，用8去除十进制数整数，每次余数即为八进制系数，直到商为0为止。
小数，用8去乘十进制小数，每次所得的整数即为八进制系数。
（4）八进制与二进制数的互换
?基本方法：每一位八进制数用相应的三位二进制表示。
每三位二进制数用相应的一位八进制数表示。（不足三位补0，整数以小数点左一位起分，小数以小数点右一位起分。）
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
（5）十六进制数与二进制数的互换
?基本方法：每一位十六进制数用相应的四位二进制表示。
每四位二进制数用相应的一位十六进制数表示。（
不足四位补0，整数以小数点左一位起分，小数以小数点右一位起分。）
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换二、十进制数的编码与运算
1、十进制有权码
?编码方法：用4位二进制数表示一个十进制数，每一位有确定的权位。
（1）8421BCD码
?方法：每一位十进制数用四位二进制数表示。
?特点：有十个不同的符号，且逢“十”进位。（参见P.63.表3.2）
?运算结果要修正：
?两个8421码数相加之和等于或小于9（1001），不修正；
?相加之和在10到15之间，向高位产生进位，本位加6修正；
?相加之和在16到18之间，本位加6修正，向高位产生进位在相加过程中给出。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?例：1＋8＝9（不修正）4＋9＝13（＋6修正，在修正过程中产生溢出）
0001 0100
＋1000 ＋1001
1001 1101
＋0110
1 0011
1001
9＋7＝16（＋6修正，＋0111
在相加过程中产生进位）1 0000
＋0110
1 0110
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?有权码的特性：
?有十个不同的符号；
?逢“十”进位，任何两个十进制数位相加产生10或大于10的结果
，相应的基2码相加会从最高位向左产生进位，符号十进制加法进位规则；
?任何两个相加之和等于9的十进制数位的基2码互为反码，即满足二进制数按9互补（9’s Complement）的关系，有利于减法处理。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
2、十进制无权码
?编码方法：表示一个十进制数的4位二进制码的每一位没有确定的权位。
(1) 余3码(Excess-3 Code)
?方法：在8421码的基础上加0011(3)构成余3码。
?特点：两位十进制数相加可以按二进制相加法则进行，当和无进位时减去3，和有进位时加上3。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?例：3＋5＝8 6＋7＝13
0100(3) 1001(6)
+ 1000(5) + 1010(7)
1110 1 0011
- 11 + 11
1011(8) 1 0110(13)
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(2)格雷码(Gray Code)
?方法：任何两个相邻的代码只有一个二进制位的状态不同，其余三位必须有相同状态。
?用四位二进制位格雷码表示十进制数的十个状态的方案很多。
(P.63.表3.3)
?特点:除有十个不同的符号和逢“十”进位外，从一编码到下一个相邻编码时，只有一位的状态变化，有利于译码，在A/D、D/A
转换电路中广泛使用。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
3、十进制数的其它编码方法
?也有多于4位二进制码的十进制编码方案，比如用5位、7位甚至10位等方案，有些属于无权码，有些属于有权码。
(1) 五中取二码(2-out-of-5 Code)
?方法:用五位二进制码表示一个十进制数，每个代码必须含2个
“1”和3个“0”。
?特点：具有一位（奇数位）校验能力。
(2) 蠕变码(Creeping Code)
?方法:用五位二进制码表示一个十进制数，由一个“1”逐次移位扩展和紧缩而形成。
?特点:具有格雷码编码规则。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(3) 二元五进制码(Biquinary Code)
?方法：用七位二进制码表示一个十进制数，每一个代码包含2
“1”和5个“0”。
?特点：一种有权码，权位分别为5043210，有一位校验能力。
(4) 独热码(One-Hot Code)
?方法：用十位二进制码表示一个十进制数，每个代码必须含1
“1”和9个“0”。
?特点：一种有权码，权位分别为0123456789，具有一位校验力，容易实现，编码能力强，在键盘和显示中得到应用。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
4、数字串在计算机内的表示与存储
?字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。有前分隔字符和后嵌入字串两种形式。
例如，＋234，在主存中为：2B323334
－567，在主存中为：2D353637
?前分隔字符串，符号位独占一字节，放在数字之前，其后数字为相应的ASCII码。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
＋234，在主存中为：323334
－234，在主存中为：323374
?后嵌入字符串，不分配符号位，而是把它嵌入最低一位数字里
，规则是：把负号变成40H与最低位值相加，其数字为相应的
ASCII码。
?压缩字符串形式：即一个字节存放两个十进制数位。
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3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换计算机学院(XBXU)
3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算一、原码、补码、反码及其运算
?在正逻辑设计的计算机中，数的最高位为符号位，0为正数，1
为负数。如一字长为8位的计算机：
bit7 bit6 ……..bit0
符号位数值位（尾数）
?机器数：一个包括符号位在内的数值的机内编码叫做机器数，它是数在计算机中表示形式的统称。
?真值：机器数的数值。
?例：01010111＝＋87，11010111＝－87
?对于负数有三种表示方法：原码、反码、补码。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
1、原码表示
?原码的表示：正数的符号位用0表示，负数的符号位用1表示，
尾数用数值表示。
?原码的定义：[X]原＝X 0<=X<1
1－X -1<X<=0
例：X=＋0.1011,[X]原=01011；
X=－0.1011,[X]原=1－X=1.0000－(－0.1011)=11011。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?原码的特性：
(1) [X]原＝符号位+|X|，即原码的最高位为符号位，尾数部分为数值位（绝对值）。
(2) 数的原码有正负零之分，[+ 0]原＝000000000，
[ - 0]原＝100000000。
(3) 8位原码的数值范围为：[+127]原＝01111111,
[-127]原＝11111111。
(4) 原码表示与增值转换方便，但两异号相加要做减法。
?为了把减法运算转换为加法运算，提出了反码和补码。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、反码表示
?反码的表示：正数的反码符号位为0，尾数用数值表示（与原相同）；负数的反码为正数值连同符号位按位取反。
?反码的定义：[X]反＝X 0<=X<1
(2-2
-n
)+x -1<X<=0
?例：X=+0.1011,[X]反＝0.1011
X=-0.1011,[X]反=10100
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?反码的特性：
(1) 反码的最高位为符号位，0为正，1为负，机器数与真值的关系：[X]
反
＝((2－2
-n
)+X) MOD(2-2
-n
)；
(2) 数的反码有正负零之分，+0=00000000,-0=11111111；
(3) 8位反码的数值范围为，[+127]=01111111,[-127]=11111111；
(4) 反码加运算，若最高位有进位，必须把该进位值加到结果的最低位，即“循环进位”。
?例，[X]反＝0.11011,[Y]反=1.01010,[X+Y]反＝？
0.11011
+ 1.01010
(1)0.00101
+ 1
0.00110
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
3、补码的表示
?补码的表示：正数的补码与原码相同，即符号位用0表示，尾用数值表示，负数的补码为数的反码，且在最低为加1，即取反加1。
?补码的定义,[X]补＝X 0<=X<1
2+X -1<=X<=0 MOD 2
?例：X=+0.1011,[X]补＝01011；
X=-0.1011，[X]补＝10101。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?补码的特性：
(1) 补码的最高位为符号位，0为正，1为负，机器数与真值的关系：[X]补＝2符号位＋X；
(2) 数的补码表示中无正负之分，[+0]补=[-0]补=00000000；
(3) 两个数的补码相加时，结果不超过机器能表示的范围，可以把符号位与数位同等处理，即机器数的符号位与数值位都是正确的补码表示。即：
[X+Y]补=[X]补+[Y]补(mod 2)
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?模与互补的概念：
?例如，校正时间的方法：标准时间是6点钟，非标准时间是10
点钟；有两种校正方法：
10－4＝6倒拨
10＋8＝6顺拨
10－4＝10＋8 (mod 12)；称12为模数，(+8)与(-4)对模12互为余数，或称同余。
?同理，在8位二进制中任一负数(-X) 的补码都可以由2
8
-X 来得到。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，64－10＝64+(-10)=64+[2
8
-10]=64+[256-10]
=64+246=54
01000000 64 01000000 64
－00001010 -10 +11110110 +246
00110110 54 (1)00110110 54
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算二、加减法运算的溢出处理
?由于机器码的位数通常是给定的（如16位字长，32位字长），
因此，数的表示范围是有限的，若两数进行加减运算的结果超出给定的取值范围，就会产生溢出。
?例，X=+0.1011,Y=+0.1001,X+Y=?
[X]补0.1011
+ [Y]补0.1001
1.0100
?此时，两个正数相加的结果成为负数，显然是错误的。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?又如，X=－0.1101,Y=－0.1011,X+Y=?
[X]补1.0011
+ [Y]补1.0101
0.1000
?两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
?为判断溢出是否产生，可以采用两种检测方法。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
1、变形码操作检测
?方法：每个操作数在运算时都采用两个符号位，正数用00表示
，负数用11表示，两个符号位与码值一起参加运算；若运算结果的两个符号位的代码不一致时表示溢出，两个符号位代码一致时，没有溢出。
?这种变形的补码表示，又称模4补码表示方法，其定义为：
[X]＝X 0<=X<1
4+X -1<=X<0
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，X=+0.1011,Y=+0.1101，用模4补码运算判断x+y是否溢出
[X]补00.1011
+ [Y]补00.1101
01.1000
符号位代码01，表示正溢出，表明运算结果是大于允许取值范围的正数。
?又如，X=-0.1011,Y=-0.1100，用模4补码运算判断x+y是否溢出？
[X]补11.0101
+ [Y]补11.0100
10.1001
符号位代码10，表示负溢出，表明运算结果是负数，其绝对值大于允许取值范围。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、单符号位操作检测
?方法：当运算结果的符号位与操作数的符号位不一致时，表示溢出；当加数和被加数符号位不同时，相加的结果绝对不会溢出。
?例，X=+0.1001,Y=+0.1110,用模2补码运算判断x+y是否溢出？
[X]补0.1001
+ [Y]补0.1110
1.0111
运算结果产生溢出。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算三、定点数和浮点数
1、定点小数
?表示方法：小数点固定在最高数值位与符号位之间，小数点不用明确表示出来。任何一个小数都可以被写成：
N=Ns.N-1N-2……N-m
其中，符号位用0表示正号，用1表示负号，后面m位表示该小数的数值。定点小数的值的范围很小，对用m+1个二进制位表示的小数，其值的范围|N|<=1-2
-m
，即小于1的纯小数。
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、定点整数
?表示方法：小数点固定在数值最低位右边的一种数据，最小的数为1。具有带符号和不带符号的两类。
?带符号的整数：N=NsNnNn-1…..N2N1N0
对于n+1位二进制整数，其值范围为|N|<=2
n
-1
?不带符号的整数：N=NnNn-1…..N2N1N0
对于n+1为的二进制整数，其值范围为0<=N<=2
n+1
-1
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
3、浮点数
?表示方法：任意一个二进制数通过移动小数点的位置表示成阶码和尾数两部分，类似科学计算法。
N=2
E
×S
其中，E为N的阶码，有符号的整数；S为N的尾数，数值的有效部分，一般取二进制定点纯小数形式。
?例，1011101B= 2
+7
×0.1011101
101.1101B= 2
+3
×0.1011101
0.01011101B= 2
-1
×0.1011101
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3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数的一般格式：
E0 E1…En S0 S1….Sm
阶符阶码尾符尾数或者为：M0 E M
尾符阶码尾数
?例，－101.1101=－2
+3
×0.1011101
=－0.1011101 ×2
+3
其浮点数形式为：0011 11011101
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数的规格化：
浮点数运算后必须化成规格化形式。
? (1) 对于原码尾数来说，应该使最高数字位S1=1，如果不是全1，且尾数不是全0时就要移动尾数直到S1=1，阶码相应变化，保证N值不变。
? (2) 如果尾数是补码，当N是正数时S1必须是全1，N是负数时S1必须是0才错误规格化形式。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数表示的优点：
(1) 浮点数表示的范围比定点数大；
(2) 运算过程中随时对中间结果的浮点数规格化，不易丢失有效数字。
? IEEE 754标准的浮点数格式：
符号位阶码尾数总位数短浮点数1 8 23 32
长浮点数1 11 52 64
临时浮点数1 15 64 80
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?移码的概念：
若纯整数x为n+1位(其中包括符号位)，则其移码的定义为：
[x]
移
=2
n
＋x －2
n
≤x≤2
n
－1
[x]
补
=因为：x 0≤x<2
n
2
n+1
＋x －2
n
≤x < 0
所以：当0≤x < 2
n
时：[x]
移
= [x]
补
＋2
n
－2
n
≤x <0 时：[x]
移
= 2
n
＋[x]
补
－2
n+1
=[x]
补
－2
n
?因此：把[x]
补的符号位取反即得[x]
移
。
?见P71 例3.30
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?移码的特点：
(1) 最高位为符号位，1表示正，0表示负。
(2) 零的移码是唯一的，即：[＋0]
补
=[－0]
补
=10...0。
(3) 用移码表示便于比较数的大小，移码大真值就大，移码小真值就小。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算四、定点加减法实现方案
?二进制加法是实现算术运算的基础，采用补码方案时，加减法可以用统一的方式处理。实际上乘除法也可以通过加运算和移位相结合的方案来实现。因此运算器的核心也就是加法器的设计。
1、补码加减法运算
?法则1：[X]补+[Y]补＝[X+Y]补两补码数相加，符号位与码值一起参加运算，符号位相加后如果有进位，则该位数字舍弃。
下面分四种情况来证明补码加法公式：
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?证明条件是：|X|<1,|Y|<1,|X+Y|<1。
? (1) X>0,Y>0，则X+Y>0；
两正数相加，和一定是正数，与原码相同。
根据补码的定义可得此结论。
[X]补＝X 0<=X<1
2+X -1<=X<=0 MOD 2
所以，[X]补+[Y]补=X+Y
=[X+Y]补(MOD 2)
?例，X=+0.1001,Y=+0.0101,X+Y=?
[X]补01001
+ [Y]补00101
01110
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? (2) X>0,Y<0，则X+Y>0或X+Y<0;
相加两数一正一负，和有正负两种可能。
根据补码的定义可得：
[X]补=X,[Y]补＝2+Y
所以，[X]补+[Y]补=X+2+Y=2+(X+Y)
当X+Y>0时，2+(X+Y)>2,进位2必丢失，又因为(X+Y)>0，
所以[X]补+[Y]补=X+Y=[X+Y]补(MOD 2)
当X+Y<0时，2+(X+Y)<2，又因为(X+Y)<0，
所以[X]补+[Y]补=2+(X+Y)=[X+Y]补(MOD 2)
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，X=+0.1011,Y=-0.0101,X+Y=?
[X]补=0.1011，[Y]补=1.1011
[X]补0.1011
+ [Y]补1.1011
(1) 0.0110
所以，X+Y=0.0110
? (3) X<0,Y>0，则X+Y>0或X+Y<0;
同(2)情况一样。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? (4) X<0,Y<0，则X+Y<0;
两相加得数都是负数，则其和也一定是负数。
根据补码的定义可得：
[X]补+[Y]补=2+X+2+Y=2+(2+X+Y)
(X+Y)为负数，而其绝对值小于1，那么(2+X+Y)就一定是小于2大于1得数，进位“2”丢失。
又因为(X+Y)<0
所以，[X]补+[Y]补=2+(X+Y)=[X+Y]补(MOD 2)
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，[X]补＝1.0111,[Y]补＝1.1011
[X]补1.0111
+[Y]补1.1011
(1)1.0010
所以，X+Y=－0.1110
由此可进一步推理出：
?法则2：[X-Y]补=[X+(-Y)]补＝[X]补+[-Y]补(MOD 2)
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? 2、补码定点加减法得实现
? P66图3.1 为实现加法的逻辑图
?①实现加法时应提供以下控制信号：
A→ALU，B→ALU，+，ALU→A
?②实现减法时应提供以下控制信号：
A→ALU，B→ALU，ALU+1，+，ALU→A
?注意：B中是y的补码，－[y]
补
= [－y]
补
= [[y]
补
]
补；而[[y]
补
]
补是将
[y]
补连同符号位一起求反加1。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
——本科生课程教学计算机学院计算机学院
(
(
XBXU)
XBXU)
计算机学院(XBXU)
计算机组成与结构计算机组成与结构
?本课程主要讲授计算机系统的硬件和软件构成方法，包括硬件系统中运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备和总线系统的构成原理等；并与当代先进的计算机技术相结合。是计算机科学与技术本科专业核心课程。
?本课程着重计算机系统组成与结构方面的教学和研究。
?计算机结构定义为系统程序员所能见到的计算机硬件特性；
?计算机组成是指计算机硬件的具体实现。
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第三章第三章运算方法和运算部件运算方法和运算部件
?数据的表示方法和转换
?带符号数的表示方法及加减运算
?二进制乘法运算
?二进制除法运算
?浮点数的运算方法
?运算部件
?数据校验码计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换一、数值数据的表示和转换
1,进位计数制
(1)十进制数:
?特点:有十个不同的符号0,1,2,…9；
逢“十”进位。
?表达形式：同一个数字符号在不同的位代表的数值是不同的，如：
?任意一个十进制数A,可以表示为:
321012
106106106106106106666.666
×+×+×+×+×+×=
m
m
n
n
n
n
AAA
AAAAA
×++×+×+
×+×++×+×=
101010
10101010
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
AA
1
10
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(2) 二进制数:
?特点:有两个不同的符号0、1；
逢“二”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数B也可以表示为：
m
m
n
n
n
n
BBB
BBBBB
×++×+×+
×+×++×+×=
222
2222
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
3102
2
21212121)101.101(
×+×+×+×=
∑
=
×=
m
ni
i
i
BB
1
2
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(3) 八进制数：
?特点:有两八不同的符号0，1，2，3，4，5，6，7；
逢“八”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数C也可以表示为：
3210123
8
87868584838281)567.1234(
×+×+×+×+×+×+×=
m
m
n
n
n
n
CCC
CCCCC
×++×+×+
×+×++×+×=
888
8888
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
CC
1
8
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(4) 十六进制数：
?特点:有两十六个不同的符号0－9，A-F；
逢“十六”进位。
?表达形式：不同数字符号在不同的位代表的数值也是不同的，如：
?任意一个二进制数D也可以表示为：
321012
16
16161641616162)4.2(
×+×+×+×+×+×= DCBACDAB
m
m
n
n
n
n
DDD
DDDDD
×++×+×+
×+×++×+×=
161616
16161616
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
L
L
∑
=
×=
m
ni
i
i
DD
1
16
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?各种进位计数制的共同特点：
?（1）每种进位计数制都有一个固定的基数J，每位可以取
J个不同值。
?（2）各种进位制均逢“J”进位。
?（3）每一位数i对应一个固定的Ji，Ji称为该数的“权”
?（4）小数点左边各位的权依次为J的正幂次方；小数点右边各位的权依次为J的负幂次方。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
? P.60.表3.1给出了各种进位计数制的对应关系。
十进制二进制八进制十六进制
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
2,进位计数制的转换
（1）任意进位制数转换成十进制数
?基本方法：按权位值相加。
（2）十进位制数转换成二进制数
?基本方法：整数，用2去除十进制整数，每次余数即为二进制系数，直到商为0为止。
小数，用2去乘十进制小数，每次所得的整数（0或1
）即为二进制系数。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
（3）十进制数转换成八进制数
?基本方法：整数，用8去除十进制数整数，每次余数即为八进制系数，直到商为0为止。
小数，用8去乘十进制小数，每次所得的整数即为八进制系数。
（4）八进制与二进制数的互换
?基本方法：每一位八进制数用相应的三位二进制表示。
每三位二进制数用相应的一位八进制数表示。（不足三位补0，整数以小数点左一位起分，小数以小数点右一位起分。）
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
（5）十六进制数与二进制数的互换
?基本方法：每一位十六进制数用相应的四位二进制表示。
每四位二进制数用相应的一位十六进制数表示。（
不足四位补0，整数以小数点左一位起分，小数以小数点右一位起分。）
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换二、十进制数的编码与运算
1、十进制有权码
?编码方法：用4位二进制数表示一个十进制数，每一位有确定的权位。
（1）8421BCD码
?方法：每一位十进制数用四位二进制数表示。
?特点：有十个不同的符号，且逢“十”进位。（参见P.63.表3.2）
?运算结果要修正：
?两个8421码数相加之和等于或小于9（1001），不修正；
?相加之和在10到15之间，向高位产生进位，本位加6修正；
?相加之和在16到18之间，本位加6修正，向高位产生进位在相加过程中给出。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?例：1＋8＝9（不修正）4＋9＝13（＋6修正，在修正过程中产生溢出）
0001 0100
＋1000 ＋1001
1001 1101
＋0110
1 0011
1001
9＋7＝16（＋6修正，＋0111
在相加过程中产生进位）1 0000
＋0110
1 0110
计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?有权码的特性：
?有十个不同的符号；
?逢“十”进位，任何两个十进制数位相加产生10或大于10的结果
，相应的基2码相加会从最高位向左产生进位，符号十进制加法进位规则；
?任何两个相加之和等于9的十进制数位的基2码互为反码，即满足二进制数按9互补（9’s Complement）的关系，有利于减法处理。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
2、十进制无权码
?编码方法：表示一个十进制数的4位二进制码的每一位没有确定的权位。
(1) 余3码(Excess-3 Code)
?方法：在8421码的基础上加0011(3)构成余3码。
?特点：两位十进制数相加可以按二进制相加法则进行，当和无进位时减去3，和有进位时加上3。
计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
?例：3＋5＝8 6＋7＝13
0100(3) 1001(6)
+ 1000(5) + 1010(7)
1110 1 0011
- 11 + 11
1011(8) 1 0110(13)
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(2)格雷码(Gray Code)
?方法：任何两个相邻的代码只有一个二进制位的状态不同，其余三位必须有相同状态。
?用四位二进制位格雷码表示十进制数的十个状态的方案很多。
(P.63.表3.3)
?特点:除有十个不同的符号和逢“十”进位外，从一编码到下一个相邻编码时，只有一位的状态变化，有利于译码，在A/D、D/A
转换电路中广泛使用。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
3、十进制数的其它编码方法
?也有多于4位二进制码的十进制编码方案，比如用5位、7位甚至10位等方案，有些属于无权码，有些属于有权码。
(1) 五中取二码(2-out-of-5 Code)
?方法:用五位二进制码表示一个十进制数，每个代码必须含2个
“1”和3个“0”。
?特点：具有一位（奇数位）校验能力。
(2) 蠕变码(Creeping Code)
?方法:用五位二进制码表示一个十进制数，由一个“1”逐次移位扩展和紧缩而形成。
?特点:具有格雷码编码规则。
计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
(3) 二元五进制码(Biquinary Code)
?方法：用七位二进制码表示一个十进制数，每一个代码包含2
“1”和5个“0”。
?特点：一种有权码，权位分别为5043210，有一位校验能力。
(4) 独热码(One-Hot Code)
?方法：用十位二进制码表示一个十进制数，每个代码必须含1
“1”和9个“0”。
?特点：一种有权码，权位分别为0123456789，具有一位校验力，容易实现，编码能力强，在键盘和显示中得到应用。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
4、数字串在计算机内的表示与存储
?字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。有前分隔字符和后嵌入字串两种形式。
例如，＋234，在主存中为：2B323334
－567，在主存中为：2D353637
?前分隔字符串，符号位独占一字节，放在数字之前，其后数字为相应的ASCII码。
计算机学院(XBXU)
3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换
＋234，在主存中为：323334
－234，在主存中为：323374
?后嵌入字符串，不分配符号位，而是把它嵌入最低一位数字里
，规则是：把负号变成40H与最低位值相加，其数字为相应的
ASCII码。
?压缩字符串形式：即一个字节存放两个十进制数位。
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3.1
3.1
数据的表示方法和转换数据的表示方法和转换计算机学院(XBXU)
3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算一、原码、补码、反码及其运算
?在正逻辑设计的计算机中，数的最高位为符号位，0为正数，1
为负数。如一字长为8位的计算机：
bit7 bit6 ……..bit0
符号位数值位（尾数）
?机器数：一个包括符号位在内的数值的机内编码叫做机器数，它是数在计算机中表示形式的统称。
?真值：机器数的数值。
?例：01010111＝＋87，11010111＝－87
?对于负数有三种表示方法：原码、反码、补码。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
1、原码表示
?原码的表示：正数的符号位用0表示，负数的符号位用1表示，
尾数用数值表示。
?原码的定义：[X]原＝X 0<=X<1
1－X -1<X<=0
例：X=＋0.1011,[X]原=01011；
X=－0.1011,[X]原=1－X=1.0000－(－0.1011)=11011。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?原码的特性：
(1) [X]原＝符号位+|X|，即原码的最高位为符号位，尾数部分为数值位（绝对值）。
(2) 数的原码有正负零之分，[+ 0]原＝000000000，
[ - 0]原＝100000000。
(3) 8位原码的数值范围为：[+127]原＝01111111,
[-127]原＝11111111。
(4) 原码表示与增值转换方便，但两异号相加要做减法。
?为了把减法运算转换为加法运算，提出了反码和补码。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、反码表示
?反码的表示：正数的反码符号位为0，尾数用数值表示（与原相同）；负数的反码为正数值连同符号位按位取反。
?反码的定义：[X]反＝X 0<=X<1
(2-2
-n
)+x -1<X<=0
?例：X=+0.1011,[X]反＝0.1011
X=-0.1011,[X]反=10100
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?反码的特性：
(1) 反码的最高位为符号位，0为正，1为负，机器数与真值的关系：[X]
反
＝((2－2
-n
)+X) MOD(2-2
-n
)；
(2) 数的反码有正负零之分，+0=00000000,-0=11111111；
(3) 8位反码的数值范围为，[+127]=01111111,[-127]=11111111；
(4) 反码加运算，若最高位有进位，必须把该进位值加到结果的最低位，即“循环进位”。
?例，[X]反＝0.11011,[Y]反=1.01010,[X+Y]反＝？
0.11011
+ 1.01010
(1)0.00101
+ 1
0.00110
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
3、补码的表示
?补码的表示：正数的补码与原码相同，即符号位用0表示，尾用数值表示，负数的补码为数的反码，且在最低为加1，即取反加1。
?补码的定义,[X]补＝X 0<=X<1
2+X -1<=X<=0 MOD 2
?例：X=+0.1011,[X]补＝01011；
X=-0.1011，[X]补＝10101。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?补码的特性：
(1) 补码的最高位为符号位，0为正，1为负，机器数与真值的关系：[X]补＝2符号位＋X；
(2) 数的补码表示中无正负之分，[+0]补=[-0]补=00000000；
(3) 两个数的补码相加时，结果不超过机器能表示的范围，可以把符号位与数位同等处理，即机器数的符号位与数值位都是正确的补码表示。即：
[X+Y]补=[X]补+[Y]补(mod 2)
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?模与互补的概念：
?例如，校正时间的方法：标准时间是6点钟，非标准时间是10
点钟；有两种校正方法：
10－4＝6倒拨
10＋8＝6顺拨
10－4＝10＋8 (mod 12)；称12为模数，(+8)与(-4)对模12互为余数，或称同余。
?同理，在8位二进制中任一负数(-X) 的补码都可以由2
8
-X 来得到。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，64－10＝64+(-10)=64+[2
8
-10]=64+[256-10]
=64+246=54
01000000 64 01000000 64
－00001010 -10 +11110110 +246
00110110 54 (1)00110110 54
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算二、加减法运算的溢出处理
?由于机器码的位数通常是给定的（如16位字长，32位字长），
因此，数的表示范围是有限的，若两数进行加减运算的结果超出给定的取值范围，就会产生溢出。
?例，X=+0.1011,Y=+0.1001,X+Y=?
[X]补0.1011
+ [Y]补0.1001
1.0100
?此时，两个正数相加的结果成为负数，显然是错误的。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?又如，X=－0.1101,Y=－0.1011,X+Y=?
[X]补1.0011
+ [Y]补1.0101
0.1000
?两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
?为判断溢出是否产生，可以采用两种检测方法。
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
1、变形码操作检测
?方法：每个操作数在运算时都采用两个符号位，正数用00表示
，负数用11表示，两个符号位与码值一起参加运算；若运算结果的两个符号位的代码不一致时表示溢出，两个符号位代码一致时，没有溢出。
?这种变形的补码表示，又称模4补码表示方法，其定义为：
[X]＝X 0<=X<1
4+X -1<=X<0
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3.2
3.2
带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，X=+0.1011,Y=+0.1101，用模4补码运算判断x+y是否溢出
[X]补00.1011
+ [Y]补00.1101
01.1000
符号位代码01，表示正溢出，表明运算结果是大于允许取值范围的正数。
?又如，X=-0.1011,Y=-0.1100，用模4补码运算判断x+y是否溢出？
[X]补11.0101
+ [Y]补11.0100
10.1001
符号位代码10，表示负溢出，表明运算结果是负数，其绝对值大于允许取值范围。
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3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、单符号位操作检测
?方法：当运算结果的符号位与操作数的符号位不一致时，表示溢出；当加数和被加数符号位不同时，相加的结果绝对不会溢出。
?例，X=+0.1001,Y=+0.1110,用模2补码运算判断x+y是否溢出？
[X]补0.1001
+ [Y]补0.1110
1.0111
运算结果产生溢出。
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算三、定点数和浮点数
1、定点小数
?表示方法：小数点固定在最高数值位与符号位之间，小数点不用明确表示出来。任何一个小数都可以被写成：
N=Ns.N-1N-2……N-m
其中，符号位用0表示正号，用1表示负号，后面m位表示该小数的数值。定点小数的值的范围很小，对用m+1个二进制位表示的小数，其值的范围|N|<=1-2
-m
，即小于1的纯小数。
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
2、定点整数
?表示方法：小数点固定在数值最低位右边的一种数据，最小的数为1。具有带符号和不带符号的两类。
?带符号的整数：N=NsNnNn-1…..N2N1N0
对于n+1位二进制整数，其值范围为|N|<=2
n
-1
?不带符号的整数：N=NnNn-1…..N2N1N0
对于n+1为的二进制整数，其值范围为0<=N<=2
n+1
-1
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
3、浮点数
?表示方法：任意一个二进制数通过移动小数点的位置表示成阶码和尾数两部分，类似科学计算法。
N=2
E
×S
其中，E为N的阶码，有符号的整数；S为N的尾数，数值的有效部分，一般取二进制定点纯小数形式。
?例，1011101B= 2
+7
×0.1011101
101.1101B= 2
+3
×0.1011101
0.01011101B= 2
-1
×0.1011101
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数的一般格式：
E0 E1…En S0 S1….Sm
阶符阶码尾符尾数或者为：M0 E M
尾符阶码尾数
?例，－101.1101=－2
+3
×0.1011101
=－0.1011101 ×2
+3
其浮点数形式为：0011 11011101
阶码尾数计算机学院(XBXU)
3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数的规格化：
浮点数运算后必须化成规格化形式。
? (1) 对于原码尾数来说，应该使最高数字位S1=1，如果不是全1，且尾数不是全0时就要移动尾数直到S1=1，阶码相应变化，保证N值不变。
? (2) 如果尾数是补码，当N是正数时S1必须是全1，N是负数时S1必须是0才错误规格化形式。
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3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?浮点数表示的优点：
(1) 浮点数表示的范围比定点数大；
(2) 运算过程中随时对中间结果的浮点数规格化，不易丢失有效数字。
? IEEE 754标准的浮点数格式：
符号位阶码尾数总位数短浮点数1 8 23 32
长浮点数1 11 52 64
临时浮点数1 15 64 80
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?移码的概念：
若纯整数x为n+1位(其中包括符号位)，则其移码的定义为：
[x]
移
=2
n
＋x －2
n
≤x≤2
n
－1
[x]
补
=因为：x 0≤x<2
n
2
n+1
＋x －2
n
≤x < 0
所以：当0≤x < 2
n
时：[x]
移
= [x]
补
＋2
n
－2
n
≤x <0 时：[x]
移
= 2
n
＋[x]
补
－2
n+1
=[x]
补
－2
n
?因此：把[x]
补的符号位取反即得[x]
移
。
?见P71 例3.30
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3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?移码的特点：
(1) 最高位为符号位，1表示正，0表示负。
(2) 零的移码是唯一的，即：[＋0]
补
=[－0]
补
=10...0。
(3) 用移码表示便于比较数的大小，移码大真值就大，移码小真值就小。
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3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算四、定点加减法实现方案
?二进制加法是实现算术运算的基础，采用补码方案时，加减法可以用统一的方式处理。实际上乘除法也可以通过加运算和移位相结合的方案来实现。因此运算器的核心也就是加法器的设计。
1、补码加减法运算
?法则1：[X]补+[Y]补＝[X+Y]补两补码数相加，符号位与码值一起参加运算，符号位相加后如果有进位，则该位数字舍弃。
下面分四种情况来证明补码加法公式：
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3.2
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?证明条件是：|X|<1,|Y|<1,|X+Y|<1。
? (1) X>0,Y>0，则X+Y>0；
两正数相加，和一定是正数，与原码相同。
根据补码的定义可得此结论。
[X]补＝X 0<=X<1
2+X -1<=X<=0 MOD 2
所以，[X]补+[Y]补=X+Y
=[X+Y]补(MOD 2)
?例，X=+0.1001,Y=+0.0101,X+Y=?
[X]补01001
+ [Y]补00101
01110
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? (2) X>0,Y<0，则X+Y>0或X+Y<0;
相加两数一正一负，和有正负两种可能。
根据补码的定义可得：
[X]补=X,[Y]补＝2+Y
所以，[X]补+[Y]补=X+2+Y=2+(X+Y)
当X+Y>0时，2+(X+Y)>2,进位2必丢失，又因为(X+Y)>0，
所以[X]补+[Y]补=X+Y=[X+Y]补(MOD 2)
当X+Y<0时，2+(X+Y)<2，又因为(X+Y)<0，
所以[X]补+[Y]补=2+(X+Y)=[X+Y]补(MOD 2)
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，X=+0.1011,Y=-0.0101,X+Y=?
[X]补=0.1011，[Y]补=1.1011
[X]补0.1011
+ [Y]补1.1011
(1) 0.0110
所以，X+Y=0.0110
? (3) X<0,Y>0，则X+Y>0或X+Y<0;
同(2)情况一样。
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? (4) X<0,Y<0，则X+Y<0;
两相加得数都是负数，则其和也一定是负数。
根据补码的定义可得：
[X]补+[Y]补=2+X+2+Y=2+(2+X+Y)
(X+Y)为负数，而其绝对值小于1，那么(2+X+Y)就一定是小于2大于1得数，进位“2”丢失。
又因为(X+Y)<0
所以，[X]补+[Y]补=2+(X+Y)=[X+Y]补(MOD 2)
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
?例，[X]补＝1.0111,[Y]补＝1.1011
[X]补1.0111
+[Y]补1.1011
(1)1.0010
所以，X+Y=－0.1110
由此可进一步推理出：
?法则2：[X-Y]补=[X+(-Y)]补＝[X]补+[-Y]补(MOD 2)
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
? 2、补码定点加减法得实现
? P66图3.1 为实现加法的逻辑图
?①实现加法时应提供以下控制信号：
A→ALU，B→ALU，+，ALU→A
?②实现减法时应提供以下控制信号：
A→ALU，B→ALU，ALU+1，+，ALU→A
?注意：B中是y的补码，－[y]
补
= [－y]
补
= [[y]
补
]
补；而[[y]
补
]
补是将
[y]
补连同符号位一起求反加1。
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带符号数的表示及加减运算带符号数的表示及加减运算
