1
第四章 一阶电路与二阶电路
4.2 一阶电路的阶跃响应
4.4 一阶电路对阶跃激励全响应
4.5 二阶电路的冲激响应
4.1 一阶电路的零输入响应
4.3 一阶电路的冲激响应
2
学 习 目 标
? 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响
应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算
方法 。
? 理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。
? 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的
三要素分析法。
? 了解二阶电路的冲击响应。
3
4.1 一阶电路的零输入响应 一阶电路就是只含有一个等效动态元件
一,RC电路的零输入响应 S1(t=0)
+
-
U0 uC(t)
i(t）
+
-
S2(t=0)
R
C
右图,t=0时换路，求 uc(t) t≥0
物理过程分析 ……
1.电路方程和初始条件：
0)()( ?? tudt tduRC cc 0)0()0( Uuu cc ?? ??
2.解方程：
特征方程,01 ??R C S 特征根,RCS 1??
通解,0)( ??? ? tAeAetu RCtstc 代入初始条件可得 0UA?
所以：
0)()( 0 ???? ? teRUdt tduCti RC
t
c
0)( 0 ?? ? teUtu RCtc
4
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
从图可见，电容电压从初始值 U0开始按指数规律衰减到 0，
电流在换路瞬间有 1个跳变，从 i(0-)=0跳变到 i(0+)=U0/R,
然后按指数规律衰减到 0。
R
U0
R
U0
0U
3.解的物理含义,uc及 i的波形
54.时间常数：
换路之后，电路中各电压、电流量都是从各自的初始值开
始按照指数规律衰减到 0，那么衰减速率与什么有关？
a,电容 C越大，电容中存储的电荷越多，放电的时间越长
b,电阻 R越大，放电电流越小，放电时间越长。
所以各个电量衰减速率与 R和 C的乘积即 有关。RC??
越小，衰减速率越快，反之，则慢。 U0只是影响瞬时值，
而不影响衰减速率。
?
令 τ=RC,它具
有时间的量纲，即 ? ? ? ? ? ?秒秒库仑 库仑伏特库仑安培伏特 ???????????????? /.RC?
故称 τ为时间常数 ?
t
CC euu
?
?? )0(
t≥0
?
t
eii
?
?? )0(
t≥0
6
?
t
CC euu
?
?? )0(
t≥0
01000 3 6 8.0)( UeUeUeUtu
t
RC
t
c ???? ?
?? ?
当 时：??t
即每过时间,电容上的电压就降为初始值的 0.368，这样
一般认为经过 动态过程就结束了，此时电压降为
初始值的,可见,RC电路的零输入
响应就是电容电压从非 0初始值按指数规律衰减到零的过程。
?
?? 53 ?
00 0 0 6 8.005.0 UU ?
7
二,RL电路的零输入响应
右图 t=0时换路求 iL(t) t≥0 S1(t=0) +
-
IS=I0
uL(t)
iL(t） R
1.电路方程和初始条件
0)()( ?? tRidt tdiL LL
2.解方程
0)0()0( Iii LL ?? ??
特征方程,0?? RLS LRS ??
0)( ??? ? tAeAeti LRtstL
特征根：
通解,代入初始条件可得 0IA?
0)()()( 0 ?????? ? ttRieRIdt tdiLtu LLRtLL
0)( 0 ?? ? teIti LRtL
8
图 3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
从图可见，电感电流从初始值 I0开始按指数规律衰减到 0
电感电压在换路瞬间有 1个跳变，从 uL(0-)=0跳变到
uL(0+)=-I0R,然后按指数规律衰减到 0。
0I
3.解的物理含义,iL及 u的波形
94.时间常数
a.电感 L越大，电感中存储的磁能越多，放电的时间越长
b.电阻 R越小，电阻上消耗的热能越小，放电时间越长。
R
L??
RC电路：
RL电路,RL??
RC?? R多数情况下是等效电阻。
10
例 1：求换路后的零输入响应 i(t)和 u0(t)：
S1(t=0) + -
200V
uC(t)
i(t）
+
-
600.02uF
40
60
20
80
+
-
u0(t)
换路前为直流电路，电容开路分析：
Vuu cc 1 2 0604060 2 0 0)0()0( ??????? ???? ??
换路后电容两端看进去的等效电阻
? ? ???? 1 0 028060eqR
时间常数 ? ? sCR eq ??????? ? 21002.01 0 0 6
-
+ -uC(0)
i(0）
600.02uF60
20
80
+
u0(0)由下图 Ai 2.1100120)0( ???
Vu 36602 2.1)0( ???????? ????
零输入响应,02.1)( 6105.0 ?? ?? tAeti t
036)( 6105.00 ??? ?? tAetu t
11
例 2：,求 Ai 2)0( ?? 0)( ?ttu
i(t)R=1
L=4H
R=3
0.5U
U(t)
I1分析：
1.先求等效电阻 Req:
I1=I+0.5u
由 KVL得,U=3*I+[0.5u+I] *1
→0.5U=4I →R eq=U/I=8
2.求 ? 5.0
8
4 ???
R
L?
3.求 i(t),ttt eeieiti 22)0()0()( ????? ??? ??
4.求 u(t) tedt tdiLtu 216)()( ????
124.2 一阶电路的零状态响应,阶跃响应
4.2.1 单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应
uc(t)R
ic(t)
C
+
_
＋
－ )(t?
iR(t)
图示一阶 RC电路，电容处于零状态，
求电路中的响应。
物理过程分析：
理论求解：
1.列方程,)()()( ttiti Rc ???
)()(1)( ttuRdt tduC cc ???
当 t>0时，方程为：
CtuRCdt
tdu
cc
1)(1)( ??
VU c 0)0( ??
13
2.解方程：
a.求齐次方程 的通解。 0)(1)( ?? tuRCdt tdu cc
tRC
ct Aetu
1)( ??通解为：
b.求特解，特解与输入的形式有关，
设,并代入到原方程中可得：Ktucf ?)( RK?
所以特解为,Rtucf ?)(
)()1()( 1 teRtu tRCc ????
RAetututu tRCcfctc ???? ? 1)()()(所以
VU c 0)0( ??代入初始条件 RA ??得
所以电容电压的阶跃响应就是电压从 0初始状态按
指数规律增加到稳态值的过程。
14
3.电路中其他电量的求解：
a,电阻电流,)()1()()( 1 teR tuti tRCcR ?????
b.电容电流,)()()()( 1 tetitti tRCRc ?? ????
4.波形：
)(tuc
)(tuc Rtu
cf ?)(
)(tuct
0 t
)()( titi Rc
1)0( ??ci
0 t
0)0( ??ci
5.以上讨论是针对 RC电路的，对于 RL电路同样适用，
它们是对偶关系。
6.比例性、叠加性。多个电源作用：叠加原理；戴维宁。
15
例 1,图示电路，
求,和
HLRRR 1,6,8,8 321 ???????
)(2 ti )(tuL
i2(t)R2
L
R3
)(t?
R1i1(t)
)(tuL分析,1.先求从 L看进去的等效电阻 Req:
?????? 1068//8// 321 RRRR eq
2.求开路电压 uoc(t),)(5.088 8)()( tttu oc ??????
3.原电路等效为右图, Req
i2(t)
L
)(5.0 t? )(tuL4.直接按规律求 i2(t):
sRLti eq 1.0/),(05.0)(2 ??????
)()1(05.0)()1(05.0)( 102 teteti tt ?????? ???
零状
态响
应
)()05.005.0()(5.0)( 10102 tetedtdiLtu ttL ?????? ??
0?t 0)( ?t? 0?t 0)05.005.0( 0 ?? e Vtetu tL )(5)( 10 ?? ?
16
i(t)
1mA4K 6K
1v Uc(t)
例 2：图示电路，已知电容初始电压为零，各电源均于 t=0时作
用于电路，求 i(t),电容大小为 。F?2
分析：
电容初始电压为零，为零状态响应。
电容电压为从零上升到新稳态值的
过程。
1.叠加原理求电容电压新稳态值：
电流源单独作用下,2.4v
电压源单独作用下,0.6v
故,vUc 3)( ??
s
kR eq
336 108.4104.2102
4.26//4
?? ????????
???
vetUc t )1(3)( ?????
2.化为戴维南等效
电路，如上例
求 i(t),利用 KCL,KVL
6
)(1)()( tu
dt
tducti cc ???
17例 3：图示电路，电感原未储能,t=0时开关闭合，求
时的 iL(t)。
ot?
i(t)
iL(t)
1
5
1.2
4
10H
18v
分析,属于零状态响应。 a
b
Uabo=18-1.2*18/7.2=15V
Rab=4+(6//1.2)=5
sLG a b 2????
AetiAi tLL )1(3)(3)( 5.0??????
Vedt tdiLtU tLL 5.015)()( ???
)(5.02
)
2.1
18)()(4()()(
5.0 Ae
tUtititi
t
LL
L
???
?????
18
例 4：求图 (a)电路的阶跃响应 uC
先将电路 ab左端的部分用戴维南定
理化简，由图 (a)可得
分析：
)(243 111 tuuuU oc ?????
将 ab端短路，设短路电流为
ISC（ 从 a流向 b）
∵ 3u1+u1=0 ∴ u1=0
AtI sc 11/)( ????
???? 2/0 scoc IUR
)()1(2)1()( teeUtU ttocc ?????? ????
)(102 60 sCR ?????
194.2.2 延时单位阶跃函数激励下的零状态响应
线性电路的非时变性：电路的参数不随时间而变化的电
路，其输出响应的波形与激励施加于电路的时间无关，
仅仅只是延时而已。
)(t?
0 t
t0
)(tr
)()( 0 ttt ?? ??
)( 0tt??
0 t
t0
)( 0ttr ?
0t
)()1()()( 1 teRtut tRCc ?? ???? )()1()()( 000 0 tteRttutt RC
tt
c ??????
?? ??
电路的非时变性可以应用于求解分段常量信号作用
下的一阶电路的零状态响应。
20
例如：电路的激励源是一个矩形
脉冲，求：零状态响应。 R
ic(t)
C
+
_uc(t)
＋
－
)(t?
iR(t)
0 2 t
5
分析,矩形脉冲可以表示为：
)2(5)(5)( ??? ttti ??
此电路的单位阶跃响应为：
)()1()( 1 teRtu tRCc ????
由齐次性,)()1(5)()(5 11 teRtut tRCc ????? ?
由非时变性,)2()1(5)()2(5 22 ????????? ?? teRtut RCtc
由叠加性,)2()1(5)()1(5)()()( 221 ????????? ??? teRteRtututu RCtRC tccc
21例：图示方框为线性无源网络，当在端口 11‘ 加一单位
阶跃电压，而 22’ 开路时，,在 22‘ 加一单位
阶跃电流源，而端口 11’ 短路时,现将
11‘ 加电压源 us(t),22’加电流源 is(t),波形如下，求
)()1(5)( 10 tetu tc ????
)()1(2)( 10 tetu tc ?????
)(tuc
1
1?
2
2?N
)(tus
V3
t0 1 5.3
)(tis
A2
t0 5.2 5.3
分析 )5.3(3)1(3)( ???? tttu s ??
)5.3(2)5.2(2)( ???? ttti s ??
对应于 us(t)的响应分量：
)5.3()1(15)1()1(15)( )5.3(10)1(101 ???????? ???? tetetu ttc
对应于 is(t) 的响应分量：
)5.3()1(4)5.2()1(4)( )5.3(10)5.2(102 ????????? ???? tetetu ttc
)()()( 21 tututu ccc ???
224.3 一阶电路的零状态响应 → 冲激响应
4.3.1 RC电路的冲激响应
一阶 RC电路，电容处于零状态，
求电路中的响应。
分析
A,当 t<0时，,电流源相当于开路，,0)( ?? t 0)0( ??cu
B,当 t=0时,作用,0状态电容相当于短路,通过电容支
路对电容充电，电容电压发生跳变：
)(t? )(t?
CdttCu c
1)(1)0( 0
0 ?? ??
?
?? ? ???? ??? ????? 0000
1)(1])()([1)0(
CdttCdtR
tut
Cu cc
C,当 t>0时，,单位冲激电流源相当于开路，已经充电的
电容通过电阻放电，所以电路的响应相应地变为零输入响应。
0)( ?? t
RC
t
c eCtU
?? 1)(
ic(t)
R C
+
_uc(t))(t?
iR(t)
23综合 A,B,C三个过程，可得零状态条件下，电容电压的
冲激响应为：
)(1)( teCtU RCtc ?? ??
可见：冲击函数作用下，电容瞬间获得非零的初始状态，
然后由该初始状态产生零输入响应。
)(1)()()()( teRCtR tutti RC tcc ???? ????? ?
)(1)()](1[)()( teRCteteCdtdCdt tduCti RC tRC tRC tcc ???? ?????? ???
??
?
?
????
00
0)()(
t
ttte RCt ???
)(1)()( teRCtti RCtc ??? ???? ?
t0
)(tuc
Cuc
1)0( ?
?
0)0( ??cu
t0
)(tic
0)0( ??ci
RC
1? )(1 1 teRC RC ??? ?
)1(
ic(t)
R C
+
_uc(t))(t?
iR(t)
24
6
ic(t)
0.1F
+
_uc(t)
＋
－
)(3 t?
iR(t)
3例 1：求图示电路中的 uc(t)：
分析：
当 t<0时,,0)( ?? t 0)0( ??cu
当 t=0时,零状态电容相当于短路，
电容的充电电流为,)(3/)(3 tt ???
电容在 t=0+时刻的电压为,VdttCu c 101.0 1)(1)0( 00 ?? ??? ???
当 t>0时,冲击函数为零，冲击电压源相当于短路：
??? 26//3eqR sRC 2.01.02 ????? tc etu 510)( ??
)(10)( 5 tetu tc ??? ?
25
8k
uc(t)
si
20k
12k5uF
ic(t)
例 2：图示电容原未充电，
求 uc(t)和 ic(t)。
mAtis )(??
分析,当 t<0时,,0)( ?? t 0)0( ??cu
当 t=0时,零状态电容相当于短路，
此时电流通过下面两个并联电阻而不经过上面的电
阻，则流过 12K电阻的电流为,)(4.0
812
8)( t
kk
kt ??
???
VdttCu c ? ?
?
??? ? 00 80)(4.01)0( ?
当 t>0时,电流源开路，电容放电。
s
KKKCR eq
05.0
105)]128//(20[ 6
?
??????? ?
tc etu 2080)( ??
)(80)( 20 tetu tc ????
mAetdt tduCtti ttcc 200 8)(52)()(52)( ?? ???? ??
26
4.3.2 RL电路的冲激响应：与 RC电路的对偶关系
当 t<0时，,0)( ?? t 0)0( ??i
当 t=0时,零状态电感相当于开
路,电感上的电压为冲激电压 )(t?
则 t=0+时刻电感电流为：
LdttLi
1)(1)0( 0
0 ?? ??
?
??
当 t>0时,tLRLR e
Leiti
??
? ??
1)0()(
)(1)( teLti tLR ??? ?
)]()(1[)()( teLRteLLdt tdiLtu tLRtLR ?? ?? ??? ?
?
?
?
?
??
?
??
?
0)(1
00
)(1
tt
L
t
te
L
t
L
R
?
)()()]()(1[)()( teLRtteLRteLLdt tdiLtu tLRtLRtLR ?????????? ???
+
-
uL(t)
i(t） R
)(t?
+
-
27
2
iL(t)
1H
+
_uL(t))(t?
iR(t)
1例：求图示电路的冲激响应 uL(t)和 iL(t)：
分析：
0)( ?? t当 t<0时，, 0)0( ??Li
当 t=0时，零状态电感相当于开路，
此时电流通过两个串联电阻而不
经过电感，电感上的电压为,)(2 t?
由此电压产生的电流为,? ??? ?
??
0
0 2)(2
1)0( Adtt
Li L
当 t>0时，冲击电流源断开，
sRLR eqeq 5.0,2 ?????
tL eti 22)( ??
)(2)( 2 teti tL ??? ?
)](4)(2[)()( 2 tetdt tdiLtu tLL ????? ?
284.3.3 冲激响应与阶跃响应的关系
N)(t? )(tg N)(t? )(th
dt
tdt )()( ??? ? ?????
??t tdtt )()(
dt
tdgth )()( ? tdthtg t ?? ??
?? )()(
设电路的冲激响应为 h(t),电路的阶跃响应为 g(t)，
由于冲激函数和阶跃函数的关系为：
由此可以推想一个电路的冲激响应 h(t)和阶跃响应 g(t)是否
也存在如下的关系：
29
证明：设一个矩形脉冲激励 p(t)，
作用于一个线性电路上，电路原
来处于零状态，设电路的阶跃
响应为 g(t),由于 p(t)可以表示为,t0 ?
?1
)(tp
)]()([1)( ??????? tttp
根据线性电路的齐次性、可加性、非时变性，在 p(t)作用下
电路的零状态响应为,)]()([1 ???? tgtg
由上图可见，当 时，有 这个脉冲激励 p(t)
作用于电路产生的零状态响应为：
0?? )()(lim
0 ttp ?? ??
)()()()(l i m)]()([1l i m 00 thdt tdgtgtgtgtg ??? ???????? ????
即：一个线性电路的冲激响应是该电路阶跃响应的导数，
反之阶跃响应是冲激响应的积分。
30冲激响应和阶跃响应之间存在积分和微分的关系，所以：
1、一阶电路冲激响应可由已知的阶跃响应对时间求导得到。
2、一阶电路阶跃响应可由已知的冲激响应对时间积分得到。
R
L
+
_uL(t))(t?
iR(t)
)(ti?例如右图：求冲激响应 )(ti
?
容易知道其阶跃响应为：
)()1()( teti tLR ??? ??
)()()()()()( teLRteteLRtdt tditi tLRtLRtLR ?????????? ?????
若直接求 0)( ?? t当 t<0时,0)0( ??Li
当 t=0时，零状态电感相当于开路 ? ??? ???? 00 )(1)0( LRdttRLi
当 t>0时，,0)( ?? t tLReLRti ?? ?)(
)()( teLRti tLR ?? ??
由此可见：两种方法求得的
冲激响应相同。
314.4 一阶电路对阶跃激励的全响应
含义,由电路的初始状态和外加激励共同作用而产
生的响应，叫全响应。
如图所示，设 uC =uC(0-)=U0,S在 t=0时闭合，
显然电路中的响应属于全响应。
32
4.4.1 阶跃激励全响应的求解
_R
ic(t)
C
+
uc(t)sI
iR(t)
S(t=0)
右图电容初始电压 求 uc(t)0)0( Uuc ??
对 t≥0的电路，以 uC为求解变量可
列出描述电路的微分方程为,
sc
c ItuRdt tduC ?? )(1)( 0)0()0( Uuu cc ?? ??
将上式与描述零状态电路的方程式比较，仅只有初始
条件不同，因此其解必具有类似的形式：
s
tRC
cfctc RIKetututu ????
? 1)()()(
代入初始条件可得,ss RIUKURIK ????? 00
所以全响应,s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
RC
t
s
RC
t
Rsc eIeR
UtiIti ?? ????? 0)()(
33分析电容电压全响应：
s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
1、当 IS=0时，即为 RC零输入电路的微分方程。
2、当 U0=0时，即为 RC零状态电路的微分方程。这一结果表
明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。
上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。
s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
自由响应 稳态响应
)1(
)()(
11
0
1
0
t
RC
s
t
RC
s
t
RC
sc
eRIeU
RIeRIUtu
??
?
???
???
零输入响应 零状态响应
线性动态电路的叠加定理
34
电容电压：
)1()()( 010 RC tsRC tstRCsc eRIeURIeRIUtu ??? ??????
)(tuc
0
sRI
0U
)(tuc
0状态响应
0输入响应
)(tuc
0 t
sRI
0U
)(tuc
)(tuct
scf RItu ?)(
sRIU ?0
35例：已知 u
c(0-)=80V,求 uc(t),t>0。
xiu 2??
xcxxc iiiii 6.04.0 ????
iiu 310)6.0(2 ?????
分析：
先求从电容两端看进去的等效电阻
_
+2
ic(t)
4uF
+
uc(t)
XI
+ _)(20 t?
_U XI4.0
)(10
3
4
3/10
5 sCR
R
eq
eq
???????
???
零输入响应,tc etU 4105.71 80)( ???
零状态响应,)1(20)( 4105.72 tc etU ?????
0,10020)()()( 4105.721 ??????? ?? tetUtUtU tccc
364.4.2 阶跃激励全响应的三要素法
UKetU tc ?? ??)(
0)0(,)( UUKUUU cc ?????
)()0()0(),( ??????? cccc UUUUKUU
???????
t
cccc eUUUtU )]()0([)()(
??????? teffftf )]()0([)()(
稳态值 初始值 时间常数
三要素
37
???????
t
cccc eUUUtU )]()0([)()(
skk kskk kc IHUKtUKtf ?????
?
?
?
? 110
)()(
skk kskk k
t
ccc IHUKeUKUKUK ?????????
?
?
?
?
??
11000
)]()0([)(
skk kskk kc IHUKUK ??????
?
?
?
? 110
)(
])0({[
110 ?
???? ?
?
?
? k skkk skkc
IHUKUK
]})([
110 ?
????? ?
?
?
? k skkk skkc
IHUKUK ??te
??????? tefff )]()0([)(
38
用三要素法求解直流电源作用下一阶电路响应的步骤如下：
一,确定初始值 f (0+)
在换路前的稳态电路中确定原始状态
由换路定则确定初始状态
在 t=0+等效电路中求 f(0+)
二, 确定稳态值 )(?f
在换路后的稳态电路中求。
C,开路； L,短路
三, 确定时间常数 ?
在自然响应的等效电路中求。
从 C或 L处看进去求等效电阻。
最后写响应的
表达式
39例 1：图示电路，换路前电路已稳定，求换路后的
和 。
分析：
用三要
素法。
1.开关闭合前 t=0-时电感的电流,
AiL 2.1)0( ??
由换路定则,Aii LL 2.1)0()0( ?? ??
画 t=0+时刻的等效电路，
)(ti )(tiL HLRRR 3,1,2,1 321 ???????
Aii 2.0)0(,32.12)0(3 ??????? ??
iL(t)
R2
L
R3
V3
R1
V3
a b
i1(t)
+
-3v
R1
R2
R3
1.2A
i(0+)
2.画换路后的稳态电路
AiL 2.1)( ???
Aii 8.1)(3)2.1(2)(3 ??????????
-
+3v
R1
R2
R3i( )?
iL( )?
3.求时间常数,s
R
L
eq
8.112//1 3 ?????
4.求响应：
Aeti tL 954.22.1)( ???? Aeti t956.18.1)( ????
40例 2,图示电路，
求换路后的 。
0)0(,10)0(,5,3,2 2121 ?????? ?? cc uVuRFCFC
)()( 22 titu C 和
RC2C1
iR(t)
S(t=0)
i1(t)
i2(t)
uC1(t) uC2(t)
分析：
A
换路后，由 KVL,必须有：
)0()0()0( 21 ??? ?? CCC uuu
节点 A处电量不能突变，否则,……
)0()()0()0()0()0( 2122112211 ????? ????? CCCCC uCCuCuCuCuC
VCC uCuCuu CCCC 45 0102)0()0()0()0(
21
2211
2 ?
???
?
???? ??
??
（一）
（二） 电容电压的稳态值 0)(2 ??cu
（三） 电路的时间常数 sCCRRC 25)(
21 ?????
Vtetu tC )(4)( 252 ?? ? Atte
Atete
dt
tdu
Cti
t
tt
C
C
)](12)(
25
12
[
)](43)()
25
1
(43[
)(
)(
25
25252
22
?????
????????
?
??
41例 3：图示电路中，Ｎ内部只含电源及电阻，若１Ｖ的电压源于
t=0时作用于电路，输出端所得的零状态响应为
，若把电路中的电容换为２Ｈ的
电感，求输出端的零状态响应。
to etu 25.01 2 5.05.0)( ???
２Ｆ
Uo(t)1V
分析,当电路中是电容元件时，
????? 225.01 eqeq RCR?
?
t
ooo
t
o
euuu
etu
?
?
?????
??
)]()0([)(
1 2 5.05.0)( 25.0
6 2 5.0)0(,5.0)( ???? oo uu
当电路中换为电感元件时，
1' ?? LG eq? 6 2 5.0)(',5.0)0(' ??? oo uu
to etu ???? 1 2 5.06 2 5.0)('
424.5 二阶电路的冲激响应
R i(t)
C
+
_uc(t)
＋
－
)(t?
＋ －
)(tuR
＋ －
)(tuL
L
内容,RLC 串联电路对单位
冲激电压激励的零状态响应。
0)0(,0)0(0)(,0,????? ?? cuittA ?
B,t=0时，零状态电感相当于开路，冲
击函数加于电感两端，故有：
LdttLi
1)(1)0( 0
0 ?? ?
?
??
?
有限电流对电容充电，电容电压不突变,0)0()0( ?? ?? cc uu
C,t>0时，冲击电压源短路，电路由 产生零输入响应。Li 1)0( ??
t>0时，对
电路建立
微分方程：
0)()()(22 ??? tudt tduRCdt tudLC ccc
0)0( ??cu
LCuuCLdt
tduCi
cc
t
c 1)0()0(1)()0(
0
??????? ??
?
?
?
43
方程的特征方程是,LCs2 +RCs +1 =0
其特征根,LCLRLRLC LCRCRCs 1222 4)(
22
1 ???
??
?
????????
LCL
R
L
Rs 1
22
2
2 ???
??
?
????
LCL
R 1,
2 0 ?? ??若令：
2
0
2
2
2
0
2
1
???
???
????
????
s
s
则：
响应的具体形式与 s1,s2的取值情况有关：
一, 若,即, s1,s2为两个不相等负实数，且0??? CLR 2? 12 ss ?
tstsc eAeAtu 21 21)( ??
代入初始值可得：
44
)()()( 1)( 21
21
teessLCtu tstsc ????
)()()( 1)()( 21 21
21
tesesssLdt tduCti tstsc ?????电压变化规律：
A,比 衰减得快，因为tse2 tse1 12 ss ?
B,Uc(t)>0,电容电压只改变大小，不改变方向，
C,之间出现极值,????
? ~0,0)(,0)0( UcUc
12
2
1ln
,0)(
ss
s
s
t
dt
td U c
m ???
Uc(t)
ttm0
电流变化规律：
t=0时,iL(0)=1/L。 t=tm时,Uc(t)达到极值，
i(tm)=0； 时，
之间出现极值
??t 0)( ??i
?~0
mm ttdt
td i c 2',0)( ??
ic(t)
tt
m0
2tm
1/L
非振荡，
过阻尼
物理过程分析：
45
令,220 ??? ??d 则：
d
d
js
js
??
??
???
???
2
1
]s i nc o s[)( 21 tktketu ddtc ??? ?? ?
代入初始条件得：
)()s i n ()(
2
0 ttetu
d
t
d
c ???
? ???
0
0 a rc c os),()c os ()()(
?
?????
?
? ? d
d
t
d
c
c tteLdt
tduCti ???? ?
减幅的正弦函数
和减幅的余弦函数
振荡，
欠阻尼
二, 若,即, s1,s2为两个共轭复数。0?? ? CLR 2?
衰减系数
阻尼系数
阻尼振荡
角频率
R=0时，,此时为
等幅振荡，无阻尼振荡
0??
46
三, 若,即, s1,s2为两个相等的负实数。0?? ? CLR 2?
t
c etAAtu
ss
?
?
???
???
)()( 21
21
代入初始值得：
)()1(
1
)(
)()(
tte
L
ti
te
LC
t
tu
t
c
t
c
??
?
?
?
??
?
?
?
电压和电流都不小于 0。
非振荡，
临界阻尼
47
mAt)(?
k2
k1
k1
uF2
?
?)(tuc
例题：已知电路处于 0状态，求 uc(t)
分析,当 t<0时，,0)( ?t? 0)0( ??cu
当 t=0时,0状态电容相当于短路，
此时通过电容的电流为,)(
3
1 t?
在此冲击电流作用下，电容电压的跃变为：
VdttCu c ? ?
?
??? 00 167)(311)0( ?
当 t>0时,相当于开路，电路变为 RC电路的 0输入电路
sRC 3633 106102)102101( ?? ??????????
3106167)0()( ????
? ??
tt
cc eeutu ?
)(1 6 7)( 3106 tetu
t
c ?
?????
48
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
例题：电路为 0状态,N为纯
电阻网络，当 时，
，
求：当 时
的
)()412()( 2 tetu tR ????
)(4)(,5)0( ttuVu sc ????
)(),( tutu Rc
)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
分析,时是电路的 0状态响应，
待求的是电路的完全响应。
)(2)( ttu s ?? )()22()( 2 tetu tc ????
1、求当 时 Uc(t)的 0状态响应：)(4)( ttu s ??
)()44()( 2 tetu tc z s ????
2、求 时 Uc(t)的 0输入响应,Vuc 4)0( ??
)(5)( 2 tetu tc zi ???
3,Uc(t)的完全响应,)()()( tututu c z sc z ic ??
)()4(5)44()( 222 teeetu tttc ???? ?????
49
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
求 UR(t),用替代定理，将电容用
等于其电压的电压源替代，相当
于两个电源作用产生响应 UR(t)。
)()()( 21 tuktuktu csR ??
代入已知条件：
)()412()( 2 tetu tR ????)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
)22(2412 2212 tt ekke ?? ????
8
1,
8
7
21 ??? kk
)()
8
1
4(
)()4(
8
1
)(4
8
7
)(
8
1
)(
8
7
)(
2
2
te
tettututu
t
t
csR
?
??
?
?
??
???????
方法 1
50
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
求 UR(t),用替代定理，将电容用
等于其电压的电压源替代，相当
于两个电源作用产生响应 UR(t)。
)()()( 21 tuktuktu csR ??
代入已知条件：
)()412()( 2 tetu tR ????)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
)22(2412 2212 tt ekke ?? ???? 8
1,
8
7
21 ??? kk
)()
8
1
4(
)(5
8
1
2)()
4
1
2()(
2
22
te
tetetu
t
tt
R
?
??
?
??
??
??????
方法 2
UR(t)也等于零输入响应 +零状态响应
51
例题,t<0时电路处于稳态，求
解,1、求初始值
2,求稳态值
3、求时间常数：
)(tiL )0( ?ts
?
?V4 ?4
?6
?3
?1
)(tiL
?
?
V8? ?
)(ti
)(3ti
Ai L 213 8)0( ??????
AiL 2)0( ???
?
?V4 ?4
?6
?1
)(?Li
? ?
)(?i
)(3 ?i
Ai 144)( ???
0)(3)()16(4 ?????? ii L
Aii LL 1)(03)()16(4 ????????
?4
?6
?1? ?
)(ti
)(3ti
0)( ?ti
?? 7eqR sRL 2714 ????
H14
)()31(]12[1)( 22 teeti ttL ??? ??????
52习题：求图示电路中下列两种情况下的电容电流。
1) uc(0-)=6V,us(t)=0； 2) uc(0-)=0,us(t) 如图所示。
+
0.1F
+
_us(t)
ic(t)
4
2+
_0.6uc _uc
Us(t)/V
t/s0 1 2
5
分析：
1) uc(0-)=6V,us(t)=0时，属于零输入响应
4
6.0
2
UUUI ???首先伏安
法求电阻
sRIU eq 61,3535 ?????? ?
ttc
c
t
tc edt
ductieu 6)(6
)( 6.3)(,6
?? ????
2) uc(0-)=0V,us(t)如图时，属于零状态响应
先求 Us(t)=5V时电容的稳定电压：
2
)(
4
)(4.0 ???? cstc uUu Vu c 625)( ??
)2(]1[625)1(]1[625)( )2(6)1(6 ?????? ???? tetetu ttc ??
)()1(625)( 6 tetu tc ????
53例 3,图示电路，换路前电路工作很长时间，
求：求换路后 。 )()( 22 tuti LL 和
L2=2H
V60
10 iL1(t)
)(2 tuL
S(t=0)10
L2=1H
iL2(t)分析,（一） 换路前两个电感中的电流为：
Ai L 61060)0(1 ??? AiL 0)0(2 ??
换路后，由 KCL,必须有：
)0()0()0( 21 ??? ?? LLL iii
回路 1中磁链不能突变，否则,……
1
)0()()0()0()0()0( 2122112211 ????? ????? LLLLL iLLiLiLiLiL
ALL iLiLii LLLL 23 06)0()0()0()0(
21
2211
2 ?
??
?
???? ??
??
（二） 电感电流的稳态值：
AAi L 31010 60)(2 ????
（三） 电路的时间常数 s
R
L 15.0
1010
21 ?
?
????
Ateti tL )(])32(3[)( 15.02 ???? ? Vttedt tdiLtu
t
L
L )](4)(15.0
2[)()( 15.02
22 ?????
?
第四章 一阶电路与二阶电路
4.2 一阶电路的阶跃响应
4.4 一阶电路对阶跃激励全响应
4.5 二阶电路的冲激响应
4.1 一阶电路的零输入响应
4.3 一阶电路的冲激响应
2
学 习 目 标
? 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响
应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算
方法 。
? 理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。
? 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的
三要素分析法。
? 了解二阶电路的冲击响应。
3
4.1 一阶电路的零输入响应 一阶电路就是只含有一个等效动态元件
一,RC电路的零输入响应 S1(t=0)
+
-
U0 uC(t)
i(t）
+
-
S2(t=0)
R
C
右图,t=0时换路，求 uc(t) t≥0
物理过程分析 ……
1.电路方程和初始条件：
0)()( ?? tudt tduRC cc 0)0()0( Uuu cc ?? ??
2.解方程：
特征方程,01 ??R C S 特征根,RCS 1??
通解,0)( ??? ? tAeAetu RCtstc 代入初始条件可得 0UA?
所以：
0)()( 0 ???? ? teRUdt tduCti RC
t
c
0)( 0 ?? ? teUtu RCtc
4
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
从图可见，电容电压从初始值 U0开始按指数规律衰减到 0，
电流在换路瞬间有 1个跳变，从 i(0-)=0跳变到 i(0+)=U0/R,
然后按指数规律衰减到 0。
R
U0
R
U0
0U
3.解的物理含义,uc及 i的波形
54.时间常数：
换路之后，电路中各电压、电流量都是从各自的初始值开
始按照指数规律衰减到 0，那么衰减速率与什么有关？
a,电容 C越大，电容中存储的电荷越多，放电的时间越长
b,电阻 R越大，放电电流越小，放电时间越长。
所以各个电量衰减速率与 R和 C的乘积即 有关。RC??
越小，衰减速率越快，反之，则慢。 U0只是影响瞬时值，
而不影响衰减速率。
?
令 τ=RC,它具
有时间的量纲，即 ? ? ? ? ? ?秒秒库仑 库仑伏特库仑安培伏特 ???????????????? /.RC?
故称 τ为时间常数 ?
t
CC euu
?
?? )0(
t≥0
?
t
eii
?
?? )0(
t≥0
6
?
t
CC euu
?
?? )0(
t≥0
01000 3 6 8.0)( UeUeUeUtu
t
RC
t
c ???? ?
?? ?
当 时：??t
即每过时间,电容上的电压就降为初始值的 0.368，这样
一般认为经过 动态过程就结束了，此时电压降为
初始值的,可见,RC电路的零输入
响应就是电容电压从非 0初始值按指数规律衰减到零的过程。
?
?? 53 ?
00 0 0 6 8.005.0 UU ?
7
二,RL电路的零输入响应
右图 t=0时换路求 iL(t) t≥0 S1(t=0) +
-
IS=I0
uL(t)
iL(t） R
1.电路方程和初始条件
0)()( ?? tRidt tdiL LL
2.解方程
0)0()0( Iii LL ?? ??
特征方程,0?? RLS LRS ??
0)( ??? ? tAeAeti LRtstL
特征根：
通解,代入初始条件可得 0IA?
0)()()( 0 ?????? ? ttRieRIdt tdiLtu LLRtLL
0)( 0 ?? ? teIti LRtL
8
图 3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
从图可见，电感电流从初始值 I0开始按指数规律衰减到 0
电感电压在换路瞬间有 1个跳变，从 uL(0-)=0跳变到
uL(0+)=-I0R,然后按指数规律衰减到 0。
0I
3.解的物理含义,iL及 u的波形
94.时间常数
a.电感 L越大，电感中存储的磁能越多，放电的时间越长
b.电阻 R越小，电阻上消耗的热能越小，放电时间越长。
R
L??
RC电路：
RL电路,RL??
RC?? R多数情况下是等效电阻。
10
例 1：求换路后的零输入响应 i(t)和 u0(t)：
S1(t=0) + -
200V
uC(t)
i(t）
+
-
600.02uF
40
60
20
80
+
-
u0(t)
换路前为直流电路，电容开路分析：
Vuu cc 1 2 0604060 2 0 0)0()0( ??????? ???? ??
换路后电容两端看进去的等效电阻
? ? ???? 1 0 028060eqR
时间常数 ? ? sCR eq ??????? ? 21002.01 0 0 6
-
+ -uC(0)
i(0）
600.02uF60
20
80
+
u0(0)由下图 Ai 2.1100120)0( ???
Vu 36602 2.1)0( ???????? ????
零输入响应,02.1)( 6105.0 ?? ?? tAeti t
036)( 6105.00 ??? ?? tAetu t
11
例 2：,求 Ai 2)0( ?? 0)( ?ttu
i(t)R=1
L=4H
R=3
0.5U
U(t)
I1分析：
1.先求等效电阻 Req:
I1=I+0.5u
由 KVL得,U=3*I+[0.5u+I] *1
→0.5U=4I →R eq=U/I=8
2.求 ? 5.0
8
4 ???
R
L?
3.求 i(t),ttt eeieiti 22)0()0()( ????? ??? ??
4.求 u(t) tedt tdiLtu 216)()( ????
124.2 一阶电路的零状态响应,阶跃响应
4.2.1 单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应
uc(t)R
ic(t)
C
+
_
＋
－ )(t?
iR(t)
图示一阶 RC电路，电容处于零状态，
求电路中的响应。
物理过程分析：
理论求解：
1.列方程,)()()( ttiti Rc ???
)()(1)( ttuRdt tduC cc ???
当 t>0时，方程为：
CtuRCdt
tdu
cc
1)(1)( ??
VU c 0)0( ??
13
2.解方程：
a.求齐次方程 的通解。 0)(1)( ?? tuRCdt tdu cc
tRC
ct Aetu
1)( ??通解为：
b.求特解，特解与输入的形式有关，
设,并代入到原方程中可得：Ktucf ?)( RK?
所以特解为,Rtucf ?)(
)()1()( 1 teRtu tRCc ????
RAetututu tRCcfctc ???? ? 1)()()(所以
VU c 0)0( ??代入初始条件 RA ??得
所以电容电压的阶跃响应就是电压从 0初始状态按
指数规律增加到稳态值的过程。
14
3.电路中其他电量的求解：
a,电阻电流,)()1()()( 1 teR tuti tRCcR ?????
b.电容电流,)()()()( 1 tetitti tRCRc ?? ????
4.波形：
)(tuc
)(tuc Rtu
cf ?)(
)(tuct
0 t
)()( titi Rc
1)0( ??ci
0 t
0)0( ??ci
5.以上讨论是针对 RC电路的，对于 RL电路同样适用，
它们是对偶关系。
6.比例性、叠加性。多个电源作用：叠加原理；戴维宁。
15
例 1,图示电路，
求,和
HLRRR 1,6,8,8 321 ???????
)(2 ti )(tuL
i2(t)R2
L
R3
)(t?
R1i1(t)
)(tuL分析,1.先求从 L看进去的等效电阻 Req:
?????? 1068//8// 321 RRRR eq
2.求开路电压 uoc(t),)(5.088 8)()( tttu oc ??????
3.原电路等效为右图, Req
i2(t)
L
)(5.0 t? )(tuL4.直接按规律求 i2(t):
sRLti eq 1.0/),(05.0)(2 ??????
)()1(05.0)()1(05.0)( 102 teteti tt ?????? ???
零状
态响
应
)()05.005.0()(5.0)( 10102 tetedtdiLtu ttL ?????? ??
0?t 0)( ?t? 0?t 0)05.005.0( 0 ?? e Vtetu tL )(5)( 10 ?? ?
16
i(t)
1mA4K 6K
1v Uc(t)
例 2：图示电路，已知电容初始电压为零，各电源均于 t=0时作
用于电路，求 i(t),电容大小为 。F?2
分析：
电容初始电压为零，为零状态响应。
电容电压为从零上升到新稳态值的
过程。
1.叠加原理求电容电压新稳态值：
电流源单独作用下,2.4v
电压源单独作用下,0.6v
故,vUc 3)( ??
s
kR eq
336 108.4104.2102
4.26//4
?? ????????
???
vetUc t )1(3)( ?????
2.化为戴维南等效
电路，如上例
求 i(t),利用 KCL,KVL
6
)(1)()( tu
dt
tducti cc ???
17例 3：图示电路，电感原未储能,t=0时开关闭合，求
时的 iL(t)。
ot?
i(t)
iL(t)
1
5
1.2
4
10H
18v
分析,属于零状态响应。 a
b
Uabo=18-1.2*18/7.2=15V
Rab=4+(6//1.2)=5
sLG a b 2????
AetiAi tLL )1(3)(3)( 5.0??????
Vedt tdiLtU tLL 5.015)()( ???
)(5.02
)
2.1
18)()(4()()(
5.0 Ae
tUtititi
t
LL
L
???
?????
18
例 4：求图 (a)电路的阶跃响应 uC
先将电路 ab左端的部分用戴维南定
理化简，由图 (a)可得
分析：
)(243 111 tuuuU oc ?????
将 ab端短路，设短路电流为
ISC（ 从 a流向 b）
∵ 3u1+u1=0 ∴ u1=0
AtI sc 11/)( ????
???? 2/0 scoc IUR
)()1(2)1()( teeUtU ttocc ?????? ????
)(102 60 sCR ?????
194.2.2 延时单位阶跃函数激励下的零状态响应
线性电路的非时变性：电路的参数不随时间而变化的电
路，其输出响应的波形与激励施加于电路的时间无关，
仅仅只是延时而已。
)(t?
0 t
t0
)(tr
)()( 0 ttt ?? ??
)( 0tt??
0 t
t0
)( 0ttr ?
0t
)()1()()( 1 teRtut tRCc ?? ???? )()1()()( 000 0 tteRttutt RC
tt
c ??????
?? ??
电路的非时变性可以应用于求解分段常量信号作用
下的一阶电路的零状态响应。
20
例如：电路的激励源是一个矩形
脉冲，求：零状态响应。 R
ic(t)
C
+
_uc(t)
＋
－
)(t?
iR(t)
0 2 t
5
分析,矩形脉冲可以表示为：
)2(5)(5)( ??? ttti ??
此电路的单位阶跃响应为：
)()1()( 1 teRtu tRCc ????
由齐次性,)()1(5)()(5 11 teRtut tRCc ????? ?
由非时变性,)2()1(5)()2(5 22 ????????? ?? teRtut RCtc
由叠加性,)2()1(5)()1(5)()()( 221 ????????? ??? teRteRtututu RCtRC tccc
21例：图示方框为线性无源网络，当在端口 11‘ 加一单位
阶跃电压，而 22’ 开路时，,在 22‘ 加一单位
阶跃电流源，而端口 11’ 短路时,现将
11‘ 加电压源 us(t),22’加电流源 is(t),波形如下，求
)()1(5)( 10 tetu tc ????
)()1(2)( 10 tetu tc ?????
)(tuc
1
1?
2
2?N
)(tus
V3
t0 1 5.3
)(tis
A2
t0 5.2 5.3
分析 )5.3(3)1(3)( ???? tttu s ??
)5.3(2)5.2(2)( ???? ttti s ??
对应于 us(t)的响应分量：
)5.3()1(15)1()1(15)( )5.3(10)1(101 ???????? ???? tetetu ttc
对应于 is(t) 的响应分量：
)5.3()1(4)5.2()1(4)( )5.3(10)5.2(102 ????????? ???? tetetu ttc
)()()( 21 tututu ccc ???
224.3 一阶电路的零状态响应 → 冲激响应
4.3.1 RC电路的冲激响应
一阶 RC电路，电容处于零状态，
求电路中的响应。
分析
A,当 t<0时，,电流源相当于开路，,0)( ?? t 0)0( ??cu
B,当 t=0时,作用,0状态电容相当于短路,通过电容支
路对电容充电，电容电压发生跳变：
)(t? )(t?
CdttCu c
1)(1)0( 0
0 ?? ??
?
?? ? ???? ??? ????? 0000
1)(1])()([1)0(
CdttCdtR
tut
Cu cc
C,当 t>0时，,单位冲激电流源相当于开路，已经充电的
电容通过电阻放电，所以电路的响应相应地变为零输入响应。
0)( ?? t
RC
t
c eCtU
?? 1)(
ic(t)
R C
+
_uc(t))(t?
iR(t)
23综合 A,B,C三个过程，可得零状态条件下，电容电压的
冲激响应为：
)(1)( teCtU RCtc ?? ??
可见：冲击函数作用下，电容瞬间获得非零的初始状态，
然后由该初始状态产生零输入响应。
)(1)()()()( teRCtR tutti RC tcc ???? ????? ?
)(1)()](1[)()( teRCteteCdtdCdt tduCti RC tRC tRC tcc ???? ?????? ???
??
?
?
????
00
0)()(
t
ttte RCt ???
)(1)()( teRCtti RCtc ??? ???? ?
t0
)(tuc
Cuc
1)0( ?
?
0)0( ??cu
t0
)(tic
0)0( ??ci
RC
1? )(1 1 teRC RC ??? ?
)1(
ic(t)
R C
+
_uc(t))(t?
iR(t)
24
6
ic(t)
0.1F
+
_uc(t)
＋
－
)(3 t?
iR(t)
3例 1：求图示电路中的 uc(t)：
分析：
当 t<0时,,0)( ?? t 0)0( ??cu
当 t=0时,零状态电容相当于短路，
电容的充电电流为,)(3/)(3 tt ???
电容在 t=0+时刻的电压为,VdttCu c 101.0 1)(1)0( 00 ?? ??? ???
当 t>0时,冲击函数为零，冲击电压源相当于短路：
??? 26//3eqR sRC 2.01.02 ????? tc etu 510)( ??
)(10)( 5 tetu tc ??? ?
25
8k
uc(t)
si
20k
12k5uF
ic(t)
例 2：图示电容原未充电，
求 uc(t)和 ic(t)。
mAtis )(??
分析,当 t<0时,,0)( ?? t 0)0( ??cu
当 t=0时,零状态电容相当于短路，
此时电流通过下面两个并联电阻而不经过上面的电
阻，则流过 12K电阻的电流为,)(4.0
812
8)( t
kk
kt ??
???
VdttCu c ? ?
?
??? ? 00 80)(4.01)0( ?
当 t>0时,电流源开路，电容放电。
s
KKKCR eq
05.0
105)]128//(20[ 6
?
??????? ?
tc etu 2080)( ??
)(80)( 20 tetu tc ????
mAetdt tduCtti ttcc 200 8)(52)()(52)( ?? ???? ??
26
4.3.2 RL电路的冲激响应：与 RC电路的对偶关系
当 t<0时，,0)( ?? t 0)0( ??i
当 t=0时,零状态电感相当于开
路,电感上的电压为冲激电压 )(t?
则 t=0+时刻电感电流为：
LdttLi
1)(1)0( 0
0 ?? ??
?
??
当 t>0时,tLRLR e
Leiti
??
? ??
1)0()(
)(1)( teLti tLR ??? ?
)]()(1[)()( teLRteLLdt tdiLtu tLRtLR ?? ?? ??? ?
?
?
?
?
??
?
??
?
0)(1
00
)(1
tt
L
t
te
L
t
L
R
?
)()()]()(1[)()( teLRtteLRteLLdt tdiLtu tLRtLRtLR ?????????? ???
+
-
uL(t)
i(t） R
)(t?
+
-
27
2
iL(t)
1H
+
_uL(t))(t?
iR(t)
1例：求图示电路的冲激响应 uL(t)和 iL(t)：
分析：
0)( ?? t当 t<0时，, 0)0( ??Li
当 t=0时，零状态电感相当于开路，
此时电流通过两个串联电阻而不
经过电感，电感上的电压为,)(2 t?
由此电压产生的电流为,? ??? ?
??
0
0 2)(2
1)0( Adtt
Li L
当 t>0时，冲击电流源断开，
sRLR eqeq 5.0,2 ?????
tL eti 22)( ??
)(2)( 2 teti tL ??? ?
)](4)(2[)()( 2 tetdt tdiLtu tLL ????? ?
284.3.3 冲激响应与阶跃响应的关系
N)(t? )(tg N)(t? )(th
dt
tdt )()( ??? ? ?????
??t tdtt )()(
dt
tdgth )()( ? tdthtg t ?? ??
?? )()(
设电路的冲激响应为 h(t),电路的阶跃响应为 g(t)，
由于冲激函数和阶跃函数的关系为：
由此可以推想一个电路的冲激响应 h(t)和阶跃响应 g(t)是否
也存在如下的关系：
29
证明：设一个矩形脉冲激励 p(t)，
作用于一个线性电路上，电路原
来处于零状态，设电路的阶跃
响应为 g(t),由于 p(t)可以表示为,t0 ?
?1
)(tp
)]()([1)( ??????? tttp
根据线性电路的齐次性、可加性、非时变性，在 p(t)作用下
电路的零状态响应为,)]()([1 ???? tgtg
由上图可见，当 时，有 这个脉冲激励 p(t)
作用于电路产生的零状态响应为：
0?? )()(lim
0 ttp ?? ??
)()()()(l i m)]()([1l i m 00 thdt tdgtgtgtgtg ??? ???????? ????
即：一个线性电路的冲激响应是该电路阶跃响应的导数，
反之阶跃响应是冲激响应的积分。
30冲激响应和阶跃响应之间存在积分和微分的关系，所以：
1、一阶电路冲激响应可由已知的阶跃响应对时间求导得到。
2、一阶电路阶跃响应可由已知的冲激响应对时间积分得到。
R
L
+
_uL(t))(t?
iR(t)
)(ti?例如右图：求冲激响应 )(ti
?
容易知道其阶跃响应为：
)()1()( teti tLR ??? ??
)()()()()()( teLRteteLRtdt tditi tLRtLRtLR ?????????? ?????
若直接求 0)( ?? t当 t<0时,0)0( ??Li
当 t=0时，零状态电感相当于开路 ? ??? ???? 00 )(1)0( LRdttRLi
当 t>0时，,0)( ?? t tLReLRti ?? ?)(
)()( teLRti tLR ?? ??
由此可见：两种方法求得的
冲激响应相同。
314.4 一阶电路对阶跃激励的全响应
含义,由电路的初始状态和外加激励共同作用而产
生的响应，叫全响应。
如图所示，设 uC =uC(0-)=U0,S在 t=0时闭合，
显然电路中的响应属于全响应。
32
4.4.1 阶跃激励全响应的求解
_R
ic(t)
C
+
uc(t)sI
iR(t)
S(t=0)
右图电容初始电压 求 uc(t)0)0( Uuc ??
对 t≥0的电路，以 uC为求解变量可
列出描述电路的微分方程为,
sc
c ItuRdt tduC ?? )(1)( 0)0()0( Uuu cc ?? ??
将上式与描述零状态电路的方程式比较，仅只有初始
条件不同，因此其解必具有类似的形式：
s
tRC
cfctc RIKetututu ????
? 1)()()(
代入初始条件可得,ss RIUKURIK ????? 00
所以全响应,s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
RC
t
s
RC
t
Rsc eIeR
UtiIti ?? ????? 0)()(
33分析电容电压全响应：
s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
1、当 IS=0时，即为 RC零输入电路的微分方程。
2、当 U0=0时，即为 RC零状态电路的微分方程。这一结果表
明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。
上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。
s
tRC
sc RIeRIUtu ???
? 1
0 )()(
自由响应 稳态响应
)1(
)()(
11
0
1
0
t
RC
s
t
RC
s
t
RC
sc
eRIeU
RIeRIUtu
??
?
???
???
零输入响应 零状态响应
线性动态电路的叠加定理
34
电容电压：
)1()()( 010 RC tsRC tstRCsc eRIeURIeRIUtu ??? ??????
)(tuc
0
sRI
0U
)(tuc
0状态响应
0输入响应
)(tuc
0 t
sRI
0U
)(tuc
)(tuct
scf RItu ?)(
sRIU ?0
35例：已知 u
c(0-)=80V,求 uc(t),t>0。
xiu 2??
xcxxc iiiii 6.04.0 ????
iiu 310)6.0(2 ?????
分析：
先求从电容两端看进去的等效电阻
_
+2
ic(t)
4uF
+
uc(t)
XI
+ _)(20 t?
_U XI4.0
)(10
3
4
3/10
5 sCR
R
eq
eq
???????
???
零输入响应,tc etU 4105.71 80)( ???
零状态响应,)1(20)( 4105.72 tc etU ?????
0,10020)()()( 4105.721 ??????? ?? tetUtUtU tccc
364.4.2 阶跃激励全响应的三要素法
UKetU tc ?? ??)(
0)0(,)( UUKUUU cc ?????
)()0()0(),( ??????? cccc UUUUKUU
???????
t
cccc eUUUtU )]()0([)()(
??????? teffftf )]()0([)()(
稳态值 初始值 时间常数
三要素
37
???????
t
cccc eUUUtU )]()0([)()(
skk kskk kc IHUKtUKtf ?????
?
?
?
? 110
)()(
skk kskk k
t
ccc IHUKeUKUKUK ?????????
?
?
?
?
??
11000
)]()0([)(
skk kskk kc IHUKUK ??????
?
?
?
? 110
)(
])0({[
110 ?
???? ?
?
?
? k skkk skkc
IHUKUK
]})([
110 ?
????? ?
?
?
? k skkk skkc
IHUKUK ??te
??????? tefff )]()0([)(
38
用三要素法求解直流电源作用下一阶电路响应的步骤如下：
一,确定初始值 f (0+)
在换路前的稳态电路中确定原始状态
由换路定则确定初始状态
在 t=0+等效电路中求 f(0+)
二, 确定稳态值 )(?f
在换路后的稳态电路中求。
C,开路； L,短路
三, 确定时间常数 ?
在自然响应的等效电路中求。
从 C或 L处看进去求等效电阻。
最后写响应的
表达式
39例 1：图示电路，换路前电路已稳定，求换路后的
和 。
分析：
用三要
素法。
1.开关闭合前 t=0-时电感的电流,
AiL 2.1)0( ??
由换路定则,Aii LL 2.1)0()0( ?? ??
画 t=0+时刻的等效电路，
)(ti )(tiL HLRRR 3,1,2,1 321 ???????
Aii 2.0)0(,32.12)0(3 ??????? ??
iL(t)
R2
L
R3
V3
R1
V3
a b
i1(t)
+
-3v
R1
R2
R3
1.2A
i(0+)
2.画换路后的稳态电路
AiL 2.1)( ???
Aii 8.1)(3)2.1(2)(3 ??????????
-
+3v
R1
R2
R3i( )?
iL( )?
3.求时间常数,s
R
L
eq
8.112//1 3 ?????
4.求响应：
Aeti tL 954.22.1)( ???? Aeti t956.18.1)( ????
40例 2,图示电路，
求换路后的 。
0)0(,10)0(,5,3,2 2121 ?????? ?? cc uVuRFCFC
)()( 22 titu C 和
RC2C1
iR(t)
S(t=0)
i1(t)
i2(t)
uC1(t) uC2(t)
分析：
A
换路后，由 KVL,必须有：
)0()0()0( 21 ??? ?? CCC uuu
节点 A处电量不能突变，否则,……
)0()()0()0()0()0( 2122112211 ????? ????? CCCCC uCCuCuCuCuC
VCC uCuCuu CCCC 45 0102)0()0()0()0(
21
2211
2 ?
???
?
???? ??
??
（一）
（二） 电容电压的稳态值 0)(2 ??cu
（三） 电路的时间常数 sCCRRC 25)(
21 ?????
Vtetu tC )(4)( 252 ?? ? Atte
Atete
dt
tdu
Cti
t
tt
C
C
)](12)(
25
12
[
)](43)()
25
1
(43[
)(
)(
25
25252
22
?????
????????
?
??
41例 3：图示电路中，Ｎ内部只含电源及电阻，若１Ｖ的电压源于
t=0时作用于电路，输出端所得的零状态响应为
，若把电路中的电容换为２Ｈ的
电感，求输出端的零状态响应。
to etu 25.01 2 5.05.0)( ???
２Ｆ
Uo(t)1V
分析,当电路中是电容元件时，
????? 225.01 eqeq RCR?
?
t
ooo
t
o
euuu
etu
?
?
?????
??
)]()0([)(
1 2 5.05.0)( 25.0
6 2 5.0)0(,5.0)( ???? oo uu
当电路中换为电感元件时，
1' ?? LG eq? 6 2 5.0)(',5.0)0(' ??? oo uu
to etu ???? 1 2 5.06 2 5.0)('
424.5 二阶电路的冲激响应
R i(t)
C
+
_uc(t)
＋
－
)(t?
＋ －
)(tuR
＋ －
)(tuL
L
内容,RLC 串联电路对单位
冲激电压激励的零状态响应。
0)0(,0)0(0)(,0,????? ?? cuittA ?
B,t=0时，零状态电感相当于开路，冲
击函数加于电感两端，故有：
LdttLi
1)(1)0( 0
0 ?? ?
?
??
?
有限电流对电容充电，电容电压不突变,0)0()0( ?? ?? cc uu
C,t>0时，冲击电压源短路，电路由 产生零输入响应。Li 1)0( ??
t>0时，对
电路建立
微分方程：
0)()()(22 ??? tudt tduRCdt tudLC ccc
0)0( ??cu
LCuuCLdt
tduCi
cc
t
c 1)0()0(1)()0(
0
??????? ??
?
?
?
43
方程的特征方程是,LCs2 +RCs +1 =0
其特征根,LCLRLRLC LCRCRCs 1222 4)(
22
1 ???
??
?
????????
LCL
R
L
Rs 1
22
2
2 ???
??
?
????
LCL
R 1,
2 0 ?? ??若令：
2
0
2
2
2
0
2
1
???
???
????
????
s
s
则：
响应的具体形式与 s1,s2的取值情况有关：
一, 若,即, s1,s2为两个不相等负实数，且0??? CLR 2? 12 ss ?
tstsc eAeAtu 21 21)( ??
代入初始值可得：
44
)()()( 1)( 21
21
teessLCtu tstsc ????
)()()( 1)()( 21 21
21
tesesssLdt tduCti tstsc ?????电压变化规律：
A,比 衰减得快，因为tse2 tse1 12 ss ?
B,Uc(t)>0,电容电压只改变大小，不改变方向，
C,之间出现极值,????
? ~0,0)(,0)0( UcUc
12
2
1ln
,0)(
ss
s
s
t
dt
td U c
m ???
Uc(t)
ttm0
电流变化规律：
t=0时,iL(0)=1/L。 t=tm时,Uc(t)达到极值，
i(tm)=0； 时，
之间出现极值
??t 0)( ??i
?~0
mm ttdt
td i c 2',0)( ??
ic(t)
tt
m0
2tm
1/L
非振荡，
过阻尼
物理过程分析：
45
令,220 ??? ??d 则：
d
d
js
js
??
??
???
???
2
1
]s i nc o s[)( 21 tktketu ddtc ??? ?? ?
代入初始条件得：
)()s i n ()(
2
0 ttetu
d
t
d
c ???
? ???
0
0 a rc c os),()c os ()()(
?
?????
?
? ? d
d
t
d
c
c tteLdt
tduCti ???? ?
减幅的正弦函数
和减幅的余弦函数
振荡，
欠阻尼
二, 若,即, s1,s2为两个共轭复数。0?? ? CLR 2?
衰减系数
阻尼系数
阻尼振荡
角频率
R=0时，,此时为
等幅振荡，无阻尼振荡
0??
46
三, 若,即, s1,s2为两个相等的负实数。0?? ? CLR 2?
t
c etAAtu
ss
?
?
???
???
)()( 21
21
代入初始值得：
)()1(
1
)(
)()(
tte
L
ti
te
LC
t
tu
t
c
t
c
??
?
?
?
??
?
?
?
电压和电流都不小于 0。
非振荡，
临界阻尼
47
mAt)(?
k2
k1
k1
uF2
?
?)(tuc
例题：已知电路处于 0状态，求 uc(t)
分析,当 t<0时，,0)( ?t? 0)0( ??cu
当 t=0时,0状态电容相当于短路，
此时通过电容的电流为,)(
3
1 t?
在此冲击电流作用下，电容电压的跃变为：
VdttCu c ? ?
?
??? 00 167)(311)0( ?
当 t>0时,相当于开路，电路变为 RC电路的 0输入电路
sRC 3633 106102)102101( ?? ??????????
3106167)0()( ????
? ??
tt
cc eeutu ?
)(1 6 7)( 3106 tetu
t
c ?
?????
48
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
例题：电路为 0状态,N为纯
电阻网络，当 时，
，
求：当 时
的
)()412()( 2 tetu tR ????
)(4)(,5)0( ttuVu sc ????
)(),( tutu Rc
)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
分析,时是电路的 0状态响应，
待求的是电路的完全响应。
)(2)( ttu s ?? )()22()( 2 tetu tc ????
1、求当 时 Uc(t)的 0状态响应：)(4)( ttu s ??
)()44()( 2 tetu tc z s ????
2、求 时 Uc(t)的 0输入响应,Vuc 4)0( ??
)(5)( 2 tetu tc zi ???
3,Uc(t)的完全响应,)()()( tututu c z sc z ic ??
)()4(5)44()( 222 teeetu tttc ???? ?????
49
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
求 UR(t),用替代定理，将电容用
等于其电压的电压源替代，相当
于两个电源作用产生响应 UR(t)。
)()()( 21 tuktuktu csR ??
代入已知条件：
)()412()( 2 tetu tR ????)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
)22(2412 2212 tt ekke ?? ????
8
1,
8
7
21 ??? kk
)()
8
1
4(
)()4(
8
1
)(4
8
7
)(
8
1
)(
8
7
)(
2
2
te
tettututu
t
t
csR
?
??
?
?
??
???????
方法 1
50
?
? N
)(tus
R
? ?)(tuR
?
?)(tuc
求 UR(t),用替代定理，将电容用
等于其电压的电压源替代，相当
于两个电源作用产生响应 UR(t)。
)()()( 21 tuktuktu csR ??
代入已知条件：
)()412()( 2 tetu tR ????)()22()( 2 tetu tc ????
)(2)( ttu s ??
)22(2412 2212 tt ekke ?? ???? 8
1,
8
7
21 ??? kk
)()
8
1
4(
)(5
8
1
2)()
4
1
2()(
2
22
te
tetetu
t
tt
R
?
??
?
??
??
??????
方法 2
UR(t)也等于零输入响应 +零状态响应
51
例题,t<0时电路处于稳态，求
解,1、求初始值
2,求稳态值
3、求时间常数：
)(tiL )0( ?ts
?
?V4 ?4
?6
?3
?1
)(tiL
?
?
V8? ?
)(ti
)(3ti
Ai L 213 8)0( ??????
AiL 2)0( ???
?
?V4 ?4
?6
?1
)(?Li
? ?
)(?i
)(3 ?i
Ai 144)( ???
0)(3)()16(4 ?????? ii L
Aii LL 1)(03)()16(4 ????????
?4
?6
?1? ?
)(ti
)(3ti
0)( ?ti
?? 7eqR sRL 2714 ????
H14
)()31(]12[1)( 22 teeti ttL ??? ??????
52习题：求图示电路中下列两种情况下的电容电流。
1) uc(0-)=6V,us(t)=0； 2) uc(0-)=0,us(t) 如图所示。
+
0.1F
+
_us(t)
ic(t)
4
2+
_0.6uc _uc
Us(t)/V
t/s0 1 2
5
分析：
1) uc(0-)=6V,us(t)=0时，属于零输入响应
4
6.0
2
UUUI ???首先伏安
法求电阻
sRIU eq 61,3535 ?????? ?
ttc
c
t
tc edt
ductieu 6)(6
)( 6.3)(,6
?? ????
2) uc(0-)=0V,us(t)如图时，属于零状态响应
先求 Us(t)=5V时电容的稳定电压：
2
)(
4
)(4.0 ???? cstc uUu Vu c 625)( ??
)2(]1[625)1(]1[625)( )2(6)1(6 ?????? ???? tetetu ttc ??
)()1(625)( 6 tetu tc ????
53例 3,图示电路，换路前电路工作很长时间，
求：求换路后 。 )()( 22 tuti LL 和
L2=2H
V60
10 iL1(t)
)(2 tuL
S(t=0)10
L2=1H
iL2(t)分析,（一） 换路前两个电感中的电流为：
Ai L 61060)0(1 ??? AiL 0)0(2 ??
换路后，由 KCL,必须有：
)0()0()0( 21 ??? ?? LLL iii
回路 1中磁链不能突变，否则,……
1
)0()()0()0()0()0( 2122112211 ????? ????? LLLLL iLLiLiLiLiL
ALL iLiLii LLLL 23 06)0()0()0()0(
21
2211
2 ?
??
?
???? ??
??
（二） 电感电流的稳态值：
AAi L 31010 60)(2 ????
（三） 电路的时间常数 s
R
L 15.0
1010
21 ?
?
????
Ateti tL )(])32(3[)( 15.02 ???? ? Vttedt tdiLtu
t
L
L )](4)(15.0
2[)()( 15.02
22 ?????
?
