华中科技大学2005年招收硕士研究生入学考试数学分析试题
1.设
2.设f(x)在区间[0，1]上有二阶连续导数，f(0)= f(1)=0，试给出的一个估计。
3.设有连续的一阶偏导数,证明：

4.设f(x)在区间上可微且恒大于零，f(0)=1，单调减，证明：

5,设f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，,证明：

6.设r>1为常数，级数收敛，求幂级数的收敛域。
7,设f(x)在区间上有连续的一阶导数，是f(x)在区间上的Fourier系数，证明：存在常数M>0，使得。
8.设Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，积分完全决定于L的起点与终点，且对任何实数z成立等式：，求函数Q(x,y)。
9,设记球面，A是内部一点，它与原点的距离为q,0<q<1, 记点A与上的点之间的距离，求
10,设是区间[a，b]上的连续函数，当时,一致收敛于函数f(x)，每个均有零点，证明：f(x) 至少有一个零点。
2005年硕士研究生入学考试数学分析试题参考解答
1.解：容易知道，所以

由题设条件可以得到：因此就有：

2.解：由题设条件将f(x)分别在小x=0,x=1展成Taylor级数，就有：

所以，因此，

故。
3.
4.证明：由题设条件单调减，故，所以有：
,因此有：也就是：
注意到f(0)=1即

5.证明：

所以有：。
6.
7.证明：因为f(x)在区间上有连续的一阶导数，所以在上连续，故存在使得同理在上连续，故存在使得又由于是f(x)在区间上的Fourier系数，所以

因此有：
所以存在常数，使得：


所以存在常数M>0，使得。
8.解：由题设条件Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，积分完全决定于L的起点与终点，所以根据格林公式有因此另一方面，对任何实数z成立等式：，故有：
，即：，所以：
，把代入前式得到：
，等式两边对z求导数得：，所以：
，
9
10.证明：用反证法，假设f(x)在[a,b]上没有零点，则.f(x)在[a,b]上不变号，不妨设，由于是连续函数，且在[a,b]上一致收敛到f(x)，故f(x)也是连续函数，则存在从而，取，则由于在[a,b]上一致收敛到f(x)，故存在自然数N，当时，对于一切，都有，所以就有：

这与在[a,b]上有零点矛盾，故反设不成立，即f(x) 至少有一个零点。