华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答以下每题15分
1．设，（），（）．求级数之和．
解 由（），得
．
2．设，（）．证明（）．此估计式能否改进？
证明 将、在点（）用Taylor公式展开并相减，则得
（），由于，因此得
．
此不等式可以改进为：（），因为时，上式．
3．设有处处连续的二阶偏导数，．证明
．
证明 


4．设在上连续，在内可微，存在唯一点，使得，
．设，（），
，证明是在上的最大值．
证明 （反证法），假设不是在上的最大值。由于，存在，当时，。
考察闭区域，显然，由已知在上连续，从而在上取得最大值，设为。显然在上，总有，因而必有：。当时，，因此
是在上的最大值。由假设，。
这与已知矛盾，可知假设不真。
5．设处处有．证明：曲线位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．
证明 设为曲线上任一点，在该点处曲线的切线方程为

对曲线上任意点，按Taylor公式展开，得

由知，当时，，而为唯一公共点．得证．
6．求，是取反时针方向的单位圆周．
解 的参数方程：


7．设是连续正值函数，．
证明（）是严格单调减函数．
证明 ，当

因此，（）是严格单调减函数。
8．设级数收敛，证明．
证明 由收敛知，在上一致收敛，从而左连续，即．对，有，
于是．
9．设在上连续，其零点为，．证明：积分收敛级数收敛．
证明 ，若收敛，则
，即收敛。
若不收敛，同理可知不收敛。
10．设，在上连续，（），当时，在上一致收敛于．证明：至少存在一点，使得．
证明 由在上一致收敛于，得知在上连续，且数列收敛于，即，由于，得，至少存在一点
，使得．
注 或用反证法：若对，有，由的连续性得，与上面相同证法，推出矛盾．