在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。
微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
变速直线运动中路程为? 2
1
)(TT dttv
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中一、问题的提出设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )( 如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
.)()( xa dttfx记 积分上限函数二、积分上限函数及其导数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xx
a?
)()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(x?
x
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(limlim 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
一般情况 如果 )( tf 连续,)( xa,)( xb 可导,
则 dttfxF
xb
xa?
)(
)(
)()( 的导数 )( xF? 为
)( )( )()( xb xa dttfdxdxF )()()()( xaxafxbxbf
注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量 x 求导，其结果就等于被积函数在上限自变量 x 处的函数值若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，
则求导时必须按复合函数的求导法则进行
)(
)()]([])([
xa
a
xaxafdttf
dx
d
dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0
dttfxb )(0 )(,)()(0 dttfxa
)()()()()( xaxafxbxbfxF
例 1 求,l im 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
0
0
[分析 ],这是 型不定式，应用洛必达法则,
解1
c o s
2
x
t dte
dx
d,c o s
1
2 x t dte
dx
d
)( c o s2c o s xe x,s i n 2c o s xex
证
2
1
c o s
0
2
l i m x
dte
x
t
x
x
ex x
x 2
s i nl i m 2c os
0
,
2
1
e?
例 2 设 )( xf 在 ),( 内连续，且 0)(?xf,
证明函数
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( 内为单调增加函数,
证? x dtttfdxd 0 )( )( xxf x dttfdxd 0 )( ),( xf?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( xxf?,0)(0 x dttf
2
0
00
)(
)()()()(
)(
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
,0)()( tftx?,0)()(0 x dttftx
).0(0)( xxF
故 )( xF 在 ),0( 内为单调增加函数,
例 3 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)(?xf,证明
1)(2
0
dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证 令,1)(2)(
0 dttfxxF
x
,1)(?xf?,0)(2)( xfxF
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,
,01)0(F
10 )(1)1( dttfF 10 )](1[ dttf
所以 0)(?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
0?
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
定理 2（原函数存在定理）
前述变速直线运动的路程问题表明：
定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。
这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
三,Newton-Leibniz公式
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
又? dttfx
x
a?
)()( 也是 )( xf 的一个原函数,
CxxF )()( ],[ bax?
令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
,)()( CdttfxF xa
),()()( aFxFdttfxa
令 bx ).()()( aFbFdxxfba
牛顿 — 莱布尼茨公式证
)()()( aFbFdxxfbabaxF )(?
注 微积分基本公式表明,( 1 ) 一个 连续函数 在区间 ],[ ba 上的定积分等于它在 该区间 上的 任意一个原函数 在区间 ],[ ba 上的增量,
（ 2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题 ——
不定积分与定积分两者之间的内在联系
（ 3）求定积分问题转化为求原函数的问题,
（ 4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。
注意 当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
.)1s i nco s2(20 dxxx
解 原式 20c o ss i n2?xxx,23
例 5 设,求,
215
102)(
x
xxxf
20 )( dxxf
解 1
0
2
1
2
0 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)(?xf,
10 21 52 dxxdx原式 x
y
o 1 26?
例 4 求例 6 求,},m a x {2 2 2 dxxx
解 由图形可知
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
},m a x {)( 2xxxf?
,
21
10
02
2
2
xx
xx
xx
21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式,211?
例 7 求,1
1
2 dxx?
解 当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx 12 1 12||ln x
.2ln2ln1ln
例 8 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[? 上与 x 轴所围成的平面图形的面积,
解 面积 0 s i n x dxA
0co s x.2? x
y
o?
1.积分上限函数 xa dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx
3.微积分基本公式 )()()( aFbFdxxfba
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。
注意 使用公式的条件 （ 1）被积函数 f(x) 连续
（ 2） F（ x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数四、小结设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a
)( 与 duuf
b
x
)( 是x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa
)()( xfduufdxd b
x
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,
b
a
x
dxe
dx
d
2
2
= ___ ___ _,
2,
x
a
dxxf
dx
d
))(( ___ ___ ___ _,
3,
2
23
)1l n(
x
dttt
dx
d
___ ___ _,
4,
2
0
)( dxxf ___ _,其中
21,2
10,
)(
2
xx
xx
xf,
5,设?
,co sco s1 n x d xmxI
dxnxmx?
s i ns i n,
（ 1 ）、当 nm? 时,
1
I = __,
2
I = ___ __,
（ 2 ）、当 nm? 时，
1
I = __ _,
2
I = ____ _,
6,设,s i nco s
n x d xmx
（ 1 ）、当
nm?
时,3I = ___ _,
（ 2 ）、当 nm? 时,3
I
= ___ __,
7,
9
4
)1( dxxx _____,
8,?
3
3
1
2
1 x
dx
_____,
9,?
x
dtt
x
x
0
2
0
c o s
lim ______ __,
二,求导数：
1,设函数 )( xyy? 由方程 0co s
00
xy
t
t d tdte 所确定，求
dx
dy；
2,设
1
2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
ud uuy
ud uux
)1(?t,求
2
2
dx
yd；
3,
x
x
dtt
dx
d c o s
s i n
2
)co s ( ；
4,设
2
0
3
1
)(
x
x
dx
xg,求 )1(g,
三,计算下列各定积分：
1,
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2,?
2
1
2
1 2
1 x
dx;
3,?
0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4,?
2
0
s i n dxx,
四,求下列极限：
、
x
t
x
t
x
dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(
l i m ; 2,
2
5
0
2
0
2
1
)co s1(
l i m
x
dtt
x
x
.
五,设 )( xf 为连续函数，证明,
x x t
dtduufdttxtf
0 0 0
))(())((,
六,求函数?
x
dt
tt
t
xf
0
2
1
13
)( 在区间1,0 上的最大值与最小值,
七,设
时，或，当时，当
xx
xx
xf
00
0,sin
2
1
)(
求
x
dttfx
0
)()（? 在
),(
内的表达式,
八,设baxf,)( 在 上连续且,0)(?xf
x
a
x
b tf
dt
dttfxF
)(
)()(,证明：
（ 1 ）,2)(
'
xF ;
（ 2 ）、方程 0)(?xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根,
练习题答案一,1,0 ； 2,)()( afxf? ； 3,)1l n (
23
xx ；
4,
6
5； 5,( 1),； (2) 0,0 ；
7,;
6
1
45 8,
6； 9,1.
二,1,
1s i n
co s
x
x； 2,
tt ln2
1
2；
3,)s i nc o s ()c o s( si n
2
xxx ； 4,2?,
三,1,
8
5
2 ； 2,
3； 3,1
4
； 4,4.
四,1,0 ； 2,
10
1
.
六、
33
5?
,0.
七、
x
xx
x
x
,1
0,)co s1(
2
1
0,0
)(,
微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
变速直线运动中路程为? 2
1
)(TT dttv
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中一、问题的提出设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )( 如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
.)()( xa dttfx记 积分上限函数二、积分上限函数及其导数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xx
a?
)()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(x?
x
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(limlim 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
一般情况 如果 )( tf 连续,)( xa,)( xb 可导,
则 dttfxF
xb
xa?
)(
)(
)()( 的导数 )( xF? 为
)( )( )()( xb xa dttfdxdxF )()()()( xaxafxbxbf
注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量 x 求导，其结果就等于被积函数在上限自变量 x 处的函数值若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，
则求导时必须按复合函数的求导法则进行
)(
)()]([])([
xa
a
xaxafdttf
dx
d
dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0
dttfxb )(0 )(,)()(0 dttfxa
)()()()()( xaxafxbxbfxF
例 1 求,l im 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
0
0
[分析 ],这是 型不定式，应用洛必达法则,
解1
c o s
2
x
t dte
dx
d,c o s
1
2 x t dte
dx
d
)( c o s2c o s xe x,s i n 2c o s xex
证
2
1
c o s
0
2
l i m x
dte
x
t
x
x
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x 2
s i nl i m 2c os
0
,
2
1
e?
例 2 设 )( xf 在 ),( 内连续，且 0)(?xf,
证明函数
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( 内为单调增加函数,
证? x dtttfdxd 0 )( )( xxf x dttfdxd 0 )( ),( xf?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( xxf?,0)(0 x dttf
2
0
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)(
)()()()(
)(
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
,0)()( tftx?,0)()(0 x dttftx
).0(0)( xxF
故 )( xF 在 ),0( 内为单调增加函数,
例 3 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)(?xf,证明
1)(2
0
dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证 令,1)(2)(
0 dttfxxF
x
,1)(?xf?,0)(2)( xfxF
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,
,01)0(F
10 )(1)1( dttfF 10 )](1[ dttf
所以 0)(?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
0?
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
定理 2（原函数存在定理）
前述变速直线运动的路程问题表明：
定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。
这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
三,Newton-Leibniz公式
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
又? dttfx
x
a?
)()( 也是 )( xf 的一个原函数,
CxxF )()( ],[ bax?
令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
,)()( CdttfxF xa
),()()( aFxFdttfxa
令 bx ).()()( aFbFdxxfba
牛顿 — 莱布尼茨公式证
)()()( aFbFdxxfbabaxF )(?
注 微积分基本公式表明,( 1 ) 一个 连续函数 在区间 ],[ ba 上的定积分等于它在 该区间 上的 任意一个原函数 在区间 ],[ ba 上的增量,
（ 2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题 ——
不定积分与定积分两者之间的内在联系
（ 3）求定积分问题转化为求原函数的问题,
（ 4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。
注意 当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
.)1s i nco s2(20 dxxx
解 原式 20c o ss i n2?xxx,23
例 5 设,求,
215
102)(
x
xxxf
20 )( dxxf
解 1
0
2
1
2
0 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)(?xf,
10 21 52 dxxdx原式 x
y
o 1 26?
例 4 求例 6 求,},m a x {2 2 2 dxxx
解 由图形可知
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
},m a x {)( 2xxxf?
,
21
10
02
2
2
xx
xx
xx
21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式,211?
例 7 求,1
1
2 dxx?
解 当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx 12 1 12||ln x
.2ln2ln1ln
例 8 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[? 上与 x 轴所围成的平面图形的面积,
解 面积 0 s i n x dxA
0co s x.2? x
y
o?
1.积分上限函数 xa dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx
3.微积分基本公式 )()()( aFbFdxxfba
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。
注意 使用公式的条件 （ 1）被积函数 f(x) 连续
（ 2） F（ x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数四、小结设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a
)( 与 duuf
b
x
)( 是x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa
)()( xfduufdxd b
x
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,
b
a
x
dxe
dx
d
2
2
= ___ ___ _,
2,
x
a
dxxf
dx
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))(( ___ ___ ___ _,
3,
2
23
)1l n(
x
dttt
dx
d
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4,
2
0
)( dxxf ___ _,其中
21,2
10,
)(
2
xx
xx
xf,
5,设?
,co sco s1 n x d xmxI
dxnxmx?
s i ns i n,
（ 1 ）、当 nm? 时,
1
I = __,
2
I = ___ __,
（ 2 ）、当 nm? 时，
1
I = __ _,
2
I = ____ _,
6,设,s i nco s
n x d xmx
（ 1 ）、当
nm?
时,3I = ___ _,
（ 2 ）、当 nm? 时,3
I
= ___ __,
7,
9
4
)1( dxxx _____,
8,?
3
3
1
2
1 x
dx
_____,
9,?
x
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x
x
0
2
0
c o s
lim ______ __,
二,求导数：
1,设函数 )( xyy? 由方程 0co s
00
xy
t
t d tdte 所确定，求
dx
dy；
2,设
1
2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
ud uuy
ud uux
)1(?t,求
2
2
dx
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3,
x
x
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dx
d c o s
s i n
2
)co s ( ；
4,设
2
0
3
1
)(
x
x
dx
xg,求 )1(g,
三,计算下列各定积分：
1,
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2,?
2
1
2
1 2
1 x
dx;
3,?
0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4,?
2
0
s i n dxx,
四,求下列极限：
、
x
t
x
t
x
dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(
l i m ; 2,
2
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0
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1
)co s1(
l i m
x
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x
x
.
五,设 )( xf 为连续函数，证明,
x x t
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0 0 0
))(())((,
六,求函数?
x
dt
tt
t
xf
0
2
1
13
)( 在区间1,0 上的最大值与最小值,
七,设
时，或，当时，当
xx
xx
xf
00
0,sin
2
1
)(
求
x
dttfx
0
)()（? 在
),(
内的表达式,
八,设baxf,)( 在 上连续且,0)(?xf
x
a
x
b tf
dt
dttfxF
)(
)()(,证明：
（ 1 ）,2)(
'
xF ;
（ 2 ）、方程 0)(?xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根,
练习题答案一,1,0 ； 2,)()( afxf? ； 3,)1l n (
23
xx ；
4,
6
5； 5,( 1),； (2) 0,0 ；
7,;
6
1
45 8,
6； 9,1.
二,1,
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2
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三,1,
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2 ； 2,
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4
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四,1,0 ； 2,
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.
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33
5?
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七、
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x
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2
1
0,0
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