第五章 函数逼近
(Approximating Function)
邹秀芬武汉大学数学与统计学院
5.1 引言
函数逼近,用比较简单的函数代替复杂的函数
误差为最小，即距离为最小（ 不同的度量意义 ）
举例：对被逼近函数 f(x)=sqrt(x）,在区间
［ 0,1］上按三种不同的逼近方式求其形如
p1(x)=ax+b
的逼近函数,
解 （ 1)按插值法，以 x0＝ 0,x1＝１ 为插值节点对 f(x) 作一次插值所得形如 (1)式的 p1(x)是
p1(x)=x.
dis(f(x),p1(x))=‖f(x) -p1(x)‖ ∞ =max|f(x)-p1(x)|
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)式的 p1(x) p１ (x)=x+1/8.
③按距离 dis (f(x),p１ (x)) =‖f(x) -p1(x)‖ ２
=(∫ 01[f(x)-p１ (x)２ dx) 1/2
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)式的 p１ (x)
p１ (x)=4/5x+4/15
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的,
Chebyshev多项式及其应用
Chebyshev多项式及其性质定义 1 称 Tn(x)=cos(n arccosx),|x|≤1
为 n次 Chebyshev多项式定义 2(交错点组 ) 若函数 f(x)在其定义域的某一区间
［ a,b］ 上存在 n个点 {xk}n k=1，
① |f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖ ∞,k=1,2,…,n;
② -f(xk)=f(xk+1),k=1,2,…,n-1,
则称点集 {xk}n k=1为函数 f(x)在区间［ a,b］ 上的一个交错点组,点 xk称为交错点组的点,
It is very important
预备知识：
Chebyshev多项式的性质性质 1 n次 Chebyshev多项式 Tn(x)的首项系数为 2n-1
性质 2 n次 Chebyshev多项式相邻三项有递推关系,
T0(x)=1,T1(x)=x,
Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,…,
性质 6 当 时，
即 {x1,…,xn } 为 Tn(x)的 n个零点。
21c o s ( 1,..,,)
2k
kx k n
n
0)(?kn xT
性质 8 当 时，
交错取到极大值 1 和极小值?1，即
),...,1,0(co s nknkt k
)( kn tT
||)(||)1()( xTtT nkkn
denote
显然 是首项系数为 1的 n次
Chebyshev多项式,
又若记为一切定义在［－１，１］上首项系数为 1
的 n次多项式的集合
* ()nTx
*
1
()()
2
n
n n
TxTx
* [ 1,1 ]
nP?
这个性质，称为 Chebyshev多项式最小模性质,
**
**
| | ( ) | | ( )
( ) [ 1 1 ]
nn
nn
T x p x
p x P
对 任 意,成 立
Chebyshev 多项式的应用
—— 多项式降次 ( reduce the degree of polynomial
with a minimal loss of accuracy)
设 f (x)? Pn(x)。 在降低 Pn(x) 次数的同时,使因此增加的误差尽可能小,也叫 economiza-
tion of power series。
从 Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降次为,则：
Pn
~P
n?1
|)(|max|)()(|max|)()(|max
]1,1[]1,1[1]1,1[
xPxPxfxPxf nnn
+ ~
因降次而增的误差设 Pn 的首项系数为 an,则取 可使精度尽可能少损失。
12
)()(
n
n
nn
xTaxP
例,f (x) = ex 在 [?1,1]上的 4 阶 Taylor 展开为
24621
432
4
xxxxP ++++?,此时误差 023.0||
!5|)(|
5
4 x
exR
请将其 降为 2阶多项式 。
解,取 )
8
1(
24
1)(
2
1
24
1 24
434 + xxxTP
188 244 + xxT（查表知 ）
)81(241621 23244 ++++ xxxxPP 32 612413192191 xxx +++?
取
)43(61)(2161 3323 xxxTP xxT 34 33
（查表知 ）
192
191
8
9
24
13~ 2
33 ++ xxPP 2| | ( ) | | 0,0 4 7
xe P x
若简单取,则误差
21)(
2
2
xxxP ++? 45.0
!3
e
另类解法可阅读 p.228例 1。
注,对一般区间 [a,b],先将 x 换为 t,考虑 f (t)在 [?1,1]上的逼近 Pn(t),再将 t 换回 x,最后得到 Pn(x)。
§ 5.3 函数的最佳一致逼近
(Optimal uniform Approximation)
|)(|m ax|||| ],[ xff bax
在 意义下,
在 Pn［ a,b］ 中，是否存在一个元素 pn(x),使不等式
‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -pn(x)‖ ∞ (1)
对任意的 pn(x)∈P n［ a,b］ 成立?
这就是 C[a,b]空间中的最佳一致逼近问题一,最佳逼近元的存在性定理 5.3.1 对任意的 f(x)∈C ［ a,b］,在 Pn［ a,b］ 中都存在对 f(x)的最佳一致逼近元,记为 p*n(x),即
‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ =inf{‖f(x) -pn(x)‖ ∞ }
成立,
2 最佳一致逼近元的充要条件定理 5.3.2 (Chebyshev定理） pn*(x)∈P ［ a,b]
对 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数 f(x)- pn*(x)在区间
［ a,b］ 上存在一个至少由 n+2个点组成的交错点组,
即存在点集 a? t1 <…< tn+2? b 使得
*( ) ( ) || ( ) ( ) ||
k n kf t p t f x p x
证明充分性用反证法,设 f(x)- pn*(x)在［ a,b］ 上存在一个至少由 n+2个点组成的交错点组，但 pn*(x)不是最佳一致逼近元,
不妨设 Pn［ a,b］ 中的元素 qn(x)为最佳一致逼
‖f(x) -qn(x)‖ ∞ <‖f(x) -pn*(x)‖ ∞,(4)
Q(x)=pn*(x)- qn(x)
=〔 f(x)-qn(x)〕 -〔 f(x)-pn*(x)〕
记 {x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数 f(x)-
pn*(x)在［ a,b］ 上的交错点组，
由 (4)式可知 n次多项式 Q(x)在点集 {x1*,
x2*,…,xn+2*}上的符号完全由 f(x)- pn*(x)
在这些点上的符号所决定，
{x1*,x2*,…,xn+2*} 为 f(x)-pn*(x)的交错点组，即 f(x)- pn*(x) 在这 n+2个点上正负 (或负正 )相间至少 n+1次，从而至少 n+1
次改变符号，
故 Q(x)也至少 n+1次改变符号，
说明 n次多项式 Q(x)至少在［ a,b］ 上有 n+1
个根，矛盾,
‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -qn(x)‖ ∞,
三,最佳一致逼近元的惟一性定理 5.3.3 在 Pn［ a,b］ 中,若存在对函数
f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元，则惟一,
证明,反证，设有 2个最佳一致逼近元,分别是
pn* (x) 和 qn(x) 。
则它们的平均函数 也是一个最佳一致逼近元 。
* ( ) ( )
() 2nnn p x q xpx +?
现设误差曲线函数 f(x)-?pn(x)在区间［ a,b］
上的一个交错点组为 {x1,x2,…,xn+2},为此
En=|f(xk)-?pn(xk)|
=1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk) ) |.
若对某一个 k,1≤k≤n+2,f(x k)-pn*(xk)≠f(x k)-qn(xk)
那么上式两个差中至少有一个达不到 En或 -En,从而
En＝ |f(xk)-?pn(xk)|
≤ 1/2 (| f(x k)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)
< 1/2(‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ +‖f(x) -qn(x)‖ ∞ )
＝ 1/2(En+En)=En,
这是不可能的，因此只有：
f(xk)-pn*(xk)= f(xk)-qn(xk),k=1,2,…,n+2
即 pn*(xk)=qn(xk),k=1,2,…,n+2.
而 pn*(xk),qn(xk)∈P n［ a,b］,故必有 pn(x)=qn(x).
四、关于最佳一致逼近元的求解
（ 1） 当 f(x)为［－１，１］上的 n+1次多项式时，求
f(x)在 Pn［－１,１］ 中的最佳一致逼近多项式,
（利用 Chebyshev多项式最小模性质，就比较容易）
不妨记 f(x)=b0+b1x+… + bn+1xn+1,|x|≤1,且设 bn+1≠0,
p*n(x)为最佳一致逼近元,
由于首项系数为 1的 n+1次 Chebyshev多项式 Tn+1(x)无穷模最小，
*
*
1
1
( ) ( ) ()n
n
n
f x p x Tx
b ++
pn*(x)=f(x)-bn+1Tn+1(x),(5)
考虑两种特殊情形例 1 设 f(x)=4x4＋ 2x３ －５ x２ ＋ 8x-5/2,|x|≤1,
求 f(x)在 P3［ -1,1］ 中的最佳一致逼近元 p3(x).
解 由 f(x)的表达式可知 b４ ＝４,首项系数为 1的 4次
Chebyshev多项式为
T4(x)＝ x４ － x２ ＋ 1/8.
由 (5)式得 p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３ － x２ ＋ 8x-3.
对区间为［ a,b］ 的情形，先作变换
x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (6)
然后对变量为 t的多项式用 (5)式求得 pn(t),然后再作
(6)式的反变换得到［ a,b］ 上的最佳一致逼近多项式,
（ 2）所求的逼近多项式为低次多项式关于交错点组的定理定理 5.3.4 设 pn*(x)∈P n［ a,b］ 为对
f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元,若
f(n+1)(x)在区间［ a,b］ 上不变号，则 x=a和
b为误差曲线函数 f(x)-pn(x)在区间［ a,b］
上交错点组中的点,
证明,用反证法,若点 a (点 b类似 )不属于交错点组，
那么在区间 (a,b)内至少存在 n+1个点属于交错点组,
即区间 (a,b)内 n+1个交错点上,f(x)-pn*(x) 的一阶导数等于零,这样，由 Rolle定理便可推得在 (a,b)
内至少存在一点,使得 f (n+1) (? ) =0.
这与 f(n+1)(x)在［ a,b］ 上不变号矛盾若 f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以推出
(a,b)内的交错点必为误差曲线函数 f(x)-pn*(x)的驻点故点 x=a属于交错点组,
推论 1,设 pn*(x)∈P n［ a,b］
为对 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元,若 f(n+1)(x)
在区间 (a,b)上不变号，而在 x=a (或 b)处不存在 (但为无穷 )而符号与 (a,b)内
f(n+1)(x)的符号相同，则
x=a(或 b)属于 f(x)- pn*(x)
的交错点组,
例 2 设 f(x)=x,求在 P1［ 0,1］ 中对 f(x)的最佳一致逼近元,
解 由定理 5.3.4和推论 1可知 x=0,1为 f(x)-
p1*(x)交错点组的点,?
由定理 5.3.2，交错点还差一个，?
记这个点为 x1∈ （０，１）,x０ ＝０,x２ ＝１
x１ 为区间 (0,1)内的交错点，所以 x１ 就是误差曲线函数
f(x)- p1*(x)的驻点,
记 p1*(x)=a０ ＋ a１ x，
由〔x-(a0+a1x)〕 ′ x１ ＝０,可得
x１ ＝ 1/(2a１ )２,
p1(x)＝ x+1/8 为所求在 P1［ 0,1］ 中对 f(x)=x
的最佳一致逼近多项式,
因为 x=0,1为交错点，由
〔x-(a0+a1x)〕 x=0＝ 〔x-(a0+a1x)〕 x=1
得 a1=1
将 a１ ＝１ 代入 x１ ＝ 1/(2a１ )２ 得 x１ ＝ 1/4,
〔x-(a0+a1x)〕 x1=1/4＝ -〔x-(a0+a1x)〕 x2=1
得 a０ ＝ 1/8，
(Approximating Function)
邹秀芬武汉大学数学与统计学院
5.1 引言
函数逼近,用比较简单的函数代替复杂的函数
误差为最小，即距离为最小（ 不同的度量意义 ）
举例：对被逼近函数 f(x)=sqrt(x）,在区间
［ 0,1］上按三种不同的逼近方式求其形如
p1(x)=ax+b
的逼近函数,
解 （ 1)按插值法，以 x0＝ 0,x1＝１ 为插值节点对 f(x) 作一次插值所得形如 (1)式的 p1(x)是
p1(x)=x.
dis(f(x),p1(x))=‖f(x) -p1(x)‖ ∞ =max|f(x)-p1(x)|
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)式的 p1(x) p１ (x)=x+1/8.
③按距离 dis (f(x),p１ (x)) =‖f(x) -p1(x)‖ ２
=(∫ 01[f(x)-p１ (x)２ dx) 1/2
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)式的 p１ (x)
p１ (x)=4/5x+4/15
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的,
Chebyshev多项式及其应用
Chebyshev多项式及其性质定义 1 称 Tn(x)=cos(n arccosx),|x|≤1
为 n次 Chebyshev多项式定义 2(交错点组 ) 若函数 f(x)在其定义域的某一区间
［ a,b］ 上存在 n个点 {xk}n k=1，
① |f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖ ∞,k=1,2,…,n;
② -f(xk)=f(xk+1),k=1,2,…,n-1,
则称点集 {xk}n k=1为函数 f(x)在区间［ a,b］ 上的一个交错点组,点 xk称为交错点组的点,
It is very important
预备知识：
Chebyshev多项式的性质性质 1 n次 Chebyshev多项式 Tn(x)的首项系数为 2n-1
性质 2 n次 Chebyshev多项式相邻三项有递推关系,
T0(x)=1,T1(x)=x,
Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,…,
性质 6 当 时，
即 {x1,…,xn } 为 Tn(x)的 n个零点。
21c o s ( 1,..,,)
2k
kx k n
n
0)(?kn xT
性质 8 当 时，
交错取到极大值 1 和极小值?1，即
),...,1,0(co s nknkt k
)( kn tT
||)(||)1()( xTtT nkkn
denote
显然 是首项系数为 1的 n次
Chebyshev多项式,
又若记为一切定义在［－１，１］上首项系数为 1
的 n次多项式的集合
* ()nTx
*
1
()()
2
n
n n
TxTx
* [ 1,1 ]
nP?
这个性质，称为 Chebyshev多项式最小模性质,
**
**
| | ( ) | | ( )
( ) [ 1 1 ]
nn
nn
T x p x
p x P
对 任 意,成 立
Chebyshev 多项式的应用
—— 多项式降次 ( reduce the degree of polynomial
with a minimal loss of accuracy)
设 f (x)? Pn(x)。 在降低 Pn(x) 次数的同时,使因此增加的误差尽可能小,也叫 economiza-
tion of power series。
从 Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降次为,则：
Pn
~P
n?1
|)(|max|)()(|max|)()(|max
]1,1[]1,1[1]1,1[
xPxPxfxPxf nnn
+ ~
因降次而增的误差设 Pn 的首项系数为 an,则取 可使精度尽可能少损失。
12
)()(
n
n
nn
xTaxP
例,f (x) = ex 在 [?1,1]上的 4 阶 Taylor 展开为
24621
432
4
xxxxP ++++?,此时误差 023.0||
!5|)(|
5
4 x
exR
请将其 降为 2阶多项式 。
解,取 )
8
1(
24
1)(
2
1
24
1 24
434 + xxxTP
188 244 + xxT（查表知 ）
)81(241621 23244 ++++ xxxxPP 32 612413192191 xxx +++?
取
)43(61)(2161 3323 xxxTP xxT 34 33
（查表知 ）
192
191
8
9
24
13~ 2
33 ++ xxPP 2| | ( ) | | 0,0 4 7
xe P x
若简单取,则误差
21)(
2
2
xxxP ++? 45.0
!3
e
另类解法可阅读 p.228例 1。
注,对一般区间 [a,b],先将 x 换为 t,考虑 f (t)在 [?1,1]上的逼近 Pn(t),再将 t 换回 x,最后得到 Pn(x)。
§ 5.3 函数的最佳一致逼近
(Optimal uniform Approximation)
|)(|m ax|||| ],[ xff bax
在 意义下,
在 Pn［ a,b］ 中，是否存在一个元素 pn(x),使不等式
‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -pn(x)‖ ∞ (1)
对任意的 pn(x)∈P n［ a,b］ 成立?
这就是 C[a,b]空间中的最佳一致逼近问题一,最佳逼近元的存在性定理 5.3.1 对任意的 f(x)∈C ［ a,b］,在 Pn［ a,b］ 中都存在对 f(x)的最佳一致逼近元,记为 p*n(x),即
‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ =inf{‖f(x) -pn(x)‖ ∞ }
成立,
2 最佳一致逼近元的充要条件定理 5.3.2 (Chebyshev定理） pn*(x)∈P ［ a,b]
对 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数 f(x)- pn*(x)在区间
［ a,b］ 上存在一个至少由 n+2个点组成的交错点组,
即存在点集 a? t1 <…< tn+2? b 使得
*( ) ( ) || ( ) ( ) ||
k n kf t p t f x p x
证明充分性用反证法,设 f(x)- pn*(x)在［ a,b］ 上存在一个至少由 n+2个点组成的交错点组，但 pn*(x)不是最佳一致逼近元,
不妨设 Pn［ a,b］ 中的元素 qn(x)为最佳一致逼
‖f(x) -qn(x)‖ ∞ <‖f(x) -pn*(x)‖ ∞,(4)
Q(x)=pn*(x)- qn(x)
=〔 f(x)-qn(x)〕 -〔 f(x)-pn*(x)〕
记 {x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数 f(x)-
pn*(x)在［ a,b］ 上的交错点组，
由 (4)式可知 n次多项式 Q(x)在点集 {x1*,
x2*,…,xn+2*}上的符号完全由 f(x)- pn*(x)
在这些点上的符号所决定，
{x1*,x2*,…,xn+2*} 为 f(x)-pn*(x)的交错点组，即 f(x)- pn*(x) 在这 n+2个点上正负 (或负正 )相间至少 n+1次，从而至少 n+1
次改变符号，
故 Q(x)也至少 n+1次改变符号，
说明 n次多项式 Q(x)至少在［ a,b］ 上有 n+1
个根，矛盾,
‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -qn(x)‖ ∞,
三,最佳一致逼近元的惟一性定理 5.3.3 在 Pn［ a,b］ 中,若存在对函数
f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元，则惟一,
证明,反证，设有 2个最佳一致逼近元,分别是
pn* (x) 和 qn(x) 。
则它们的平均函数 也是一个最佳一致逼近元 。
* ( ) ( )
() 2nnn p x q xpx +?
现设误差曲线函数 f(x)-?pn(x)在区间［ a,b］
上的一个交错点组为 {x1,x2,…,xn+2},为此
En=|f(xk)-?pn(xk)|
=1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk) ) |.
若对某一个 k,1≤k≤n+2,f(x k)-pn*(xk)≠f(x k)-qn(xk)
那么上式两个差中至少有一个达不到 En或 -En,从而
En＝ |f(xk)-?pn(xk)|
≤ 1/2 (| f(x k)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)
< 1/2(‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ +‖f(x) -qn(x)‖ ∞ )
＝ 1/2(En+En)=En,
这是不可能的，因此只有：
f(xk)-pn*(xk)= f(xk)-qn(xk),k=1,2,…,n+2
即 pn*(xk)=qn(xk),k=1,2,…,n+2.
而 pn*(xk),qn(xk)∈P n［ a,b］,故必有 pn(x)=qn(x).
四、关于最佳一致逼近元的求解
（ 1） 当 f(x)为［－１，１］上的 n+1次多项式时，求
f(x)在 Pn［－１,１］ 中的最佳一致逼近多项式,
（利用 Chebyshev多项式最小模性质，就比较容易）
不妨记 f(x)=b0+b1x+… + bn+1xn+1,|x|≤1,且设 bn+1≠0,
p*n(x)为最佳一致逼近元,
由于首项系数为 1的 n+1次 Chebyshev多项式 Tn+1(x)无穷模最小，
*
*
1
1
( ) ( ) ()n
n
n
f x p x Tx
b ++
pn*(x)=f(x)-bn+1Tn+1(x),(5)
考虑两种特殊情形例 1 设 f(x)=4x4＋ 2x３ －５ x２ ＋ 8x-5/2,|x|≤1,
求 f(x)在 P3［ -1,1］ 中的最佳一致逼近元 p3(x).
解 由 f(x)的表达式可知 b４ ＝４,首项系数为 1的 4次
Chebyshev多项式为
T4(x)＝ x４ － x２ ＋ 1/8.
由 (5)式得 p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３ － x２ ＋ 8x-3.
对区间为［ a,b］ 的情形，先作变换
x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (6)
然后对变量为 t的多项式用 (5)式求得 pn(t),然后再作
(6)式的反变换得到［ a,b］ 上的最佳一致逼近多项式,
（ 2）所求的逼近多项式为低次多项式关于交错点组的定理定理 5.3.4 设 pn*(x)∈P n［ a,b］ 为对
f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元,若
f(n+1)(x)在区间［ a,b］ 上不变号，则 x=a和
b为误差曲线函数 f(x)-pn(x)在区间［ a,b］
上交错点组中的点,
证明,用反证法,若点 a (点 b类似 )不属于交错点组，
那么在区间 (a,b)内至少存在 n+1个点属于交错点组,
即区间 (a,b)内 n+1个交错点上,f(x)-pn*(x) 的一阶导数等于零,这样，由 Rolle定理便可推得在 (a,b)
内至少存在一点,使得 f (n+1) (? ) =0.
这与 f(n+1)(x)在［ a,b］ 上不变号矛盾若 f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以推出
(a,b)内的交错点必为误差曲线函数 f(x)-pn*(x)的驻点故点 x=a属于交错点组,
推论 1,设 pn*(x)∈P n［ a,b］
为对 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元,若 f(n+1)(x)
在区间 (a,b)上不变号，而在 x=a (或 b)处不存在 (但为无穷 )而符号与 (a,b)内
f(n+1)(x)的符号相同，则
x=a(或 b)属于 f(x)- pn*(x)
的交错点组,
例 2 设 f(x)=x,求在 P1［ 0,1］ 中对 f(x)的最佳一致逼近元,
解 由定理 5.3.4和推论 1可知 x=0,1为 f(x)-
p1*(x)交错点组的点,?
由定理 5.3.2，交错点还差一个，?
记这个点为 x1∈ （０，１）,x０ ＝０,x２ ＝１
x１ 为区间 (0,1)内的交错点，所以 x１ 就是误差曲线函数
f(x)- p1*(x)的驻点,
记 p1*(x)=a０ ＋ a１ x，
由〔x-(a0+a1x)〕 ′ x１ ＝０,可得
x１ ＝ 1/(2a１ )２,
p1(x)＝ x+1/8 为所求在 P1［ 0,1］ 中对 f(x)=x
的最佳一致逼近多项式,
因为 x=0,1为交错点，由
〔x-(a0+a1x)〕 x=0＝ 〔x-(a0+a1x)〕 x=1
得 a1=1
将 a１ ＝１ 代入 x１ ＝ 1/(2a１ )２ 得 x１ ＝ 1/4,
〔x-(a0+a1x)〕 x1=1/4＝ -〔x-(a0+a1x)〕 x2=1
得 a０ ＝ 1/8，
