1
第五讲 积分与微分重庆交通学院计算机系
2003年 9月
2009-7-29
2
一,Matlab中的微积分功能
1.一般微积分函数
syms s1 s2.,
建立符号变量 s1,s2…
diff(S,x,n)
求符号函数 S对变量 x的 n次微分
pretty(S)
将 S化为一个符合日常书写习惯的形式
limit(F,x,a)
求函数 F当变量 x趋向 a点时的极限
limit(F,x,a,’ left’)
求函数 F的变量 x在 a点的左极限（ right,inf）
2009-7-29
3
taylor(F,a,n)
对函数 F在 a点 taylor展开（默认在零点展开 5次）
fmin(F,a,b)
求函数 F在区间 [a,b]内的极值点。
fzero(F,x0)
求函数 F在 x0附近的零点。
int(S)
给出符号函数 S的不定积分（只有当 S的不定积分有显式表达式时有效）。
int(S,x,a,b)
给出符号函数 S对于变量 x在区间 [a,b]上的定积分。（和上面一样,S必须有显式的不定积分表达式）
2009-7-29
4
2.出现的问题
许多函数按常规方法“积不出来”，如：
对于离散的数据或图形函数，常规方法也不能给出合理的积分或微分。然而离散数据又是计算机时代的基本特点。
dx
x
xdxe b
a
b
a
x
s i n
,2
2
如何解决？
数值积（微）分的必要性
2009-7-29
5
二,数值积分
1.回忆定积分的定义：
n
ab
fI
IdxxfI
n
k
kn
n
b
a n
1
)(
l i m)(
的数值积分。各种就是充分大时，上式中 IIn n
对小。
相分的精度高，而计算量划分，才能使得数值积如何如何选取和数值积分方法研究的是 ],[,k ba?
2009-7-29
6
2.从矩形公式到梯形公式：
)(,
,.,,.,,10
kk
nk
xff
n
ab
h
bxxxxa
）（
）（
2
1
1
1
0
n
k
kn
n
k
kn
fhH
fhL
平均得到梯形公式：nn HL,
）（ 3)(
2 0
1
1
n
n
k
kn ff
hfhT
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7
3,辛普森（ Simpson）公式：
。线公式（辛普森公式）
得到抛物线性插值代替提高精度采用分段二次为了线性插值代替梯形公式相当于用分段
)(
),(
xf
xf
1,.,,1,0),,(
),,(),,(
2222
121222
mkfx
fxfx
kk
kkkk ＋
间的端点的三个函数值区如左图：每段用相邻两
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:),(
)4(
3
)(
:),(
),(),,(),,(
22
2
22122
2222121222
得到辛普森公式段共求和对计算积分值函数构造二次插用
＋
mk
fff
h
dxxs
xs
fxfxfx
k
k
x
x
kkkk
k
kkkkkk
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阶收敛）。
阶收敛，辛普森公式阶的（即梯形公式差是的误线）公式阶的，而辛普森（抛物误差是的称梯形公式上面
＝
辛普森公式的误差
＝
梯形公式的误差
4
2
),,(|,)(|m ax
)(
180
|)(||),(|
:
)(
12
|)(||),(|
:
4
2
)(
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4
''
2
h
Sh
TbaxxfM
abM
h
SdxxfSfR
abM
h
TdxxfTfR
n
n
ii
n
b
a
n
b
a
nn
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4.蒙特卡罗（ Monte Carlo）方法
—— 随机模拟
:]1,0[1)( 2 方法得到之间的积分可以按下面在－ xxf?
1
0 4
)(
4
1
n
k
dxxf
n
k
n
足够大时有当单位圆中，个点落在若有个点，在单位正方形中随机打
。为函数积分的有效区域单位圆而正方形为积分区域注意到
4
1
],1,0[]1,0[,?
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5,用 Matlab作数值积分：
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实例：
20 s i n
x dx计算
）。等分（即），将（
矩形公式和梯形公式
20/102/0
)1
h
的函数的积分）
计算用数值给出（精确、方便，但无法辛普森公式)2
参看 Exam51.m
参看 Exam52.m
2009-7-29
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三,数值微分处的导数。计算在点）
以离散值给出（如已知函数
axhafhaf
afxfy
,)(),(
),()(
前差公式后差公式
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的形式：给出中点公式更一般化下面在分点处数值为等分，将区间
。中点公式的误差为
，、后差公式的误差均为三式的误差：其中前差展开后可以估计上面作在点将
,/)(,.,,),,(
)(n),(
)(
)(
)(
10
2
nabhbxxxayx
xfyba
hO
hO
T a yl o rahaf
nkk
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详细讲解。中有广泛的应用，不作的数值解。三点公式在微分方程式相同为
，其误差和中点公上面三式称为三点公式
)(O 2h
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2003年 9月
2009-7-29
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一,Matlab中的微积分功能
1.一般微积分函数
syms s1 s2.,
建立符号变量 s1,s2…
diff(S,x,n)
求符号函数 S对变量 x的 n次微分
pretty(S)
将 S化为一个符合日常书写习惯的形式
limit(F,x,a)
求函数 F当变量 x趋向 a点时的极限
limit(F,x,a,’ left’)
求函数 F的变量 x在 a点的左极限（ right,inf）
2009-7-29
3
taylor(F,a,n)
对函数 F在 a点 taylor展开（默认在零点展开 5次）
fmin(F,a,b)
求函数 F在区间 [a,b]内的极值点。
fzero(F,x0)
求函数 F在 x0附近的零点。
int(S)
给出符号函数 S的不定积分（只有当 S的不定积分有显式表达式时有效）。
int(S,x,a,b)
给出符号函数 S对于变量 x在区间 [a,b]上的定积分。（和上面一样,S必须有显式的不定积分表达式）
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2.出现的问题
许多函数按常规方法“积不出来”，如：
对于离散的数据或图形函数，常规方法也不能给出合理的积分或微分。然而离散数据又是计算机时代的基本特点。
dx
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s i n
,2
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如何解决？
数值积（微）分的必要性
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二,数值积分
1.回忆定积分的定义：
n
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n
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1
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的数值积分。各种就是充分大时，上式中 IIn n
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相分的精度高，而计算量划分，才能使得数值积如何如何选取和数值积分方法研究的是 ],[,k ba?
2009-7-29
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2.从矩形公式到梯形公式：
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平均得到梯形公式：nn HL,
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1
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3,辛普森（ Simpson）公式：
。线公式（辛普森公式）
得到抛物线性插值代替提高精度采用分段二次为了线性插值代替梯形公式相当于用分段
)(
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xf
1,.,,1,0),,(
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2222
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间的端点的三个函数值区如左图：每段用相邻两
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3
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22
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22122
2222121222
得到辛普森公式段共求和对计算积分值函数构造二次插用
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阶收敛）。
阶收敛，辛普森公式阶的（即梯形公式差是的误线）公式阶的，而辛普森（抛物误差是的称梯形公式上面
＝
辛普森公式的误差
＝
梯形公式的误差
4
2
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4.蒙特卡罗（ Monte Carlo）方法
—— 随机模拟
:]1,0[1)( 2 方法得到之间的积分可以按下面在－ xxf?
1
0 4
)(
4
1
n
k
dxxf
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足够大时有当单位圆中，个点落在若有个点，在单位正方形中随机打
。为函数积分的有效区域单位圆而正方形为积分区域注意到
4
1
],1,0[]1,0[,?
2009-7-29
11
5,用 Matlab作数值积分：
2009-7-29
12
2009-7-29
13
实例：
20 s i n
x dx计算
）。等分（即），将（
矩形公式和梯形公式
20/102/0
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h
的函数的积分）
计算用数值给出（精确、方便，但无法辛普森公式)2
参看 Exam51.m
参看 Exam52.m
2009-7-29
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三,数值微分处的导数。计算在点）
以离散值给出（如已知函数
axhafhaf
afxfy
,)(),(
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前差公式后差公式
2009-7-29
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的形式：给出中点公式更一般化下面在分点处数值为等分，将区间
。中点公式的误差为
，、后差公式的误差均为三式的误差：其中前差展开后可以估计上面作在点将
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详细讲解。中有广泛的应用，不作的数值解。三点公式在微分方程式相同为
，其误差和中点公上面三式称为三点公式
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