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第六章 计算机辅助工程分析
机械产品设计过程的一个重要环节是分析、计算，其中包括对产品几何模型进行分析、计算，通过应力变形进行结构分析，对设计方案进行分析、评价等。
传统的分析方法,
采用手工计算，过程繁琐，效率低，往往需要对原型进行较大的简化并引入更多的假设，分析方法一般比较粗略，分析结果不够可靠，只能用来对产品设计方案作定性的比较分析，而不能作出定量的评价。
工程分析,
主要通过计算机，利用数值分析方法进行辅助工程分析，是 CAD 中应用最早、
卓有成效的领域之一。分析的关键是在三维实体建模的基础上，从产品的方案设计阶段开始，按照实际使用的条件进行仿真和结构分析；按照性能要求进行设计和综合评价，以便从多个设计方案中选择最佳方案。
计算机辅助工程分析通常包括有限元分析、优化设计、仿真（模拟分析）可靠性分析、试验模态分析等。
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第一节 有限元分析法
一．有限元概述
1．有限元分析法,
是力学与近代计算机技术相结合的产物，是一种解决工程问题的数值计算方法,1960 年美国 Clogh 教授首次提出,有限元法（The Finite Element Method ）,的概念。
2．分类
有限元建模（Finite Element Modeling,简称 FEM ）和有限元分析(Finite Element
Analysis，简称 FEA)技术已成为建立分析模型、共享数据的有效途径，是解决各种工程实际问题的便利工具和有效手段。
3．应用
有限元法可以处理任何复杂形状、不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程问题，广泛应用于场强（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等研究领域中。
二．有限元法的基本思想
1．有限元法的基本思想
先把一个原来是连续的物体剖分（离散） 成有限个单元，而且他们相互连接在有限个节点上（如图所示）,承受等效的结点载荷（由静力等效原则转化为节点上的等效载荷）,并根据平衡条件（应用虚位移原理建立平衡条 件）进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的，所以称为有限元法。
图 5-1 单元剖分示例
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2．单元类型
在采用有限元法对结构进行分析计算时，分析对象不同，采用单元类型（形状）也不同。常见的单元类型有：杆单元、梁单元、板单元（三角形、矩形等）,多面体单元（四面体、六面体）等。
三,有限元法的基本解法
有限元问题最终归结为：在满足边界条件 的情况下，求解基本方程，在实际求解时，先求某些未知量，再由它们求解其他未知量。
1．有限元的方法模式
经典的最小势能原理的位移有限元模式（位移法）
基于余能原理的应力平衡模式（应力法）
基于广义势能原理的位移杂交模式（位移杂交法）
基于广义余能原理的应力杂交模式（应力杂交法）
基于H-W混合变分原理的混合有限元模式等
有限条带法、无限元、半解析有限元以及 边界元等，从而大大提高了有限元法解决实际问题的能力。
2．有限元法求解的具体步骤
有限元法求解的具体步骤如下图所示
1）单元剖分
把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和结点编号。
2）单元特征分析
3）总体结构合成
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开始力学特性分析
单元类型选择
输出计算结果
建立单元刚度矩阵
形成总体刚度矩阵
形成载荷阵列
边界条件处理
求解刚度矩阵
划分单元、将单元、
节点编号输入
结束
四,有限元分析的前置处理和后置处理
1．前置处理
前置处理是在用有限元法进行结构分析之前，按所使用的单元类型对结构进行剖分；根据要求对结点进行顺序编号；输入单元特性及结点坐标；生成网格图象并显示；为了决定它是否适用或者是否应当修改，显示的图象应带有结点和单元标号以及边界条件等信息；为了便于观察，图象应能分块显示、放大或缩小。对于三维结构的网格图象需要具备能使图象作三维旋转的功能等。以上内容一般称之为前置处理，为实现这些要求而编制的程序称为前置处理程序。
2．前置处理程序基本功能
1）生成结点坐标并按顺序编号；
2）生成网格单元，图 5-2 为一复杂曲面的网格划分图；
3）修改和控制网格单元；
4）引进边界条件以约束一系列结点的总体位移和转角；
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5）单元物理几何属性编辑，如材料特性、弹性模量、厚度、惯性矩以及泊松比等；
6）单元分布载荷编辑等。
3．后置处理
后置处理，是将有限元计算分析结果进行加工处理并形象化为变形图、等值线图、应力应变彩色图、应力应变曲线以及振型图等，以便对变形、应力等进行直观分析和研究。图5-3所示为某受力体表面应力等值线图。为了实现上述目的而编制的程序，称为后置处理程序。
4．后置处理内容,
（1）数据输出：将结点位移、单元应力按设 计者的意图整理输出，还可从大量数据中筛选出关键的有用数据，按用户要求的格式输出规格化的数据文件。
（2）图形显示：图形显示和绘图可形象直观 地表示有限元模型和计算结果，可帮助设计者迅速了解研究对象的特征，从而对修改模型作出判断。图形显示包括有限元网格图、结构变形图、等值线图以及振型图等。等值线有应力等值线图、位移等值线图、等高线图和温度等值线图等，其中在工程结构分析中，以应力等值线图应用最多。等值线图可在彩色屏幕上用不同的颜色加以形象化。图5-4所示为一曲面的彩色等高线图。
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五．有限元前、后置处理的应用分类,
1．将几何建模系统和有限元分析系统有机结 合，在建模系统中将有限元的前后置处理作为线框建模、表面建模、实体建模的应用层。即将几何建模的几何参数和拓扑关系等数据进行加工，自动剖分成有限元的网格，在输入有限元的其他数据，生成不同有限元分析程序所需的数据网格文件。
2．单独为某一有限元分析程序配置前后处理 功能程序，并把二者集成为一套完整的有限元分析系统，他同时具有批处理和图形编辑功能。
三维几何造型系统
前处理 有限元分析 后处理
交互式用户接口
用户
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第二节 优化设计
优化设计原则：寻求最优设计
优化设计手段：计算机和应用软件
优化设计理论：数学规划法。
一、优化设计的基本概念
优化设计要解决两个关键问题,
（1）建立优化设计数学模型，它包括三个要 素，即优化设计的目标函数、设计变量和约束条件；
（2）选择适合的优化方法。
1．设计变量
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一组基本参数来表示某个设计方案，
这组参数根据其特点又分为
设计常量,
可以根据客观规律或具体条件预先确定的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量,
在设计过程中不断变化，需要在设计过程中进行选择的基本参数，称为设计变量，
如几何尺寸、速度、加速度、温度等。
例 5-1 设计一密闭矩形容器，其容积为 3m
3
，容器的宽度不小于 1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低，要求用料最省。
这项设计的设计变量是矩形容器的长l、宽w、高h。
2）对设计变量的要求
机械优化设计时，作为设计变量的基本参数，一般是一些相互独立的参数，其取值都是实数。根据设计要求，大多数设计变量是有界连续变量，称为连续量，如温度。但在一些情况下，有的设计变量取值是跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、
模数，丝杆的螺距等。对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量，在求得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优方案。
一项设计，若有n个设计变量χ
1
，χ
2
，…，χ
n
可以按一定次序排列，可以用n
维向量来表示,
χ =[χ
1
，χ
2
，…，χ
n
]
T
χ ∈ R
n
它表示了设计空间的概念，即以n个设计变量为坐标轴组成的实空间,R
n
代表n维空间
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2．目标函数
1）概念,
目标函数是指根据特定目标建立起来的、以设计变量为自变量的一个可计算的数学函数。它是设计方案评价的标准。
2）目标函数的描述,
优化设计的过程实际上是求目标函数极小值或极大值的过程，而求目标函数极大值的问题可转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数学模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标函数统一描述为,
min F（ χ ）= F（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
） （5 -- 14）
例5-1中密闭容器优化设计的目标函数可表示为,
min F（ χ ） F（ χ ）= F（l,w,h）=2（lh+wh+lw）
3）分类
单目标优化：如果优化问题只有一个目标函数，则称为单目标优化,
多目标优化：如果优化问题有几个目标函数，则称为多目标优化。
3．约束条件
1）概念,
为产生一个可接受的设计，设计变量本身或相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法,
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数形式和等式约束函数形式，
即
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≤0
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≥0 （ i =1，2，…，m）
h
j
（ χ ）= h
j
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）= 0 （ j =1，2，…，p）
式中m，p分别表示施加于该项设计的不等式约束数目和等式约束数目。
3）分类
按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。
（1）性能约束
称性态约束，是针对设计对象的某种性能或指标而给出的一种约束条件。
如零件的计算应力不大于许用应力，轴的 扭转变形应小于许用扭转角等。
一般这类约束条件总可以根据设计规范中的设 计公式或通过物理学和力学的基本分析导出的约束函数来表示。
（2）边界约束
又称区域约束，表示设计变量的物理限制和取值范围。如例5-1 中 的 边界约束条件为,
g
1
（ χ ）= g
1
（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0
g
2
（ χ ）= g
2
（l，w，h）= l > 0
g
3
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= h > 0
约束条件必须是以设计变量为自变量一个 有定义的函数，并且各个约束条件之间不能彼此矛盾。
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二、优化设计的数学模型
建立数学模型是进行优化设计的首要任务 。首先对实际问题的特征或本质加以抽象，并将其表现为数学形态，即为数学模型。
1．数学模型的描述
数学模型的规范化描述形式为,
min F（ χ ） χ =[χ
1
，χ
2
，…，χ
n
]
T
χ ∈ R
n
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≥0 i =1，2，…，m
h
j
（ χ ）= h
j
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）= 0 j =1，2，…，p
2．线形规划
当目标函数 F（ χ ）,约束条件 g
i
（ χ ）和 h
j
（ χ ）是设计变量的线形函数时，称该优化问题为线形规划问题；
3．非线形规划
当目标函数 F（ χ ）,约束条件 g
i
（ χ ）和 h
j
（ χ ）中有一个或几个是设计变量的非线形函数时，称该优化问题为非线形规划问题；机械设计中，绝大多数优化设计问题的数学模型都属于非线形规划问题。
例5-1中的优化设计问题可建立如下的数学模型,
minF（ χ ）= F（l,w,h）=2（lh+wh+lw）
g
1
（ χ ）= g
1
（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0
g
2
（ χ ）= g
2
（l，w，h）= l > 0
g
3
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= h > 0
g
4
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= l ·w ·h = 3
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变量,
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程
数学模型的正确与合理性直接影响设计的 质量，建立数学模型甚至比求解更为复杂。
1）分析设计问题，初步建立数学模型
即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条件不同，数学模型也会不同。因此，
要首先弄清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用或建立适当的数学、
物理、力学模型来描述问题
2）确定设计变量
从理论上讲，设计变量越多，设计自由度就越大，越容易得到理想的结果，但问题也就越复杂，求解也越困难。通常应参照以往的设计经验和实际要求，将那些对目标函数影响不大的参数取为常量，以减少设计变量的个数，有利于设计问题数学模型的简化。
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3）根据工程实际，提出约束条件
约束条件是对设计变量的限制，这种限制必须要根据工程实际情况来制订，以便使设计方案切实可行。约束条件的数目越多，则可行的设计方案就越少，优化设计的难度也越大。
4）对照实际设计，修正数学模型
建立合理的数学模型往往不是一次完成的，需要经过多次反复。初步建立模型之后，应与设计问题加以对照，并对函数值域、数学精确度和设计性质等方面进行分析，
若不能正确、精确地描述设计问题，则需用逐步逼近的方法对模型加以修正。
5）选择正确的计算方法，确定计算误差
如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法 求出精确解，则需采用近似的数值计算方法，并估计计算误差。
6）进行结果分析，审查模型灵敏度
数学模型求解后，还应进行灵敏度分析，即在优化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵敏度高，就需要重新修正模型。因为工程实际中设计变量的取值不可能与理论计算结果完全一致，灵敏度可能对最优值产生很大影响，造成设计的实际效果比理论分析差得多。
三．常用优化设计方法
1．一维搜索法
2．一维函数黄金分割法（0.618法）
3．二次插值法（近似抛物线法）
4．坐标轮换法
5．鲍威尔法（Powell法）
6．梯度法
7．牛顿法
8．变尺度法（DRP）
9．复合形法
10．惩罚函数法（罚函数法）
目前，优化设计软件已成为一种比较成熟的软件产品。例 如 OPB，MOPB，PLODM
和DDDU等。这些程序库中各种算法齐全，使用方便，使用者只要会选择适当的算法，
并按既定格式编写具体信息的子程序即可。在CAD/CAM中，应尽可能选用现成的优化方法软件，以节省人力、机时，尽快得到优化设计结果，满足CAD/CAM的需要。
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四．优化设计的步骤
从设计方法来看，机械优化设计和传统的机械设计方法有本质的差别。图5-6所示为优化设计的一般步骤。
分析机械优化设计问题建立数学模型选择优化方法编写计算机程序上机验算方案评价与决策输出最优设计方案图 5-6 优化设计步骤
1.分析设计问题，建立优化设计数学模型
首先要分析具体的设计对象，明确设计要求、设计准则及已知条件，确定设计变量、优化目标、约束条件及计算精度等。方案设计阶段的优化旨在选择产品最后的总体布局、形体设计、传动控制方式及具体结构形式等，方案的优劣取舍主要靠设计者的判断和决策，当前用专家系统实现方案优化已取得重要进展。在详细设计阶段，CAD
系统根据所得的产品方案描述，如对某个机构、零部件的具体要求，将其属性（主要是几何和材料方面）的优化问题转化为数学问题，从而建立起正确合理的优化设计的数学模型。
2.选择优化方法
各种优化方法都有其特点和使用范围，选取的方法应能建立适合设计对象的数学模型，解题成功率高，易于达到规定的精度要求，计算速度快，稳定性好，可靠性高，
占用机时少。
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3.编写计算机程序
一般只需将数学模型按要求编写子程序，嵌入所选用的优化方法程序中即可。
4.准备必要的原始数据，上机验算
5.方案的评价与决策
采用优化设计这种现代化的设计方法，目的就是要提高设计质量，使设计达到最优，若不认真评价优化结果，则使得整个工作失去意义，前功尽弃。在分析评价时，
如发现问题，或者重新计算，或者需要重新选择设计方案，甚至需要重新修正数学模型，直至获得最优方案。
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第三节 计算机仿真简介
仿真是近几十年发展起来的一门综合性技术学科，它为系统分析、综合、研究和设计以及对专业人员的培训提供了一种先进技术手段。
一。仿真的基本概念
1．概念
为了对系统进行分析、研究，首先要建立实际 系统的模型（模拟系统）,然后在此模型上进行试验研究，这一过程就是仿真（Simulation） 。仿真的关键是如何建立从实际系统抽象出来的仿真模型。
2．仿真的类型
仿真是在模型上反复试验研究的过程。模型有物理模型、数学模型和物理—数学模型三种,
仿真根据所使用模型的不同，也可分为物理仿真、数学仿真和物理—数学仿真三种类型。
1）物理仿真
物理仿真是按照真实系统的物理性质构造系统的物理模型，并在物理模型上进行试验、研究的过程。由于物理模型和实际系统之间具有相似的物理属性，所以，物理仿真能直观形象地观测到难以用数学来描述的系统特性，可靠性高。但构造系统的物理模型投资较大，时间较长。一般物理模型多采用已试制出的样机或与实际近似等效的代用品，如用相同直径、材质的试件做强度实验。
2）数学仿真
数学仿真又称为计算机仿真。即建立系统（或过程）的可以计算的数学模型（仿真模型）,并据此编制成仿真程序放入计算机进行仿真实验，掌握实际系统（或过程）
在各种内外因素变化下，性能的变化规律。仿真模型的建立反映了系统模型和计算机之间的关系是以数学方程式的相似性为基础的。与物理仿真相比，数学仿真系统的通用性强，经济、方便、准备时间短、灵活性好，可作为不同物理属性的实际系统的模型，故数学仿真应用范围广,
3）物理—数学仿真
物理—数学仿真是按照真实系统建立数学—物理的混合模型，进行试验研究的过程。它有一部分是数学模型，另一部分是已研制出来的产品部件或子系统，主要目的是对产品整体性能和实际部件或子系统进行功能测试。物理—数学仿真多用于培训各种复杂设备的操作人员，安全性好，效率高，成本低。
根据仿真系统使用设备的不同，仿真又可分为模拟仿真、数字仿真、混合仿真和全数字并行仿真四种类型。
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1）模拟仿真
早期的仿真采用模拟计算机作为仿真设备，称为模拟仿真。模拟仿真主要用于连续系统的仿真，涉及的领域包括自动控制、航天等方面，如宇宙飞船的姿态及轨道的动态仿真。模拟仿真运算速度快，人机联系紧密，能进行实时仿真，与仿真对象连接方便，但模拟仿真精度低，存储和逻辑功能差。
2）数字仿真
随着数字计算机的发展和普及，应用数字计算机对实际系统进行仿真，即数字仿真。数字仿真是利用数字计算机和仿真软件对系统进行仿真。只要将事先编好的一套仿真程序存入计算机，使用时输入必要的数据就能进行系统仿真了。数字仿真比模拟仿真步骤要简单、容易，计算精度高。而且，不同的仿真软件能用于不同类型系统的仿真，适应面广。
3）混合仿真
混合仿真是利用数字计算机和模拟计算机通过 A/D、D/A 接口组成的混合计算机系统对系统进行仿真。它具有模拟仿真和数字仿真的优点，但价格较高，系统复杂。
4）全数字并行仿真
全数字并行仿真是利用多处理技术和多道程序技术对系统进行仿真的一种方法。
它计算速度快、容量大、精度高、实时性能好，操作简便，但结构复杂、价格昂贵。
3．计算机仿真的意义
计算机仿真的广泛应用具有十分重要的意义，主要体现在以下几个方面,
1）替代许多难以或无法实施的实验
采用计算机仿真可以对诸如地震灾害程度、地球气候变化、人口发展与控制等难以真正实施的事件进行抽象，在抽象的仿真模型上进行反复的实验，从而替代无法实际运作的实验。
2）解决一般方法难以求解的大型系统问题
有些庞大的系统，比如计算机集成制造系统、核电站的控制等，采用理论分析或数学求解的方法进行研究常常显得无能为力。可以通过计算机仿真，用实验的方法来加以研究。
3）降低投资风险、节省研究开发费用
计算机仿真有效地提高了决策的科学性，减少了盲目投资，避免了重新设计或重建的巨大浪费。
4）避免实际实验对生命、财产的危害
计算机仿真避免了实际系统实验时，对人员伤害和对设施等的破坏，较好地达到实验的目的。
5）缩短实验时间、不受时空限制
计算机仿真不受场地、天气和时间等限制，充分利用了计算机的优势，既可缩短实验时间，又可多次重复进行。
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4．计算机仿真的特点
1）以计算机为实验环境，依赖实际系统的抽象仿真模型。
2）计算机仿真结果是实验解，而不是纯粹的数学解析或数值分析解。
3）既能展示实际系统的模拟静态，又能直观表现系统的动态特性。
二,计算机仿真的主要步骤
1．建立数学模型
根据仿真的目的，建立系统的数学模型。
2．模型变换
在数学模型的基础上，选择仿真方法，将数学模型变换为计算机可以接受的仿真模型。
3．编制仿真程序
根据仿真模型，画出仿真流程图，再使用通用高级语言或专用仿真语言编制计算机程序。目前世界上已发表过数百种各有侧重的仿真语言。常用的有SIMULA、SLAM、
SIMSCRIPT、GPSS、GASP、CSL、CSMP等。
4．进行仿真实验
选择并输入仿真所需要的全部数据，在计算机上运行仿真程序，进行仿真实验，
以获得实验数据，并动态显示仿真结果。
5．结果的统计分析
对实验结果数据进行统计分析，对照设计需求和预期目标，综合评价仿真对象。
6．仿真工作总结
对仿真模型的适用范围、可信度，仿真实验的运行状态、费用等进行总结。
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三,仿真在 CAD/CAM系统中的应用
1．产品形态仿真
例如产品的结构形状、外观、色彩等形象化属性。
2．装配关系仿真
例如零部件之间的装配关系与干涉检验，车间平面布局及管道规划等。
3．运动学仿真
模拟机构的运动过程，包括自由度约束状况、运动轨迹、速度和加速度等。
比如数控机床的运动状态、规律等。
4．动力学仿真
例如模拟机床工作过程中的振动和稳定性 情况，机械产品在受到冲击载荷后的动态性能等。
5．零件工艺过程几何仿真
根据工艺路线的安排，模拟零件从毛坯到成品的金属去除过程，检验工艺过程的合理性、可行性、正确性。
6,加工过程仿真
例如数控加工自动编程后的刀具运动轨迹模拟，刀具与夹具、机床的碰撞干涉检验，切削过程中刀具磨损、切屑形成情况等。
7．生产过程仿真
例如FMS仿真，模拟工件在系统中的流动过程，包括从上料到最后下料、成品入库的全部过程。
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机械产品设计过程的一个重要环节是分析、计算，其中包括对产品几何模型进行分析、计算，通过应力变形进行结构分析，对设计方案进行分析、评价等。
传统的分析方法,
采用手工计算，过程繁琐，效率低，往往需要对原型进行较大的简化并引入更多的假设，分析方法一般比较粗略，分析结果不够可靠，只能用来对产品设计方案作定性的比较分析，而不能作出定量的评价。
工程分析,
主要通过计算机，利用数值分析方法进行辅助工程分析，是 CAD 中应用最早、
卓有成效的领域之一。分析的关键是在三维实体建模的基础上，从产品的方案设计阶段开始，按照实际使用的条件进行仿真和结构分析；按照性能要求进行设计和综合评价，以便从多个设计方案中选择最佳方案。
计算机辅助工程分析通常包括有限元分析、优化设计、仿真（模拟分析）可靠性分析、试验模态分析等。
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第一节 有限元分析法
一．有限元概述
1．有限元分析法,
是力学与近代计算机技术相结合的产物，是一种解决工程问题的数值计算方法,1960 年美国 Clogh 教授首次提出,有限元法（The Finite Element Method ）,的概念。
2．分类
有限元建模（Finite Element Modeling,简称 FEM ）和有限元分析(Finite Element
Analysis，简称 FEA)技术已成为建立分析模型、共享数据的有效途径，是解决各种工程实际问题的便利工具和有效手段。
3．应用
有限元法可以处理任何复杂形状、不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程问题，广泛应用于场强（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等研究领域中。
二．有限元法的基本思想
1．有限元法的基本思想
先把一个原来是连续的物体剖分（离散） 成有限个单元，而且他们相互连接在有限个节点上（如图所示）,承受等效的结点载荷（由静力等效原则转化为节点上的等效载荷）,并根据平衡条件（应用虚位移原理建立平衡条 件）进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的，所以称为有限元法。
图 5-1 单元剖分示例
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2．单元类型
在采用有限元法对结构进行分析计算时，分析对象不同，采用单元类型（形状）也不同。常见的单元类型有：杆单元、梁单元、板单元（三角形、矩形等）,多面体单元（四面体、六面体）等。
三,有限元法的基本解法
有限元问题最终归结为：在满足边界条件 的情况下，求解基本方程，在实际求解时，先求某些未知量，再由它们求解其他未知量。
1．有限元的方法模式
经典的最小势能原理的位移有限元模式（位移法）
基于余能原理的应力平衡模式（应力法）
基于广义势能原理的位移杂交模式（位移杂交法）
基于广义余能原理的应力杂交模式（应力杂交法）
基于H-W混合变分原理的混合有限元模式等
有限条带法、无限元、半解析有限元以及 边界元等，从而大大提高了有限元法解决实际问题的能力。
2．有限元法求解的具体步骤
有限元法求解的具体步骤如下图所示
1）单元剖分
把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和结点编号。
2）单元特征分析
3）总体结构合成
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开始力学特性分析
单元类型选择
输出计算结果
建立单元刚度矩阵
形成总体刚度矩阵
形成载荷阵列
边界条件处理
求解刚度矩阵
划分单元、将单元、
节点编号输入
结束
四,有限元分析的前置处理和后置处理
1．前置处理
前置处理是在用有限元法进行结构分析之前，按所使用的单元类型对结构进行剖分；根据要求对结点进行顺序编号；输入单元特性及结点坐标；生成网格图象并显示；为了决定它是否适用或者是否应当修改，显示的图象应带有结点和单元标号以及边界条件等信息；为了便于观察，图象应能分块显示、放大或缩小。对于三维结构的网格图象需要具备能使图象作三维旋转的功能等。以上内容一般称之为前置处理，为实现这些要求而编制的程序称为前置处理程序。
2．前置处理程序基本功能
1）生成结点坐标并按顺序编号；
2）生成网格单元，图 5-2 为一复杂曲面的网格划分图；
3）修改和控制网格单元；
4）引进边界条件以约束一系列结点的总体位移和转角；
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5）单元物理几何属性编辑，如材料特性、弹性模量、厚度、惯性矩以及泊松比等；
6）单元分布载荷编辑等。
3．后置处理
后置处理，是将有限元计算分析结果进行加工处理并形象化为变形图、等值线图、应力应变彩色图、应力应变曲线以及振型图等，以便对变形、应力等进行直观分析和研究。图5-3所示为某受力体表面应力等值线图。为了实现上述目的而编制的程序，称为后置处理程序。
4．后置处理内容,
（1）数据输出：将结点位移、单元应力按设 计者的意图整理输出，还可从大量数据中筛选出关键的有用数据，按用户要求的格式输出规格化的数据文件。
（2）图形显示：图形显示和绘图可形象直观 地表示有限元模型和计算结果，可帮助设计者迅速了解研究对象的特征，从而对修改模型作出判断。图形显示包括有限元网格图、结构变形图、等值线图以及振型图等。等值线有应力等值线图、位移等值线图、等高线图和温度等值线图等，其中在工程结构分析中，以应力等值线图应用最多。等值线图可在彩色屏幕上用不同的颜色加以形象化。图5-4所示为一曲面的彩色等高线图。
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五．有限元前、后置处理的应用分类,
1．将几何建模系统和有限元分析系统有机结 合，在建模系统中将有限元的前后置处理作为线框建模、表面建模、实体建模的应用层。即将几何建模的几何参数和拓扑关系等数据进行加工，自动剖分成有限元的网格，在输入有限元的其他数据，生成不同有限元分析程序所需的数据网格文件。
2．单独为某一有限元分析程序配置前后处理 功能程序，并把二者集成为一套完整的有限元分析系统，他同时具有批处理和图形编辑功能。
三维几何造型系统
前处理 有限元分析 后处理
交互式用户接口
用户
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第二节 优化设计
优化设计原则：寻求最优设计
优化设计手段：计算机和应用软件
优化设计理论：数学规划法。
一、优化设计的基本概念
优化设计要解决两个关键问题,
（1）建立优化设计数学模型，它包括三个要 素，即优化设计的目标函数、设计变量和约束条件；
（2）选择适合的优化方法。
1．设计变量
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一组基本参数来表示某个设计方案，
这组参数根据其特点又分为
设计常量,
可以根据客观规律或具体条件预先确定的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量,
在设计过程中不断变化，需要在设计过程中进行选择的基本参数，称为设计变量，
如几何尺寸、速度、加速度、温度等。
例 5-1 设计一密闭矩形容器，其容积为 3m
3
，容器的宽度不小于 1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低，要求用料最省。
这项设计的设计变量是矩形容器的长l、宽w、高h。
2）对设计变量的要求
机械优化设计时，作为设计变量的基本参数，一般是一些相互独立的参数，其取值都是实数。根据设计要求，大多数设计变量是有界连续变量，称为连续量，如温度。但在一些情况下，有的设计变量取值是跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、
模数，丝杆的螺距等。对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量，在求得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优方案。
一项设计，若有n个设计变量χ
1
，χ
2
，…，χ
n
可以按一定次序排列，可以用n
维向量来表示,
χ =[χ
1
，χ
2
，…，χ
n
]
T
χ ∈ R
n
它表示了设计空间的概念，即以n个设计变量为坐标轴组成的实空间,R
n
代表n维空间
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2．目标函数
1）概念,
目标函数是指根据特定目标建立起来的、以设计变量为自变量的一个可计算的数学函数。它是设计方案评价的标准。
2）目标函数的描述,
优化设计的过程实际上是求目标函数极小值或极大值的过程，而求目标函数极大值的问题可转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数学模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标函数统一描述为,
min F（ χ ）= F（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
） （5 -- 14）
例5-1中密闭容器优化设计的目标函数可表示为,
min F（ χ ） F（ χ ）= F（l,w,h）=2（lh+wh+lw）
3）分类
单目标优化：如果优化问题只有一个目标函数，则称为单目标优化,
多目标优化：如果优化问题有几个目标函数，则称为多目标优化。
3．约束条件
1）概念,
为产生一个可接受的设计，设计变量本身或相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法,
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数形式和等式约束函数形式，
即
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≤0
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≥0 （ i =1，2，…，m）
h
j
（ χ ）= h
j
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）= 0 （ j =1，2，…，p）
式中m，p分别表示施加于该项设计的不等式约束数目和等式约束数目。
3）分类
按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。
（1）性能约束
称性态约束，是针对设计对象的某种性能或指标而给出的一种约束条件。
如零件的计算应力不大于许用应力，轴的 扭转变形应小于许用扭转角等。
一般这类约束条件总可以根据设计规范中的设 计公式或通过物理学和力学的基本分析导出的约束函数来表示。
（2）边界约束
又称区域约束，表示设计变量的物理限制和取值范围。如例5-1 中 的 边界约束条件为,
g
1
（ χ ）= g
1
（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0
g
2
（ χ ）= g
2
（l，w，h）= l > 0
g
3
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= h > 0
约束条件必须是以设计变量为自变量一个 有定义的函数，并且各个约束条件之间不能彼此矛盾。
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二、优化设计的数学模型
建立数学模型是进行优化设计的首要任务 。首先对实际问题的特征或本质加以抽象，并将其表现为数学形态，即为数学模型。
1．数学模型的描述
数学模型的规范化描述形式为,
min F（ χ ） χ =[χ
1
，χ
2
，…，χ
n
]
T
χ ∈ R
n
g
i
（ χ ）= g
i
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）≥0 i =1，2，…，m
h
j
（ χ ）= h
j
（χ
1
，χ
2
，…，χ
n
）= 0 j =1，2，…，p
2．线形规划
当目标函数 F（ χ ）,约束条件 g
i
（ χ ）和 h
j
（ χ ）是设计变量的线形函数时，称该优化问题为线形规划问题；
3．非线形规划
当目标函数 F（ χ ）,约束条件 g
i
（ χ ）和 h
j
（ χ ）中有一个或几个是设计变量的非线形函数时，称该优化问题为非线形规划问题；机械设计中，绝大多数优化设计问题的数学模型都属于非线形规划问题。
例5-1中的优化设计问题可建立如下的数学模型,
minF（ χ ）= F（l,w,h）=2（lh+wh+lw）
g
1
（ χ ）= g
1
（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0
g
2
（ χ ）= g
2
（l，w，h）= l > 0
g
3
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= h > 0
g
4
（ χ ）= g
3
（l，w，h）= l ·w ·h = 3
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变量,
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程
数学模型的正确与合理性直接影响设计的 质量，建立数学模型甚至比求解更为复杂。
1）分析设计问题，初步建立数学模型
即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条件不同，数学模型也会不同。因此，
要首先弄清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用或建立适当的数学、
物理、力学模型来描述问题
2）确定设计变量
从理论上讲，设计变量越多，设计自由度就越大，越容易得到理想的结果，但问题也就越复杂，求解也越困难。通常应参照以往的设计经验和实际要求，将那些对目标函数影响不大的参数取为常量，以减少设计变量的个数，有利于设计问题数学模型的简化。
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3）根据工程实际，提出约束条件
约束条件是对设计变量的限制，这种限制必须要根据工程实际情况来制订，以便使设计方案切实可行。约束条件的数目越多，则可行的设计方案就越少，优化设计的难度也越大。
4）对照实际设计，修正数学模型
建立合理的数学模型往往不是一次完成的，需要经过多次反复。初步建立模型之后，应与设计问题加以对照，并对函数值域、数学精确度和设计性质等方面进行分析，
若不能正确、精确地描述设计问题，则需用逐步逼近的方法对模型加以修正。
5）选择正确的计算方法，确定计算误差
如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法 求出精确解，则需采用近似的数值计算方法，并估计计算误差。
6）进行结果分析，审查模型灵敏度
数学模型求解后，还应进行灵敏度分析，即在优化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵敏度高，就需要重新修正模型。因为工程实际中设计变量的取值不可能与理论计算结果完全一致，灵敏度可能对最优值产生很大影响，造成设计的实际效果比理论分析差得多。
三．常用优化设计方法
1．一维搜索法
2．一维函数黄金分割法（0.618法）
3．二次插值法（近似抛物线法）
4．坐标轮换法
5．鲍威尔法（Powell法）
6．梯度法
7．牛顿法
8．变尺度法（DRP）
9．复合形法
10．惩罚函数法（罚函数法）
目前，优化设计软件已成为一种比较成熟的软件产品。例 如 OPB，MOPB，PLODM
和DDDU等。这些程序库中各种算法齐全，使用方便，使用者只要会选择适当的算法，
并按既定格式编写具体信息的子程序即可。在CAD/CAM中，应尽可能选用现成的优化方法软件，以节省人力、机时，尽快得到优化设计结果，满足CAD/CAM的需要。
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四．优化设计的步骤
从设计方法来看，机械优化设计和传统的机械设计方法有本质的差别。图5-6所示为优化设计的一般步骤。
分析机械优化设计问题建立数学模型选择优化方法编写计算机程序上机验算方案评价与决策输出最优设计方案图 5-6 优化设计步骤
1.分析设计问题，建立优化设计数学模型
首先要分析具体的设计对象，明确设计要求、设计准则及已知条件，确定设计变量、优化目标、约束条件及计算精度等。方案设计阶段的优化旨在选择产品最后的总体布局、形体设计、传动控制方式及具体结构形式等，方案的优劣取舍主要靠设计者的判断和决策，当前用专家系统实现方案优化已取得重要进展。在详细设计阶段，CAD
系统根据所得的产品方案描述，如对某个机构、零部件的具体要求，将其属性（主要是几何和材料方面）的优化问题转化为数学问题，从而建立起正确合理的优化设计的数学模型。
2.选择优化方法
各种优化方法都有其特点和使用范围，选取的方法应能建立适合设计对象的数学模型，解题成功率高，易于达到规定的精度要求，计算速度快，稳定性好，可靠性高，
占用机时少。
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3.编写计算机程序
一般只需将数学模型按要求编写子程序，嵌入所选用的优化方法程序中即可。
4.准备必要的原始数据，上机验算
5.方案的评价与决策
采用优化设计这种现代化的设计方法，目的就是要提高设计质量，使设计达到最优，若不认真评价优化结果，则使得整个工作失去意义，前功尽弃。在分析评价时，
如发现问题，或者重新计算，或者需要重新选择设计方案，甚至需要重新修正数学模型，直至获得最优方案。
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第三节 计算机仿真简介
仿真是近几十年发展起来的一门综合性技术学科，它为系统分析、综合、研究和设计以及对专业人员的培训提供了一种先进技术手段。
一。仿真的基本概念
1．概念
为了对系统进行分析、研究，首先要建立实际 系统的模型（模拟系统）,然后在此模型上进行试验研究，这一过程就是仿真（Simulation） 。仿真的关键是如何建立从实际系统抽象出来的仿真模型。
2．仿真的类型
仿真是在模型上反复试验研究的过程。模型有物理模型、数学模型和物理—数学模型三种,
仿真根据所使用模型的不同，也可分为物理仿真、数学仿真和物理—数学仿真三种类型。
1）物理仿真
物理仿真是按照真实系统的物理性质构造系统的物理模型，并在物理模型上进行试验、研究的过程。由于物理模型和实际系统之间具有相似的物理属性，所以，物理仿真能直观形象地观测到难以用数学来描述的系统特性，可靠性高。但构造系统的物理模型投资较大，时间较长。一般物理模型多采用已试制出的样机或与实际近似等效的代用品，如用相同直径、材质的试件做强度实验。
2）数学仿真
数学仿真又称为计算机仿真。即建立系统（或过程）的可以计算的数学模型（仿真模型）,并据此编制成仿真程序放入计算机进行仿真实验，掌握实际系统（或过程）
在各种内外因素变化下，性能的变化规律。仿真模型的建立反映了系统模型和计算机之间的关系是以数学方程式的相似性为基础的。与物理仿真相比，数学仿真系统的通用性强，经济、方便、准备时间短、灵活性好，可作为不同物理属性的实际系统的模型，故数学仿真应用范围广,
3）物理—数学仿真
物理—数学仿真是按照真实系统建立数学—物理的混合模型，进行试验研究的过程。它有一部分是数学模型，另一部分是已研制出来的产品部件或子系统，主要目的是对产品整体性能和实际部件或子系统进行功能测试。物理—数学仿真多用于培训各种复杂设备的操作人员，安全性好，效率高，成本低。
根据仿真系统使用设备的不同，仿真又可分为模拟仿真、数字仿真、混合仿真和全数字并行仿真四种类型。
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1）模拟仿真
早期的仿真采用模拟计算机作为仿真设备，称为模拟仿真。模拟仿真主要用于连续系统的仿真，涉及的领域包括自动控制、航天等方面，如宇宙飞船的姿态及轨道的动态仿真。模拟仿真运算速度快，人机联系紧密，能进行实时仿真，与仿真对象连接方便，但模拟仿真精度低，存储和逻辑功能差。
2）数字仿真
随着数字计算机的发展和普及，应用数字计算机对实际系统进行仿真，即数字仿真。数字仿真是利用数字计算机和仿真软件对系统进行仿真。只要将事先编好的一套仿真程序存入计算机，使用时输入必要的数据就能进行系统仿真了。数字仿真比模拟仿真步骤要简单、容易，计算精度高。而且，不同的仿真软件能用于不同类型系统的仿真，适应面广。
3）混合仿真
混合仿真是利用数字计算机和模拟计算机通过 A/D、D/A 接口组成的混合计算机系统对系统进行仿真。它具有模拟仿真和数字仿真的优点，但价格较高，系统复杂。
4）全数字并行仿真
全数字并行仿真是利用多处理技术和多道程序技术对系统进行仿真的一种方法。
它计算速度快、容量大、精度高、实时性能好，操作简便，但结构复杂、价格昂贵。
3．计算机仿真的意义
计算机仿真的广泛应用具有十分重要的意义，主要体现在以下几个方面,
1）替代许多难以或无法实施的实验
采用计算机仿真可以对诸如地震灾害程度、地球气候变化、人口发展与控制等难以真正实施的事件进行抽象，在抽象的仿真模型上进行反复的实验，从而替代无法实际运作的实验。
2）解决一般方法难以求解的大型系统问题
有些庞大的系统，比如计算机集成制造系统、核电站的控制等，采用理论分析或数学求解的方法进行研究常常显得无能为力。可以通过计算机仿真，用实验的方法来加以研究。
3）降低投资风险、节省研究开发费用
计算机仿真有效地提高了决策的科学性，减少了盲目投资，避免了重新设计或重建的巨大浪费。
4）避免实际实验对生命、财产的危害
计算机仿真避免了实际系统实验时，对人员伤害和对设施等的破坏，较好地达到实验的目的。
5）缩短实验时间、不受时空限制
计算机仿真不受场地、天气和时间等限制，充分利用了计算机的优势，既可缩短实验时间，又可多次重复进行。
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4．计算机仿真的特点
1）以计算机为实验环境，依赖实际系统的抽象仿真模型。
2）计算机仿真结果是实验解，而不是纯粹的数学解析或数值分析解。
3）既能展示实际系统的模拟静态，又能直观表现系统的动态特性。
二,计算机仿真的主要步骤
1．建立数学模型
根据仿真的目的，建立系统的数学模型。
2．模型变换
在数学模型的基础上，选择仿真方法，将数学模型变换为计算机可以接受的仿真模型。
3．编制仿真程序
根据仿真模型，画出仿真流程图，再使用通用高级语言或专用仿真语言编制计算机程序。目前世界上已发表过数百种各有侧重的仿真语言。常用的有SIMULA、SLAM、
SIMSCRIPT、GPSS、GASP、CSL、CSMP等。
4．进行仿真实验
选择并输入仿真所需要的全部数据，在计算机上运行仿真程序，进行仿真实验，
以获得实验数据，并动态显示仿真结果。
5．结果的统计分析
对实验结果数据进行统计分析，对照设计需求和预期目标，综合评价仿真对象。
6．仿真工作总结
对仿真模型的适用范围、可信度，仿真实验的运行状态、费用等进行总结。
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三,仿真在 CAD/CAM系统中的应用
1．产品形态仿真
例如产品的结构形状、外观、色彩等形象化属性。
2．装配关系仿真
例如零部件之间的装配关系与干涉检验，车间平面布局及管道规划等。
3．运动学仿真
模拟机构的运动过程，包括自由度约束状况、运动轨迹、速度和加速度等。
比如数控机床的运动状态、规律等。
4．动力学仿真
例如模拟机床工作过程中的振动和稳定性 情况，机械产品在受到冲击载荷后的动态性能等。
5．零件工艺过程几何仿真
根据工艺路线的安排，模拟零件从毛坯到成品的金属去除过程，检验工艺过程的合理性、可行性、正确性。
6,加工过程仿真
例如数控加工自动编程后的刀具运动轨迹模拟，刀具与夹具、机床的碰撞干涉检验，切削过程中刀具磨损、切屑形成情况等。
7．生产过程仿真
例如FMS仿真，模拟工件在系统中的流动过程，包括从上料到最后下料、成品入库的全部过程。
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