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光学教程
（姚启钧原著）参考答案
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目录第一章 光的干涉,............3第二章 光的衍射,...........15
第三章 几何光学的基本原理,....27第四章 光学仪器的基本原理,....49第五章 光的偏振,...........59第六章 光的吸收、散射和色散,...70第七章 光的量子性,..........73
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第一 章 光的 干 涉.波长 为 的绿 光投 射在 间距 d为 的双 缝上,在 距离 处的 光屏1 nm500 cm022.0 cm180
上形成 干涉 条纹,求 两个 亮条 纹之 间的 距离,若改用 波长 为 的红光 投射 到此 双缝 上,nm700两个 亮条 纹之 间的 距离 又为 多少?算出 这两 种光 第 级亮 纹位 置的 距离,2
解,由条 纹间 距公 式 得?dryyy jj 01
cm328.0818.0146.1 cm146.1573.02 cm818.0409.02
cm573.010700022.0180cm409.010500022.0180
21222 20222
10221 7202
7101
yyydrjy drjyd
rydry
j?
2．在 杨氏 实验 装置 中,光源 波长 为,两狭 缝间 距为,光屏 离狭 缝的 距离 为nm640m4.0.试求,(1)光屏 上第 亮条 纹和 中央 亮条 纹之 间的 距离 ；（ 2）若 p点离 中央 亮条 纹为cm50 1，问 两束 光在 p点的 相位 差是 多少？（ 3）求 p点的 光强 度和 中央 点的 强度 之比,m1.0
解,（ 1）由 公式?dry0得 =?dry0 cm100.8104.64.050 25（ 2）由 课本第 20页图 1-2的几 何关 系可 知
521 0 0.1sintan 0.40.810cm50yrrdddr
4
521 52 2( ) 0.8106.4104rr由公 式 得(3)
22 221 12 1cos4cosIAAA A
8536.042224cos1 8cos0cos421cos2cos4 2cos4 220221 2212020AAAII pp
.把折 射率为 1.5的玻 璃片 插入 杨氏 实验 的一 束光 路中,光屏 上原 来第 5级亮 条纹 所3在的 位置 为中 央亮 条纹,试求 插入 的玻 璃片 的厚 度,已知 光波 长为 6× 10-7m.解,未加 玻璃 片时,,到 点的 光程 差,由公 式 可知 为
1S2SP 2rΔr=21 5252rr
现在 发出 的光 束途 中插 入玻 璃片 时,点的 光程 差为1S P2 1 002 2rrhnh所以 玻璃 片的 厚度 为
421510610cm0.5rrhn4.波长为 500nm的单 色平 行光 射在 间距为 0.2mm的双 狭缝 上,通过 其中 一个 缝的 能量为另 一个的 2倍,在离 狭缝 50cm的光 屏上 形成 干涉 图样,求干 涉条 纹间 距和 条纹 的可 见度,
解,60 5050101.250.2rydm
1 2II?2 21AA?12 2A?
5
122122/ 20.94270.94121/AV5.波长为 700nm的光 源与 菲涅 耳双 镜的 相交 棱之 间距 离为 20cm，棱 到 光屏 间的 距离 L为 180cm,若所 得干 涉条 纹中 相邻 亮条 纹的 间隔为 1mm，求 双镜 平面 之间 的夹 角 θ 。
解,弧度6 4()(2001800)70010sin 35102 22001rLry 126.在题 1.6图所示的劳埃德镜实验中,光源 S到观察屏的距离为 1.5m,到 劳埃德镜面的垂直距离为 2mm。 劳埃德镜长 40cm,置 于光源和屏之间的中央,(1)若光波波长 λ =500nm,问条纹间距是多少?(2)确定屏上可以看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示,：产生干涉的区域 P
12可由图中的几何关系求得,)
解,（ 1）干 涉条 纹间 距 60 15050100.1875m4ryd（ 2）产 生干 涉区 域 由图 中几 何关 系得,设 点为 位置,点位 置为12P 2p2y 1P 1y则干 涉区 域
21yyy2 0 2 0
011 1 2tan 12 2 2dyrr rr rr00 2(15040)3803.45m2 1504010rrdrr
P2P10
题 1.6图
6
01 0 1 0 001 ( )1 1 2( )tan( )12 2 2( )( )22(1500400)1.16m1500400d rrdyrr rr rrrr
213.461.62.30myyy（ 3） 劳埃 镜干 涉存 在半 波损 失现 象 暗? N?yy7.试求 能产 生红 光 (λ =700nm)的二 级反 射干 涉条 纹的 肥皂 膜厚 度,已知 肥皂 膜折 射率为 1.33,且平 行光 与发 向成 30° 角入 射,解,根据 题意 2221
222 2 212 sin(210)2(1) (21)700710nm2 sin41.33sin30dnn jjd nn8.透镜 表面 通常 镀一 层如 MgF
2（ n=1.38） 一 类 的透 明物 质薄 膜,目 的 是利 用干 涉 来降低 玻璃 表面 的反 射,为 了 使透 镜在 可见 光谱 的中 心波 长 （ 550nm） 处 产 生极 小的 反射,则 镀层必 须有 多厚?解,可以 认为 光是 沿垂 直方 向入 射的 。即0
21ii由于 上下 表面 的反 射都 由光 密介 质反 射到 光疏 介质,所 以无 额外 光程 差。 因此 光程 差 nhinh2cos22
如果 光程 差等 于半 波长 的奇 数倍 即公 式,则 满足 反射 相消 的条 件2)12(jr因此 有 2)12(2jnh
所以 ),1,20(4)12( jnjh?当 时厚 度最 小0?j cm10nm64.938.14504 5-minnh?9.在两 块玻 璃片 之间 一边 放一 条厚 纸,另一 边相 互压 紧,玻璃片 l长 10cm,纸厚为
0.05mm,从 60° 的反 射角 进行 观察,问在 玻璃 片单 位长 度内 看到 的干 涉条 纹数 目是 多少?设单色 光源 波长为 500nm.解,由 课本 49页公 式 （ 1-35）可 知斜 面上 每一 条纹 的宽 度所 对应 的空 气尖 劈的 厚度 的
7
变化 量为 122121 sin2 innhhh jj 22312
如果 认为 玻璃 片的 厚度 可以 忽略 不记 的情 况下,则 上式 中 。 60,1122 inn而厚度 h所对 应的 斜面 上包 含的 条纹 数为 10105005.
7hhhN故玻 璃片 上单 位长 度的 条纹 数为 条 /厘米101010lNN
10.在上 题装 置中,沿垂 直于 玻璃 片表 面的 方向 看去,看到 相邻 两条 暗纹 间距为 1.4mm。— 已知 玻璃 片长 17.9cm,纸厚 0.036mm,求光 波的 波长 。解,依题 意,相对 于空 气劈 的入 射角
2 20,cos1.sini i Ldtan 0.12?ndLinL 22cos222 563.1nmm10631284916.51794.1036.22
4Ld?11.波长为 400760nm的可 见光 正射 在一 块厚 度为 1.2× 10-6m,折射 率为 1.5玻璃 片?上,试问 从玻 璃片 反射 的光 中哪 些波 长的 光最 强,解,依题 意,反射 光最 强即 为增 反膜 的相 长干 涉,则有,
2)12(22 jdn故 1242jdn?
当 时，0?j nm720102.15.144 32dn?当 时，1?j nm24003102.15.14 3
当 时，2?j nm14405102.15.14 3
8
当 时，3?j nm10707102.15.14 3当 时，4?j nm8009102.15.14 3
当 时，5?j nm5.65411102.15.14 3当 时，6?j nm8.55313102.15.14 3
当 时，7?j nm48015102.15.14 3当 时，8?j nm5.42317102.15.14 3
当 时，9?j nm37819102.15.14 3所以,在 的可 见光 中,从玻 璃片 上反 射最 强的 光波 波长 为nm760~390nm.5.654,nm8.553,nm480,nm5.423
12.迈克 耳孙 干涉 仪的 反射镜 M2移动 0.25mm时,看 到 条纹 移过 的数 目为 909个,设 光为垂 直入 射,求所 用光 源的 波长 。 解,根据 课本 59页公 式可 知,迈克 耳孙 干涉 仪移 动每 一条 条纹 相当 h的变 化为,
22212 cos2cos2cos21 iijijhhh现因,故02?i 2h所对 应的 h为909?N
2?NhNh故 50nmm105.9025.022 4Nh?13.迈克 耳孙 干涉 仪平 面镜 的面 积为 ４ × ４ cm
2,观 察 到该 镜上有 20个条 纹。 当 入 射 光的波 长为 589nm时,两镜 面之 间的 夹角 为多 大？解,因为 2cm4S
9
所以 40mmcm4L所以 m22040NLL
又因 为2L所以 73.01025.1471025892 66radL14.调节 一台 迈克 耳孙 干涉 仪,使其 用波 长为 500nm的扩 展光 源照 明时 会出 现同 心圆环条 纹。 若要 使圆 环中 心处 相继 出现 1000条圆 环条 纹,则必 须将 移动 一臂 多远 的距 离？ 若中心 是亮 的,试计 算第 一暗 环的 角半 径。（ 提示,圆 环是 等倾 干涉 图样 。计 算第 一暗 环角 半 径是 可利 用 θ≈ sinθ 及 cosθ≈ 1－ θ 2/2的 关 系 。）解,（ 1）因 为光 程差 δ 每改 变一 个波 长 λ 的距 离,就有 一亮条 A纹移 过。所以N
又因 为对 于迈 克耳 孙干 涉仪 光程 差的 改变 量 （ Δ d为反 射镜 移动d2?的距 离） 所以 dN2
所以 0.25mnm1025502102 4Nd（ 2）因 为迈 克耳 孙干 涉仪 无附 加光 程差 并且 021ii 0.121nn它形 成等 倾干 涉圆 环条 纹,假设 反射 面的 相位 不予 考虑所以 光程 差 即两 臂长 度差的 2倍1222cos2 lldid若中 心是 亮的,对 中央 亮纹 有,（ 1）?jd?2对第 一暗 纹有,（ 2）212cos2
2jid（ 2） -（ 1）得,2cos12 2id
2242sin42sin2 2222222 diididid
10
所以 1.8rad032.01000122 di?这就 是等 倾干 涉条 纹的 第一 暗环 的角 半径,可 见 是相 当小 的。2i15.用单 色光 观察 牛顿 环,测 得 某一 亮环 的直 径为 3mm,在 它 外边第 5个亮 环的 直径 为4.6mm，所 用平 凸透 镜的 凸面 曲率 半径为 1.03m，求 此单 色光 的波 长。
解,对于 亮环,有 （ ）Rjrj 2)12(,32,10?j所以?Rjrj )21(2Rjrj )215(25
所以 590.3nmm10903.51030540.36.4545 422225225 RddRrr jjjj?16.在反 射光 中观 察某 单色 光所 形成 的牛 顿环 。其第 2级亮 环与第 3级亮 环间 距为 1mm，求第 19和 20级亮 环之 间的 距离 。解,对于 亮环,有 （ ）Rjr
j 2)12(,32,10?j所以 Rr?)211(1 Rr?)212(2又根 据题 意可 知
m1232512 RRrr两边 平方 得 123522325
22 RRR所以 1541R?
故 RRrr 211921201920
1
15412391541241cm039.0?17牛顿 环可 有两 个曲 率半 径很 大的 平凸 透镜 之间 的空 气产 生（ 图）。 平凸 透镜 A和 B
的曲 率半 径分 别为 和,在 波 长为 600nm的单 射光 垂直 照射 下观 察到第 10个暗 环半 径ARBR。 若 另 有曲 率半 径为 的平 凸透镜 C（图 中未 画出 ）,并且 B,C组合和 A,C4ABrm? CR组合 产生 的第 10个暗 环半 径分 别为 和,试 计算,和 。4.5
BCr m? 5ACrm? ARBRCR解,22rhR
2 2 211( )22211,( )211( )
2 ABABABABABAB ABBCBC BCACAC ACrrrhhhRRRRrh RRrh RR同 理又对 于暗 环,即2(21)2 2h j 2hj
(1)?21110( )ABABrRR(2)21110( )BCBCrRR
(3)21110( )ACABrRR(1)(2)(3)联立 并代 入数 据得,=6.28m=4.64m=12.4mAR BR CR18菲涅 尔双 棱镜 实验 装置 尺寸 如下,缝 到棱 镜的 距离为 5cm，棱 镜 到屏 的距 离为 95cm，棱镜 角为 构成 棱镜 玻璃 材料 的折 射率,采 用的 是单 色光 。当 厚度 均匀
'17932 ' 1.5n?的肥 皂膜 横过 双冷 静的 一半 部分 放置,该 系统 中心 部分 附近 的条 纹相 对原 先有 0.8mm的位移。 若肥 皂膜 的折 射率 为,试计 算肥 皂膜 厚度 的最 小值 为多 少？1.35n?
解,如图 所示,光 源和 双棱 镜系 统的 性质 相当 于相 干光 源 和,它 们是 虚光 源。1s2s
RA
RB
OA
rAB dAB
题 1.17图
12
由近 似条 件 和 得 (1)'(1)nA 1()2dl '22(1)dl lnA按双 棱镜 的几 何关 系得 2A所以 (2)
'142A肥皂 膜插 入前,相 长干 涉的 条件 为 (3)
0dyjr由于 肥皂 膜的 插入,相 长干 涉的 条件 为 (4)'0 (1)dyntjr
由 (3)和 (4)得 ' ' '0 0( )2(1)( )(1) (1)dyylnAyytrn rn代入 数据 得 74.910t m19将焦 距为 50cm的会 聚透 镜中 央部分 C切去 （ 见题 图）,余 下的 A,B两部 分仍 旧 粘起来,C的宽 度为 1c。 在 对 称轴 线上 距透镜 25cm处置 一点 光源,发 出 波长为 692nm的 红宝石 激光,在 对称 轴线 上透 镜的 另一侧 50cm处置 一光 屏,平面 垂直 于轴 线。 试求,(1)干涉 条纹 的间 距是 多少？(2)光屏 上呈 现的 干涉 图样 是怎 样的？解,(1)透镜 由 A,B两部 分粘 合而 成,这两 部分 的主 轴都 不在 该光 学系 统的 中心轴线 上,部分 的主 轴在 中心 线上 0.5cm处,B部分 的主 轴在 中心 线下 0.5cm处，
由于 单色 点光源 P经凸 透镜 A和 B所成 的像 是对 称的,故 仅需 考虑 P经 B的成像位 置即 可。 由 得111' 'ssf ' 50s cm
由因 为 所以' 'ysys '' 1syy cms即所成的虚像在 B的主轴下方 1cm处，也就是在光学系统对称轴下方 0.5cm处，同理，单色光源经 A所成的虚像在光学系统对称轴上方 0.5cm处，两虚像构成相干光源，它们之间的距 离为 1cm，所 以
30 6.9210yr cmd(2)光屏 上呈 现的 干涉 条纹 是一 簇双 曲线 。 20将焦 距为 5cm的薄 透镜 L沿直 线方 向剖 开（ 见题 图） 分成 两部分 A和 B，并将 A部分 沿主 轴右 移至 2.5c处,这 种 类型 的装 置称 为梅 斯林 对切 透镜 。 若 将 波长为 632.8nm的
SS12d θ αA1l1n’
(a)
y·
·
·
·
dS1S2 r0n(b)
题 1.18图
ABC
题 1.19图
13
AB P
LA
LB?题 1.20图点光源 P置于 主轴 上离 透镜 LB距离为 10cm处,试分 析,(1)成像 情况 如何？ (2)若在 LB右边 10.5cm处置 一光 屏,则在 光屏 上观 察到 的干 涉图 样如 何？解,（ 1）如图（ b）所示,该情况可以看作由两个挡掉一半的透镜 LA和 LB构成,其对称轴为PO,但 是 主 轴 和 光 心 却 发 生 了 平 移,对 于 透 镜 LA,其 光 心 移 到 OA处,而 主 轴 上 移 0.01cm到
AF;对于 透镜 LB,其光 心移到 OB处,而主 轴下移 0.01cm到 BF.点光源 P恰恰 在透 镜的 对 称轴上 二倍 焦距 处,由于 物距 和透镜 LA,LB的焦 距都 不变,故通过 LA,LB成 像 的 像 距 也 不 变 。根据 物像 公式将 p=-10cm和 =5cm代入 上式,得'f=5cm'p
==-1'yy'pp故 =-0.01cm'y由于 P点位于透镜 L
A的光轴下方 0.01cm,按透镜的成像规律可知,实像 PA应在透镜 LA主轴 上方 0.01cm处 ;同理,P点位 于透镜 LB主轴 上方 0.01cm处,实像 PB应在 主轴 下方 0.01cm处,两像 点的 距离 为上方 0.01cm处,P
AB=d=2||+'yh=0.04cm(2)由于实像 PA和 PB构成了一对相干光源,而且相干光束在观察屏的区域上是相互交叠的,故两 束 光 叠 加 后 将 发 生 光 的 干 涉 现 象,屏上 呈 现 干 涉 花 样,按杨 氏 干 涉 规 律,两相 邻 亮 条 纹的间距 公式 为
0yrd将数 据代 入得 =1.582mmy?21如图 所示,A为平 凸透 镜,B为平 玻璃 板,C为金 属柱,D为框 架,A,B间有 空隙,图中 绘出 的是 接触 的情 况，而 A固结 在框 架的 边缘 上。 温度 变化 时,C发生 伸缩,而假设 A,B,D都不 发生 伸缩 。以 波长 632.8nm的激 光垂 直照 射。 试问,(1)在反 射光 中观 察时,看 到牛 顿环 条纹 移向 中央,这 表示 金属柱 C的长 度在 增加 还是 减小？(2)若观 察到有 10个亮 条纹 移向 中央 而消 失,试问 C的长 度变 化了 对少 毫米？解,（ 1）因 为,在反 射光 中观 察牛 顿环 的亮 条纹,
22/2 (1,2,3,...)2rh jjR及干 涉级 j随着 厚度 h的增 加而 增大,即 随着 薄膜厚 度的 增加,任 意一 个指 定的 j级条 纹将 缩小
' '111ppf
14
其半 径,所以 各条 纹逐 渐收 缩而 在中 心处 消失,膜厚 h增加 就相 当于 金属 的长 度在 缩短 。所以,看 到牛 顿环 条纹 移向 中央 时,表明 C的长 度在 减少 。（ 2）由 2/)(2/jNh得,3164hnm?
CB
A
D
题 1.2图
15
第 二 章 光 的 衍 射1.单色 平面 光照 射到 一小 圆孔 上,将其 波面 分成 半波 带。 求第 к 个带 的半 径。 若极 点到观察 点的 距离 r
0为 1m，单 色光 波长为 450nm，求 此时 第一 半波 带的 半径 。解,而2022 rrkk 20?krrk2
0?krrk 20202 krrk将上 式两 边平 方,得 422
020202 kkrrrk略去 项,则22?k0krk?将 带入 上式,得cm10450cm,10,1
-80rk cm067.02.平行 单色 光从 左向 右垂 直射 到一 个有 圆形 小孔 的屏 上,设此 孔可 以像 照相 机光 圈那 样改 变 大 小 。 问,（ 1）小 孔半 径满 足什 么条 件时,才 能使 得此 小孔 右侧 轴线 上距 小空 孔中心
4m的 P点的 光强 分别 得到 极大 值和 极小 值；（ 2） P点最 亮时,小 孔 直径 应为 多大？设 此时 的波长为 500nm。解,（ 1）根 据上 题结 论0krk?将 代入,得cm105cm,40
-50r cm14.010540 5 kkk当 k为奇 数时,P点为 极大 值；k为偶 数时,P点为 极小 值。
（ 2） P点最 亮时,小 孔的 直径 为 cm2828.022 01r3．波 长为 500nm的单 色点 光源 离光阑 1m，光 阑上 有一 个内 外半 径分 别为 0.5mm和 1mm的透 光圆 环,接收点 P离光阑 1m，求 P点的 光强 I与没 有光 阑时 的光 强度 I
0之比 。解,根据 题意 m1?R 50nm m1R m5.0R m1 21 hkhk0r有光 阑时,由 公式 RrRRrrRk
hh 11)( 02002
16
得 110110110505.011 620211RrRkhk? 41011011050111 62022RrRkhk?按圆 孔里 面套 一个 小圆 屏幕
1322131 2111221 aaaaaaaap没有 光阑 时 2
10aa?所以 42/2
11200 aaaaII p4．波 长为 632.8nm的平 行光 射向 直径为 2.76mm的圆 孔,与孔 相距 1m处 放 一 屏 。 试 问,（ 1）屏 上正 对圆 孔中 心的 P点是 亮点 还是 暗点？（ 2）要使 P点变 成与 （ 1） 相 反 的 情 况,至少 要把 屏幕 分别 向前 或向 后移 动多 少？ 解,（ 1） 点的 亮暗 取决 于圆 孔中 包含 的波 代数 是奇 数还 是偶 数,当平 行光 如射 时,P
波带 数为 310108.63238.12 3620202rdrk故 点为 亮点,P
(2)当 点向 前移 向圆 孔时,相应 的波 带数 增加 ;波带 数增 大到 4时,点变 成P P暗点,此时,点至 圆孔 的距 离为P 750mmm108.632438.1
6220kr则 点移 动的 距离 为P 25cm75cm-10cm
0rrr当 点向 后移 离圆 孔时,波带 数减 少,减少为 2时,点也 变成 暗点 。P P与此 对应 的 到圆 孔的 距离 为P
17
1500mmm108.632238.16220kr则 点移 动的 距离 为P 50cm100cm-cm150
00rrr５,一波 带片 由五 个半 波带 组成,第一 波带 片为 半径 r1的不 透明 圆盘,第二 半波 带是 半径 r1至 r2的透明圆环,第三半波带是 r2至 r3的不透明圆环,第四半波带是 r3至 r4的透明圆环,第五半波 带是 r
4至无 穷大 的不 透明 区域,已知 r1:r2,3:r4=1:::,用波长 500nm的平 行单 色234光照明,最亮的 像点 在距 波带 片 1m的轴上,试求,(1)r1;(2)像点的 光强 ;(3)光强极 大值 出现在轴 上哪 些位 置上,解,因 为 5个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上,不 透 光 ; 透,1
1?K1r 212,2rrK至?光 ; 至 不透 光 ; 至 透光 ; 至无 穷大 不透 光,23,3rK?3r 34,4rK?4r 45,5rK?单色 平行 光4:3:2:1:::
321?rrrr nm500R第一 条最 亮的 像点 在 的轴 上,即1000mmm10r m10301rf
(1) 12120 rkRrf h 707.05.0105001106301krr(2)像点 的光 强,所以
22422 4)( aaaAI PP 02164IaIp(3)光强 极大 值出 现在 轴的 位置 是 (即 )?7,5,3fffm10m1
31rf m717 m515 m313 151312 ffffff6.波 长 为 λ 的 点 光 源 经 波 带 片 成 一 个 像 点,该 波 带 片 有 100个 透 明 奇 数 半 波 带
(1,3,5,…… )。另外 100个不透明偶数半波带,比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像 点的 强度比 I:0.解,100个奇 数半 波带 通光 总振 幅 aaA 100100
1100 2)100(aI?同样 焦距 和口 径的 透镜 可划 分为 200个半 波带 通光
18
总振 幅为 aaaA 20120021991200 220 )10(420 aaI41)100(4)100( 220aaII7.平面 光的 波长为 480nm,垂直 照射 到宽 度为 0.4mm的狭 缝上,会聚 透镜 的焦 距为 60cm.
分别 计算 当缝 的两 边到 P点的 相位 为 π /2和 π /6时,P点离 焦点 的距 离,解：设 P点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 。缝宽为,则位相差和光程差的关f? b系式 为 fybbb 2tan2sin22
故bfy2当缝 的两 边到 P点的 位相 差为 时,P点离 焦点 的距 离为2? m18.0
24.02600108.42 4bfy当缝 的两 边到 P点的 位相 差为 时,P点离 焦点 的距 离为6? m06.0
64.02600108.42 4bfy8.白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm的光波的 第二 个次 最大 值重 合,求该 光波 的波 长,解,由单 缝衍 射次 最大 值的 位置 公式 可知
21sin0kb得 212213sinb
所以 6.42875 nm所以 该光 为紫 色光,9.波长为 546.1nm的平行 光垂 直地 射在 1mm宽的缝 上,若将焦 距为 100cm的透镜 紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到 (1)第一最小值 ;(2)第一最大值 ;(3)第三最小 值的 距离 分别 为多 少?
19
解,根据 单缝 衍射 图样 的最 小值 位置 的公 式可 知, kfybbbtansin得第 一,第三 最小 值的 位置 分别 为
m5461.01046.5110 41bfy m638.133bfy
由单 缝衍 射的 其它 最大 值（ 即次 最大 ）位 置的 近似 式 21sin 00 kfybbk
得 m819.01046.51102323 410bfy10.钠光 通过宽 0.2mm的狭 缝后,投射 到与 缝相距 300cm的照 相底 片上,所得 的第 一最 小值与 第二 最小 值间 的距 离为 0.885cm,问钠 光的 波长 为多 少?若改用 X射线 (λ =0.1nm)做此 实验,问底 片上 这两 个最 小值 之间 的距 离是 多少?解,如果 近似 按夫 琅和 费单 缝衍 射处 理,则根 据公 式
021sin 2k kb得第 二最 小值 与第 一最 小值 之间 的距 离近 似地 为 bfbfbfyyy 2
12那么 nm590300885.002.0fby?如果 改用 时0.1nm
m9 6' 3000.1101.5100.02fyb12.一束平行白光垂直入射在每毫米 50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？ (设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波长为 760nm)
解,由光 栅方 程 得jd?sin 241 108.302.0106.7sind红
所以18.21?
20
242 100.402.0100.422sind紫所以29.22?
式中 m02.501d所以 rad1026318.229,31213.用可 见光 (760～ 400nm)照射 光栅 是,一 级光 谱和 二级 光谱 是否 重叠？二 级和 三级 怎样？ 若重 叠,则重 叠范 围是 多少？
解,根据 光栅 方程jd?sin得,1?j ddnm760sin
1红，2?j ddnm8002sin2紫
因为 >所以 一级 和二 级不 重叠,2?1?而,2?j 2sin2 dd nm1520?红?
,3?j dd nm12003sin3紫因为 <所以 二级 和三 级光 谱部 分交 迭,3?2?设第 3级紫 光和第 2级波 长的 光重 合则 dd紫321?所以 nm604023231紫设第 2级红 光和第 3级波 长为 的光 重合
2?则 dd红232?
21
所以 nm7.50676032322红综 上,一 级 光 谱 与 二 级 光 谱 不 重 叠 ;二 级 光 谱 的 与 三 级 光 谱 的nm700~600重叠,nm7.506~400
14.用波长为 589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值 之间 的衍 射角为 15°10'，求该 光栅 1cm内的 缝数 是多 少？解,）12,2,10(sinjjd ）条 /cm(22210589211800115sin1
7jjd15.用每 毫米 内有 400条刻 痕的 平面 透射 光栅 观察 波长为 589nm的钠 光谱 。试 问,(1)光垂 直入 射时,最 多能 观察 到几 级光 谱？ (2)光以 角入 射时,最多 能观 察到 几级 光谱30
解,根据 光栅 方程 得)1(jd?sinsindj?可见 的最 大值 与 的情 况相 对应 ( 真正 等于 1时,光就 不能 到达 屏上 ).j 1sinsin根据 已知 条件,并取 则得cm401m401d,1sin
(此处 只能 取整 数,分数 无实 际意 义 )2.4105890418j j即能 得到 最大 为第 四级 的光 谱线,(2)根据 平 行 光 倾 斜 入 射 时 的 光 栅 方 程,可得),2,1,0()sin(sin0 jjd
)sin(sin0dj同样,取 得,1sin 4.6
105890)130(sin40001 8j即能 得到 最大 为第 六级 的光 谱线,16.白光垂直照射到一个每毫米 250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30°处会出现 哪些 波长 的光？其 颜色 如何？
2
解,由题 意可 知 毫米条2501?d30? 760nmnm390当 时,由公 式nm760jd?sin得 6.2210760250130sin
6dj当 时,nm39030sin?dj 1.521039025016
所以 这里 可取 3,4,51.56.2j j当 时 (为红 色 )3?j nm66721025031sin 6jd
当 时 (为绿 色 )4?jjdsin nm50210250416当 时 (为紫 色 )5?jjdsin nm4021025051617.用波长为 624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b为 0.012mm，不透明部分的宽度 a为 0.029mm，缝数 N为 103条。求,(1)单缝衍射图样的中央角宽度； (2)单缝衍射 图样 中央 宽度 内能 看到 多少 级光 谱？ (3)谱线 的半 宽度 为多 少？解,（ 1）单 缝衍 射图 样的 中央 角宽 度 rad104.10102.110240.6222
2351 b(2)单缝 衍射 图样 包络 下的 范围 内共 有光 谱级 数由 下列 式子 确定 42.3012.041,bd
式中 为光 栅的 光栅 常数,d所以 看到 的级 数为 3.(3)谱线 的半 角宽 度的 公式 为,cosNd
令 ）即 0(1cos rad1052.10041.0101024.6 53 5Nd＝
23
18.NaCl的晶 体结 构是 简单 的立 方点 阵,其 分 子量 M=58.5,密 度 ρ =2.17g/cm3,(1)试 证明相 邻两 离子 间的 平均 距离 为 nm2819.023
ANM式中 NA=6.02× 1023/mol为 阿 伏 加 德 罗 常 数 ；（ 2） 用 X射线 照射 晶面 时,第 二 级光 谱的 最 大值在 掠射 角为 1°的方 向上 出现,试计 算该 X射线 的波 长,解,(1)晶 胞 的 棱 边 为 棱。现先计算晶胞的为离那么亮离子间的平均距 2,
0ddd边长 d,由于 每个 晶胞 包含 四个 NaCl分子,那么 密度 ρ 为
34dmVmNaCl这里,NaCl分子 的质 量由 下式 给出NMm
NaCl?所以 晶胞 的棱 边由 上面 两式 联立 解得
314NMd那么 相邻 两离 子间 的平 均距 离 为0d
时nm2819.017.21002.62 5.822 3 2330NMdd(2)根据 布喇 格方 程 在 时jd?00sin2 2?jnm049.1sin819.22sin2
00d19波长为 0.00147nm的平行 X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm问光线与界 面成 什么 角度 时,能观 察到 二级 光谱 。
解,jd?0sin2? 00525.01028.02 100147.022sin 9100dj'183.0
0光线 与界 面成 18′ 的角 度时,能 观察 到二 级光 谱。
24
20如图 所示 有三 条彼 此平 行的 狭缝,宽 度均为 b，缝 距分 别为 d和 2d，试 用振 幅矢 量叠 加法证 明正 入射 时,夫琅 禾费 衍射 强度 公式 为,式中)]6cos4cos2(cos23[sin220 vvvuuII sin,sindvbu
证明,设 单缝 衍射 的振 幅为,三缝 衍射 的总 振幅 为,则?a?A＝ （１ ＋ cos+cos）xAa3＝ （１ ＋ sin+sin）,yAa3==+=[（１ ＋ cos+cos）
2+（１ ＋ sin+sin） 2]?I2?A2xA?2yA?2?a33=[3+2(cos+cos2+cos)]2?a321一宽 度为 2cm的衍 射光 栅上 刻有 12000条刻 痕。 如 图 所示,以 波 长 的单 色 光nm50垂直 投射,将 折 射率为 1.5的劈 状玻 璃片 置于 光栅 前方,玻 璃 片的 厚度 从光 栅的 一端 到另 一端由 1mm均匀 变薄到 0.5mm，试 问第 一辑 主最 大方 向的 改变 了多 少？解,首先 求玻 璃片 的顶角 A,025.205.01tanA
43.1025.0radA单色 平行 光经 劈后 的偏 向角 为 radAn 0125.0)1(0故玻 片未 加前 的光 栅方 程为,jd?sin
时，,1j dsin将 代入 上式,得nmdnm4106,50 46.17)arcsin(d
玻片 加入 后的 光栅 方程 为)sin'(sin0d代入 数据 得,3125.0'sin2875.0'sin 或即
21.18'71.16' 或那么,第 一级 最大 的方 向改 变为 '45'22一平 行单 色光 投射 于衍 射光 栅上,其 方向 与光 栅的 法线 成 角,在和 法线成 1° 和
0?53° 的方 向上 出现 第一 级谱 线,且位 于法 线的 两侧 。（ 1） 试求 入射 角 ；0?
Aθ 021题图
25
（ 2） 试问 为什 么在 法线 两侧 能观 察到 一级 谱线,而 在法 线同 侧则 能观 察到 二级 谱线？解,（ 1）如 图 (a)所示,若 入射 方向 与衍 射方 向处 于法 线的 同侧,根据 光程 差的 计算,光栅 方程 为 (1))sin(sin
0d如图 (b)所示,若 入射 方向 与衍 射方 向处 于法 线的 两侧,根据 光程 差的 计算,光栅 方程 为,(2)
0sin'sind(1)-(2)，得 (3))sin'(sin21sin0
将 代入 (3)得53',17.10?（ 2）当 位于 法线 两侧 时,满足 dj0sinsin
一级 谱线,故 (4)d 7.1sin53sin 7.1sin53sind?二级 谱线,(5)d 2sinsin 0将 (4)代入 (5)得 129.1)sin'(sin2sinsin
00故当 位于 法线 两侧 时,第二 级谱 线无 法观 察到 。 当位 于法 线同 侧时,满 足,0sinsindjd
（ 6）0sin2sin2 dj时，将 (4)代入 （ 6）得 故位 于法 线同 侧时,第 二级 谱线 也可 观察 到。16855.0sin23波 长 为 600nm的 单 色 光 正 入 射 到 一 透 射 光 栅 上,有 两 个 相 邻 的 主 最 大 分 别 出 现 在和 处,第四 级为 缺级 。2.0sin
1 3.0sin2（ 1）试 求光 栅常 量；（ 2）试 求光 栅的 缝可 能的 最小 宽度 ；（ 3）在 确定 了光 栅常 量与 缝宽 之后,试 列出 在光 屏上 世纪 呈现 的全 部级 数。
解,(1)光栅 方程 为jd?1sin )1(sin2jd故,2.03.01sinsin12jj? 2?j
dθ 0 110
(a)
dθ 0(b)
26
故 mnmjd 3106602.0602sin即光 栅常 量为 6m310(2)由第 四级 缺级,得 mdb
3105.14即光 栅上 缝的 最小 宽度 为 m3105.1
(3) 故最 大的 级次 为2sinsin 10?j故 其 时 最 多 观 察 到 又 考 虑 到 缺 级,所 以 能 呈 现 的 全 部 级 次 为,9j 8,49,7,6,53,2,1,0j
27
第 三 章 几 何 光 学 的 基 本 原 理1．证 明反 射定 律符 合费 马原 理。证明,费 马原 理是 光沿 着光 程为 最小 值,最大 值或 恒定 值的 路径 传播 。
，在 介质 n与 的界 面上,入 射光 A遵守 反射 定律,BAnds 或恒值max.in 'n 11ii经 O点到达 B点,如 果 能证 明从 A点到 B点的 所有 光程中 AOB是最 小光 程,则 说 明反 射定 律符合 费马 原理 。 设 C点为 介质 分界 面上除 O点以 外的 其他 任意 一点,连接 ACB并说 明光 程 ACB>光 程?
AOB?由于 ACB与 AOB在同 一种 介质 里,所以 比较 两个 光程 的大 小,实际 上就 是比 较两个路程 ACB与 AOB的大 小。从 B点到 分界 面的 垂线,垂 足为,并 延长 至 B
′,使,连 接,根o? OB? BOBO BO?据几 何关 系知,再 结合,又 可证 明 ∠ °,说 明 三点 在BOOB 11ii 180BAO BAO?一直 线上,与 AC和 组成 Δ,其 中 。BAO? BC? BAC? BCABAO
又 ∵ CBBCAOOBABOABAO,ACBCBAAOB即符 合反 射定 律的 光程 是从 A点到 B点的 所有 光程 中的 极小 值,说 明 反射 定律 符合 费AOB
马原 理。
CAOBO‘B‘O?
题 3.19图?
i
i’ nn’
28
2,根据 费马 原理 可以 导出 在近 轴光 线条 件下,从 物点 发出 并会 聚到 像点 的所 有光 线的 光程都相 等,由此 导出 薄透 镜的 物象 公式 。证明,由 QBA～ FBA得,OF\AQ=BO\BQ=f\s同理,得 OA\BA=\,BO\BA=f\sf?s?
由费 马定 理,NQA+NQ=NQA? Q?结合 以上 各式 得,(OA+OB)\BA=1得证3．眼 睛 E和物体 PQ之间 有一 块折 射率为 1.5的玻 璃平 板 (见题 3.3图 ),平板 的厚度 d为 30cm.求物 PQ的像 与物体 PQ之间 的距 离 为多 少?解,.由题 意知 光线 经两 次折 射后 发生 的轴 向位 移为,
，即 像与 物的 距离 为
4．玻 璃 棱 镜 的 折 射 棱 角 A为 60度,对某 一 波 长 的 光 其 折 射 率 为 1.6.计算 (1)最小 偏 向 角 ;(2)此时 的入 射角 ;(3)能使 光线从 角两 侧透 过棱 镜的 最小 入射 角,解,由最 小偏 向角 定义 得 n=sin /sin,得 =46゜１ ６ ′2A0 2A?0
由几 何关 系知,此 时的 入射 角为,i==５３ ゜８ ′2A0当在 C处正 好发 生全 反射 时,i2’ =sin-1=38゜ 41′,i2=A-i2’ =21゜ 19′6.i
1=sin-1(1.6sin21゜ 19′ )=35゜ 34′?ｉ min＝３ ５゜ ３ 4′５,图 示 一种 恒偏 向棱 角镜,它相 当于 一个 30度 -60-90度棱 镜与 一个 45度 -45度度 棱镜 按 图示方式组合在一起,白光沿 i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变,从而使任意一种波长
1?的光 可以 依次 循着 图示 的路 径传 播,出 射光 线为 r.求证,如 果 则,且 光 束2sin1n 12i与 r垂直 （这 就是 恒偏 向棱 镜名 字的 由来 ）．
解,? insinsin 11
cmndp 10)321(30)11(
E
n=1
题 3.3图
29
若 =,则 sini1=,i1=30。1sin2n 21则 i2=30。,而 insin2sin 2
21?90。,而1121?
90。,得证 。12?i６,高 ５ cm的物 体距 凹面 镜的 焦距 顶点 12cm,凹 面 镜的 焦距 是１ ０ cm,求像 的位 置及 高度,并作 光路 图．
解：∵又cmscmf 12,10 fss111∴,即,1011121s cms60
∴=-25cmssyy ssyy即像 在镜前 60cm处,像高为 25cm７．一个５ cm高的物体放在球面镜前１０ cm处成 1cm高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（ ２） 此镜 是凸 面镜 还是 凹面 镜？
解,由题 知物 体在 球面 镜前 成虚 象,则其 为反 射延 长线 的交 点，∵ssyy
∴，又,∴，所 以此 镜为 凸面 镜。cmysys 2 rss 211 05cmr８,某 观 察者 通过 一块 薄玻 璃板 去看 凸面 镜中 他自 己的 像,他 移 动着 玻璃 板,使 得 在玻 璃 板中与 在凸 面镜 中所 看到 的他 眼睛 的像 重合 在一 起,若 凸 面镜 的焦 距为 １０ cm,眼睛 距凸 面 镜顶点 的距 离灵 40cm,问玻 璃板 观察 者眼 睛的 距离 为多 少?
解,根据 题意,由 凸面 镜成 像公 式得,cmssfss 81014011111
题 3.5图
30
∴凸透 镜物 点与 像点 的距 离,则玻 璃距 观察 者的 距离 为 。cmssd 48 cmd242?9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明,放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体 移动 d(n-1)/n的一 段距 离的 效果 相同 。
解,证 明,将 玻璃 板置 于凹 面镜 与焦 点之 间,玻 璃折 射成 像,由 三题 结果 得ｄ ＝ｄ （ １ －0１ ＼ ｎ ）,即 题 中 所 求 。 10.欲使 由无 穷远 发出 的近 轴光 线通 过透 明球 体并 成像 在右 半球 面的 顶点 处,问这 透明 球体 的折射 率为 多少?
解,设球 面半 径为 r，物 距和 相距 分别为 s和,由物 像公 式,s? rn'sn's'nS=,=2r,n=1,得 =2?s? 'n11.有一折射率为 1.5,半径为 4cm的玻璃球,物体在距球表面 6cm处,求 (1)物所在的像到球心之间 的距 离 ;(2)像的 横向 放大 率,解,的玻 璃球 。cmrnnrnsnsn 4,1,5.1,
对第 一个 球面,cms6，415.1615.1s cms36
对第 二个 球面 cms 448362∴ ∴45.145.11
2s 12s∴ 从物 成的 像到 球心 距离 cmrsol152
31
5.121 snsn12.一个 折射 率为 1.53,直径为 20cm的玻 璃球 内有 两个 小气 泡,看上 去一 个恰 好在 球心,另一 个从最 近的 方向 看去,好像 在表 面与 球心 连线 的中 点,求两 气泡 的实 际位 置解,由 球面 镜成 像公 式：,当 =日时,s=r,气泡 在球 心。rnnsnsn s?当 =时,s=6.05cm，气 泡在 距球心 3.95cm处。s?2r
13.直径为 1m的球 形鱼 缸的 中心 处有 一条 小鱼,若玻 璃缸 壁的 影响 可忽 略不 计,求缸 外观 察者所看 到的 小鱼 的表 观位 置和 横向 放大 率,解,由,,又 s=r,∴ =r15cm,即鱼 在原 处。rnnsnsn s?
β ===1.33yy' ''nnss14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为 2cm.将它水平地浸入折射率为 1.33的水中,沿着棒的轴线 离球 面顶点 8cm处的 水中 有一 物体,利用 计算 和作 图法 求像 的位 置及 横向 放大 率,并作 光路图,
解,∴rnnsnsn 23.15.183.15.1s cms182)8(5.1 )18(33.1snsn?
∵ rnn cmnnnrnf 65.1717.0333.15.125.1 cmn
nnnrf 65.1517.066.233.15.1233.1
32
15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为 10cm.一物点在主轴上距离 20cm处,若物 和镜 均浸 在水 中,分别 用作 图法 和计 算法 求像 点的 位置,设玻 璃的 折射 率为1.5,水的 折射 率为 1.33.解,（ ！） 对 于 凸 透 镜,由 薄 透 镜 焦 距 公 式 得,=-39.12,'ff
由透 镜成 像公 式：,s=20cm,得 =-40.921''sfsf s?（ 2）对 于凹 透镜,由 薄透 镜焦 距公 式得,f=-=39.12'f
由透 镜成 像公 式：,s=20cm,得 =-13.21''sfsf s?（ 3）作 图：
‘（ 1）
（ 2）16.一凸透镜在空气中的焦距为 40cm,在水中时焦距为 136.8cm,问此透镜的折射率为多少 (水的折 射率为 1.33)?若将 此透 镜置于 CS2中 (CS2的折 射率为 1.62),其焦 距又 为多 少?
解,由题 意知 凸透 镜的 焦距 为,)( 22111 rnnrnnf又 ∵ 在同 一介 质中,设21nn? 'ff nnn21∴因为 对同 一凸 透镜 而言 是一 常数,)11)((1
2rnnnf 211rn?
FSO
F SO
3
设,当 在空 气中 时,在 水中 时tnnf )1(1 40,111 fn 8.136,33.122 fn∴，两 式 相 比,可 n=1.54,将 其 代 入 上 式 得tn)11(401 tn)13.1(8.1361
∴在中即,,0463.0?t 2CS 时62.1n 0463.0162.154.11 ）（f得,即透 镜的 折射 率为 1.54，在 CS2中的 焦距 为 -437.4cmcmf 4.43717.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为 20cm和 25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸 透镜,把它 置于 水中,求其 焦距 为多 少?
解,由薄 透镜 焦距 公式,,)( 22111 rnnrnnf其中 n=1,n1=n21.33,r1=20cm,r2=25cm,得=-44.8cm'ff18.会聚 透镜 和发 散透 镜的 焦距 都是 １０ cm,求 (1)与主 轴成 30度的 一束 平行 光入 射到 每个 透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm处各置一发光点,成像在何处?作出 光路 图,解,(1)由,s=,对于 会 聚 透 镜,
x==10cm,y=xtg30。 =5.8cm或者1''sfsf? s? 'f s?s?y=xtg(-30。 )=-5.8cm,像点 的 坐 标 为 (10,|5.8|)同理,对 于 发 散 透 镜,像 点 的 坐 标 为 (-s?s?10,|5.8|)
(2)由,s=f,对于 会聚 透镜,x=，即 经透 镜后 为一 平行 光束 。1''sfsf s对于 发散 透镜,x=-5cm，又,=0.5cm，s? ssyy'' yssy''?
考虑 到物 点的 另一 种放 置,=-0.5cm，像 点的 坐标 为 (-5,|0.5|)yssy''?
34
18.会聚 透镜 和发 散透 镜的 焦距 都是 １０ cm,求 (1)与主 轴成 30度的 一束 平行 光入 射到 每个 透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm处各置一发光点,成像在何处?作出 光路 图,
解,(1)由,s=,对于 会聚 透镜,x==10cm,y=xtg30。 =5.8cm或者 y=xtg(-30。 )=-5.8cm，像点 的坐 标为 (10,|5.8|)同理,对 于发 散透 镜,像点 的坐 标为 (-10,|5.8|)(2)由,s=f,对于 会聚 透镜,x=，即 经透 镜后 为一 平行 光束 。对于 发散 透镜,x=-5cm，又,=0.5cm，
考虑 到物 点的 另一 种放 置,=-0.5cm，像 点的 坐标 为 (-5,|0.5|)20.比累 对切 透镜 是把 一块 凸透 镜沿 直径 方向 剖开 成两 半组 成,两半 块透 镜垂 直光 轴拉 开一 点距离,用挡 光的 光阑 K挡住 其间 的空 隙 (见题 3.20图 ),这时 可在 屏上 观察 到干 涉条 纹,已知 点 光源 P与透镜相距 300cm,透镜的焦距 f’=50cm,两半透镜拉开的距离 t=1mm,光屏与透镜相距l=450cm.用波 长为 632.8nm的氦 氖激 光作 为光 源,求干 涉条 纹的 间距,
F S,(10,5.8)O30。 30。 （ a）
FS(-10,-5.8)O(b)
35
K
解,分 成 两 半 透 镜,对 称 轴 仍 是 PKO,P,P2构 成 两 相 干 光 源,相 距 为 d,1,=· s\(+s)=60cm,r=L-=390cm,上半 透镜 相当于 L的主 轴与 光心 上移 0.5mm,s?f? f? 0S?下半 透镜 相当于 L的主 轴与 光心 下移 0.5mm,d=2+t=0.12cm./d=2.056mm.y?
0ry21.把焦 距为 10cm的会 聚透 镜的 中央 部分 C切去,C的宽 度为 1cm,把余 下的 两部 分粘 起来 (题3.21图 ).如在 其对 称轴 上距 透镜 5cm处置 一点 光源,试 求像 的位 置．解,该 透 镜是由 A,B两部 分胶 合而 成,这 两 部分 的主 轴都 不在 光源 的中 心轴 线上,A部 分的主 轴在 系统 中心 线下方 0.5cm处,B部分 的主 轴系 统中 心线 上方 0.5cm处，由透镜 成像 公式,,经 A成像得 =-10cm，经 B成像的 =-10cm，这两 个像1sf's'f s? s?点在 垂直 于主 轴的 方向 上的 距离为 3cm.
P2P11P
题 3.20图
A
BC BA题 3.21图
36
２２,一 折射 率为 1.5的薄 透镜,其凸 面的 曲率 半径为 5cm,凹面 的曲 率半 径为 15cm,且镀 上 银(见题 3.22图 ).试证 明,当光 从 凸 表 面 入 射 时,该透 镜 的 作 用 相 当 于 一 个 平 面 镜,(提示,物经过凸面 折射,凸面 反射 和凹 面再 次折 射后,s’=-s,b=1.)解,经第 一界 面折 射成 像：
∵ 其中,=1.5,=1,1=5cm,rnsnsn''' 'n nrr? 's's1?∴5s.115.11's1
经第 二界 面（ 涂银 面） 反射 成像,∵,其 中，,,
1=15cmrss 21'1 's's2? 'ss1?rr?∴'s1152s'1
2再经 第一 界面 折射 成像,
,=1,=1.5,1=5cm,，rnsnsn''' 'nn rr? 's's3? 'ss2?∴s's3
==,=,=，?1s's11s's1?2's's12?3's's23三次 成像 后的 放大 率,=1，12?3所以 当光 从凸 表面 入射 式,该透 镜的 作用 相当 于一 个平 面镜 。
23.题 3.23图所示 的是 一个 等边 直角 棱镜 和两 个透 镜所 组成 的光 学系 统,棱镜折 射率 为 1.5,凸透镜的焦距为 20cm,凹透镜的焦距离为 10cm,两透镜间距为 5cm,凸透镜距棱镜边的距离为 10cm.求图中长度为 1cm的物体所成像的位置和大小,(提示,物经棱镜成像在透镜轴上,相当于 经过 一块厚 6cm的平 板玻 璃,可利 用例 3.1的结 果求 棱镜 所成 像的 位置,).
题 3.22图
37
解,因为 n=1.5,其全 反射 角为,。 所 以,物 体 经球 面上 反射,为 厚 度为 6cm的 透042?045镜,物 体 将 在 厚 透 镜 左 侧 成 虚 像,平 行 平 板 的 轴 向 位 移 l=l(1-1\n)凸 透 镜 的 物 距 为 s=-? 120,f=-20.所以 s==由物 像公 式知 成像 的位 置及 大小为 25和 -10。
1 2s24.显微镜由焦距为 1cm的物镜和焦距 =为 3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,问物 体放 在何 处时 才能 使最 后的 像成 在距 离眼睛 25cm处?
解,在目 镜下 由物 像公 式得 即222 111 fss 3112512s∴ cm2752s cmss 23652021
在物 镜下 由高 斯公 式得 即11 111fss 113652s cms343651即物 体在 物镜 下放 1.06cm处。24.显微镜由焦距为 1cm的物镜和焦距 =为 3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,问物 体放 在何 处时 才能 使最 后的 像成 在距 离眼睛 25cm处?
题 3.23图
38
解,在目 镜下 由物 像公 式得 即222 111 fss 3112512s∴ cm2752s cmss 23652021
在物 镜下 由高 斯公 式得 即11 111fss 113652s cms343651即物 体在 物镜 下放 1.06cm处。25,题 3.25图中 L为薄 透镜,水平 横线 M
‘ 为 主 轴 。 ABC为已 知的 一条 穿过 这个 透镜 的路 径,用作 图法 求出 任一 条光线 DE穿过 透镜 后的 路径 。
C M'A B
D EE
L
题 3.25图
CAB
D
E
L
题 3.25图
F
CA B
D E
L
题 3.25图
F为 DE的 出 射 光线
39
26,题 3.26图中 MM‘ 是一 厚透 镜的 主轴,H,H’ 是透 镜的 主平 面,S1是点 光源,S1‘ 是点 光 源的像 。试 用作 图法 求任 一物点 S2的像 S2’ 的位 置,
27．双 凸 透 镜 的 折 射 率 为 1.5,│ r1│ =10cm,│ r2│ =15cm,r2的一 面 镀 银,污 点 P在透 镜的 前主 轴上 20cm处,求最 后像 的位 置并 作出 光路 图。解,经第 一界 面折 射成 像：,=1.5,=1,
1=10cm,1=-20cmrnsnsn''' 'n nrr? s所以 1→,即 折射 光为 平行 光束's?
经第 二界 面反 射成 像：,2=1→,2=-15cm,所以 2=-7.5cmrss 21'1 s's?rr? 's再经 第一 界面 折射 成像,,=1,=1.5,
1=10cm,3=2=-7.5cmrnsnsn''' 'nn rr? s's所以 3=-4cm,即最 后成 像于 第一 界面 左方 4cm处。's28,实 物 与光 屏间 的距 离为 l,在 中 间某 一位 置放 一凸 透镜,可 使 实物 的像 清晰 地投 于屏 上,
将移 过距离 d之后,屏 上又 出现 一个 清晰 地像 。（ 1)试 计 算 两 个 像 的 大 小 ；（ 2）证 明透 镜的焦距 （ l2– d2/4l） ;(3)l不能 小于 透镜 焦距的 4倍。解,(1)令
2=，则 1=,'sxs )(xdl2=，sxl?
题 3.26图
40
第一 次成 像,?'11'1fss∴ = (1)'f l )]xd(l)[xd(
第二 次成 像,?'f1s1's1∴ = (2)'f lx)l(?
由 (1)(2)得,（ 3）2dlx则
1=,1=,2=,2= (4)s2dl?'s2dl?s2dl?'s2dl?
1= =,2=?s'sy'y1111?dldl dldls'sy'y2222=,又
2=1=，12 )(dldl 2 yyy故两 次成 像大 小之 比为,= (5)?
12 )dldl( 2(2)将（ 3）代 入（ 4）得 = （ 6）'f4ldl22?
（ 3）由 （ 6）得 （ 7）)'4fl(d所以 不能 小于 透镜 焦距的 4倍。l
L1 L2
题 2.28图
41
29,一 厚 透镜 的焦距 f′ 为 60mm,其 两 焦点 间的 距离为 125mm,若 （ 1） 物 点 置于 光轴 上物 方焦点左方 20处 ； （ 2）物点置于光轴上物方焦点右方 20mm处 ；（ 30)虚物落在光轴上像m方主 点右方 20mm处，文 在 这三 种情 况下 像的 位置 各在 何处？像 的性 质各 如何？并 作光 路图 。
解,⑴ 由厚 透镜 的物 象公 式的 高斯 公式 得fss 111实像）(1206018011 mss
⑵ 由 得 ）fss 111 虚(120ms⑶ ∴ 实像 ）ms20? fss 111 (15ms
30.一个 会举 薄透 镜和 一个 发散 薄透 镜互 相接 触而 成一 复合 光具 组，当 物 距为 －８ ０ｃ ｍ时,实像 距镜 ６０ ｃｍ,若 会聚 透镜 的焦 距为 １０ ｃｍ,问 发散 透镜 的焦 距是 多少？ 解：,,,?'11'1fss 'ff? ms60'? ms80
符合 光学 的焦 距为 =34.29cm? 'f,及 d=0，
2=-14.1cm? fd'f1f'1'f1 2121'f31双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为１００ｍｍ和２００ｍｍ，沿轴厚度为１０ｍｍ,玻 璃 的 折 射 率 为 １,５,试 求 其 焦 点 主 点 和 节 点 的 位 置,并 会 图 表 示 之 。
P P’B B’F F’-f f’
-x x’t-s s’
H’KK’O1 O2
题 3.31图
42
解：,代 入数 据得 =134.86mm-134.86mm]rn)1n(tr1r1)[n('f1 2121 'f 'ff=,得
1=200mm=,得 2=-400mm'f11'r1n?'f 'f12 'r1n?'f==20247mm=-4.495mm?pfn'tf
2 'fn'tf'p1==134.86mm,==-134.86mmx'f 'xf
32.两个 焦距 均为 ２ｃ ｍ的 双凸 透镜,其 间 距离 为４ ／３ ｃｍ,组 成 一个 目镜,求 其焦 点和节 点的 位置,如 他 们的 焦距 分别 为６ ｃｍ 和２ ｃｍ,间 距 为４ ｃｍ,再 求 其焦 点和 节点 的位置 。
解,空气 中1f? cmf202 cmd34? 22 ff∴ 5.13843422)2(2
21 21 dff fff,cmff 5.1 cmfdfp 12345.1
2 cmfx 5.1，cmfdfp 12343
1 cmfx 5.1当 cmdcmfcmfcmf 4,2,2,6 221
，3426262121 dff fff cmff 3
43
，cmfdfp 64232 cmfx 3，cmfdfp 2643
1 cmfx 333一焦 距为 ２０ ｃｍ 的薄 凸透 镜与 一焦 距为 ２０ ｃｍ 的薄 凹透 镜相 距６ ｃｍ,求,（ １ ） 复合光 具组 焦点 及主 平面 的位 置。（ ２） 当物 体放 在凸 透镜 前３ ０ｃ ｍ时 像的 位置 和放 大率 。
解析,cmf201 cmf 202 cmd6? cms301空气 中 cmff 2011 cmff 2022
⑴ cmdff fff 67.666202020202121Δ = cmF6
21 326)20(2021 fff -0.2mmcmdfp 2.02066201 dfp2
⑵ cms301 mcmpss 1.010)20(301 msfsfs 117.01.032)1.0(32 17.1.017.0ss?
34一薄 透镜 的主 平面 Ｈ和,节 平 面Ｋ 和 和交 平面 Ｆ和 位置 如图 所示,有 一 发光 点H? K? F?Ｐ在 物方 主平 面左 边２ ０Ｃ Ｍ处,试 作光 路途 并计 算像 的位 置。
F F’HKK’?
题 3.34图
4
解,cmscmfcmf 20,6,5 ∵_15)5(20cmfsx fx
∴ ∴cmxfx 21565 cmxfs 82635.一条 光线 射到 一折 射率 为ｎ 的一 球行 水滴,求,（ １ ）后 表面 的入 射角 ａ,问这 条光 线将被 全反 射还 是部 分发 射？ （２ ）偏 转角 ；（ ３ ）产 生最 小偏 转角 的入 射角 。?
解,（ 1）由 折射 定律 nsin=sin∴ =sin
-1()?nsin?又 ∵ 临界 角
c=sin-1(),即 <c,?n故是 部分 反射 。（ 2）由 图知,=（ -） +，即 =2-，而 =-2，所 以 =-4+2
（ 3） ∵ =-=0,即,dd 2dx4d 21dd而 =sin
-1(),∴ cos2=(n2-1)?nsin3136.将灯 丝至 于空 心玻 璃球 的中 心,玻 璃 球的 内外 直径 分别 为８ ｃｍ 和９ ｃｍ,求,（ １） 从球外 观察 到的 灯丝 像的 位置 （ 设 玻璃 折射 率ｎ ＝１,５ ）；（ ２） 玻 璃 温度 计管 子的 内外 直 径分别为１ｍｍ 和３ｍｍ,求从外侧观察到的直径数值；（ ３）统一温度计的竖直悬挂于直径 100mm得盛水 玻璃 烧杯 的正 中,从较 远处 通过 烧杯 壁观 察时,温 度计 的内 外直 径为多少？
题 3.35图
45
解,∵ rnsnsn'''（ 1） ① =1.5,=1,s1=r1=4cm,∴ 1=4cm即在 球心 处'n n 's
② =1.5,=1,s2=4.5cm∴ 2=4.5cm即像 仍在 球心 处nn 's（ 2） ① =1.5,=1,r1=4cm,s1=3.85cm∴ 1=3.896cm'n n 's
② =1.5,=1,s2=4.396cm∴ 2=4.348cmnn 'sd=0.304cm=3mm(3)① =1.33,=1.5,r
1=1.5mm,s=1mm∴ 1=0.96mm'n n 'ss2=49.46mm∴ 2=4.348cm∴ d(内 )=1.5mm's
② =1,=1.33,r1=50mm,s=48.5mm∴ 2=48.1mm∴ d(外 )=4mm'nn 's37,如 题 所 示 为 梅 斯 林 分 波 面 干 涉 实 验 装 置 。 其 中,分 别 为 两 块 半 透 镜
1O2O试 证 来 自）。（共轴，且、、、、的光心，和 121212121 lSSSOSLL? 定 性 讨 论 与 轴 线 垂））；（（点的光程差两端的光束到达和 2
2121 PSPSlPLL直的 光屏 上接 收到 的干 涉图 样的 特点 。 证明,∵ 物象 具有 等光 程性,
sl1ps1=so1o2s1sl1s2=so1o2s S S1 S2PL1 L
2O1
O2
题 3.37图
46
sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1sl1s2p=sl1s2+s2p=ps2
so1o2s1-so1o2s=s12=l=sl1ps1-sl2s∴ =sl1p-sl1s2p=l-(ps1-ps2)38,把 杂 质扩 散到 玻璃 中可 以增 大玻 璃的 折射 率,这 就 有可 能造 出一 个后 度均 匀的 透镜 。 已知圆板半径为 R，厚度为 d，如图所示，求沿半径变化的折射率 n（ r）,它会使从 A点发出的光 线传 播到 B点。 假定 这是 个薄 透镜,?a,d?b。d
解,d<<a,d<<b,圆板 中心 处的 折射 率为 n(0),半径 r处的 折射 率为 n(r)，光程,L=n(r)d+ra
22 rb22?有费 马定 理得 解得,0rL
n(r)=n(0)+d rbraba 222239．一 弯凸 透镜 的两 个表 面的 半径 的221 r1.515cm,-cm20,在折射率为和分别为和?rr
A Ba brd
题 3.38图
47
凸面 镀银 。 在 距 球面 左侧 40cm处的 主轴 上置 一高为 1cm的物,试 求 最后 成像 的位 置和 像1r的性 质。 解,（ 1）经 第一 界面 折射 成像
∵ 其中,=1.5,=1,1=-20cm,s=-40cmrnsnsn''' 'n nrr?∴ =-30cm's(2)经第 二界 面（ 镀银 面） 反射 成像
,其中,s=-30cm,=-15cmrss 21'1 r∴ =-10cm's（ 3）在 经第 一界 面折 射成 像其中,=1,=1.5,1=-20cm,s=-10cmrnsnsn''' 'nn rr?∴ =-8cm's
放大 率为,1==0.5,2=-=-,3==?snsn11'?s22'31?snsn33'' 56123=-0.2最后 像在 透镜 左方 8cm处,为一 大小 是原物 0.2倍倒 立缩 小实 像。40,一 折 射率位 n,曲 率 半径为 R
1和 R2的薄 凸透 镜放 在折 射率 分别为 n1和 n2的两 种介 质 之间,s1和 s2分别 为物 距和 像距,f1和 f2是物 方和 像方 焦距 。证 明,。12211sfsf证明,因 为任 一光 线由 物点 到像 点的 光程 相等,所 以又21 )( lnANAMdnlns 0?dnds∴ ①22111122 rnnrnnsnsn
48
∵ 物方 焦距 ②?1f 2211 rnnrnnn像方 焦距 ③
221122 rnnrnnf由 ①② ③ 得,11122sfsf
49
第 四 章 光 学 仪 器 的 基 本 原 理1,眼 睛 的构 造简 单地 可用 一折 射球 面来 表示,其 曲 率半 径为 5.55mm,内 部为 折射 率等于 4／ 3的液 体,外部 是空 气,其折 射率 近似 地等于 1。试 计算 眼球 的两 个焦 距。 用右 眼观 察月球时 月球 对眼 的张 角为 1°,问 视网 膜上 月球 的像 有多 大？
解； 眼球 物方 焦距 ；当 s’ =∞ 时,f=﹣ 5.55／﹙ 4／ 3﹣ 1﹚ =﹣ 16,65㎜ =﹣ 1,665㎝眼球 的象 方焦 距,f＇ =s＇ = m2.2213455.534
当 u=1° 时,由折 射定律 n1sinu1=n2sinu2U1=° n1=1,n2=4∕ 3像高 l＇ f＇ tanu2f＇ sinu2=f＇ × 3∕ 4sin1o=22.2× 3∕ 4× 0.01746=0.29mm,把 人 眼的 晶状 体看 成距 视网膜 2㎝的 一个 简单 透镜 。 有 人能 看清 距离在 100㎝到 300㎝2
间的 物体 。试 问,⑴ 此人 看清 远点 和近 点时,眼 睛透 镜的 焦距 是多 少？ ⑵ 为看清 25㎝远 的物体,需 配戴 怎样 的眼 镜？ 解,人眼 s＇ =2cm.S1=100cm.s2=300cm近点 时透 镜焦 距 = =1.961'f 210210cm
远点 时透 镜焦 距 ＇ = =1.987f 230230 cm当 =﹣ 25时 =﹣ 100﹦﹣ 1scms? cmmD度34125.010.1111ss 300?
3．一照相机对准远物时，底片距物镜 18㎝，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距 20㎝,求目 的物 在镜 前的 最近 距离？ 解,.18.0mf ms20.
照相 机成 像公 式,fss 111 556.020.0118.01111sfs ms8.1
50
目的 物在 镜前 的最 近距 离为 m8.14．两星所成的视角为 8′,用望远镜物镜照相，所得两点相距 1㎜，问望远镜物镜的焦距时多 少？
解,已知 067.6044u mml 01.1mulf 8594.067.0tan01.tan5．一 显微 镜具 有三 个物 镜和 两个 目镜 。三 个物 镜的 焦距 分别为 16㎜,4㎜和 ⒈ 9㎜,两个目镜 的放 大本 领分 别为 5和 10倍。 设三 个物 镜造 成的 象都 能落 在象 距为 160㎜处,问 这显微镜 的最 大和 最小 的放 大的 放大 本领 各为 多少？ 解,1f? m16? mf 42 mf 9.13 ms16010
1?M102?M因为 放大 本领 目物目物 MfsMM
分别 计算,mf161 5?目M 50516160Mmf161 10M?目 101016160Mmf4
1 5M?目 2054160Mmf41 10M?目 4160M 4010mf 9.1
5?目M 01.4259.1160Mmf 9.1 10M?
目 10.842109.1160M显微 镜? 50minM 10.842maxM6,一 显 微镜 物镜 焦距为 0.5㎝,目 镜 焦距为 2㎝,两 镜 间距为 22㎝。 观 察者 看到 的象 在 无穷远 处。 试求 物体 到物 镜的 距离 和显 微镜 的放 大本 领。
解,已知,显 微镜,5.0cmf物 cmf2目 cmL22?
51
物物 fsss cmfs 5.0物5025.022525
21ffLM8．已 知望 远镜 物镜 的边 缘即 为有 效光 阑,试计 算并 作图 求入 射光 瞳和 出射 光瞳 的位 置。解,有效 光阑 是在 整个 光具 组的 最前 面,所以 入射 光瞳 和它 重合,其 大小 就是 物镜 的口 径,位置 就是 物镜 所在 处。 而有 效光 阑对 于后 面的 光具 组所 成的 像即 为出 射光 瞳,即
1对 2成的 像为 出射 光瞳l
l
l
l
又 -,,而s?)2('1ff ff 21' fffsfs '1'11'21'1 2即,''12''' fffsfsfs yffyssy '12''9,组 成题 4.9图的 简单 望远 镜中 各薄 透镜 的参 数为 L
1:f1=10㎝,D1=4㎝ ;L2:f2=㎝,D2=1.2㎝ ;L3:f3=2㎝,D3=1.2㎝,计算 该系 统出 射光 瞳的 位置 和大 小。
解,已知 cmf101 cmD41? cmf2 cmD2.12? cmf2 cmD2.13?望远镜中物镜是有效光阑和入射光瞳，它被后面光具组 所成的像为出共轴组成和 32OO射光 瞳由逐 次成 像得,222 111 fss333 111 fss由图 示题 意得,cms10cmss 2
2 cmff 232
D1 D2 D3L1 L2L310cm 2cm题 4.9图
52
2510210222222 sfsfs 212252
23ss 25221111
333 sfs 即出 射光 瞳在 右方 4处。 其大 小为mcms 4523 3Ommd
ffd 8113讨论分 析,的作用,位于 后焦面 上。 将望 远镜 观测 物无 穷远 来的 光会 聚成 一点。2O2O1O成为 在物 焦平 面上 的物 点,成为 的物 镜,分别 把宽 光束 变成 细光 束。
3O 3O10,有 一 光阑 直径为 5㎝,放 置 在薄 透镜后 3㎝处 。 透 镜 的焦 距为 5㎝,孔 径为 6㎝。 现 有一高为 3㎝的物 PQ置于透镜前 12㎝处。要求,⑴ 计算对主轴上 P点的入射光瞳和出射光瞳的 大小 和位 置； ⑵ 找到 象的 位置 ； ⑶ 作光 路图 。
解,已知,光阑 孔径cmy3? cms12 cmD61? cmD5 cmf5薄透 镜成 像, cmfsfss 571.8760125125
像方,cmyssyy 715127360依题 意分 析,在 透 镜后 处有 效光 阑的 孔径 为,根 据 相似 三角 形对 应边 成比 例的 关 系cm3 D?57.57.8357.857.86D cmD 90.357.857.6
而实际光阑的孔径为 。所以现有小光阑 AB对光束不加限制，不是有效光阑。只有透cm5镜为 有效 光阑 。透 镜本 身是 入射 光瞳 也是 出射 光瞳 。 1．题 4.11图中的 H,’ 为光 具组 的主 点,F,F’ 为焦 点,E为对 于物点 P的 入 射 光 瞳,EO为其半径。已知 EO＝ 2㎝,HP＝ 20㎝,H＝ 15㎝,HO＝ 5㎝,H′ F′ ＝ 15㎝,H′ ＝ 5㎝，物长 PQ＝ 0.5㎝。作光路图并计算,⑴ 象的位置； ⑵ 象长； ⑶ 入射孔径角； ⑷ P
点的 出射 光瞳 半径 和出 射孔 径角 。PQ F'
题 4.11图
53
解,(1),=15cm,=-20cm,所以 =60cm，111 111 fss 'f s '1s(2),所以 =-1.5ssyy'' yssy 1111''?
(3)u=tg-1=tg-1 7° 35′POE5
15
2
2
(4),222 111 fss cmFHf 15''' 2s cmHO5所以 出射 光瞳 的位 置,cms 5.7'
2出射 光瞳 半径,R= cmyssyOE 3'''' 2222
出射 光瞳 孔径 角,2° 32′ 5.673''''' 11 tgOPEtgu其中 cmssOP 5.67'''' 2112,一 灯 （ 可认 为是 点光 源） 悬 在圆 桌中 央的 上空,桌 的 半径为 R,为 了 使桌 的边 缘能 得 到最大 的照 度,灯应 悬在 离桌 面中 心多 高出？
解,设灯 应悬 在离 桌面 中心 的高 度为 h，半 径为 R的桌 的边 缘能 得到 最大 的照 度。由照 度公 式 2coslIE 222 rhl lhcos
2322232222 RhIRhIhlRhIhE为求 最大 值令 02
22 2222 RhhRRhIdhdE0222hR RRh 222
2
54
13．焦 距 为 20㎝的 薄 透 镜,放 在 发 光 强 度 为 15cd的点 光 源 之 前 30㎝处 。 在 透 镜 后 面 80㎝处 放一 屏,在屏 上得 到明 亮的 圆斑 。求 不计 透镜 中光 的吸 收时,圆 斑的 中心 照度 。 解,cmf201 cdI15? cms30 cmR80?sRR
由 薄 透 镜 成 像 公 式,可 知 发 光 点 经 薄 透 镜 成 的 像 点 位 于fss 111 P L P cmfsfss 601060030203020设透 镜面 积为,通 过透 镜的 光通 量为,依 题意 得，S
设透 镜对 物亮 点 张的 立体 角为,亮 斑 对象 点 张的 立体 角为 。 由 照 度定 义可 知,P?d Pd2220 RIRIRIdIId cd
RII 6041530601522222cosRIE 1cos,0
故 lxRIE 15020.602214．一 长为 5㎜的 线状 物体 放在 一照 相机 镜头前 50㎝处,在 底片 上形 成的 象长为 1㎜。 若底片 后移 1㎝,则象 的弥 散斑 宽度为 1㎜。 试求 照相 机镜 头的 F数。解,已知 cms50 cmmy 5.05 cmmy 1.01
底片 后移,像 的弥 散斑 宽度cms1 cmmd 1.01dffdF1? fss 111 yysscmsyys 10505.01.0
cmsssf 50650060501010501
5
cmf 650由图 示可 知三 角形 相似 的关 系有,sdsd 22cmssdd 110.0
cmdfF 3.8165015．某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线（其波长分别为 589nm和 589.6nm）附近的色散率dn／ dλ 为﹣ 360㎝
﹣ 1，求此种玻璃制成的能分辨钠光双谱线的三棱镜，底边宽度应不小于多少？ 解,已知,钠 光双 线,A?5890
1 A?58962 1360cmddn?为三 棱镜 底边 宽度ddnBCP BC nm6.05896.589 cm
ddnBC 73.23606.058916．设计一块光栅，要求 ⑴ 使波长 600nm的波长第二级谱线的衍射角小于 30°,并能分辨其 0.02nm的波 长差 ； ⑵ 色散 尽可 能大 ； ⑶ 第三 级谱 线缺 级。 求出 其缝 宽,缝数,光 栅常 量和总 宽度 。用 这块 光栅 总共 能看到 600nm的几 条谱 线？
解,已知,,,,,nm600 2j?30 nm02.0 3?bdmjd 779 1024210230sin10602sinmdb
71083jN条150460020.60jN? mNdL
310 1036124150总角色 散 线色 散?cosdjDcosdjfdfl
要求 色散 尽可 能大 即 尽可 能大,尽可 能小 。?cos
56
，当 时，jd?sin 2 1sin级4106102477maxdj又知 级缺 级。 时,对应 无法 看到 。3mbd 2 4max?j能见 的谱 线为,0，,级，共 5条谱 线。 1?2?
17．若 要求 显微 镜能 分辨 相距 0.000375mm的两 点,用波 长为 550nm的可 见光 照明,试求,⑴ 此显微 镜物 镜的 数值 孔径 ;⑵ 若要 求此 两点 放大 后的 视角为 2′,则显 微镜 的放 大本 领是 多少?解,解,uny si61.0 yun61.0si
① 当 时nmmy 50,0375,895.010000375.0 1055061.0sin 39u
② 23102510000375.0tanuu 54014.31806022u 65.38710000375.05400102514.3
92uuM18.夜间自远处驶来汽车的两前灯相距 1.5m.如将眼睛的瞳孔看成产生衍射的圆孔，试估计视力 正常 的人 在多 远处 才能 分辨 出光 源是 两个 灯。 设 眼睛 瞳孔 的直 径为 3mm,设 光 源发 出 的光的 波长为 550nm。解：,所以R610.0lytguu kmyl 7.6610.019.用孔 径分 别为 20cm和 160cm的两 种望 远镜 能否 分辨 月球 上直 径为 500m的环 行山？（ 月球与 地面 的距 离为 半径的 60倍，而 地球 半径 约为 6370km。）设 光 源 发 出 的 光 的 波 长 为 550nm.
解,解,孔径为 20的望 远镜 的分 辨率 极限 为cm D2.11?极限 线宽 602.11 RDLL
当 mmLcmD 500281.12826010637010201055022.120 329时，
57
mmLcmD 50029.16060106370101601055022.1160 329时，孔径为 160的望 远镜 能分 辨清 月球 上直 径为 500环形 山?cm m20,电 子 显微 镜的 孔径角 2u=8o,电子 束的 波长为 0.1nm,试 求 它的 最小 分辨 距离 。 若 人 眼 能分辨 在明 视距 离处 相距 6.7× 10
-2mm的两 点,则此 显微 镜的 放大 倍数 是多 少？解,根据?4,1,1.0,sin61.0 unnmuy其中代入 数值 得,nmy87.0
显微 镜的 放大 倍数 4932 1066.71087.010107.6mM21．平行光垂直投射于宽度为 4cm的理想透明光栅上，已知在衍射角为 60° 的方向上的角色散为 0.5× -2rad∕ nm，试 求光 栅在 该方 向上 最大 处的 分辨 本领 p?
解,dLNjP,djLP
又角 色散 5.060coscos,cosdjD nmradnmradDdj 22 1025.021105.0cos
59 22 10101025.0104djLP22.氦氖激光器发出波长为 632.8、截面直径为 2的激光束投向月球。已知月球和nm m地面的距离为,试问在月球上得到的光斑的直径有多大？如果这个激光经km
51076.3?扩束器扩束后截面直径分别为 和,再发向月球，试问在月球表面上的光斑直径各m2m5为多 大？
解,(1),? d/22.1/61.01R kmdffD 290'4.2)'(211(2),d10d32290m10DD312
58
(3),d105.2d 33 16m102.5DD31323.用一 架照 相机 在离 地面 的高 空拍 摄地 面上 的物 体，如 果要 求它 能分 辨地 面上 相 距km200的两 点,照相 机镜 头的 口径 至少 要多 大？ 设感 光的 波长 为,m1 nm550
解：,d/22.1/61.01R ly'?而,即1'? dly?2.11342cm.0
yl22.1dmin24.已知月 地距 离约 为 3.8× 105km,用上海 天文 台的 口径 为 1.56m天体测 量望 远镜 能分 辨月球表 面上 两点 的最 小距 离为 多少？设 波长为 555nm.
解,根据,其 中fdy2.1 mfmdnm 8108.3,56.1,555代入 求得 my9.16425.为了 分辨 第二 级钠 光谱 的双 线（ 589nm和 589.6nm］长 度为 15cm的平 面光 栅的 光栅 常量应为 多少？
解,根据,得jNP光栅 缝数 4912106.0103.58999jN?
故光 栅常 数 cmcmNld 03.49115
59
第 五 章 光 的 偏 振1.试确 定下 面两 列光 波E
1=A0[excos（wt-kz）+eycos（wt-kz-π/2）]20[exsin（t-kz）eysin（t-kz-π/2）]的偏 振态 。 解,E1=A0[excos(wt-kz)+eycos(wt-kz-π/2)]
0[excos(t-kz)eysin(t-kz)]为左 旋圆 偏振 光E2=A0[exsin(wt-kz)+eysin(wt-kz-π/2)]0[exsin(t-kz)eycos(t-kz)]为右 旋圆 偏振 光.为了 比较 两个 被自 然光 照射 的表 面的 亮度,对 其 中一 个表 面直 接进 行观 察,另 一 个表 面2通过 两块 偏振 片来 观察 。两 偏振 片透 振方 向的 夹角为 60
°。若观 察到 两表 面的 亮度 相同,则两表 面的 亮度 比是 多少？已 知光 通过 每一 块偏 振片 后损 失入 射光 能量的 10%。解 ∶∵ 亮度 比 =光强 比（ 直接 观察为 I0,通过 偏振 片观 察为 I）,∴ I/
/
0=(1-10%)cos2600·(1-10%)=10%.3.两个 尼科耳 N1和 N2的夹 角为 60°,在 他 们之 间放 置另 一个 尼科耳 N3,让 平 行的 自然 光 通过这 个系 统。 假 设各 尼科 耳对 非常 光均 无吸 收,试问 N3和 N1的偏 振方 向的 夹角 为何 值时,通过 系统 的光 强最 大？ 设入 射光 强为 I0，求 此时 所能 通过 的最 大光 强。
解,设,P3与 P1夹角 为 α,P2与 P1的夹 角为 θ=600I1=I0I3=I1cos2α=cos2α21 02II2=I3cos2(θ-α)=cos2αcos2(θ-α)02I要求 通过 系统 光强 最大,即求 I
2的极 大值I2=I2cos2αcos2(θ-α)=cos2α[1-sin2(θ-α)]02I
=[cosθ+cos（ 2α-θ） ]208I由 cos（ 2α-θ） =1推出 2α-θ=0即 α=θ/2=30°∴ I
2max=I0cos2αcos2(θ-α)=I0cos230°cos230°=I021 21 9324.在两 个理 想的 偏振 片之 间有 一个 偏振 片以 匀角 速度 ω绕光 的传 播方 向旋 转 （ 见题 5.4图 ）,若入 射的 自然 光强为 I
0，试 证明 透射 光强 为
N1N3
N2θ
θ
α
α
题 5.3图
60
I=I0（ 1-cos4ωt）,16?解,I=I0cos2ωtcos2（-ωt）=I0cos2ωtsin2ωt=I012 2? 12 181-cos4t2?=I
0（ 1-cos4ωt）`5.线偏 振光 入射 到折 射率为 1.732的玻 璃片 上,入射 角是 60°，入 射光 的电 失量 与入 射面 成30°角。 求由 分界 面上 反射 的光 强占 入射 光强 的百 分比 。解,由电 矢量 在入 射面 的投 影为 A
n=I0cos230°A⊥ =A0sin30°即 In=I0cos230°=3/4I0Is1=I0cos260°1/4I0理论 证明 i
s=Ib=arctan=arctan1.732=600为布 儒斯 特角21n∴ 反射 光为 只有 垂直 分量 的线 偏振 光（ 相对 入射 面来 说）依据 菲涅 耳公 式 '1 12
1 12sin()sin()ssAiiii 0 0 0 01 26,963i i' ' 0 02 21 1 0 01 1
' 11140 1 sin(6030)1()[ ]sin(6030)416.25%16s ss sss sI AI III I
6.一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成 30°角。两束折射光通过在方 解石 后面 的一 个尼 科耳 棱镜,其 主 截面 与入 射光 的振 动方 向成 500角。 计 算 两束 透射 光的相 对强 度。 解,① 当入 射光 振动 面与 尼科 耳主 截面 分居 晶体 主截 面两 侧时
N1 N
2题 5.4图
61
2011 12021 1
20 0 202 1 120 0 0 202 1 12020
1 202 120 202 1 1
3cos304cos604cos(3050)sin10cos(903050) cos10
3sin10sin104 3tan100.093cos10cos104
eo
ee eoo oe e
oo
II III III III I
IIIII I
② 当入 射光 振动 面与 尼科 耳主 截面 分居 晶体 主截 面两 侧时
2011 12021 1
20 0 20 2021 1 12 0 0 20 2022 2 1
201 202 202 1
202 202
3cos304cos604 3cos(5030)sin70sin704
cos(*5030) cos70cos7043cos704 3tan7022.645cos704cos70
0.0443sin70
eo
e e eoe o
eoo
e
II III III I I
II I IIII II
I
7.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成 300角 。 求,（ 1）透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？（ 2）用钠光入射时如要产生 90
0的相 位差,波 片的 厚度 应为 多少？（ λ=589nm）解,① 2001 1
201 110
1
sin3043cos3041433
4ee
II III IIII
I
② λ=589nm时,ΔΨ=900Δδ=2 (21)k0e（ n-n） d=λ当 k=0时为 厚度 最小 值
62
∴ 代入 数值得 d=8.5610-7m0(21)4( )ekdnnλ?8.有一 块平 行石 英片 是沿 平行 于光 轴方 向切 出的 。 要 把 它切 成一 块黄 光的 波片,问 这 块41石英 片应 切成 多厚？石 英的 n=1.552,n=1.543,λ=589.3nm
e o cm1064.112412412 3
00 knnkdknnd ee9.(1)线偏 振光 垂直 入射 到一 个表 面和 光轴 平行 的波 片,透 射 出来 后,原 来 在波 片中 的寻 常光及 非常 光产 生了 大小 为 π的相 位差,问 波 片的 厚度 为多 少？ 已知 n=1.5533,n=1.5442,λe o=500nm； （ 2） 问 这块 波片 应怎 样放 置才 能使 透射 出来 的光 是线 偏振 光,而 且它 的振 动面 和入射 光的 振动 面成 900角？解,① cm1075.212412122 3
00 knnkdknnd ee② 由 ① 可知该波片为 1/2波片，要透过 1/2波片的线偏振光的振动面和入射光的振动面垂直即,290 410.线偏 振光 垂直 入射 到一 块表 面平 行于 光轴 的双 折射 波片,光 的 振动 面和 波片 光轴成 250角,问波 片中 的寻 常光 透射 出来 的相 对强 度如 何？ 解,将入 射的 线偏 振光 分别向 x,y方向 投影得,20 200 20sin25tan25cos25eIIII1在两个正交尼科耳棱镜 N1和 N2之间垂直插入一块波片，发现 N2后面有光射出，但当N2绕入 射光 向顺 时针 转过 200后,2的视 场全 暗，此 时,把 波 片也 绕入 射光 顺时 针转过 200
,N2的视场又亮了。问（ 1）这是什么性质的波片；（ 2） N2要转过多大的角度才能使 N2的视场又变 为全 暗。 解,① 因为 N
1垂直于 N2Δδ= （ k=1,2,3… ）2 (21)k0e（ n-n） d=当 Δδ= 时出 现亮 条纹,所 以垂 直插 入的为 1/2波片(21)k0e（ n-n） d=② 设波 片顺 时针 方向 转过 20
0后,N2要转 过 α才能使 N2的视 场恢 复原 始的 暗场因为 N1输出 为线 偏振 光,N2视场 本为 暗场,垂 直插入 1/2波片后 N2视 场 为 亮 场,1 2N?
63
线偏 振光 经过 1/2波片 后仍 为线 偏振 光,只是 振动 方向 转过 了 角2?0 022412一束 圆 偏 振 光,（ 1）垂 直 入 射 到 波片 上,求 透 射 光 的 偏 振 状 态；（ 2）垂 直 入 射 到41
波片 上,求透 射光 的偏 振状 态。81解,1）圆 偏振 光可 以看 成相 互垂 直的 两条 线偏 振光 的合 成,两者 之间 位相 差为 π/2再经 λ/4波片 后,它们 相位 差又 增了 π/2，这 样两 线偏 振光 的位 相差 为 π/2+π/2＝ π,合 成 为 线 偏 振 光,所以 一束 圆偏 振光经 1/4波片 后合 成为 线偏 振光 。2）圆 偏振 光经 1/8波片 后成 为椭 圆偏 振光 。位 相差 为 π/2。13.试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振 光。 证明,左,右 旋圆 偏振 光的 振动 表达 式分 别为,E1=A0[excos（wt-k1z）+eycos（wt-k1z）]20[exsin（t-k2z）eysin（t-k2z）]
12 021 [( )cos( )]xyEEAEEtkk这说 明光 路上 任一 点振 动的 x分量和 y分量 对时 间有 相同 的依 赖关 系,它们 都决 定于因此 它们 是同 相位 的,这说 明它 们合 成的 是线 偏振 光。cos( )t14.设一 方解 石波 片沿 平行 光轴 方向 切出,其 厚度为 0.0343mm,放 在 两个 正交 的尼 科耳 棱镜间。 平行 光束 经过 第一 尼科 耳棱 镜后,垂 直地 射到 波片 上,对于 钠光 （ 589.3nm） 而 言 。晶体的折射率为 n=1.486,n=1.658,问通过第二个棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减
e o弱？ 如果 两个 尼科 耳棱 镜的 主截 面是 相互 平行 的,结果 又如 何？ 解,① 当两 个尼 科耳 棱镜 垂直 时,透射 光强 度是,
cos10II由 可得 代入 上式 可得 因此 是减 弱dnen0220 0I
② 当两 个尼 科耳 棱镜 平行 时,透射 光强 度是, cos10II同理 可得,因此 光强 加强 。2II16单色 平行 自然 光垂 直入 射在 杨氏 双缝 上,屏 幕 上出 现一 组干 涉条 纹。 已 知 屏上 A,C两点分别对应零级亮纹和零级暗纹,B是 AC的中点，如题 5.16图 所 示,试 问,（ 1）若在双缝后放一理想偏振片 P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有如何变化？（ 2）在一条缝的偏振片后 放一 片光 轴与 偏振 片透 光方 向成 450的半 波片,屏 上 有无 干涉 条纹？ A,B,C各点 的 情况如 何？
题 5.16图S
S1S2 AP BC
64
解,① 若在 双缝 后放 一理 想偏 振片 不会 影响 S1与 S2之间 的原 有光 程差,所以原有干涉条纹的位置和宽度都不变，由于自然光经过偏振片后光强减半，所以 A减光强有 变化,C减是 暗纹,光 强仍为 O不变,I
A=++ =4 =020I20I 2.200II?20I0I?② 若 在一 条缝 的偏 振片 后放 一片 光轴 与偏 振片 透光 方向成 450的半 波片,则 透过 半波 片的 线偏振 光的 振动 方向 偏转 了 与未 经半 波片 的线 偏振 光的 振动 方向 垂直,使 两0 02459束光 的迭 加不 满足 振动 方向 接近 一致 的相 干条 件。
17.厚度为 0.025mm的方解 石波 片,其表 面平 行与 光轴,放 在两 个交 的 尼 科 耳 棱 镜 之 间,光轴 与两 个尼 科耳 各成 450,如 果 射入 第一 个尼 科耳 的光 是波 长为 400nm-700nm可 见 光,问透过 第二 个尼 科耳 的光 中,少了 那些 波长 的光？ 解,由题 意知 凡是 未通 过第 二个 尼科 耳棱 镜的 光都 是与 第二 个尼 科耳 垂直 的光即 ∵ρ 1⊥ρ 2α-θ=π/220I cos102II说明20I 1cos0cos1又因 为 kdnn
e 220所以 的光 未透 过第 二个 尼科 耳棱 镜0( )enndk因此 在可 见光 范围 内少 了以 下波 长的 光：
15678
91011
kkkkk
kkk
当 时 =930nm当 时 =860nm当 时 =716.9nm当 时 =614.3nm当 时 =537.5nm
当 时 =477.8nm当 时 =430nm当 时 =390nm18.把一 块切 成长 方体的 KDP晶体 放在 两个 正交 的偏 振片 之间 组成 一个 普克 尔斯 效应 的 装置。已知电光常数 γ=1.06*10-1,寻常光在该晶体中的折射率,n=1.51，若入射光 0的vm o
65
波长为 550nm试计 算从 晶体 出射 的两 束线 偏振 光相 位差 为 π时,所 需 加在 晶体 上的 纵向 电 压（ 叫 做 半 波 电 压 ）。 解,线偏 振光 的相 位差 公式,
330 110 30 1053.72 550/1006.151.12nU nmmn Un19．将 厚 度 为 1mm且垂直于光轴切出的石英片放在两个平行的,尼科耳棱镜之 间,使从第一个尼科耳出射的光垂直射到石英片上，某一波长的光波经此石英片后,振动面旋转了 20
0。问石英片厚度为多少时,该波长的光将完全不能通过。解,沿垂直于光轴方向切出的石英片为旋光镜片,当 出射光矢量与入射光矢量 垂直时,则 光不能通过 N2,即 欲使光不能通过 N2，使 N1出射的光束经晶片后 又转过 (2k+1)π/2，此时该光束的振动面与 N2的主界面垂直，亦即 φ
2=(2k+1)90°，且 φ1=αd1=20°所以 d2=(2k+1)·0.45cm20.试求 使波 长为 509nm的光 的振 动面 旋转 1500的石 英片 厚度 。石 英对 这种 波长 的旋 光度为 29.70m-1解：
01 00 001050929.71501505.05129.7nmm mm已 知,根 据 旋 光 度 的 定 义 可 知,d=21将某种糖配置成浓度不同的四种溶液,100c
3溶液中分别含有 30.5克,22.76克,29.4克和 17.53克的 糖。 分 别 用旋 光量 糖计 测出 它们 每分 米溶 液转 过的 角度 依次是 49.50,36.10、30.30、,和 26.80。根 据这 些结 果算 出这 几种 糖的 旋光 率的 平均 值是 多少？
6
313 3 32 4
0 30 3
0 30
0.305/0.2276/ 0.294/ 0.1753/49.51162.30.
10.30536.11158.61.10.227630.31103.06.10.294
26.81
lc lcmc gcmvm m mc gcmc gcmc gcmv v v
cmdmgcmdmgcmdmg
12
34
解,根 据它 们 的 物 质 量 浓 度 分 别 为,代 入 数 值 可 得,
3 31152.88.0.17531144.2.4 cmdmgcmdmg1234则 22.如图题 5.22所示 装置 中,S为单 色光 源置 于透镜 L的焦 点处,P为起 偏器,L
1为此 单 色光的 1/4波片,其 光轴 与偏 振器 的透 振方 向成 α角,M为平 面反 射镜 。已 知入 射偏 振器 的光束强 度为 I0，试 通过 分析 光束 经过 各元 件后 的光 振动 状态,求 出光 束返 回后 的光强 I。各 元件对 光束 的损 耗可 忽略 不计 解,单色 光源 S发出 的光 经过 透镜 L后变 为平 行光,光 强为 I
0.经 P后为 线偏 振光,光 强为经 1/4波片后,成 为椭 圆或 圆偏 振光,因 各种 元件 对光 束的 损耗 可忽 略不 计，所012pI I?
以光 强不 变只 是振 动方 向偏 转了 角。 经 M平面 镜反 射,光 强 仍为 只是 发生 了左 右 对? 012I换,偏转 角还 是,所 以发 射光 还是 圆或 椭圆 偏振 光。反射 椭圆 偏振 光再经 1/4波片 后变 为线 偏振 光,振 动方 向又 增加 了 角,所 以反 射线 偏振 光?的振 动方 向与 起偏器 P的透 振方 向夹 角为,强 度不 变。2?
根据 马吕 斯定 律,反射 线偏 振光 再经 P返回 后的 光强 为,201cos2II
题 5.22图I
I0L P L
1S? M
67
23.一束 椭 圆 偏 振 光 沿 Z方向 传 播,通 过 一 个 线 起 偏 器,当 起 偏 器 透 振 方 向 沿 X方 向 时,透射强度最大，其值为 1.5I0；当透振方向沿 Y方向时，透射强度最小，其值为 I0。 （ 1）当透振 方向与 X轴成 θ角时,透 射 光的 强度 为多 少？ （ 2） 使 原 来的 光束 先通 过一个 1/4波片 后再通 过线 起偏 器,1/4波片 的光 轴沿 x方向 。 现 在发 现,当 起偏 器透 光轴与 x轴成 300角时,透过 两个 元件 的光 强最 大,求光 强的 最大 值,并确 定入 射光 强中 非偏 振成 分占 多少？
()()22 22 2 2
() 2 2()2 20 0
,1.)cossincossin( )cos( )sin
1.5cossin2.)
u eue
e ex ey ex eyue uex uey
I IIIII E E I IIII II II
I I I
解,设 非 偏 振 光 经 偏 振 片 后 的 光 强 为 椭 圆 偏 振 光 经 偏 振 片 后 的 光 强 为椭 圆 的 长 短 轴 分 别 为 x,y轴,是 偏 振 片 透 光 轴 与 光 轴 的 夹 角设 透 过 偏 振 片 的 总依 据 题 意,0
2 0 0 0max 0
0 0 0 00
1/4,3tan3031() 0.75,0.25,0.75
31.751.52.5220.7560%2.5eyexey ey ex ey uex exexeyu
u
xyEI EI II II II
I III III I I I II I
0椭 圆 偏 振 光 经 过 波 片 后 的 线 偏 振 光 的 振 动 方 向与 x轴 成 30角 时 得 的 分 量 之 比 为,
非 偏 振 光 与 总 光 强 之 比 为,24.有下 列几 个未 加标 明的 光学 元件,（ 1） 两 个 线 偏 振 器 ；（ 2） 一个 1/4波 片 ；（ 3） 一 个 半波 片 ；（ 4） 一 个 圆偏 振器,除 了 一个 光源 和一 个光 屏外 不借 助其 它光 学仪 器,如 何 鉴别 上 述光学 元件 。 解,首 先,透 过这 五个 元件 观察 光源 光强 不变 的为 1/4波片 和半 波片 ； 光 强减 半的 为两 个 线偏振 器和 圆偏 振器 。然 后,把这 三个 光强 减半 的器 件两 两组 合,透过 该光 学系 统观 察光 源,若光 强变 暗且 有消 光现 象的 则为 两个 线偏 振器 的组 合,由 此 鉴别 出两 个线 偏振 器,且 剩 余 的一个 为圆 偏振 器； 然 后,分 别 把两 个波 片放 到两 个偏 振器 之间,并 旋 转靠 近眼 睛的 那个 偏 振器,透过 该光 学系 统观 察光 源,若有 消光 现象 则为 半波 片； 反之,为 1/4波片25.一束 汞绿 光以 60
0角入 射到 磷酸 二氢 钾（ KDP）晶 体表 面,晶体的 n=1.470,n=1.512,e o设光 轴与 晶面 平行,并 垂直 于入 射面,试 求晶 体中 o光与 e光的 夹角 。解,已知 601470.1512.
10?nnn e根据 公式 2211 sinsinnn?
可得 573.0512.12360sinsin010nn?
68
589.0470.12360sinsin1eenn?由上 两式 可得 095.3634094230 e
由此 可得,光与 光的 夹角oe 153.9423.3095.360e26.通过 尼科 耳棱 镜观 察一 束椭 圆偏 振光 时,强 度 随尼 科耳 棱镜 的旋 转而 改变,当 强 度为 极小值 时,在 尼科 耳棱 镜（ 检偏 器） 前插 入一块 1/4波片,转动 1/4波片 使它 的光 轴平 行于 检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动 200就完全消光。问（ 1）该椭圆偏振光是右旋 还是 左旋 的？ （ 2）椭 圆长 短轴 之比 是多 少？
解,尼科 耳转 至光 强最 小处,则 主截 面方 向即 为入 射光 的短 轴方 向。 N1为短 轴方 向。/4片光 轴与 N1主截 面平 行,故短 轴上 的振 动为 e光,长轴为 o光。N2与 N1顺差 20?时 全 暗,说 明 经?/4片后 的线 偏振 光的 振动 面在 逆时 针转 70?的 位 置 上（ 二,四象 限）。 说明 o光的 位相 落后于 e光?（或 －?）。 即?＝?（或 －?） 。因为 线偏 振光在 70?的方 向上,故 入射 椭圆 的长 短轴 之比 Ay/x=tan70?。石英 是正 晶体,经?/4片后,e光的 位相 落后于 o光?/2，即?2＝－?/2。因 此,入射 到?/4片的光 所具 有的 初始 位相 为?1＝?－?2＝－ 3?/2（或 /2）。 此 为一 个右 旋的 椭圆 偏振 光。综合 以上 结果 有,在 未放?/4片时 的入 射光 偏振 态为,一 个右 旋椭 圆偏 振光,长短 轴之 比 为Ay/x=tan70?，短 轴方 向在 N1主截 面方 向。27.推导 出长 短轴 之比为 2:1，长 轴沿 Ｘ轴 的右 旋和 左旋 椭圆 偏振 光的 琼斯 矢量,并 计算 两个偏 振光 叠加 的结 果,解,对于 长,短轴 之比为 2:1，长 轴沿 x轴的 右旋 椭圆 偏振 光的 电场 分量 为
ikz
ikz
ikz
ikz
X
X
X
X
ae
ae
e
e
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A
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2
2
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故?
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A
A
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X
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
这一 偏振 光的 归一 化琼 斯矢 量为?
i
i
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A
A
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2
2
5
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1
1
2
2
2
2
2
2
若为 左旋 椭圆 偏振 光，,故 其琼 斯矢 量为2
2
i
i
e
e
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E
i
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L
L
2
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5
5
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2
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1
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2
2
两偏 振光 叠加 的结 果为,
69
0
0
1
1
5
5
4
4
0
0
4
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i
i
i
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i
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E
E
E
E
E
E
L
L
R
R
合成 波为 光矢 量沿 x轴的 线偏 振光,其 振幅 为椭 圆偏 振光 x分量 振幅的 2倍。
70
第 六 章 光 的 吸 收,散 射 和 色 散1,一 固 体有 两个 吸收 带,宽 度都是 30nm,一带 处在 蓝光 区 （ 450nm附 近 ）,另 一 带 处 在黄光 区（ 580nm附近 ）。 设 第一 带吸 收系 数为 50cm
-1,第二 带的 吸收 系数为 250cm-1.试绘 出白光分 别透过 0.1mm及 5mm的该 物质 后在 吸收 带附 近光 强分 步的 情况 。解,当白 光通过 0.1m后的 光强 Ib=I0e-ad=I0e–50x0.1=0.606I0I
y=I0e–250x0.1=0.082I0当白 光通过 5mm后,光强 Iy=I0e–ad=I0e–250x0.5=5.167x10–5I0=Ib=I0e–ad=I0e–50x.0.5=1.389x10–1I0两种 情况 下颜 色不 同。 2.某种介质 为 0.32cm
–1.求投射光强为入射光强的 0.1,0.2,0.5、及 0.8倍时，该介a?质的 厚度 各多 少？
解,由朗 伯定 律 I=0e–axd d=–㏑ ／?0II ad1=－ ㏑ 0.1／ 0.32=7.196cmd2－㏑ 0.2／ 0.32=5.03cd3=－㏑ 0.5／ 0.32=2.166cmd4=－㏑ 0.8／ 0.32=0697c
3.如果 同时 考虑 到吸 收和 散射 都将 使透 射光 强减 弱，则 透 射光 表达 式中 的 a可看 作是 由两部 分和 成,一部分 a是由 于真 正的 吸收 （ 变 为物 质分 子的 热运 动）,另 一 部分 a(称为 散射系 数 )是由 于散 射,于是 该式 可写作 I=0e–(a+as)l.如果 光通 过一 定厚 度的 某种 物质 后,只有 20%的光强通过。已知该物质的散射系数等于吸收系数的 1／ 2。假定不考虑散射，则透射 光强 可增 加多 少？
解,由已 知列 方程 I0e－ (a+a)l=I0×20%12解得,al=－ ㏑ 0.223
当不 考虑 散射 时,as=0则 I=I0e–al=I0e－ ㏑ 0.2=0.342I023I－ 0.2I0=0.142I0故 p= =14.2即透 射光 增加 14.2%000.2I II?4.计算 波长为 253.6nm和 546.1nm的两 谱线 瑞利 散射 的强 度比 。
解,由瑞 利散 射定 律,散射 光强 度与 波长 的四 次方 成反 比
71
== =21.512II 4241? 44(546.1)(253.6)5.太阳光由小孔入射到暗室，室内的人沿与光线垂直及与之成 45o的方向观察这 束光线 时,见到 瑞利 散射 的光 强之 比等 于多 少？解； 又散 射光 强公式 I
a=I0(1+cosa2)人沿 与光 垂直 时光强 I=0（ 1+cos90o） =I0人沿 与光成 45oI=I0（ cos45o） 2／ 3I0p=I／ I
0=2／ 36.一束 光通 过液 体,用 尼科 尔正 对这 束光 进行 观察 。 当 尼 科尔 主截 面竖 直时,光 强 达到 最 大值； 当 尼 科尔 主截 面水 平时,光 强 为零 。 再 从 侧面 观察 其散 射光,在 尼科 尔主 截面 为竖 直 和水平 时,光强 之比为 20,1，计 算散 射光 的退 偏振 度。解,由题 干知 次光 为偏 振光,设 尼科 耳主 截面 水平 位置为 X轴,竖直 位置为 Y轴,则
=20所以 Iy=20Ix偏振 度 p==| |=| |=19／ 21yxII yxYXIIII2020XXxxIIII所以 退偏 振度 △ =1－ p=1-19／ 21=9.52%7.一种 光 学 玻 璃 对 汞 蓝 黄 435.8nm和汞 绿 光 546.1nm的折 射 率 分 别 为 1.65250和 1.62450。用柯 西公 式计 算公 式中 的常量 a和 b：并 求它对 589nm那黄 光的 折射 率和 散射 dnd?
解,由柯 西公式 n=a+则 n1=a+,n2=a+2b? 21b? 2b?b=(n1–n2)／ (1／ 12–1／ 2)=1.46432×104nm2,a=n1-1／ =1.57540.由 21? dnd?=-2b／ =-1.4332×10
-4nm–13?8一种 光 学 玻 璃 对 汞 蓝 光 435.8nm和汞 绿 光 546.1nm的折 射 率 分 别 为 1.65250和 1.62450。用柯 西公 式计 算公 式中 的常 量 a和 b；并 求它对 589nm钠黄 光的 折射 率和 色散 。ddn
解,由,?2ban32bddn得：,43586520.1 2ba 54166520.1 2ba所以 nm1046315.1,5740.1
24 ba故,61761.1n
0? cmddn 124.143
72
9.一个顶角为 60o的棱镜由某种玻璃制成，它的色散特性可用柯西公式中的常量 a=1.416,b=1.72×10-10cm2来表 示。 将 棱镜 的位 置放 置得 使它对 600nm的波 长产 生最 小偏 向角 。 计 算这个 棱镜 的角 色散 率为 多少？ 解,由柯 西公 式 =— 2b／ =－ 1592.5956cm
–1dnd? 3?n=a+b／ =1.416+(1.72×10-10)／ (600×10-7)3=1.463782?
由 D= =-2.337×10-4rad／ nm222sin21sinAAn? dnd?10.波长为 0.67nm的 X射线,由真 空射 入某 种玻 璃时,在掠 射角 不超 过 的 条件 下发 生全 反0.1?射,计算 玻璃 对这 种波 长的 折射 率,并解 释所 得的 结果,
解,由 sinsin89.90.9999984761sinsin90inr11.波长为 0.07nm的 X射线,其 折射比 1小 1.60×10
-6,试 求全 反射 时,X射线 的掠 射角 为多大？ 解,=?1 6sin(1.6010)89.750618
掠射 角?,=90－ =90–89.89750618=0.1025o?12.对于 波长 =400nm的某 光，某 种玻 璃的 折射率 n=1.63,对于 =500nm的光,其折 射率 n’? '?=1.58.假若 柯西 公式 的近 似形 式 n=a+b／ 适用,试 求 此玻 璃对 波长为 600nm的光 的 色
2?散率 值dnd?
解：,由柯 西公式 n=a+则 n1=a+,n2=a+2b? 21b? 2b?b=(n1–n2)／ (1／ 12–1／ 2)＝ 8000nm2,a=n–b／ =1.58 2?由 ＝ － ２ b／ =－ 7.4074×10
-5nm–1dnd? 3?
73
第 七 章 光 的 量 子 性１,在深 度远 大于 表面 波波 长的 液体 中,表面 波的 传播 速度 满足 如下 规律,
v= 式中 g为 重 力 加 速 度,为 液 体 密 度,Ｆ 为 表 面 波 的 波 长,试224( )2 Fg计算 表面 波的 群速 度,解：由 任何 脉动 的一 般瑞 利公 式 u=v- =ｖ－ ＝?vdvd? 224( )2g
－ ＝? 224(( )2dgd 3422gFgF２,测 量 二 硫 化 碳 的 折 射 率 实 验 数 据 为,当 ＝ 589nm,=1.629:当 =656nm时,? n? "?=1.620试求 波长 589nm的光 在二 氧化 硫的 相速 度,群速 度和 群折 射率 。n?
解：由 v=得 v1= =1.840× 108m／ scn297924581.629.v2= =1.8506× 108m／ s297924581.620所以 △ v=v
2–v1=1.057× 106／ s由 一 般 瑞 利 公 式 u=v- =1.840× 108-589× 1.507×106／ (656–589)=1.747?v× 10
8m／ sn=c／ v=299792458／ 1.747× 108=1.7163.在测 定光 速的 迈克 尔逊 旋转 棱镜 法中,设 所用 棱镜 为正 n面棱 柱体 。试 导出,根 据棱 镜的转 速,反射 镜距 离等 数据 计算 光速 公式 。 解,设 反 射镜 间距 离为 L转速 V
0则 n面棱 柱每 转过 一个 面,光 往 返一 个来 回。 所 用时 间t=／ V
0=所以 c=2L／ t==2LnV01n 01nV 021LnV4.试用 光的 相速度 v和 来表 示群 速度 u=，再用 v和 表示 群速度 u=dvd? ddk? dnd? ddk?
74
解,(1)由 u==v-ddkv
(2)由 u=v- <1>v=c／ n<2>→ = =－?v dvd?()cdnd?2
23,(1 )cdnnd cdnvdnvdvv v v dnnd nd nd把 〈 3〉 代 入 〈 1〉 得dvu =v -d5.计算 在下 列各 种色 散介 质中 的传 播的 各种 不同 性质 的波 的群 速度,（ 1） v=常量（ 2） v=,(a为常量 )（ 3） v=a／ （在水面上的表面张力波） （ 4） v=a／a
(5) (电离 层的 电磁 波,其中 c是真 空中 的光 速,是介 质中 的波 长 )? 222vcb（ 6） (在充满色散介质的直波导管中的电磁波,式中 c为真空中的光2 22cv ca速,a是与 波导 管有 关的 常量,是介 质的 介电 常数,是介 质的 磁导 率 )() ()
解,(1),所以?ddvvu 0,dvv常量 常量?vu(2),，所 以?ddvvu dadvav 2, 222 vaaau
(3),所 以 2/32,addvav vavu 2322/3(4) =dvuvd ()2ada adv2?
(5) =dvuvd 222 2222 222( )dcb ccb d cbvc2?(6),kvdkdu,)1(1ddvvvddku
75
而 )(),(,222 accv 2/3222 )( ])([ acddvvddv
所以 ])(21[1 ddvcu6.利用 维 恩 公 式 求,辐射 的 最 概 然 频 率 vm,辐射 的 最 大 光 谱 密 度 辐射 出 射 度 M0(T)与()m温度 的关 系,解,由维 恩位 移定 律
TTbbT mmm 1由斯 沁藩 公式4040 TMTTM
7.太阳 光谱 非常 接近 于 的绝 对黑 体的 光谱,试求在 1s内太 阳由 于辐 射而 损失 的480mnm质量,并估 算太 阳的 质量 减少 1%(由于 热辐 射 )所经 历的 时间 (太阳 的质量 m0为 2.0× 1030千克,太阳 的半径 r是 7.0× 108m)解,由维 恩位 移公 式
:m mbTbT由斯 沁藩 公式 =7.35× 10
7瓦34 4 8 4() 92.897810()5.6705110( )48010b bMTm 瓦总 262872 106357.4100.714.341053.74 rTMSTMP bb?由方 程 P
总 t=m0× 1%× c22 180.013.80mct sP总所以在 1s内
kg1015.5109106357.41 916262csPm总损
76
8.地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量平均值为 0.546J.如有有一黑体,它在辐射相 同的 能量 时,温度 应为 多少？ 解,4
() 0.546109160bMsmW?/由斯 沁藩 公式 1 1()4 4 4
() 891) ( ( )200.145.670510bb MMTTT K9.若有 一黑 体的 辐出 度等于 5.70W／ cm2,试求 该辐 射最 大光 谱强 度相 对应 的波 长。解,斯沁 藩公 式
4())bMTT1 14()4 485.7010( ( )1001.2985.6705110bMT K由维 恩位 移公 式
3 62.8978102.89410289.41001.298m mbTb mnmT10.用交流供电的灯丝温度是变动的。一电灯钨丝白炽时的平均温度为 2300K，其中最高和最低 温度 的差 约为 80K。 问 热 辐射 的总 功率 的最 大和 最小 值之 比为 多少？钨 丝的 辐射 可当 作黑体 。
解,斯沁 藩公 式 4())bMTT所以
STMpbSTMpb11STMp
b22 149.2602340442!42412121 TSTSSTMSTppbb?
11.若将 恒星 表面 的辐 射近 似的 看作 是黑 体辐 射,则 可 以用 测量 的办 法来 估计 恒星 表 面max?的温 度。 现测 得太 阳的 为 510nm,北极 星的 为 350nm，试 求它 们的 表面 温度 。max? max?解,由维 恩位 移公 式
m mbTbT
7
K568210510108978.2 93max太阳太阳?bT K4.827910350108978.2 93
max北极星北极星?bT12.小灯 泡所 消耗 的功 率为 1W，均 匀的 向各 个方 向辐 射能 量。 设辐 射的 平均 波长为 500nm，试求在 10km处每 秒钟 落在 垂直 于光 线方 向上 每平 方厘 米面 积上 的光 子数 。解,由
149297924585.9605010cv由题 意列 方程 得 pt=42rnhv?
92 2 34 141 2104 43.141006.26105.960ptnrhv（ ）每平 方厘 米面 积上 的光 子数个9 51210210100n，13.已知 铯的 逸出 功为 1.88eV。现 用 波长为 300nm的紫 外光 照射,试 求 光子 的初 动能 和初 速 。解,由爱 因斯 坦光 电效 应方 程
2 2 34 199 191 1 29724586.210,82.583.61400101.60hvmvWmvhvW eV Jm／ s19 5
31223.6134108.9109.110kEvm14.用波 长为 253nm的光 照射 钨丝 的表 面时,在 光 电管 的电 路中 产生 的光 电流,由 于 外加 1V的遏 止电 压而 截止 。已 知钨 的逸 出功为 4.5eV，试 求接 触电 势差 。解,由
2 21 12 1 22mgaK mveVWhvvW由 爱 因 斯 坦 光 电 效 应 方 程联立 <1>和〈 2〉得
ak gWhvweV所以 接触 电势 差
78
348 9 19,6.626101310 4.512531.610gak e eVeVhvWeVWUe e e=－ 0.593V
15.波长为 320nm的紫 外光 入射 到逸 出功为 2.2eV的金 属表 面上,求 光电 子从 金属 表面 逸出时的 最大 速度 。若 入射 光的 波长 为原 来的 一半,初 涉光 电子 的最 大动 能是 否增 至两 倍？ 解,由爱 因斯 坦光 电效 应方 程
m／ s212hvmvW 52()7.6910hvWv m若入 射光 波长 减半,则 （ 1.628eV）82 ' 34
9 191 31016.62610 2.25.5652 160101.610mvhvW eV所以 最大 动能 不会 增至 两倍 。
16.波长为 0.1nm的 X射线 被碳 块散 射,在散 射角 为 90° 的方 向上 进行 观察 。试 求（ 1）康普顿 位移 △ （ 2）反 冲电 子的 动能?解,△ =-
0=2 12 22sin()2.42630890sin(45)0.241k nm反冲 电子 动能
34 8 17' 9 911 1 1( )6.2610310( )4.67800.100.12410kEhc J17.已知 入射 光子 的波 长为 0.003nm,而 反冲 电子 的速 度为 光速 的 倍 （ =0.6）,试确 定康 普顿 位移 △?
解,由康 普顿 效应 能量 守恒 22 ' 2 '0 00 2 0.251()m hvmchvmchvcv hvc
196.090?所以
79
8' 12' 193104.34106.909910cv△ =?' 12 12(4.313)01.340m１８,在电 子显 微镜 中,电 子 受到 90kV的电 压加 速,如 果 观察 到物 质的 分子 结构 （ 其 大小 为
cm数量 级）,问显 微镜 的孔 径应 为多 大？910?解,由瑞 利判 据 △ y=0.610 sinsin uu0.6101y
由已 知 △ y=10-1m由 德布 罗意 波长 公式 2hhpmv由能 量守 恒
21 32mveU联立 <1>,<2>,<3>得 34
11 194 310.6100.6106.62610sin 0.24970.25y2eUm1021.6109109.110hu m19.（１ ） 一只 100W灯泡,5%的功 率辐 射是 可见 光,假 定可 见光 平均 波长为 500nm,则 每 秒可辐射的可见光子数为多少？（２）假定灯泡为点光源，可以向各个方向发光，求在距离 2m处每 秒垂 直通 过单 位面 积的 光子 数。
解,(1)依题 意列 方程 1911 10257.105.%5 hcpNtchNp(2)由个172222 105.2405.4%5 hcrtpNchNrtp20.人在黑暗中，眼睛的视网膜如能接收到波长为 550nm的最大有效辐射,就1820J能感 知这 一光 源。 求眼 睛这 一观 察阀 值相 当于 多少 个光 子？
解,由 个53.510310626.6 10550102 834918hcWNchNW
80
２１,一电 子束 被加 速电 压为 Ｖ的 电场 加速（ １ ）求 电 子在 被加 速之 后的 德布 罗意 波长 ；（ ２ ）求此 德布 罗意 波的 相速 度和 群速 度；（ ３） 把此 德布 罗意 波射 到一 块单 晶上,入 射放 向与 晶 面成 角,观察 到散 射波 第一 级强 度极 大值,求 晶格 常量 d?
解,(1)由21 222 evmveVmvmmev由
2hhpmev(2)由
2 ()1 2,22 hdeV dv hmmveVv uv v v vvvmd d m所以 2uv?(3)由布 拉格 公式得jd?sin2 meVhmeVhjd 2sin2sin21sin2
２２,在热 核爆 炸的 火球 中,测 得 瞬时 温度 为 K.（１ ） 估 算 辐射 最强 的波 长；（ ２） 这 种710辐射 最强 波长 的能 量是 多少 焦耳？ 解,由维 恩位 移公 式
3 1072.8978102.89780.28910m mbTb nmT由
834 16103.0106.62610 6.86102.8978cWh J
光学教程
（姚启钧原著）参考答案
2
目录第一章 光的干涉,............3第二章 光的衍射,...........15
第三章 几何光学的基本原理,....27第四章 光学仪器的基本原理,....49第五章 光的偏振,...........59第六章 光的吸收、散射和色散,...70第七章 光的量子性,..........73
3
第一 章 光的 干 涉.波长 为 的绿 光投 射在 间距 d为 的双 缝上,在 距离 处的 光屏1 nm500 cm022.0 cm180
上形成 干涉 条纹,求 两个 亮条 纹之 间的 距离,若改用 波长 为 的红光 投射 到此 双缝 上,nm700两个 亮条 纹之 间的 距离 又为 多少?算出 这两 种光 第 级亮 纹位 置的 距离,2
解,由条 纹间 距公 式 得?dryyy jj 01
cm328.0818.0146.1 cm146.1573.02 cm818.0409.02
cm573.010700022.0180cm409.010500022.0180
21222 20222
10221 7202
7101
yyydrjy drjyd
rydry
j?
2．在 杨氏 实验 装置 中,光源 波长 为,两狭 缝间 距为,光屏 离狭 缝的 距离 为nm640m4.0.试求,(1)光屏 上第 亮条 纹和 中央 亮条 纹之 间的 距离 ；（ 2）若 p点离 中央 亮条 纹为cm50 1，问 两束 光在 p点的 相位 差是 多少？（ 3）求 p点的 光强 度和 中央 点的 强度 之比,m1.0
解,（ 1）由 公式?dry0得 =?dry0 cm100.8104.64.050 25（ 2）由 课本第 20页图 1-2的几 何关 系可 知
521 0 0.1sintan 0.40.810cm50yrrdddr
4
521 52 2( ) 0.8106.4104rr由公 式 得(3)
22 221 12 1cos4cosIAAA A
8536.042224cos1 8cos0cos421cos2cos4 2cos4 220221 2212020AAAII pp
.把折 射率为 1.5的玻 璃片 插入 杨氏 实验 的一 束光 路中,光屏 上原 来第 5级亮 条纹 所3在的 位置 为中 央亮 条纹,试求 插入 的玻 璃片 的厚 度,已知 光波 长为 6× 10-7m.解,未加 玻璃 片时,,到 点的 光程 差,由公 式 可知 为
1S2SP 2rΔr=21 5252rr
现在 发出 的光 束途 中插 入玻 璃片 时,点的 光程 差为1S P2 1 002 2rrhnh所以 玻璃 片的 厚度 为
421510610cm0.5rrhn4.波长为 500nm的单 色平 行光 射在 间距为 0.2mm的双 狭缝 上,通过 其中 一个 缝的 能量为另 一个的 2倍,在离 狭缝 50cm的光 屏上 形成 干涉 图样,求干 涉条 纹间 距和 条纹 的可 见度,
解,60 5050101.250.2rydm
1 2II?2 21AA?12 2A?
5
122122/ 20.94270.94121/AV5.波长为 700nm的光 源与 菲涅 耳双 镜的 相交 棱之 间距 离为 20cm，棱 到 光屏 间的 距离 L为 180cm,若所 得干 涉条 纹中 相邻 亮条 纹的 间隔为 1mm，求 双镜 平面 之间 的夹 角 θ 。
解,弧度6 4()(2001800)70010sin 35102 22001rLry 126.在题 1.6图所示的劳埃德镜实验中,光源 S到观察屏的距离为 1.5m,到 劳埃德镜面的垂直距离为 2mm。 劳埃德镜长 40cm,置 于光源和屏之间的中央,(1)若光波波长 λ =500nm,问条纹间距是多少?(2)确定屏上可以看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示,：产生干涉的区域 P
12可由图中的几何关系求得,)
解,（ 1）干 涉条 纹间 距 60 15050100.1875m4ryd（ 2）产 生干 涉区 域 由图 中几 何关 系得,设 点为 位置,点位 置为12P 2p2y 1P 1y则干 涉区 域
21yyy2 0 2 0
011 1 2tan 12 2 2dyrr rr rr00 2(15040)3803.45m2 1504010rrdrr
P2P10
题 1.6图
6
01 0 1 0 001 ( )1 1 2( )tan( )12 2 2( )( )22(1500400)1.16m1500400d rrdyrr rr rrrr
213.461.62.30myyy（ 3） 劳埃 镜干 涉存 在半 波损 失现 象 暗? N?yy7.试求 能产 生红 光 (λ =700nm)的二 级反 射干 涉条 纹的 肥皂 膜厚 度,已知 肥皂 膜折 射率为 1.33,且平 行光 与发 向成 30° 角入 射,解,根据 题意 2221
222 2 212 sin(210)2(1) (21)700710nm2 sin41.33sin30dnn jjd nn8.透镜 表面 通常 镀一 层如 MgF
2（ n=1.38） 一 类 的透 明物 质薄 膜,目 的 是利 用干 涉 来降低 玻璃 表面 的反 射,为 了 使透 镜在 可见 光谱 的中 心波 长 （ 550nm） 处 产 生极 小的 反射,则 镀层必 须有 多厚?解,可以 认为 光是 沿垂 直方 向入 射的 。即0
21ii由于 上下 表面 的反 射都 由光 密介 质反 射到 光疏 介质,所 以无 额外 光程 差。 因此 光程 差 nhinh2cos22
如果 光程 差等 于半 波长 的奇 数倍 即公 式,则 满足 反射 相消 的条 件2)12(jr因此 有 2)12(2jnh
所以 ),1,20(4)12( jnjh?当 时厚 度最 小0?j cm10nm64.938.14504 5-minnh?9.在两 块玻 璃片 之间 一边 放一 条厚 纸,另一 边相 互压 紧,玻璃片 l长 10cm,纸厚为
0.05mm,从 60° 的反 射角 进行 观察,问在 玻璃 片单 位长 度内 看到 的干 涉条 纹数 目是 多少?设单色 光源 波长为 500nm.解,由 课本 49页公 式 （ 1-35）可 知斜 面上 每一 条纹 的宽 度所 对应 的空 气尖 劈的 厚度 的
7
变化 量为 122121 sin2 innhhh jj 22312
如果 认为 玻璃 片的 厚度 可以 忽略 不记 的情 况下,则 上式 中 。 60,1122 inn而厚度 h所对 应的 斜面 上包 含的 条纹 数为 10105005.
7hhhN故玻 璃片 上单 位长 度的 条纹 数为 条 /厘米101010lNN
10.在上 题装 置中,沿垂 直于 玻璃 片表 面的 方向 看去,看到 相邻 两条 暗纹 间距为 1.4mm。— 已知 玻璃 片长 17.9cm,纸厚 0.036mm,求光 波的 波长 。解,依题 意,相对 于空 气劈 的入 射角
2 20,cos1.sini i Ldtan 0.12?ndLinL 22cos222 563.1nmm10631284916.51794.1036.22
4Ld?11.波长为 400760nm的可 见光 正射 在一 块厚 度为 1.2× 10-6m,折射 率为 1.5玻璃 片?上,试问 从玻 璃片 反射 的光 中哪 些波 长的 光最 强,解,依题 意,反射 光最 强即 为增 反膜 的相 长干 涉,则有,
2)12(22 jdn故 1242jdn?
当 时，0?j nm720102.15.144 32dn?当 时，1?j nm24003102.15.14 3
当 时，2?j nm14405102.15.14 3
8
当 时，3?j nm10707102.15.14 3当 时，4?j nm8009102.15.14 3
当 时，5?j nm5.65411102.15.14 3当 时，6?j nm8.55313102.15.14 3
当 时，7?j nm48015102.15.14 3当 时，8?j nm5.42317102.15.14 3
当 时，9?j nm37819102.15.14 3所以,在 的可 见光 中,从玻 璃片 上反 射最 强的 光波 波长 为nm760~390nm.5.654,nm8.553,nm480,nm5.423
12.迈克 耳孙 干涉 仪的 反射镜 M2移动 0.25mm时,看 到 条纹 移过 的数 目为 909个,设 光为垂 直入 射,求所 用光 源的 波长 。 解,根据 课本 59页公 式可 知,迈克 耳孙 干涉 仪移 动每 一条 条纹 相当 h的变 化为,
22212 cos2cos2cos21 iijijhhh现因,故02?i 2h所对 应的 h为909?N
2?NhNh故 50nmm105.9025.022 4Nh?13.迈克 耳孙 干涉 仪平 面镜 的面 积为 ４ × ４ cm
2,观 察 到该 镜上有 20个条 纹。 当 入 射 光的波 长为 589nm时,两镜 面之 间的 夹角 为多 大？解,因为 2cm4S
9
所以 40mmcm4L所以 m22040NLL
又因 为2L所以 73.01025.1471025892 66radL14.调节 一台 迈克 耳孙 干涉 仪,使其 用波 长为 500nm的扩 展光 源照 明时 会出 现同 心圆环条 纹。 若要 使圆 环中 心处 相继 出现 1000条圆 环条 纹,则必 须将 移动 一臂 多远 的距 离？ 若中心 是亮 的,试计 算第 一暗 环的 角半 径。（ 提示,圆 环是 等倾 干涉 图样 。计 算第 一暗 环角 半 径是 可利 用 θ≈ sinθ 及 cosθ≈ 1－ θ 2/2的 关 系 。）解,（ 1）因 为光 程差 δ 每改 变一 个波 长 λ 的距 离,就有 一亮条 A纹移 过。所以N
又因 为对 于迈 克耳 孙干 涉仪 光程 差的 改变 量 （ Δ d为反 射镜 移动d2?的距 离） 所以 dN2
所以 0.25mnm1025502102 4Nd（ 2）因 为迈 克耳 孙干 涉仪 无附 加光 程差 并且 021ii 0.121nn它形 成等 倾干 涉圆 环条 纹,假设 反射 面的 相位 不予 考虑所以 光程 差 即两 臂长 度差的 2倍1222cos2 lldid若中 心是 亮的,对 中央 亮纹 有,（ 1）?jd?2对第 一暗 纹有,（ 2）212cos2
2jid（ 2） -（ 1）得,2cos12 2id
2242sin42sin2 2222222 diididid
10
所以 1.8rad032.01000122 di?这就 是等 倾干 涉条 纹的 第一 暗环 的角 半径,可 见 是相 当小 的。2i15.用单 色光 观察 牛顿 环,测 得 某一 亮环 的直 径为 3mm,在 它 外边第 5个亮 环的 直径 为4.6mm，所 用平 凸透 镜的 凸面 曲率 半径为 1.03m，求 此单 色光 的波 长。
解,对于 亮环,有 （ ）Rjrj 2)12(,32,10?j所以?Rjrj )21(2Rjrj )215(25
所以 590.3nmm10903.51030540.36.4545 422225225 RddRrr jjjj?16.在反 射光 中观 察某 单色 光所 形成 的牛 顿环 。其第 2级亮 环与第 3级亮 环间 距为 1mm，求第 19和 20级亮 环之 间的 距离 。解,对于 亮环,有 （ ）Rjr
j 2)12(,32,10?j所以 Rr?)211(1 Rr?)212(2又根 据题 意可 知
m1232512 RRrr两边 平方 得 123522325
22 RRR所以 1541R?
故 RRrr 211921201920
1
15412391541241cm039.0?17牛顿 环可 有两 个曲 率半 径很 大的 平凸 透镜 之间 的空 气产 生（ 图）。 平凸 透镜 A和 B
的曲 率半 径分 别为 和,在 波 长为 600nm的单 射光 垂直 照射 下观 察到第 10个暗 环半 径ARBR。 若 另 有曲 率半 径为 的平 凸透镜 C（图 中未 画出 ）,并且 B,C组合和 A,C4ABrm? CR组合 产生 的第 10个暗 环半 径分 别为 和,试 计算,和 。4.5
BCr m? 5ACrm? ARBRCR解,22rhR
2 2 211( )22211,( )211( )
2 ABABABABABAB ABBCBC BCACAC ACrrrhhhRRRRrh RRrh RR同 理又对 于暗 环,即2(21)2 2h j 2hj
(1)?21110( )ABABrRR(2)21110( )BCBCrRR
(3)21110( )ACABrRR(1)(2)(3)联立 并代 入数 据得,=6.28m=4.64m=12.4mAR BR CR18菲涅 尔双 棱镜 实验 装置 尺寸 如下,缝 到棱 镜的 距离为 5cm，棱 镜 到屏 的距 离为 95cm，棱镜 角为 构成 棱镜 玻璃 材料 的折 射率,采 用的 是单 色光 。当 厚度 均匀
'17932 ' 1.5n?的肥 皂膜 横过 双冷 静的 一半 部分 放置,该 系统 中心 部分 附近 的条 纹相 对原 先有 0.8mm的位移。 若肥 皂膜 的折 射率 为,试计 算肥 皂膜 厚度 的最 小值 为多 少？1.35n?
解,如图 所示,光 源和 双棱 镜系 统的 性质 相当 于相 干光 源 和,它 们是 虚光 源。1s2s
RA
RB
OA
rAB dAB
题 1.17图
12
由近 似条 件 和 得 (1)'(1)nA 1()2dl '22(1)dl lnA按双 棱镜 的几 何关 系得 2A所以 (2)
'142A肥皂 膜插 入前,相 长干 涉的 条件 为 (3)
0dyjr由于 肥皂 膜的 插入,相 长干 涉的 条件 为 (4)'0 (1)dyntjr
由 (3)和 (4)得 ' ' '0 0( )2(1)( )(1) (1)dyylnAyytrn rn代入 数据 得 74.910t m19将焦 距为 50cm的会 聚透 镜中 央部分 C切去 （ 见题 图）,余 下的 A,B两部 分仍 旧 粘起来,C的宽 度为 1c。 在 对 称轴 线上 距透镜 25cm处置 一点 光源,发 出 波长为 692nm的 红宝石 激光,在 对称 轴线 上透 镜的 另一侧 50cm处置 一光 屏,平面 垂直 于轴 线。 试求,(1)干涉 条纹 的间 距是 多少？(2)光屏 上呈 现的 干涉 图样 是怎 样的？解,(1)透镜 由 A,B两部 分粘 合而 成,这两 部分 的主 轴都 不在 该光 学系 统的 中心轴线 上,部分 的主 轴在 中心 线上 0.5cm处,B部分 的主 轴在 中心 线下 0.5cm处，
由于 单色 点光源 P经凸 透镜 A和 B所成 的像 是对 称的,故 仅需 考虑 P经 B的成像位 置即 可。 由 得111' 'ssf ' 50s cm
由因 为 所以' 'ysys '' 1syy cms即所成的虚像在 B的主轴下方 1cm处，也就是在光学系统对称轴下方 0.5cm处，同理，单色光源经 A所成的虚像在光学系统对称轴上方 0.5cm处，两虚像构成相干光源，它们之间的距 离为 1cm，所 以
30 6.9210yr cmd(2)光屏 上呈 现的 干涉 条纹 是一 簇双 曲线 。 20将焦 距为 5cm的薄 透镜 L沿直 线方 向剖 开（ 见题 图） 分成 两部分 A和 B，并将 A部分 沿主 轴右 移至 2.5c处,这 种 类型 的装 置称 为梅 斯林 对切 透镜 。 若 将 波长为 632.8nm的
SS12d θ αA1l1n’
(a)
y·
·
·
·
dS1S2 r0n(b)
题 1.18图
ABC
题 1.19图
13
AB P
LA
LB?题 1.20图点光源 P置于 主轴 上离 透镜 LB距离为 10cm处,试分 析,(1)成像 情况 如何？ (2)若在 LB右边 10.5cm处置 一光 屏,则在 光屏 上观 察到 的干 涉图 样如 何？解,（ 1）如图（ b）所示,该情况可以看作由两个挡掉一半的透镜 LA和 LB构成,其对称轴为PO,但 是 主 轴 和 光 心 却 发 生 了 平 移,对 于 透 镜 LA,其 光 心 移 到 OA处,而 主 轴 上 移 0.01cm到
AF;对于 透镜 LB,其光 心移到 OB处,而主 轴下移 0.01cm到 BF.点光源 P恰恰 在透 镜的 对 称轴上 二倍 焦距 处,由于 物距 和透镜 LA,LB的焦 距都 不变,故通过 LA,LB成 像 的 像 距 也 不 变 。根据 物像 公式将 p=-10cm和 =5cm代入 上式,得'f=5cm'p
==-1'yy'pp故 =-0.01cm'y由于 P点位于透镜 L
A的光轴下方 0.01cm,按透镜的成像规律可知,实像 PA应在透镜 LA主轴 上方 0.01cm处 ;同理,P点位 于透镜 LB主轴 上方 0.01cm处,实像 PB应在 主轴 下方 0.01cm处,两像 点的 距离 为上方 0.01cm处,P
AB=d=2||+'yh=0.04cm(2)由于实像 PA和 PB构成了一对相干光源,而且相干光束在观察屏的区域上是相互交叠的,故两 束 光 叠 加 后 将 发 生 光 的 干 涉 现 象,屏上 呈 现 干 涉 花 样,按杨 氏 干 涉 规 律,两相 邻 亮 条 纹的间距 公式 为
0yrd将数 据代 入得 =1.582mmy?21如图 所示,A为平 凸透 镜,B为平 玻璃 板,C为金 属柱,D为框 架,A,B间有 空隙,图中 绘出 的是 接触 的情 况，而 A固结 在框 架的 边缘 上。 温度 变化 时,C发生 伸缩,而假设 A,B,D都不 发生 伸缩 。以 波长 632.8nm的激 光垂 直照 射。 试问,(1)在反 射光 中观 察时,看 到牛 顿环 条纹 移向 中央,这 表示 金属柱 C的长 度在 增加 还是 减小？(2)若观 察到有 10个亮 条纹 移向 中央 而消 失,试问 C的长 度变 化了 对少 毫米？解,（ 1）因 为,在反 射光 中观 察牛 顿环 的亮 条纹,
22/2 (1,2,3,...)2rh jjR及干 涉级 j随着 厚度 h的增 加而 增大,即 随着 薄膜厚 度的 增加,任 意一 个指 定的 j级条 纹将 缩小
' '111ppf
14
其半 径,所以 各条 纹逐 渐收 缩而 在中 心处 消失,膜厚 h增加 就相 当于 金属 的长 度在 缩短 。所以,看 到牛 顿环 条纹 移向 中央 时,表明 C的长 度在 减少 。（ 2）由 2/)(2/jNh得,3164hnm?
CB
A
D
题 1.2图
15
第 二 章 光 的 衍 射1.单色 平面 光照 射到 一小 圆孔 上,将其 波面 分成 半波 带。 求第 к 个带 的半 径。 若极 点到观察 点的 距离 r
0为 1m，单 色光 波长为 450nm，求 此时 第一 半波 带的 半径 。解,而2022 rrkk 20?krrk2
0?krrk 20202 krrk将上 式两 边平 方,得 422
020202 kkrrrk略去 项,则22?k0krk?将 带入 上式,得cm10450cm,10,1
-80rk cm067.02.平行 单色 光从 左向 右垂 直射 到一 个有 圆形 小孔 的屏 上,设此 孔可 以像 照相 机光 圈那 样改 变 大 小 。 问,（ 1）小 孔半 径满 足什 么条 件时,才 能使 得此 小孔 右侧 轴线 上距 小空 孔中心
4m的 P点的 光强 分别 得到 极大 值和 极小 值；（ 2） P点最 亮时,小 孔 直径 应为 多大？设 此时 的波长为 500nm。解,（ 1）根 据上 题结 论0krk?将 代入,得cm105cm,40
-50r cm14.010540 5 kkk当 k为奇 数时,P点为 极大 值；k为偶 数时,P点为 极小 值。
（ 2） P点最 亮时,小 孔的 直径 为 cm2828.022 01r3．波 长为 500nm的单 色点 光源 离光阑 1m，光 阑上 有一 个内 外半 径分 别为 0.5mm和 1mm的透 光圆 环,接收点 P离光阑 1m，求 P点的 光强 I与没 有光 阑时 的光 强度 I
0之比 。解,根据 题意 m1?R 50nm m1R m5.0R m1 21 hkhk0r有光 阑时,由 公式 RrRRrrRk
hh 11)( 02002
16
得 110110110505.011 620211RrRkhk? 41011011050111 62022RrRkhk?按圆 孔里 面套 一个 小圆 屏幕
1322131 2111221 aaaaaaaap没有 光阑 时 2
10aa?所以 42/2
11200 aaaaII p4．波 长为 632.8nm的平 行光 射向 直径为 2.76mm的圆 孔,与孔 相距 1m处 放 一 屏 。 试 问,（ 1）屏 上正 对圆 孔中 心的 P点是 亮点 还是 暗点？（ 2）要使 P点变 成与 （ 1） 相 反 的 情 况,至少 要把 屏幕 分别 向前 或向 后移 动多 少？ 解,（ 1） 点的 亮暗 取决 于圆 孔中 包含 的波 代数 是奇 数还 是偶 数,当平 行光 如射 时,P
波带 数为 310108.63238.12 3620202rdrk故 点为 亮点,P
(2)当 点向 前移 向圆 孔时,相应 的波 带数 增加 ;波带 数增 大到 4时,点变 成P P暗点,此时,点至 圆孔 的距 离为P 750mmm108.632438.1
6220kr则 点移 动的 距离 为P 25cm75cm-10cm
0rrr当 点向 后移 离圆 孔时,波带 数减 少,减少为 2时,点也 变成 暗点 。P P与此 对应 的 到圆 孔的 距离 为P
17
1500mmm108.632238.16220kr则 点移 动的 距离 为P 50cm100cm-cm150
00rrr５,一波 带片 由五 个半 波带 组成,第一 波带 片为 半径 r1的不 透明 圆盘,第二 半波 带是 半径 r1至 r2的透明圆环,第三半波带是 r2至 r3的不透明圆环,第四半波带是 r3至 r4的透明圆环,第五半波 带是 r
4至无 穷大 的不 透明 区域,已知 r1:r2,3:r4=1:::,用波长 500nm的平 行单 色234光照明,最亮的 像点 在距 波带 片 1m的轴上,试求,(1)r1;(2)像点的 光强 ;(3)光强极 大值 出现在轴 上哪 些位 置上,解,因 为 5个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上,不 透 光 ; 透,1
1?K1r 212,2rrK至?光 ; 至 不透 光 ; 至 透光 ; 至无 穷大 不透 光,23,3rK?3r 34,4rK?4r 45,5rK?单色 平行 光4:3:2:1:::
321?rrrr nm500R第一 条最 亮的 像点 在 的轴 上,即1000mmm10r m10301rf
(1) 12120 rkRrf h 707.05.0105001106301krr(2)像点 的光 强,所以
22422 4)( aaaAI PP 02164IaIp(3)光强 极大 值出 现在 轴的 位置 是 (即 )?7,5,3fffm10m1
31rf m717 m515 m313 151312 ffffff6.波 长 为 λ 的 点 光 源 经 波 带 片 成 一 个 像 点,该 波 带 片 有 100个 透 明 奇 数 半 波 带
(1,3,5,…… )。另外 100个不透明偶数半波带,比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像 点的 强度比 I:0.解,100个奇 数半 波带 通光 总振 幅 aaA 100100
1100 2)100(aI?同样 焦距 和口 径的 透镜 可划 分为 200个半 波带 通光
18
总振 幅为 aaaA 20120021991200 220 )10(420 aaI41)100(4)100( 220aaII7.平面 光的 波长为 480nm,垂直 照射 到宽 度为 0.4mm的狭 缝上,会聚 透镜 的焦 距为 60cm.
分别 计算 当缝 的两 边到 P点的 相位 为 π /2和 π /6时,P点离 焦点 的距 离,解：设 P点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 。缝宽为,则位相差和光程差的关f? b系式 为 fybbb 2tan2sin22
故bfy2当缝 的两 边到 P点的 位相 差为 时,P点离 焦点 的距 离为2? m18.0
24.02600108.42 4bfy当缝 的两 边到 P点的 位相 差为 时,P点离 焦点 的距 离为6? m06.0
64.02600108.42 4bfy8.白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm的光波的 第二 个次 最大 值重 合,求该 光波 的波 长,解,由单 缝衍 射次 最大 值的 位置 公式 可知
21sin0kb得 212213sinb
所以 6.42875 nm所以 该光 为紫 色光,9.波长为 546.1nm的平行 光垂 直地 射在 1mm宽的缝 上,若将焦 距为 100cm的透镜 紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到 (1)第一最小值 ;(2)第一最大值 ;(3)第三最小 值的 距离 分别 为多 少?
19
解,根据 单缝 衍射 图样 的最 小值 位置 的公 式可 知, kfybbbtansin得第 一,第三 最小 值的 位置 分别 为
m5461.01046.5110 41bfy m638.133bfy
由单 缝衍 射的 其它 最大 值（ 即次 最大 ）位 置的 近似 式 21sin 00 kfybbk
得 m819.01046.51102323 410bfy10.钠光 通过宽 0.2mm的狭 缝后,投射 到与 缝相距 300cm的照 相底 片上,所得 的第 一最 小值与 第二 最小 值间 的距 离为 0.885cm,问钠 光的 波长 为多 少?若改用 X射线 (λ =0.1nm)做此 实验,问底 片上 这两 个最 小值 之间 的距 离是 多少?解,如果 近似 按夫 琅和 费单 缝衍 射处 理,则根 据公 式
021sin 2k kb得第 二最 小值 与第 一最 小值 之间 的距 离近 似地 为 bfbfbfyyy 2
12那么 nm590300885.002.0fby?如果 改用 时0.1nm
m9 6' 3000.1101.5100.02fyb12.一束平行白光垂直入射在每毫米 50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？ (设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波长为 760nm)
解,由光 栅方 程 得jd?sin 241 108.302.0106.7sind红
所以18.21?
20
242 100.402.0100.422sind紫所以29.22?
式中 m02.501d所以 rad1026318.229,31213.用可 见光 (760～ 400nm)照射 光栅 是,一 级光 谱和 二级 光谱 是否 重叠？二 级和 三级 怎样？ 若重 叠,则重 叠范 围是 多少？
解,根据 光栅 方程jd?sin得,1?j ddnm760sin
1红，2?j ddnm8002sin2紫
因为 >所以 一级 和二 级不 重叠,2?1?而,2?j 2sin2 dd nm1520?红?
,3?j dd nm12003sin3紫因为 <所以 二级 和三 级光 谱部 分交 迭,3?2?设第 3级紫 光和第 2级波 长的 光重 合则 dd紫321?所以 nm604023231紫设第 2级红 光和第 3级波 长为 的光 重合
2?则 dd红232?
21
所以 nm7.50676032322红综 上,一 级 光 谱 与 二 级 光 谱 不 重 叠 ;二 级 光 谱 的 与 三 级 光 谱 的nm700~600重叠,nm7.506~400
14.用波长为 589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值 之间 的衍 射角为 15°10'，求该 光栅 1cm内的 缝数 是多 少？解,）12,2,10(sinjjd ）条 /cm(22210589211800115sin1
7jjd15.用每 毫米 内有 400条刻 痕的 平面 透射 光栅 观察 波长为 589nm的钠 光谱 。试 问,(1)光垂 直入 射时,最 多能 观察 到几 级光 谱？ (2)光以 角入 射时,最多 能观 察到 几级 光谱30
解,根据 光栅 方程 得)1(jd?sinsindj?可见 的最 大值 与 的情 况相 对应 ( 真正 等于 1时,光就 不能 到达 屏上 ).j 1sinsin根据 已知 条件,并取 则得cm401m401d,1sin
(此处 只能 取整 数,分数 无实 际意 义 )2.4105890418j j即能 得到 最大 为第 四级 的光 谱线,(2)根据 平 行 光 倾 斜 入 射 时 的 光 栅 方 程,可得),2,1,0()sin(sin0 jjd
)sin(sin0dj同样,取 得,1sin 4.6
105890)130(sin40001 8j即能 得到 最大 为第 六级 的光 谱线,16.白光垂直照射到一个每毫米 250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30°处会出现 哪些 波长 的光？其 颜色 如何？
2
解,由题 意可 知 毫米条2501?d30? 760nmnm390当 时,由公 式nm760jd?sin得 6.2210760250130sin
6dj当 时,nm39030sin?dj 1.521039025016
所以 这里 可取 3,4,51.56.2j j当 时 (为红 色 )3?j nm66721025031sin 6jd
当 时 (为绿 色 )4?jjdsin nm50210250416当 时 (为紫 色 )5?jjdsin nm4021025051617.用波长为 624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b为 0.012mm，不透明部分的宽度 a为 0.029mm，缝数 N为 103条。求,(1)单缝衍射图样的中央角宽度； (2)单缝衍射 图样 中央 宽度 内能 看到 多少 级光 谱？ (3)谱线 的半 宽度 为多 少？解,（ 1）单 缝衍 射图 样的 中央 角宽 度 rad104.10102.110240.6222
2351 b(2)单缝 衍射 图样 包络 下的 范围 内共 有光 谱级 数由 下列 式子 确定 42.3012.041,bd
式中 为光 栅的 光栅 常数,d所以 看到 的级 数为 3.(3)谱线 的半 角宽 度的 公式 为,cosNd
令 ）即 0(1cos rad1052.10041.0101024.6 53 5Nd＝
23
18.NaCl的晶 体结 构是 简单 的立 方点 阵,其 分 子量 M=58.5,密 度 ρ =2.17g/cm3,(1)试 证明相 邻两 离子 间的 平均 距离 为 nm2819.023
ANM式中 NA=6.02× 1023/mol为 阿 伏 加 德 罗 常 数 ；（ 2） 用 X射线 照射 晶面 时,第 二 级光 谱的 最 大值在 掠射 角为 1°的方 向上 出现,试计 算该 X射线 的波 长,解,(1)晶 胞 的 棱 边 为 棱。现先计算晶胞的为离那么亮离子间的平均距 2,
0ddd边长 d,由于 每个 晶胞 包含 四个 NaCl分子,那么 密度 ρ 为
34dmVmNaCl这里,NaCl分子 的质 量由 下式 给出NMm
NaCl?所以 晶胞 的棱 边由 上面 两式 联立 解得
314NMd那么 相邻 两离 子间 的平 均距 离 为0d
时nm2819.017.21002.62 5.822 3 2330NMdd(2)根据 布喇 格方 程 在 时jd?00sin2 2?jnm049.1sin819.22sin2
00d19波长为 0.00147nm的平行 X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm问光线与界 面成 什么 角度 时,能观 察到 二级 光谱 。
解,jd?0sin2? 00525.01028.02 100147.022sin 9100dj'183.0
0光线 与界 面成 18′ 的角 度时,能 观察 到二 级光 谱。
24
20如图 所示 有三 条彼 此平 行的 狭缝,宽 度均为 b，缝 距分 别为 d和 2d，试 用振 幅矢 量叠 加法证 明正 入射 时,夫琅 禾费 衍射 强度 公式 为,式中)]6cos4cos2(cos23[sin220 vvvuuII sin,sindvbu
证明,设 单缝 衍射 的振 幅为,三缝 衍射 的总 振幅 为,则?a?A＝ （１ ＋ cos+cos）xAa3＝ （１ ＋ sin+sin）,yAa3==+=[（１ ＋ cos+cos）
2+（１ ＋ sin+sin） 2]?I2?A2xA?2yA?2?a33=[3+2(cos+cos2+cos)]2?a321一宽 度为 2cm的衍 射光 栅上 刻有 12000条刻 痕。 如 图 所示,以 波 长 的单 色 光nm50垂直 投射,将 折 射率为 1.5的劈 状玻 璃片 置于 光栅 前方,玻 璃 片的 厚度 从光 栅的 一端 到另 一端由 1mm均匀 变薄到 0.5mm，试 问第 一辑 主最 大方 向的 改变 了多 少？解,首先 求玻 璃片 的顶角 A,025.205.01tanA
43.1025.0radA单色 平行 光经 劈后 的偏 向角 为 radAn 0125.0)1(0故玻 片未 加前 的光 栅方 程为,jd?sin
时，,1j dsin将 代入 上式,得nmdnm4106,50 46.17)arcsin(d
玻片 加入 后的 光栅 方程 为)sin'(sin0d代入 数据 得,3125.0'sin2875.0'sin 或即
21.18'71.16' 或那么,第 一级 最大 的方 向改 变为 '45'22一平 行单 色光 投射 于衍 射光 栅上,其 方向 与光 栅的 法线 成 角,在和 法线成 1° 和
0?53° 的方 向上 出现 第一 级谱 线,且位 于法 线的 两侧 。（ 1） 试求 入射 角 ；0?
Aθ 021题图
25
（ 2） 试问 为什 么在 法线 两侧 能观 察到 一级 谱线,而 在法 线同 侧则 能观 察到 二级 谱线？解,（ 1）如 图 (a)所示,若 入射 方向 与衍 射方 向处 于法 线的 同侧,根据 光程 差的 计算,光栅 方程 为 (1))sin(sin
0d如图 (b)所示,若 入射 方向 与衍 射方 向处 于法 线的 两侧,根据 光程 差的 计算,光栅 方程 为,(2)
0sin'sind(1)-(2)，得 (3))sin'(sin21sin0
将 代入 (3)得53',17.10?（ 2）当 位于 法线 两侧 时,满足 dj0sinsin
一级 谱线,故 (4)d 7.1sin53sin 7.1sin53sind?二级 谱线,(5)d 2sinsin 0将 (4)代入 (5)得 129.1)sin'(sin2sinsin
00故当 位于 法线 两侧 时,第二 级谱 线无 法观 察到 。 当位 于法 线同 侧时,满 足,0sinsindjd
（ 6）0sin2sin2 dj时，将 (4)代入 （ 6）得 故位 于法 线同 侧时,第 二级 谱线 也可 观察 到。16855.0sin23波 长 为 600nm的 单 色 光 正 入 射 到 一 透 射 光 栅 上,有 两 个 相 邻 的 主 最 大 分 别 出 现 在和 处,第四 级为 缺级 。2.0sin
1 3.0sin2（ 1）试 求光 栅常 量；（ 2）试 求光 栅的 缝可 能的 最小 宽度 ；（ 3）在 确定 了光 栅常 量与 缝宽 之后,试 列出 在光 屏上 世纪 呈现 的全 部级 数。
解,(1)光栅 方程 为jd?1sin )1(sin2jd故,2.03.01sinsin12jj? 2?j
dθ 0 110
(a)
dθ 0(b)
26
故 mnmjd 3106602.0602sin即光 栅常 量为 6m310(2)由第 四级 缺级,得 mdb
3105.14即光 栅上 缝的 最小 宽度 为 m3105.1
(3) 故最 大的 级次 为2sinsin 10?j故 其 时 最 多 观 察 到 又 考 虑 到 缺 级,所 以 能 呈 现 的 全 部 级 次 为,9j 8,49,7,6,53,2,1,0j
27
第 三 章 几 何 光 学 的 基 本 原 理1．证 明反 射定 律符 合费 马原 理。证明,费 马原 理是 光沿 着光 程为 最小 值,最大 值或 恒定 值的 路径 传播 。
，在 介质 n与 的界 面上,入 射光 A遵守 反射 定律,BAnds 或恒值max.in 'n 11ii经 O点到达 B点,如 果 能证 明从 A点到 B点的 所有 光程中 AOB是最 小光 程,则 说 明反 射定 律符合 费马 原理 。 设 C点为 介质 分界 面上除 O点以 外的 其他 任意 一点,连接 ACB并说 明光 程 ACB>光 程?
AOB?由于 ACB与 AOB在同 一种 介质 里,所以 比较 两个 光程 的大 小,实际 上就 是比 较两个路程 ACB与 AOB的大 小。从 B点到 分界 面的 垂线,垂 足为,并 延长 至 B
′,使,连 接,根o? OB? BOBO BO?据几 何关 系知,再 结合,又 可证 明 ∠ °,说 明 三点 在BOOB 11ii 180BAO BAO?一直 线上,与 AC和 组成 Δ,其 中 。BAO? BC? BAC? BCABAO
又 ∵ CBBCAOOBABOABAO,ACBCBAAOB即符 合反 射定 律的 光程 是从 A点到 B点的 所有 光程 中的 极小 值,说 明 反射 定律 符合 费AOB
马原 理。
CAOBO‘B‘O?
题 3.19图?
i
i’ nn’
28
2,根据 费马 原理 可以 导出 在近 轴光 线条 件下,从 物点 发出 并会 聚到 像点 的所 有光 线的 光程都相 等,由此 导出 薄透 镜的 物象 公式 。证明,由 QBA～ FBA得,OF\AQ=BO\BQ=f\s同理,得 OA\BA=\,BO\BA=f\sf?s?
由费 马定 理,NQA+NQ=NQA? Q?结合 以上 各式 得,(OA+OB)\BA=1得证3．眼 睛 E和物体 PQ之间 有一 块折 射率为 1.5的玻 璃平 板 (见题 3.3图 ),平板 的厚度 d为 30cm.求物 PQ的像 与物体 PQ之间 的距 离 为多 少?解,.由题 意知 光线 经两 次折 射后 发生 的轴 向位 移为,
，即 像与 物的 距离 为
4．玻 璃 棱 镜 的 折 射 棱 角 A为 60度,对某 一 波 长 的 光 其 折 射 率 为 1.6.计算 (1)最小 偏 向 角 ;(2)此时 的入 射角 ;(3)能使 光线从 角两 侧透 过棱 镜的 最小 入射 角,解,由最 小偏 向角 定义 得 n=sin /sin,得 =46゜１ ６ ′2A0 2A?0
由几 何关 系知,此 时的 入射 角为,i==５３ ゜８ ′2A0当在 C处正 好发 生全 反射 时,i2’ =sin-1=38゜ 41′,i2=A-i2’ =21゜ 19′6.i
1=sin-1(1.6sin21゜ 19′ )=35゜ 34′?ｉ min＝３ ５゜ ３ 4′５,图 示 一种 恒偏 向棱 角镜,它相 当于 一个 30度 -60-90度棱 镜与 一个 45度 -45度度 棱镜 按 图示方式组合在一起,白光沿 i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变,从而使任意一种波长
1?的光 可以 依次 循着 图示 的路 径传 播,出 射光 线为 r.求证,如 果 则,且 光 束2sin1n 12i与 r垂直 （这 就是 恒偏 向棱 镜名 字的 由来 ）．
解,? insinsin 11
cmndp 10)321(30)11(
E
n=1
题 3.3图
29
若 =,则 sini1=,i1=30。1sin2n 21则 i2=30。,而 insin2sin 2
21?90。,而1121?
90。,得证 。12?i６,高 ５ cm的物 体距 凹面 镜的 焦距 顶点 12cm,凹 面 镜的 焦距 是１ ０ cm,求像 的位 置及 高度,并作 光路 图．
解：∵又cmscmf 12,10 fss111∴,即,1011121s cms60
∴=-25cmssyy ssyy即像 在镜前 60cm处,像高为 25cm７．一个５ cm高的物体放在球面镜前１０ cm处成 1cm高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（ ２） 此镜 是凸 面镜 还是 凹面 镜？
解,由题 知物 体在 球面 镜前 成虚 象,则其 为反 射延 长线 的交 点，∵ssyy
∴，又,∴，所 以此 镜为 凸面 镜。cmysys 2 rss 211 05cmr８,某 观 察者 通过 一块 薄玻 璃板 去看 凸面 镜中 他自 己的 像,他 移 动着 玻璃 板,使 得 在玻 璃 板中与 在凸 面镜 中所 看到 的他 眼睛 的像 重合 在一 起,若 凸 面镜 的焦 距为 １０ cm,眼睛 距凸 面 镜顶点 的距 离灵 40cm,问玻 璃板 观察 者眼 睛的 距离 为多 少?
解,根据 题意,由 凸面 镜成 像公 式得,cmssfss 81014011111
题 3.5图
30
∴凸透 镜物 点与 像点 的距 离,则玻 璃距 观察 者的 距离 为 。cmssd 48 cmd242?9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明,放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体 移动 d(n-1)/n的一 段距 离的 效果 相同 。
解,证 明,将 玻璃 板置 于凹 面镜 与焦 点之 间,玻 璃折 射成 像,由 三题 结果 得ｄ ＝ｄ （ １ －0１ ＼ ｎ ）,即 题 中 所 求 。 10.欲使 由无 穷远 发出 的近 轴光 线通 过透 明球 体并 成像 在右 半球 面的 顶点 处,问这 透明 球体 的折射 率为 多少?
解,设球 面半 径为 r，物 距和 相距 分别为 s和,由物 像公 式,s? rn'sn's'nS=,=2r,n=1,得 =2?s? 'n11.有一折射率为 1.5,半径为 4cm的玻璃球,物体在距球表面 6cm处,求 (1)物所在的像到球心之间 的距 离 ;(2)像的 横向 放大 率,解,的玻 璃球 。cmrnnrnsnsn 4,1,5.1,
对第 一个 球面,cms6，415.1615.1s cms36
对第 二个 球面 cms 448362∴ ∴45.145.11
2s 12s∴ 从物 成的 像到 球心 距离 cmrsol152
31
5.121 snsn12.一个 折射 率为 1.53,直径为 20cm的玻 璃球 内有 两个 小气 泡,看上 去一 个恰 好在 球心,另一 个从最 近的 方向 看去,好像 在表 面与 球心 连线 的中 点,求两 气泡 的实 际位 置解,由 球面 镜成 像公 式：,当 =日时,s=r,气泡 在球 心。rnnsnsn s?当 =时,s=6.05cm，气 泡在 距球心 3.95cm处。s?2r
13.直径为 1m的球 形鱼 缸的 中心 处有 一条 小鱼,若玻 璃缸 壁的 影响 可忽 略不 计,求缸 外观 察者所看 到的 小鱼 的表 观位 置和 横向 放大 率,解,由,,又 s=r,∴ =r15cm,即鱼 在原 处。rnnsnsn s?
β ===1.33yy' ''nnss14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为 2cm.将它水平地浸入折射率为 1.33的水中,沿着棒的轴线 离球 面顶点 8cm处的 水中 有一 物体,利用 计算 和作 图法 求像 的位 置及 横向 放大 率,并作 光路图,
解,∴rnnsnsn 23.15.183.15.1s cms182)8(5.1 )18(33.1snsn?
∵ rnn cmnnnrnf 65.1717.0333.15.125.1 cmn
nnnrf 65.1517.066.233.15.1233.1
32
15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为 10cm.一物点在主轴上距离 20cm处,若物 和镜 均浸 在水 中,分别 用作 图法 和计 算法 求像 点的 位置,设玻 璃的 折射 率为1.5,水的 折射 率为 1.33.解,（ ！） 对 于 凸 透 镜,由 薄 透 镜 焦 距 公 式 得,=-39.12,'ff
由透 镜成 像公 式：,s=20cm,得 =-40.921''sfsf s?（ 2）对 于凹 透镜,由 薄透 镜焦 距公 式得,f=-=39.12'f
由透 镜成 像公 式：,s=20cm,得 =-13.21''sfsf s?（ 3）作 图：
‘（ 1）
（ 2）16.一凸透镜在空气中的焦距为 40cm,在水中时焦距为 136.8cm,问此透镜的折射率为多少 (水的折 射率为 1.33)?若将 此透 镜置于 CS2中 (CS2的折 射率为 1.62),其焦 距又 为多 少?
解,由题 意知 凸透 镜的 焦距 为,)( 22111 rnnrnnf又 ∵ 在同 一介 质中,设21nn? 'ff nnn21∴因为 对同 一凸 透镜 而言 是一 常数,)11)((1
2rnnnf 211rn?
FSO
F SO
3
设,当 在空 气中 时,在 水中 时tnnf )1(1 40,111 fn 8.136,33.122 fn∴，两 式 相 比,可 n=1.54,将 其 代 入 上 式 得tn)11(401 tn)13.1(8.1361
∴在中即,,0463.0?t 2CS 时62.1n 0463.0162.154.11 ）（f得,即透 镜的 折射 率为 1.54，在 CS2中的 焦距 为 -437.4cmcmf 4.43717.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为 20cm和 25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸 透镜,把它 置于 水中,求其 焦距 为多 少?
解,由薄 透镜 焦距 公式,,)( 22111 rnnrnnf其中 n=1,n1=n21.33,r1=20cm,r2=25cm,得=-44.8cm'ff18.会聚 透镜 和发 散透 镜的 焦距 都是 １０ cm,求 (1)与主 轴成 30度的 一束 平行 光入 射到 每个 透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm处各置一发光点,成像在何处?作出 光路 图,解,(1)由,s=,对于 会 聚 透 镜,
x==10cm,y=xtg30。 =5.8cm或者1''sfsf? s? 'f s?s?y=xtg(-30。 )=-5.8cm,像点 的 坐 标 为 (10,|5.8|)同理,对 于 发 散 透 镜,像 点 的 坐 标 为 (-s?s?10,|5.8|)
(2)由,s=f,对于 会聚 透镜,x=，即 经透 镜后 为一 平行 光束 。1''sfsf s对于 发散 透镜,x=-5cm，又,=0.5cm，s? ssyy'' yssy''?
考虑 到物 点的 另一 种放 置,=-0.5cm，像 点的 坐标 为 (-5,|0.5|)yssy''?
34
18.会聚 透镜 和发 散透 镜的 焦距 都是 １０ cm,求 (1)与主 轴成 30度的 一束 平行 光入 射到 每个 透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm处各置一发光点,成像在何处?作出 光路 图,
解,(1)由,s=,对于 会聚 透镜,x==10cm,y=xtg30。 =5.8cm或者 y=xtg(-30。 )=-5.8cm，像点 的坐 标为 (10,|5.8|)同理,对 于发 散透 镜,像点 的坐 标为 (-10,|5.8|)(2)由,s=f,对于 会聚 透镜,x=，即 经透 镜后 为一 平行 光束 。对于 发散 透镜,x=-5cm，又,=0.5cm，
考虑 到物 点的 另一 种放 置,=-0.5cm，像 点的 坐标 为 (-5,|0.5|)20.比累 对切 透镜 是把 一块 凸透 镜沿 直径 方向 剖开 成两 半组 成,两半 块透 镜垂 直光 轴拉 开一 点距离,用挡 光的 光阑 K挡住 其间 的空 隙 (见题 3.20图 ),这时 可在 屏上 观察 到干 涉条 纹,已知 点 光源 P与透镜相距 300cm,透镜的焦距 f’=50cm,两半透镜拉开的距离 t=1mm,光屏与透镜相距l=450cm.用波 长为 632.8nm的氦 氖激 光作 为光 源,求干 涉条 纹的 间距,
F S,(10,5.8)O30。 30。 （ a）
FS(-10,-5.8)O(b)
35
K
解,分 成 两 半 透 镜,对 称 轴 仍 是 PKO,P,P2构 成 两 相 干 光 源,相 距 为 d,1,=· s\(+s)=60cm,r=L-=390cm,上半 透镜 相当于 L的主 轴与 光心 上移 0.5mm,s?f? f? 0S?下半 透镜 相当于 L的主 轴与 光心 下移 0.5mm,d=2+t=0.12cm./d=2.056mm.y?
0ry21.把焦 距为 10cm的会 聚透 镜的 中央 部分 C切去,C的宽 度为 1cm,把余 下的 两部 分粘 起来 (题3.21图 ).如在 其对 称轴 上距 透镜 5cm处置 一点 光源,试 求像 的位 置．解,该 透 镜是由 A,B两部 分胶 合而 成,这 两 部分 的主 轴都 不在 光源 的中 心轴 线上,A部 分的主 轴在 系统 中心 线下方 0.5cm处,B部分 的主 轴系 统中 心线 上方 0.5cm处，由透镜 成像 公式,,经 A成像得 =-10cm，经 B成像的 =-10cm，这两 个像1sf's'f s? s?点在 垂直 于主 轴的 方向 上的 距离为 3cm.
P2P11P
题 3.20图
A
BC BA题 3.21图
36
２２,一 折射 率为 1.5的薄 透镜,其凸 面的 曲率 半径为 5cm,凹面 的曲 率半 径为 15cm,且镀 上 银(见题 3.22图 ).试证 明,当光 从 凸 表 面 入 射 时,该透 镜 的 作 用 相 当 于 一 个 平 面 镜,(提示,物经过凸面 折射,凸面 反射 和凹 面再 次折 射后,s’=-s,b=1.)解,经第 一界 面折 射成 像：
∵ 其中,=1.5,=1,1=5cm,rnsnsn''' 'n nrr? 's's1?∴5s.115.11's1
经第 二界 面（ 涂银 面） 反射 成像,∵,其 中，,,
1=15cmrss 21'1 's's2? 'ss1?rr?∴'s1152s'1
2再经 第一 界面 折射 成像,
,=1,=1.5,1=5cm,，rnsnsn''' 'nn rr? 's's3? 'ss2?∴s's3
==,=,=，?1s's11s's1?2's's12?3's's23三次 成像 后的 放大 率,=1，12?3所以 当光 从凸 表面 入射 式,该透 镜的 作用 相当 于一 个平 面镜 。
23.题 3.23图所示 的是 一个 等边 直角 棱镜 和两 个透 镜所 组成 的光 学系 统,棱镜折 射率 为 1.5,凸透镜的焦距为 20cm,凹透镜的焦距离为 10cm,两透镜间距为 5cm,凸透镜距棱镜边的距离为 10cm.求图中长度为 1cm的物体所成像的位置和大小,(提示,物经棱镜成像在透镜轴上,相当于 经过 一块厚 6cm的平 板玻 璃,可利 用例 3.1的结 果求 棱镜 所成 像的 位置,).
题 3.22图
37
解,因为 n=1.5,其全 反射 角为,。 所 以,物 体 经球 面上 反射,为 厚 度为 6cm的 透042?045镜,物 体 将 在 厚 透 镜 左 侧 成 虚 像,平 行 平 板 的 轴 向 位 移 l=l(1-1\n)凸 透 镜 的 物 距 为 s=-? 120,f=-20.所以 s==由物 像公 式知 成像 的位 置及 大小为 25和 -10。
1 2s24.显微镜由焦距为 1cm的物镜和焦距 =为 3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,问物 体放 在何 处时 才能 使最 后的 像成 在距 离眼睛 25cm处?
解,在目 镜下 由物 像公 式得 即222 111 fss 3112512s∴ cm2752s cmss 23652021
在物 镜下 由高 斯公 式得 即11 111fss 113652s cms343651即物 体在 物镜 下放 1.06cm处。24.显微镜由焦距为 1cm的物镜和焦距 =为 3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,问物 体放 在何 处时 才能 使最 后的 像成 在距 离眼睛 25cm处?
题 3.23图
38
解,在目 镜下 由物 像公 式得 即222 111 fss 3112512s∴ cm2752s cmss 23652021
在物 镜下 由高 斯公 式得 即11 111fss 113652s cms343651即物 体在 物镜 下放 1.06cm处。25,题 3.25图中 L为薄 透镜,水平 横线 M
‘ 为 主 轴 。 ABC为已 知的 一条 穿过 这个 透镜 的路 径,用作 图法 求出 任一 条光线 DE穿过 透镜 后的 路径 。
C M'A B
D EE
L
题 3.25图
CAB
D
E
L
题 3.25图
F
CA B
D E
L
题 3.25图
F为 DE的 出 射 光线
39
26,题 3.26图中 MM‘ 是一 厚透 镜的 主轴,H,H’ 是透 镜的 主平 面,S1是点 光源,S1‘ 是点 光 源的像 。试 用作 图法 求任 一物点 S2的像 S2’ 的位 置,
27．双 凸 透 镜 的 折 射 率 为 1.5,│ r1│ =10cm,│ r2│ =15cm,r2的一 面 镀 银,污 点 P在透 镜的 前主 轴上 20cm处,求最 后像 的位 置并 作出 光路 图。解,经第 一界 面折 射成 像：,=1.5,=1,
1=10cm,1=-20cmrnsnsn''' 'n nrr? s所以 1→,即 折射 光为 平行 光束's?
经第 二界 面反 射成 像：,2=1→,2=-15cm,所以 2=-7.5cmrss 21'1 s's?rr? 's再经 第一 界面 折射 成像,,=1,=1.5,
1=10cm,3=2=-7.5cmrnsnsn''' 'nn rr? s's所以 3=-4cm,即最 后成 像于 第一 界面 左方 4cm处。's28,实 物 与光 屏间 的距 离为 l,在 中 间某 一位 置放 一凸 透镜,可 使 实物 的像 清晰 地投 于屏 上,
将移 过距离 d之后,屏 上又 出现 一个 清晰 地像 。（ 1)试 计 算 两 个 像 的 大 小 ；（ 2）证 明透 镜的焦距 （ l2– d2/4l） ;(3)l不能 小于 透镜 焦距的 4倍。解,(1)令
2=，则 1=,'sxs )(xdl2=，sxl?
题 3.26图
40
第一 次成 像,?'11'1fss∴ = (1)'f l )]xd(l)[xd(
第二 次成 像,?'f1s1's1∴ = (2)'f lx)l(?
由 (1)(2)得,（ 3）2dlx则
1=,1=,2=,2= (4)s2dl?'s2dl?s2dl?'s2dl?
1= =,2=?s'sy'y1111?dldl dldls'sy'y2222=,又
2=1=，12 )(dldl 2 yyy故两 次成 像大 小之 比为,= (5)?
12 )dldl( 2(2)将（ 3）代 入（ 4）得 = （ 6）'f4ldl22?
（ 3）由 （ 6）得 （ 7）)'4fl(d所以 不能 小于 透镜 焦距的 4倍。l
L1 L2
题 2.28图
41
29,一 厚 透镜 的焦距 f′ 为 60mm,其 两 焦点 间的 距离为 125mm,若 （ 1） 物 点 置于 光轴 上物 方焦点左方 20处 ； （ 2）物点置于光轴上物方焦点右方 20mm处 ；（ 30)虚物落在光轴上像m方主 点右方 20mm处，文 在 这三 种情 况下 像的 位置 各在 何处？像 的性 质各 如何？并 作光 路图 。
解,⑴ 由厚 透镜 的物 象公 式的 高斯 公式 得fss 111实像）(1206018011 mss
⑵ 由 得 ）fss 111 虚(120ms⑶ ∴ 实像 ）ms20? fss 111 (15ms
30.一个 会举 薄透 镜和 一个 发散 薄透 镜互 相接 触而 成一 复合 光具 组，当 物 距为 －８ ０ｃ ｍ时,实像 距镜 ６０ ｃｍ,若 会聚 透镜 的焦 距为 １０ ｃｍ,问 发散 透镜 的焦 距是 多少？ 解：,,,?'11'1fss 'ff? ms60'? ms80
符合 光学 的焦 距为 =34.29cm? 'f,及 d=0，
2=-14.1cm? fd'f1f'1'f1 2121'f31双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为１００ｍｍ和２００ｍｍ，沿轴厚度为１０ｍｍ,玻 璃 的 折 射 率 为 １,５,试 求 其 焦 点 主 点 和 节 点 的 位 置,并 会 图 表 示 之 。
P P’B B’F F’-f f’
-x x’t-s s’
H’KK’O1 O2
题 3.31图
42
解：,代 入数 据得 =134.86mm-134.86mm]rn)1n(tr1r1)[n('f1 2121 'f 'ff=,得
1=200mm=,得 2=-400mm'f11'r1n?'f 'f12 'r1n?'f==20247mm=-4.495mm?pfn'tf
2 'fn'tf'p1==134.86mm,==-134.86mmx'f 'xf
32.两个 焦距 均为 ２ｃ ｍ的 双凸 透镜,其 间 距离 为４ ／３ ｃｍ,组 成 一个 目镜,求 其焦 点和节 点的 位置,如 他 们的 焦距 分别 为６ ｃｍ 和２ ｃｍ,间 距 为４ ｃｍ,再 求 其焦 点和 节点 的位置 。
解,空气 中1f? cmf202 cmd34? 22 ff∴ 5.13843422)2(2
21 21 dff fff,cmff 5.1 cmfdfp 12345.1
2 cmfx 5.1，cmfdfp 12343
1 cmfx 5.1当 cmdcmfcmfcmf 4,2,2,6 221
，3426262121 dff fff cmff 3
43
，cmfdfp 64232 cmfx 3，cmfdfp 2643
1 cmfx 333一焦 距为 ２０ ｃｍ 的薄 凸透 镜与 一焦 距为 ２０ ｃｍ 的薄 凹透 镜相 距６ ｃｍ,求,（ １ ） 复合光 具组 焦点 及主 平面 的位 置。（ ２） 当物 体放 在凸 透镜 前３ ０ｃ ｍ时 像的 位置 和放 大率 。
解析,cmf201 cmf 202 cmd6? cms301空气 中 cmff 2011 cmff 2022
⑴ cmdff fff 67.666202020202121Δ = cmF6
21 326)20(2021 fff -0.2mmcmdfp 2.02066201 dfp2
⑵ cms301 mcmpss 1.010)20(301 msfsfs 117.01.032)1.0(32 17.1.017.0ss?
34一薄 透镜 的主 平面 Ｈ和,节 平 面Ｋ 和 和交 平面 Ｆ和 位置 如图 所示,有 一 发光 点H? K? F?Ｐ在 物方 主平 面左 边２ ０Ｃ Ｍ处,试 作光 路途 并计 算像 的位 置。
F F’HKK’?
题 3.34图
4
解,cmscmfcmf 20,6,5 ∵_15)5(20cmfsx fx
∴ ∴cmxfx 21565 cmxfs 82635.一条 光线 射到 一折 射率 为ｎ 的一 球行 水滴,求,（ １ ）后 表面 的入 射角 ａ,问这 条光 线将被 全反 射还 是部 分发 射？ （２ ）偏 转角 ；（ ３ ）产 生最 小偏 转角 的入 射角 。?
解,（ 1）由 折射 定律 nsin=sin∴ =sin
-1()?nsin?又 ∵ 临界 角
c=sin-1(),即 <c,?n故是 部分 反射 。（ 2）由 图知,=（ -） +，即 =2-，而 =-2，所 以 =-4+2
（ 3） ∵ =-=0,即,dd 2dx4d 21dd而 =sin
-1(),∴ cos2=(n2-1)?nsin3136.将灯 丝至 于空 心玻 璃球 的中 心,玻 璃 球的 内外 直径 分别 为８ ｃｍ 和９ ｃｍ,求,（ １） 从球外 观察 到的 灯丝 像的 位置 （ 设 玻璃 折射 率ｎ ＝１,５ ）；（ ２） 玻 璃 温度 计管 子的 内外 直 径分别为１ｍｍ 和３ｍｍ,求从外侧观察到的直径数值；（ ３）统一温度计的竖直悬挂于直径 100mm得盛水 玻璃 烧杯 的正 中,从较 远处 通过 烧杯 壁观 察时,温 度计 的内 外直 径为多少？
题 3.35图
45
解,∵ rnsnsn'''（ 1） ① =1.5,=1,s1=r1=4cm,∴ 1=4cm即在 球心 处'n n 's
② =1.5,=1,s2=4.5cm∴ 2=4.5cm即像 仍在 球心 处nn 's（ 2） ① =1.5,=1,r1=4cm,s1=3.85cm∴ 1=3.896cm'n n 's
② =1.5,=1,s2=4.396cm∴ 2=4.348cmnn 'sd=0.304cm=3mm(3)① =1.33,=1.5,r
1=1.5mm,s=1mm∴ 1=0.96mm'n n 'ss2=49.46mm∴ 2=4.348cm∴ d(内 )=1.5mm's
② =1,=1.33,r1=50mm,s=48.5mm∴ 2=48.1mm∴ d(外 )=4mm'nn 's37,如 题 所 示 为 梅 斯 林 分 波 面 干 涉 实 验 装 置 。 其 中,分 别 为 两 块 半 透 镜
1O2O试 证 来 自）。（共轴，且、、、、的光心，和 121212121 lSSSOSLL? 定 性 讨 论 与 轴 线 垂））；（（点的光程差两端的光束到达和 2
2121 PSPSlPLL直的 光屏 上接 收到 的干 涉图 样的 特点 。 证明,∵ 物象 具有 等光 程性,
sl1ps1=so1o2s1sl1s2=so1o2s S S1 S2PL1 L
2O1
O2
题 3.37图
46
sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1sl1s2p=sl1s2+s2p=ps2
so1o2s1-so1o2s=s12=l=sl1ps1-sl2s∴ =sl1p-sl1s2p=l-(ps1-ps2)38,把 杂 质扩 散到 玻璃 中可 以增 大玻 璃的 折射 率,这 就 有可 能造 出一 个后 度均 匀的 透镜 。 已知圆板半径为 R，厚度为 d，如图所示，求沿半径变化的折射率 n（ r）,它会使从 A点发出的光 线传 播到 B点。 假定 这是 个薄 透镜,?a,d?b。d
解,d<<a,d<<b,圆板 中心 处的 折射 率为 n(0),半径 r处的 折射 率为 n(r)，光程,L=n(r)d+ra
22 rb22?有费 马定 理得 解得,0rL
n(r)=n(0)+d rbraba 222239．一 弯凸 透镜 的两 个表 面的 半径 的221 r1.515cm,-cm20,在折射率为和分别为和?rr
A Ba brd
题 3.38图
47
凸面 镀银 。 在 距 球面 左侧 40cm处的 主轴 上置 一高为 1cm的物,试 求 最后 成像 的位 置和 像1r的性 质。 解,（ 1）经 第一 界面 折射 成像
∵ 其中,=1.5,=1,1=-20cm,s=-40cmrnsnsn''' 'n nrr?∴ =-30cm's(2)经第 二界 面（ 镀银 面） 反射 成像
,其中,s=-30cm,=-15cmrss 21'1 r∴ =-10cm's（ 3）在 经第 一界 面折 射成 像其中,=1,=1.5,1=-20cm,s=-10cmrnsnsn''' 'nn rr?∴ =-8cm's
放大 率为,1==0.5,2=-=-,3==?snsn11'?s22'31?snsn33'' 56123=-0.2最后 像在 透镜 左方 8cm处,为一 大小 是原物 0.2倍倒 立缩 小实 像。40,一 折 射率位 n,曲 率 半径为 R
1和 R2的薄 凸透 镜放 在折 射率 分别为 n1和 n2的两 种介 质 之间,s1和 s2分别 为物 距和 像距,f1和 f2是物 方和 像方 焦距 。证 明,。12211sfsf证明,因 为任 一光 线由 物点 到像 点的 光程 相等,所 以又21 )( lnANAMdnlns 0?dnds∴ ①22111122 rnnrnnsnsn
48
∵ 物方 焦距 ②?1f 2211 rnnrnnn像方 焦距 ③
221122 rnnrnnf由 ①② ③ 得,11122sfsf
49
第 四 章 光 学 仪 器 的 基 本 原 理1,眼 睛 的构 造简 单地 可用 一折 射球 面来 表示,其 曲 率半 径为 5.55mm,内 部为 折射 率等于 4／ 3的液 体,外部 是空 气,其折 射率 近似 地等于 1。试 计算 眼球 的两 个焦 距。 用右 眼观 察月球时 月球 对眼 的张 角为 1°,问 视网 膜上 月球 的像 有多 大？
解； 眼球 物方 焦距 ；当 s’ =∞ 时,f=﹣ 5.55／﹙ 4／ 3﹣ 1﹚ =﹣ 16,65㎜ =﹣ 1,665㎝眼球 的象 方焦 距,f＇ =s＇ = m2.2213455.534
当 u=1° 时,由折 射定律 n1sinu1=n2sinu2U1=° n1=1,n2=4∕ 3像高 l＇ f＇ tanu2f＇ sinu2=f＇ × 3∕ 4sin1o=22.2× 3∕ 4× 0.01746=0.29mm,把 人 眼的 晶状 体看 成距 视网膜 2㎝的 一个 简单 透镜 。 有 人能 看清 距离在 100㎝到 300㎝2
间的 物体 。试 问,⑴ 此人 看清 远点 和近 点时,眼 睛透 镜的 焦距 是多 少？ ⑵ 为看清 25㎝远 的物体,需 配戴 怎样 的眼 镜？ 解,人眼 s＇ =2cm.S1=100cm.s2=300cm近点 时透 镜焦 距 = =1.961'f 210210cm
远点 时透 镜焦 距 ＇ = =1.987f 230230 cm当 =﹣ 25时 =﹣ 100﹦﹣ 1scms? cmmD度34125.010.1111ss 300?
3．一照相机对准远物时，底片距物镜 18㎝，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距 20㎝,求目 的物 在镜 前的 最近 距离？ 解,.18.0mf ms20.
照相 机成 像公 式,fss 111 556.020.0118.01111sfs ms8.1
50
目的 物在 镜前 的最 近距 离为 m8.14．两星所成的视角为 8′,用望远镜物镜照相，所得两点相距 1㎜，问望远镜物镜的焦距时多 少？
解,已知 067.6044u mml 01.1mulf 8594.067.0tan01.tan5．一 显微 镜具 有三 个物 镜和 两个 目镜 。三 个物 镜的 焦距 分别为 16㎜,4㎜和 ⒈ 9㎜,两个目镜 的放 大本 领分 别为 5和 10倍。 设三 个物 镜造 成的 象都 能落 在象 距为 160㎜处,问 这显微镜 的最 大和 最小 的放 大的 放大 本领 各为 多少？ 解,1f? m16? mf 42 mf 9.13 ms16010
1?M102?M因为 放大 本领 目物目物 MfsMM
分别 计算,mf161 5?目M 50516160Mmf161 10M?目 101016160Mmf4
1 5M?目 2054160Mmf41 10M?目 4160M 4010mf 9.1
5?目M 01.4259.1160Mmf 9.1 10M?
目 10.842109.1160M显微 镜? 50minM 10.842maxM6,一 显 微镜 物镜 焦距为 0.5㎝,目 镜 焦距为 2㎝,两 镜 间距为 22㎝。 观 察者 看到 的象 在 无穷远 处。 试求 物体 到物 镜的 距离 和显 微镜 的放 大本 领。
解,已知,显 微镜,5.0cmf物 cmf2目 cmL22?
51
物物 fsss cmfs 5.0物5025.022525
21ffLM8．已 知望 远镜 物镜 的边 缘即 为有 效光 阑,试计 算并 作图 求入 射光 瞳和 出射 光瞳 的位 置。解,有效 光阑 是在 整个 光具 组的 最前 面,所以 入射 光瞳 和它 重合,其 大小 就是 物镜 的口 径,位置 就是 物镜 所在 处。 而有 效光 阑对 于后 面的 光具 组所 成的 像即 为出 射光 瞳,即
1对 2成的 像为 出射 光瞳l
l
l
l
又 -,,而s?)2('1ff ff 21' fffsfs '1'11'21'1 2即,''12''' fffsfsfs yffyssy '12''9,组 成题 4.9图的 简单 望远 镜中 各薄 透镜 的参 数为 L
1:f1=10㎝,D1=4㎝ ;L2:f2=㎝,D2=1.2㎝ ;L3:f3=2㎝,D3=1.2㎝,计算 该系 统出 射光 瞳的 位置 和大 小。
解,已知 cmf101 cmD41? cmf2 cmD2.12? cmf2 cmD2.13?望远镜中物镜是有效光阑和入射光瞳，它被后面光具组 所成的像为出共轴组成和 32OO射光 瞳由逐 次成 像得,222 111 fss333 111 fss由图 示题 意得,cms10cmss 2
2 cmff 232
D1 D2 D3L1 L2L310cm 2cm题 4.9图
52
2510210222222 sfsfs 212252
23ss 25221111
333 sfs 即出 射光 瞳在 右方 4处。 其大 小为mcms 4523 3Ommd
ffd 8113讨论分 析,的作用,位于 后焦面 上。 将望 远镜 观测 物无 穷远 来的 光会 聚成 一点。2O2O1O成为 在物 焦平 面上 的物 点,成为 的物 镜,分别 把宽 光束 变成 细光 束。
3O 3O10,有 一 光阑 直径为 5㎝,放 置 在薄 透镜后 3㎝处 。 透 镜 的焦 距为 5㎝,孔 径为 6㎝。 现 有一高为 3㎝的物 PQ置于透镜前 12㎝处。要求,⑴ 计算对主轴上 P点的入射光瞳和出射光瞳的 大小 和位 置； ⑵ 找到 象的 位置 ； ⑶ 作光 路图 。
解,已知,光阑 孔径cmy3? cms12 cmD61? cmD5 cmf5薄透 镜成 像, cmfsfss 571.8760125125
像方,cmyssyy 715127360依题 意分 析,在 透 镜后 处有 效光 阑的 孔径 为,根 据 相似 三角 形对 应边 成比 例的 关 系cm3 D?57.57.8357.857.86D cmD 90.357.857.6
而实际光阑的孔径为 。所以现有小光阑 AB对光束不加限制，不是有效光阑。只有透cm5镜为 有效 光阑 。透 镜本 身是 入射 光瞳 也是 出射 光瞳 。 1．题 4.11图中的 H,’ 为光 具组 的主 点,F,F’ 为焦 点,E为对 于物点 P的 入 射 光 瞳,EO为其半径。已知 EO＝ 2㎝,HP＝ 20㎝,H＝ 15㎝,HO＝ 5㎝,H′ F′ ＝ 15㎝,H′ ＝ 5㎝，物长 PQ＝ 0.5㎝。作光路图并计算,⑴ 象的位置； ⑵ 象长； ⑶ 入射孔径角； ⑷ P
点的 出射 光瞳 半径 和出 射孔 径角 。PQ F'
题 4.11图
53
解,(1),=15cm,=-20cm,所以 =60cm，111 111 fss 'f s '1s(2),所以 =-1.5ssyy'' yssy 1111''?
(3)u=tg-1=tg-1 7° 35′POE5
15
2
2
(4),222 111 fss cmFHf 15''' 2s cmHO5所以 出射 光瞳 的位 置,cms 5.7'
2出射 光瞳 半径,R= cmyssyOE 3'''' 2222
出射 光瞳 孔径 角,2° 32′ 5.673''''' 11 tgOPEtgu其中 cmssOP 5.67'''' 2112,一 灯 （ 可认 为是 点光 源） 悬 在圆 桌中 央的 上空,桌 的 半径为 R,为 了 使桌 的边 缘能 得 到最大 的照 度,灯应 悬在 离桌 面中 心多 高出？
解,设灯 应悬 在离 桌面 中心 的高 度为 h，半 径为 R的桌 的边 缘能 得到 最大 的照 度。由照 度公 式 2coslIE 222 rhl lhcos
2322232222 RhIRhIhlRhIhE为求 最大 值令 02
22 2222 RhhRRhIdhdE0222hR RRh 222
2
54
13．焦 距 为 20㎝的 薄 透 镜,放 在 发 光 强 度 为 15cd的点 光 源 之 前 30㎝处 。 在 透 镜 后 面 80㎝处 放一 屏,在屏 上得 到明 亮的 圆斑 。求 不计 透镜 中光 的吸 收时,圆 斑的 中心 照度 。 解,cmf201 cdI15? cms30 cmR80?sRR
由 薄 透 镜 成 像 公 式,可 知 发 光 点 经 薄 透 镜 成 的 像 点 位 于fss 111 P L P cmfsfss 601060030203020设透 镜面 积为,通 过透 镜的 光通 量为,依 题意 得，S
设透 镜对 物亮 点 张的 立体 角为,亮 斑 对象 点 张的 立体 角为 。 由 照 度定 义可 知,P?d Pd2220 RIRIRIdIId cd
RII 6041530601522222cosRIE 1cos,0
故 lxRIE 15020.602214．一 长为 5㎜的 线状 物体 放在 一照 相机 镜头前 50㎝处,在 底片 上形 成的 象长为 1㎜。 若底片 后移 1㎝,则象 的弥 散斑 宽度为 1㎜。 试求 照相 机镜 头的 F数。解,已知 cms50 cmmy 5.05 cmmy 1.01
底片 后移,像 的弥 散斑 宽度cms1 cmmd 1.01dffdF1? fss 111 yysscmsyys 10505.01.0
cmsssf 50650060501010501
5
cmf 650由图 示可 知三 角形 相似 的关 系有,sdsd 22cmssdd 110.0
cmdfF 3.8165015．某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线（其波长分别为 589nm和 589.6nm）附近的色散率dn／ dλ 为﹣ 360㎝
﹣ 1，求此种玻璃制成的能分辨钠光双谱线的三棱镜，底边宽度应不小于多少？ 解,已知,钠 光双 线,A?5890
1 A?58962 1360cmddn?为三 棱镜 底边 宽度ddnBCP BC nm6.05896.589 cm
ddnBC 73.23606.058916．设计一块光栅，要求 ⑴ 使波长 600nm的波长第二级谱线的衍射角小于 30°,并能分辨其 0.02nm的波 长差 ； ⑵ 色散 尽可 能大 ； ⑶ 第三 级谱 线缺 级。 求出 其缝 宽,缝数,光 栅常 量和总 宽度 。用 这块 光栅 总共 能看到 600nm的几 条谱 线？
解,已知,,,,,nm600 2j?30 nm02.0 3?bdmjd 779 1024210230sin10602sinmdb
71083jN条150460020.60jN? mNdL
310 1036124150总角色 散 线色 散?cosdjDcosdjfdfl
要求 色散 尽可 能大 即 尽可 能大,尽可 能小 。?cos
56
，当 时，jd?sin 2 1sin级4106102477maxdj又知 级缺 级。 时,对应 无法 看到 。3mbd 2 4max?j能见 的谱 线为,0，,级，共 5条谱 线。 1?2?
17．若 要求 显微 镜能 分辨 相距 0.000375mm的两 点,用波 长为 550nm的可 见光 照明,试求,⑴ 此显微 镜物 镜的 数值 孔径 ;⑵ 若要 求此 两点 放大 后的 视角为 2′,则显 微镜 的放 大本 领是 多少?解,解,uny si61.0 yun61.0si
① 当 时nmmy 50,0375,895.010000375.0 1055061.0sin 39u
② 23102510000375.0tanuu 54014.31806022u 65.38710000375.05400102514.3
92uuM18.夜间自远处驶来汽车的两前灯相距 1.5m.如将眼睛的瞳孔看成产生衍射的圆孔，试估计视力 正常 的人 在多 远处 才能 分辨 出光 源是 两个 灯。 设 眼睛 瞳孔 的直 径为 3mm,设 光 源发 出 的光的 波长为 550nm。解：,所以R610.0lytguu kmyl 7.6610.019.用孔 径分 别为 20cm和 160cm的两 种望 远镜 能否 分辨 月球 上直 径为 500m的环 行山？（ 月球与 地面 的距 离为 半径的 60倍，而 地球 半径 约为 6370km。）设 光 源 发 出 的 光 的 波 长 为 550nm.
解,解,孔径为 20的望 远镜 的分 辨率 极限 为cm D2.11?极限 线宽 602.11 RDLL
当 mmLcmD 500281.12826010637010201055022.120 329时，
57
mmLcmD 50029.16060106370101601055022.1160 329时，孔径为 160的望 远镜 能分 辨清 月球 上直 径为 500环形 山?cm m20,电 子 显微 镜的 孔径角 2u=8o,电子 束的 波长为 0.1nm,试 求 它的 最小 分辨 距离 。 若 人 眼 能分辨 在明 视距 离处 相距 6.7× 10
-2mm的两 点,则此 显微 镜的 放大 倍数 是多 少？解,根据?4,1,1.0,sin61.0 unnmuy其中代入 数值 得,nmy87.0
显微 镜的 放大 倍数 4932 1066.71087.010107.6mM21．平行光垂直投射于宽度为 4cm的理想透明光栅上，已知在衍射角为 60° 的方向上的角色散为 0.5× -2rad∕ nm，试 求光 栅在 该方 向上 最大 处的 分辨 本领 p?
解,dLNjP,djLP
又角 色散 5.060coscos,cosdjD nmradnmradDdj 22 1025.021105.0cos
59 22 10101025.0104djLP22.氦氖激光器发出波长为 632.8、截面直径为 2的激光束投向月球。已知月球和nm m地面的距离为,试问在月球上得到的光斑的直径有多大？如果这个激光经km
51076.3?扩束器扩束后截面直径分别为 和,再发向月球，试问在月球表面上的光斑直径各m2m5为多 大？
解,(1),? d/22.1/61.01R kmdffD 290'4.2)'(211(2),d10d32290m10DD312
58
(3),d105.2d 33 16m102.5DD31323.用一 架照 相机 在离 地面 的高 空拍 摄地 面上 的物 体，如 果要 求它 能分 辨地 面上 相 距km200的两 点,照相 机镜 头的 口径 至少 要多 大？ 设感 光的 波长 为,m1 nm550
解：,d/22.1/61.01R ly'?而,即1'? dly?2.11342cm.0
yl22.1dmin24.已知月 地距 离约 为 3.8× 105km,用上海 天文 台的 口径 为 1.56m天体测 量望 远镜 能分 辨月球表 面上 两点 的最 小距 离为 多少？设 波长为 555nm.
解,根据,其 中fdy2.1 mfmdnm 8108.3,56.1,555代入 求得 my9.16425.为了 分辨 第二 级钠 光谱 的双 线（ 589nm和 589.6nm］长 度为 15cm的平 面光 栅的 光栅 常量应为 多少？
解,根据,得jNP光栅 缝数 4912106.0103.58999jN?
故光 栅常 数 cmcmNld 03.49115
59
第 五 章 光 的 偏 振1.试确 定下 面两 列光 波E
1=A0[excos（wt-kz）+eycos（wt-kz-π/2）]20[exsin（t-kz）eysin（t-kz-π/2）]的偏 振态 。 解,E1=A0[excos(wt-kz)+eycos(wt-kz-π/2)]
0[excos(t-kz)eysin(t-kz)]为左 旋圆 偏振 光E2=A0[exsin(wt-kz)+eysin(wt-kz-π/2)]0[exsin(t-kz)eycos(t-kz)]为右 旋圆 偏振 光.为了 比较 两个 被自 然光 照射 的表 面的 亮度,对 其 中一 个表 面直 接进 行观 察,另 一 个表 面2通过 两块 偏振 片来 观察 。两 偏振 片透 振方 向的 夹角为 60
°。若观 察到 两表 面的 亮度 相同,则两表 面的 亮度 比是 多少？已 知光 通过 每一 块偏 振片 后损 失入 射光 能量的 10%。解 ∶∵ 亮度 比 =光强 比（ 直接 观察为 I0,通过 偏振 片观 察为 I）,∴ I/
/
0=(1-10%)cos2600·(1-10%)=10%.3.两个 尼科耳 N1和 N2的夹 角为 60°,在 他 们之 间放 置另 一个 尼科耳 N3,让 平 行的 自然 光 通过这 个系 统。 假 设各 尼科 耳对 非常 光均 无吸 收,试问 N3和 N1的偏 振方 向的 夹角 为何 值时,通过 系统 的光 强最 大？ 设入 射光 强为 I0，求 此时 所能 通过 的最 大光 强。
解,设,P3与 P1夹角 为 α,P2与 P1的夹 角为 θ=600I1=I0I3=I1cos2α=cos2α21 02II2=I3cos2(θ-α)=cos2αcos2(θ-α)02I要求 通过 系统 光强 最大,即求 I
2的极 大值I2=I2cos2αcos2(θ-α)=cos2α[1-sin2(θ-α)]02I
=[cosθ+cos（ 2α-θ） ]208I由 cos（ 2α-θ） =1推出 2α-θ=0即 α=θ/2=30°∴ I
2max=I0cos2αcos2(θ-α)=I0cos230°cos230°=I021 21 9324.在两 个理 想的 偏振 片之 间有 一个 偏振 片以 匀角 速度 ω绕光 的传 播方 向旋 转 （ 见题 5.4图 ）,若入 射的 自然 光强为 I
0，试 证明 透射 光强 为
N1N3
N2θ
θ
α
α
题 5.3图
60
I=I0（ 1-cos4ωt）,16?解,I=I0cos2ωtcos2（-ωt）=I0cos2ωtsin2ωt=I012 2? 12 181-cos4t2?=I
0（ 1-cos4ωt）`5.线偏 振光 入射 到折 射率为 1.732的玻 璃片 上,入射 角是 60°，入 射光 的电 失量 与入 射面 成30°角。 求由 分界 面上 反射 的光 强占 入射 光强 的百 分比 。解,由电 矢量 在入 射面 的投 影为 A
n=I0cos230°A⊥ =A0sin30°即 In=I0cos230°=3/4I0Is1=I0cos260°1/4I0理论 证明 i
s=Ib=arctan=arctan1.732=600为布 儒斯 特角21n∴ 反射 光为 只有 垂直 分量 的线 偏振 光（ 相对 入射 面来 说）依据 菲涅 耳公 式 '1 12
1 12sin()sin()ssAiiii 0 0 0 01 26,963i i' ' 0 02 21 1 0 01 1
' 11140 1 sin(6030)1()[ ]sin(6030)416.25%16s ss sss sI AI III I
6.一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成 30°角。两束折射光通过在方 解石 后面 的一 个尼 科耳 棱镜,其 主 截面 与入 射光 的振 动方 向成 500角。 计 算 两束 透射 光的相 对强 度。 解,① 当入 射光 振动 面与 尼科 耳主 截面 分居 晶体 主截 面两 侧时
N1 N
2题 5.4图
61
2011 12021 1
20 0 202 1 120 0 0 202 1 12020
1 202 120 202 1 1
3cos304cos604cos(3050)sin10cos(903050) cos10
3sin10sin104 3tan100.093cos10cos104
eo
ee eoo oe e
oo
II III III III I
IIIII I
② 当入 射光 振动 面与 尼科 耳主 截面 分居 晶体 主截 面两 侧时
2011 12021 1
20 0 20 2021 1 12 0 0 20 2022 2 1
201 202 202 1
202 202
3cos304cos604 3cos(5030)sin70sin704
cos(*5030) cos70cos7043cos704 3tan7022.645cos704cos70
0.0443sin70
eo
e e eoe o
eoo
e
II III III I I
II I IIII II
I
7.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成 300角 。 求,（ 1）透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？（ 2）用钠光入射时如要产生 90
0的相 位差,波 片的 厚度 应为 多少？（ λ=589nm）解,① 2001 1
201 110
1
sin3043cos3041433
4ee
II III IIII
I
② λ=589nm时,ΔΨ=900Δδ=2 (21)k0e（ n-n） d=λ当 k=0时为 厚度 最小 值
62
∴ 代入 数值得 d=8.5610-7m0(21)4( )ekdnnλ?8.有一 块平 行石 英片 是沿 平行 于光 轴方 向切 出的 。 要 把 它切 成一 块黄 光的 波片,问 这 块41石英 片应 切成 多厚？石 英的 n=1.552,n=1.543,λ=589.3nm
e o cm1064.112412412 3
00 knnkdknnd ee9.(1)线偏 振光 垂直 入射 到一 个表 面和 光轴 平行 的波 片,透 射 出来 后,原 来 在波 片中 的寻 常光及 非常 光产 生了 大小 为 π的相 位差,问 波 片的 厚度 为多 少？ 已知 n=1.5533,n=1.5442,λe o=500nm； （ 2） 问 这块 波片 应怎 样放 置才 能使 透射 出来 的光 是线 偏振 光,而 且它 的振 动面 和入射 光的 振动 面成 900角？解,① cm1075.212412122 3
00 knnkdknnd ee② 由 ① 可知该波片为 1/2波片，要透过 1/2波片的线偏振光的振动面和入射光的振动面垂直即,290 410.线偏 振光 垂直 入射 到一 块表 面平 行于 光轴 的双 折射 波片,光 的 振动 面和 波片 光轴成 250角,问波 片中 的寻 常光 透射 出来 的相 对强 度如 何？ 解,将入 射的 线偏 振光 分别向 x,y方向 投影得,20 200 20sin25tan25cos25eIIII1在两个正交尼科耳棱镜 N1和 N2之间垂直插入一块波片，发现 N2后面有光射出，但当N2绕入 射光 向顺 时针 转过 200后,2的视 场全 暗，此 时,把 波 片也 绕入 射光 顺时 针转过 200
,N2的视场又亮了。问（ 1）这是什么性质的波片；（ 2） N2要转过多大的角度才能使 N2的视场又变 为全 暗。 解,① 因为 N
1垂直于 N2Δδ= （ k=1,2,3… ）2 (21)k0e（ n-n） d=当 Δδ= 时出 现亮 条纹,所 以垂 直插 入的为 1/2波片(21)k0e（ n-n） d=② 设波 片顺 时针 方向 转过 20
0后,N2要转 过 α才能使 N2的视 场恢 复原 始的 暗场因为 N1输出 为线 偏振 光,N2视场 本为 暗场,垂 直插入 1/2波片后 N2视 场 为 亮 场,1 2N?
63
线偏 振光 经过 1/2波片 后仍 为线 偏振 光,只是 振动 方向 转过 了 角2?0 022412一束 圆 偏 振 光,（ 1）垂 直 入 射 到 波片 上,求 透 射 光 的 偏 振 状 态；（ 2）垂 直 入 射 到41
波片 上,求透 射光 的偏 振状 态。81解,1）圆 偏振 光可 以看 成相 互垂 直的 两条 线偏 振光 的合 成,两者 之间 位相 差为 π/2再经 λ/4波片 后,它们 相位 差又 增了 π/2，这 样两 线偏 振光 的位 相差 为 π/2+π/2＝ π,合 成 为 线 偏 振 光,所以 一束 圆偏 振光经 1/4波片 后合 成为 线偏 振光 。2）圆 偏振 光经 1/8波片 后成 为椭 圆偏 振光 。位 相差 为 π/2。13.试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振 光。 证明,左,右 旋圆 偏振 光的 振动 表达 式分 别为,E1=A0[excos（wt-k1z）+eycos（wt-k1z）]20[exsin（t-k2z）eysin（t-k2z）]
12 021 [( )cos( )]xyEEAEEtkk这说 明光 路上 任一 点振 动的 x分量和 y分量 对时 间有 相同 的依 赖关 系,它们 都决 定于因此 它们 是同 相位 的,这说 明它 们合 成的 是线 偏振 光。cos( )t14.设一 方解 石波 片沿 平行 光轴 方向 切出,其 厚度为 0.0343mm,放 在 两个 正交 的尼 科耳 棱镜间。 平行 光束 经过 第一 尼科 耳棱 镜后,垂 直地 射到 波片 上,对于 钠光 （ 589.3nm） 而 言 。晶体的折射率为 n=1.486,n=1.658,问通过第二个棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减
e o弱？ 如果 两个 尼科 耳棱 镜的 主截 面是 相互 平行 的,结果 又如 何？ 解,① 当两 个尼 科耳 棱镜 垂直 时,透射 光强 度是,
cos10II由 可得 代入 上式 可得 因此 是减 弱dnen0220 0I
② 当两 个尼 科耳 棱镜 平行 时,透射 光强 度是, cos10II同理 可得,因此 光强 加强 。2II16单色 平行 自然 光垂 直入 射在 杨氏 双缝 上,屏 幕 上出 现一 组干 涉条 纹。 已 知 屏上 A,C两点分别对应零级亮纹和零级暗纹,B是 AC的中点，如题 5.16图 所 示,试 问,（ 1）若在双缝后放一理想偏振片 P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有如何变化？（ 2）在一条缝的偏振片后 放一 片光 轴与 偏振 片透 光方 向成 450的半 波片,屏 上 有无 干涉 条纹？ A,B,C各点 的 情况如 何？
题 5.16图S
S1S2 AP BC
64
解,① 若在 双缝 后放 一理 想偏 振片 不会 影响 S1与 S2之间 的原 有光 程差,所以原有干涉条纹的位置和宽度都不变，由于自然光经过偏振片后光强减半，所以 A减光强有 变化,C减是 暗纹,光 强仍为 O不变,I
A=++ =4 =020I20I 2.200II?20I0I?② 若 在一 条缝 的偏 振片 后放 一片 光轴 与偏 振片 透光 方向成 450的半 波片,则 透过 半波 片的 线偏振 光的 振动 方向 偏转 了 与未 经半 波片 的线 偏振 光的 振动 方向 垂直,使 两0 02459束光 的迭 加不 满足 振动 方向 接近 一致 的相 干条 件。
17.厚度为 0.025mm的方解 石波 片,其表 面平 行与 光轴,放 在两 个交 的 尼 科 耳 棱 镜 之 间,光轴 与两 个尼 科耳 各成 450,如 果 射入 第一 个尼 科耳 的光 是波 长为 400nm-700nm可 见 光,问透过 第二 个尼 科耳 的光 中,少了 那些 波长 的光？ 解,由题 意知 凡是 未通 过第 二个 尼科 耳棱 镜的 光都 是与 第二 个尼 科耳 垂直 的光即 ∵ρ 1⊥ρ 2α-θ=π/220I cos102II说明20I 1cos0cos1又因 为 kdnn
e 220所以 的光 未透 过第 二个 尼科 耳棱 镜0( )enndk因此 在可 见光 范围 内少 了以 下波 长的 光：
15678
91011
kkkkk
kkk
当 时 =930nm当 时 =860nm当 时 =716.9nm当 时 =614.3nm当 时 =537.5nm
当 时 =477.8nm当 时 =430nm当 时 =390nm18.把一 块切 成长 方体的 KDP晶体 放在 两个 正交 的偏 振片 之间 组成 一个 普克 尔斯 效应 的 装置。已知电光常数 γ=1.06*10-1,寻常光在该晶体中的折射率,n=1.51，若入射光 0的vm o
65
波长为 550nm试计 算从 晶体 出射 的两 束线 偏振 光相 位差 为 π时,所 需 加在 晶体 上的 纵向 电 压（ 叫 做 半 波 电 压 ）。 解,线偏 振光 的相 位差 公式,
330 110 30 1053.72 550/1006.151.12nU nmmn Un19．将 厚 度 为 1mm且垂直于光轴切出的石英片放在两个平行的,尼科耳棱镜之 间,使从第一个尼科耳出射的光垂直射到石英片上，某一波长的光波经此石英片后,振动面旋转了 20
0。问石英片厚度为多少时,该波长的光将完全不能通过。解,沿垂直于光轴方向切出的石英片为旋光镜片,当 出射光矢量与入射光矢量 垂直时,则 光不能通过 N2,即 欲使光不能通过 N2，使 N1出射的光束经晶片后 又转过 (2k+1)π/2，此时该光束的振动面与 N2的主界面垂直，亦即 φ
2=(2k+1)90°，且 φ1=αd1=20°所以 d2=(2k+1)·0.45cm20.试求 使波 长为 509nm的光 的振 动面 旋转 1500的石 英片 厚度 。石 英对 这种 波长 的旋 光度为 29.70m-1解：
01 00 001050929.71501505.05129.7nmm mm已 知,根 据 旋 光 度 的 定 义 可 知,d=21将某种糖配置成浓度不同的四种溶液,100c
3溶液中分别含有 30.5克,22.76克,29.4克和 17.53克的 糖。 分 别 用旋 光量 糖计 测出 它们 每分 米溶 液转 过的 角度 依次是 49.50,36.10、30.30、,和 26.80。根 据这 些结 果算 出这 几种 糖的 旋光 率的 平均 值是 多少？
6
313 3 32 4
0 30 3
0 30
0.305/0.2276/ 0.294/ 0.1753/49.51162.30.
10.30536.11158.61.10.227630.31103.06.10.294
26.81
lc lcmc gcmvm m mc gcmc gcmc gcmv v v
cmdmgcmdmgcmdmg
12
34
解,根 据它 们 的 物 质 量 浓 度 分 别 为,代 入 数 值 可 得,
3 31152.88.0.17531144.2.4 cmdmgcmdmg1234则 22.如图题 5.22所示 装置 中,S为单 色光 源置 于透镜 L的焦 点处,P为起 偏器,L
1为此 单 色光的 1/4波片,其 光轴 与偏 振器 的透 振方 向成 α角,M为平 面反 射镜 。已 知入 射偏 振器 的光束强 度为 I0，试 通过 分析 光束 经过 各元 件后 的光 振动 状态,求 出光 束返 回后 的光强 I。各 元件对 光束 的损 耗可 忽略 不计 解,单色 光源 S发出 的光 经过 透镜 L后变 为平 行光,光 强为 I
0.经 P后为 线偏 振光,光 强为经 1/4波片后,成 为椭 圆或 圆偏 振光,因 各种 元件 对光 束的 损耗 可忽 略不 计，所012pI I?
以光 强不 变只 是振 动方 向偏 转了 角。 经 M平面 镜反 射,光 强 仍为 只是 发生 了左 右 对? 012I换,偏转 角还 是,所 以发 射光 还是 圆或 椭圆 偏振 光。反射 椭圆 偏振 光再经 1/4波片 后变 为线 偏振 光,振 动方 向又 增加 了 角,所 以反 射线 偏振 光?的振 动方 向与 起偏器 P的透 振方 向夹 角为,强 度不 变。2?
根据 马吕 斯定 律,反射 线偏 振光 再经 P返回 后的 光强 为,201cos2II
题 5.22图I
I0L P L
1S? M
67
23.一束 椭 圆 偏 振 光 沿 Z方向 传 播,通 过 一 个 线 起 偏 器,当 起 偏 器 透 振 方 向 沿 X方 向 时,透射强度最大，其值为 1.5I0；当透振方向沿 Y方向时，透射强度最小，其值为 I0。 （ 1）当透振 方向与 X轴成 θ角时,透 射 光的 强度 为多 少？ （ 2） 使 原 来的 光束 先通 过一个 1/4波片 后再通 过线 起偏 器,1/4波片 的光 轴沿 x方向 。 现 在发 现,当 起偏 器透 光轴与 x轴成 300角时,透过 两个 元件 的光 强最 大,求光 强的 最大 值,并确 定入 射光 强中 非偏 振成 分占 多少？
()()22 22 2 2
() 2 2()2 20 0
,1.)cossincossin( )cos( )sin
1.5cossin2.)
u eue
e ex ey ex eyue uex uey
I IIIII E E I IIII II II
I I I
解,设 非 偏 振 光 经 偏 振 片 后 的 光 强 为 椭 圆 偏 振 光 经 偏 振 片 后 的 光 强 为椭 圆 的 长 短 轴 分 别 为 x,y轴,是 偏 振 片 透 光 轴 与 光 轴 的 夹 角设 透 过 偏 振 片 的 总依 据 题 意,0
2 0 0 0max 0
0 0 0 00
1/4,3tan3031() 0.75,0.25,0.75
31.751.52.5220.7560%2.5eyexey ey ex ey uex exexeyu
u
xyEI EI II II II
I III III I I I II I
0椭 圆 偏 振 光 经 过 波 片 后 的 线 偏 振 光 的 振 动 方 向与 x轴 成 30角 时 得 的 分 量 之 比 为,
非 偏 振 光 与 总 光 强 之 比 为,24.有下 列几 个未 加标 明的 光学 元件,（ 1） 两 个 线 偏 振 器 ；（ 2） 一个 1/4波 片 ；（ 3） 一 个 半波 片 ；（ 4） 一 个 圆偏 振器,除 了 一个 光源 和一 个光 屏外 不借 助其 它光 学仪 器,如 何 鉴别 上 述光学 元件 。 解,首 先,透 过这 五个 元件 观察 光源 光强 不变 的为 1/4波片 和半 波片 ； 光 强减 半的 为两 个 线偏振 器和 圆偏 振器 。然 后,把这 三个 光强 减半 的器 件两 两组 合,透过 该光 学系 统观 察光 源,若光 强变 暗且 有消 光现 象的 则为 两个 线偏 振器 的组 合,由 此 鉴别 出两 个线 偏振 器,且 剩 余 的一个 为圆 偏振 器； 然 后,分 别 把两 个波 片放 到两 个偏 振器 之间,并 旋 转靠 近眼 睛的 那个 偏 振器,透过 该光 学系 统观 察光 源,若有 消光 现象 则为 半波 片； 反之,为 1/4波片25.一束 汞绿 光以 60
0角入 射到 磷酸 二氢 钾（ KDP）晶 体表 面,晶体的 n=1.470,n=1.512,e o设光 轴与 晶面 平行,并 垂直 于入 射面,试 求晶 体中 o光与 e光的 夹角 。解,已知 601470.1512.
10?nnn e根据 公式 2211 sinsinnn?
可得 573.0512.12360sinsin010nn?
68
589.0470.12360sinsin1eenn?由上 两式 可得 095.3634094230 e
由此 可得,光与 光的 夹角oe 153.9423.3095.360e26.通过 尼科 耳棱 镜观 察一 束椭 圆偏 振光 时,强 度 随尼 科耳 棱镜 的旋 转而 改变,当 强 度为 极小值 时,在 尼科 耳棱 镜（ 检偏 器） 前插 入一块 1/4波片,转动 1/4波片 使它 的光 轴平 行于 检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动 200就完全消光。问（ 1）该椭圆偏振光是右旋 还是 左旋 的？ （ 2）椭 圆长 短轴 之比 是多 少？
解,尼科 耳转 至光 强最 小处,则 主截 面方 向即 为入 射光 的短 轴方 向。 N1为短 轴方 向。/4片光 轴与 N1主截 面平 行,故短 轴上 的振 动为 e光,长轴为 o光。N2与 N1顺差 20?时 全 暗,说 明 经?/4片后 的线 偏振 光的 振动 面在 逆时 针转 70?的 位 置 上（ 二,四象 限）。 说明 o光的 位相 落后于 e光?（或 －?）。 即?＝?（或 －?） 。因为 线偏 振光在 70?的方 向上,故 入射 椭圆 的长 短轴 之比 Ay/x=tan70?。石英 是正 晶体,经?/4片后,e光的 位相 落后于 o光?/2，即?2＝－?/2。因 此,入射 到?/4片的光 所具 有的 初始 位相 为?1＝?－?2＝－ 3?/2（或 /2）。 此 为一 个右 旋的 椭圆 偏振 光。综合 以上 结果 有,在 未放?/4片时 的入 射光 偏振 态为,一 个右 旋椭 圆偏 振光,长短 轴之 比 为Ay/x=tan70?，短 轴方 向在 N1主截 面方 向。27.推导 出长 短轴 之比为 2:1，长 轴沿 Ｘ轴 的右 旋和 左旋 椭圆 偏振 光的 琼斯 矢量,并 计算 两个偏 振光 叠加 的结 果,解,对于 长,短轴 之比为 2:1，长 轴沿 x轴的 右旋 椭圆 偏振 光的 电场 分量 为
ikz
ikz
ikz
ikz
X
X
X
X
ae
ae
e
e
A
A
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E
2
2
2
2
kz
kz
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i
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e
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A
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E
故?
a
a
a
a
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A
A
y
y
X
X
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
这一 偏振 光的 归一 化琼 斯矢 量为?
i
i
e
e
a
a
a
a
e
e
A
A
A
A
A
A
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i
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2
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5
1
1
2
2
5
5
1
1
2
2
2
2
2
2
若为 左旋 椭圆 偏振 光，,故 其琼 斯矢 量为2
2
i
i
e
e
E
E
i
i
L
L
2
2
5
5
1
1
2
2
5
5
1
1
2
2
两偏 振光 叠加 的结 果为,
69
0
0
1
1
5
5
4
4
0
0
4
4
5
5
1
1
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2
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1
2
2
5
5
1
1
2
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5
5
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
E
E
E
E
E
E
L
L
R
R
合成 波为 光矢 量沿 x轴的 线偏 振光,其 振幅 为椭 圆偏 振光 x分量 振幅的 2倍。
70
第 六 章 光 的 吸 收,散 射 和 色 散1,一 固 体有 两个 吸收 带,宽 度都是 30nm,一带 处在 蓝光 区 （ 450nm附 近 ）,另 一 带 处 在黄光 区（ 580nm附近 ）。 设 第一 带吸 收系 数为 50cm
-1,第二 带的 吸收 系数为 250cm-1.试绘 出白光分 别透过 0.1mm及 5mm的该 物质 后在 吸收 带附 近光 强分 步的 情况 。解,当白 光通过 0.1m后的 光强 Ib=I0e-ad=I0e–50x0.1=0.606I0I
y=I0e–250x0.1=0.082I0当白 光通过 5mm后,光强 Iy=I0e–ad=I0e–250x0.5=5.167x10–5I0=Ib=I0e–ad=I0e–50x.0.5=1.389x10–1I0两种 情况 下颜 色不 同。 2.某种介质 为 0.32cm
–1.求投射光强为入射光强的 0.1,0.2,0.5、及 0.8倍时，该介a?质的 厚度 各多 少？
解,由朗 伯定 律 I=0e–axd d=–㏑ ／?0II ad1=－ ㏑ 0.1／ 0.32=7.196cmd2－㏑ 0.2／ 0.32=5.03cd3=－㏑ 0.5／ 0.32=2.166cmd4=－㏑ 0.8／ 0.32=0697c
3.如果 同时 考虑 到吸 收和 散射 都将 使透 射光 强减 弱，则 透 射光 表达 式中 的 a可看 作是 由两部 分和 成,一部分 a是由 于真 正的 吸收 （ 变 为物 质分 子的 热运 动）,另 一 部分 a(称为 散射系 数 )是由 于散 射,于是 该式 可写作 I=0e–(a+as)l.如果 光通 过一 定厚 度的 某种 物质 后,只有 20%的光强通过。已知该物质的散射系数等于吸收系数的 1／ 2。假定不考虑散射，则透射 光强 可增 加多 少？
解,由已 知列 方程 I0e－ (a+a)l=I0×20%12解得,al=－ ㏑ 0.223
当不 考虑 散射 时,as=0则 I=I0e–al=I0e－ ㏑ 0.2=0.342I023I－ 0.2I0=0.142I0故 p= =14.2即透 射光 增加 14.2%000.2I II?4.计算 波长为 253.6nm和 546.1nm的两 谱线 瑞利 散射 的强 度比 。
解,由瑞 利散 射定 律,散射 光强 度与 波长 的四 次方 成反 比
71
== =21.512II 4241? 44(546.1)(253.6)5.太阳光由小孔入射到暗室，室内的人沿与光线垂直及与之成 45o的方向观察这 束光线 时,见到 瑞利 散射 的光 强之 比等 于多 少？解； 又散 射光 强公式 I
a=I0(1+cosa2)人沿 与光 垂直 时光强 I=0（ 1+cos90o） =I0人沿 与光成 45oI=I0（ cos45o） 2／ 3I0p=I／ I
0=2／ 36.一束 光通 过液 体,用 尼科 尔正 对这 束光 进行 观察 。 当 尼 科尔 主截 面竖 直时,光 强 达到 最 大值； 当 尼 科尔 主截 面水 平时,光 强 为零 。 再 从 侧面 观察 其散 射光,在 尼科 尔主 截面 为竖 直 和水平 时,光强 之比为 20,1，计 算散 射光 的退 偏振 度。解,由题 干知 次光 为偏 振光,设 尼科 耳主 截面 水平 位置为 X轴,竖直 位置为 Y轴,则
=20所以 Iy=20Ix偏振 度 p==| |=| |=19／ 21yxII yxYXIIII2020XXxxIIII所以 退偏 振度 △ =1－ p=1-19／ 21=9.52%7.一种 光 学 玻 璃 对 汞 蓝 黄 435.8nm和汞 绿 光 546.1nm的折 射 率 分 别 为 1.65250和 1.62450。用柯 西公 式计 算公 式中 的常量 a和 b：并 求它对 589nm那黄 光的 折射 率和 散射 dnd?
解,由柯 西公式 n=a+则 n1=a+,n2=a+2b? 21b? 2b?b=(n1–n2)／ (1／ 12–1／ 2)=1.46432×104nm2,a=n1-1／ =1.57540.由 21? dnd?=-2b／ =-1.4332×10
-4nm–13?8一种 光 学 玻 璃 对 汞 蓝 光 435.8nm和汞 绿 光 546.1nm的折 射 率 分 别 为 1.65250和 1.62450。用柯 西公 式计 算公 式中 的常 量 a和 b；并 求它对 589nm钠黄 光的 折射 率和 色散 。ddn
解,由,?2ban32bddn得：,43586520.1 2ba 54166520.1 2ba所以 nm1046315.1,5740.1
24 ba故,61761.1n
0? cmddn 124.143
72
9.一个顶角为 60o的棱镜由某种玻璃制成，它的色散特性可用柯西公式中的常量 a=1.416,b=1.72×10-10cm2来表 示。 将 棱镜 的位 置放 置得 使它对 600nm的波 长产 生最 小偏 向角 。 计 算这个 棱镜 的角 色散 率为 多少？ 解,由柯 西公 式 =— 2b／ =－ 1592.5956cm
–1dnd? 3?n=a+b／ =1.416+(1.72×10-10)／ (600×10-7)3=1.463782?
由 D= =-2.337×10-4rad／ nm222sin21sinAAn? dnd?10.波长为 0.67nm的 X射线,由真 空射 入某 种玻 璃时,在掠 射角 不超 过 的 条件 下发 生全 反0.1?射,计算 玻璃 对这 种波 长的 折射 率,并解 释所 得的 结果,
解,由 sinsin89.90.9999984761sinsin90inr11.波长为 0.07nm的 X射线,其 折射比 1小 1.60×10
-6,试 求全 反射 时,X射线 的掠 射角 为多大？ 解,=?1 6sin(1.6010)89.750618
掠射 角?,=90－ =90–89.89750618=0.1025o?12.对于 波长 =400nm的某 光，某 种玻 璃的 折射率 n=1.63,对于 =500nm的光,其折 射率 n’? '?=1.58.假若 柯西 公式 的近 似形 式 n=a+b／ 适用,试 求 此玻 璃对 波长为 600nm的光 的 色
2?散率 值dnd?
解：,由柯 西公式 n=a+则 n1=a+,n2=a+2b? 21b? 2b?b=(n1–n2)／ (1／ 12–1／ 2)＝ 8000nm2,a=n–b／ =1.58 2?由 ＝ － ２ b／ =－ 7.4074×10
-5nm–1dnd? 3?
73
第 七 章 光 的 量 子 性１,在深 度远 大于 表面 波波 长的 液体 中,表面 波的 传播 速度 满足 如下 规律,
v= 式中 g为 重 力 加 速 度,为 液 体 密 度,Ｆ 为 表 面 波 的 波 长,试224( )2 Fg计算 表面 波的 群速 度,解：由 任何 脉动 的一 般瑞 利公 式 u=v- =ｖ－ ＝?vdvd? 224( )2g
－ ＝? 224(( )2dgd 3422gFgF２,测 量 二 硫 化 碳 的 折 射 率 实 验 数 据 为,当 ＝ 589nm,=1.629:当 =656nm时,? n? "?=1.620试求 波长 589nm的光 在二 氧化 硫的 相速 度,群速 度和 群折 射率 。n?
解：由 v=得 v1= =1.840× 108m／ scn297924581.629.v2= =1.8506× 108m／ s297924581.620所以 △ v=v
2–v1=1.057× 106／ s由 一 般 瑞 利 公 式 u=v- =1.840× 108-589× 1.507×106／ (656–589)=1.747?v× 10
8m／ sn=c／ v=299792458／ 1.747× 108=1.7163.在测 定光 速的 迈克 尔逊 旋转 棱镜 法中,设 所用 棱镜 为正 n面棱 柱体 。试 导出,根 据棱 镜的转 速,反射 镜距 离等 数据 计算 光速 公式 。 解,设 反 射镜 间距 离为 L转速 V
0则 n面棱 柱每 转过 一个 面,光 往 返一 个来 回。 所 用时 间t=／ V
0=所以 c=2L／ t==2LnV01n 01nV 021LnV4.试用 光的 相速度 v和 来表 示群 速度 u=，再用 v和 表示 群速度 u=dvd? ddk? dnd? ddk?
74
解,(1)由 u==v-ddkv
(2)由 u=v- <1>v=c／ n<2>→ = =－?v dvd?()cdnd?2
23,(1 )cdnnd cdnvdnvdvv v v dnnd nd nd把 〈 3〉 代 入 〈 1〉 得dvu =v -d5.计算 在下 列各 种色 散介 质中 的传 播的 各种 不同 性质 的波 的群 速度,（ 1） v=常量（ 2） v=,(a为常量 )（ 3） v=a／ （在水面上的表面张力波） （ 4） v=a／a
(5) (电离 层的 电磁 波,其中 c是真 空中 的光 速,是介 质中 的波 长 )? 222vcb（ 6） (在充满色散介质的直波导管中的电磁波,式中 c为真空中的光2 22cv ca速,a是与 波导 管有 关的 常量,是介 质的 介电 常数,是介 质的 磁导 率 )() ()
解,(1),所以?ddvvu 0,dvv常量 常量?vu(2),，所 以?ddvvu dadvav 2, 222 vaaau
(3),所 以 2/32,addvav vavu 2322/3(4) =dvuvd ()2ada adv2?
(5) =dvuvd 222 2222 222( )dcb ccb d cbvc2?(6),kvdkdu,)1(1ddvvvddku
75
而 )(),(,222 accv 2/3222 )( ])([ acddvvddv
所以 ])(21[1 ddvcu6.利用 维 恩 公 式 求,辐射 的 最 概 然 频 率 vm,辐射 的 最 大 光 谱 密 度 辐射 出 射 度 M0(T)与()m温度 的关 系,解,由维 恩位 移定 律
TTbbT mmm 1由斯 沁藩 公式4040 TMTTM
7.太阳 光谱 非常 接近 于 的绝 对黑 体的 光谱,试求在 1s内太 阳由 于辐 射而 损失 的480mnm质量,并估 算太 阳的 质量 减少 1%(由于 热辐 射 )所经 历的 时间 (太阳 的质量 m0为 2.0× 1030千克,太阳 的半径 r是 7.0× 108m)解,由维 恩位 移公 式
:m mbTbT由斯 沁藩 公式 =7.35× 10
7瓦34 4 8 4() 92.897810()5.6705110( )48010b bMTm 瓦总 262872 106357.4100.714.341053.74 rTMSTMP bb?由方 程 P
总 t=m0× 1%× c22 180.013.80mct sP总所以在 1s内
kg1015.5109106357.41 916262csPm总损
76
8.地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量平均值为 0.546J.如有有一黑体,它在辐射相 同的 能量 时,温度 应为 多少？ 解,4
() 0.546109160bMsmW?/由斯 沁藩 公式 1 1()4 4 4
() 891) ( ( )200.145.670510bb MMTTT K9.若有 一黑 体的 辐出 度等于 5.70W／ cm2,试求 该辐 射最 大光 谱强 度相 对应 的波 长。解,斯沁 藩公 式
4())bMTT1 14()4 485.7010( ( )1001.2985.6705110bMT K由维 恩位 移公 式
3 62.8978102.89410289.41001.298m mbTb mnmT10.用交流供电的灯丝温度是变动的。一电灯钨丝白炽时的平均温度为 2300K，其中最高和最低 温度 的差 约为 80K。 问 热 辐射 的总 功率 的最 大和 最小 值之 比为 多少？钨 丝的 辐射 可当 作黑体 。
解,斯沁 藩公 式 4())bMTT所以
STMpbSTMpb11STMp
b22 149.2602340442!42412121 TSTSSTMSTppbb?
11.若将 恒星 表面 的辐 射近 似的 看作 是黑 体辐 射,则 可 以用 测量 的办 法来 估计 恒星 表 面max?的温 度。 现测 得太 阳的 为 510nm,北极 星的 为 350nm，试 求它 们的 表面 温度 。max? max?解,由维 恩位 移公 式
m mbTbT
7
K568210510108978.2 93max太阳太阳?bT K4.827910350108978.2 93
max北极星北极星?bT12.小灯 泡所 消耗 的功 率为 1W，均 匀的 向各 个方 向辐 射能 量。 设辐 射的 平均 波长为 500nm，试求在 10km处每 秒钟 落在 垂直 于光 线方 向上 每平 方厘 米面 积上 的光 子数 。解,由
149297924585.9605010cv由题 意列 方程 得 pt=42rnhv?
92 2 34 141 2104 43.141006.26105.960ptnrhv（ ）每平 方厘 米面 积上 的光 子数个9 51210210100n，13.已知 铯的 逸出 功为 1.88eV。现 用 波长为 300nm的紫 外光 照射,试 求 光子 的初 动能 和初 速 。解,由爱 因斯 坦光 电效 应方 程
2 2 34 199 191 1 29724586.210,82.583.61400101.60hvmvWmvhvW eV Jm／ s19 5
31223.6134108.9109.110kEvm14.用波 长为 253nm的光 照射 钨丝 的表 面时,在 光 电管 的电 路中 产生 的光 电流,由 于 外加 1V的遏 止电 压而 截止 。已 知钨 的逸 出功为 4.5eV，试 求接 触电 势差 。解,由
2 21 12 1 22mgaK mveVWhvvW由 爱 因 斯 坦 光 电 效 应 方 程联立 <1>和〈 2〉得
ak gWhvweV所以 接触 电势 差
78
348 9 19,6.626101310 4.512531.610gak e eVeVhvWeVWUe e e=－ 0.593V
15.波长为 320nm的紫 外光 入射 到逸 出功为 2.2eV的金 属表 面上,求 光电 子从 金属 表面 逸出时的 最大 速度 。若 入射 光的 波长 为原 来的 一半,初 涉光 电子 的最 大动 能是 否增 至两 倍？ 解,由爱 因斯 坦光 电效 应方 程
m／ s212hvmvW 52()7.6910hvWv m若入 射光 波长 减半,则 （ 1.628eV）82 ' 34
9 191 31016.62610 2.25.5652 160101.610mvhvW eV所以 最大 动能 不会 增至 两倍 。
16.波长为 0.1nm的 X射线 被碳 块散 射,在散 射角 为 90° 的方 向上 进行 观察 。试 求（ 1）康普顿 位移 △ （ 2）反 冲电 子的 动能?解,△ =-
0=2 12 22sin()2.42630890sin(45)0.241k nm反冲 电子 动能
34 8 17' 9 911 1 1( )6.2610310( )4.67800.100.12410kEhc J17.已知 入射 光子 的波 长为 0.003nm,而 反冲 电子 的速 度为 光速 的 倍 （ =0.6）,试确 定康 普顿 位移 △?
解,由康 普顿 效应 能量 守恒 22 ' 2 '0 00 2 0.251()m hvmchvmchvcv hvc
196.090?所以
79
8' 12' 193104.34106.909910cv△ =?' 12 12(4.313)01.340m１８,在电 子显 微镜 中,电 子 受到 90kV的电 压加 速,如 果 观察 到物 质的 分子 结构 （ 其 大小 为
cm数量 级）,问显 微镜 的孔 径应 为多 大？910?解,由瑞 利判 据 △ y=0.610 sinsin uu0.6101y
由已 知 △ y=10-1m由 德布 罗意 波长 公式 2hhpmv由能 量守 恒
21 32mveU联立 <1>,<2>,<3>得 34
11 194 310.6100.6106.62610sin 0.24970.25y2eUm1021.6109109.110hu m19.（１ ） 一只 100W灯泡,5%的功 率辐 射是 可见 光,假 定可 见光 平均 波长为 500nm,则 每 秒可辐射的可见光子数为多少？（２）假定灯泡为点光源，可以向各个方向发光，求在距离 2m处每 秒垂 直通 过单 位面 积的 光子 数。
解,(1)依题 意列 方程 1911 10257.105.%5 hcpNtchNp(2)由个172222 105.2405.4%5 hcrtpNchNrtp20.人在黑暗中，眼睛的视网膜如能接收到波长为 550nm的最大有效辐射,就1820J能感 知这 一光 源。 求眼 睛这 一观 察阀 值相 当于 多少 个光 子？
解,由 个53.510310626.6 10550102 834918hcWNchNW
80
２１,一电 子束 被加 速电 压为 Ｖ的 电场 加速（ １ ）求 电 子在 被加 速之 后的 德布 罗意 波长 ；（ ２ ）求此 德布 罗意 波的 相速 度和 群速 度；（ ３） 把此 德布 罗意 波射 到一 块单 晶上,入 射放 向与 晶 面成 角,观察 到散 射波 第一 级强 度极 大值,求 晶格 常量 d?
解,(1)由21 222 evmveVmvmmev由
2hhpmev(2)由
2 ()1 2,22 hdeV dv hmmveVv uv v v vvvmd d m所以 2uv?(3)由布 拉格 公式得jd?sin2 meVhmeVhjd 2sin2sin21sin2
２２,在热 核爆 炸的 火球 中,测 得 瞬时 温度 为 K.（１ ） 估 算 辐射 最强 的波 长；（ ２） 这 种710辐射 最强 波长 的能 量是 多少 焦耳？ 解,由维 恩位 移公 式
3 1072.8978102.89780.28910m mbTb nmT由
834 16103.0106.62610 6.86102.8978cWh J
