第二章 拓扑优化
什么是拓扑优化？
拓扑优化是指形状优化，有时也称为外型优化。 拓扑优化的目标是寻找承受单载荷或多载荷的物体的最佳材料分配方案。这种方案在拓扑优化中表现为“最大刚度”设计。
与传统的优化设计不同的是，拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义。目标函数、状态变量和设计变量（参见“优化设计”一章）都是预定义好的。用户只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比。
拓扑优化的目标——目标函数——是在满足结构的约束（V）情况下减少结构的变形能。减小结构的变形能相当于提高结构的刚度。这个技术通过使用设计变量（(i）给每个有限元的单元赋予内部伪密度来实现。这些伪密度用PLNSOL，TOPO命令来绘出。
例如，给定V=60表示在给定载荷并满足最大刚度准则要求的情况下省去60%的材料。图2-1表示满足约束和载荷要求的拓扑优化结果。图2-1a表示载荷和边界条件，图2-2b表示以密度云图形式绘制的拓扑结果。
图2-1 体积减少60%的拓扑优化示例
如何做拓扑优化拓扑优化包括如下主要步骤：
定义拓扑优化问题。
选择单元类型。
指定要优化和不优化的区域。
定义和控制载荷工况。
定义和控制优化过程。
查看结果。
拓扑优化的细节在下面给出。关于批处理方式和图形菜单方式不同的做法也同样提及。
定义拓扑优化问题定义拓扑优化问题同定义其他线性，弹性结构问题做法一样。用户需要定义材料特性（杨氏模量和泊松比），选择合适的单元类型生成有限元模型，施加载荷和边界条件做单载荷步或多载荷步分析。参见“ANSYS Analysis Procedures Guides”第一、二章。
选择单元类型拓扑优化功能可以使用二维平面单元，三维块单元和壳单元。要使用这个功能，模型中只能有下列单元类型：
二维实体单元：SOLID2和SOLID82
三维实体单元：SOLID92和SOLID95
壳单元：SHELL93
二维单元用于平面应力问题。
指定要优化和不优化的区域只有单元类型号为1的单元才能做拓扑优化。可以使用这种限制控制模型优化和不优化的部分。例如，如果要保留接近圆孔部分或支架部分的材料，将这部分单元类型号指定为2或更大即可：
…
ET,1,SOLID92
ET,2,SOLID92
…
TYPE,1
VSEL,S,NUM,,1,,2 ！用这些单元划分的实体将被优化
VMESH,ALL
TYPE,2
VSEL,S,NUM,,3 ！用这些单元划分的实体将保持原状
VMESH,ALL
…
用户可以使用ANSYS的选择和修改命令控制单元划分和类型号定义。
定义和控制载荷工况可以在单个载荷工况和多个载荷工况下做拓扑优化。单载荷工况是最简便的。
要在几个独立的载荷工况中得到优化结果时，必须用到写载荷工况和求解功能。在定义完每个载荷工况后，要用LSWRITE命令将数据写入文件，然后用LSSOLVE命令求解载荷工况的集合。
例如，下面的输入演示如何将三个载荷工况联合做一个拓扑优化分析。
…
D,10,ALL,0,,20,1 ！定义第一个载荷工况的约束和载荷
NSEL,S,LOC,Y,0
SF,
ALLSEL
LSWRITE,1 ！写第一个载荷工况
DDEL,
SFDEL,
NSEL,S,LOC,X,0,1
D,ALL,ALL,0
NSEL,ALL
F,212,FX
LSWRITE,2 ！写第二个载荷工况
…
LSWRITE,3 ！写第三个载荷工况
…
FINISH
/SOLUTION
TOPDEF,10,3 ！定义优化的参数
LSSOLVE,1,3,1 ！在拓扑优化前做所有三个载荷工况求解
…
定义和控制优化过程拓扑优化过程包括两部分：定义优化参数和进行拓扑优化。用户可以用两种方式运行拓扑优化：控制并执行每一次迭代，或自动进行多次迭代。
ANSYS有三个命令定义和执行拓扑优化：TOPDEF，TOPEXE和TOPITER。TOPDEF命令定义要省去材料的量，要处理载荷工况的数目，收敛的公差。TOPEXE命令执行一次优化迭代。TOPITER命令执行多次优化迭代。
定义优化参数首先要定义优化参数。用户要定义要省去材料的百分比，要处理载荷工况的数目，收敛的公差。
命令：TOPDEF
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
注——本步所定义的内容并不存入ANSYS数据库中，因此在下一个拓扑优化中要重新使用TOPDEF命令。
执行单次迭代定义好优化参数以后，可以执行一次迭代。迭代后用户可以查看收敛情况并绘出或列出当前的拓扑优化结果。可以继续做迭代直到满足要求为止。如果是在GUI方式下执行，在Topological Optimization 对话框（ITER域）中选择一次迭代。
命令：TOPEXE
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
下面的例子说明了如何在拓扑优化中每次执行一次迭代：
…
/SOLUTION
TOPDEF,25,1 ！移去25%体积并处理一个载荷工况
SOLVE ！执行第一次应力分析
TOPEXE ！执行第一次拓扑优化迭代
FINISH
/POST1 ！进入后处理器
PLNSOL,TOP0 ！画出优化结果
*GET,TIPSRAT,TOPO,,CONV ！读取拓扑收敛状态
*STATUS,TOPSTAT ！列表
/SOLUTION
SOLVE ！执行第二次应力分析
TOPEXE ！执行第二次拓扑优化迭代
FINISH
/POST1
…
TOPEXE的主要优点是用户可以设计自己的迭代宏进行自动优化循环和绘图。在下一节，可以看到TOPITER命令是一个ANSYS的宏，用来执行多次优化迭代。
自动执行多次迭代在定义好优化参数以后，用户可以自动执行多次迭代。在迭代完成以后，可以查看收敛情况并绘出或列出当前拓扑形状。如果需要的话，可以继续执行求解和迭代。TOPITER命令实际是一个ANSYS的宏，可以拷贝和定制（见APDL Programmer’s Guide）。
命令：TOPITER
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
下面的例子说明了如何使用TOPITER宏执行多次迭代：
… ！定义并写第一个载荷工况
LSWRITE
… ！定义并写第二个载荷工况
LSWRITE
… ！定义并写第三个载荷工况
LSWRITE
…
TOPDEF,80,3,.001 ！80%体积减少，3个载荷工况
… 0.001为收敛公差
/DSCALE,,OFF ！关闭形状改变
/CONTOUR,,3 ！每次显示3个轮廓数值
TOPITER,20,1 ！最大20次迭代。每次迭代求解并绘出
… 结果每次迭代执行一次LSSOLVE命令，一次TOPEXE命令和一次PLNSOL，TOPO显示命令。当收敛公差达到（用TOPDEF定义）或最大迭代次数（用TOPITER定义）达到时优化迭代过程终止。
查看结果。
拓扑优化结束后，ANSYS结果文件（Jobname.RST）将存储优化结果供通用后处理器使用。用户可以使用后面提到的后处理命令。要得到更详细的信息，请查阅ANSYS Commands Reference或ANSYS Basic Analysis Procedures Guide第五章。
要列出结点解和/或绘出伪密度，使用PRNSOL和PLNSOL命令的TOPO变量。
要列出单元解和/或绘出伪密度，使用PLESOL和PRESOL命令的TOPO变量。
可以使用ANSYS表格功能查看结果：
ETABLE,EDENS,TOPO
PLETAB,EDENS
PRETAB,EDENS
ESEL,S,ETAB,EDENS,0.9,1.0
EPLOT
要查看最近（最后一次迭代）的收敛情况和结构变形能，使用*GET命令：
*GET,TOPCV,TOP0,,CONV ！如果TOPCV=1（收敛）
*GET,ECOMP,TP0,,COMP ！ECOMP=变形能
*STAT
二维多载荷优化设计示例在本例中，对承受两个载荷工况的梁进行拓扑优化。
问题描述图2-2表示一个承载的弹性梁。梁两端固定，承受两个载荷工况。梁的一个面是用一号单元划分的，用于拓扑优化，另一个面是用二号单元划分的，不作优化。最后的形状是单元1的体积减少50%。
图2-2 承受两个载荷工况的梁
本问题是用下列的ANSYS命令流求解的。两个载荷工况定义并用LSWRITE命令写入文件。使用ANSYS选择功能，单元SOLID82通过类型号1和2分别指定优化和不优化的部分。TOPDEF命令定义问题有两个载荷工况并要求50%体积减少。TOPEXE命令在本例中没有使用，代之以用TOPITER宏命令指定最大迭代次数为12次。
/TITLE,A 2-d,multiple-load example of topological optimization
/PREP7
BLC4,0,0,3,1 ！生成实体模型（3X1矩形）
ET,1,82 ！二维实体单元，1号为优化
ET,2,82 ！2号不优化
MP,EX,1,118E9 ！线性各项同性材料
MP,NUXY,1,0.3
ESIZE,0.05 ！较细的网格密度
TYPE,1
AMESH,ALL ！自由矩形网格划分
NSEL,S,LOC,X,0,0.4 ！选择不优化的部分
ESLN
TYPE,2
EMODI,ALL ！定义2号单元
ALLSEL
NSEL,S,LOC,X,0
D,ALL,ALL,0 ！在X=0处固定
NSEL,S,LOC,X,3
D,ALL,ALL,0 ！在X=3处固定
FORCE=1000 ！载荷数值
NSEL,S,LOC,X,1
NSEL,R,LOC,Y,1
F,ALL,FY,FORCE ！定义第一个载荷工况
ALLSEL
LSWRITE,1 ！写第一个载荷工况
FDEL,ALL
NSEL,S,LOC,X,2
NSEL,R,LOC,Y,0
F,ALL,FY,-FORCE ！定义第二个载荷工况
ALLSEL
LSWRITE,2 ！写第二个载荷工况
FDEL,ALL
TOPDEF,50,2 ！定义拓扑优化有两个载荷工况
/SHOW,topo,grph ！将图形输出到文件（在交互方式下删
除本命令
/DSCALE,,OFF
/CONTOUR,,2
TOPITER,12,1 ！执行不多于12次迭代
FINISH
求解结果图2-3表示上例的计算结果。这些结果存入top.grph文件便于后续的显示处理。如果是交互地运行ANSYS程序，将/SHOW命令删除以观看每次迭代的结果。
图2-3 拓扑优化结果——50%体积减少
一些说明结果对载荷情况十分敏感。很小的载荷变化将导致很大的优化结果差异。
结果对网格划分密度敏感。一般来说，很细的网格可以产生“清晰”的拓扑结果，而较粗的网格会生成“混乱”的结果。但是，较大的有限元模型需要更多的收敛时间。
在一些情况下会得到珩架形状的拓扑结果。这通常在用户指定很大的体积减少值和较细的网格划分时出现。很大的体积减少值如80%或更大（TOPDEF命令）。
如果有多个载荷工况时，有多种方式将其联合进行拓扑优化求解。例如，考虑有五个载荷工况的情况。可以选择使用五个单独的拓扑优化分析过程，也可以使用包括这五个工况的一次拓扑优化分析。还有，也可以将这五个工况合成为一个工况，然后做一次优化。综合起来，可以有七个不同的拓扑优化求解：
5 独立的拓扑优化求解（每个工况一次）
1 拓扑优化求解针对五个工况
1 拓扑优化求解针对一个联合工况附加的结果或结果的组合都是可用的。
结果对泊松比敏感但对杨氏模量不敏感。但是，随泊松比变化的效果不明显。
TOPDEF和TOPITER命令中的指定值并不存储在ANSYS数据库中；因此，用户必须在每次拓扑优化时重新指定优化目标和定义。
什么是拓扑优化？
拓扑优化是指形状优化，有时也称为外型优化。 拓扑优化的目标是寻找承受单载荷或多载荷的物体的最佳材料分配方案。这种方案在拓扑优化中表现为“最大刚度”设计。
与传统的优化设计不同的是，拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义。目标函数、状态变量和设计变量（参见“优化设计”一章）都是预定义好的。用户只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比。
拓扑优化的目标——目标函数——是在满足结构的约束（V）情况下减少结构的变形能。减小结构的变形能相当于提高结构的刚度。这个技术通过使用设计变量（(i）给每个有限元的单元赋予内部伪密度来实现。这些伪密度用PLNSOL，TOPO命令来绘出。
例如，给定V=60表示在给定载荷并满足最大刚度准则要求的情况下省去60%的材料。图2-1表示满足约束和载荷要求的拓扑优化结果。图2-1a表示载荷和边界条件，图2-2b表示以密度云图形式绘制的拓扑结果。
图2-1 体积减少60%的拓扑优化示例
如何做拓扑优化拓扑优化包括如下主要步骤：
定义拓扑优化问题。
选择单元类型。
指定要优化和不优化的区域。
定义和控制载荷工况。
定义和控制优化过程。
查看结果。
拓扑优化的细节在下面给出。关于批处理方式和图形菜单方式不同的做法也同样提及。
定义拓扑优化问题定义拓扑优化问题同定义其他线性，弹性结构问题做法一样。用户需要定义材料特性（杨氏模量和泊松比），选择合适的单元类型生成有限元模型，施加载荷和边界条件做单载荷步或多载荷步分析。参见“ANSYS Analysis Procedures Guides”第一、二章。
选择单元类型拓扑优化功能可以使用二维平面单元，三维块单元和壳单元。要使用这个功能，模型中只能有下列单元类型：
二维实体单元：SOLID2和SOLID82
三维实体单元：SOLID92和SOLID95
壳单元：SHELL93
二维单元用于平面应力问题。
指定要优化和不优化的区域只有单元类型号为1的单元才能做拓扑优化。可以使用这种限制控制模型优化和不优化的部分。例如，如果要保留接近圆孔部分或支架部分的材料，将这部分单元类型号指定为2或更大即可：
…
ET,1,SOLID92
ET,2,SOLID92
…
TYPE,1
VSEL,S,NUM,,1,,2 ！用这些单元划分的实体将被优化
VMESH,ALL
TYPE,2
VSEL,S,NUM,,3 ！用这些单元划分的实体将保持原状
VMESH,ALL
…
用户可以使用ANSYS的选择和修改命令控制单元划分和类型号定义。
定义和控制载荷工况可以在单个载荷工况和多个载荷工况下做拓扑优化。单载荷工况是最简便的。
要在几个独立的载荷工况中得到优化结果时，必须用到写载荷工况和求解功能。在定义完每个载荷工况后，要用LSWRITE命令将数据写入文件，然后用LSSOLVE命令求解载荷工况的集合。
例如，下面的输入演示如何将三个载荷工况联合做一个拓扑优化分析。
…
D,10,ALL,0,,20,1 ！定义第一个载荷工况的约束和载荷
NSEL,S,LOC,Y,0
SF,
ALLSEL
LSWRITE,1 ！写第一个载荷工况
DDEL,
SFDEL,
NSEL,S,LOC,X,0,1
D,ALL,ALL,0
NSEL,ALL
F,212,FX
LSWRITE,2 ！写第二个载荷工况
…
LSWRITE,3 ！写第三个载荷工况
…
FINISH
/SOLUTION
TOPDEF,10,3 ！定义优化的参数
LSSOLVE,1,3,1 ！在拓扑优化前做所有三个载荷工况求解
…
定义和控制优化过程拓扑优化过程包括两部分：定义优化参数和进行拓扑优化。用户可以用两种方式运行拓扑优化：控制并执行每一次迭代，或自动进行多次迭代。
ANSYS有三个命令定义和执行拓扑优化：TOPDEF，TOPEXE和TOPITER。TOPDEF命令定义要省去材料的量，要处理载荷工况的数目，收敛的公差。TOPEXE命令执行一次优化迭代。TOPITER命令执行多次优化迭代。
定义优化参数首先要定义优化参数。用户要定义要省去材料的百分比，要处理载荷工况的数目，收敛的公差。
命令：TOPDEF
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
注——本步所定义的内容并不存入ANSYS数据库中，因此在下一个拓扑优化中要重新使用TOPDEF命令。
执行单次迭代定义好优化参数以后，可以执行一次迭代。迭代后用户可以查看收敛情况并绘出或列出当前的拓扑优化结果。可以继续做迭代直到满足要求为止。如果是在GUI方式下执行，在Topological Optimization 对话框（ITER域）中选择一次迭代。
命令：TOPEXE
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
下面的例子说明了如何在拓扑优化中每次执行一次迭代：
…
/SOLUTION
TOPDEF,25,1 ！移去25%体积并处理一个载荷工况
SOLVE ！执行第一次应力分析
TOPEXE ！执行第一次拓扑优化迭代
FINISH
/POST1 ！进入后处理器
PLNSOL,TOP0 ！画出优化结果
*GET,TIPSRAT,TOPO,,CONV ！读取拓扑收敛状态
*STATUS,TOPSTAT ！列表
/SOLUTION
SOLVE ！执行第二次应力分析
TOPEXE ！执行第二次拓扑优化迭代
FINISH
/POST1
…
TOPEXE的主要优点是用户可以设计自己的迭代宏进行自动优化循环和绘图。在下一节，可以看到TOPITER命令是一个ANSYS的宏，用来执行多次优化迭代。
自动执行多次迭代在定义好优化参数以后，用户可以自动执行多次迭代。在迭代完成以后，可以查看收敛情况并绘出或列出当前拓扑形状。如果需要的话，可以继续执行求解和迭代。TOPITER命令实际是一个ANSYS的宏，可以拷贝和定制（见APDL Programmer’s Guide）。
命令：TOPITER
GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Topological opt
下面的例子说明了如何使用TOPITER宏执行多次迭代：
… ！定义并写第一个载荷工况
LSWRITE
… ！定义并写第二个载荷工况
LSWRITE
… ！定义并写第三个载荷工况
LSWRITE
…
TOPDEF,80,3,.001 ！80%体积减少，3个载荷工况
… 0.001为收敛公差
/DSCALE,,OFF ！关闭形状改变
/CONTOUR,,3 ！每次显示3个轮廓数值
TOPITER,20,1 ！最大20次迭代。每次迭代求解并绘出
… 结果每次迭代执行一次LSSOLVE命令，一次TOPEXE命令和一次PLNSOL，TOPO显示命令。当收敛公差达到（用TOPDEF定义）或最大迭代次数（用TOPITER定义）达到时优化迭代过程终止。
查看结果。
拓扑优化结束后，ANSYS结果文件（Jobname.RST）将存储优化结果供通用后处理器使用。用户可以使用后面提到的后处理命令。要得到更详细的信息，请查阅ANSYS Commands Reference或ANSYS Basic Analysis Procedures Guide第五章。
要列出结点解和/或绘出伪密度，使用PRNSOL和PLNSOL命令的TOPO变量。
要列出单元解和/或绘出伪密度，使用PLESOL和PRESOL命令的TOPO变量。
可以使用ANSYS表格功能查看结果：
ETABLE,EDENS,TOPO
PLETAB,EDENS
PRETAB,EDENS
ESEL,S,ETAB,EDENS,0.9,1.0
EPLOT
要查看最近（最后一次迭代）的收敛情况和结构变形能，使用*GET命令：
*GET,TOPCV,TOP0,,CONV ！如果TOPCV=1（收敛）
*GET,ECOMP,TP0,,COMP ！ECOMP=变形能
*STAT
二维多载荷优化设计示例在本例中，对承受两个载荷工况的梁进行拓扑优化。
问题描述图2-2表示一个承载的弹性梁。梁两端固定，承受两个载荷工况。梁的一个面是用一号单元划分的，用于拓扑优化，另一个面是用二号单元划分的，不作优化。最后的形状是单元1的体积减少50%。
图2-2 承受两个载荷工况的梁
本问题是用下列的ANSYS命令流求解的。两个载荷工况定义并用LSWRITE命令写入文件。使用ANSYS选择功能，单元SOLID82通过类型号1和2分别指定优化和不优化的部分。TOPDEF命令定义问题有两个载荷工况并要求50%体积减少。TOPEXE命令在本例中没有使用，代之以用TOPITER宏命令指定最大迭代次数为12次。
/TITLE,A 2-d,multiple-load example of topological optimization
/PREP7
BLC4,0,0,3,1 ！生成实体模型（3X1矩形）
ET,1,82 ！二维实体单元，1号为优化
ET,2,82 ！2号不优化
MP,EX,1,118E9 ！线性各项同性材料
MP,NUXY,1,0.3
ESIZE,0.05 ！较细的网格密度
TYPE,1
AMESH,ALL ！自由矩形网格划分
NSEL,S,LOC,X,0,0.4 ！选择不优化的部分
ESLN
TYPE,2
EMODI,ALL ！定义2号单元
ALLSEL
NSEL,S,LOC,X,0
D,ALL,ALL,0 ！在X=0处固定
NSEL,S,LOC,X,3
D,ALL,ALL,0 ！在X=3处固定
FORCE=1000 ！载荷数值
NSEL,S,LOC,X,1
NSEL,R,LOC,Y,1
F,ALL,FY,FORCE ！定义第一个载荷工况
ALLSEL
LSWRITE,1 ！写第一个载荷工况
FDEL,ALL
NSEL,S,LOC,X,2
NSEL,R,LOC,Y,0
F,ALL,FY,-FORCE ！定义第二个载荷工况
ALLSEL
LSWRITE,2 ！写第二个载荷工况
FDEL,ALL
TOPDEF,50,2 ！定义拓扑优化有两个载荷工况
/SHOW,topo,grph ！将图形输出到文件（在交互方式下删
除本命令
/DSCALE,,OFF
/CONTOUR,,2
TOPITER,12,1 ！执行不多于12次迭代
FINISH
求解结果图2-3表示上例的计算结果。这些结果存入top.grph文件便于后续的显示处理。如果是交互地运行ANSYS程序，将/SHOW命令删除以观看每次迭代的结果。
图2-3 拓扑优化结果——50%体积减少
一些说明结果对载荷情况十分敏感。很小的载荷变化将导致很大的优化结果差异。
结果对网格划分密度敏感。一般来说，很细的网格可以产生“清晰”的拓扑结果，而较粗的网格会生成“混乱”的结果。但是，较大的有限元模型需要更多的收敛时间。
在一些情况下会得到珩架形状的拓扑结果。这通常在用户指定很大的体积减少值和较细的网格划分时出现。很大的体积减少值如80%或更大（TOPDEF命令）。
如果有多个载荷工况时，有多种方式将其联合进行拓扑优化求解。例如，考虑有五个载荷工况的情况。可以选择使用五个单独的拓扑优化分析过程，也可以使用包括这五个工况的一次拓扑优化分析。还有，也可以将这五个工况合成为一个工况，然后做一次优化。综合起来，可以有七个不同的拓扑优化求解：
5 独立的拓扑优化求解（每个工况一次）
1 拓扑优化求解针对五个工况
1 拓扑优化求解针对一个联合工况附加的结果或结果的组合都是可用的。
结果对泊松比敏感但对杨氏模量不敏感。但是，随泊松比变化的效果不明显。
TOPDEF和TOPITER命令中的指定值并不存储在ANSYS数据库中；因此，用户必须在每次拓扑优化时重新指定优化目标和定义。
