大学物理实验 1
大学物理实验 2
大学物理实验课的作用大学物理实验课是高等工科院校的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。物理实验课和物理理论课具有同等重要的地位。
大学物理实验 3
大学物理实验课的任务通过大学物理实验课的学习，学生应在习惯、知识、能力三方面达到如下要求。
（一）培养良好的科学实验素养。
（二）掌握物理实验理论基础知识,
加深对物理学原理的理解。
（三）具有相应的实验能力。
大学物理实验 4
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。
(2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。
(2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、
注意事项的基础上，方可进行实验。
大学物理实验 5
(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进行实验操作。
(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据，
将数据填入实验记录表格,数据须经指导老师检查及签字。
(5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。
经教师允许后方可离开实验室。
(6)课后按要求完成实验报告,并在下次实验时交来。
大学物理实验 6
3,实验报告一。实验目的二 实验原理三 使用仪器及器材第 0页 第 1页
………………………
…………
……………
……………
……………
……………
信息工程学院物 理 实 验 报 告实验名称：
实验组号：
大学物理实验 7
第 2页 第 3页五 误差分析
………………………………………………
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……………………………
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……………………………
……………………………
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四 数据表格及数据处理 六 思考题及心得体会预 习 报 告一 原始数据表格大学物理实验 8
第 4页四 使用仪器及器材（型号规格、精度等级等）
二 实验目的三 简要原理（计算公式、电路图、光路图）
五 注意事项大学物理实验 9
教学安排本学期教学计划 20学时，其中讲课 4学时，基础实验
8学时，基本实验 12学时，设计性实验（操作） 4学时。具体安排如下。
讲课内容－绪论，实验误差及数据处理实验 Ⅱ,转动惯量的测量实验 Ⅰ,杨氏模量的测定 。
实验 Ⅲ,示波器的使用实验 Ⅳ,霍尔效应及其应用实验分组介绍大学物理实验 10
第一章 实验误差和数据处理的基本知识
§ 1 测量与误差
§ 2 误差处理
§ 3 有效数字的记录与运算
§ 4 测量结果的不确定度评定大学物理实验 11
物理实验是对物理现象、运动规律的定量的认识,当然离不开测量,但决不仅仅是测量,还需从一定的理论出发，对测量数据加以分析,归纳出有关结论。
§ 1 测量与误差一,测量及其分类大学物理实验 12
它包含着：理论? 实验方法?
仪器选择? 测量? 数据处理? 结果分析等环节，可见物理实验包括测量
，但物理实验决不是单纯的测量。
测量 是用仪器通过一定的方法，进行实验比较，以某一计量单位，把待测量定量地表示出来。
大学物理实验 13
测量的分类直接测量和间接测量可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量称为 直接测量,相应的物理量称为直接测量量。例如用米尺测长度，用天平称质量，
用电表测电流和电压等都是直接测量。
在实际测量中，许多物理量没有直接测量的仪器，往往需要根据某些原理得出函数关系式，由直接测量量通过数学运算才能获得测量结果。这种测量称为 间接测量,相应的物理量称为间接测量量。
大学物理实验 14
二,误差与偏差
1、真值与误差测量值 x,通过直接测量或间接测量得到的物理量的值。
测量误差（绝对误差）：
真值 x0,一个物理量客观存在的量值，
与测量所用的理论方法及仪器无关。
0xx
大学物理实验 15
2、最佳值与偏差是评价测量值准确与否的客观标准。
最佳值,多次测量的算术平均值
n
i
ixnx
1
1
偏差：
相对误差：
%100
x
E?
xx ii
大学物理实验 16
三、误差的分类系统误差随机误差过失误差?
大学物理实验 17
天平不等臂所造成的系统误差仪器误差
1,系统误差大学物理实验 18
A O
B
B
A?a
b
b
不偏心时，由于
，所以可用弧长反映角度的大小。
a a b b
由于偏心，使之用弧长反映角度 时产生的系统误差。如：
这是由偏心造成的。
A A B B
a
大学物理实验 19
B nI
0
螺线管为无限长，管壁磁漏可忽略。
如：
由于理论推导中的近似,产生的系统误差理论大学物理实验 20
公式 （忽略了空气阻力等）h gt? 12 2
意大利科学家伽利略在比萨斜塔上做的铁球落地实验
。两个不同重量的铁球从高处落下，同时着地。说明理论在一般情况下都能较准确地反映物体真实的运动规律大学物理实验 21
人为心理作用，读数（估计）偏大或偏小。
生理因素 听觉嗅觉色觉视觉对音域（ 20HZ--20KHZ）
的辨别。
对音色的辨别。
大学物理实验 22
环境市电的干扰输入光点检流计接近时，静电干扰，使光斑移动等
。
大学物理实验 23
方法内接
A
V
VR VA
A
V
IR
IV用 V作为 VR的近似值时，求
R
V
I
V V
I
V
I
V
I
V
I
R A
R A R
外接
R
V
I
V
I I
V
IR V R
大学物理实验 24
系统误差 特点是增加测量次数误差不能减少，只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。
表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点。
大学物理实验 25
测量过程中另一类不可避免的误差,
来自于大量的微小的干扰的合成。其影响程度表现为随机特性，增加测量次数可减小其影响。
2,随机误差误差 = 随机误差 + 系统误差
3.过失误差明显地歪曲了测量结果的误差。
大学物理实验 26
§ 2 误差处理
1 单次测量结果的误差估计一般说，可取仪器误差 (仪器的最大允差或示值误差 )作为单次测量的最大误差
(极限误差 )。对一般分度仪表，当没有给出仪器误差时，可用分度值 (或分度值的一半 )作为单次测量的最大误差。
2
仪器最小刻度测仪测
xx
xx
大学物理实验 27
多次测量的 算术平均值
n
i
ixnx
1
1
偏差,xx
ii
2、多次测量结果表示平均绝对误差
n
i
i xxnx
1
1
大学物理实验 28
2
1
)( )(
1
lim oi
n
in
x xx
n
标准误差（标准差 )：
常用 标准 偏差 来代替误差计算标准误差。
可以证明当测量次数有限时，上式变为
2
1
)(
1
1 xx
n i
n
i
x
※ 测量次数 n为有限次时用其计算直接测量量的实验标准差。
大学物理实验 29
相对误差 E
%100?
x
x
E
%1 0 0
理论值理论值测量最佳值A=
最佳值误差相对误差＝
如果待测量有理论指和公认值,
则用 百分误差 来表示,0
x
%100
0
0
x
xxA即大学物理实验 30
设待测的间接测量值为 N，与之有关的各独立的直接测量值为 x,y,z,… 他们之间的函数关系为
N=f(x,y,z,…) (1)
(1)间接测量结果的最大误差公式将上式中的微分符号改为误差符号 (增量符号 )，考虑到最不利的情况，应把上式右端各项取绝对值相加，即得间接测量结果的最大误差传递公式
dzzfdyyfdxxfdN
|||||| z
z
fy
y
fx
x
fN
3.间接测量结果的偶然误差估计及误差传递与合成大学物理实验 31
(2)间接测量结果的标准误差公式如果组成间接测量量的各个分量是互相独立的，且这些分量的测量结果的误差是用标准误差表示的，可以证明，它们的合成是方和根合成,N的标准误差由下式计算
222222 )()()(
zyxN z
f
x
f
x
f
222222 )()()()()()(
Nz
f
Nx
f
Nx
f
N
zyxN
大学物理实验 32
§ 3.有效数字的记录与计算数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。
有效数字 =准确数字 +欠准数位一、有效数字的一般概念大学物理实验 33
有效数字来源于测量时所用的仪器。我们的任务是使测量值尽可能准确地反映出它的真实值。
有两个特征：
（ 2）在最小刻度之间可 估计一位 。
欠准位准确位
（ 1）以刻度为依据可读到 最小刻度 所在位。
大学物理实验 34
35 36 (cm)
[1]位置为 35.00cm,
不能写成 35cm。
[1]
[2]位置为 35.40cm
[2] [3]
[3]位置介于 35.7--
35.8之间,最接近真实位置的值,既不是
35.7,也不是 35.8,
而是 35.7 -- 35.8
之间的某值,可以估计为 35.75,35.76
35.77，不妨取 35.76
cm。
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。
大学物理实验 35
有效数字的特点
（ 1）位数与小数点的位置无关。
35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km
（ 2） 0 的地位
0.0003576 3.005 3.000 都是四位3 576 10 3 576 10
6 627 10
1 2
34
.,
.
h j s
（ 3）科学计数法大学物理实验 36
二、有效数字的读取进行直接测量时，由于仪器多种多样，
正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。 例如,1/2,1/5,1/4,1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。 例如，仪器的最小分度值为 0.5，则
0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。
大学物理实验 37
3、游标类量具，读到卡尺分度值。 多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。
5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定 。例如在,灵敏电流计研究,
中，测临界电阻时，调节电阻箱,,,
仪器才刚有反应，尽管最小步进为 0.1
电阻值只记录到,,。
10
10
4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。
大学物理实验 38
三,有效数字的运算规则准 准 准欠 欠 欠
[1]加减：与位数最高者对齐。
[2]乘除：一般可与位数最少者相同。
[3]幂运算、对数（指数）、三角函数 (反三角）不改变有效数字位数。
大学物理实验 39
加、减法
21 3 0 0 332 7 20 9 7
21 3 0
0 332 7
20 9 6 7 3
约简
21 3 0
0 33 3
20 9 6 7
可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。
大学物理实验 40
乘、除法在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，
特殊情况比最少者多（少）一位。
5 2 3 2 1 16 7
多一位的情况
1 0 1 1 2 1 0 8 3
1 2 1 1 0 1 0
0 83
968
420
363
56
全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。 比位数最少者少一位的情况。
5 2
3 2 1
6
160 5?
16 6 9 2
4 2
大学物理实验 41
初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130?
问题是在 位上有波动，比如为,
对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。
根据微分在近似计算中的应用，可知：
11
y
dy
dx
x x x
c o s
c o s 52 1 3
1
60 180
0 0002
0?
知 s in?52 1 3 0 790 30 第四位为欠准数位。
大学物理实验 42
1,误差的有效数字一般情况下误差的有效数字取一位，精密测量情况下，误差的有效数字可取二位。
2,测量结果的有效数字测量结果最佳值的有效数字的末位与误差首位取齐。
3,舍入规则,四舍六入五凑偶四、舍入法则大学物理实验 43
一,测量不确定度的基本概念一个测量过程存在诸多环节,用框图表示为,
人 仪器 环境理论方法
[1] 人为误差
[2] 理论误差
[3] 方法误差
[4] 仪器误差
[5] 环境误差每个环节都或多或少地影响着测量的准确度。
§ 4 测量结果的不确定度评定大学物理实验 44
1、不确定度的定义
uNN 0
（置信概率为 P)
测值 N与真值 N0之差的绝对值以一定的概率分布在 之间，即uu ~?
u,不确定度，表征真值以某种置信概率存在的范围，是测量结果含有误差情况的参考。
大学物理实验 45
2、不确定度的分量
A类分量,多次重复测量，用统计方法求出的分量。 Au
)( xsu A?对于直接测量量：
B类分量,用其它非统计方法估算的分量。 Bu
主要因素为仪器误差：
c
u mB
3
m
Bu
＝仪?
实验中通常取：
大学物理实验 46
注意
1.根据有效数字运算规则,确定计算结果的位数。
2.不确定度最后结果取 1位,且与结论中有效数字最后一位对齐。
相对不确定度可以取两位。
大学物理实验 47
间接测量量数据处理举例
HD
M
2
4
)(010218
)(00503452
)(0020124236
cmH
cmD
gM
HD
M
2
4
2183 4 521 4 1 63
1 2 42 3 64
2
测得某园柱体质量 M，直径 D，高度 H值如下，计算其密度及相对误差和绝对误差。
大学物理实验 48
)/(666
2183 4 521 4 23
12 3 64
3
2
cmg
222
22
2
2
)
218
010
()
3 4 52
010
2()
1 2 42 3 6
0 0 20
(
)()(
2
)()(
H
H
D
D
M
M
E
大学物理实验 49
%5.0%4 5 0.0%1 0 0)(
E
)/(03.066.6
)/(03.066.610
3.2
1
)(:
3
32
cmg
cmg
得
222
222225
10
3.2
1
)10
3.2
1
(
)10
2.8
1
()10
3.2
1
()10
4.2
2
(
大学物理实验 50
研究在一定范围内的物理过程或运动规律时所进行的测量，称之为组合测量。经确定的处理方法，可得 y=f(x) 的具体形式。
第二章数据处理
§ 1数据处理的基本方法大学物理实验 51
一,列表法简单明了，要求数据清晰不能涂改，单位规范，并加必要说明。
X(物理量 )(单位 ) X1 X2 Xn
Y(物理量 )(单位 ) Y1 Y2 Yn
大学物理实验 52
二 作图法注意,[1]根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值
，并以有效数字的形式标出。
[2]将实验点的位置用符号 X或等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线的名称。
大学物理实验 53
[3]线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相距较远的两新点 A.B标明位置及坐标 A(X1 Y1),B(X2 Y2) 由此求得斜率。 k
y y
x x
2 1
2 1
作图法特点,简单明了。
缺点,有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。
非线性关系数据可进行曲线改直后再处理大学物理实验 54
三,逐差法当 X等间隔变化，且 X的误差可以不计的条件下，
将其分成两组,进行逐差可求得：
对于 X,X1 Xn X2n
Y,Y1 Yn Y2n?
Y Y Yn n n2
Y Y Yn1 1 1
iyny 1
大学物理实验 55
四,最小二乘法是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。
满足线性关系 Y=a+bX
Y Y Y n1
X X X n1若最简单的情况,
的测量误差不考虑为等精度测量
i
ii
x
yx,
大学物理实验 56
由于每次测量均有误差，使
0)(
0)(
111
nnn
ebXaY
ebXaY
在所有误差平方和为最小的条件下，得到的方程
Y=a+bX 的方法叫最小二乘法。
m in2ie
大学物理实验 57
使之满足 的条件，m in2ie
0
0
2
2
b
e
a
e
i
i
得出应由
xyxa
ybxa
2
大学物理实验 58
解联立方程得：
22
)( xx
xyyx
b
xbya
大学物理实验 59
实验标准差
)(
])([
)(
22
2
yS
xxn
x
aS
截距
)(
])([
1
)(
22
yS
xxn
bS
斜率
2
1
2
1
)(
)2(
1
2
1
)(
ii
n
i
i
n
i
bxay
n
v
n
yS
测量值大学物理实验 60
])(][)([
2222
yyxx
yxxy
称为线性相关系数，作为 Y与 X线性相关程度的评价。
相关系数
1
X,y完全线性相关
0
X,y不相关大学物理实验 61
本课程预期达到以下要求
1.在误差基本知识的基础上,学会如何得到真值的最佳估计值,如何估算在随机干扰下所产生误差的大小。
2.通过分析实验过程各个环节上不确定度因素的存在,对总的不确定度作近似计算。
大学物理实验 62
3.掌握不同情况下数据处理的方法及特点。
4.正确建立有效数字的概念。
5.掌握有效数字的运算规律。
大学物理实验 63
大学物理实验 2
大学物理实验课的作用大学物理实验课是高等工科院校的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。物理实验课和物理理论课具有同等重要的地位。
大学物理实验 3
大学物理实验课的任务通过大学物理实验课的学习，学生应在习惯、知识、能力三方面达到如下要求。
（一）培养良好的科学实验素养。
（二）掌握物理实验理论基础知识,
加深对物理学原理的理解。
（三）具有相应的实验能力。
大学物理实验 4
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。
(2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。
(2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、
注意事项的基础上，方可进行实验。
大学物理实验 5
(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进行实验操作。
(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据，
将数据填入实验记录表格,数据须经指导老师检查及签字。
(5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。
经教师允许后方可离开实验室。
(6)课后按要求完成实验报告,并在下次实验时交来。
大学物理实验 6
3,实验报告一。实验目的二 实验原理三 使用仪器及器材第 0页 第 1页
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信息工程学院物 理 实 验 报 告实验名称：
实验组号：
大学物理实验 7
第 2页 第 3页五 误差分析
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四 数据表格及数据处理 六 思考题及心得体会预 习 报 告一 原始数据表格大学物理实验 8
第 4页四 使用仪器及器材（型号规格、精度等级等）
二 实验目的三 简要原理（计算公式、电路图、光路图）
五 注意事项大学物理实验 9
教学安排本学期教学计划 20学时，其中讲课 4学时，基础实验
8学时，基本实验 12学时，设计性实验（操作） 4学时。具体安排如下。
讲课内容－绪论，实验误差及数据处理实验 Ⅱ,转动惯量的测量实验 Ⅰ,杨氏模量的测定 。
实验 Ⅲ,示波器的使用实验 Ⅳ,霍尔效应及其应用实验分组介绍大学物理实验 10
第一章 实验误差和数据处理的基本知识
§ 1 测量与误差
§ 2 误差处理
§ 3 有效数字的记录与运算
§ 4 测量结果的不确定度评定大学物理实验 11
物理实验是对物理现象、运动规律的定量的认识,当然离不开测量,但决不仅仅是测量,还需从一定的理论出发，对测量数据加以分析,归纳出有关结论。
§ 1 测量与误差一,测量及其分类大学物理实验 12
它包含着：理论? 实验方法?
仪器选择? 测量? 数据处理? 结果分析等环节，可见物理实验包括测量
，但物理实验决不是单纯的测量。
测量 是用仪器通过一定的方法，进行实验比较，以某一计量单位，把待测量定量地表示出来。
大学物理实验 13
测量的分类直接测量和间接测量可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量称为 直接测量,相应的物理量称为直接测量量。例如用米尺测长度，用天平称质量，
用电表测电流和电压等都是直接测量。
在实际测量中，许多物理量没有直接测量的仪器，往往需要根据某些原理得出函数关系式，由直接测量量通过数学运算才能获得测量结果。这种测量称为 间接测量,相应的物理量称为间接测量量。
大学物理实验 14
二,误差与偏差
1、真值与误差测量值 x,通过直接测量或间接测量得到的物理量的值。
测量误差（绝对误差）：
真值 x0,一个物理量客观存在的量值，
与测量所用的理论方法及仪器无关。
0xx
大学物理实验 15
2、最佳值与偏差是评价测量值准确与否的客观标准。
最佳值,多次测量的算术平均值
n
i
ixnx
1
1
偏差：
相对误差：
%100
x
E?
xx ii
大学物理实验 16
三、误差的分类系统误差随机误差过失误差?
大学物理实验 17
天平不等臂所造成的系统误差仪器误差
1,系统误差大学物理实验 18
A O
B
B
A?a
b
b
不偏心时，由于
，所以可用弧长反映角度的大小。
a a b b
由于偏心，使之用弧长反映角度 时产生的系统误差。如：
这是由偏心造成的。
A A B B
a
大学物理实验 19
B nI
0
螺线管为无限长，管壁磁漏可忽略。
如：
由于理论推导中的近似,产生的系统误差理论大学物理实验 20
公式 （忽略了空气阻力等）h gt? 12 2
意大利科学家伽利略在比萨斜塔上做的铁球落地实验
。两个不同重量的铁球从高处落下，同时着地。说明理论在一般情况下都能较准确地反映物体真实的运动规律大学物理实验 21
人为心理作用，读数（估计）偏大或偏小。
生理因素 听觉嗅觉色觉视觉对音域（ 20HZ--20KHZ）
的辨别。
对音色的辨别。
大学物理实验 22
环境市电的干扰输入光点检流计接近时，静电干扰，使光斑移动等
。
大学物理实验 23
方法内接
A
V
VR VA
A
V
IR
IV用 V作为 VR的近似值时，求
R
V
I
V V
I
V
I
V
I
V
I
R A
R A R
外接
R
V
I
V
I I
V
IR V R
大学物理实验 24
系统误差 特点是增加测量次数误差不能减少，只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。
表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点。
大学物理实验 25
测量过程中另一类不可避免的误差,
来自于大量的微小的干扰的合成。其影响程度表现为随机特性，增加测量次数可减小其影响。
2,随机误差误差 = 随机误差 + 系统误差
3.过失误差明显地歪曲了测量结果的误差。
大学物理实验 26
§ 2 误差处理
1 单次测量结果的误差估计一般说，可取仪器误差 (仪器的最大允差或示值误差 )作为单次测量的最大误差
(极限误差 )。对一般分度仪表，当没有给出仪器误差时，可用分度值 (或分度值的一半 )作为单次测量的最大误差。
2
仪器最小刻度测仪测
xx
xx
大学物理实验 27
多次测量的 算术平均值
n
i
ixnx
1
1
偏差,xx
ii
2、多次测量结果表示平均绝对误差
n
i
i xxnx
1
1
大学物理实验 28
2
1
)( )(
1
lim oi
n
in
x xx
n
标准误差（标准差 )：
常用 标准 偏差 来代替误差计算标准误差。
可以证明当测量次数有限时，上式变为
2
1
)(
1
1 xx
n i
n
i
x
※ 测量次数 n为有限次时用其计算直接测量量的实验标准差。
大学物理实验 29
相对误差 E
%100?
x
x
E
%1 0 0
理论值理论值测量最佳值A=
最佳值误差相对误差＝
如果待测量有理论指和公认值,
则用 百分误差 来表示,0
x
%100
0
0
x
xxA即大学物理实验 30
设待测的间接测量值为 N，与之有关的各独立的直接测量值为 x,y,z,… 他们之间的函数关系为
N=f(x,y,z,…) (1)
(1)间接测量结果的最大误差公式将上式中的微分符号改为误差符号 (增量符号 )，考虑到最不利的情况，应把上式右端各项取绝对值相加，即得间接测量结果的最大误差传递公式
dzzfdyyfdxxfdN
|||||| z
z
fy
y
fx
x
fN
3.间接测量结果的偶然误差估计及误差传递与合成大学物理实验 31
(2)间接测量结果的标准误差公式如果组成间接测量量的各个分量是互相独立的，且这些分量的测量结果的误差是用标准误差表示的，可以证明，它们的合成是方和根合成,N的标准误差由下式计算
222222 )()()(
zyxN z
f
x
f
x
f
222222 )()()()()()(
Nz
f
Nx
f
Nx
f
N
zyxN
大学物理实验 32
§ 3.有效数字的记录与计算数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。
有效数字 =准确数字 +欠准数位一、有效数字的一般概念大学物理实验 33
有效数字来源于测量时所用的仪器。我们的任务是使测量值尽可能准确地反映出它的真实值。
有两个特征：
（ 2）在最小刻度之间可 估计一位 。
欠准位准确位
（ 1）以刻度为依据可读到 最小刻度 所在位。
大学物理实验 34
35 36 (cm)
[1]位置为 35.00cm,
不能写成 35cm。
[1]
[2]位置为 35.40cm
[2] [3]
[3]位置介于 35.7--
35.8之间,最接近真实位置的值,既不是
35.7,也不是 35.8,
而是 35.7 -- 35.8
之间的某值,可以估计为 35.75,35.76
35.77，不妨取 35.76
cm。
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。
大学物理实验 35
有效数字的特点
（ 1）位数与小数点的位置无关。
35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km
（ 2） 0 的地位
0.0003576 3.005 3.000 都是四位3 576 10 3 576 10
6 627 10
1 2
34
.,
.
h j s
（ 3）科学计数法大学物理实验 36
二、有效数字的读取进行直接测量时，由于仪器多种多样，
正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。 例如,1/2,1/5,1/4,1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。 例如，仪器的最小分度值为 0.5，则
0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。
大学物理实验 37
3、游标类量具，读到卡尺分度值。 多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。
5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定 。例如在,灵敏电流计研究,
中，测临界电阻时，调节电阻箱,,,
仪器才刚有反应，尽管最小步进为 0.1
电阻值只记录到,,。
10
10
4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。
大学物理实验 38
三,有效数字的运算规则准 准 准欠 欠 欠
[1]加减：与位数最高者对齐。
[2]乘除：一般可与位数最少者相同。
[3]幂运算、对数（指数）、三角函数 (反三角）不改变有效数字位数。
大学物理实验 39
加、减法
21 3 0 0 332 7 20 9 7
21 3 0
0 332 7
20 9 6 7 3
约简
21 3 0
0 33 3
20 9 6 7
可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。
大学物理实验 40
乘、除法在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，
特殊情况比最少者多（少）一位。
5 2 3 2 1 16 7
多一位的情况
1 0 1 1 2 1 0 8 3
1 2 1 1 0 1 0
0 83
968
420
363
56
全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。 比位数最少者少一位的情况。
5 2
3 2 1
6
160 5?
16 6 9 2
4 2
大学物理实验 41
初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130?
问题是在 位上有波动，比如为,
对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。
根据微分在近似计算中的应用，可知：
11
y
dy
dx
x x x
c o s
c o s 52 1 3
1
60 180
0 0002
0?
知 s in?52 1 3 0 790 30 第四位为欠准数位。
大学物理实验 42
1,误差的有效数字一般情况下误差的有效数字取一位，精密测量情况下，误差的有效数字可取二位。
2,测量结果的有效数字测量结果最佳值的有效数字的末位与误差首位取齐。
3,舍入规则,四舍六入五凑偶四、舍入法则大学物理实验 43
一,测量不确定度的基本概念一个测量过程存在诸多环节,用框图表示为,
人 仪器 环境理论方法
[1] 人为误差
[2] 理论误差
[3] 方法误差
[4] 仪器误差
[5] 环境误差每个环节都或多或少地影响着测量的准确度。
§ 4 测量结果的不确定度评定大学物理实验 44
1、不确定度的定义
uNN 0
（置信概率为 P)
测值 N与真值 N0之差的绝对值以一定的概率分布在 之间，即uu ~?
u,不确定度，表征真值以某种置信概率存在的范围，是测量结果含有误差情况的参考。
大学物理实验 45
2、不确定度的分量
A类分量,多次重复测量，用统计方法求出的分量。 Au
)( xsu A?对于直接测量量：
B类分量,用其它非统计方法估算的分量。 Bu
主要因素为仪器误差：
c
u mB
3
m
Bu
＝仪?
实验中通常取：
大学物理实验 46
注意
1.根据有效数字运算规则,确定计算结果的位数。
2.不确定度最后结果取 1位,且与结论中有效数字最后一位对齐。
相对不确定度可以取两位。
大学物理实验 47
间接测量量数据处理举例
HD
M
2
4
)(010218
)(00503452
)(0020124236
cmH
cmD
gM
HD
M
2
4
2183 4 521 4 1 63
1 2 42 3 64
2
测得某园柱体质量 M，直径 D，高度 H值如下，计算其密度及相对误差和绝对误差。
大学物理实验 48
)/(666
2183 4 521 4 23
12 3 64
3
2
cmg
222
22
2
2
)
218
010
()
3 4 52
010
2()
1 2 42 3 6
0 0 20
(
)()(
2
)()(
H
H
D
D
M
M
E
大学物理实验 49
%5.0%4 5 0.0%1 0 0)(
E
)/(03.066.6
)/(03.066.610
3.2
1
)(:
3
32
cmg
cmg
得
222
222225
10
3.2
1
)10
3.2
1
(
)10
2.8
1
()10
3.2
1
()10
4.2
2
(
大学物理实验 50
研究在一定范围内的物理过程或运动规律时所进行的测量，称之为组合测量。经确定的处理方法，可得 y=f(x) 的具体形式。
第二章数据处理
§ 1数据处理的基本方法大学物理实验 51
一,列表法简单明了，要求数据清晰不能涂改，单位规范，并加必要说明。
X(物理量 )(单位 ) X1 X2 Xn
Y(物理量 )(单位 ) Y1 Y2 Yn
大学物理实验 52
二 作图法注意,[1]根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值
，并以有效数字的形式标出。
[2]将实验点的位置用符号 X或等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线的名称。
大学物理实验 53
[3]线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相距较远的两新点 A.B标明位置及坐标 A(X1 Y1),B(X2 Y2) 由此求得斜率。 k
y y
x x
2 1
2 1
作图法特点,简单明了。
缺点,有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。
非线性关系数据可进行曲线改直后再处理大学物理实验 54
三,逐差法当 X等间隔变化，且 X的误差可以不计的条件下，
将其分成两组,进行逐差可求得：
对于 X,X1 Xn X2n
Y,Y1 Yn Y2n?
Y Y Yn n n2
Y Y Yn1 1 1
iyny 1
大学物理实验 55
四,最小二乘法是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。
满足线性关系 Y=a+bX
Y Y Y n1
X X X n1若最简单的情况,
的测量误差不考虑为等精度测量
i
ii
x
yx,
大学物理实验 56
由于每次测量均有误差，使
0)(
0)(
111
nnn
ebXaY
ebXaY
在所有误差平方和为最小的条件下，得到的方程
Y=a+bX 的方法叫最小二乘法。
m in2ie
大学物理实验 57
使之满足 的条件，m in2ie
0
0
2
2
b
e
a
e
i
i
得出应由
xyxa
ybxa
2
大学物理实验 58
解联立方程得：
22
)( xx
xyyx
b
xbya
大学物理实验 59
实验标准差
)(
])([
)(
22
2
yS
xxn
x
aS
截距
)(
])([
1
)(
22
yS
xxn
bS
斜率
2
1
2
1
)(
)2(
1
2
1
)(
ii
n
i
i
n
i
bxay
n
v
n
yS
测量值大学物理实验 60
])(][)([
2222
yyxx
yxxy
称为线性相关系数，作为 Y与 X线性相关程度的评价。
相关系数
1
X,y完全线性相关
0
X,y不相关大学物理实验 61
本课程预期达到以下要求
1.在误差基本知识的基础上,学会如何得到真值的最佳估计值,如何估算在随机干扰下所产生误差的大小。
2.通过分析实验过程各个环节上不确定度因素的存在,对总的不确定度作近似计算。
大学物理实验 62
3.掌握不同情况下数据处理的方法及特点。
4.正确建立有效数字的概念。
5.掌握有效数字的运算规律。
大学物理实验 63
