方一陆固物习题参考答案
1、布格子：每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点：如以Cl原子为结点，取面心交方晶胞，就是NaCl的布氏格子，金刚石结构中位于正四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同，但电子云配置方位不同，所以是复式格子。
2、如以为正格子基矢则满足。 321,,
→→→
aaa
当相应的同理得则得相应格点则得当令法线上确定一长度在面间距为则对应晶石的所决定之晶石矢标面为正晶格内原胞基座含晶格之倒格子确定的格子叫的或
Ω
×
=
Ω
×
=
±±=
Ω
×
===
×?=Ω=
Ω
×
=
Ω
×
=?=?
→→
→
→→
→
→→
→
→→
→→→→→→
→→→→
→→
→
→→
→→→
31
3
13
2
32
1
213
21
21321321
3213
13
2
32
1
2;2
,2,1
2,10,2
,
,,
,,,,,
)(,2
,22
aa
b
aa
b
aa
bd
aad
aa
aaaaabbb
aaab
aa
b
aa
baa
ij
ji
ππ
μ
πμπμρ
ρ
π
ππδ
LL
.
,,,,2,1
321
个倒格点集合即得整原胞在倒易空间中平移即相当于以时
→→→
±±= bbbLLμ
3、体本心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。
设体心立方格子的结晶学晶胞（Convention cell ）的基矢是令为直角坐标的三个互垂直的单位矢
,,
11
→→→
cba
→→→
kj,,λ
akcajbaia
→→→→→
===,,
49
这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢，按规定
)(
2
),(
2
),(
2
321
→→→→→→→→→→→→
++==++?= kj
a
akj
a
akj
a
a λλλ
的三个基矢理学原胞它们是倒点阵的固体物定义
cell)(Primitive
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
2
1
,2:
3
2
1
2
32
3
321
32
32
1
+=
+=
+=
+=×
=×?=Ω
==
Ω
×
=
→→→
→→→
→→→
→→→→
→→→
→→
→→
→
ji
a
b
ik
a
b
kj
a
b
kj
a
aa
aaaa
bb
aa
b
π
π
π
π
这个倒点阵的结晶学胞原（Convention cell）应当是显示其立方晶系对称性的最小重复单元。设它的三个基矢则组成面心立方晶胞。设它们的 是b
→→→
kji
bbb,,
→→→
kji
bbb,,
π
π
2
2
,
2
2
)(
2
)(
2
)(
2
321
==
+=+=+=
→→→→→→→→→
a
b
b
a
ji
b
biR
b
bkj
b
b
得即则
结论基矢是的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞为面心原胞，它的倒格子基矢
,,,akCajbaia
→→→→→
===
πππ 2
2
2
2
2
2
===
→→→→→→
a
kb
a
jb
a
ib
kji
同样方法可证,
面心立方正格原胞基矢如,
时akcajbaia
→→→→→→
===,,
对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞，它的基矢
πππ 2
2
2
2
2
2
===
→→→→→→
a
kb
a
jb
a
ib
kji
50
4、基矢 ckcjbbiaa?===
→→→→→→
,,
晶面族（h，k，l）的面间距为d。
令 为相应的倒基矢
→→→
***
,,cba
2
1
222
***
,,
***
)()()(
2
)(
222
→→→
→
→→→
→→
→
→→
→
→→
→
++==
++=
×?=Ω
Ω
×
=
Ω
×
=
Ω
×
=
c
l
b
k
a
h
K
d
clbkahK
cba
ac
c
cb
b
ba
a
hkl
nkl
lkh
r
π
πππ
对于正交晶系为h=1,k=1,l=0为简单指数时
d
100
=a 面间距较大的之一
又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积Ω=d
hkl
·A
hkl；A为(h,k,l)晶面上面积元的面积（即h,k,l）晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的Ω，但是h、
k、l不同时，则对应着不同形状的二维原胞，d
hkl
愈大，则A
hkl
愈小，密度一定，A小，
面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h,
k,l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。
5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如
→→→→→→→→
=+?=+= kcaji
a
ajai
a
a
321
2
3
22
3
2
求倒子基矢,
解,;,
213
→→→
⊥ aaa
Y
k
r
3
a
r
→→→
→→→
→→
+?=
+=
==
jai
a
a
jai
a
a
aaa
2
3
2
2
3
2
2
1
21
X
j
r
2
a
r
1
a
r
i
r
51
a
j
a
iac
a
i
ac
j
aa
b
ca
a
aaakca
1
3
22
)
3
2
(
2
2
3
32
1
2
3213
+=+
Ω
=
Ω
×
=
=×?=Ω=
→→→→
→→
→
→→→→→
πππ
π
→→
32
,,bb同理可得
7、把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比。
解：（1）简立方a=2r
68
3
3
3
4
3
3
3
4
πππ
===
r
r
a
r
比
π
π
8
3
)(
2
34
)(
2)2(
3
3
4
3
3
4
2
1
222
=
×
=
=
++=
++=
r
r
ar
aaa
rrr
比体对角线体对角线体心立方
简立方
→← a
（3）面心立方 晶胞面对角线=4r
体心立方
2383
2
)8(
4
8162
3
3
3
4
22
π
π
π
==
×
=
==
r
r
rara
比
（4）六角密积
23
2)(4
2
2)
3
8
(2:
2
3
2
1
3
8
2
2
3
3
3
4
2
1
2
216
ππ
=
×
=
==
×=×=
rr
r
rcrar
caCAAOA
比为球之半径令原胞体积
面心立方
（5）金刚石,
参考P19图四面体原子互相接触，四面体所决定的立方体边长为
2
a
，比立方体的体对角线为4r，则由图
2
2
2
2
2
2
2
)()()()4(
aaa
r ++=
π
π
π
π
16
3
44
3
8
)461(
3
3
8
3
3
4
3
3
3
4
2
1
3
2
1
=
=
=
+?+
=
a
a
a
r
比
8、（x-射线）如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射，求证：当
52
22
2
llk
l
a
+
=
λ
和
22
22
2
k
kl
Cos
+
+
=
λ
β时，衍射线在yz平面上，其中β
2
是衍射线和oz方向的夹角。
解：入射线和衍射
0
S
r
S
r
之间夹角为2θ
2
β
θ2
)(衍射线s
r
0
s
r
2dsinθ=nλ 令n=1 （1）
简立方面间距为,
2
1
222
)( lkh
a
d
hkl
++
= （2）
因衍射线和入射线必在一个平面内,
（已知条件之一）
22
22
2
2
)sin21(2cos)2cos(cos
k
kl
+
+
==?=?=
λ
θθθπβ
得
2
1
22
2
sin
+
=
kl
l
θ （3）
由（1）、（2）、（3） 得
2
1
222
2
1
22
)()(
2
hklkl
l
a
+++
=
λ
（4）
。面上必在所以衍射线轴射线令轴垂直法线与面即轴面必须平行的而可知必须式对比上式与还必须满足第二条件和但衍射线的
DEQYZSOZSNox
okloxlkhhh
lk
l
a
N
a
,,,//,
)(,),,(0,0,)4(
2
0
22
→→
==
=
λ
9、( x射线) 在氯化钾晶体中，k
+
在0,0,0;;
2
1
,
2
1
,0;
2
1
,0,
2
1;0,
2
1
,
2
1
诸点；Cl
-
在
,00
2
1
,0
2
1
0,
2
1
2
1
2
1
诸点，试对衍射线面指数和衍射纯度的关系。
解：是复式格子 Clk
]
21
2
2
*
2;
)(2sin)(
2cos
ffff
lwkvhunflwkvhu
nfFFFI
clk
j
jjjjjjj
j
jhkhkhkhkl
==
+++++
=?=∞
∑
∑
令
π
π
lll
53
[{ ]
[]}
[{ ]
}
2
2
1
2
2
1
sinsinsin)(sin
)(sin)(sin)(sin0
coscoscos)(cos
)(cos)(cos)(cos1
hnknnlkhnf
lknlhnkhnf
hnknlnlkhnf
lknlhnkhnfI
hk
ππππ
πππ
ππππ
πππ
++++++
+++++++
++++++
++++++∞
l
l
讨论,
大。其中全为偶数时强度最衍射不为全为奇或全为偶当一个为偶数时中有二个为奇数当其它两个为偶数时中有一个为奇数当不必考虑的部分为包括只为整数时当
,0,,,)4(;0,,,,)3(;0,,,)2(;,0)(sin,,,)1(
nlnknh
Inlnknh
Inlnknh
lkhnlkh
=
=
++π
10、（米勒指数）六角晶系中见P343，晶面常用四个指数( h,k,l,m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢
321
,,aaa
rrr
轴上的截距为
l
a
k
a
h
a
321
,,；在六度轴上的截距为
m
c
，试写出的面指数。
654321522313131
,,'0 AAAAAAABABBAAAA和
)1211(,1,
2
1
,1,10:
31
面指数为的截距为解?′ AA
)1000(1,,,
)0011(,,1,1
)0211(,
2
1
,1,1
654321
5522
1331
面指数为的截距为面指数为的截距为面指数为的截距为
∞∞∞
∞∞?
∞?
AAAAAA
ABBA
BBAA
补充1：试画出面心立方晶体（1 1 2）面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二维晶胞基矢。
akc
ajb
cbaccfaia
→→
→→
→→→→→
=
=
=,,..:晶胞的基矢为令解
akc
r
r
=
1
a
r
aj
r
aja
r
r
=
2
a
r
ajbc
rr
=?;
2
1
,0,0,0,
2
1
,
2
1
,)211(
点为点为其中晶面为平面
CD
ABCD
。恰是立方晶胞的体心点移到移到原点点则线如何上平移把
D
D
CaCD
′
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,0
,
2
1
54
表示它的长短和方向用间距即体对角线原子最近的原子距晶面内在线三因为晶列的全同性晶到族中的一个晶列线是
1,.
])211([,]111[
→
∴
aD
DCCD
,它即是（1 1 )(1
→→→→
++= kjiaa 2）面上二维晶胞基矢之一，以DA为二维晶胞的另一基矢
2
a
r
，显然
)(
2
2
→→→
= ji
a
a
aaaa
aaaa
2
2
3
0
21
2121
==
⊥=?
→→
→→→→
因
这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面A B C D上做周期重复，即得（1 1
2）面上的原子分布。
[注]：（1）晶面是（1 1
→→
21
,aa 2）晶族中通过原点0的那个晶面，因为族中所有晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。
（2）（1 1 2）晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子分布的正交对称性，但也可以得出同样的（1 1 2）上的原子分布图。
11、设晶体中每对原子的平均结合能力为
r
B
r
A
9
平衡时，n
0
=2.8×10
-10
米，其结合能力| U|=8×10
-19
焦耳，试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。
8
0
10
0
10
0
2
00
0
19
9
108.2
90:
8.2;)(:
=
×=
==
==
ArB
r
ArBrr
r
u
ArBrrArU
米平衡时解
o
（1）
（2）
9
0
19
1991
00
10
1088)(
rA
rBrrU
=
×=+?=
焦耳
（3）
][1006.1
)(10)108.2(10
:)3()2(
9105
199109
0
19
焦米焦米代入
×=
×=?=
&
rA
55
28
29
0
198
0
1052.2
108.291099
×=
××=×== &rArB
:
2
)(,
)(
9
9
3
2
2
0
0
设晶体结构为简立方可令所以结合能均平是晶体中每对原子的因设晶体为
N
r
B
r
A
rV
r
B
r
A
NrNuVCS
v
u
VK
V
=
==?
=
==′′′=
==
r
B
r
Aru
uuuNU
NrvrV
9
33
2
1
2
)(;
是每个原子平均能量
+?=
+
=
=
=?==
=?
=
=
2
2
2
3
2
2222222
2
2
2
0
2
2
0
2
2
00
2
2
0
3
1
3
2
3
1
3
1
)
3
1
(
3
1
3
1
3
1
3
1;3
1
)(
0
0
dr
d
rdr
d
r
r
dr
d
dr
d
rdr
d
rdr
d
rdr
d
rdr
d
rdv
d
dr
d
rdr
d
dv
dr
dv
d
r
dr
du
V
u
u
V
Nv
v
NVv
v
u
VK
V
V
,00
0
第一项为因∴=
V
dr
du
311
2
2
210
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
4
0
3
0
290
9
)(
99
1
9
1
00
=
+?=
=
′
=
′
=
BrAr
r
u
BrAr
r
u
R
r
u
v
r
dr
ud
rdr
ud
r
rK
rr
[][ ]
4
0
12311
0
290
9
1
290
9
1
=?= BrArBrAr
r
K
211
/1063,,cmKBAr
o
达因的值代入上式得将×?=&
12、有一晶体，在平衡时的体积为V
0
，原子间总相互作用能量为V
0
,如果原子间相互作用能由式
56
mn
rrrV βα +?=)(
所表达，试证体积弹体模量可由)9(
00
vmnU得出
解：设晶体为简立方晶胞，晶胞体积为v=r
3
，晶体体积v=Nr
3
，晶体的结合能E，
从11题可知
0
2
2
0
2
0
9
r
r
E
v
r
K
=
如把
mn
rrrV βα +?=)(理解为晶体内为某一原子，对其它原子总的作用能，
则)(
2
→
= rV
N
E
[])2()1()1(
)1(0
)
2
(
9
22
2
2
)1(
0
1
0
2
2
0
2
0
0
0
0
++
+++?=
=?=
=
mn
r
mn
r
r
rmmrnn
r
v
r
m
r
n
r
u
r
v
n
v
r
K
βα
β
α
原子间总相互作用能)3(
2
)(
2
00
000?
+
===
mn
rr
N
rV
N
UE
βα
N
vr
N
vr
n
m
m
m
n
n
2
1
,
2
1
:,,)3(),1(:
0000
=?
= βα
βα则得为未知量把解
0
0
9
)2(),2(,
U
V
mn
K
K
=
的定义式代入再把值代入把βα
讨论：如把
mn
rr
rV
βα
+?=)(理解为晶体内两个原子间的相互作用能；则晶体指定参考原子，对晶体内全部原子的作用能是
R：为最近临原子距离，在S，C即单胞之边长
[]{}
m
i
m
i
n
i
n
i
m
i
i
n
i
R
a
R
a
RaRarV
∑∑
∑
+
=
+?=′
)((
)()(,)(
βα
βα
令
∑∑
==
i
m
i
i
n
i
aBaA )()( βα
57
即得代入再把解出和从其它步骤同上晶体体积
0
0
2
2
2
0
2
0
000
0
00
0
0
3
0
)(
,,,0
)(
)(
2
,),(
2
)(
2
)(
2;)(
R
N
R
mn
mn
R
RV
aV
R
K
BABA
R
RV
VRV
N
ERV
N
E
RV
N
R
B
R
AN
V
VNR
R
B
R
A
RV
′?
=
=
′?
=′=′=
′=+
=
==+
=′
13、已知有N个子组成的NaCl晶体，其结合能为
)
4
(
2
)(
0
2
n
rrE
eN
rV
β
π
α
=
令若干排斥项
n
r
β
由Cexp(-r/ρ)来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对垂作用势能的贡献相同，试求出n与ρ的关系
)5(0
1
)exp()4/(0
)/exp(
42
)(:
02
00
2
0
2
0
=
∴=
=
ρρ
πεα
ρ
πε
α
r
Cre
r
V
rC
r
eN
rV
r
解
由已知条件)exp(
0
0
ρ
r
C
r
B
n
= (2)
（2）代入（1）,
n
n
r
e
f
rr
e
=
=+?
2
0
1
0
2
0
2
0
0
2
)
4
(
0)
4
(
β
πε
α
ρ
β
πε
α
14、试证一维离子晶体的μ=2ln2
3
0
2
0
1
0
"0"
0
00
0
+?+
+
43421
R
解：令某个正离子“0”为原点
58
则
∑
±′?=
j
n
ijij
rr
eN
V
6
42
0
2
πε
μ是属于结合能中的库仑能部分的参数
μ
πεπε
=
±′?=
∑
j
ijo
R
eN
r
eN
U
00
22
4242
库
ij
j
r
R
1
0
±
′=∴
∑
μ因为前格的左右对称，所以取加号。“+”对异号离子 j从1，2，
3，…流动，所得Σ和乘2。“-”对同号离子 即得总晶体库仑能。
o
ooooij
j
o
R
RRRRr
RU?
+?
+
=
±
′=
∑
L
4
1
3
1
2
11
2
1
2
2,1
∑
+?+?= L
4
1
3
1
2
1
12
2ln2
4
1
3
1
2
1
1)11ln(
432
)1ln(
432
=∴
+?+?=+
+?=+
μ
LL
&
xxx
xx
15、立方ZnS的晶格常数a=5.41，试计算其结合能E
o
A
b
（焦耳/摩尔）。
解：书81页，闪锌矿μ=1.6381 n=5.4
1摩尔晶体内分子数N
A
=6.022045×10
23
个/mol，含离子数为2N),(
+
SZ
n
A
=N
库仑米米法垃
1910
12
0
0
2
10602.11041.5
/10854.8
)
1
1(
4
×=×=
=
==
eR
nR
eN
UE
A
ob
ε
πε
μ
16、在立方晶系中，若弹性波沿向传播，试求 ]011[
→
S
（i）它的三个波速；
（ii）位移矢的三个方向余弦。 ξ
r
解：即P99的
→
S
2
1
,]011[,==ml方向时沿?；n=0代入P97（2-49）得Γ
ij
，克氏模量；和P98克氏模量，必须满足，久期方程,
59
又因立方品系中，弹性模量C
ij
不等于零得，只存
C
11
=C
12
= C
33
,C
12
=C
23
= C
31
,C
44
=C
55
= C
66
4433
1144
22
2313441212
4411
11;
22;0;0);(
2
1;
22
C
CC
CC
CC
=Γ+=Γ
=Γ=Γ+=Γ+=Γ∴
上面的Γ
ij
代入久期议程,
0
332313
232212
131211
=
ΓΓΓ
Γ?ΓΓ
ΓΓ?Γ
eff
eff
eff
C
C
C
),512(
2
2
441211
++
=′代入得
CCC
C
eff
以p、q、r为未知数的两个独立方程，再加上PP
2
+q
2
+r
2
=1可解出,
得代入)502(0,
2
1
111
=== rqP
owu ===
111
,
2
,
2
ξ
ν
ξ
则弹性位移矢也沿[1 1 0]方向，所以这是一只纵波。
ξ2
2
441211
1
CCC
V
++
=波速
ξ=======
222222442,
,0,0;1,0,WVurqpCC
eff
同理弹性位移矢平行于[0 0
1]和传播方向[1 1 0]垂直,这是横波。
ξ
44
2
C
U =
ξ
2
1;
,
2
1
,
2
1;
2
3
1211
3,
==
==
=
Uor
qP
CC
C
eff
0,
2
1
3
3 =?= WV ξ
o
弹性位移矢平行于]011[，也与波传播方向[1 1 0]垂直。
ξ2
1211
3
CC
V
+
=
60
17、试由热力学证明 C
p
-C
v
=9β
2
TK，K是体弹性模量，β是体膨胀系数。
解：由热力学定义,
是系统的焓热力学第一定律
PVVH
T
H
T
V
P
T
U
T
Q
Cp
T
U
T
Q
C
PdvUUQ
T
Q
C
PPP
P
T
V
V
T
V
T
+=
=
+
=
Δ
Δ
=
=
Δ
Δ
=
+?=
Δ
Δ
=
→Δ
→Δ
→Δ
→Δ
→Δ
0
0
0
0
12
0
lim
lim
lim
以T、V为独立变量
dv
V
S
dT
T
S
ds
TV
+
=
dV
T
P
TdTCdV
V
S
TdT
T
S
TTds
V
V
TV
+=
+
= （1）
上式第二步用了关系
VT
T
P
V
S
=
以T、P为独立变量；
dp
P
S
dT
T
S
ds
P
+
=
dP
T
V
TdTCdP
P
S
TdT
T
S
TTds
P
P
TP
=
+
= （2）
麦开关系之一 p
P
V
T
T
S
=
由（1）和（2）得 dp
T
V
TdTCdV
T
P
TdTC
P
V
V
V
=
+
以P、V为独立变量dV
V
T
dP
P
T
dT
PV
+
=
dp
T
V
TdV
T
P
Tdp
P
T
dV
V
T
CC
PVVP
VP
+
=
+
)(
独立变量前系数应相等,
Vp
VP
T
P
T
V
T
CC
=
)(
61
PV
VP
T
V
T
P
T
CC
=
)(
1
2
=
=
=?∴
P
V
V
T
T
P
T
V
V
P
T
P
TCC
PV
TTV
VP
Q
体胀系数 为体胀系统ββ
P
T
V
V
=
1
。
压缩系统的定义为体弹性模量K
KP
V
V
R
T
11
=
=。
KTCC
2
9β=?
VP
∴
)1()31()1(
)1(
:3
00
3
0
0
TVTVTVV
TLL
T
T
αββ
β
βα
+=++=
+=
=
～
证明
βα 3=∴
附表用关系：;;
VTPT
T
P
V
S
T
V
P
S
=
=
=
=
P
T
S
V
V
T
S
P
PVV;
第三章 习题参考答案
18、如原子离开平衡位置位移后的势能为,
432
)( δδδδ fgCU=
试证明，用经典理论比热可写成,
++= TK
C
g
C
f
KC
BBV
)
8
15
2
3
(1
3
2
2
证：一维振子总能);(
2
2
xU
m
p
U +=处理小振动
当1,1,1
4
3
2
<<<<≤
KT
fx
KT
gx
KT
Cx
则时
c、g、f为正常数
62
2
1
1
2
43
1
2
)2(
2
22
TmkdPe
dX
KT
fxgx
eedPeZ
KTm
p
KT
ex
KTm
p
π=
+
=
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
∫
∫∫
第二个积分中的)exp(/)exp(
2
43
KT
gx
gxKTfxgx?=+是小量时则它比当小很多，积分主要贡献来自于。
KTcx
e
/
2
LL +
++=
+
KT
fxgx
KT
fxgx
KT
fxgx
434343
2
1
1exp
略去高于X
6
之上的项；X
3
等奇次指数的项定积分为零也不写出
dx
KT
xg
KT
fx
KT
cx
rmkZ
∫
∞+
∞?
++?=
2
6242
2
1
)(2
1
1)exp()2( π
积分公式;
2
λ
λ
x
due
u
∫
∞+
∞?
=
77
6
5
4
15
8
2
5
4
3;
4
3
2
2
λλ
λ
λ
λ
xx
dueu
x
dueu
u
u
=?=
=
∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
22
3
2
2
2
3
2
23
2
2
3
2
2
3
2
2
2
1
3
2
2
)
1
16
15
4
3
(
log
16
15
4
3
)
16
15
4
3
1log(
11
)
16
15
4
3
1log(log
2
loglog
16
15
4
3
1
2
TK
C
g
C
f
KT
T
Z
kTE
C
KT
g
C
KT
f
C
KT
g
C
KT
f
C
KTg
C
fKT
C
KT
g
C
KT
fKT
c
m
Z
C
KT
g
C
KT
f
C
m
KTZ
++=
=
+=++
<<<<
++++
=
++=
&
π
π
++=
++=
=
RT
C
g
C
K
TK
C
g
C
K
T
E
Cv
V
3
2
2
2
3
2
2
8
155
2
3
1
)
1
8
155
2
3
(&
○
H
D
○
H
D
19、自由能F=U
0
(V)+F
振
（T、V）式中F
振表示晶格振动时自由能的贡献，U
0
(V)
是0
0
K的内能，如
,
为德拜温度。
)(TfF =
振
T
63
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
○
H
D
求证（1）压力求证（）压力
)(
)
1
(
0
T
f
vV
U
P
+
=
γ?
T
vdd ln/ln?=γ 式中
（2）体胀系数
vk
C
r
3
γ
β =
证,
（1）
=
= ((
T
Tf
VV
U
V
F
P
TT
))
T
T
f
V
T
V
U
T
= ( )
dv
dv
dv
vd
dv
d
Vd
d
r
VT
f
V
f
T
f
V
T
TT
Q
T
Q
T
T
T
Q
===
=
=
ln
1ln
ln
ln
3
211
)(
()(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
0
0
0
)
)(
)(
)(
)(1
1
0
1
0
00
T
T
Q
T
T
Q
f
V
r
V
Vf
TV
T
V
U
P
+?
=
+?
=
γ
∴
（2）即相当证体胶系数α
γ
βα
x
v
V
c
== 3
已知V
V
P
K
T
V
V
Tp
=
= )()(
1
α
所以相当于证明Cv
V
K
γ
α =
即：Cv
v
y
V
P
T
V
Tp
=
)()(
1)()()(?=
rPT
p
T
T
V
V
P
Q
所以又相当证明：
Vv
C
vT
P γ
=
)(
要证明上式关系式方法有二
（一）由书P144（3-127）知无关与T
vv
E
r
dv
d
P
+?=
νν;
得证Cv
vdT
Ed
vT
P
V
D
γγ
=
=
∴
（二）用热力学霍姻霍兹关系式证
2
)(
T
E
T
F
T
=
为此利用本题第一式,
64
○
H
D
○
H
D
○
H
D
=
+
+
=
(
)(
)(
)(
)(
1
1
T
f
Tv
r
T
P
TvV
U
P
T
V
T
o
γ
)
○
H
D
○
H
D
如能证E
T
f
T
=
)(
)(
1
则问题就可解决
)(
)(1)(
)(
)(
)(
1
2
1
1
T
T
E
T
T
T
E
TTT
E
T?
=
=
由霍姻霍兹关系式
2
)(
T
E
T
F
T
=
问题得证又由本题给出三条件
E
T
T
T
f
T
E
E
T
T
E
=
==
)
1
(
(
)(
)
1
(
)(
∴
)
∴
[附]霍姻霍兹关系式的证明,
霍姻霍兹的自由能S
T
E
T
F
TSEF?=?= ;两端对T的微分;
)(
21
T
S
ET
T
E
T
T
T
F
=
又
VV
V
T
S
T
T
E
C
=
=Q
证毕ET
T
T
F
2
)(
=
∴
20、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为,
+≈
∑
KT
hw
KTUF
q
q
o
ln
证：经典极限,0时→h
由教本P143
ωγ
γ
δ
γ
hh
eKTVUF
KTh
q
q
=
++=
∑
)/
1ln(
2
1
)( h
KT
w
e
qKTw
q
h
h
=∴
1
/
65
∑
+=∴
0
0
ln
KT
w
uF
q
h
21、设晶体中每个振子的零点振动能量具,
2
1
γh试用德拜模型求晶体的零点振动能。
解：由教本P129德拜模型每频率在ωdωω +→间格波数
γ
γ
γπ
γπ
γπ
γπ
γγρ
γωπγ
ω
π
ωωρ
d
V
d
v
d
wh
dw
V
v
d
pp
p
3
2
3
2
22
2
32
12
2
2
12
)(
2
1
2
1;2
2
3
)(
==
==
=
h
又由德拜模型知
() 129)6(;3
3
1
2
Pv
v
N
Ndw
p
n
o
m
见教本
∫
==
ω
πωωρ
γ
γ
γ
γγρ
ππ
π
γ
d
N
d
v
v
N
v
V
N
m
ppm
2
2
3
1
3
1
2
2
9
)(
4
3
8
6
=∴
=
=∴
晶体零点振动能
m
o
m
o
Nhdvhv
Nr
E
m
γ
γ
γ
8
9
2
19
3
2
+
=
∫
D
KN
8
9
=
H
式教本)8933(P)
6
(
3
1
2
=
v
N
k
p
γ
π
h
D
H
注：由上可见，E，应当是：
∫
+=
m
o
p
b
Do
e
dxx
v
TVK
TKEE
γ
π 1*2
3
3
33
2
33
h；
但在计算比热时零点能E
0
因为与T无关，它不起作用，所以研究比热时，E中没写它，但是在计算晶体结合能时，要估计零点能的贡献。
66
第四章 习题参考
22、在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正负离子对的数目，w是产生一对缺陷所需的能量，N是原有正、负离子对的数目，
在理论上可推出：
KT
W
Be
N
n
2
=
（1）试求有肖脱基缺陷后体积的变化
V
VΔ
，V为原有的体积。
（2）在800℃时，用X射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度ρ算得分子量为58.430±0.016，而用化学方法所测定的分子量是58.454，求在800℃时缺陷
N
n
的数量级。
解：（1）在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体表面填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，
在肖特基缺陷中所增加的体积为,
3
2naV =Δ其中a为正负离子间的距离。
晶体原来的体积是V
3
2Na=
因此体积变化是
5
2/
/
KBW
Be
N
n
V
==Δ γ
（2）这是一个著名的实验，证明食盐中有肖特基缺陷，因为X光测点阵常数时，
其值a不随有无缺陷而改变，而用化学方法测密度则是真实的，每单位体积的质量
V
m
，当晶体总质量m不改变时，晶体的实际体积V将随缺陷数目的改变而变化，即用化学方法测得密度ρ将由于缺陷的数目增加而变。设NaCl分子量为M
1
每个分子占体积为2a
3
，令ρ为密度，则有,
是常数和因mamaVM
V
m
a
M
3
3
2;
2
===ρ
N
n
V
dV
M
dM
V
dV
MdVVdM =>?==+又因0;0
4
104
454.58
430.58454.58
×?
=?=∴
M
dM
N
n
67
所以通过这个实验充分证明了空位的存在。通过密度的变化，说明空位存在的实验还有以下实验：在纯NaCl或KCl等晶体中掺入一些重量较大的正负离子杂质，例如CaCl
2
，MgCl
2
等不同价的正离子，似乎密度应该会增加些，增加的数量与加入MgCl
2
的百分比成正比。有人用纯KCl内加入CaCl
2
掺杂KCl，不仅密度不增加仅而减少；这说明Ca
++
入K
+
的位置，为使电中性维持下去，必然使晶体中处于正格点位上的一些
K
+
去掉，这就造成了K
+
空位，而使晶体体积增大，密度减小。△“补充题”求体心立方，面心立方，六角密积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。
解：根据实验数据和理论推测所得规律：“滑移方向是密排方向或比较密排的方向”“滑移平面是密排平面”。所以此题就是最密排的原子面和线。
体心立方：参考书P16图1-9得：滑移面为[1 0 1]，滑移方向[1 1 1]；a3
2
1
最小距离。
面心立方：参考书P16图1-9得：滑移面为[1 1 1]，滑移方向[1 1 0]； 2
2
1
六角密积：参考书P16图1-9得：滑移面为[0 0 1]，滑移方向a];0211[
△补充题,
（1）画出体心立方晶格[1 1 0]面上的原子分布图。
（2）设有一沿]111[方向滑移，位销线和[1 1 0]平行的刃位错，试画在[1 1 0]面上的投影图。
48476
2a
a
a
2
3
半晶面与纸面交迹
滑移面与纸面的交迹就是]111[方向
68
解：（1）参考书P17的体心立方
则在[1 1 0]面上原子排列的两维原胞是边长为a3
2
1
的菱形，菱形的一对锐角θ。
如图示,
2
1
cos =θ
纸面是[1 1 0]面，刃位错线[1 1 0] 与纸面的垂足用“⊥”标记，它是]111[方向。
（2）刃位借线的方向是[1 1 0] 与[1 1 0]面垂直，即刃位错线垂直于纸面，刃位错线的滑移方向是]111[，它和[1 1 0]面法线方向垂直，所以]111[在带面上（或平行于纸面）。实际上]111[方向是[1 1 0]面上菱形两维原胞的一个菱边AB的方向。刃位错所插入（或取消）的半晶面与[1 1 0]面相交之迹，就沿AD方面，实际上是]111[方向，滑移面由AB和纸面[1 1 0]面的法线所确定。
注意：滑移面左下方，在刃位错线之下，稍远之处，相邻原子三距离应当恢复为a3
2
1
[沿]111[方向]
69
第五章 习题参考答案
23、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量
)(
2
),(
22
2
yxyx
kk
m
kkE
h
=
（i）求能量E到E+dE之间的状态数
（ii）求此二维系统在绝对零度的弗米能量
解：（i）采用周期边鲜条件
L
A
Ae
yxkkEyx
yxm
ykxki
yx
yx
1
),(),(),(
2
][
2
2
2
2
=∴
=
=
+
+
ψ
ψψ
h
由
L
n
keyxyLx
x
x
Lik
x
π
ψψ
2
1),(),(
1
=∴==+
得
为整数得
yx
y
y
ikyL
nn
L
n
keyxLyx
,
2
1),(),(
π
ψψ ===+
m
k
kk
m
kkE
yxyx
2
)(
2
),(
22
22
2
hh
=+=
每个K矢在R空间占体积为
2
2
)2(
L
kk
yx
π
=Δ?Δ
E到E+dE间的状态，在k空间内的体积为,2 kdkπ在其中的状态数为,
kdk
L
dz π
π
2
4
2
2
2
=
由于dE
mL
dE
mL
dzkdk
m
dE
2
2
22
22
2
2
2
4
2
,
hh
h
π
π
π
=?==所以
令
2
2
hπ
mL
C =
（ii）
∫
=?==
o
F
E
o
o
F
CEdECNdECEfdN )(
N
mLC
N
E
F
2
2
0
hπ
==∴
24、金属锂是体心立方晶格，晶格常数为试计算绝对零度时锂的电子气的弗米能量E
,A5.3
o
=a
F
。
解：体心立方晶格内，每个晶胞有两个原子，锂为一个价原子，所以锂的电子
70
气密度
3
1
33
3
8
3
)5.3(
)2(
====
π
π n
KAaV
V
n
F
o
eVn
m
n
m
E
o
F
78.4)3(
28
3
2
3
2
2
2
3
2
2
==
= π
π
hh
25、在低温下金属钾的摩尔容量的实验结果可写为,
C=（2.08T+2.57T
3
）毫焦/摩尔·开
若一摩尔钾有N=6×10
23
个电子，试求钾的弗米温度T
F
和德拜温度Q
D
。
解：在低温下，电子气的摩尔热容量是,
T
T
T
ZKNC
o
F
B
e
v
γ
π
==
2
2
0
γ=2.08
钾的z=1，所以)(102
2
4
2
0
K
zKN
T
Bo
F
×≈=
γ
π
在低温下，晶格振动摩尔热容贡献为,
)(91
1
5
12
57.2
5
12
3
1
4
3
3
4
K
b
kQ
bbT
Q
T
kC
D
D
a
v
=
=∴
=∴=
=
π
π
26、一维周期势场中电子的波函数)(x
k
应当满足Bloch定理，若晶格常数是a，
电子波函数为
)()()()(
3
cos)()(sin)()(
是某个确定的函数faxfxiii
a
x
ixii
a
x
xi
k
kk
∑
∞+
∞=
=
==
l
l?
π?π?
试求电子在这些状态下的波矢
解：(i)按Bloch定理,
)()(
)()()()(
)()(
)(
xUex
xUeaxxUaxU
axUeax
k
ikx
k
k
ika
kkk
k
axik
k
=
=+∴=+
+=+
+
因为
71
a
k
kae
a
x
eax
a
a
x
a
x
ax
a
a
x
x
ikaika
k
π
π
ππ
π
π
ππ
π?
=
=?=
=+
=
+=+
=;1;sin)(sin
sinsin)(sin;sin)(
(ii)
=
+=+ x
a
ix
a
iax
a
i
π
π
ππ 3
cos3
3
cos)(
3
cos
a
k
kae
a
ieax
a
i
ikaika
π
π
ππ
=
=?==+ 1;
3
cos)(
3
cos
(iii) []
∑∑
+∞
∞=
+∞
∞=
+=+?
ll
l alxfaaxf )1()(
∑∑
+∞
∞=′
+∞
∞=
=′?
ll
ll )()( axfaxf
1);()( =?=+?
∑∑
+∞
∞=
+∞
∞=
ikaika
eaxfeaaxf
ll
ll
=→
=
a
o
k
o
ka
π
π
2
2
∞→b时，求决定能量的关系式并说明此结果。 27、克一潘问题，当势阱之间的间距
∞→b势能为 解：由克一潘模型加上
0
V
0
V
<>
<<
=
oxaxV
axo
xV
或当当
,
,0
)(
0
这实际上有限深势阱的本征值问题
[]oxVE
m
dx
d
=?+?
)(
2
22
2
h
分区讨论?的形式,
（1）在势阱内 0)( =<< xVaxo时
xBxA
dx
dmE
o
mE
dx
d
αα?
α
α?
cossin
0;
22
1
1
2
2
1
2
2
2
1
22
2
+=
=+==+
hh
令
72
（2）在势阱外，;)(0,
00
VEVxVxax?=<>先讨论
xx
DeCe
dx
d
EVo
m
ββ
β
β
+=
=?
=
2
2
2
2
2
2
2
2
0
)(
2
h
令
为满足波函数的有限性,
时当时当
0
2
2
<=
>=
xCe
axDe
x
x
β
β
由波函数和它的微商的连续性得,
（i）在x=a处
aβ?
DeaBCosaA αα =+sin ①
a
eDaBaA
β
βαααα
=? sincos ②
（ii）在x=0处
B=C ③
Aα=Cβ ④
由③、④得代入βα BA =①②
a
Dea
B
AaA
β
α
α
α
=+ cossin ⑤
a
eDasix
Ax
aaA
β
βα
β
αα
=?
2
cos ⑥
)(
2
,
22
tan
sin)(cos2
sincoscossin
1
sincos
cossin
:
0
2
2
2
2
22
2
2
2
EV
mmE
a
aa
aaaa
aa
aa
==
=
=
+?=+
=
+
hh
βα
βα
αβ
α
αβ
β
α
αα
α
β
α
αααααβ
βααα
αα
β
α
β
α
将
⑥
⑤
代入并整理之后得
)(22tan)2(
00
EVEmE
a
VE?=?
h
⑦
73
讨论（1）图解求E，令)(2,2
00
EVEVE?=?= ηξ则（7）式可写为,
)(
)(tan
222
BV
Aa
o
=+
=
ηξ
ηαξ
以η为直角坐标的纵轴，ξ为横轴，则对于一定的V
o
，由（A）和（B）交点可决定E值，E值的个数与V
o
之值有关，但只能取分立的能级
2）
o
o
o
VE
EVE
atgV
==∞→
2
)(2
ξ
η
α当
.,
2
,2,1
0
1
)(2
2
)(2limlim
2
222
)(
1
2
1
2
1
和无限深势阱结果一致得因此洛比达法则
ma
n
E
nna
E
VE
EVE
V
atg
V
EV
o
o
oo
o
h
LL
π
πα
α
=
==
=
=
∞→
=
∞→
28、电子在周期势场中的势能
[]
≤≤+?
+≤≤
=
bnaxbao
bnaxbnanaxbm
xV
)1(
)(
)(
222
2
1
η
ω
当当
a=4b，ω为常数试画出此势能曲线，并求势能平均值。
解：势场周期=a=4b
22
2
1
bmω
[
[]
22
5
3
22
2
3
0
5
3
222
2
1
6
158
8
)4(
4
1
)(
b
m
dxbbxx
b
m
dxbxbmodx
b
xV
b
b
bb
b
ω
ω
ω
=?+?=
+=
∫
∫∫
29、用近自由电子模型处理28题，求此晶体的第一个及第三个禁带宽度。
解：适当选取，位置座标原点，则研究（-2b,2b）间隔的V(x)，即令n=0
74
≤≤?
≤≤
≤≤
=
bxb
bxbxbm
bxb
xV
20
)(
20
)(
222
2
1
ω
则V(x)为偶函数，展开为富利叶级数将只有余弦项
2
22
22
2
2
2
22
2
3
2
2
22
2
1
22
2
2
222
2
1
22
1
2
2
2
cos)(2
16
)1(
22
2
cos)(2
2
cos)(
2
2
cos)(
1
2
cos)(
2
2
6;
2
cos)(
π
ωπω
π
ω
πππ
ωπω
πω
π
ω
π
ω
π
bm
xdx
b
xb
b
m
V
bm
bbb
b
b
m
dx
b
x
xb
b
m
V
dx
b
xn
xb
b
m
dx
b
xn
xbm
b
dx
b
xn
xV
b
Vn
bm
V
b
xn
VnVxV
b
o
b
o
b
o
b
o
b
o
o
n
o
=?=
=
=?=
=
==
=
+=
∫
∫
∫
∫∫
∑
∞
=
30、已知一维晶体的电子能带可写成
)2coscos()(
8
1
8
7
2
2
kaka
ma
kE +?=
h
式中a为晶格常数,
试求：(i)能带宽度 (ii)电子在波矢k时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量
解：(i) 0=
dk
dE
可解得,
2cos;sin
0cossin
2
1
sin;02sin
4
1
sin
==
=?
=?
kaoka
kakaka
kaka
因为ka为实数，若只有sin ka=0存在，则ka=nπ；
2
2
2
,;0)(,0
,1;0,0
maa
E
a
koEk
a
knkn
h
=
===
====
ππ
π
时时
75
能带宽
2
2
2
ma
h
=
（ii）)2sinsin(
11
)(
8
2
2
2
kakaa
madk
dE
kV
a
==
h
hh
)2sin(sin
4
1
kaka
ma
=
h
（iii）)2cos
2
1
(cos;
1
2
2
2
1
*
2
2
2
kaka
mdk
Ed
m
dk
Ed
==
h
h
带底位于mkmok
m
2
1
)0(
2
1
*
2
2
=
==→=
h
h
带顶位于m
a
km
a
k
m
3
21
)(
2
3
2
1
*
2
2
=
==→=
h
h
ππ
27、克龙尼克一潘纳问题，当势阱之间的间距∞→b时，决定能量的关系式，
并说明此结果。
∞→b，此时势能为,解：由克一潘模型加上条件
<>
<<
=
0
00
)(
0
xaxV
ax
xV
或当
这实际上是求有限深势阱的本征值问题
由薛定谔方程,
0
V
)(xV
[]0)(
2
22
2
=?+?
xVE
M
dx
d
h
分区讨论波函数形式
1）在 0)(0 =<< xVax处
xBxA
dx
d
MEME
dx
d
αα?
α
α?
cossin
0
2
0
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
22
1
2
+=
=+∴
==+∴
则令
hh
2）在的情况讨论及
00
,)(00 VEVxVxx <=<>
[]
xx
DeCe
dx
d
EV
M
VE
M
dx
d
ββ
β
β?
+=∴=+
==?+∴
22
2
2
2
2
0
2
2
20
22
2
2
0
)(
2
0
2
hh
令
讨论边界条件和连续性
76
①当
x
DeCx
β
==∴+∞→ 0,有限时
22
22
2121
②当
x
CeDx
β
==∴?∞→ 0,有限时
③当)()()()(,aaaaax ′=′==及时
aβ?
DeaBaA αα =+ cossin
2121
（1）
a
eDaBaA
β
βαααα
=? sinsin （2）
4）在 )0()0()0()0(,0
′′
===及处x
B=C （3）
βα CA = （4）
由（3）（4）式得)2)(1(代入BA βα =
a
DeaAaA
β
α
β
α
α
=+∴ cossin （5）
a
eDaAaA
β
βα
β
α
αα
=? sincos
2
（6）
（5）÷（6）
atg
atg
aa
aaaa
aa
aa
α
αβ
βα
βα
αβ
β
α
α
αβ
β
α
αα
ααααααβ
βααα
αα
β
α
β
α
β
α
β
α
2
22
sincos2
sincoscossin
1
sincos
cossin
22
22
2
2
2
2
=?∴
=
=
=∴
+?=+∴
=
+
将:)(
22
2
2
2
2
代入上式得EV
MME
o
==
hh
βα
77
)(22)2(
2
)(2
2
)2(
2
2
)(
22
22
2
)(2
2
22
EVEME
a
tgVE
ME
a
tg
EVE
M
VE
M
tga
EV
M
E
M
oo
o
o
ME
EVM
ME
o
o
=?
=?
=
h
h
hh
hh
h
hh
讨论1）用图解法求能量的本征值
222
)(22
o
oo
Vatg
EVEVE
=+=
=?=
ηξηαξ
ηξ
而则上式可写作令
当V
o
一定时，至少存在一个束缚态。当π>
o
V时，开始出现第一个激发态。
讨论2）当时∞→
o
V
ξ
η
α =atg
o
o
VE
EVE
=
2
)(2
o
o
oo
VE
EVE
V
atg
V?
∞→
=
∞→ 2
)(2limlim
α
=罗必达法则0
1
2
2
1
)(
1
2
1
=
EV
o
E
由此可得
2
222
22
3,2,1
a
n
MEnME
a
nna
h
h
LL
π
π
πα
==
==整数
Mn
n
E
2
22
hπ
=这就是粒子在无限深势阱中的情况，与我们过去得到的结果定全一致。
44、钠是体心立方结构，晶格常数，试用自由电子模型计算钠的霍尔系数（用SI单位制）
o
Aa 28.4=
解：由于霍尔系数
ne
R
1
=
且钠是体心立方结构，一个体心立方单元里存两个原子
328
322
83
1055.2
1055.2
)1028.4(
222
×=
×=
×
===∴
m
cm
aV
n
78
由SI单位制
)(1045.2
106.11055.2
11
3
10
1928
库仑
m
ne
R
×?=
×××
=?=
45、自由粒子的平面波exp(ik
a
x)遇到势垒发生反射，可作为一维情况散射的模型。
若x<0区域，粒子势能为0，在
0
,0 VVx =≥势能区域（正的常数），粒子的反射波为
Rexp(-ik
a
x)透射波为Texp(ik
b
x)试求反射粒子流的强度|R|
2
解：
≥>
<
=
)(,0
)(,0
0 oxV
ox
υ
一维定态薛定谔方程
EV
dx
d
m
=+
2
22
h
—
即0)(
2
2
=?+′′ VE
m
h
1)
2
2
2
h
mE
Kox
a
=<令处
0=V
0
2
=+′′∴
a
K
代表反射波→+=∴
xikxik
aa
Ae Re?
2)当
0
o
0 VVx =≥ Q处
透射波为现说明（不考虑势垒贯穿）情况。
xik
b
Te VE >
xikxik
b
b
bb
BeTe
K
VE
m
K
+=
=+′′
=∴
得有令
0
)(
2
2
0
2
2
h
由于在即无反射无变化,0 γ∞<≤ x
>
<+
=∴
=∴
0
0
0
xTe
xReAe
B
xik
xikxik
b
aa
已知A=1，（入射）
点在的连续性与由0,=′ x
79
+
=
+
=?
=?
=+
ba
a
ba
ba
baa
kk
k
T
kk
kk
R
TikRikik
TR
2
,
1
()
()
xx
kk
kk
R
E
V
E
V
k
k
k
k
ba
ba
o
o
a
b
a
b
2
1
11
11
11
1
1
2
2
2
2
2
≈?
+
=
+
=
+
=
当 时VE >>
0
1
16
1
4
1
2
2
0
2
0
2
<<=?
=
E
V
E
V
R
,1,
4
1 2
0
== RVE时此时，入射的平面波粒子流强度等于反射粒子流强度。
80
常用的物理常数
电子电荷e=1.602192×10
-19
库仑
普朗态常数h=6.62620×10
-34
焦耳·秒
=6.62620×10
-27
尔格·秒
=4.14×10
-15
电子伏特
秒焦耳?×==
34
100546.1
2π
h
h
=6.5822×10
-16
电子伏特·秒
玻耳兹曼常数K=1.38062×10
-23
焦耳·开
-1
=8.6157×10
-5
电子伏特·开
-1
电子静质量m=9.10956×10
-31
千克
=9.10956×10
-28
克
真空磁导率μ
0
=1.2566×10
-6
伏秒·安
-1
·米
-1
真空介电常数ε
0
=8.8542×10
-12
安·秒·伏
-1
·米
-1
玻尔半径α=0.529166×10
-10
米
波尔磁子 μ
B
=1.1654×10伏·秒·米 B
-29
里德堡常数R
∞
=1.9737312×10
7
米
-1
R
H
=1.09677576×10
7
米
-1
81
