线性代数复习一、矩阵(向量)的运算及性质
1,数组的矩阵表示：
若有线性变换T：，
记—称为维列向量或的列矩阵，—称为维列向量或的列矩阵，—称为的矩阵，
则有，或。（一一对应）
特别地，若有，和都为n维列向量，，这里，—称为阶对角阵，。若，，记—称为阶单位阵。，称为恒等变换。
2矩阵的向量表示：设，记，则—的一种分块矩阵，是的个维列向量组，于是—称向量是的线性组合。
记，则，是的个维行向量组，于是，。（一般地，把行向量写成列向量的 转置）
∴是的两种特殊形式的分块矩阵。
3,矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算：
加减：若，，则，两矩阵相加减必须具有相同行和列。
数乘：，矩阵数乘必须每一个元素都数乘。
乘积：若，，能相乘必须要求的列数的行数。此时，，其中，
在相乘条件下有分配律：，结合律：，一般说来，，即交换律不一定成立。
但是，若—为阶方阵，为正整数，称是的次幂阵，于是有，。若称为次幂零阵。
若，，
则⑴——阶方阵，由此，若至少有一个为非零，则。
⑵，一阶方阵为一数，称数是向量的内积（或数量积），线性代数中记为，高数中记为。此时，由乘积结合律。
4,转置运算：设，则称，为的转置矩阵，中第行第列元素恰为的第列第行元素。运算规律：，，，。
5,分块矩阵的线性运算，乘积运算和矩阵类似：
设，，，
此时，—这是的一种分块，是的列向量组。
又，—这是的另一种分块，
是的行向量组。
若，则。
由矩阵的分块运算，若是同维向量组(分量个数相同)，则的一个线性组合为：，为列向量组；，为行向量组。
例：设，，求。
解：∵，，于是，
。类似地，⑴
。⑵，这里。
二．初等变换和初等方阵
1,初等行(或列)变换：记(或)——交换第行(或列)和第行(或列)对应元素。(或)——第行(或列)对应元素乘倍。(或)——第行(或列)上元素的倍加到第行(或列)上的对应元素。
2,初等方阵：对阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。，，。
⑴ 初等方阵，，都是可逆阵。并且
，，。
⑵ 对施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在的左方(或右方)乘上一个相应的阶(或阶)初等方阵，即
，
(行变换——左乘初等方阵，列变换——右乘初等方阵)。
例1：求，使。
解：由于，∴；又，
∴。于是，
。
例2：选择题，设，，，，则有（ ）。（A），（B），（C），（D）。
解：由，，故选（C）。
三．利用行列式的性质计算低阶和阶行列式的值
1,行列式的初等变换性质（以行变换为例）：
，是作后的行列式；
，是作后的行列式；
，是作后的行列式。
推论：⑴，其中，行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的。⑵若行列式的二行(或二列)对应元素成比例，则。
2,，而
，
即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时，。
3,方阵的行列式性质：⑴ ，；⑵ ；
⑶ 若，则，但是不一定等于。
4,行列式的Laplace展开法则：
设，则，其中是的代数余子式。
5,范德蒙行列式：
，
共有个因子。
例：。
6,对角阵和反块对角阵的行列式：
若，则；若，。若为方阵，则。
7,阶行列式计算技巧：
⑴ 利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算。
例⒈ 求，各行元素之和为常数。
解：。
例⒉ 求→第3行(或列)元素都为3。解：。
例⒊ 求，即求阶对称行列式之值。
解：由于的第一行和第行对应元素相加后，每一个元素都为，故，
又第二行到第行中相邻二项之差为，故。
例⒋ 求实对称阵的特征根。
解：，由于的每一行元素之和都为，故
。
，，为实对称阵的所有特征根。
例5：设，求的根。解：。
例6：求。解：。
例7：求。解：
⑵ 某行(或列)有很多零的Laplace展开。
例⒈ 求。解：按第一行展开：，按第一列展开：。
例⒉ 求。解：
，其中，于是。
⑶ 建立递推公式和利用数学归纳法计算：
例⒈ 求。解：按第一行。，
设，则。
例⒉ 设，求。解：由行列式的加法，。∵，
∴，设，则。
四．求逆阵的四种方法：设，
1,若，则或。
2,求伴随矩阵，其中，是的代数余子式。
于是，对于所有方阵，都有。此时，若，则方阵为可逆阵，且。若，，则方阵为不可逆阵或奇异阵。
特别地，当时，则为可逆阵，且。
例：解矩阵方程。
解：，则；，则。于是。
3,利用初等行变换或初等列变换：
，，
若解，为可逆阵，则，，
若解，为可逆阵，则，。
4,分块对角方阵的逆阵：
若,都是方阵，
则可逆都是可逆阵，并且，。
例⒈ 试证可逆，并求。
证：，∴为可逆阵。,，
，，，，，
∴。
例⒉ 设，其中，，，求，，。
解：，为可逆阵。，，，，，，。。
例⒊ 设三阶方阵满足，求。
解：，。
例⒋ 设为可逆阵，是的伴随阵，
试证：⑴；⑵；⑶。
证：⑴，∵可逆，∴，又∵，
∴。
⑵由，故。
⑶由，故；又，，故。
例5：设为阶方阵，，求。
解：由，，，故
五、可逆阵的性质及判断
1,性质：下列条件等价：⑴ 阶方阵为可逆阵。 ⑵ 为可逆阵，， ⑶ 为可逆阵，，，；⑷ 时，为可逆阵，；
⑸ 当为阶可逆阵时，为可逆阵，并且；
⑹ 为可逆阵，并且。
2,判断阶方阵为可逆阵的方法，下面条件是等价的：
⑴ 为可逆阵，即，为阶方阵，使；
⑵ ，即为非奇异阵(为奇异阵或为不可逆阵)，且；
⑶ ，即为满秩阵(为降秩阵)；
⑷ 的行向量组(或列向量组)是一组线性无关向量组；
⑸ 的行向量组(或列向量组)是维向量空间中的一组基；
⑹ 只有零解(无非零解)；
⑺ 可以表示成有限个初等方阵的乘积；
⑻ 和等价，，即阶非奇异阵，使。
例⒈设阶方阵满足，试证：，为整数）都为可逆阵。
证：由，，于是可逆，。
由，，于是可逆，。由，，∵，∴为整数，为整数）为可逆阵，。
例⒉ 设，是维非零列向量，是的转置，
证明：⑴ ，⑵ 当时，是不可逆阵。
证：⑴，。
若，则，为非零列向量，
设不全为零，则矩阵，∴数。
若，则，即。
⑵当时，，，。若为可逆阵，则，，又，故矩阵，为维零列向量，矛盾。∴是不可逆阵。
例3：设，矩阵满足，是的伴随阵，求矩阵。
解：，为可逆阵，，，
，，。
六、判断向量组线性相关性的方法
1,定义：[注：对“”(任意给定的意思)，“”(存在或找到的意思)应有深刻理解]
若不全为0（即），使，则称向量组是线性相关的。否则，即不全为0，使，则称向量组是线性无关的。
因此，若有方程，能解出不全为0的，使上式成立，则线性相关，若上述方程只有零解，，则是线性无关的。
线性表示：若（不一定不全为0），使，
则称由线性表示。线性表示的矩阵表示。若是中的一组基，则是基下的坐标若向量组由向量组线性表示，则矩阵，使或。
2,若向量组是具体向量组，可把组成某一矩阵的列向量组，通过对矩阵的作初等行变换化为含有单位阵的等价矩阵，然后结合子式的值确定向量组的线性相关性（即求其秩，线性无关最大组，其它向量由最大的线性无关组线性表示。
例：判断向量组，，，的线性相关性，求向量组的秩，并写出一个最大的线性无关组。
解：。故，线性相关，为最大的线性无关组。。
例2：设，。求向量组的一个最大的线性无关组；并把其它向量由最大线性无关组线性表示。
解：。
于是，线性相关，为向量组的一个最大的线性无关组； 。
3,抽象向量组的线性相关性判断
⑴ 若证明向量组是线性相关的，可直接用定义来证明；若证明向量组是线性无关的，则一般用反证法。
⑵ 用定理判断向量组的线性相关性。
① 定理1：（线性相关的向量组关于向量个数延拓性定理）
若线性相关，则也线性相关。特别地，含有零向量的向量组必是线性相关向量组。
② 定理2：（线性无关的向量组关于分量个数延拓性定理）
设，，则当线性无关时，也线性无关。
③ 定理3,个维()的向量组(向量个数大于分量个数)必线性相关。
④ 定理4：（向量组之间秩的比较基本定理）
A) 设有两个向量组：，，若向量组由线性表示，则。
B) 等价向量组的秩是相等的。即若组由组线性表示，组由组线性表示，则称、两向量组是等价向量组，此时，。反之不然。即若，则、两向量组不一定是等价向量组。例如：，；，。，但是，由于向量不能用向量表示，故、两向量组不等价。
七、矩阵秩的计算方法
1,若是具体矩阵，
⑴ 可用子式的值判断：如果的一个阶子式，则，又包含的所有阶子式都为零，则。
⑵ 可用初等变换结合子式的值来判断。
2,若是抽象矩阵,
⑴ 可利用行向量(或列向量)组的秩来讨论，即的行(或列)向量组的秩。
⑵ 可利用解空间维数讨论，即解空间是维的向量空间。
3,若，则阶非奇异阵和阶非奇异阵，使，即~。
4,；；若，则。
例⒈ 设是一组维向量，证明：它们线性无关任一维向量都由它们线性表示。
证：设是一组维线性无关向量组，为任一维向量，
∵个维向量组必线性相关，∴线性相关，即不全为零，使。现，若不然，时，有。∵线性无关，∴，矛盾。故，，即任一维向量可由线性表示。
设任一维向量可由线性表示，
∵都可由线性表示，而也由线性表示。
∴，即个向量线性无关。
例⒉ 设，，且向量组线性无关，试证向量组也线性无关。
证1,(用定义)反证法：设线性相关，则不全为0的，使，即，
∵线性无关，∴满足线性方程组，于是，矛盾，∴线性无关。
证2,(一般方法，用矩阵讨论)（分析：∵线性无关，由线性表示，只要证也由线性表示即可）。
∵由线性表示，并且，，则
，，显然，，
∴为可逆，，即由线性表示。
∴和两向量组等价，，
即线性无关。
思考题：(结合例3)设向量组线性无关，，，┅，，，试讨论线性相关性，并说明理由。
例⒊ 设向量组B：能由向量组A：线性表示，于是存在，使，而线性无关，试证线性无关(即的行向量组线性无关)。
证：反证法：若，即的行向量组线性相关，则不全为0，使，于是，即也线性相关，矛盾。∴。
反证法：设线性相关，则不全为0的，使，于是，。
设，，
∵线性无关，∴，即，，
∴线性相关，矛盾。∴线性无关。
(注：在定理条件下，当时，则线性无关可逆)
例⒋ 设向量组A和向量组B的秩相等，且A能由B线性表示，则A、B两向量组等价。
证：（只要证B由A线性表示即可）
∵，则A、B中分别有一个线性无关最大组，
设；分别是A、B的一个线性无关最大组，显然A能由B线性表示时，由线性表示，于是，，使，由例3注知，线性无关可逆，于是，即由线性表示，从而B由A线性表示，∴A、B两向量组等价。
例⒌ 设A、B都为矩阵，证明。
证：，∴阶非奇异阵，使，，又，，∴。
，于是阶非奇异阵，阶非奇异阵，使，。
，都为可逆阵，∴。
例⒍ ⑴设，，，
证明。
证：，于是，
的行向量组由的行向量组线性表示，∴。
又，于是，
的列向量组由的列向量组线性表示，∴。
∴。
⑵证。
证：设，，，，
，作向量组，
显然，，
而的列向量组由向量组线性表示，
∴。
例⒎ 若线性无关，而不能由线性表示，
试证，必线性无关。
证：反证法：设，线性相关，则不全为0，
有，
现，若不然，，则有，∵线性无关，
∴，矛盾。∴，，
即由线性表示，矛盾。故，线性无关。
思考题：在中，对、都不能表示它前面个向量的线性组合，试证线性无关。
例⒏ 设，，则有（ ）。
（A），必有 （B），必有
（C），必有 （D），必有
解：设，则，，，而为阶矩阵，∴，选。
例9．设向量组A：能由向量组B：线性表示，则有（ ）。
（A）时，B必线性相关 （B）时，B必线性相关
（C）时，A必线性相关 （D）时，A必线性相关解：∵向量组A：能由向量组B：线性表示，
∴，若，向量组A：线性无关时，可以小于s；若时，，向量组A必线性相关，选（D）。
例10．已知向量组Ⅰ：，，和向量组Ⅱ：，，具有相同秩，并且可由线性表示，求a，b之值。
解：，
，是向量组Ⅰ的最大线性无关组，并且；
，，；又可由线性表示，即可由线性表示，，，，。
八．线性方程组解的结构：设，，。
1,齐次线性方程组解的结构：
有非零解(为的列向量个数即未知数个数)，此时，的解集是一个维向量空间，即有个基础解(最大的线性无关解或基)。
若是具体矩阵，此时必须把初等行变换到含有一个阶数等于的单位阵，从而由很容易写出的同解线性方程组来确定个基础解。显然，当(方程个数小于未知数个数)，则必有非零解。
只有零解。特别地，(阶方阵)，则只有零解，即，有非零解，即。
若是的解，则也是的解。
例⒈ 解。
解：，∴方程组必有非零解。
，
，于是同解方程组为，基础解为：，
，∴是方程组通解。
2,非齐次线性方程组解的结构：
⑴ 有解，把利用初等行变换(不能列变换)结合子式来判断，并且此时必须把初等行变换到含有一个阶数为的单位阵，就可写出的同解方程组，进而确定的通解形式。
例⒉ 为何值时，方程组有①唯一解；②无解；③无穷多组解。有解时，试写出全部解。
解：
。
① 时，，有唯一解。
，。
② 时，，，无解。
③ 时，有无穷多组解。
，同解方程组为，通解。
⑵ 当时，有唯一解。
当时，有无穷多组解：通解。
其中是的通解，是的一个特解。
⑶ 若是的两个特解，则是的解。
若，是的个线性无关特解，则，，是的个线性无关基础解，从而+，（）是的通解。
例⒊ ⑴设，，，试证。
⑵设，,，，试证
证：⑴设，，于是，
即是齐次线性方程组的解向量，而的解空间是维向量空间。∴，。(注：熟知例3⑴的证明思路及其结论)。
⑵令，，
，若，则线性相关，于是不全为0，使，，即也线性相关，矛盾。故。现证。事实上，，由上可知，。
例⒋ 设阶方阵满足，试证。
证：，，由例3（1）知，，
又，，∴。
例⒌ 已知线性方程组Ⅰ：的一个基础解为
。
试写出线性方程组Ⅱ：的通解，并说明理由。
解：Ⅰ：，，∵基础解的个数为。于是，，，即的行向量组线性无关。令，，于是，线性无关，并且令时，有，，，
，又令，于是Ⅱ为，。又，，，∴是的线性无关解，其个数恰为，从而为基础解。∴通解。
例⒍ 设是阶方阵，正整数，有解向量，但，试证：线性无关。
证：设线性相关，则不全为0的使。左乘，由，，，；
，左乘，得，…，左乘，得，从而，矛盾。∴线性无关。
例⒎ 设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关为（ ） （A）由线性表示；（B）由线性表示；（C）向量组和向量组等价；
（D）矩阵和矩阵等价。
解：（A）为充分条件；（B）既非充分又非必要；（C）也为充分条件，反例：
，，，；（D）对。
证：，，从而。
，，，，。。
例⒏ 已知4阶方阵中线性无关，，如果，求的通解。
解：，求通解。
，线性无关，，，，通解。
求的一个特解。满足上式。∴通解。
例⒐ 设有，，均为阶矩阵，现有4个命题：
⑴若的解均为的解，则；
⑵若，则的解均是的解；
⑶若和同解，则；
⑷若，则和同解，以上正确的是（ ）：
（A）⑴、⑵ （B）⑴、⑶ （C）⑵、⑷ （D）⑶、⑷
解：⑴对。，。⑶对。由同解，解空间，。由，，，，，通解为；，，通解为。
可知⑵，⑷不一定对。∴选（B）。
例⑽ 已知是的一个基础解系，，，，…，，、为实数，试问、满足什么关系，也为的一个基础解系。
解：，
当时，
由线性表示，
∴线性无关，即为基础解。
（1）当为偶数时，；（2）当为奇数时，。
例⑾ 设是的一个基础解，是的一个特解。试证，线性无关。
证：反证法(证明线性无关一般用反证法，切记)：
设，线性相关，则不全为0，
使，，
∵，，∴，，
于是，。
又为的一个基础解，即线性无关。
∴，矛盾。∴，线性无关。
思考题：向量是的一个基础解，向量不是的解，
试证：必线性无关。
例⑿ 设是不可逆的阶方阵，是的伴随阵，试证都是的解。
证：，∵是不可逆的阶方阵，∴，，
，即都是的解。
思考题：若，试证。
例⒀ 向量能否表示成的线性组合。其中：，，，。
解1：（一般方法）
设有，使，
即，，，，有唯一解：
，，，。
解2：（特殊方法）
对，∴线性无关，从而是四维向量空间中的一组基，于是任一四维向量都可用线性表示。（如何表示要用解1）
3,线性方程组解的结构和平面直线关系：
⑴ 在上表示一条直线，，于是表示两条直线，：，，若，则，平行或重合，（平行，重合），此时，无解，即；
，重合有无穷多解，且；
，相交，，有唯一解，。对三条直线，（1）重合；（2）三条平行或两两相交；（3）交于一点。
⑵ 在上表示一平面，于是，表示两平面，关系。
，，不重合；，重合；，相交，此时有交线，是过，的直线，若有解，则，。
，（1）三平面重合；（2）三平面交于一线；（3）三平面交与一点。
例⒁ 设是满秩阵，则直线和直线（A）相交于一点；（B）重合；（C）平行但不重合；（D）异面。
解：，，
，。
，
，共面，，，故、不平行，即直线，相交于一点。∴选（A）。
例⒂ 已知平面上三条不同直线的方程分别为，，，试证这三条直线交与一点。
证：、、交与一点，，，，
，
∵、、为三条不同直线，∴、、不全相等，于是，
∴，，。
九、向量的内积、模、正交、正交规范基的定义及性质，向量空间中基的正交归范化
1,向量的内积、模、正交的定义：以下向量都指维向量空间列向量。
称数为向量，的内积，记为，。
称为的模，记为，。
若，称两向量，正交。
2,若一组非零向量满足，则称为正交向量组。
3,正交向量组必线性无关。
4,若个向量是维向量空间中一组正交向量组，则称是的一组正交向量基。特别地，，则称为的一组正交规范基。向量组是中的一组正交规范基。
5,向量空间中基的正交规范化方法——施密顿方法：
若是中一组基，现以为例，把化为中一组正交规范基，令，，使，，，使，，，，则是中一组正交基，，，是中一组正交规范基。
6,若线性空间中有两组基，，
如果，
即，
称矩阵是由基到基的过渡矩阵。显然为可逆阵。
十、方阵的特征值及特征向量
1,设，若（复数集）及非零列向量，使，称是方阵的特征值，是的对应于特征值的一个特征向量，特征值可以为复数，特征向量必为非零向量，即。
2,方阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关。
3,方阵的所有特征值由求得，阶方阵的特征多项式是的次多项式。
4,方阵的关于特征值的对应特征向量是由解得的所有非零解。
5,方阵的特征值的性质：
⑴ 设的所有特征值为，则①(的迹)；②。
⑵ 设是的多项式表达式，则当是的特征值时，是的特征值。例如，是的特征值；是的特征值。
⑶方阵至少有一个特征值为零；方阵所有特征值不为零；此时，当是可逆阵的特征值时，是的特征值；是伴随阵的特征值。
例⒈ 求的所有特征值。
解：，设是的任一特征值，则是的特征值，是的特征值，于是，或，又设的所有特征值为，，则，于是只有一根为，其余个根全为0。
例2．设的伴随阵有一个特征值及相应特征向量，且，求，，，。
解：，，，，，，，，，，，；
,。
十一、方阵相似概念，正交阵定义及性质，实对称阵相似特点
1,设有方阵，若可逆阵，使，则称方阵相似，称为相似矩阵，运算称为相似变换。
2,相似阵的性质：
⑴ 相似矩阵必为等阶矩阵，反之不然。
⑵ 相似矩阵的特征多项式、特征值必相同，但是特征向量不一定相同。
⑶ 阶方阵和对角阵相似有个线性无关特征向量。特别地，当有个互不相同的特征值时，必和对角阵相似。
3,正交阵：⑴ 若阶方阵满足，即，则称为 正交阵。
⑵ 下列条件等价：① 为阶正交阵。 ② 。
③ 的行向量组(或列向量组)是中的正交规范基，即都是单位向量，且两两正交。
⑶ 设是正交阵，，则，。
4,实对称阵：
⑴定义,设，，，又，则称为实对称阵。
⑵性质：① 实对称阵所有特征根为实数，从而特征向量也为实向量。
② 实对称阵不同的特征值对应的特征向量互为正交。
③若是实对称阵的重特征根，则，从而的解空间为维向量空间，即实对称阵关于重特征根恰有个线性无关的特征向量。
④ 对阶实对称阵，必正交阵，使，是以的特征值为对角元素的对角阵，的列向量恰是对应对角元素特征值的正交规范化的特征向量，即，，，，此时，。（计算实对称阵的的一种方法）
例⒈ 设为阶矩阵，，是的两个不同的特征值，，是分别属于，的特征向量，试证不是的特征向量。
证：反证法：设是的特征向量，则使，而，，
∵，是的两个不同的特征值，∴对应的特征向量，必线性无关，从而，矛盾。故必不是的特征向量。
例⒉ 已知和相似，求⑴，，⑵求一个满足的可逆阵。
解：⑴∵，相似，∴，
，比较的系数，，。
⑵由于为对角阵，为对称阵，
且，，，
时，
，，；
时，
，，；
时，，，；
，可逆，并且有。
例⒊ 设三阶矩阵的特征值分别为，，对应的特征向量依次为，，，又向量，（1）将用，，线性表示；（2）求（为自然数）。
解：（1），，是不同特征值对应的特征向量，从而线性无关，于是为一组基，
∴唯一，，，使，是的唯一解。
，，。
（2）。
例⒋ 设三阶实对称阵的特征值为，，对应于的特征向量，求。
解：对应于的线性无关特征向量，必和正交，，∴，是的线性无关解，，，，，又，∴，正交，，，，于是，，，
。
例⒌ 设，，，求的特征值和特征向量.。其中是的伴随阵，为三阶单位阵。
解：，，，可逆，，若的特征值为，则的特征值为，又，∴和的特征值相同，也为，从而的特征值为。
，于是，，（二重根）。的特征根，（二重根）。
，，，，，令，，，，。
，，
，，，，
，，，，
，
，
，，为分别对应于特征值，（二重根）的特征向量.。
例⒍ 设、同解方阵，（1）如果、相似，试证、的特征多项式相等；（2）举一个两阶方阵例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当、均为实对称阵时，试证（1）的逆命题成立。
证：（1）、相似，为可逆阵，有，
，
即、的特征多项式相等。
（2），，，但、不相似。
反证法：若相似，为非奇异阵，有，矛盾，∴、不相似。
（3）∵、的特征多项式相等，∴、的特征根相同，由于、为实对称阵，其特征根均为实数，设为，于是为正交阵，，，，
，、相似。
例⒎ 设矩阵，问为何值时，为奇异阵，使为对角阵，并写出和相应的对角阵。
解：为非对称阵，和对角阵相似，有个线性无关特征向量，
，（二重根），。
对应特征向量有两个线性无关解，即，
，，
当时，，，，；
时，，
，，，
则。
例⒏ 设阶方阵有的特征值，求。
解1：有个不同特征值，必有个线性无关特征向量，于是，
。
解2：是的特征值，。
十二、把二次型化为标准型
1,二次型：称为关于的二次型。其矩阵表达式为，实对称阵，
2,配方法化二次型为标准型。
3,正交变换化二次型为标准型：对，，
第一步：求出的所有特征根(包括重数)；
第二步：对每一求的非零解；
若为单根，则只有一个线性无关解，若为重根，则有个线性无关解；
第三步：正交规范化，单根的特征向量只要规范化(除以模)即可，重根的特征向量应利用施密顿正交化方法进行正交规范化；
第四步：由个正交规范化的特征向量依次组成正交矩阵的列向量组，写出正交变换，，，于是，其中是关于的正交规范的特征向量。
十三、惯性定理及正定二次型判定
1,二次型的标准式中正项个数和负项个数是一定的。
2,是正定二次型(即,)的所有特征值大于0的顺序主子式都大于0。
3,是负定二次型(即,)的顺序主子式是负正相间。
例⒈ 求一个正交变换，化二次型为标准型。
解：，
，(二重根)，。
(二重根)，，，
，，令，，使，
，，；
，
，，，，。
当时，。
例⒉ 已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数及所用的正交变换矩阵。
解：有标准型，即有特征值，，，于是，，，。
时，
，，，；
时，，，；
时，
，，，。
∴正交变换矩阵为。
例⒊ 已知二次型的秩为2，求参数及此二次型对应矩阵的特征值。
解：，∵，
∴，。
时，
。，，。
例⒋ 设四元线性方程组(Ⅰ)，又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为，⑴求(Ⅰ)的基础解系；⑵问线性方程(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，试求出所有非零公共解，若没有，试说明原因。
解：⑴，，，，为(Ⅰ)的基础解。
⑵非零公共解应不全为0，不全为0，
使，
，，，
时，非零公共解为。
例⒌ 设为对称正定阵，试证：可逆阵，使。
证：∵为对称正定阵，∴正交阵，使，，，，
令，为可逆阵，于是。
例⒍ 设为阶实矩阵，为阶单位阵，，试证：当时，矩阵为正定矩阵。
证：，为实对称阵，，
，
当时，，，
∴，即为正定矩阵。
例⒎ 证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大的特征值。
证：为实对称阵，正交阵，使，，是的所有特征值，于是
，，，
求在下最大值。不妨设是的最大值，则，等式成立当，时取得，于是在时最大值为矩阵的最大的特征值例⒏ 已知二次曲面方程经过正交变换化为椭圆柱面方程，求、值和正交阵。
解：，经正交变换，和对角阵相似，于是的特征值分别为，，，于是。
，，
，，
此时，，∴。
对，，，，；
对，，，，；
对，，，，。
∴。
例⒐ 设为阶实对称正交阵，为实矩阵，试证：为正定阵。
证：设为正定阵，，,，而为正交阵，
∴，，即无非零解，只有零解，故。
，则只有零解，即，，为正定阵，
，，又，为实对称阵。
∴为正定阵。
例⒑ 设为阶正定阵，试证：。
证：，，。
，。
十四、线性空间和线性变换
1,定义：设为一非空集合，为实数域，，有唯一对应，，，有唯一，又满足8条线性运算规律：加法：①交换律；②结合律；
③有零元素；④有负元素；数乘：⑤；⑥结合律；⑦⑧分配律。称是上向量空间。
2,子空间：若为线性空间，为的子空间，。
3,维数、基和坐标：设为线性空间，若满足：（1）线性无关，（2），，则称是的一组基，是的维数，记为，是在下的坐标，
记为。
4,基变换：设和分别是的两个基，于是有基变换公式：，或，称为由到的过渡矩阵，可逆。
若，则，称为坐标变换公式。
5,线性变换：
⑴ 定义：设、分别为实数域的维，维向量空间，若有变换，满足：①，；②。称是由到的一个线性变换，讨论的线性变换。
⑵ 上线性变换的象集是的一个子空间，称为的核，也是的一个子空间。
⑶ 若是中一个线性变换，是中一组基，于是，，。
称是在基下矩阵。
⑷ 设和分别是的两个基，由到的过渡矩阵为，，中线性变换在两组基下矩阵分别为、，,，则，、相似，相似变换矩阵为过渡矩阵。
⑸ 线性子空间的维数称为线性变换的维数，若是的矩阵，则的秩，若的秩为，则的核维数为。
例：设是阶对称矩阵的全体，中线性运算为矩阵线性运算，已知阶矩阵，，称变换为合同变换，试证：
（1）合同变换是中线性变换。
证：，，
，
∴是中线性变换。
（2）是几维向量空间？
解：，，，…，，共有个，于是是中一组基，即为的线性空间。
（3）在中取合同变换，求在下的一矩阵，并证也为中一组基。
解：，
，
，
，在基下的矩阵为。∵，为可逆阵，∴也为中一组基，是基到基的过渡矩阵。
1,数组的矩阵表示：
若有线性变换T：，
记—称为维列向量或的列矩阵，—称为维列向量或的列矩阵，—称为的矩阵，
则有，或。（一一对应）
特别地，若有，和都为n维列向量，，这里，—称为阶对角阵，。若，，记—称为阶单位阵。，称为恒等变换。
2矩阵的向量表示：设，记，则—的一种分块矩阵，是的个维列向量组，于是—称向量是的线性组合。
记，则，是的个维行向量组，于是，。（一般地，把行向量写成列向量的 转置）
∴是的两种特殊形式的分块矩阵。
3,矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算：
加减：若，，则，两矩阵相加减必须具有相同行和列。
数乘：，矩阵数乘必须每一个元素都数乘。
乘积：若，，能相乘必须要求的列数的行数。此时，，其中，
在相乘条件下有分配律：，结合律：，一般说来，，即交换律不一定成立。
但是，若—为阶方阵，为正整数，称是的次幂阵，于是有，。若称为次幂零阵。
若，，
则⑴——阶方阵，由此，若至少有一个为非零，则。
⑵，一阶方阵为一数，称数是向量的内积（或数量积），线性代数中记为，高数中记为。此时，由乘积结合律。
4,转置运算：设，则称，为的转置矩阵，中第行第列元素恰为的第列第行元素。运算规律：，，，。
5,分块矩阵的线性运算，乘积运算和矩阵类似：
设，，，
此时，—这是的一种分块，是的列向量组。
又，—这是的另一种分块，
是的行向量组。
若，则。
由矩阵的分块运算，若是同维向量组(分量个数相同)，则的一个线性组合为：，为列向量组；，为行向量组。
例：设，，求。
解：∵，，于是，
。类似地，⑴
。⑵，这里。
二．初等变换和初等方阵
1,初等行(或列)变换：记(或)——交换第行(或列)和第行(或列)对应元素。(或)——第行(或列)对应元素乘倍。(或)——第行(或列)上元素的倍加到第行(或列)上的对应元素。
2,初等方阵：对阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。，，。
⑴ 初等方阵，，都是可逆阵。并且
，，。
⑵ 对施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在的左方(或右方)乘上一个相应的阶(或阶)初等方阵，即
，
(行变换——左乘初等方阵，列变换——右乘初等方阵)。
例1：求，使。
解：由于，∴；又，
∴。于是，
。
例2：选择题，设，，，，则有（ ）。（A），（B），（C），（D）。
解：由，，故选（C）。
三．利用行列式的性质计算低阶和阶行列式的值
1,行列式的初等变换性质（以行变换为例）：
，是作后的行列式；
，是作后的行列式；
，是作后的行列式。
推论：⑴，其中，行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的。⑵若行列式的二行(或二列)对应元素成比例，则。
2,，而
，
即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时，。
3,方阵的行列式性质：⑴ ，；⑵ ；
⑶ 若，则，但是不一定等于。
4,行列式的Laplace展开法则：
设，则，其中是的代数余子式。
5,范德蒙行列式：
，
共有个因子。
例：。
6,对角阵和反块对角阵的行列式：
若，则；若，。若为方阵，则。
7,阶行列式计算技巧：
⑴ 利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算。
例⒈ 求，各行元素之和为常数。
解：。
例⒉ 求→第3行(或列)元素都为3。解：。
例⒊ 求，即求阶对称行列式之值。
解：由于的第一行和第行对应元素相加后，每一个元素都为，故，
又第二行到第行中相邻二项之差为，故。
例⒋ 求实对称阵的特征根。
解：，由于的每一行元素之和都为，故
。
，，为实对称阵的所有特征根。
例5：设，求的根。解：。
例6：求。解：。
例7：求。解：
⑵ 某行(或列)有很多零的Laplace展开。
例⒈ 求。解：按第一行展开：，按第一列展开：。
例⒉ 求。解：
，其中，于是。
⑶ 建立递推公式和利用数学归纳法计算：
例⒈ 求。解：按第一行。，
设，则。
例⒉ 设，求。解：由行列式的加法，。∵，
∴，设，则。
四．求逆阵的四种方法：设，
1,若，则或。
2,求伴随矩阵，其中，是的代数余子式。
于是，对于所有方阵，都有。此时，若，则方阵为可逆阵，且。若，，则方阵为不可逆阵或奇异阵。
特别地，当时，则为可逆阵，且。
例：解矩阵方程。
解：，则；，则。于是。
3,利用初等行变换或初等列变换：
，，
若解，为可逆阵，则，，
若解，为可逆阵，则，。
4,分块对角方阵的逆阵：
若,都是方阵，
则可逆都是可逆阵，并且，。
例⒈ 试证可逆，并求。
证：，∴为可逆阵。,，
，，，，，
∴。
例⒉ 设，其中，，，求，，。
解：，为可逆阵。，，，，，，。。
例⒊ 设三阶方阵满足，求。
解：，。
例⒋ 设为可逆阵，是的伴随阵，
试证：⑴；⑵；⑶。
证：⑴，∵可逆，∴，又∵，
∴。
⑵由，故。
⑶由，故；又，，故。
例5：设为阶方阵，，求。
解：由，，，故
五、可逆阵的性质及判断
1,性质：下列条件等价：⑴ 阶方阵为可逆阵。 ⑵ 为可逆阵，， ⑶ 为可逆阵，，，；⑷ 时，为可逆阵，；
⑸ 当为阶可逆阵时，为可逆阵，并且；
⑹ 为可逆阵，并且。
2,判断阶方阵为可逆阵的方法，下面条件是等价的：
⑴ 为可逆阵，即，为阶方阵，使；
⑵ ，即为非奇异阵(为奇异阵或为不可逆阵)，且；
⑶ ，即为满秩阵(为降秩阵)；
⑷ 的行向量组(或列向量组)是一组线性无关向量组；
⑸ 的行向量组(或列向量组)是维向量空间中的一组基；
⑹ 只有零解(无非零解)；
⑺ 可以表示成有限个初等方阵的乘积；
⑻ 和等价，，即阶非奇异阵，使。
例⒈设阶方阵满足，试证：，为整数）都为可逆阵。
证：由，，于是可逆，。
由，，于是可逆，。由，，∵，∴为整数，为整数）为可逆阵，。
例⒉ 设，是维非零列向量，是的转置，
证明：⑴ ，⑵ 当时，是不可逆阵。
证：⑴，。
若，则，为非零列向量，
设不全为零，则矩阵，∴数。
若，则，即。
⑵当时，，，。若为可逆阵，则，，又，故矩阵，为维零列向量，矛盾。∴是不可逆阵。
例3：设，矩阵满足，是的伴随阵，求矩阵。
解：，为可逆阵，，，
，，。
六、判断向量组线性相关性的方法
1,定义：[注：对“”(任意给定的意思)，“”(存在或找到的意思)应有深刻理解]
若不全为0（即），使，则称向量组是线性相关的。否则，即不全为0，使，则称向量组是线性无关的。
因此，若有方程，能解出不全为0的，使上式成立，则线性相关，若上述方程只有零解，，则是线性无关的。
线性表示：若（不一定不全为0），使，
则称由线性表示。线性表示的矩阵表示。若是中的一组基，则是基下的坐标若向量组由向量组线性表示，则矩阵，使或。
2,若向量组是具体向量组，可把组成某一矩阵的列向量组，通过对矩阵的作初等行变换化为含有单位阵的等价矩阵，然后结合子式的值确定向量组的线性相关性（即求其秩，线性无关最大组，其它向量由最大的线性无关组线性表示。
例：判断向量组，，，的线性相关性，求向量组的秩，并写出一个最大的线性无关组。
解：。故，线性相关，为最大的线性无关组。。
例2：设，。求向量组的一个最大的线性无关组；并把其它向量由最大线性无关组线性表示。
解：。
于是，线性相关，为向量组的一个最大的线性无关组； 。
3,抽象向量组的线性相关性判断
⑴ 若证明向量组是线性相关的，可直接用定义来证明；若证明向量组是线性无关的，则一般用反证法。
⑵ 用定理判断向量组的线性相关性。
① 定理1：（线性相关的向量组关于向量个数延拓性定理）
若线性相关，则也线性相关。特别地，含有零向量的向量组必是线性相关向量组。
② 定理2：（线性无关的向量组关于分量个数延拓性定理）
设，，则当线性无关时，也线性无关。
③ 定理3,个维()的向量组(向量个数大于分量个数)必线性相关。
④ 定理4：（向量组之间秩的比较基本定理）
A) 设有两个向量组：，，若向量组由线性表示，则。
B) 等价向量组的秩是相等的。即若组由组线性表示，组由组线性表示，则称、两向量组是等价向量组，此时，。反之不然。即若，则、两向量组不一定是等价向量组。例如：，；，。，但是，由于向量不能用向量表示，故、两向量组不等价。
七、矩阵秩的计算方法
1,若是具体矩阵，
⑴ 可用子式的值判断：如果的一个阶子式，则，又包含的所有阶子式都为零，则。
⑵ 可用初等变换结合子式的值来判断。
2,若是抽象矩阵,
⑴ 可利用行向量(或列向量)组的秩来讨论，即的行(或列)向量组的秩。
⑵ 可利用解空间维数讨论，即解空间是维的向量空间。
3,若，则阶非奇异阵和阶非奇异阵，使，即~。
4,；；若，则。
例⒈ 设是一组维向量，证明：它们线性无关任一维向量都由它们线性表示。
证：设是一组维线性无关向量组，为任一维向量，
∵个维向量组必线性相关，∴线性相关，即不全为零，使。现，若不然，时，有。∵线性无关，∴，矛盾。故，，即任一维向量可由线性表示。
设任一维向量可由线性表示，
∵都可由线性表示，而也由线性表示。
∴，即个向量线性无关。
例⒉ 设，，且向量组线性无关，试证向量组也线性无关。
证1,(用定义)反证法：设线性相关，则不全为0的，使，即，
∵线性无关，∴满足线性方程组，于是，矛盾，∴线性无关。
证2,(一般方法，用矩阵讨论)（分析：∵线性无关，由线性表示，只要证也由线性表示即可）。
∵由线性表示，并且，，则
，，显然，，
∴为可逆，，即由线性表示。
∴和两向量组等价，，
即线性无关。
思考题：(结合例3)设向量组线性无关，，，┅，，，试讨论线性相关性，并说明理由。
例⒊ 设向量组B：能由向量组A：线性表示，于是存在，使，而线性无关，试证线性无关(即的行向量组线性无关)。
证：反证法：若，即的行向量组线性相关，则不全为0，使，于是，即也线性相关，矛盾。∴。
反证法：设线性相关，则不全为0的，使，于是，。
设，，
∵线性无关，∴，即，，
∴线性相关，矛盾。∴线性无关。
(注：在定理条件下，当时，则线性无关可逆)
例⒋ 设向量组A和向量组B的秩相等，且A能由B线性表示，则A、B两向量组等价。
证：（只要证B由A线性表示即可）
∵，则A、B中分别有一个线性无关最大组，
设；分别是A、B的一个线性无关最大组，显然A能由B线性表示时，由线性表示，于是，，使，由例3注知，线性无关可逆，于是，即由线性表示，从而B由A线性表示，∴A、B两向量组等价。
例⒌ 设A、B都为矩阵，证明。
证：，∴阶非奇异阵，使，，又，，∴。
，于是阶非奇异阵，阶非奇异阵，使，。
，都为可逆阵，∴。
例⒍ ⑴设，，，
证明。
证：，于是，
的行向量组由的行向量组线性表示，∴。
又，于是，
的列向量组由的列向量组线性表示，∴。
∴。
⑵证。
证：设，，，，
，作向量组，
显然，，
而的列向量组由向量组线性表示，
∴。
例⒎ 若线性无关，而不能由线性表示，
试证，必线性无关。
证：反证法：设，线性相关，则不全为0，
有，
现，若不然，，则有，∵线性无关，
∴，矛盾。∴，，
即由线性表示，矛盾。故，线性无关。
思考题：在中，对、都不能表示它前面个向量的线性组合，试证线性无关。
例⒏ 设，，则有（ ）。
（A），必有 （B），必有
（C），必有 （D），必有
解：设，则，，，而为阶矩阵，∴，选。
例9．设向量组A：能由向量组B：线性表示，则有（ ）。
（A）时，B必线性相关 （B）时，B必线性相关
（C）时，A必线性相关 （D）时，A必线性相关解：∵向量组A：能由向量组B：线性表示，
∴，若，向量组A：线性无关时，可以小于s；若时，，向量组A必线性相关，选（D）。
例10．已知向量组Ⅰ：，，和向量组Ⅱ：，，具有相同秩，并且可由线性表示，求a，b之值。
解：，
，是向量组Ⅰ的最大线性无关组，并且；
，，；又可由线性表示，即可由线性表示，，，，。
八．线性方程组解的结构：设，，。
1,齐次线性方程组解的结构：
有非零解(为的列向量个数即未知数个数)，此时，的解集是一个维向量空间，即有个基础解(最大的线性无关解或基)。
若是具体矩阵，此时必须把初等行变换到含有一个阶数等于的单位阵，从而由很容易写出的同解线性方程组来确定个基础解。显然，当(方程个数小于未知数个数)，则必有非零解。
只有零解。特别地，(阶方阵)，则只有零解，即，有非零解，即。
若是的解，则也是的解。
例⒈ 解。
解：，∴方程组必有非零解。
，
，于是同解方程组为，基础解为：，
，∴是方程组通解。
2,非齐次线性方程组解的结构：
⑴ 有解，把利用初等行变换(不能列变换)结合子式来判断，并且此时必须把初等行变换到含有一个阶数为的单位阵，就可写出的同解方程组，进而确定的通解形式。
例⒉ 为何值时，方程组有①唯一解；②无解；③无穷多组解。有解时，试写出全部解。
解：
。
① 时，，有唯一解。
，。
② 时，，，无解。
③ 时，有无穷多组解。
，同解方程组为，通解。
⑵ 当时，有唯一解。
当时，有无穷多组解：通解。
其中是的通解，是的一个特解。
⑶ 若是的两个特解，则是的解。
若，是的个线性无关特解，则，，是的个线性无关基础解，从而+，（）是的通解。
例⒊ ⑴设，，，试证。
⑵设，,，，试证
证：⑴设，，于是，
即是齐次线性方程组的解向量，而的解空间是维向量空间。∴，。(注：熟知例3⑴的证明思路及其结论)。
⑵令，，
，若，则线性相关，于是不全为0，使，，即也线性相关，矛盾。故。现证。事实上，，由上可知，。
例⒋ 设阶方阵满足，试证。
证：，，由例3（1）知，，
又，，∴。
例⒌ 已知线性方程组Ⅰ：的一个基础解为
。
试写出线性方程组Ⅱ：的通解，并说明理由。
解：Ⅰ：，，∵基础解的个数为。于是，，，即的行向量组线性无关。令，，于是，线性无关，并且令时，有，，，
，又令，于是Ⅱ为，。又，，，∴是的线性无关解，其个数恰为，从而为基础解。∴通解。
例⒍ 设是阶方阵，正整数，有解向量，但，试证：线性无关。
证：设线性相关，则不全为0的使。左乘，由，，，；
，左乘，得，…，左乘，得，从而，矛盾。∴线性无关。
例⒎ 设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关为（ ） （A）由线性表示；（B）由线性表示；（C）向量组和向量组等价；
（D）矩阵和矩阵等价。
解：（A）为充分条件；（B）既非充分又非必要；（C）也为充分条件，反例：
，，，；（D）对。
证：，，从而。
，，，，。。
例⒏ 已知4阶方阵中线性无关，，如果，求的通解。
解：，求通解。
，线性无关，，，，通解。
求的一个特解。满足上式。∴通解。
例⒐ 设有，，均为阶矩阵，现有4个命题：
⑴若的解均为的解，则；
⑵若，则的解均是的解；
⑶若和同解，则；
⑷若，则和同解，以上正确的是（ ）：
（A）⑴、⑵ （B）⑴、⑶ （C）⑵、⑷ （D）⑶、⑷
解：⑴对。，。⑶对。由同解，解空间，。由，，，，，通解为；，，通解为。
可知⑵，⑷不一定对。∴选（B）。
例⑽ 已知是的一个基础解系，，，，…，，、为实数，试问、满足什么关系，也为的一个基础解系。
解：，
当时，
由线性表示，
∴线性无关，即为基础解。
（1）当为偶数时，；（2）当为奇数时，。
例⑾ 设是的一个基础解，是的一个特解。试证，线性无关。
证：反证法(证明线性无关一般用反证法，切记)：
设，线性相关，则不全为0，
使，，
∵，，∴，，
于是，。
又为的一个基础解，即线性无关。
∴，矛盾。∴，线性无关。
思考题：向量是的一个基础解，向量不是的解，
试证：必线性无关。
例⑿ 设是不可逆的阶方阵，是的伴随阵，试证都是的解。
证：，∵是不可逆的阶方阵，∴，，
，即都是的解。
思考题：若，试证。
例⒀ 向量能否表示成的线性组合。其中：，，，。
解1：（一般方法）
设有，使，
即，，，，有唯一解：
，，，。
解2：（特殊方法）
对，∴线性无关，从而是四维向量空间中的一组基，于是任一四维向量都可用线性表示。（如何表示要用解1）
3,线性方程组解的结构和平面直线关系：
⑴ 在上表示一条直线，，于是表示两条直线，：，，若，则，平行或重合，（平行，重合），此时，无解，即；
，重合有无穷多解，且；
，相交，，有唯一解，。对三条直线，（1）重合；（2）三条平行或两两相交；（3）交于一点。
⑵ 在上表示一平面，于是，表示两平面，关系。
，，不重合；，重合；，相交，此时有交线，是过，的直线，若有解，则，。
，（1）三平面重合；（2）三平面交于一线；（3）三平面交与一点。
例⒁ 设是满秩阵，则直线和直线（A）相交于一点；（B）重合；（C）平行但不重合；（D）异面。
解：，，
，。
，
，共面，，，故、不平行，即直线，相交于一点。∴选（A）。
例⒂ 已知平面上三条不同直线的方程分别为，，，试证这三条直线交与一点。
证：、、交与一点，，，，
，
∵、、为三条不同直线，∴、、不全相等，于是，
∴，，。
九、向量的内积、模、正交、正交规范基的定义及性质，向量空间中基的正交归范化
1,向量的内积、模、正交的定义：以下向量都指维向量空间列向量。
称数为向量，的内积，记为，。
称为的模，记为，。
若，称两向量，正交。
2,若一组非零向量满足，则称为正交向量组。
3,正交向量组必线性无关。
4,若个向量是维向量空间中一组正交向量组，则称是的一组正交向量基。特别地，，则称为的一组正交规范基。向量组是中的一组正交规范基。
5,向量空间中基的正交规范化方法——施密顿方法：
若是中一组基，现以为例，把化为中一组正交规范基，令，，使，，，使，，，，则是中一组正交基，，，是中一组正交规范基。
6,若线性空间中有两组基，，
如果，
即，
称矩阵是由基到基的过渡矩阵。显然为可逆阵。
十、方阵的特征值及特征向量
1,设，若（复数集）及非零列向量，使，称是方阵的特征值，是的对应于特征值的一个特征向量，特征值可以为复数，特征向量必为非零向量，即。
2,方阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关。
3,方阵的所有特征值由求得，阶方阵的特征多项式是的次多项式。
4,方阵的关于特征值的对应特征向量是由解得的所有非零解。
5,方阵的特征值的性质：
⑴ 设的所有特征值为，则①(的迹)；②。
⑵ 设是的多项式表达式，则当是的特征值时，是的特征值。例如，是的特征值；是的特征值。
⑶方阵至少有一个特征值为零；方阵所有特征值不为零；此时，当是可逆阵的特征值时，是的特征值；是伴随阵的特征值。
例⒈ 求的所有特征值。
解：，设是的任一特征值，则是的特征值，是的特征值，于是，或，又设的所有特征值为，，则，于是只有一根为，其余个根全为0。
例2．设的伴随阵有一个特征值及相应特征向量，且，求，，，。
解：，，，，，，，，，，，；
,。
十一、方阵相似概念，正交阵定义及性质，实对称阵相似特点
1,设有方阵，若可逆阵，使，则称方阵相似，称为相似矩阵，运算称为相似变换。
2,相似阵的性质：
⑴ 相似矩阵必为等阶矩阵，反之不然。
⑵ 相似矩阵的特征多项式、特征值必相同，但是特征向量不一定相同。
⑶ 阶方阵和对角阵相似有个线性无关特征向量。特别地，当有个互不相同的特征值时，必和对角阵相似。
3,正交阵：⑴ 若阶方阵满足，即，则称为 正交阵。
⑵ 下列条件等价：① 为阶正交阵。 ② 。
③ 的行向量组(或列向量组)是中的正交规范基，即都是单位向量，且两两正交。
⑶ 设是正交阵，，则，。
4,实对称阵：
⑴定义,设，，，又，则称为实对称阵。
⑵性质：① 实对称阵所有特征根为实数，从而特征向量也为实向量。
② 实对称阵不同的特征值对应的特征向量互为正交。
③若是实对称阵的重特征根，则，从而的解空间为维向量空间，即实对称阵关于重特征根恰有个线性无关的特征向量。
④ 对阶实对称阵，必正交阵，使，是以的特征值为对角元素的对角阵，的列向量恰是对应对角元素特征值的正交规范化的特征向量，即，，，，此时，。（计算实对称阵的的一种方法）
例⒈ 设为阶矩阵，，是的两个不同的特征值，，是分别属于，的特征向量，试证不是的特征向量。
证：反证法：设是的特征向量，则使，而，，
∵，是的两个不同的特征值，∴对应的特征向量，必线性无关，从而，矛盾。故必不是的特征向量。
例⒉ 已知和相似，求⑴，，⑵求一个满足的可逆阵。
解：⑴∵，相似，∴，
，比较的系数，，。
⑵由于为对角阵，为对称阵，
且，，，
时，
，，；
时，
，，；
时，，，；
，可逆，并且有。
例⒊ 设三阶矩阵的特征值分别为，，对应的特征向量依次为，，，又向量，（1）将用，，线性表示；（2）求（为自然数）。
解：（1），，是不同特征值对应的特征向量，从而线性无关，于是为一组基，
∴唯一，，，使，是的唯一解。
，，。
（2）。
例⒋ 设三阶实对称阵的特征值为，，对应于的特征向量，求。
解：对应于的线性无关特征向量，必和正交，，∴，是的线性无关解，，，，，又，∴，正交，，，，于是，，，
。
例⒌ 设，，，求的特征值和特征向量.。其中是的伴随阵，为三阶单位阵。
解：，，，可逆，，若的特征值为，则的特征值为，又，∴和的特征值相同，也为，从而的特征值为。
，于是，，（二重根）。的特征根，（二重根）。
，，，，，令，，，，。
，，
，，，，
，，，，
，
，
，，为分别对应于特征值，（二重根）的特征向量.。
例⒍ 设、同解方阵，（1）如果、相似，试证、的特征多项式相等；（2）举一个两阶方阵例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当、均为实对称阵时，试证（1）的逆命题成立。
证：（1）、相似，为可逆阵，有，
，
即、的特征多项式相等。
（2），，，但、不相似。
反证法：若相似，为非奇异阵，有，矛盾，∴、不相似。
（3）∵、的特征多项式相等，∴、的特征根相同，由于、为实对称阵，其特征根均为实数，设为，于是为正交阵，，，，
，、相似。
例⒎ 设矩阵，问为何值时，为奇异阵，使为对角阵，并写出和相应的对角阵。
解：为非对称阵，和对角阵相似，有个线性无关特征向量，
，（二重根），。
对应特征向量有两个线性无关解，即，
，，
当时，，，，；
时，，
，，，
则。
例⒏ 设阶方阵有的特征值，求。
解1：有个不同特征值，必有个线性无关特征向量，于是，
。
解2：是的特征值，。
十二、把二次型化为标准型
1,二次型：称为关于的二次型。其矩阵表达式为，实对称阵，
2,配方法化二次型为标准型。
3,正交变换化二次型为标准型：对，，
第一步：求出的所有特征根(包括重数)；
第二步：对每一求的非零解；
若为单根，则只有一个线性无关解，若为重根，则有个线性无关解；
第三步：正交规范化，单根的特征向量只要规范化(除以模)即可，重根的特征向量应利用施密顿正交化方法进行正交规范化；
第四步：由个正交规范化的特征向量依次组成正交矩阵的列向量组，写出正交变换，，，于是，其中是关于的正交规范的特征向量。
十三、惯性定理及正定二次型判定
1,二次型的标准式中正项个数和负项个数是一定的。
2,是正定二次型(即,)的所有特征值大于0的顺序主子式都大于0。
3,是负定二次型(即,)的顺序主子式是负正相间。
例⒈ 求一个正交变换，化二次型为标准型。
解：，
，(二重根)，。
(二重根)，，，
，，令，，使，
，，；
，
，，，，。
当时，。
例⒉ 已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数及所用的正交变换矩阵。
解：有标准型，即有特征值，，，于是，，，。
时，
，，，；
时，，，；
时，
，，，。
∴正交变换矩阵为。
例⒊ 已知二次型的秩为2，求参数及此二次型对应矩阵的特征值。
解：，∵，
∴，。
时，
。，，。
例⒋ 设四元线性方程组(Ⅰ)，又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为，⑴求(Ⅰ)的基础解系；⑵问线性方程(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，试求出所有非零公共解，若没有，试说明原因。
解：⑴，，，，为(Ⅰ)的基础解。
⑵非零公共解应不全为0，不全为0，
使，
，，，
时，非零公共解为。
例⒌ 设为对称正定阵，试证：可逆阵，使。
证：∵为对称正定阵，∴正交阵，使，，，，
令，为可逆阵，于是。
例⒍ 设为阶实矩阵，为阶单位阵，，试证：当时，矩阵为正定矩阵。
证：，为实对称阵，，
，
当时，，，
∴，即为正定矩阵。
例⒎ 证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大的特征值。
证：为实对称阵，正交阵，使，，是的所有特征值，于是
，，，
求在下最大值。不妨设是的最大值，则，等式成立当，时取得，于是在时最大值为矩阵的最大的特征值例⒏ 已知二次曲面方程经过正交变换化为椭圆柱面方程，求、值和正交阵。
解：，经正交变换，和对角阵相似，于是的特征值分别为，，，于是。
，，
，，
此时，，∴。
对，，，，；
对，，，，；
对，，，，。
∴。
例⒐ 设为阶实对称正交阵，为实矩阵，试证：为正定阵。
证：设为正定阵，，,，而为正交阵，
∴，，即无非零解，只有零解，故。
，则只有零解，即，，为正定阵，
，，又，为实对称阵。
∴为正定阵。
例⒑ 设为阶正定阵，试证：。
证：，，。
，。
十四、线性空间和线性变换
1,定义：设为一非空集合，为实数域，，有唯一对应，，，有唯一，又满足8条线性运算规律：加法：①交换律；②结合律；
③有零元素；④有负元素；数乘：⑤；⑥结合律；⑦⑧分配律。称是上向量空间。
2,子空间：若为线性空间，为的子空间，。
3,维数、基和坐标：设为线性空间，若满足：（1）线性无关，（2），，则称是的一组基，是的维数，记为，是在下的坐标，
记为。
4,基变换：设和分别是的两个基，于是有基变换公式：，或，称为由到的过渡矩阵，可逆。
若，则，称为坐标变换公式。
5,线性变换：
⑴ 定义：设、分别为实数域的维，维向量空间，若有变换，满足：①，；②。称是由到的一个线性变换，讨论的线性变换。
⑵ 上线性变换的象集是的一个子空间，称为的核，也是的一个子空间。
⑶ 若是中一个线性变换，是中一组基，于是，，。
称是在基下矩阵。
⑷ 设和分别是的两个基，由到的过渡矩阵为，，中线性变换在两组基下矩阵分别为、，,，则，、相似，相似变换矩阵为过渡矩阵。
⑸ 线性子空间的维数称为线性变换的维数，若是的矩阵，则的秩，若的秩为，则的核维数为。
例：设是阶对称矩阵的全体，中线性运算为矩阵线性运算，已知阶矩阵，，称变换为合同变换，试证：
（1）合同变换是中线性变换。
证：，，
，
∴是中线性变换。
（2）是几维向量空间？
解：，，，…，，共有个，于是是中一组基，即为的线性空间。
（3）在中取合同变换，求在下的一矩阵，并证也为中一组基。
解：，
，
，
，在基下的矩阵为。∵，为可逆阵，∴也为中一组基，是基到基的过渡矩阵。
