运筹学课件第九章存储论制作：北京理工大学 吴祈宗等第九章 存储论引 言存储是一种比较普遍的经济现象。例如，我们会去超级市场采购食品或者日常用品，并把这些采购的物品储存起来维持一段时间的家庭消耗；又如，作为超级市场，为了满足大量顾客的不同需求，总是试图对种类繁多的各种商品都保有一定的库存量；再如，那些为超级市场提供商品的各个厂商为了维持正常生产，要对原材料和半成品加以存储，暂时不能销售的制成品也要先存储起来。其实，存储是工业生产和经济运转的必然现象，它可以用来缓解供应与需求在数量和时间上的不一致，是社会经济系统的重要缓冲器。
引 言研究与解决存储问题的理论与方法叫存储论（ Inventory Theory）。存储论所要解决的问题概括起来主要有两个：
（ 1）存储多少数量最为经济；
（ 2）间隔多长时间需要补充一次，以及补充多少。
寻求合理的存储量、补充量和补充周期是存储论研究的重要内容，由它们构成的方案叫存储策略。
引 言需求,存储的目的是为了满足需求。需求可以是连续均匀的，如经常的稳定的生产过程对原材料的消耗；可以是间断成批的，如铸造车间每隔一段时间交出一定数量的铸件给机加工车间；可以是非平稳的，如受季节性影响的城市生活用电量；也可以是随机的，如书店每天售出的书籍可能是 500
本，也可能是 800本。通常，若需求量事先可以确定，或按某一确定的规则进行，则称之为确定性需求。若需求量是随机的，则称之为随机性需求。
引 言补充,存储量消耗到一定程度就应补充。存储论中的补充，可以分为外部订货和内部生产两种方式。订货有当即订货当即就到货的，也有订货后需要一段时间才能到货的；生产可以是连续均匀的，也可以是其他确定或随机的形式。如果所需货物能一次性得到满足，供应速率可以看作是无穷大，称为瞬时供货，当货物只能按某一速率供应时，称为边供应边需求。能够提供瞬时供货的并不多，供水、供电等可以看作是瞬时供货，而在经济生活中普遍存在的还是有一定滞后时间的补充供货情况。一般的，从开始订货到货物到达为止的时间，我们称为提前时间（ Leadtime）；从开始生产到生产完毕的时间，我们称为生产时间。
引 言与存储有关的费用主要有存储费、订货费 /生产费以及缺货费：
存储费,包括仓库使用费（如仓库租金或仓库设施的运行费、维修费、
管理人员工资等）、保险费、存储货物损坏、变质等造成的损失费以及货物占用流动资金的利息等支出。
订货费 /生产费,采用订购的方式补充进货会产生订货费，而采用自行生产的方式则要付出一定的生产费。订货费等于订购费与货物费之和。订购费 (Setup Cost)是采购人员的差旅费、手续费、最低起运费等费用之和，与订货量无关，只与订货次数有关。货物费与订货数量有关，一般情况下它等于货物数量与货物单价的乘积。生产费是装配费与货物费之和。装配费是生产前进行组织准备，生产后进行清洗保养等费用的总和，只与生产次数关。
缺货费,是指因存储不能满足需求而造成的损失费用。这些损失包括失去销售机会的销售损失、停工待料造成的生产损失、延期付货所支付的罚金损失、以及商誉降低所造成的无形损失等等。在一些存储问题中是不允许缺货的，这时的缺货费可视为无穷大。
引 言存储问题是由“需求”,“补充” 与“费用”三项构成的，不同的
“需求”、“补充”与“费用” 自然会构成不同的存储问题。比如，根据需求的不同，有确定型存储问题与随机型存储问题；根据补充方式的不同，
有批量订货问题与批量生产问题；根据费用构成的不同，又可分允许缺货的存储问题与不允许缺货的存储问题。本章以下各节将按照这一思路，分别介绍一些常用的存储问题，并从中得出相应的存储策略。
思考题请试举一些日常生活中存储问题的实例,并分析其需求,补充与费用构成情况 。
不允许缺货的批量订购问题基本假设如下：
（ 1） 需求是连续均匀的，需求速度（单位时间的需求量）为已知常数；
（ 2）以一定周期循环订货,每次订货量不变；
（ 3）存储量为零时，可立即得到补充；
（ 4）不允许缺货；
（ 5） 仅需考虑两种费用：订货费、
存储费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变。
t
存储量时间
Q
斜率为不允许缺货的批量订购问题记订货量为
Q
，订货区间为
t
（周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期），
则有
tQ
由图 9 - 1 可知，
t
时间平均存储量为,
tTd T
t
t
0
2
11
若 单位 时间 单位 货物 存储费用为
h
，则
t
时间 平均 存储费用为,
th?
2
1
若每次订购费为 A,货物单价为
k
，则
t
时间平均订货费为,
kA
t
kQA
t
1
)(
1
所以，
t
时间总平均费用为,
thkA
t
tC
2
11
)(
( 9 - 1)
不允许缺货的批量订购问题对式 (9 - 1) 利用微积分求导，即可得到
)( tC
的最小值。
0
2
1)(
2
h
t
A
dt
tdC
得,
h
A
t
2
(9 - 2)
即每隔
t
时间订货一次可使
)( tC
最小。
将 式 (9 - 2) 代入 式 (9 - 1),从而得
h
A
Q
2
(9 - 3)
这是存储论中一个比较著名的结论，叫做经济订购批量（ E c o n o m i c O r d e r i n g
Q u a n t i t y ）公式,或简称 EOQ 公式。分析该式我们会发现，经济订购批量、最佳订货周期与价格
k
无关，只与需求速度、订购费和存储费有关。这一结论与我们的直观判断是比较吻合的。需求速度如果增大，订货量就要相应增加；订购费增加时，企业会相应地减少订货次数，从而增加每次的订货量；存储 费增加时，企业为尽量减少库存量，换之以多增加订货次数，减少每次的订货量。
第二节 不允许缺货的批量订购问题另外，由于
Q
与价格无关，所以式 (9 - 1) 中可省略?k 改写为式 (9 - 4) 的形式。这在以后各节中也同样适用，如无特殊需要可不再考虑货物费用。
thA
t
tC?
2
11
)( (9 - 4)
将 (9 - 2) 代入 (9 - 4) 得到,
AhtC 2)(?
(9 - 5)
不允许缺货的批量订购问题例 9,1 某产品年需求量为 D,需求连续均匀，采用订购方式进行补充，且不允许缺货。若每次订购费为 A,年单位存储费为
h
，问全年应分几次订货？
解 设全年分
n
次订货（全年分
n
个周期），每批订货量
nDQ /?
则每周期平均存储量为
Q
2
1,
每周期存储费用为
n
hQ
Q
n
h
22
1
全年存储费为
22
hQ
n
n
hQ
全年订购费为
An
则全年总费用为：
An
hQ
QC
2
)(
对上式求导，得
0
2
)
2
(
)(
2
Q
ADh
dQ
Q
D
A
hQ
d
dQ
QdC
则
h
AD
Q
2
A
hD
n
2
所以，全年应分
A
hD
2
次订货。
不允许缺货的批量订购问题例 9,2 当实际订货量
Q
与最优经济批量
Q
不符时，存储费和订购费之和会怎样变化？
解 因为
tQ
，所以可将 式 (9 - 4) 表示为订货量
Q
的函数,
2
)(
hQ
Q
A
QC
同样,(9 - 5) 可表示为,
AhQC 2)(?
令
)(
)(
QC
QC
则
是实际订货量为
Q
与最优经济批量为
Q
时两者的费用之比,
且有
][
2
1
22
2
2
1
2
2//
Q
Q
Q
Q
A
hQ
h
A
Q
Ah
hQQA
显然，由于
Q
与?
Q
始终不为负，所以
不会小于 1 。
不允许缺货的批量订购问题如果我们取?
QQ 5.1
,
0 8 3.1
5.12
25.3
]5.1
5.1
1
[
2
1
＝?
即，如果以最优经济批量的 1.5 倍进货的话，会多花费 8.3 % 的成本。
如果我们取?
QQ 5.0
,
25.1
2
5.2
]5.0
5.0
1
[
2
1
＝?
即，如果以最优经济批量一半进货的话，会多花费 25 ％的成本。
例 9.3 某汽车制造厂每月需某种零部件 100 件，不允许缺货。已知该厂向其上游供货商订购这种零部件，每次订购的开支为 400 元。若这种零部件在厂内仓库存放时，每月单位产品需付出的存储费为 2 元，求汽车制造厂的最优订货批量及订货周期。
不允许缺货的批量订购问题解 由分析可知，这是一个不允许缺货的批量订货问题。
其中,月件 /1 0 0,次元 /4 0 0?A,月件元＝ //2h
直接代入式 (9 - 2) 和 (9 - 3) 可得,
)(2
1 0 02
4 0 022
月?
h
A
t
)(200
2
10040022
件?
h
A
Q
即，该厂每隔两个月订购一次，每次订购 200 件最为合算。
思考题
1,请试举一个不允许缺货批量订货问题的实例 。
2,低于最优经济批量的订货是否比以同样差量高于最优经济批量的订货更耗费成本 。 请作适当解释 。
不允许缺货的批量生产问题基本假设如下：
需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
以一定周期循环生产,每次生产批量不变；
存储量为零时，可立即得到补充，补充均匀，速度为；
不允许缺货；
仅需考虑两种费用：生产费、存储费。
每次装配费不变，单位时间内的存储费不变。
t
存储量时间
H
斜率为 斜率为
T
第三节 不允许缺货的批量生产问题设生产批量为
Q
，所需生产时间为 T,则生产速度为
TQP /?
。在
T,0
区间内，边生产边满足需求，存储量以
P
速度增长，直至最高存储量 H 停止；在
tT,
区间内，
生产已结束，存储量以需求速度
减少。
由 上 图 易知，
t
时间内的平均存储量为,
TPH )(
2
1
2
1
若单位存储费用仍为
h
，则
t
时间内存储费为,
TPh )(
2
1
又
t
时间内所需装配费为 A,所以
t
时间平均总费用
)( tC
为,
t
A
P
t
Ph
t
A
TPhtC
)(
2
1
)(
2
1
)(
( 9 - 6)
不允许缺货的批量生产问题设
)()(m i n
tCtC
，利用微积分方法可求得
)(
2
Ph
AP
t
(9 - 7)
相应的生产批量为,
)(
2
Ph
PA
Q
(9 - 8)
P
P
AhtCtC
2)()(m i n
(9 - 9)
同样可求出 最佳生产时间为,
)(
2
PhP
AP
P
t
T
(9 - 10)
不允许缺货的批量生产问题式 (9 - 8) 是存储论中另一个比较著名的结论，叫做经济生产批量 ( E c o n o m i c
M a n u f a c t u r i n g Q u a n t i t y ) 公式,或简称为 EMQ 公式。分析该式我们同样会发现，经济生产批量和需求速度、生产速度、装配费以及存储费有关,与价格
k
无关。需求速度增加时，生产量要相应增加；装配费增加时，要减少生产次数，增加每次的生产量；
存储费增加时，为尽量减少库存量，应多增加生产次数。另外，由于生产速度大于需求速度，最佳生产时间?T 总比最佳生产周期?
t
要短一些。
例 9.4 某厂生产一种产品，生产率为月个 /200?P
，且装配费为
50?A
元。若产品需求均匀连续，且需求率为月个 /1 0 0
，月单位库存存储费用元2?h
，求该厂的最优生产量，最优生产周期以及总费用。
不允许缺货的批量生产问题解 由已知条件可知，该问题适用经济生产批量公式最优生产量为：
100
)100200(2
200100502
)(
2
Ph
PA
Q
个最优生产周期为：
1
1001002
200502
)(
2
Ph
AP
t
即每月仅需生产一次。
总费用为,1 0 0
2 0 0
1 0 0
1 0 025022)(
P
P
AhtC
（元）
思考题
1,请试举一个不允许缺货批量生产问题的实例 。
2,当取时,EMQ与 EOQ结论有何关系？ 请作适当解释 。
允许缺货的批量订购问题基本假设如下：
（ 1）需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
（ 2）以一定周期循环订货,每次订货批量不变；
（ 3） 存储量为最大缺货量时，可立即得到补充；
（ 4）允许缺货；
（ 5）需考虑三种费用：生产费、存储费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变，单位缺货费用也不变存储量时间
H
斜率为
B
允许缺货的批量订购问题记单位存储费用为
h
,每次订购费为
A
,单位货物 缺货费为
b
，最高存储量为
H
，可以满足
1t
时间的需求,最大缺货量为
B
（
0?B
），则有
tBH
。
则
1
t
时间的平均存储量为：
H
2
1
在
)(
1
tt?
时间的存储为零，平均缺货量为,
)(
2
1
2
1
1
ttB
由于
H
仅能满足
1
t
时间的需求所以
1
tH
则
t
时间内所需存储费为：
2
1
2
1
2
1 H
hHth?
t
时间内的缺货费,
2
2
1
)(
2
1
)(
2
1 Ht
bttb
若订购费仍为
A
，则
t
时间内的平均总费用为,
]
)(
2
1
2
1
[
1
),(
22
A
Ht
b
H
h
t
HtC?
(9 - 1 1 )
允许缺货的批量订购问题式中有两个变量，利用多元函数求极值的方法求
),( HtC
的最小值令
0
0
H
C
t
C
可求出，最优订货周期为,
bh
bhA
t
)(2?
(9 - 1 2 )
又由于
tQ
b
bh
h
A
Q
)(2?
(9 - 1 5 )
允许缺货的批量订购问题经济订货批量与需求速度、订购费和存储费相关外，还与缺货费有关。比较 (9 - 3) 式与 (9 - 1 5 ) 式，我们发现,
)()(
)(2
E O Q
b
bh
E O Q
b
bh
h
A
Q?
也就是说，允许缺货的订购批量要大于不允许缺货的经济订购批量。如果
b
，即已知缺货费用无穷大时，可得
1
)(
b
bh,此时允许缺货问题与经济批量订购问题结论相同，都为
h
A?2 。
例 9,5 某商店订购一批货物，每次订购费为
40?A
元，由缺货造成的损失为个元 /5.0?b
。若货物需求均匀连续，且需求率为月个 /1 0 0
，
月单位库存存储费用元1?h
，求该厂的最优订货量，最优订货周期以及总费用。
允许缺货的批量订购问题解 由已知条件可知，该问题是允许缺货的批量订货问题 则可直接求出其最优订货量为,
1 5 5
5.01
5.11 0 0402)(2
0?
b
bh
h
A
Q
（个）
最优订货周期为,
5.1
5.01001
5.1402)(2
bh
bhA
t
（月）
即每 隔 1,5 月订货一次,每次订货 155 个 。
而总费用为：
6.51
5.1
5.011004022
bh
hbA
C
（元）
思考题
1.请试举一个允许缺货批量订购问题的实例 。
2.该问题中的最高存储量与 EOQ中的之间有何关系？ 请作适当解释 。
允许缺货的批量 生产问题基本假设如下：
(1)需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
(2) 以一定周期循环生产,每次生产批量不变；
(3)存储量为最大缺货量时，可立即得到补充，补充均匀、速度为；
(4)允许缺货；
(5)需考虑三种费用：生产费、存储费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变，单位缺货费用也不变。
存储量时间
H
斜率为 斜率为
B
允许缺货的批量生产问题参考 上 图可知,
],0[ t
为一个周期,0 时刻存储量为 0,保持缺货状态到
1
t
。
1
t
时刻面临 最大缺货量
B
，于是 开始生产。在
],[
31
tt
时间内边生产边满足需求，其中，
],[
21
tt
时间内存储量为零，
],[
32
tt
时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以
P
速度增加。
3
t
时刻达到最大存储量
H
后，
停止生产。
],[
3
tt
时间内存储量以需求速度
减少，直至
t
时刻存储量再次降为 0 。
则最大缺货量为
1
tB
，或
))((
12
ttPB
所以
1
t
与
2
t
的关系为,
21
t
P
P
t
(9 - 16)
最大存储量为
))((
23
ttPH
,或
)(
3
ttH
所以
3
t
与
2
t
、
t
的关系为,
P
ttP
t
2
3
)( (9 - 17)
允许缺货的批量生产问题
],0[ t
时间内平均存储量为,
))()((
2
1
223
ttttP
若
],0[ t
时间内单位存储费仍为
h
，则存储费为,
))()((
2
1
223
ttttPh
],0[ t
时间内平均缺货量：
21
2
1
tt?
若
],0[ t
时间单位缺货费为
b
，则
],0[ t
时间缺货费为 ;
21
2
1
ttb?
装配费仍为 A 的情况下，代入 (9 - 1 6 ) 和 (9 - 1 7 ) 式可知
],0[ t
时间内总平均费用为,
]
)(
2
1
)(
)(
2
1
[
1
),(
2
2
2
22
At
P
P
btt
P
P
h
t
ttC?
( 9 - 18)
允许缺货的批量生产问题取偏导数为,
0
),(
0
),(
2
2
2
t
ttC
t
ttC
得到关系式,
t
bh
h
t
2
(9 - 1 9 )
且有最优生产周期为,
P
P
b
bh
h
A
t
2
( 9 - 2 0 )
同样由于
tQ
，所以最优生产批量为,
P
P
b
bh
h
A
Q
2 (9 - 21)
允许缺货的批量生产问题允许缺货的生产批量与需求速度、生产速度、装配费、存储费和缺货费有关。比较式 (9 - 8) 与 (9 - 2 1 ) 得，允许缺货生产批量与 EMQ 之间的关系为,
)()(
2
E M Q
bh
h
E M Q
P
P
b
bh
h
A
Q?
即允许缺货的生产批量要大于不允许缺货的经济生产批量。同时，如果
b
，即已知缺货费用无穷大时，可得
1
)(
b
bh,此时允许缺货模型与经济生产批量模型结论相同，都为
)(
2
Ph
PA 。
例 9.6 企业生产某种产品，正常生产条件下每天可生产 10 件。根据供货合同，需按每天 7 件供货。存储费每件每天 0,1 3 元，缺货费用每件每天 0,5 元，每次生产准备费用为 80 件，求最优存储策略。
允许缺货的批量生产问题解 根据题意知这是一个允许缺货的批量生产问题。
于是有,
)(2.27
710
10
5.0
5.013.0
713.0
8022
天?
P
P
b
bh
h
A
t
)/(4.1902.277 次件＝
tQ?
即每隔约 27 天生产批量 190 件。
思考题
1.请试举一个允许缺货批量生产问题的例子 。
2.试分析本节模型与 EOQ模型的关系,并给出适当解释 。
我们已经知道,存储问题可以分为两类,一类是确定型问题,另一类是随机型问题 。 前面几节所学的存储问题中,需求与补充的相关各量都是确定的,所以属于确定型存储问题 。 在实际情况中,需求量往往并不确定,但却能表示为一个随机变量,下面我们就来讨论需求量为随机变量的存储问题 。 在这种情况下,前面所介绍过的模型已经不能适用了 。 例如商店对某种商品进货 500件,这 500件商品可能在一个月内售完,也有可能在两个月之后还有剩余 。 商店如果想既不因缺货而失去销售机会,又不因滞销而过多积压资金,这时必须采用新的存储策略 。
需求为随机的单一周期进货问题可供选择的策略主要有三种：
（ 1）定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不订货。这种策略可称为定期订货法。
（ 2）定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。
（ 3）把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值，则不订货。小于时则订货补充存储，订货量要使存储量达到,这种策略可以简称为存储策略。
需求为随机的单一周期进货问题随机型存储问题又可分为单周期随机存储问题和多周期随机存储问题。典型的单周期模型是“报童问题” （ Newsvendor Problem）。报童问题由报童卖报的例子演变而来，在存储论以及供应链的研究中应用广泛。此问题的特点是，需求量是随机变量，一次订购后如果本期产品没有售完，期末要进行降价处理，如果本期产品有缺货，则因失去销售机会而带来损失。无论是供大于求（ Overstock）
还是供不应求 (Understock)都会造成损失，并伴有一定费用。研究的目的是确定该时期订货量使预期的总损失最少或总盈利最大。
需求为随机的单一周期进货问题需求为随机的单一周期进货问题为了进一步介绍单周期随机存储问题的解法，我们先来了解一下涉及的变量,
x
—— 一个时期的需求量，是一个非负的随机变量，期望需求量是
)( xE；
Q
—— 一个时期的订货批量；
C
—— 单位产品的获得成本（ Unit Acqu isit ion Cost ），即产品购入价格；
P —— 单位产品的售出价格（ Unit Sel li n g Price ）；
S
—— 单位产品的残值（ Unit Salva g e V al ue ），即未售出剩余产品的处理价格；
B —— 单位产品的缺货成本（ Unit Shortag e Cos t ） ;
H —— 供过于求时单位产品一个时期内的持有成本，供不应求时等于零；
o
C
—— 供过于求时单位产品总成本（ Unit Over stock Cost ），即
HSCC
o
u
C
—— 供不应求时单位产品总成本（ Unit Und erstoc k Cost ），即
BCPC
u
需求为随机的单一周期进货问题需求为离散型变量的随机存储问题如果一个时期内，需求量 x 是一个离散型随机变量，其取值为
i
x
(
,0i
),相应的概率
)(
i
xp
已知，有
1)(
0
n
ix
i
xP
，最优存储策略是使在该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。
需求为随机的单一周期进货问题当订货批量
ixQ?
时供大于求发生存储，总费用期望值为,
)()(
ii
i
xQ
O
xPxQC
（ 9 - 25 ）
当订货批量
ixQ?
时供不应求发生缺货，总费用期望值为,
)()(
ii
i
xQ
u
xPQxC
(9 - 26)
综合 (9 - 2 5 ),(9 - 26) 两种情况，则总费用的期望值为,
)()()()())((
ii
i
xQ
uii
i
xQ
O
xPQxCxPxQCQCE
（ 9 - 27 ）
x
是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值，为方便起见，不妨假设
x
的取值为非负整数，由此式 (9 - 2 7 ) 取最小值
Q
的必要条件可设为,
))1(())((
))1(())((
QCEQCE
QCEQCE
(9 - 28)
需求为随机的单一周期进货问题由 式 (9 - 28) 推导得,
))(()()1()()1())1((
))(()()1()()1())1((
1
0
2
1
0
QCExPQxCxPxQCQCE
QCExPQxCxPxQCQCE
ii
Q
i
x
uii
Q
i
x
O
ii
Q
i
x
uii
Q
i
x
O
经化简后得,
ou
u
i
Q
i
x
ou
u
i
Q
i
x
CC
C
xP
CC
C
xP
)(
)(
1
0
0
即最佳订货数量应按下列不等式确定,
)()(
0
1
0
i
Q
i
xou
u
i
Q
i
x
xP
CC
C
xP
( 9 - 29)
需求为随机的单一周期进货问题例 9,7 报童每日售报数量是一个离散型随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元。如报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数 r 的概率
)( rP
根据以往的经验是已知的，且有
1)(
0
r
rP
，问报童每日最好准备多少份报纸？
需求为随机的单一周期进货问题解,设报童订购报纸数量为
Q
，则有
(1) 供过于求时（
Qr?
），这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：
)()(
0
rPrQh
Q
r
(2) 供不应求时（
Qr?
），这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：
)()(
1
rPQrk
Qr
综合 (1)(2) 两种情况，当订货量为
Q
时，损失地期望值为,
)()()()())((
10
rPQrkrPrQhQCE
Qr
Q
r
需求为随机的单一周期进货问题根据
( 1 )
))1(())(( QCEQCE
(2 )
))1(())(( QCEQCE
求得：报童应准备的报纸最佳数量应按下列不等式确定,
)()(
0
1
0
rP
hk
k
rP
Q
r
Q
r
需求为随机的单一周期进货问题需求为连续型变量的随机存储问题一个时期内的需求量 x 也可能是一个连续型随机变量，此时假设
)( xf
为需求量
x
的概率密度函数，
)( xF
为分布函数，则有
x
dttfxF
0
)()(
，
最优存储策略仍然是使该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。
需求为随机的单一周期进货问题当订货批量
xQ?
时供大于求发生存储，总费用期望值为,
dxxfxQC
Q
O
)()(
0
（ 9 - 30 ）
当订货批量
xQ?
时供不应求发生缺货，总费用期望值为,
dxxfQxC
Q
u
)()(?
(9 - 31)
综合 (9 - 3 0 ),(9 - 31) 两种情况，则总费用的期望值为,
dxxfQxCdxxfxQCQCE
Q
u
Q
O
)()()()())((
0
(9 - 32)
x 是连续变量，可以用求导数的方法求极值。
需求为随机的单一周期进货问题根据 L e ib n it z 法则,
)()),(()()),((),(
)(
)(
)(
)(
ya
dy
d
yyahyb
dy
d
yybhdx
y
h
dyyxh
dy
d
yb
ya
yb
ya
用于求
)( QC
对
Q
的求导，得,
Q
ouu
Q
Q
u
dxxfCCCdxxfCdxxfC
dQ
QCdE
00
0
)()()()(
))((
令
0
)(
dQ
QdC,则有,
0
0
)()(
CC
C
dxxfQF
u
u
Q
( 9 - 3 3 )
即最优解?
Q
是满足 (9 - 3 3 ) 式的量。
需求为随机的单一周期进货问题例 9,8 若货物单位成本为 K,单位售价为 P,单位存储费为
1C
,需求 x 是连续的随机变量，密度函数为
)( xf
，分布函数为
)( xF
，生产或订购的数量为
Q
，问如何确定
Q
的数值，使费用期望值最小？
需求为随机的单一周期进货问题解：根据上面的分析我们可以直接得出,
供大于求时的总费用期望值为：
dxxfxQCK
Q
)()()(
0
1
供不应求时的总费用期望值为：
dxxfQxKP
Q
)()()(?
则总费用的期望值为,
dxxfQxKPdxxfxQCKQCE
Q
Q
)()()()()()())((
0
1
则有最优订货量值应满足：
CP
KP
dxxfQF
Q
0
)()(
需求为随机的单一周期进货问题例 9,9 某商店计划订购一批夏季时装，进价是 500 元，
预计售价为 1000 元。夏季未售完的要在季末进行削价处理，处理价为 200 元。根据以往的经验，该时装的销量服从 [50,100]
上的均匀分布，求最佳订货量。
需求为随机的单一周期进货问题解,根据题意可得：
3 0 02 0 05 0 0oC
，
5 0 05 0 01 0 0 0uC
，
则最优订货批量?
Q
应满足
625.0
300500
500
)()(
0
0
CC
C
dxxfQF
u
u
Q
又因为服装的销量服从 [50,100] 上的均匀分布，所以有,
625.0
50
50
50
1
)P r ()(
50
Q
dxQxQF
Q
得到
25.81?Q
,即订购 81 件最为合算。
需求为随机的单一周期进货问题
),( Ss 型存储策略问题我们在本节开头中提到过
),( Ss
型存储策略。它是一种把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值 s,则不订货。小于 s 时则订货补充存储，订货量要使存储量达到 S 。在报童问题的基础上，如果采用
),( Ss
型存储策略会得出怎样的结果，我们通过例题来说明。
需求为随机的单一周期进货问题例 9.10 设货物单位成本为 C,单位存储费为 H,单位缺货费为 B,每次订购费为 A,期初存储为 I 。需求
x
是连续的随机变量，密度函数为
)( xf
，分布函数为
)( xF
，采用
),( Ss
策略订购，
问如何确定每次订货量
Q
的数值，才能使费用期望值最小？
需求为随机的单一周期进货问题解,设最大存储量为
S
，
QIS
,则本阶段各项费用构成为,
订货费：
CQA?;
存储费用期望值为：
dxxfxSH
S
)()(
0
;
缺货费用期望值为：
dxxfSxB
S
)()(
;
所以该阶段所需订货费及存储费、缺货费期望值之和为,
dxxfSxBdxxfxSHISCASCE
S
S
)()()()()())((
0
(9 - 34)
需求为随机的单一周期进货问题
Q
可以连续取值，可通过求导得,
dxxfBdxxfHC
dS
SdC
S
S
)()(
)(
0
令上式为 0,有,
BH
CB
dxxfSF
S
)()(
0
(9 - 35)
令
BH
CB
N
，称为临界值。
根据式 (9 - 3 5 ) 可确定 S 的值，进而得出最优订货量值
ISQ
。
需求为随机的单一周期进货问题该问题中有订购费 A 一项，如果本阶段不订货就可以节省订购费，因此我们设想是否存在一个数值
)( Sss?
使下列不等式成立。
dxxfSxBdxxfxSHCSAdxxfsxBdxxfxsHCs
S
S
s
s
)()()()()()()()(
00
(9 - 3 6 )
当 Ss? 时,不等式显然成立。
当 Ss? 时，不等式右端存储费用期望值大于左端存储费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值；一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个的 s 值使 (9 - 3 6 ) 式成立，则选其中最小者作为本 问题的 存储策略。
需求为随机的单一周期进货问题相应的存储策略是：每阶段初期检查存储，当库存 小于 s 时，需订货，
订货的数量为
Q
。 当库存 大于等于 s 时，本阶段不订货。这种存储策略是：定期订货但订货量不确定,订货数量的多少视期末库存决定。对于不易清点数量的存储，人们常 把 存储分两堆存放，一堆的数量 为 s,其余的另放一堆。平时从另放的一堆中去提取，如果 该 堆 被 清空，便触发订货，
新的订货到达之前从 数量为 s 的 一堆中提取，这种方法俗称两堆法。
需求为随机的单一周期进货问题例 9,1 1 当 需求
x
为离散型随机变量，取值
m
xxx?
10
,)( 1 ii xx
，且概率为
)()(),(
10 m
xPxPxP?
,
1)(
0
m
i
i
xP
时，上述问题的最优结论又如何呢？
解 本阶段所需各项费用的构成情况如下,
订货费：
CQA?
存储费期望值：
)()( xPxQIH
IQx
缺货费期望值：
)()( xPQIxB
IQx
所以，本阶段所需订货费及存储费、缺货费期望之和为,
)()()()())(( xPQIxBxPxQIHCQAQICE
IQxIQx
需求为随机的单一周期进货问题其中
QI?
表示存储所达到的水平，记
QIS
，上式可写为,
)()()()()())(( xPSxBxPxSHISCASCE
SxSx
(9 - 36)
由于需求是离散变量，不能通过求导的办法寻找最优值，所有我们采用如下方法 求出
S
值，使
))(( SCE
最小。
( 1 ) 将需求
x
的随机值按大小顺 序排列为,
m
xxx?
10
,
，其中
1?
ii
xx
，且
0
1
iii
xxx
，
)1,1,0( mi?
( 2 )
S
只从
m
xxx?
10
,
中取值。当
S
取值为
i
x
时，记为
iS
0
11
iiiiii
xxxSSS
，
)1,1,0( mi?
需求为随机的单一周期进货问题
( 3 ) 求
S
的值使
))(( SCE
最小。因为
)()()()()())((
1
1
1
1
11
xPSxBxPxSHISCASCE
i
iSx
i
iSx
ii?
)()()()()())(( xPSxBxPxSHISCASCE
i
iSx
i
iSx
ii
)()()()()())((
1
1
1
1
11
xPSxBxPxSHISCASCE
i
i
Sx
i
i
Sx
ii?
为选出使
))((
i
SCE
最小的
S
值，
i
S
应满足下列不等式,
))(())((
))(())((
1
1
ii
ii
SCESCE
SCESCE ( 9 - 37)
定义
))(())(())((
1 iii
SCESCESCE
则由 (9 - 37) 的第一个不等式，得到
0)()())((
i
i
Sx
ii
SBxPSBHSCSCE
因为
0
i
S
，即
0)()(
BxPBHC
i
Sx
所以得到：
0)()(
BxPBHC
iSx
需求为随机的单一周期进货问题即
BH
CB
xP
i
Sx
)(
(9 - 3 8 )
同理，由 (9 - 3 7 ) 的第二个不等式可得,
BH
CB
xP
i
Sx
)(
1
( 9 - 39)
综合以上两式，得到为确定
i
S
的不等式
i
Sx
i
Sx
xPN
BH
CB
xP )()(
1
( 9 - 40)
取满足 (9 - 4 0 ) 式的
i
S
为
S
，即可得本阶段订货量
Q
。
同理，考察不等式,
)()()()()()()( xPSxBxPxSHCSAxPBxPxsHCs
SxSxsxsx
(9 - 4 1 )
使 (9 - 4 1 ) 式成立的
)( Sxx ii?
的值中最小者为
s
。
需求为随机的单一周期进货问题例 9.1 2 某厂对原料需求量的概率为,
1.0)80P r ( ＝?x
，
2.0)90P r ( ＝?x
，
3.0)1 0 0P r ( ＝?x
3.0)1 1 0P r ( ＝?x
，
1.0)120P r ( ＝?x
已知每次的订购费为 2825 元，货物价格为 850 元，存储费为 45 元，缺获费为 1250 元，求该厂
),( Ss
存储策略。
解 计算临界值
3 0 9.0
451 2 5 0
8 5 01 2 5 0
N
由于
3 0 9.03.0)90()80( xPxP
309.06.0)100()90()80( xPxPxP
可知
1 0 0?S
第六节 需求为随机的单一周期进货问题再利用式 (9 - 4 1 ) 计算,
1 0 0?S
,(9 - 4 1 ) 式右端为 9 4 2 5 5,
80?s
,(9 - 4 1 ) 式左端为 9 4 2 5 0
因为 9 4 2 5 0 < 9 4 2 5 5,所以
80?s
。
即,该厂存储策略每当存储小于等于 80 时补充存储使存储量达到 1 0 0,
当存储大于 80 时不需补充。
思考题
1.请试举一个报童问题的实例。
2.使总费用期望值最小的存储策略同样使总收益期望值最大吗？试以存储策略为例进行分析 。
以上介绍的是一些存储问题的基本模型,在这些模型的基础上,适当放松或加强某些条件,就可形成另外一些存储问题 。 就确定型存储问题来讲,还有需求量不同的多时期存储问题 (Wagner-Whitin Model）,库容有限制的存储问题
（ Capacitated Lot Sizing Problem,CLSP） 以及多产品的批量生产模型
（ Economic Lot Sizing Problem,ELSP） 等 。 而随机型存储问题,除了单周期报童问题外,还有多周期随机存储问题 （ Multi-Period Stochastic Demand
Problem）,以及多级存储问题 （ Multi-Echelon Inventory Problem） 等 。 下面我们简单介绍价格有折扣的存储问题和库容有限制的存储问题 。
其他类型的存储问题价格有折扣的存储问题在前面几节的确定型存储问题中,我们看到这些问题的存储策略都与货物价格无关 。 实际生活中,存储策略与货物价格完全无关吗？ 答案是否定的 。 例如,
我们去超级市场采购食品,如果商场促销,买的越多价格越便宜的话,我们也许会多买一些存储起来 。 下面我们就来研究货物单价随订购数量而变化的存储问题 。
我 们 假 设 其 余 条 件 皆 与 不 允 许 缺 货 经 济 订 购 批 量 问 题 的 相 同 。
其他类型的存储问题其他类型的存储问题记货物单价为 )( Qk,设 )( Qk 按三个数量等级变化（见图 9 - 5 ）
K (Q )
K
3
K
2
Q
2
K
1
Q
1
图 9-5 价格折扣
QQ
QQQ
QQ
k
k
k
Qk
2
21
1
3
2
1
0
)(
其他类型的存储问题当订购量为 Q 时，一个周期内所需费用为,
QQkA
Q
hQ )(
2
1
即
2
21
1
3
3
2
2
1
1
0
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
QQ
QQQ
QQ
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
QC
其他类型的存储问题如果不考虑 )(1 QC,)(2 QC 和 )(3 QC 的定义域，它们之间只差一个常数，因此它们的导函数相同。为求极小，令导数为零，解得 0Q,0Q 落在哪一个区间，事先难以预计。
假设 201 QQQ,这也不能肯定 )(2 QC 最小。
其他类型的存储问题设最佳订购批量为
Q
，在给出价格有折扣情况下，求解步骤如下,
（ 1 ）对
)(
1
QC
求得极值点为
0
Q
（ 2 ）若
10 QQ?
,计算,
3
2
2
2
3
2
1
1
1
2
1
0
0
0
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
QC
由
)(),(),(m i n
2
3
1
2
0
1
QCQCQC
得到单位货物最小费用的 订购批量
Q
。例如
)()(),(),(m i n
1
2
2
3
1
2
0
1
QCQCQCQC?
,则取
1
QQ?
其他类型的存储问题
（ 3 ）若
201 QQQ
,计算 )(
0
2 QC,)(
2
3 QC 。
由)(),(m i n
2
3
0
2 QCQC 决定?Q 。
（ 4 ）若
02 QQ?
，则取
0QQ?
。
其他类型的存储问题以上步骤易于推广到单价折扣分
m
个等级的情况。
比如说订购量为
Q
，其单价
)( Qk
,
QQ
QQQ
QQQ
QQ
k
k
k
k
QK
m
jj
m
j
1
1
21
1
2
1
0
)(
对应的平均单位货物所需费用为：
j
j
k
Q
AQ
hQC
2
1
)(
，
mj,,2,1
对
)(
1
QC
求 得 极 值 点 为
0
Q
，若
jj
QQQ
01
，求
)(,),(),(m i n
1
1
0?
m
m
i
jj
QCQCQC?
，设从此式得到的最小值为
)(
1?l
l
QC
，则取
1?
l
QQ
其他类型的存储问题例 9.13,工厂每周需零配件 32箱，存储费每箱每周 1元，每次订购费 25元，不允许缺货。零配件供应商提供一定的价格折扣，若
（ 1）订货量为 1－ 9箱时，每箱 12元；
（ 2）订货量为 10－ 49箱时，每箱 10元；
（ 3）订货量 50－ 99箱时，每箱 9.5元；
（ 4）订货量 99箱以上时，每箱 9元。
求最优存储策略。
其他类型的存储问题解,由不允许缺货的经济订购批量公式知,
解 先考虑没有价格折扣时该厂的最优订货量为,
)(40
1
32252
0
箱?
Q
分别计算每次订购 40,50 和 1 0 0 箱所需平均费用,
)(25.1110
40
25
32
40
1
2
1
2
元C
)(78.105.9
50
25
32
50
1
2
1
3
元C
)(81.109
100
25
32
100
1
2
1
4
元C
378.1081.10,78.10,25.11m i n C
所以最优订购批量为 50 箱。
其他类型的存储问题库容有限制的存储问题例 9,14 一零售商店需要贮存和销售收音机。假设商店用于担负收音机存货的资金不能超过 S 元，收音机共有 n 个型号，
j
型号收音机的外包装体积为
jV
立方米，仓库用于存储收音机的部分，最大容积为 V 立方米。收音机为批量订货，每订购一批型号为
j
的收音机，需花 费手续费
ja
元。每台
j
型号收音机的单价为
jc
元，每年对
j
型号收音机的需要量为
jd
台。
ja
，
jc
和
jd
通过对以前若干的情况进行统计分析得到确定值。假设
j
型号收音机单位库存费用为
jq
。求最优订货量。
其他类型的存储问题解 令
jx
表示一批
j
型号收音机的订货台数。首先建立目标函数，即订货及存储的年平均费用。对
j
型号收音机，订货费用应是每批订购费
j
a
同批数
jj
xd /
的乘积，即
jjj
xda /；存储的年平均费用应是年平均存储量
2/
j
x
同存储费
j
q
的乘积，即
2/
jj
xq
。于是得到目标函数,
)2//()(
1
j
n
j
jjjj
xqxdaxf?
其中,T
n
xxxx ),,(
21
。
我们再来看约束条件。库存总价值不能超过上限，即
n
j
jj
Sxcxg
1
1
0)(
仓库容量的限制，即
n
j
jj
VxVxg
1
2
0)(
且每批订货量不可能为负，故有：
),2,1(0 njx
j
其他类型的存储问题那么，我们得到下面的非线性规划模型,
njxxg
VxVxg
Sxcxgts
xqxdaxf
jj
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jjjjj
,2,1,0)(
0)(
0)(..
2//)(m i n
2
1
2
1
1
1
）（
其他类型的存储问题本章小结：
本章学习了存储论相关概念及一些简单的存储问题。存储问题可以分为确定型问题和随机型问题。不允许缺货的批量订购问题、不允许缺货的批量生产问题、允许缺货的批量订购问题以及允许缺货的批量生产问题都属于确定型。随机型存储问题根据需求量可分为需求为离散变量的问题与需求为连续变量的问题。另外,还有 型存储策略问题、价格有折扣的存储问题以及库容有限制的存储问题等。
),( Ss
),( Ss
本章的学习框架如下：
随机型存储问题题允许缺货的批量生产问问题不允许缺货的批量生产批量生产问题题允许缺货的批量订购问问题不允许缺货的批量订购批量订购问题确定型存储问题存储论其他类型的存储问题
引 言研究与解决存储问题的理论与方法叫存储论（ Inventory Theory）。存储论所要解决的问题概括起来主要有两个：
（ 1）存储多少数量最为经济；
（ 2）间隔多长时间需要补充一次，以及补充多少。
寻求合理的存储量、补充量和补充周期是存储论研究的重要内容，由它们构成的方案叫存储策略。
引 言需求,存储的目的是为了满足需求。需求可以是连续均匀的，如经常的稳定的生产过程对原材料的消耗；可以是间断成批的，如铸造车间每隔一段时间交出一定数量的铸件给机加工车间；可以是非平稳的，如受季节性影响的城市生活用电量；也可以是随机的，如书店每天售出的书籍可能是 500
本，也可能是 800本。通常，若需求量事先可以确定，或按某一确定的规则进行，则称之为确定性需求。若需求量是随机的，则称之为随机性需求。
引 言补充,存储量消耗到一定程度就应补充。存储论中的补充，可以分为外部订货和内部生产两种方式。订货有当即订货当即就到货的，也有订货后需要一段时间才能到货的；生产可以是连续均匀的，也可以是其他确定或随机的形式。如果所需货物能一次性得到满足，供应速率可以看作是无穷大，称为瞬时供货，当货物只能按某一速率供应时，称为边供应边需求。能够提供瞬时供货的并不多，供水、供电等可以看作是瞬时供货，而在经济生活中普遍存在的还是有一定滞后时间的补充供货情况。一般的，从开始订货到货物到达为止的时间，我们称为提前时间（ Leadtime）；从开始生产到生产完毕的时间，我们称为生产时间。
引 言与存储有关的费用主要有存储费、订货费 /生产费以及缺货费：
存储费,包括仓库使用费（如仓库租金或仓库设施的运行费、维修费、
管理人员工资等）、保险费、存储货物损坏、变质等造成的损失费以及货物占用流动资金的利息等支出。
订货费 /生产费,采用订购的方式补充进货会产生订货费，而采用自行生产的方式则要付出一定的生产费。订货费等于订购费与货物费之和。订购费 (Setup Cost)是采购人员的差旅费、手续费、最低起运费等费用之和，与订货量无关，只与订货次数有关。货物费与订货数量有关，一般情况下它等于货物数量与货物单价的乘积。生产费是装配费与货物费之和。装配费是生产前进行组织准备，生产后进行清洗保养等费用的总和，只与生产次数关。
缺货费,是指因存储不能满足需求而造成的损失费用。这些损失包括失去销售机会的销售损失、停工待料造成的生产损失、延期付货所支付的罚金损失、以及商誉降低所造成的无形损失等等。在一些存储问题中是不允许缺货的，这时的缺货费可视为无穷大。
引 言存储问题是由“需求”,“补充” 与“费用”三项构成的，不同的
“需求”、“补充”与“费用” 自然会构成不同的存储问题。比如，根据需求的不同，有确定型存储问题与随机型存储问题；根据补充方式的不同，
有批量订货问题与批量生产问题；根据费用构成的不同，又可分允许缺货的存储问题与不允许缺货的存储问题。本章以下各节将按照这一思路，分别介绍一些常用的存储问题，并从中得出相应的存储策略。
思考题请试举一些日常生活中存储问题的实例,并分析其需求,补充与费用构成情况 。
不允许缺货的批量订购问题基本假设如下：
（ 1） 需求是连续均匀的，需求速度（单位时间的需求量）为已知常数；
（ 2）以一定周期循环订货,每次订货量不变；
（ 3）存储量为零时，可立即得到补充；
（ 4）不允许缺货；
（ 5） 仅需考虑两种费用：订货费、
存储费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变。
t
存储量时间
Q
斜率为不允许缺货的批量订购问题记订货量为
Q
，订货区间为
t
（周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期），
则有
tQ
由图 9 - 1 可知，
t
时间平均存储量为,
tTd T
t
t
0
2
11
若 单位 时间 单位 货物 存储费用为
h
，则
t
时间 平均 存储费用为,
th?
2
1
若每次订购费为 A,货物单价为
k
，则
t
时间平均订货费为,
kA
t
kQA
t
1
)(
1
所以，
t
时间总平均费用为,
thkA
t
tC
2
11
)(
( 9 - 1)
不允许缺货的批量订购问题对式 (9 - 1) 利用微积分求导，即可得到
)( tC
的最小值。
0
2
1)(
2
h
t
A
dt
tdC
得,
h
A
t
2
(9 - 2)
即每隔
t
时间订货一次可使
)( tC
最小。
将 式 (9 - 2) 代入 式 (9 - 1),从而得
h
A
Q
2
(9 - 3)
这是存储论中一个比较著名的结论，叫做经济订购批量（ E c o n o m i c O r d e r i n g
Q u a n t i t y ）公式,或简称 EOQ 公式。分析该式我们会发现，经济订购批量、最佳订货周期与价格
k
无关，只与需求速度、订购费和存储费有关。这一结论与我们的直观判断是比较吻合的。需求速度如果增大，订货量就要相应增加；订购费增加时，企业会相应地减少订货次数，从而增加每次的订货量；存储 费增加时，企业为尽量减少库存量，换之以多增加订货次数，减少每次的订货量。
第二节 不允许缺货的批量订购问题另外，由于
Q
与价格无关，所以式 (9 - 1) 中可省略?k 改写为式 (9 - 4) 的形式。这在以后各节中也同样适用，如无特殊需要可不再考虑货物费用。
thA
t
tC?
2
11
)( (9 - 4)
将 (9 - 2) 代入 (9 - 4) 得到,
AhtC 2)(?
(9 - 5)
不允许缺货的批量订购问题例 9,1 某产品年需求量为 D,需求连续均匀，采用订购方式进行补充，且不允许缺货。若每次订购费为 A,年单位存储费为
h
，问全年应分几次订货？
解 设全年分
n
次订货（全年分
n
个周期），每批订货量
nDQ /?
则每周期平均存储量为
Q
2
1,
每周期存储费用为
n
hQ
Q
n
h
22
1
全年存储费为
22
hQ
n
n
hQ
全年订购费为
An
则全年总费用为：
An
hQ
QC
2
)(
对上式求导，得
0
2
)
2
(
)(
2
Q
ADh
dQ
Q
D
A
hQ
d
dQ
QdC
则
h
AD
Q
2
A
hD
n
2
所以，全年应分
A
hD
2
次订货。
不允许缺货的批量订购问题例 9,2 当实际订货量
Q
与最优经济批量
Q
不符时，存储费和订购费之和会怎样变化？
解 因为
tQ
，所以可将 式 (9 - 4) 表示为订货量
Q
的函数,
2
)(
hQ
Q
A
QC
同样,(9 - 5) 可表示为,
AhQC 2)(?
令
)(
)(
QC
QC
则
是实际订货量为
Q
与最优经济批量为
Q
时两者的费用之比,
且有
][
2
1
22
2
2
1
2
2//
Q
Q
Q
Q
A
hQ
h
A
Q
Ah
hQQA
显然，由于
Q
与?
Q
始终不为负，所以
不会小于 1 。
不允许缺货的批量订购问题如果我们取?
QQ 5.1
,
0 8 3.1
5.12
25.3
]5.1
5.1
1
[
2
1
＝?
即，如果以最优经济批量的 1.5 倍进货的话，会多花费 8.3 % 的成本。
如果我们取?
QQ 5.0
,
25.1
2
5.2
]5.0
5.0
1
[
2
1
＝?
即，如果以最优经济批量一半进货的话，会多花费 25 ％的成本。
例 9.3 某汽车制造厂每月需某种零部件 100 件，不允许缺货。已知该厂向其上游供货商订购这种零部件，每次订购的开支为 400 元。若这种零部件在厂内仓库存放时，每月单位产品需付出的存储费为 2 元，求汽车制造厂的最优订货批量及订货周期。
不允许缺货的批量订购问题解 由分析可知，这是一个不允许缺货的批量订货问题。
其中,月件 /1 0 0,次元 /4 0 0?A,月件元＝ //2h
直接代入式 (9 - 2) 和 (9 - 3) 可得,
)(2
1 0 02
4 0 022
月?
h
A
t
)(200
2
10040022
件?
h
A
Q
即，该厂每隔两个月订购一次，每次订购 200 件最为合算。
思考题
1,请试举一个不允许缺货批量订货问题的实例 。
2,低于最优经济批量的订货是否比以同样差量高于最优经济批量的订货更耗费成本 。 请作适当解释 。
不允许缺货的批量生产问题基本假设如下：
需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
以一定周期循环生产,每次生产批量不变；
存储量为零时，可立即得到补充，补充均匀，速度为；
不允许缺货；
仅需考虑两种费用：生产费、存储费。
每次装配费不变，单位时间内的存储费不变。
t
存储量时间
H
斜率为 斜率为
T
第三节 不允许缺货的批量生产问题设生产批量为
Q
，所需生产时间为 T,则生产速度为
TQP /?
。在
T,0
区间内，边生产边满足需求，存储量以
P
速度增长，直至最高存储量 H 停止；在
tT,
区间内，
生产已结束，存储量以需求速度
减少。
由 上 图 易知，
t
时间内的平均存储量为,
TPH )(
2
1
2
1
若单位存储费用仍为
h
，则
t
时间内存储费为,
TPh )(
2
1
又
t
时间内所需装配费为 A,所以
t
时间平均总费用
)( tC
为,
t
A
P
t
Ph
t
A
TPhtC
)(
2
1
)(
2
1
)(
( 9 - 6)
不允许缺货的批量生产问题设
)()(m i n
tCtC
，利用微积分方法可求得
)(
2
Ph
AP
t
(9 - 7)
相应的生产批量为,
)(
2
Ph
PA
Q
(9 - 8)
P
P
AhtCtC
2)()(m i n
(9 - 9)
同样可求出 最佳生产时间为,
)(
2
PhP
AP
P
t
T
(9 - 10)
不允许缺货的批量生产问题式 (9 - 8) 是存储论中另一个比较著名的结论，叫做经济生产批量 ( E c o n o m i c
M a n u f a c t u r i n g Q u a n t i t y ) 公式,或简称为 EMQ 公式。分析该式我们同样会发现，经济生产批量和需求速度、生产速度、装配费以及存储费有关,与价格
k
无关。需求速度增加时，生产量要相应增加；装配费增加时，要减少生产次数，增加每次的生产量；
存储费增加时，为尽量减少库存量，应多增加生产次数。另外，由于生产速度大于需求速度，最佳生产时间?T 总比最佳生产周期?
t
要短一些。
例 9.4 某厂生产一种产品，生产率为月个 /200?P
，且装配费为
50?A
元。若产品需求均匀连续，且需求率为月个 /1 0 0
，月单位库存存储费用元2?h
，求该厂的最优生产量，最优生产周期以及总费用。
不允许缺货的批量生产问题解 由已知条件可知，该问题适用经济生产批量公式最优生产量为：
100
)100200(2
200100502
)(
2
Ph
PA
Q
个最优生产周期为：
1
1001002
200502
)(
2
Ph
AP
t
即每月仅需生产一次。
总费用为,1 0 0
2 0 0
1 0 0
1 0 025022)(
P
P
AhtC
（元）
思考题
1,请试举一个不允许缺货批量生产问题的实例 。
2,当取时,EMQ与 EOQ结论有何关系？ 请作适当解释 。
允许缺货的批量订购问题基本假设如下：
（ 1）需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
（ 2）以一定周期循环订货,每次订货批量不变；
（ 3） 存储量为最大缺货量时，可立即得到补充；
（ 4）允许缺货；
（ 5）需考虑三种费用：生产费、存储费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变，单位缺货费用也不变存储量时间
H
斜率为
B
允许缺货的批量订购问题记单位存储费用为
h
,每次订购费为
A
,单位货物 缺货费为
b
，最高存储量为
H
，可以满足
1t
时间的需求,最大缺货量为
B
（
0?B
），则有
tBH
。
则
1
t
时间的平均存储量为：
H
2
1
在
)(
1
tt?
时间的存储为零，平均缺货量为,
)(
2
1
2
1
1
ttB
由于
H
仅能满足
1
t
时间的需求所以
1
tH
则
t
时间内所需存储费为：
2
1
2
1
2
1 H
hHth?
t
时间内的缺货费,
2
2
1
)(
2
1
)(
2
1 Ht
bttb
若订购费仍为
A
，则
t
时间内的平均总费用为,
]
)(
2
1
2
1
[
1
),(
22
A
Ht
b
H
h
t
HtC?
(9 - 1 1 )
允许缺货的批量订购问题式中有两个变量，利用多元函数求极值的方法求
),( HtC
的最小值令
0
0
H
C
t
C
可求出，最优订货周期为,
bh
bhA
t
)(2?
(9 - 1 2 )
又由于
tQ
b
bh
h
A
Q
)(2?
(9 - 1 5 )
允许缺货的批量订购问题经济订货批量与需求速度、订购费和存储费相关外，还与缺货费有关。比较 (9 - 3) 式与 (9 - 1 5 ) 式，我们发现,
)()(
)(2
E O Q
b
bh
E O Q
b
bh
h
A
Q?
也就是说，允许缺货的订购批量要大于不允许缺货的经济订购批量。如果
b
，即已知缺货费用无穷大时，可得
1
)(
b
bh,此时允许缺货问题与经济批量订购问题结论相同，都为
h
A?2 。
例 9,5 某商店订购一批货物，每次订购费为
40?A
元，由缺货造成的损失为个元 /5.0?b
。若货物需求均匀连续，且需求率为月个 /1 0 0
，
月单位库存存储费用元1?h
，求该厂的最优订货量，最优订货周期以及总费用。
允许缺货的批量订购问题解 由已知条件可知，该问题是允许缺货的批量订货问题 则可直接求出其最优订货量为,
1 5 5
5.01
5.11 0 0402)(2
0?
b
bh
h
A
Q
（个）
最优订货周期为,
5.1
5.01001
5.1402)(2
bh
bhA
t
（月）
即每 隔 1,5 月订货一次,每次订货 155 个 。
而总费用为：
6.51
5.1
5.011004022
bh
hbA
C
（元）
思考题
1.请试举一个允许缺货批量订购问题的实例 。
2.该问题中的最高存储量与 EOQ中的之间有何关系？ 请作适当解释 。
允许缺货的批量 生产问题基本假设如下：
(1)需求是连续均匀的，需求速度为已知常数；
(2) 以一定周期循环生产,每次生产批量不变；
(3)存储量为最大缺货量时，可立即得到补充，补充均匀、速度为；
(4)允许缺货；
(5)需考虑三种费用：生产费、存储费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存储费不变，单位缺货费用也不变。
存储量时间
H
斜率为 斜率为
B
允许缺货的批量生产问题参考 上 图可知,
],0[ t
为一个周期,0 时刻存储量为 0,保持缺货状态到
1
t
。
1
t
时刻面临 最大缺货量
B
，于是 开始生产。在
],[
31
tt
时间内边生产边满足需求，其中，
],[
21
tt
时间内存储量为零，
],[
32
tt
时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以
P
速度增加。
3
t
时刻达到最大存储量
H
后，
停止生产。
],[
3
tt
时间内存储量以需求速度
减少，直至
t
时刻存储量再次降为 0 。
则最大缺货量为
1
tB
，或
))((
12
ttPB
所以
1
t
与
2
t
的关系为,
21
t
P
P
t
(9 - 16)
最大存储量为
))((
23
ttPH
,或
)(
3
ttH
所以
3
t
与
2
t
、
t
的关系为,
P
ttP
t
2
3
)( (9 - 17)
允许缺货的批量生产问题
],0[ t
时间内平均存储量为,
))()((
2
1
223
ttttP
若
],0[ t
时间内单位存储费仍为
h
，则存储费为,
))()((
2
1
223
ttttPh
],0[ t
时间内平均缺货量：
21
2
1
tt?
若
],0[ t
时间单位缺货费为
b
，则
],0[ t
时间缺货费为 ;
21
2
1
ttb?
装配费仍为 A 的情况下，代入 (9 - 1 6 ) 和 (9 - 1 7 ) 式可知
],0[ t
时间内总平均费用为,
]
)(
2
1
)(
)(
2
1
[
1
),(
2
2
2
22
At
P
P
btt
P
P
h
t
ttC?
( 9 - 18)
允许缺货的批量生产问题取偏导数为,
0
),(
0
),(
2
2
2
t
ttC
t
ttC
得到关系式,
t
bh
h
t
2
(9 - 1 9 )
且有最优生产周期为,
P
P
b
bh
h
A
t
2
( 9 - 2 0 )
同样由于
tQ
，所以最优生产批量为,
P
P
b
bh
h
A
Q
2 (9 - 21)
允许缺货的批量生产问题允许缺货的生产批量与需求速度、生产速度、装配费、存储费和缺货费有关。比较式 (9 - 8) 与 (9 - 2 1 ) 得，允许缺货生产批量与 EMQ 之间的关系为,
)()(
2
E M Q
bh
h
E M Q
P
P
b
bh
h
A
Q?
即允许缺货的生产批量要大于不允许缺货的经济生产批量。同时，如果
b
，即已知缺货费用无穷大时，可得
1
)(
b
bh,此时允许缺货模型与经济生产批量模型结论相同，都为
)(
2
Ph
PA 。
例 9.6 企业生产某种产品，正常生产条件下每天可生产 10 件。根据供货合同，需按每天 7 件供货。存储费每件每天 0,1 3 元，缺货费用每件每天 0,5 元，每次生产准备费用为 80 件，求最优存储策略。
允许缺货的批量生产问题解 根据题意知这是一个允许缺货的批量生产问题。
于是有,
)(2.27
710
10
5.0
5.013.0
713.0
8022
天?
P
P
b
bh
h
A
t
)/(4.1902.277 次件＝
tQ?
即每隔约 27 天生产批量 190 件。
思考题
1.请试举一个允许缺货批量生产问题的例子 。
2.试分析本节模型与 EOQ模型的关系,并给出适当解释 。
我们已经知道,存储问题可以分为两类,一类是确定型问题,另一类是随机型问题 。 前面几节所学的存储问题中,需求与补充的相关各量都是确定的,所以属于确定型存储问题 。 在实际情况中,需求量往往并不确定,但却能表示为一个随机变量,下面我们就来讨论需求量为随机变量的存储问题 。 在这种情况下,前面所介绍过的模型已经不能适用了 。 例如商店对某种商品进货 500件,这 500件商品可能在一个月内售完,也有可能在两个月之后还有剩余 。 商店如果想既不因缺货而失去销售机会,又不因滞销而过多积压资金,这时必须采用新的存储策略 。
需求为随机的单一周期进货问题可供选择的策略主要有三种：
（ 1）定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不订货。这种策略可称为定期订货法。
（ 2）定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。
（ 3）把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值，则不订货。小于时则订货补充存储，订货量要使存储量达到,这种策略可以简称为存储策略。
需求为随机的单一周期进货问题随机型存储问题又可分为单周期随机存储问题和多周期随机存储问题。典型的单周期模型是“报童问题” （ Newsvendor Problem）。报童问题由报童卖报的例子演变而来，在存储论以及供应链的研究中应用广泛。此问题的特点是，需求量是随机变量，一次订购后如果本期产品没有售完，期末要进行降价处理，如果本期产品有缺货，则因失去销售机会而带来损失。无论是供大于求（ Overstock）
还是供不应求 (Understock)都会造成损失，并伴有一定费用。研究的目的是确定该时期订货量使预期的总损失最少或总盈利最大。
需求为随机的单一周期进货问题需求为随机的单一周期进货问题为了进一步介绍单周期随机存储问题的解法，我们先来了解一下涉及的变量,
x
—— 一个时期的需求量，是一个非负的随机变量，期望需求量是
)( xE；
Q
—— 一个时期的订货批量；
C
—— 单位产品的获得成本（ Unit Acqu isit ion Cost ），即产品购入价格；
P —— 单位产品的售出价格（ Unit Sel li n g Price ）；
S
—— 单位产品的残值（ Unit Salva g e V al ue ），即未售出剩余产品的处理价格；
B —— 单位产品的缺货成本（ Unit Shortag e Cos t ） ;
H —— 供过于求时单位产品一个时期内的持有成本，供不应求时等于零；
o
C
—— 供过于求时单位产品总成本（ Unit Over stock Cost ），即
HSCC
o
u
C
—— 供不应求时单位产品总成本（ Unit Und erstoc k Cost ），即
BCPC
u
需求为随机的单一周期进货问题需求为离散型变量的随机存储问题如果一个时期内，需求量 x 是一个离散型随机变量，其取值为
i
x
(
,0i
),相应的概率
)(
i
xp
已知，有
1)(
0
n
ix
i
xP
，最优存储策略是使在该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。
需求为随机的单一周期进货问题当订货批量
ixQ?
时供大于求发生存储，总费用期望值为,
)()(
ii
i
xQ
O
xPxQC
（ 9 - 25 ）
当订货批量
ixQ?
时供不应求发生缺货，总费用期望值为,
)()(
ii
i
xQ
u
xPQxC
(9 - 26)
综合 (9 - 2 5 ),(9 - 26) 两种情况，则总费用的期望值为,
)()()()())((
ii
i
xQ
uii
i
xQ
O
xPQxCxPxQCQCE
（ 9 - 27 ）
x
是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值，为方便起见，不妨假设
x
的取值为非负整数，由此式 (9 - 2 7 ) 取最小值
Q
的必要条件可设为,
))1(())((
))1(())((
QCEQCE
QCEQCE
(9 - 28)
需求为随机的单一周期进货问题由 式 (9 - 28) 推导得,
))(()()1()()1())1((
))(()()1()()1())1((
1
0
2
1
0
QCExPQxCxPxQCQCE
QCExPQxCxPxQCQCE
ii
Q
i
x
uii
Q
i
x
O
ii
Q
i
x
uii
Q
i
x
O
经化简后得,
ou
u
i
Q
i
x
ou
u
i
Q
i
x
CC
C
xP
CC
C
xP
)(
)(
1
0
0
即最佳订货数量应按下列不等式确定,
)()(
0
1
0
i
Q
i
xou
u
i
Q
i
x
xP
CC
C
xP
( 9 - 29)
需求为随机的单一周期进货问题例 9,7 报童每日售报数量是一个离散型随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元。如报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数 r 的概率
)( rP
根据以往的经验是已知的，且有
1)(
0
r
rP
，问报童每日最好准备多少份报纸？
需求为随机的单一周期进货问题解,设报童订购报纸数量为
Q
，则有
(1) 供过于求时（
Qr?
），这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：
)()(
0
rPrQh
Q
r
(2) 供不应求时（
Qr?
），这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：
)()(
1
rPQrk
Qr
综合 (1)(2) 两种情况，当订货量为
Q
时，损失地期望值为,
)()()()())((
10
rPQrkrPrQhQCE
Qr
Q
r
需求为随机的单一周期进货问题根据
( 1 )
))1(())(( QCEQCE
(2 )
))1(())(( QCEQCE
求得：报童应准备的报纸最佳数量应按下列不等式确定,
)()(
0
1
0
rP
hk
k
rP
Q
r
Q
r
需求为随机的单一周期进货问题需求为连续型变量的随机存储问题一个时期内的需求量 x 也可能是一个连续型随机变量，此时假设
)( xf
为需求量
x
的概率密度函数，
)( xF
为分布函数，则有
x
dttfxF
0
)()(
，
最优存储策略仍然是使该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。
需求为随机的单一周期进货问题当订货批量
xQ?
时供大于求发生存储，总费用期望值为,
dxxfxQC
Q
O
)()(
0
（ 9 - 30 ）
当订货批量
xQ?
时供不应求发生缺货，总费用期望值为,
dxxfQxC
Q
u
)()(?
(9 - 31)
综合 (9 - 3 0 ),(9 - 31) 两种情况，则总费用的期望值为,
dxxfQxCdxxfxQCQCE
Q
u
Q
O
)()()()())((
0
(9 - 32)
x 是连续变量，可以用求导数的方法求极值。
需求为随机的单一周期进货问题根据 L e ib n it z 法则,
)()),(()()),((),(
)(
)(
)(
)(
ya
dy
d
yyahyb
dy
d
yybhdx
y
h
dyyxh
dy
d
yb
ya
yb
ya
用于求
)( QC
对
Q
的求导，得,
Q
ouu
Q
Q
u
dxxfCCCdxxfCdxxfC
dQ
QCdE
00
0
)()()()(
))((
令
0
)(
dQ
QdC,则有,
0
0
)()(
CC
C
dxxfQF
u
u
Q
( 9 - 3 3 )
即最优解?
Q
是满足 (9 - 3 3 ) 式的量。
需求为随机的单一周期进货问题例 9,8 若货物单位成本为 K,单位售价为 P,单位存储费为
1C
,需求 x 是连续的随机变量，密度函数为
)( xf
，分布函数为
)( xF
，生产或订购的数量为
Q
，问如何确定
Q
的数值，使费用期望值最小？
需求为随机的单一周期进货问题解：根据上面的分析我们可以直接得出,
供大于求时的总费用期望值为：
dxxfxQCK
Q
)()()(
0
1
供不应求时的总费用期望值为：
dxxfQxKP
Q
)()()(?
则总费用的期望值为,
dxxfQxKPdxxfxQCKQCE
Q
Q
)()()()()()())((
0
1
则有最优订货量值应满足：
CP
KP
dxxfQF
Q
0
)()(
需求为随机的单一周期进货问题例 9,9 某商店计划订购一批夏季时装，进价是 500 元，
预计售价为 1000 元。夏季未售完的要在季末进行削价处理，处理价为 200 元。根据以往的经验，该时装的销量服从 [50,100]
上的均匀分布，求最佳订货量。
需求为随机的单一周期进货问题解,根据题意可得：
3 0 02 0 05 0 0oC
，
5 0 05 0 01 0 0 0uC
，
则最优订货批量?
Q
应满足
625.0
300500
500
)()(
0
0
CC
C
dxxfQF
u
u
Q
又因为服装的销量服从 [50,100] 上的均匀分布，所以有,
625.0
50
50
50
1
)P r ()(
50
Q
dxQxQF
Q
得到
25.81?Q
,即订购 81 件最为合算。
需求为随机的单一周期进货问题
),( Ss 型存储策略问题我们在本节开头中提到过
),( Ss
型存储策略。它是一种把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值 s,则不订货。小于 s 时则订货补充存储，订货量要使存储量达到 S 。在报童问题的基础上，如果采用
),( Ss
型存储策略会得出怎样的结果，我们通过例题来说明。
需求为随机的单一周期进货问题例 9.10 设货物单位成本为 C,单位存储费为 H,单位缺货费为 B,每次订购费为 A,期初存储为 I 。需求
x
是连续的随机变量，密度函数为
)( xf
，分布函数为
)( xF
，采用
),( Ss
策略订购，
问如何确定每次订货量
Q
的数值，才能使费用期望值最小？
需求为随机的单一周期进货问题解,设最大存储量为
S
，
QIS
,则本阶段各项费用构成为,
订货费：
CQA?;
存储费用期望值为：
dxxfxSH
S
)()(
0
;
缺货费用期望值为：
dxxfSxB
S
)()(
;
所以该阶段所需订货费及存储费、缺货费期望值之和为,
dxxfSxBdxxfxSHISCASCE
S
S
)()()()()())((
0
(9 - 34)
需求为随机的单一周期进货问题
Q
可以连续取值，可通过求导得,
dxxfBdxxfHC
dS
SdC
S
S
)()(
)(
0
令上式为 0,有,
BH
CB
dxxfSF
S
)()(
0
(9 - 35)
令
BH
CB
N
，称为临界值。
根据式 (9 - 3 5 ) 可确定 S 的值，进而得出最优订货量值
ISQ
。
需求为随机的单一周期进货问题该问题中有订购费 A 一项，如果本阶段不订货就可以节省订购费，因此我们设想是否存在一个数值
)( Sss?
使下列不等式成立。
dxxfSxBdxxfxSHCSAdxxfsxBdxxfxsHCs
S
S
s
s
)()()()()()()()(
00
(9 - 3 6 )
当 Ss? 时,不等式显然成立。
当 Ss? 时，不等式右端存储费用期望值大于左端存储费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值；一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个的 s 值使 (9 - 3 6 ) 式成立，则选其中最小者作为本 问题的 存储策略。
需求为随机的单一周期进货问题相应的存储策略是：每阶段初期检查存储，当库存 小于 s 时，需订货，
订货的数量为
Q
。 当库存 大于等于 s 时，本阶段不订货。这种存储策略是：定期订货但订货量不确定,订货数量的多少视期末库存决定。对于不易清点数量的存储，人们常 把 存储分两堆存放，一堆的数量 为 s,其余的另放一堆。平时从另放的一堆中去提取，如果 该 堆 被 清空，便触发订货，
新的订货到达之前从 数量为 s 的 一堆中提取，这种方法俗称两堆法。
需求为随机的单一周期进货问题例 9,1 1 当 需求
x
为离散型随机变量，取值
m
xxx?
10
,)( 1 ii xx
，且概率为
)()(),(
10 m
xPxPxP?
,
1)(
0
m
i
i
xP
时，上述问题的最优结论又如何呢？
解 本阶段所需各项费用的构成情况如下,
订货费：
CQA?
存储费期望值：
)()( xPxQIH
IQx
缺货费期望值：
)()( xPQIxB
IQx
所以，本阶段所需订货费及存储费、缺货费期望之和为,
)()()()())(( xPQIxBxPxQIHCQAQICE
IQxIQx
需求为随机的单一周期进货问题其中
QI?
表示存储所达到的水平，记
QIS
，上式可写为,
)()()()()())(( xPSxBxPxSHISCASCE
SxSx
(9 - 36)
由于需求是离散变量，不能通过求导的办法寻找最优值，所有我们采用如下方法 求出
S
值，使
))(( SCE
最小。
( 1 ) 将需求
x
的随机值按大小顺 序排列为,
m
xxx?
10
,
，其中
1?
ii
xx
，且
0
1
iii
xxx
，
)1,1,0( mi?
( 2 )
S
只从
m
xxx?
10
,
中取值。当
S
取值为
i
x
时，记为
iS
0
11
iiiiii
xxxSSS
，
)1,1,0( mi?
需求为随机的单一周期进货问题
( 3 ) 求
S
的值使
))(( SCE
最小。因为
)()()()()())((
1
1
1
1
11
xPSxBxPxSHISCASCE
i
iSx
i
iSx
ii?
)()()()()())(( xPSxBxPxSHISCASCE
i
iSx
i
iSx
ii
)()()()()())((
1
1
1
1
11
xPSxBxPxSHISCASCE
i
i
Sx
i
i
Sx
ii?
为选出使
))((
i
SCE
最小的
S
值，
i
S
应满足下列不等式,
))(())((
))(())((
1
1
ii
ii
SCESCE
SCESCE ( 9 - 37)
定义
))(())(())((
1 iii
SCESCESCE
则由 (9 - 37) 的第一个不等式，得到
0)()())((
i
i
Sx
ii
SBxPSBHSCSCE
因为
0
i
S
，即
0)()(
BxPBHC
i
Sx
所以得到：
0)()(
BxPBHC
iSx
需求为随机的单一周期进货问题即
BH
CB
xP
i
Sx
)(
(9 - 3 8 )
同理，由 (9 - 3 7 ) 的第二个不等式可得,
BH
CB
xP
i
Sx
)(
1
( 9 - 39)
综合以上两式，得到为确定
i
S
的不等式
i
Sx
i
Sx
xPN
BH
CB
xP )()(
1
( 9 - 40)
取满足 (9 - 4 0 ) 式的
i
S
为
S
，即可得本阶段订货量
Q
。
同理，考察不等式,
)()()()()()()( xPSxBxPxSHCSAxPBxPxsHCs
SxSxsxsx
(9 - 4 1 )
使 (9 - 4 1 ) 式成立的
)( Sxx ii?
的值中最小者为
s
。
需求为随机的单一周期进货问题例 9.1 2 某厂对原料需求量的概率为,
1.0)80P r ( ＝?x
，
2.0)90P r ( ＝?x
，
3.0)1 0 0P r ( ＝?x
3.0)1 1 0P r ( ＝?x
，
1.0)120P r ( ＝?x
已知每次的订购费为 2825 元，货物价格为 850 元，存储费为 45 元，缺获费为 1250 元，求该厂
),( Ss
存储策略。
解 计算临界值
3 0 9.0
451 2 5 0
8 5 01 2 5 0
N
由于
3 0 9.03.0)90()80( xPxP
309.06.0)100()90()80( xPxPxP
可知
1 0 0?S
第六节 需求为随机的单一周期进货问题再利用式 (9 - 4 1 ) 计算,
1 0 0?S
,(9 - 4 1 ) 式右端为 9 4 2 5 5,
80?s
,(9 - 4 1 ) 式左端为 9 4 2 5 0
因为 9 4 2 5 0 < 9 4 2 5 5,所以
80?s
。
即,该厂存储策略每当存储小于等于 80 时补充存储使存储量达到 1 0 0,
当存储大于 80 时不需补充。
思考题
1.请试举一个报童问题的实例。
2.使总费用期望值最小的存储策略同样使总收益期望值最大吗？试以存储策略为例进行分析 。
以上介绍的是一些存储问题的基本模型,在这些模型的基础上,适当放松或加强某些条件,就可形成另外一些存储问题 。 就确定型存储问题来讲,还有需求量不同的多时期存储问题 (Wagner-Whitin Model）,库容有限制的存储问题
（ Capacitated Lot Sizing Problem,CLSP） 以及多产品的批量生产模型
（ Economic Lot Sizing Problem,ELSP） 等 。 而随机型存储问题,除了单周期报童问题外,还有多周期随机存储问题 （ Multi-Period Stochastic Demand
Problem）,以及多级存储问题 （ Multi-Echelon Inventory Problem） 等 。 下面我们简单介绍价格有折扣的存储问题和库容有限制的存储问题 。
其他类型的存储问题价格有折扣的存储问题在前面几节的确定型存储问题中,我们看到这些问题的存储策略都与货物价格无关 。 实际生活中,存储策略与货物价格完全无关吗？ 答案是否定的 。 例如,
我们去超级市场采购食品,如果商场促销,买的越多价格越便宜的话,我们也许会多买一些存储起来 。 下面我们就来研究货物单价随订购数量而变化的存储问题 。
我 们 假 设 其 余 条 件 皆 与 不 允 许 缺 货 经 济 订 购 批 量 问 题 的 相 同 。
其他类型的存储问题其他类型的存储问题记货物单价为 )( Qk,设 )( Qk 按三个数量等级变化（见图 9 - 5 ）
K (Q )
K
3
K
2
Q
2
K
1
Q
1
图 9-5 价格折扣
QQQ
k
k
k
Qk
2
21
1
3
2
1
0
)(
其他类型的存储问题当订购量为 Q 时，一个周期内所需费用为,
QQkA
Q
hQ )(
2
1
即
2
21
1
3
3
2
2
1
1
0
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
QQQ
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
QC
其他类型的存储问题如果不考虑 )(1 QC,)(2 QC 和 )(3 QC 的定义域，它们之间只差一个常数，因此它们的导函数相同。为求极小，令导数为零，解得 0Q,0Q 落在哪一个区间，事先难以预计。
假设 201 QQQ,这也不能肯定 )(2 QC 最小。
其他类型的存储问题设最佳订购批量为
Q
，在给出价格有折扣情况下，求解步骤如下,
（ 1 ）对
)(
1
QC
求得极值点为
0
Q
（ 2 ）若
10 QQ?
,计算,
3
2
2
2
3
2
1
1
1
2
1
0
0
0
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
k
Q
AQ
hQC
QC
由
)(),(),(m i n
2
3
1
2
0
1
QCQCQC
得到单位货物最小费用的 订购批量
Q
。例如
)()(),(),(m i n
1
2
2
3
1
2
0
1
QCQCQCQC?
,则取
1
QQ?
其他类型的存储问题
（ 3 ）若
201 QQQ
,计算 )(
0
2 QC,)(
2
3 QC 。
由)(),(m i n
2
3
0
2 QCQC 决定?Q 。
（ 4 ）若
02 QQ?
，则取
0QQ?
。
其他类型的存储问题以上步骤易于推广到单价折扣分
m
个等级的情况。
比如说订购量为
Q
，其单价
)( Qk
,
QQQ
QQQ
k
k
k
k
QK
m
jj
m
j
1
1
21
1
2
1
0
)(
对应的平均单位货物所需费用为：
j
j
k
Q
AQ
hQC
2
1
)(
，
mj,,2,1
对
)(
1
QC
求 得 极 值 点 为
0
Q
，若
jj
QQQ
01
，求
)(,),(),(m i n
1
1
0?
m
m
i
jj
QCQCQC?
，设从此式得到的最小值为
)(
1?l
l
QC
，则取
1?
l
其他类型的存储问题例 9.13,工厂每周需零配件 32箱，存储费每箱每周 1元，每次订购费 25元，不允许缺货。零配件供应商提供一定的价格折扣，若
（ 1）订货量为 1－ 9箱时，每箱 12元；
（ 2）订货量为 10－ 49箱时，每箱 10元；
（ 3）订货量 50－ 99箱时，每箱 9.5元；
（ 4）订货量 99箱以上时，每箱 9元。
求最优存储策略。
其他类型的存储问题解,由不允许缺货的经济订购批量公式知,
解 先考虑没有价格折扣时该厂的最优订货量为,
)(40
1
32252
0
箱?
Q
分别计算每次订购 40,50 和 1 0 0 箱所需平均费用,
)(25.1110
40
25
32
40
1
2
1
2
元C
)(78.105.9
50
25
32
50
1
2
1
3
元C
)(81.109
100
25
32
100
1
2
1
4
元C
378.1081.10,78.10,25.11m i n C
所以最优订购批量为 50 箱。
其他类型的存储问题库容有限制的存储问题例 9,14 一零售商店需要贮存和销售收音机。假设商店用于担负收音机存货的资金不能超过 S 元，收音机共有 n 个型号，
j
型号收音机的外包装体积为
jV
立方米，仓库用于存储收音机的部分，最大容积为 V 立方米。收音机为批量订货，每订购一批型号为
j
的收音机，需花 费手续费
ja
元。每台
j
型号收音机的单价为
jc
元，每年对
j
型号收音机的需要量为
jd
台。
ja
，
jc
和
jd
通过对以前若干的情况进行统计分析得到确定值。假设
j
型号收音机单位库存费用为
jq
。求最优订货量。
其他类型的存储问题解 令
jx
表示一批
j
型号收音机的订货台数。首先建立目标函数，即订货及存储的年平均费用。对
j
型号收音机，订货费用应是每批订购费
j
a
同批数
jj
xd /
的乘积，即
jjj
xda /；存储的年平均费用应是年平均存储量
2/
j
x
同存储费
j
q
的乘积，即
2/
jj
xq
。于是得到目标函数,
)2//()(
1
j
n
j
jjjj
xqxdaxf?
其中,T
n
xxxx ),,(
21
。
我们再来看约束条件。库存总价值不能超过上限，即
n
j
jj
Sxcxg
1
1
0)(
仓库容量的限制，即
n
j
jj
VxVxg
1
2
0)(
且每批订货量不可能为负，故有：
),2,1(0 njx
j
其他类型的存储问题那么，我们得到下面的非线性规划模型,
njxxg
VxVxg
Sxcxgts
xqxdaxf
jj
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jjjjj
,2,1,0)(
0)(
0)(..
2//)(m i n
2
1
2
1
1
1
）（
其他类型的存储问题本章小结：
本章学习了存储论相关概念及一些简单的存储问题。存储问题可以分为确定型问题和随机型问题。不允许缺货的批量订购问题、不允许缺货的批量生产问题、允许缺货的批量订购问题以及允许缺货的批量生产问题都属于确定型。随机型存储问题根据需求量可分为需求为离散变量的问题与需求为连续变量的问题。另外,还有 型存储策略问题、价格有折扣的存储问题以及库容有限制的存储问题等。
),( Ss
),( Ss
本章的学习框架如下：
随机型存储问题题允许缺货的批量生产问问题不允许缺货的批量生产批量生产问题题允许缺货的批量订购问问题不允许缺货的批量订购批量订购问题确定型存储问题存储论其他类型的存储问题
