第二讲 MATLAB的数值计算
—— matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解一、命令行的基本操作
1,创建矩阵的方法直接输入法规则：
矩阵元素必须用 [ ]括住
矩阵元素必须用逗号或空格分隔
在 [ ]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔矩阵元素可以是任何 matlab表达式,可以是实数,也可以是复数，复数可用特殊函数 I,j 输入
a=[1 2 3;4 5 6]
x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]
矩阵元素符号的作用逗号和分号的作用
逗号和分号可作为指令间的分隔符,matlab允许多条语句在同一行出现。
分号如果出现在指令后，
屏幕上将不显示结果。
注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。 变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。
当一个指令或矩阵太长时，可用
续行冒号的作用
用于生成等间隔的向量，默认间隔为 1。
用于选出矩阵指定行、列及元素。
循环语句
2.用 matlab函数创建矩阵空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。
rand —— 随机矩阵
eye —— 单位矩阵
zeros —— 全部元素都为 0的矩阵
ones —— 全部元素都为 1的矩阵还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。
注意,matlab严格区分大小写字母,因此 a与 A是两个不同的变量。
matlab函数名必须小写 。
3,矩阵的修改
直接修改可用?键找到所要修改的矩阵，用?键移动到要修改的矩阵元素上即可修改 。
指令修改可以用 A(?,?)=? 来修改。
例如
a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9]
a =1 2 0
3 0 5
7 8 9
a(3,3)=0
a =1 2 0
3 0 5
7 8 0
还可以用函数 subs
修改,matlab6.0还可用 find函数修改。
把 matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成 mat数据文件。
save —— 将工作空间中所有的变量存到 matlab.mat文件中。
二、数据的保存与获取默认文件名
save data—— 将工作空间中所有的变量存到 data.mat文件中。
save data a b —— 将工作空间中 a和 b变量存到 data.mat文件中。
下次运行 matlab时即可用 load指令调用已生成的 mat文件。
load ——
load data ——
load data a b ——
mat文件是标准的二进制文件，
还可以 ASCII码形式保存。
即可恢复保存过的所有变量
1,矩阵加、减（＋,－）运算规则：
相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。
允许参与运算的两矩阵之一是标量。
标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。
三、矩阵运算
2,矩阵乘（?） 运算规则：
A矩阵的列数必须等于 B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b
c =14
32
23
d=[-1;0;2];f=pi*d
f = -3.1416
0
6.2832
矩阵除的运算在线性代数中没有，
有矩阵逆的运算，在 matlab中有两种矩阵除运算
a ^ p —— a 自乘 p次幂方阵 >1的整数
3,矩阵乘方 —— a^n,a^p,p^a
对于 p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果 p是矩阵,a是标量
a^p使用特征值和特征向量自乘到 p次幂；如 a,p都是矩阵,a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2
ans =30 36 42
66 81 96
102 126 150
※ 当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。
a^0.5
ans =
0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i
1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i
1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
inv —— 矩阵求逆
det —— 行列式的值
eig —— 矩阵的特征值
diag —— 对角矩阵
’ —— 矩阵转置
sqrt —— 矩阵开方
4,矩阵的其它运算
5.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维
a=[1:12];b=reshape(a,3,4)
c=zeros(3,4);c(:)=a(:)
矩阵的变向
rot90:旋转 ; fliplr:上翻 ; flipud:下翻矩阵的抽取
diag:抽取主对角线 ;tril,抽取主下三角 ;
triu:抽取主上三角矩阵的扩展关系运算关系符号 意义
<
<=
>
>=
==
~=
小于小于或等于大于大于或等于等于不等于数组运算指元素对元素的算术运算，
与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同
1,数组加减 (.+,.-)
a.+b
a.- b
5,矩阵的数组运算对应元素相加减（与矩阵加减等效）
2,数组乘除 (,./,.\）
ab —— a,b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a.*b
ans =
2 8 18
4 15 30
49 72 90
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a*b
ans =
25 37 46
55 85 109
85 133 172
a./b=b.\a
a.\b=b./a
a./b=b.\a — 都是 a的元素被 b的对应元素除
a.\b=b./a — 都是 a的元素被 b的对应元素除例,a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a
c1 = 4.0000 2.5000 2.0000
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
—— 给出 a,b对应元素间的商,
3,数组乘方 (.^) — 元素对元素的幂例,
a=[1 2 3];b=[4 5 6];
z=a.^2
z =
1.00 4.00 9.00
z=a.^b
z =
1.00 32.00 729.00
matlab语言把多项式表达成一个行向量，
该向量中的元素是按多项式降幂排列的。
f(x)=anxn+an-1xn-1+…… +loa0
可用行向量 p=[an an-1 …… a1 +a0]表示
1,poly —— 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是 n+1维的特征多项式第一个元素一定是 1
四,多项式运算例,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
p=poly(a)
p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00
p是多项式 p(x)=x3-6x2-72x-27的
matlab描述方法，我们可用：
p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示数学多项式的形式
p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
2.roots —— 求多项式的根
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)
p =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
r=roots(p)
r = 12.12
-5.73 —— 显然 r是矩阵 a的特征值
-0.39
当然我们可用 poly令其返回多项式形式
p2=poly(r)
p2 =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。
3.conv,convs多项式乘运算例,a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;
c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)
a=[1 2 3];b=[4 5 6];
c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6])
c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00
p=poly2str(c,'x')
p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18
4.deconv多项式除运算
a=[1 2 3];
c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00]
d=deconv(c,a)
d =4.00 5.00 6.00
[d,r]=deconv(c,a)
余数
c除 a后的整数
5.多项式微分
matlab提供了 polyder函数多项式的微分。
命令格式：
polyder(p),求 p的微分
polyder(a,b),求多项式 a,b乘积的微分
[p,q]=polyder(a,b),求多项式 a,b商的微分例,a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')
ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5
b=polyder(a)
b = 4 6 6 4
poly2str(b,'x')
ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
五、代数方程组求解
matlab中有两种除运算左除和右除。
对于方程 ax+b,a 为 an× m矩阵，有三种情况：
当 n=m时，此方程成为,恰定,方程
当 n>m时，此方程成为,超定,方程
当 n<m时，此方程成为,欠定,方程
matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程
1.恰定方程组的解方程 ax+b(a为非奇异 )
x=a-1 b
矩阵逆两种解,
x=inv(a)?b — 采用求逆运算解方程
x=a\b — 采用左除运算解方程方程 ax=b
a=[1 2;2 3];b=[8;13];
x=inv(a)*b? x=a\b
x = x =
2.00 2.00
3.00 3.00
32
21
2
1
x
x
13
8=
a x = b
例,x1+2x2=8
2x1+3x2=13
2.超定方程组的解方程 ax=b,m<n时此时不存在唯一解。
方程解 (a ' a)x=a ' b
x=(a' a)-1 a ' b —— 求逆法
x=a\b —— matlab用最小二乘法找一个准确地基本解。
例,x1+2x2=1
2x1+3x2=2
3x1+4x2=3
a=[1 2;2 3;3 4];b=[1;2;3];
解 1 x=a\b 解 2 x=inv(a'?a)? a'? b
x = x =
1.00 1.00
0 0.00
2
1
x
x
3
2
1=
43
32
21
a x = b
3.欠定方程组的解当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。
matlab可求出两个解：
用除法求的解 x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆 pinv求得的。
x1+2x2+3x3=1
2x1+3x2+4x3=2
a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2];
x=a\b x=pinv(a)?b
x = x =
1.00 0.83
0 0.33
0 -0.17
432
321
3
2
1
x
x
x
2
1=
a x = b
六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有 Euler（欧拉法）,Runge Kutta(龙格 -库塔法。
Euler法称一步法，用于一阶微分方程 211 2121 kkyy nn
00 )(),,( yxyyxfdt
dy
当给定仿真步长时：
所以
yn+1 = yn + h·f (xn,yn) n=0,1,2…
y(x0)=y0
h
yy
xx
yy
dt
dy nn
nn
nn
1
1
1
Runge Kutta法龙格 -库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法 。
龙格 -库塔法,ode23 ode45
211 2
1
2
1 kkyy
nn
k1=hf(xn,yn)
k2=hf(xn+h,yn+k)
例,x+(x2-1)x+x=0
为方便令 x1=x,x2=x分别对 x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式
x1=x2
x2=x2(1-x12)-x1
1,建立 m文件
2,解微分方程
·· ·
·
·
·
建立 m文件
function xdot=wf(t,x)
xdot=zeros(2,1)
xdot(1)=x(2)
xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)
给定区间、初始值 ;求解微分方程
t0=0; tf=20; x0=[0 0.25]';
[t,x]=ode23('wf',t0,tf,x0)
plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))
命令格式,
[T,Y] = ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)
建立 m文件
function dxdt=wf(t,x)
dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];
求解微分方程
[t,x]=ode23(@wf,[0 30],[0 0.25]);
plot(t,x);
figure(2)
plot(x(:,1),x(:,2))
- 2,5 -2 - 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25 30
-3
-2
-1
0
1
2
3
七、函数优化寻优函数：
fmin —— 单变量函数
fmins —— 多变量函数
constr —— 有约束条件无约束条件例 1,f(x)=‘x2+3x+2’在 [-5 5]区间的最小值
f=fmin('x^2+3*x+2',-5,5)
例 2,f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在 x1=a,
x2=a2处有最小值
function f=xun(x,a)
f=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(a-x(1)).^2;
x=fmins('xun',[0,0],[ ],[ ],sqrt(2))
八、数据分析与插值函数
max —— 各列最大值
mean —— 各列平均值
sum —— 各列求和
std —— 各列标准差
var —— 各列方差
sort —— 各列递增排序九、拟合与插值
1,多项式拟合
x0=0:0.1:1；
y0=[-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01
4.58 3.45 5.35 9.22];
p=polyfit(x0,y0,3)
p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043
xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')
2.插值插值的定义 —— 是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。
当不能很快地求出所需中间点的函数时，
插值是一个非常有价值的工具。
Matlab提供了一维、二维,三次样条等许多插值选择
table1 ——
table2 ——
intep1 ——
interp2 ——
spline ——
利用已知点确定未知点
粗糙 —— 精确
集合大的 —— 简化的插值函数小 结本节介绍了 matlab语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：
如何创建矩阵、修改矩阵
符号的用法
矩阵及数组运算
多项式运算
线性方程组与微分运算
—— matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解一、命令行的基本操作
1,创建矩阵的方法直接输入法规则：
矩阵元素必须用 [ ]括住
矩阵元素必须用逗号或空格分隔
在 [ ]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔矩阵元素可以是任何 matlab表达式,可以是实数,也可以是复数，复数可用特殊函数 I,j 输入
a=[1 2 3;4 5 6]
x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]
矩阵元素符号的作用逗号和分号的作用
逗号和分号可作为指令间的分隔符,matlab允许多条语句在同一行出现。
分号如果出现在指令后，
屏幕上将不显示结果。
注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。 变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。
当一个指令或矩阵太长时，可用
续行冒号的作用
用于生成等间隔的向量，默认间隔为 1。
用于选出矩阵指定行、列及元素。
循环语句
2.用 matlab函数创建矩阵空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。
rand —— 随机矩阵
eye —— 单位矩阵
zeros —— 全部元素都为 0的矩阵
ones —— 全部元素都为 1的矩阵还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。
注意,matlab严格区分大小写字母,因此 a与 A是两个不同的变量。
matlab函数名必须小写 。
3,矩阵的修改
直接修改可用?键找到所要修改的矩阵，用?键移动到要修改的矩阵元素上即可修改 。
指令修改可以用 A(?,?)=? 来修改。
例如
a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9]
a =1 2 0
3 0 5
7 8 9
a(3,3)=0
a =1 2 0
3 0 5
7 8 0
还可以用函数 subs
修改,matlab6.0还可用 find函数修改。
把 matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成 mat数据文件。
save —— 将工作空间中所有的变量存到 matlab.mat文件中。
二、数据的保存与获取默认文件名
save data—— 将工作空间中所有的变量存到 data.mat文件中。
save data a b —— 将工作空间中 a和 b变量存到 data.mat文件中。
下次运行 matlab时即可用 load指令调用已生成的 mat文件。
load ——
load data ——
load data a b ——
mat文件是标准的二进制文件，
还可以 ASCII码形式保存。
即可恢复保存过的所有变量
1,矩阵加、减（＋,－）运算规则：
相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。
允许参与运算的两矩阵之一是标量。
标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。
三、矩阵运算
2,矩阵乘（?） 运算规则：
A矩阵的列数必须等于 B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b
c =14
32
23
d=[-1;0;2];f=pi*d
f = -3.1416
0
6.2832
矩阵除的运算在线性代数中没有，
有矩阵逆的运算，在 matlab中有两种矩阵除运算
a ^ p —— a 自乘 p次幂方阵 >1的整数
3,矩阵乘方 —— a^n,a^p,p^a
对于 p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果 p是矩阵,a是标量
a^p使用特征值和特征向量自乘到 p次幂；如 a,p都是矩阵,a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2
ans =30 36 42
66 81 96
102 126 150
※ 当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。
a^0.5
ans =
0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i
1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i
1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
inv —— 矩阵求逆
det —— 行列式的值
eig —— 矩阵的特征值
diag —— 对角矩阵
’ —— 矩阵转置
sqrt —— 矩阵开方
4,矩阵的其它运算
5.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维
a=[1:12];b=reshape(a,3,4)
c=zeros(3,4);c(:)=a(:)
矩阵的变向
rot90:旋转 ; fliplr:上翻 ; flipud:下翻矩阵的抽取
diag:抽取主对角线 ;tril,抽取主下三角 ;
triu:抽取主上三角矩阵的扩展关系运算关系符号 意义
<
<=
>
>=
==
~=
小于小于或等于大于大于或等于等于不等于数组运算指元素对元素的算术运算，
与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同
1,数组加减 (.+,.-)
a.+b
a.- b
5,矩阵的数组运算对应元素相加减（与矩阵加减等效）
2,数组乘除 (,./,.\）
ab —— a,b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a.*b
ans =
2 8 18
4 15 30
49 72 90
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a*b
ans =
25 37 46
55 85 109
85 133 172
a./b=b.\a
a.\b=b./a
a./b=b.\a — 都是 a的元素被 b的对应元素除
a.\b=b./a — 都是 a的元素被 b的对应元素除例,a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a
c1 = 4.0000 2.5000 2.0000
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
—— 给出 a,b对应元素间的商,
3,数组乘方 (.^) — 元素对元素的幂例,
a=[1 2 3];b=[4 5 6];
z=a.^2
z =
1.00 4.00 9.00
z=a.^b
z =
1.00 32.00 729.00
matlab语言把多项式表达成一个行向量，
该向量中的元素是按多项式降幂排列的。
f(x)=anxn+an-1xn-1+…… +loa0
可用行向量 p=[an an-1 …… a1 +a0]表示
1,poly —— 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是 n+1维的特征多项式第一个元素一定是 1
四,多项式运算例,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
p=poly(a)
p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00
p是多项式 p(x)=x3-6x2-72x-27的
matlab描述方法，我们可用：
p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示数学多项式的形式
p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
2.roots —— 求多项式的根
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)
p =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
r=roots(p)
r = 12.12
-5.73 —— 显然 r是矩阵 a的特征值
-0.39
当然我们可用 poly令其返回多项式形式
p2=poly(r)
p2 =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。
3.conv,convs多项式乘运算例,a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;
c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)
a=[1 2 3];b=[4 5 6];
c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6])
c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00
p=poly2str(c,'x')
p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18
4.deconv多项式除运算
a=[1 2 3];
c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00]
d=deconv(c,a)
d =4.00 5.00 6.00
[d,r]=deconv(c,a)
余数
c除 a后的整数
5.多项式微分
matlab提供了 polyder函数多项式的微分。
命令格式：
polyder(p),求 p的微分
polyder(a,b),求多项式 a,b乘积的微分
[p,q]=polyder(a,b),求多项式 a,b商的微分例,a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')
ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5
b=polyder(a)
b = 4 6 6 4
poly2str(b,'x')
ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
五、代数方程组求解
matlab中有两种除运算左除和右除。
对于方程 ax+b,a 为 an× m矩阵，有三种情况：
当 n=m时，此方程成为,恰定,方程
当 n>m时，此方程成为,超定,方程
当 n<m时，此方程成为,欠定,方程
matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程
1.恰定方程组的解方程 ax+b(a为非奇异 )
x=a-1 b
矩阵逆两种解,
x=inv(a)?b — 采用求逆运算解方程
x=a\b — 采用左除运算解方程方程 ax=b
a=[1 2;2 3];b=[8;13];
x=inv(a)*b? x=a\b
x = x =
2.00 2.00
3.00 3.00
32
21
2
1
x
x
13
8=
a x = b
例,x1+2x2=8
2x1+3x2=13
2.超定方程组的解方程 ax=b,m<n时此时不存在唯一解。
方程解 (a ' a)x=a ' b
x=(a' a)-1 a ' b —— 求逆法
x=a\b —— matlab用最小二乘法找一个准确地基本解。
例,x1+2x2=1
2x1+3x2=2
3x1+4x2=3
a=[1 2;2 3;3 4];b=[1;2;3];
解 1 x=a\b 解 2 x=inv(a'?a)? a'? b
x = x =
1.00 1.00
0 0.00
2
1
x
x
3
2
1=
43
32
21
a x = b
3.欠定方程组的解当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。
matlab可求出两个解：
用除法求的解 x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆 pinv求得的。
x1+2x2+3x3=1
2x1+3x2+4x3=2
a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2];
x=a\b x=pinv(a)?b
x = x =
1.00 0.83
0 0.33
0 -0.17
432
321
3
2
1
x
x
x
2
1=
a x = b
六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有 Euler（欧拉法）,Runge Kutta(龙格 -库塔法。
Euler法称一步法，用于一阶微分方程 211 2121 kkyy nn
00 )(),,( yxyyxfdt
dy
当给定仿真步长时：
所以
yn+1 = yn + h·f (xn,yn) n=0,1,2…
y(x0)=y0
h
yy
xx
yy
dt
dy nn
nn
nn
1
1
1
Runge Kutta法龙格 -库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法 。
龙格 -库塔法,ode23 ode45
211 2
1
2
1 kkyy
nn
k1=hf(xn,yn)
k2=hf(xn+h,yn+k)
例,x+(x2-1)x+x=0
为方便令 x1=x,x2=x分别对 x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式
x1=x2
x2=x2(1-x12)-x1
1,建立 m文件
2,解微分方程
·· ·
·
·
·
建立 m文件
function xdot=wf(t,x)
xdot=zeros(2,1)
xdot(1)=x(2)
xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)
给定区间、初始值 ;求解微分方程
t0=0; tf=20; x0=[0 0.25]';
[t,x]=ode23('wf',t0,tf,x0)
plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))
命令格式,
[T,Y] = ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)
建立 m文件
function dxdt=wf(t,x)
dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];
求解微分方程
[t,x]=ode23(@wf,[0 30],[0 0.25]);
plot(t,x);
figure(2)
plot(x(:,1),x(:,2))
- 2,5 -2 - 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25 30
-3
-2
-1
0
1
2
3
七、函数优化寻优函数：
fmin —— 单变量函数
fmins —— 多变量函数
constr —— 有约束条件无约束条件例 1,f(x)=‘x2+3x+2’在 [-5 5]区间的最小值
f=fmin('x^2+3*x+2',-5,5)
例 2,f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在 x1=a,
x2=a2处有最小值
function f=xun(x,a)
f=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(a-x(1)).^2;
x=fmins('xun',[0,0],[ ],[ ],sqrt(2))
八、数据分析与插值函数
max —— 各列最大值
mean —— 各列平均值
sum —— 各列求和
std —— 各列标准差
var —— 各列方差
sort —— 各列递增排序九、拟合与插值
1,多项式拟合
x0=0:0.1:1；
y0=[-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01
4.58 3.45 5.35 9.22];
p=polyfit(x0,y0,3)
p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043
xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')
2.插值插值的定义 —— 是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。
当不能很快地求出所需中间点的函数时，
插值是一个非常有价值的工具。
Matlab提供了一维、二维,三次样条等许多插值选择
table1 ——
table2 ——
intep1 ——
interp2 ——
spline ——
利用已知点确定未知点
粗糙 —— 精确
集合大的 —— 简化的插值函数小 结本节介绍了 matlab语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：
如何创建矩阵、修改矩阵
符号的用法
矩阵及数组运算
多项式运算
线性方程组与微分运算
