第四章 插补原理与速度控制第一节 插补原理一、插补及其算法二、脉冲增量插补三、数字增量插补第二节 刀具半径补偿一、刀具半径补偿的基本概念二,B 功能刀具半径补偿三,C 功能刀具半径补偿第三节 进给速度和加减速控制一、开环 CNC系统的进给速度及加减速控制二、闭环 (或半闭环 )CNC系统的加减速控制第一节 插补原理一、插补及其算法
(一 )脉冲增量插补算法
(二 )数字增量插补 (数据采样插补 )算法二、脉冲增量插补
(一 )逐点比较法
(二 )数字积分法三、数字增量插补第四章 插补原理与速度控制一、插补及其算法所谓,插补,就是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数据点的密化，插入一些新的位臵控制点。
插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。
插补程序是 CNC系统控制软件的核心
– 中间点计算所占用的时间直接影响系统的控制速度
– 各中间点的计算精度将影响零件的加工精度
插补功能：直线和圆弧插补
插补原理：
– 脉冲增量插补算法
– 数字增量插补算法第一节 插补原理
（一）脉冲增量插补算法脉冲增量插补为 行程标量插补 。特点是 每次插补决定出运动一个脉冲行程增量的坐标轴,以脉冲的方式输出控制指令 。脉冲增量插补算法 主要应用在开环数控系统中 。
一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做 脉冲当量,通常用 δ 表示。脉冲当量 δ 是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。 脉冲当量 δ 值越小，数控机床的加工精度就越高，对数控系统的计算能力的要求也越高。采用脉冲增量插补算法的 CNC系统，其坐标轴进给速度受插补程序运行时间的限制。
一、插补及其算法
(二 )数字增量插补 (数据采样插补 )算法数字增量插补为 时间标量插补,特点是 每次插补计算出插补周期内各坐标轴的位臵增量数值，以数字的形式输出控制指令 。数字增量插补算法 主要应用在闭环数控系统中数字增量插补算法适用于交、直流伺服电动机驱动的闭环 (或半闭环 )位臵采样控制系统。插补周期和位臵采样周期可以相等，也可以不相等。若不相等，则插补周期应是采样周期的整数倍。
一、插补及其算法二、脉冲增量插补
(一 )逐点比较法
1,插补步骤
2,逐点比较法直线插补
3,逐点比较法圆弧插补
4,象限与坐标变换
5,逐点比较法的进给速度
(二 )数字积分法第一节 插补原理
（一）逐点比较法逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。
原理：每次插补某坐标方向走一步，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动方向。
作用：逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。
特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便。
应用对象：两坐标开环 CNC系统二、脉冲增量插补
1,插补流程逐点比较法的插补过程，每走一步要进行以下四个节拍，具体如下：
① 偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工曲线的位臵 。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标进给一步，以接近曲线。
③偏差计算 计算新的刀位点相对曲线的偏差，作为下一步偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。
（一）逐点比较法图 逐点比较法工作循环图
N
偏差计算偏差判别坐标进给到达终点？
插补结束 Y
插补开始
1,插补流程
2.逐点比较法直线插补
（ 1）判别函数及判别条件
（ 2）进给方向判别
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导
（ 4）终点判别
（ 5）逐点比较法直线插补例题
（一）逐点比较法
⑴ 判别函数及判别条件如图所示，对 XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点 O，终点位于 A（ Xe,Ye）。设点 P（ Xi，
Yi）为任一动点。
若 P点在直线 OA上,则：
若 P点在直线 OA上方，则：
若 P点在直线 OA下方，则：
定义偏差函数,F= XeYi – XiYe
2.逐点比较法直线插补则可得到如下结论：
当 F=0时，加工点 P落在直线上；
当 F>0时，加工点 P落在直线上方；
当 F<0时，加工点 P落在直线下方；
2.逐点比较法直线插补
⑵ 进给方向判别
① 当 F>0时，应该向 +X方向 发一脉冲，使刀具向 +X方向前进一步，
以接近该直线。
②当 F<0时，应该向 +Y方向 发一脉冲，使刀具向 +Y方向前进一步，
以接近该直线。
③当 F=0时，既可以向 +X方向发一脉冲，也可以向 +Y方向前进一步。但通常将 F=0和 F>0做同样的处理，既都向 +X方向 发一脉冲。
2.逐点比较法直线插补
⑶ 迭代法偏差函数 F的推导 坐标单位为脉冲当量为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数 F:即每走一步,新刀位点的偏差用前一点的偏差递推 出来。
① F≥0 时，应向 +X发出一进给脉冲，刀具从现加工点
（ Xi,Yi）向 +X方向前进一步，达到新加工点（ Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为：
Fi+1,i= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye
= XeYi – XiYe - Ye=F – Ye
② F<0时，应向 +Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点
（ Xi,Yi）向 +Y方向前进一步，达到新加工点（ Xi,Yi+1 ），
则新加工点的偏差值为：
Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe
= XeYi – XiYe +Xe=F + Xe
2.逐点比较法直线插补
（ 4）终点判别终点判别可采用两种方法：
一是每走一步判断 Xi-Xe≥0 及 Yi-Ye≥0 是否成立，如成立，
则插补结束否则继续。
二是把每个程序段中的总步数求出来，即 n=|Xe | + | Ye |,
每走一步 n-1，直到 n=0为止。
2.逐点比较法直线插补
（ 5）逐点比较法直线插补例题设欲加工的直线位于 XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为 Xe=5,Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。
Y
XO
A(5,3)
2.逐点比较法直线插补解 插补过程如下表所示，表中 Xe,Ye是直线终点坐标，
n为总步数,n= | Xe | + | Ye | =8。
脉冲序次偏差判别进给方向偏差计算 终点判别
0 F0=0,Xe=5,Ye=3 n=8
1 F0=0 +X F1=F0-Ye=-3 7
2 F1= -3<0 +Y F2=F1+Xe=2 6
3 F2=2>0 +X F3=F2-Ye=-1 5
4 F3= -1<0 +Y F4=F3+Xe=4 4
5 F4=4>0 +X F5=F4-Ye=1 3
6 F5=1>0 +X F6=F5-Ye=-2 2
7 F6= -2<0 +Y F7=F6+Xe=3 1
8 F7=3>0 +X F8=F7-Ye=0 0
Y
1
4
X
5 6
O
A(5
,3)
2
3
7
8
2.逐点比较法直线插补到达终点
3.逐点比较法圆弧插补
（ 1）判别函数及判别条件
（ 2）进给方向判别
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导
（ 4）逐点比较法圆弧插补终点判别
（ 5）逐点比较法圆弧插补例题
（一）逐点比较法
⑴ 判别函数及判别条件如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点 A
（ X0,Y0）,终点 B（ Xe,Ye）,圆弧半径为 R。 P（ Xi,Yi） 为任一加工点。其偏差函数为：
F = （ Xi2 +Yi2 ） - R2 =（ Xi2 –X02） +（ Yi2 -Y02）
根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况：
当 F=0时，加工点 P落在圆弧上；
当 F>0时，加工点 P落在圆弧外侧；
当 F<0时，加工点 P落在圆弧内侧；
3.逐点比较法圆弧插补
（ 2）进给方向判别
① 当 F>0时，应该向 X轴 发出一 负方向 运动的进给脉冲使刀具向圆弧内走一步。
②当 F<0时，应该向 Y轴 发出一 正方 向运动的进给脉冲，
使刀具向圆弧外走一步。
③当 F=0时，既可以向 X轴方向发一负方向运动的进给脉冲，也可以向 Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但通常将 F=0和 F>0做同样的处理。 X轴负方向
3.逐点比较法圆弧插补
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导 坐标单位为脉冲当量
① 设加工点 P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差 F≥0,刀具需向 X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点 P（ Xi+1,Yi）。
新加工点的偏差为：
Fi+1,i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（ X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02
=F-2Xi+1
② 设加工点 P在圆弧内侧，则加工偏差 F<0，刀具需向 Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点 P（ Xi,Yi+1） 。新加工点的偏差为：
Fi,i+1 = Xi 2 - X02+（ Yi+1） 2-Y02
=Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02
=F+2Yi+1
3.逐点比较法圆弧插补
（ 4）逐点比较法圆弧插补终点判别和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计算外，还要进行终点判别。下面我们介绍两种方法。
①插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数 N，
N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中,X或 Y每走一步，就从总步数 N中减 1，当 N=0时，表示到达终点。
②插补前分别计算两个坐标进给的总步数 Nx和 Ny，
其中 Nx=|Xe-X0|,Ny=|Ye-Y0|,当 X坐标进给一步时，计算 Nx-1，
当 Y坐标进给一步时，计算 Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零时，表示到达终点。
3.逐点比较法圆弧插补
（ 5）逐点比较法圆弧插补例题如图所示，要加工 XY平面内第一象限的逆圆弧，
圆弧圆心在坐标原点，圆弧起点坐标 A(10,0），终点坐标为 B(6,8)。试对该段圆弧进行插补。
解 终点判别值为,
N = |XB – XA| + |YB – YA|
= |6-10|+|8-0|
= 12
插补过程如图和下表所示。
3.逐点比较法圆弧插补逐点比较法逆圆插补运算过程脉冲序次偏差判别 进给方向偏差计算 坐标计算 终点判别
0 F0=0 X0=10,Y0=0 N=12
1 F0=0 -X F1=F0-2X0+1=-19 X1=9,Y1=0 N= 11
2 F1=-19<0 +Y F2=F1+2Y1+1=-18 X2=9,Y2=1 N= 10
3 F2=-18<0 +Y F3=F2+2Y2+1=-15 X3=9,Y3=2 N= 9
4 F3=-15<0 +Y F4=F3+2Y3+1=-10 X4=9,Y4=3 N= 8
5 F4=-10<0 +Y F5=F4+2Y4+1=-3 X5=9,Y5=4 N= 7
6 F5=-3<0 +Y F6=F5+2Y5+1=6 X6=9,Y6=5 N= 6
7 F6=6>0 -X F7=F6-2X6+1=-11 X7=8,Y7=5 N= 5
8 F7=-11<0 +Y F8=F7+2Y7+1=0 X8=8,Y8=6 N= 4
9 F8=0 -X F9=F8-2X8+1=-15 X9=7,Y9=6 N= 3
10 F9=-15<0 +Y F10=F9+2Y9+1=-2 X10=7,Y10=7 N= 2
11 F10=-2<0 +Y F11=F10+2Y10+1=13 X11=7,Y11=8 N= 1
12 F11=13>0 -X F12=F11-2X11+1=0 X12=10,Y12=8 N= 0
图 逐点比较法工作循环图
N
偏差计算偏差判别坐标进给到达终点？
插补结束 Y
插补开始直线插补 圆弧插补
F= XeYi – XiYe
F≥0,向 +X发出一进给脉冲
F<0，向 +Y发出一进给脉冲
F≥0,Fi+1,i= F – Ye
F<0,Fi,i+1= F + Xe
Xi-Xe≥0 及 Yi-Ye≥0 ；
或：
n=|Xe | + | Ye |,
每走一步 n-1，直到 n=0
F =(Xi2 –X0)+(Yi2 -Y02)
F≥0,向 -X发出一进给脉冲
F<0，向 +Y发出一进给脉冲
F≥0,Fi+1,i = F-2Xi+1
F<0,Fi,i+1 = F+2Yi+1
N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|,N=0。
或：
Nx=|Xe-X0|,Ny=|Ye-Y0|，
Nx =0 且 Ny =0。
⒊ 象限与坐标变换
⑴ 逐点比较法直线插补的象限与坐标变换前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计算公式，只适用于第一象限。对于不同的象限，要做不同的处理。对于 1,3象限的直线，当 F≥0 时，都向 X坐标发脉冲，
当 F<0时，都向 Y坐标发脉冲，之间的差别只是发脉冲的方向不同。对于 2,4象限的直线插补，不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。下表为各个象限直线插补脉冲分配规律。
（一）逐点比较法线型偏 差判 别象 限
1 2 3 4
F≥0 + X + Y - X - Y
F＜ 0 + Y - X - Y + XG01
（ 2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给，
向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向决定，下表所示为八种圆弧插补的脉冲分配规律。
线 型 偏差判别象 限
1 2 3 4
G02
F≥0 -Y +X +Y -X
F<0 +X +Y -X -Y
G03
F≥0 -X -Y +X +Y
F<0 +Y -X -Y +X
第一节 插补原理线 型 偏差判别象 限
1 2 3 4
G02
F≥0 -Y +X +Y -X
F<0 +X +Y -X -Y
G03
F≥0 -X -Y +X +Y
F<0 +Y -X -Y +X
第一节 插补原理
（ 3）圆弧插补自动过象限处理为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插补程序必须具有自动过象限功能，包括：
①象限边界处理：判别数值,0”的符号。
②过象限判断：起点和终点不在同一象限内，需要过象限处理。在同一象限内，若要过象限则需过四次象限。
③过象限处理：对跨象限圆弧加工过程中边界点进行处理。
所谓边界点就是指跨象限圆弧与坐标轴的交点。边界点的处理是把圆弧起点所在象限的边界点作为本段圆弧的插补终点，再把这一点作为下一象限圆弧插补的起点，其它边界点的处理可依此类推。
4,逐点比较法的进给速度刀具的进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的依据。采用逐点比较插补算法，每次插补计算都有脉冲发出，不是向 X坐标发脉冲，就是向 Y坐标发脉冲。设发向 X,Y坐标脉冲的频率为 fx和 fy，则沿 X,Y坐标的进给速度分别为,Vx=60δf x Vy=60δf y
其中 δ 为脉冲当量（ mm/脉冲）。
合成进给速度为,V =(Vx2+ Vy2)1/2=60δ(f x2+fy2)1/2
当沿着某一坐标进给时，其脉冲频率为 fx+fy，进给速度达到最大值，为,Vc=60 δ(f x+fy)
合成进给速度与最高进给速度的比为：
V/Vc = (fx2+fy2)1/2 /（ fx+fy） = 0.707～ 1
三、数字增量插补
（一）插补周期的选择
（二）直线插补算法
（三） 圆弧插补算法三、数字增量插补数字增量插补是时间分割插补算法，它是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间隔，即插补周期。
每个插补周期进行一次插补运算，计算出各坐标轴在一个插补周期内的进给量。
如何选择一个合适的插补周期是数字增量插补的核心。
（一）插补周期的选择
1,插补运算时间
2,位臵采样周期
3,精度、速度
⒈ 插补周期与插补运算时间的关系插补算法选定后，则完成该算法所需的最大指令条数也就确定。根据最大指令条数就可以大致确定插补运算占用 CPU的时间 TCPU,一般来说，插补周期必须大于插补运算所占用 CPU的时间。这是因为当系统进行轮廓控制时,CPU
除了要完成插补运算外，还必须实时地完成一些其它工作。
如显示、监控、甚至精插补。因此,插补周期 T 必须大于插补运算时间与完成其它实时任务所需时间之和 。
⒉ 插补周期与位臵采样周期的关系插补周期和位臵采样周期可以相同，也可以不同。如果不同，则一般 插补周期应是采样周期的整数倍 。
对于位臵采样控制系统,采样周期应满足采样定理 （ 采样频率应该等于或大于信号最高频率的 2倍 ）,以保证采集到的实际位移数据不失真 。
CNC系统位臵环的典型带宽为 20Hz左右 。 取信号最高频率的 5倍作为采样频率,即 100Hz。 因此典型的采样周期取为
10ms左右 。
美国 A— B公司生产的一些 CNC系统,其插补周期和采样周期均为 10.24ms,日本 FANUC公司生产的一些 CNC系统,其采样周期取 4ms,插补周期取 8ms(采样周期的 2倍 )。 对于后一种情况,插补程序每 8ms调用一次,为下一个周期算出各坐标轴的增量值；而位臵反馈采样程序每 4ms调用一次,将插补程序算好的坐标位臵增量值除以 2后再与坐标位臵采样值进行比较 。
3.插补周期与精度、速度的关系在直线插补中，插补所形成的每个小直线段与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。在圆弧插补时，一般用内接弦线或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差，其最大半径误差 eR与步距角 δ 的关系为：
其中 T为插补周期； F为刀具移动速度； R为圆弧半径。
从公式可以看出,圆弧插补误差 eR分别与插补周期 T,
圆弧半径 R和进给速度 F有关。
（二）直线插补算法
1.直线插补原理设刀具在 XY平面内作直线运动，起点为坐标原点 (0,0)，
终点为 A(Xe,Ye)，进给速度为 F，插补周期为 T。如图所示。
每个插补周期的进给步长为：
ΔL=FT
直线段长度为：
L=(Xe2+Ye2)1/2
根据图 6-62可以得到如下关系：
ΔX/X e= ΔL/L
ΔY/Y e= ΔL/L
设 ΔL/L=FT/L=K,
则得到如下公式：
ΔX=( ΔL/L)X e=KXe
ΔY=( ΔL/L)Y e=KYe
而插补第 i点的动点坐标为：
Xi=Xi-1+ ΔX=X i-1+KXe
Yi=Yi-1+ ΔY=Y i-1+KYe
这就是数字增量法直线插补的原理公式。
下面我们根据这个公式，介绍几种典型的实用算法。
⒉ 实用直线插补算法
⑴ 方向余弦法 1
插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
cosα=X e/L,cosβ=Y e/L
插补计算,ΔL=FT
Δx i= ΔLcosα,ΔY i= ΔLcosβ
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
⑵ 方向余弦法 2
插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
cosα=X e/L,cosβ=Y e/L
插补计算,ΔL=FT
Li=Li-1+ ΔL
Xi=Li cosα,Yi=Li cosβ
ΔX i=Xi- Xi-1,ΔY i=Yi- Yi-1
⑶ 进给率法插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
插补计算,ΔL=FT,K=ΔL/L
ΔX i=KXe,ΔY i=KYe
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
⑷ 一次计算法插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
插补计算,ΔL=FT
ΔX i= (ΔL/L)X e ΔY i= (ΔL/L)Y e
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
（三）圆弧插补算法
⒈ 直接函数法
⒉扩展 DDA插补算法（二阶近似法）
第二节 刀具半径补偿
插补运算前的预备处理
将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心的运动轨迹。
一、刀具半径补偿的基本概念二,B功能刀具半径补偿计算（刀具半径偏移）
1,直线插补的 B刀具半径补偿计算
2,圆弧插补的 B刀具半径补偿计算三,C功能刀具半径补偿（刀具半径偏移、段转接）
1,C刀具半径补偿功能的实现
2,程序段间的转接
3,转接矢量的计算一、刀具半径补偿的基本概念为了方便零件加工程序编制，程编轨迹为零件轮廓轨迹。
由于刀具半径的存在，刀具中心轨迹与零件轮廓轨迹不相重合。
刀具半径补偿（指令 G4l,G42和 G40)指 CNC系统根据零件轮廓尺寸 (如直线或圆弧的起点和终点坐标值）以及实际加工所用刀具的半径值，自动将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心运动轨迹的过程。
刀具半径补偿分三个阶段：刀具半径补偿建立、刀具半径补偿进行和刀具半径补偿注销。
刀具半径补偿执行过程的三个阶段：
1,具半径补偿建立 。 刀具在接近工件的过程中,刀具中心轨迹由 G41或 GA2确定,在原程编轨迹的基础上,向左或向右偏移一个刀具半径 。 刀具半径补偿建立只能在 GOO或
G01的程序段中进行 。
2,刀具半径补偿进行 。 刀具半径补偿一旦建立,便一直维持补偿状态,一直到刀具半径补偿注销为止 。 在刀具半径补偿期间,刀具中心轨迹始终偏离程编轨迹一个刀具半径 。
3,刀具半径补偿注销 。 在刀具离开工件,回到起刀点的过程中,用 G40指令撤消刀具半径补偿 。 刀具半径补偿注销只能在 GOO或 G01程序段中进行 。 刀具半径补偿注销是刀具半径补偿建立的逆过程 。
二,B功能刀具半径补偿计算
刀具半径偏移
根据零 件轮廓尺寸和刀具半径值,求刀具中心运动轨迹的计算 。
1,直线插补的 B刀具半径补偿计算
(1)计算本程序段的终点坐标值
(2)计算刀具半径坐标分量
(3)计算刀具中心轨迹终点坐标值
2,圆弧插补的 B刀具半径补偿计算
⒈ 直线插补的 B刀具半径补偿计算在直线插补的情况下，经过刀具半径补偿后的刀具中心轨迹是原直线段平行的直线。
因此刀具半径补偿计算只需计算出刀具中心轨迹的起点和终点坐标值。
刀具半径补偿计算分三步：
(1)计算本程序段的终点坐标值
(2)计算刀具半径坐标分量
(3)计算刀具中心轨迹终点坐标值如图所示，被加工直线段的起点在 A(XA,YA),终点
B（ XB,YB）,以第一象限左刀具半径补偿为例计算出刀具补偿之后的刀具中心的坐标值。分三步：
⑴计算本程序段的终点坐标值 B（ XB,YB ）
增量尺寸方式编程,例如：
G9l G01 X—— Y—— F—— LF
绝对尺寸方式编程,例如：
G90 G01 X—— Y—— F—— LF
,B A B AX X X Y Y Y
,BBX X Y Y
⑵ 计算刀具半径坐标分量 及
rX rY
22
()s i n
( ) ( )
BA
r
B A B A
r Y YXr
X X Y Y
22
()c o s
( ) ( )
BA
r
B A B A
r X XYr
X X Y Y
''B A K B B K
⑶ 计算刀具中心轨迹终点坐标值 B’（ XB ’,YB ’ ）
'B B rX X X
'B B rY Y Y
2.圆弧插补的 B刀具半径补偿计算圆弧插补时，刀具补偿后的刀具中心轨迹是一段与零件轮廓圆弧同心的圆弧。所以圆弧插补 B刀具半径补偿计算只需计算刀具补偿后的圆弧起点、终点坐标值及刀具半径补偿后圆弧的半径值。
以第一象限逆时针圆弧右刀具半径补偿为例介绍。包括：
(1) 圆弧起点
(2) 刀具半径补偿后圆弧的半径值
(3) 终点坐标值
⑴ 刀具中心圆弧轨迹起点刀具中心圆弧轨迹起点为 A’点，是上一程序段加工结束后，刀具中心所在的位臵，所以它的坐标为已知量。
⑵刀具补偿后的半径值的计算刀具半径补偿后的刀具中心轨迹所在的圆弧的半径值等于编程指令半径值 R与刀具半径偏移量 r的之和，如用 R’
表示则：
R’ = R + r
⑶ 刀具中心圆弧轨迹终点坐标值的计算设刀具半径矢量 BB`两个坐标轴上的投影分别为 Xr
和 Yr，则：
X’B=XB+Xr
Y’B=YB+Yr
Xr和 Yr可以用下式求得：
Xr=rcosα=r × XB/R
Yr=rsinα=r × YB/R
从而可以得到刀具中心轨迹终点 B’的坐标值为：
X’B=XB+ r × XB/R
Y’B=YB+ r × YB/R
1,C刀具半径补偿功能的实现
2,程序段间的转接
3,转接矢量的计算三,C功能刀具半径补偿三,C功能刀具半径补偿
B刀具半径补偿方法对编程限制的主要原因是在确定刀具中心轨迹时，
采用读一段，算一段，走一段的控制方法，只能计算出直线或圆弧终点的刀具中心坐标值。而无法预计到由于刀具半径所造成的本程序段加工轨迹对下一段加工轨迹的影响。
为了解决这个问题，需在计算完本段程编轨迹后,提前将下段程序读入，然后根据它们之间转接的具体情况，求得本段程序的刀具中心轨迹。
这种刀具半径补偿方式就叫 C功能刀具半径补偿。
1.C刀具半径补偿功能的实现下图为 C刀具补偿的工作流程图。
系统启动后，第一程序段读入 BS中，在 BS中算得的第一段编程轨迹被送到 CS中暂存后，又将第二段程序读入 BS，算出第二段的程编轨迹。
接着对第一和第二两段的程编轨迹的连接方式进行判别。根据判别结果，再对 CS中的第一段程编轨迹作相应的修改，修改结束后，顺序地将修改后的第一段程编轨迹由 CS送 AS，第二段程编轨迹由 BS送入 CS。
随后系统将 AS中的内容送到 OS进行插补运算，运算结果送伺服装臵予以执行。
当修正了的第一段程编轨迹开始被执行后，系统利用插补间隙又将第三段程序段读入 BS，接着又根据 BS,CS中的第三与第二段程编轨迹的连接方式，对 CS中的第二段程编轨迹进行修正依次进行下去。
缓冲寄存器
BS
刀具补偿缓冲区 CS
工作寄存区
AS
输出寄存区
OS
2,程序段间的转接
（ 1）相邻两程序段编程轨迹的转接线型实现 C刀具半径补偿功能，首先要对相邻编程轨迹的 转接线型 及 转接过渡类型 进行判别，然后才能根据转接线型和转接过渡类型调用相应的计算公式，通过计算在原编程轨迹的基础上得到刀具中心轨迹。
对于直线、圆弧插补功能的 CNC系统，其相邻两段编程轨迹有以下 转接线型,
①直线与直线转接
②直线与圆弧转接
③圆弧与直线转接
④圆弧与圆弧转接
（ 2）转接过渡类型相邻两段编程轨迹矢量间夹角的不同，刀具补偿方式的不同（ G41或 G42），对应的刀具中心轨迹的转接过渡类型也不同，概括起来有三种转接过渡类型：
缩短型伸长型插入型
① 伸长型刀具中心轨迹相对于编程轨迹伸长了一定的长度。
12
② 缩短型刀具中心轨迹相对于编程轨迹缩短了一定的长度。
12
③ 插入型在两程序段之间插入一个程序段，以减少刀具非切削行程的时间，它是在伸长型的基础上进行的。
12
（ 3）转接类型的判断如表 4-6所示,?1为本程序段编程轨迹矢量与 X轴的夹角,? 2为下一程序段编程轨迹矢量与 X轴的夹角，
1角和?2角均为从 X轴逆时针转到编程轨迹矢量所形成的角,?=?2 -?1。将圆弧等效于直线后，完全可以按照?角的正弦值、余弦值大于、等于或小于零以及刀具半径补偿方式 G41,G42划分转接过渡型式。下表为转接过渡类型判别表。
刀具半径补偿方向 sin?≥0 cos? ≥0 转接过渡类型
G41
Y 缩短型
N Y 伸长型
N N 插入型
G42
Y Y 伸长型
Y N 插入型
N 缩短型注,Y表示,是,,N表示,不是,。
3.转接矢量的计算
（ 1）刀具半径矢量的计算
（ 2）转接交点矢量的计算第三节 进给速度和加减速控制数控机床的进给速度与加工精度、表面粗糙度和生产效率有着密切的关系。
数控机床的进给速度应该稳定且有一定的调速范围，
启动快而不失步，停止的位臵准确、不超程。
为此 CNC系统必须具有加减速控制功能。即在机床启动加速时，保证进给脉冲频率或电压逐渐增加，而当机床减速停止时，保证进给脉冲频率或电压逐渐减小。
在 CNC系统中，进给速度控制包括对数控程序中指定的进给速度 F的控制已及加工过程中操作者根据实际加工需要使用倍率开关对进给速度 F所做的调节的控制。
一、开环 CNC系统的进给速度及加减速控制在开环控制系统，脉冲增量插补算法中：
发出脉冲的数量决定工作台的移动距离
脉冲的频率决定工作台的移动速度通过控制输出脉冲频率（或脉冲的周期）来控制进给速度和加减速：
程序计时法（软件）
时钟中断法（硬件）
（一） 程序计时法（软件延时法）
通过软件延时产生频率可调的脉冲序列。
脉冲周期 = 插补运算、输出及显示等所占用的时间 + 等待时间不会影响 CPU效率
（二） 时钟中断法时钟中断法常用的有两种方法,
1、采用一变频振荡器，根据程编速度经译码控制变频振荡器发出一定频率的脉冲，作为中断请求信号，在中断服务程序中完成插补和输出。
2、采用可编程定时器、计数器代替变频振荡器。通过程编进给速度改变可编程定时器、计数器的定时时间，
即可产生不同频率的脉冲。以此脉冲作为中断请求信号，产生定时中断，在中断服务程序中完成插补和进给脉冲的输出，以达到对进给速度的控制。
二、闭环 (或半闭环 )CNC系统的加减速控制闭环 (或半闭环 )CNC系统中采用的加减速控制一般用软件来实现。一般有两种方法：
前加减速控制,把加减速控制放在 插补之前 进行。优点是：仅对合成速度 F进行控制，不影响实际插补输出的位臵精度。缺点是需根据实际刀具位臵和程序段终点之间的距离来确定减速点，计算工作量大。
后加减速控制,把加减速控制放在 插补之后 分别对各坐标轴进行。优点是：不需要专门预先确定减速点，而是在插补输出为零时开始减速，通过一定的时间延时逐渐靠近程序终点。缺点是由于是对各坐标分别进行控制，所以在加减速控制实际的各运动轴合成位臵可能不准确。但这种影响只存在于加速或减速过程中。
（一）前加减速控制
1 稳定速度和瞬时速度稳定速度 是系统处于稳定进给状态下，每插补一次（一个插补周期）的进给量。
fs = （ KTF） /（ 60*1000）
式中 F — 速度指令或由参数设定的进给速率（ mm/min）
T — 插补周期（ ms）
K — 速度系数，包括切削进给倍率、快速进给倍率等。
瞬时速度 是系统在每个插补周期的进给量，用 fi 表示。
当系统处于稳定进给状态时,fi = fs ；当系统处于加、减速状态时,fi < fs ；（ 当系统处于减速状态时,fi > fs ；）
2 线性加减速处理当机床启动、停止或在切削加工过程中改变进给速度时，
系统自动进行线性加减速处理。
设进给速度为 F（ mm/min），加速到 F所需要的时间为 t
（ ms），则加（减）速度 a为：
a =1.67* 10-2*F/t（ μm/ms 2）
① 加速处理系统每插补一次都要计算稳定速度和瞬时速度，并进行加速处理。当计算出的稳定速度大于原来的稳定速度时，
则进行加速处理。每加速一次的瞬时速度为
fi+1 = fi +aT
系统采用新的瞬时速度 fi+1进行插补运算，对各坐标轴进行运动分配，就这样一直加速到新的稳定速度为止。
② 减速处理系统每进行一次插补计算，都要进行终点判别，计算刀具实际位臵离终点的瞬时距离 Si，并且根据减速标志，
检查是否到达减速区域 S。若已到达，则进行减速处理。
减速区域按下式计算：
S=fs2/（ 2a）
当瞬时距离小于或等于减速区 S时，系统进行减速处理。每减速一次的瞬时速度为：
fi+1=fi-aT
如果要提前一段距离开始减速，可以将提前量
ΔS 作为参数预先设臵好，这样减速区的计算公式如下：
S=fs2/2a + ΔS
③ 终点判别处理在前加减速控制中，每次插补运算结束之后，系统都要根据求得的各轴进给量，计算刀具离本程序段终点的距离 Si。如果 Si≤S,则进行减速处理，并进行终点判别。
直线插补时 Si 的计算：
圆弧插补时 Si 的计算：
单个坐标轴运动的加减速控制线性加减速控制指数加减速控制正余弦加减速控制
（二）后加减速控制习 题
⒈ 什么是插补？常用的插补算法有哪两种？
⒉ 逐点比较法插补计算，每输出一个脉冲需要哪四个节拍？
⒊ 逐点比较法直线插补的偏差判别函数是什么？
⒋ 何谓前加减速控制，何谓后加减速控制，各有什么优缺点？
⒌开环控制系统中，采用哪两种方法进行加减速控制？
⒍ 直线起点为坐标原点 O（ 0,0），终点坐标为 A（ 9,4）
试用逐点比较法对这条直线进行插补，并画出插补轨迹。
⒎ B刀具半径补偿和 C刀具半径补偿的区别是什么？
⒏刀具半径补偿的执行步骤是什么？
⒐ C刀具半径补偿程序段间转接有几种形式？在这些转接形式中有几种转接类型？
(一 )脉冲增量插补算法
(二 )数字增量插补 (数据采样插补 )算法二、脉冲增量插补
(一 )逐点比较法
(二 )数字积分法三、数字增量插补第四章 插补原理与速度控制一、插补及其算法所谓,插补,就是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数据点的密化，插入一些新的位臵控制点。
插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。
插补程序是 CNC系统控制软件的核心
– 中间点计算所占用的时间直接影响系统的控制速度
– 各中间点的计算精度将影响零件的加工精度
插补功能：直线和圆弧插补
插补原理：
– 脉冲增量插补算法
– 数字增量插补算法第一节 插补原理
（一）脉冲增量插补算法脉冲增量插补为 行程标量插补 。特点是 每次插补决定出运动一个脉冲行程增量的坐标轴,以脉冲的方式输出控制指令 。脉冲增量插补算法 主要应用在开环数控系统中 。
一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做 脉冲当量,通常用 δ 表示。脉冲当量 δ 是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。 脉冲当量 δ 值越小，数控机床的加工精度就越高，对数控系统的计算能力的要求也越高。采用脉冲增量插补算法的 CNC系统，其坐标轴进给速度受插补程序运行时间的限制。
一、插补及其算法
(二 )数字增量插补 (数据采样插补 )算法数字增量插补为 时间标量插补,特点是 每次插补计算出插补周期内各坐标轴的位臵增量数值，以数字的形式输出控制指令 。数字增量插补算法 主要应用在闭环数控系统中数字增量插补算法适用于交、直流伺服电动机驱动的闭环 (或半闭环 )位臵采样控制系统。插补周期和位臵采样周期可以相等，也可以不相等。若不相等，则插补周期应是采样周期的整数倍。
一、插补及其算法二、脉冲增量插补
(一 )逐点比较法
1,插补步骤
2,逐点比较法直线插补
3,逐点比较法圆弧插补
4,象限与坐标变换
5,逐点比较法的进给速度
(二 )数字积分法第一节 插补原理
（一）逐点比较法逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。
原理：每次插补某坐标方向走一步，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动方向。
作用：逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。
特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便。
应用对象：两坐标开环 CNC系统二、脉冲增量插补
1,插补流程逐点比较法的插补过程，每走一步要进行以下四个节拍，具体如下：
① 偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工曲线的位臵 。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标进给一步，以接近曲线。
③偏差计算 计算新的刀位点相对曲线的偏差，作为下一步偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。
（一）逐点比较法图 逐点比较法工作循环图
N
偏差计算偏差判别坐标进给到达终点？
插补结束 Y
插补开始
1,插补流程
2.逐点比较法直线插补
（ 1）判别函数及判别条件
（ 2）进给方向判别
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导
（ 4）终点判别
（ 5）逐点比较法直线插补例题
（一）逐点比较法
⑴ 判别函数及判别条件如图所示，对 XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点 O，终点位于 A（ Xe,Ye）。设点 P（ Xi，
Yi）为任一动点。
若 P点在直线 OA上,则：
若 P点在直线 OA上方，则：
若 P点在直线 OA下方，则：
定义偏差函数,F= XeYi – XiYe
2.逐点比较法直线插补则可得到如下结论：
当 F=0时，加工点 P落在直线上；
当 F>0时，加工点 P落在直线上方；
当 F<0时，加工点 P落在直线下方；
2.逐点比较法直线插补
⑵ 进给方向判别
① 当 F>0时，应该向 +X方向 发一脉冲，使刀具向 +X方向前进一步，
以接近该直线。
②当 F<0时，应该向 +Y方向 发一脉冲，使刀具向 +Y方向前进一步，
以接近该直线。
③当 F=0时，既可以向 +X方向发一脉冲，也可以向 +Y方向前进一步。但通常将 F=0和 F>0做同样的处理，既都向 +X方向 发一脉冲。
2.逐点比较法直线插补
⑶ 迭代法偏差函数 F的推导 坐标单位为脉冲当量为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数 F:即每走一步,新刀位点的偏差用前一点的偏差递推 出来。
① F≥0 时，应向 +X发出一进给脉冲，刀具从现加工点
（ Xi,Yi）向 +X方向前进一步，达到新加工点（ Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为：
Fi+1,i= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye
= XeYi – XiYe - Ye=F – Ye
② F<0时，应向 +Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点
（ Xi,Yi）向 +Y方向前进一步，达到新加工点（ Xi,Yi+1 ），
则新加工点的偏差值为：
Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe
= XeYi – XiYe +Xe=F + Xe
2.逐点比较法直线插补
（ 4）终点判别终点判别可采用两种方法：
一是每走一步判断 Xi-Xe≥0 及 Yi-Ye≥0 是否成立，如成立，
则插补结束否则继续。
二是把每个程序段中的总步数求出来，即 n=|Xe | + | Ye |,
每走一步 n-1，直到 n=0为止。
2.逐点比较法直线插补
（ 5）逐点比较法直线插补例题设欲加工的直线位于 XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为 Xe=5,Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。
Y
XO
A(5,3)
2.逐点比较法直线插补解 插补过程如下表所示，表中 Xe,Ye是直线终点坐标，
n为总步数,n= | Xe | + | Ye | =8。
脉冲序次偏差判别进给方向偏差计算 终点判别
0 F0=0,Xe=5,Ye=3 n=8
1 F0=0 +X F1=F0-Ye=-3 7
2 F1= -3<0 +Y F2=F1+Xe=2 6
3 F2=2>0 +X F3=F2-Ye=-1 5
4 F3= -1<0 +Y F4=F3+Xe=4 4
5 F4=4>0 +X F5=F4-Ye=1 3
6 F5=1>0 +X F6=F5-Ye=-2 2
7 F6= -2<0 +Y F7=F6+Xe=3 1
8 F7=3>0 +X F8=F7-Ye=0 0
Y
1
4
X
5 6
O
A(5
,3)
2
3
7
8
2.逐点比较法直线插补到达终点
3.逐点比较法圆弧插补
（ 1）判别函数及判别条件
（ 2）进给方向判别
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导
（ 4）逐点比较法圆弧插补终点判别
（ 5）逐点比较法圆弧插补例题
（一）逐点比较法
⑴ 判别函数及判别条件如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点 A
（ X0,Y0）,终点 B（ Xe,Ye）,圆弧半径为 R。 P（ Xi,Yi） 为任一加工点。其偏差函数为：
F = （ Xi2 +Yi2 ） - R2 =（ Xi2 –X02） +（ Yi2 -Y02）
根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况：
当 F=0时，加工点 P落在圆弧上；
当 F>0时，加工点 P落在圆弧外侧；
当 F<0时，加工点 P落在圆弧内侧；
3.逐点比较法圆弧插补
（ 2）进给方向判别
① 当 F>0时，应该向 X轴 发出一 负方向 运动的进给脉冲使刀具向圆弧内走一步。
②当 F<0时，应该向 Y轴 发出一 正方 向运动的进给脉冲，
使刀具向圆弧外走一步。
③当 F=0时，既可以向 X轴方向发一负方向运动的进给脉冲，也可以向 Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但通常将 F=0和 F>0做同样的处理。 X轴负方向
3.逐点比较法圆弧插补
（ 3）迭代法偏差函数 F的推导 坐标单位为脉冲当量
① 设加工点 P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差 F≥0,刀具需向 X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点 P（ Xi+1,Yi）。
新加工点的偏差为：
Fi+1,i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（ X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02
=F-2Xi+1
② 设加工点 P在圆弧内侧，则加工偏差 F<0，刀具需向 Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点 P（ Xi,Yi+1） 。新加工点的偏差为：
Fi,i+1 = Xi 2 - X02+（ Yi+1） 2-Y02
=Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02
=F+2Yi+1
3.逐点比较法圆弧插补
（ 4）逐点比较法圆弧插补终点判别和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计算外，还要进行终点判别。下面我们介绍两种方法。
①插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数 N，
N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中,X或 Y每走一步，就从总步数 N中减 1，当 N=0时，表示到达终点。
②插补前分别计算两个坐标进给的总步数 Nx和 Ny，
其中 Nx=|Xe-X0|,Ny=|Ye-Y0|,当 X坐标进给一步时，计算 Nx-1，
当 Y坐标进给一步时，计算 Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零时，表示到达终点。
3.逐点比较法圆弧插补
（ 5）逐点比较法圆弧插补例题如图所示，要加工 XY平面内第一象限的逆圆弧，
圆弧圆心在坐标原点，圆弧起点坐标 A(10,0），终点坐标为 B(6,8)。试对该段圆弧进行插补。
解 终点判别值为,
N = |XB – XA| + |YB – YA|
= |6-10|+|8-0|
= 12
插补过程如图和下表所示。
3.逐点比较法圆弧插补逐点比较法逆圆插补运算过程脉冲序次偏差判别 进给方向偏差计算 坐标计算 终点判别
0 F0=0 X0=10,Y0=0 N=12
1 F0=0 -X F1=F0-2X0+1=-19 X1=9,Y1=0 N= 11
2 F1=-19<0 +Y F2=F1+2Y1+1=-18 X2=9,Y2=1 N= 10
3 F2=-18<0 +Y F3=F2+2Y2+1=-15 X3=9,Y3=2 N= 9
4 F3=-15<0 +Y F4=F3+2Y3+1=-10 X4=9,Y4=3 N= 8
5 F4=-10<0 +Y F5=F4+2Y4+1=-3 X5=9,Y5=4 N= 7
6 F5=-3<0 +Y F6=F5+2Y5+1=6 X6=9,Y6=5 N= 6
7 F6=6>0 -X F7=F6-2X6+1=-11 X7=8,Y7=5 N= 5
8 F7=-11<0 +Y F8=F7+2Y7+1=0 X8=8,Y8=6 N= 4
9 F8=0 -X F9=F8-2X8+1=-15 X9=7,Y9=6 N= 3
10 F9=-15<0 +Y F10=F9+2Y9+1=-2 X10=7,Y10=7 N= 2
11 F10=-2<0 +Y F11=F10+2Y10+1=13 X11=7,Y11=8 N= 1
12 F11=13>0 -X F12=F11-2X11+1=0 X12=10,Y12=8 N= 0
图 逐点比较法工作循环图
N
偏差计算偏差判别坐标进给到达终点？
插补结束 Y
插补开始直线插补 圆弧插补
F= XeYi – XiYe
F≥0,向 +X发出一进给脉冲
F<0，向 +Y发出一进给脉冲
F≥0,Fi+1,i= F – Ye
F<0,Fi,i+1= F + Xe
Xi-Xe≥0 及 Yi-Ye≥0 ；
或：
n=|Xe | + | Ye |,
每走一步 n-1，直到 n=0
F =(Xi2 –X0)+(Yi2 -Y02)
F≥0,向 -X发出一进给脉冲
F<0，向 +Y发出一进给脉冲
F≥0,Fi+1,i = F-2Xi+1
F<0,Fi,i+1 = F+2Yi+1
N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|,N=0。
或：
Nx=|Xe-X0|,Ny=|Ye-Y0|，
Nx =0 且 Ny =0。
⒊ 象限与坐标变换
⑴ 逐点比较法直线插补的象限与坐标变换前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计算公式，只适用于第一象限。对于不同的象限，要做不同的处理。对于 1,3象限的直线，当 F≥0 时，都向 X坐标发脉冲，
当 F<0时，都向 Y坐标发脉冲，之间的差别只是发脉冲的方向不同。对于 2,4象限的直线插补，不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。下表为各个象限直线插补脉冲分配规律。
（一）逐点比较法线型偏 差判 别象 限
1 2 3 4
F≥0 + X + Y - X - Y
F＜ 0 + Y - X - Y + XG01
（ 2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给，
向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向决定，下表所示为八种圆弧插补的脉冲分配规律。
线 型 偏差判别象 限
1 2 3 4
G02
F≥0 -Y +X +Y -X
F<0 +X +Y -X -Y
G03
F≥0 -X -Y +X +Y
F<0 +Y -X -Y +X
第一节 插补原理线 型 偏差判别象 限
1 2 3 4
G02
F≥0 -Y +X +Y -X
F<0 +X +Y -X -Y
G03
F≥0 -X -Y +X +Y
F<0 +Y -X -Y +X
第一节 插补原理
（ 3）圆弧插补自动过象限处理为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插补程序必须具有自动过象限功能，包括：
①象限边界处理：判别数值,0”的符号。
②过象限判断：起点和终点不在同一象限内，需要过象限处理。在同一象限内，若要过象限则需过四次象限。
③过象限处理：对跨象限圆弧加工过程中边界点进行处理。
所谓边界点就是指跨象限圆弧与坐标轴的交点。边界点的处理是把圆弧起点所在象限的边界点作为本段圆弧的插补终点，再把这一点作为下一象限圆弧插补的起点，其它边界点的处理可依此类推。
4,逐点比较法的进给速度刀具的进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的依据。采用逐点比较插补算法，每次插补计算都有脉冲发出，不是向 X坐标发脉冲，就是向 Y坐标发脉冲。设发向 X,Y坐标脉冲的频率为 fx和 fy，则沿 X,Y坐标的进给速度分别为,Vx=60δf x Vy=60δf y
其中 δ 为脉冲当量（ mm/脉冲）。
合成进给速度为,V =(Vx2+ Vy2)1/2=60δ(f x2+fy2)1/2
当沿着某一坐标进给时，其脉冲频率为 fx+fy，进给速度达到最大值，为,Vc=60 δ(f x+fy)
合成进给速度与最高进给速度的比为：
V/Vc = (fx2+fy2)1/2 /（ fx+fy） = 0.707～ 1
三、数字增量插补
（一）插补周期的选择
（二）直线插补算法
（三） 圆弧插补算法三、数字增量插补数字增量插补是时间分割插补算法，它是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间隔，即插补周期。
每个插补周期进行一次插补运算，计算出各坐标轴在一个插补周期内的进给量。
如何选择一个合适的插补周期是数字增量插补的核心。
（一）插补周期的选择
1,插补运算时间
2,位臵采样周期
3,精度、速度
⒈ 插补周期与插补运算时间的关系插补算法选定后，则完成该算法所需的最大指令条数也就确定。根据最大指令条数就可以大致确定插补运算占用 CPU的时间 TCPU,一般来说，插补周期必须大于插补运算所占用 CPU的时间。这是因为当系统进行轮廓控制时,CPU
除了要完成插补运算外，还必须实时地完成一些其它工作。
如显示、监控、甚至精插补。因此,插补周期 T 必须大于插补运算时间与完成其它实时任务所需时间之和 。
⒉ 插补周期与位臵采样周期的关系插补周期和位臵采样周期可以相同，也可以不同。如果不同，则一般 插补周期应是采样周期的整数倍 。
对于位臵采样控制系统,采样周期应满足采样定理 （ 采样频率应该等于或大于信号最高频率的 2倍 ）,以保证采集到的实际位移数据不失真 。
CNC系统位臵环的典型带宽为 20Hz左右 。 取信号最高频率的 5倍作为采样频率,即 100Hz。 因此典型的采样周期取为
10ms左右 。
美国 A— B公司生产的一些 CNC系统,其插补周期和采样周期均为 10.24ms,日本 FANUC公司生产的一些 CNC系统,其采样周期取 4ms,插补周期取 8ms(采样周期的 2倍 )。 对于后一种情况,插补程序每 8ms调用一次,为下一个周期算出各坐标轴的增量值；而位臵反馈采样程序每 4ms调用一次,将插补程序算好的坐标位臵增量值除以 2后再与坐标位臵采样值进行比较 。
3.插补周期与精度、速度的关系在直线插补中，插补所形成的每个小直线段与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。在圆弧插补时，一般用内接弦线或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差，其最大半径误差 eR与步距角 δ 的关系为：
其中 T为插补周期； F为刀具移动速度； R为圆弧半径。
从公式可以看出,圆弧插补误差 eR分别与插补周期 T,
圆弧半径 R和进给速度 F有关。
（二）直线插补算法
1.直线插补原理设刀具在 XY平面内作直线运动，起点为坐标原点 (0,0)，
终点为 A(Xe,Ye)，进给速度为 F，插补周期为 T。如图所示。
每个插补周期的进给步长为：
ΔL=FT
直线段长度为：
L=(Xe2+Ye2)1/2
根据图 6-62可以得到如下关系：
ΔX/X e= ΔL/L
ΔY/Y e= ΔL/L
设 ΔL/L=FT/L=K,
则得到如下公式：
ΔX=( ΔL/L)X e=KXe
ΔY=( ΔL/L)Y e=KYe
而插补第 i点的动点坐标为：
Xi=Xi-1+ ΔX=X i-1+KXe
Yi=Yi-1+ ΔY=Y i-1+KYe
这就是数字增量法直线插补的原理公式。
下面我们根据这个公式，介绍几种典型的实用算法。
⒉ 实用直线插补算法
⑴ 方向余弦法 1
插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
cosα=X e/L,cosβ=Y e/L
插补计算,ΔL=FT
Δx i= ΔLcosα,ΔY i= ΔLcosβ
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
⑵ 方向余弦法 2
插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
cosα=X e/L,cosβ=Y e/L
插补计算,ΔL=FT
Li=Li-1+ ΔL
Xi=Li cosα,Yi=Li cosβ
ΔX i=Xi- Xi-1,ΔY i=Yi- Yi-1
⑶ 进给率法插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
插补计算,ΔL=FT,K=ΔL/L
ΔX i=KXe,ΔY i=KYe
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
⑷ 一次计算法插补准备,L=（ Xe2+Ye2） 1/2
插补计算,ΔL=FT
ΔX i= (ΔL/L)X e ΔY i= (ΔL/L)Y e
Xi=Xi-1+ ΔX i,Yi=Yi-1+ ΔY i
（三）圆弧插补算法
⒈ 直接函数法
⒉扩展 DDA插补算法（二阶近似法）
第二节 刀具半径补偿
插补运算前的预备处理
将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心的运动轨迹。
一、刀具半径补偿的基本概念二,B功能刀具半径补偿计算（刀具半径偏移）
1,直线插补的 B刀具半径补偿计算
2,圆弧插补的 B刀具半径补偿计算三,C功能刀具半径补偿（刀具半径偏移、段转接）
1,C刀具半径补偿功能的实现
2,程序段间的转接
3,转接矢量的计算一、刀具半径补偿的基本概念为了方便零件加工程序编制，程编轨迹为零件轮廓轨迹。
由于刀具半径的存在，刀具中心轨迹与零件轮廓轨迹不相重合。
刀具半径补偿（指令 G4l,G42和 G40)指 CNC系统根据零件轮廓尺寸 (如直线或圆弧的起点和终点坐标值）以及实际加工所用刀具的半径值，自动将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心运动轨迹的过程。
刀具半径补偿分三个阶段：刀具半径补偿建立、刀具半径补偿进行和刀具半径补偿注销。
刀具半径补偿执行过程的三个阶段：
1,具半径补偿建立 。 刀具在接近工件的过程中,刀具中心轨迹由 G41或 GA2确定,在原程编轨迹的基础上,向左或向右偏移一个刀具半径 。 刀具半径补偿建立只能在 GOO或
G01的程序段中进行 。
2,刀具半径补偿进行 。 刀具半径补偿一旦建立,便一直维持补偿状态,一直到刀具半径补偿注销为止 。 在刀具半径补偿期间,刀具中心轨迹始终偏离程编轨迹一个刀具半径 。
3,刀具半径补偿注销 。 在刀具离开工件,回到起刀点的过程中,用 G40指令撤消刀具半径补偿 。 刀具半径补偿注销只能在 GOO或 G01程序段中进行 。 刀具半径补偿注销是刀具半径补偿建立的逆过程 。
二,B功能刀具半径补偿计算
刀具半径偏移
根据零 件轮廓尺寸和刀具半径值,求刀具中心运动轨迹的计算 。
1,直线插补的 B刀具半径补偿计算
(1)计算本程序段的终点坐标值
(2)计算刀具半径坐标分量
(3)计算刀具中心轨迹终点坐标值
2,圆弧插补的 B刀具半径补偿计算
⒈ 直线插补的 B刀具半径补偿计算在直线插补的情况下，经过刀具半径补偿后的刀具中心轨迹是原直线段平行的直线。
因此刀具半径补偿计算只需计算出刀具中心轨迹的起点和终点坐标值。
刀具半径补偿计算分三步：
(1)计算本程序段的终点坐标值
(2)计算刀具半径坐标分量
(3)计算刀具中心轨迹终点坐标值如图所示，被加工直线段的起点在 A(XA,YA),终点
B（ XB,YB）,以第一象限左刀具半径补偿为例计算出刀具补偿之后的刀具中心的坐标值。分三步：
⑴计算本程序段的终点坐标值 B（ XB,YB ）
增量尺寸方式编程,例如：
G9l G01 X—— Y—— F—— LF
绝对尺寸方式编程,例如：
G90 G01 X—— Y—— F—— LF
,B A B AX X X Y Y Y
,BBX X Y Y
⑵ 计算刀具半径坐标分量 及
rX rY
22
()s i n
( ) ( )
BA
r
B A B A
r Y YXr
X X Y Y
22
()c o s
( ) ( )
BA
r
B A B A
r X XYr
X X Y Y
''B A K B B K
⑶ 计算刀具中心轨迹终点坐标值 B’（ XB ’,YB ’ ）
'B B rX X X
'B B rY Y Y
2.圆弧插补的 B刀具半径补偿计算圆弧插补时，刀具补偿后的刀具中心轨迹是一段与零件轮廓圆弧同心的圆弧。所以圆弧插补 B刀具半径补偿计算只需计算刀具补偿后的圆弧起点、终点坐标值及刀具半径补偿后圆弧的半径值。
以第一象限逆时针圆弧右刀具半径补偿为例介绍。包括：
(1) 圆弧起点
(2) 刀具半径补偿后圆弧的半径值
(3) 终点坐标值
⑴ 刀具中心圆弧轨迹起点刀具中心圆弧轨迹起点为 A’点，是上一程序段加工结束后，刀具中心所在的位臵，所以它的坐标为已知量。
⑵刀具补偿后的半径值的计算刀具半径补偿后的刀具中心轨迹所在的圆弧的半径值等于编程指令半径值 R与刀具半径偏移量 r的之和，如用 R’
表示则：
R’ = R + r
⑶ 刀具中心圆弧轨迹终点坐标值的计算设刀具半径矢量 BB`两个坐标轴上的投影分别为 Xr
和 Yr，则：
X’B=XB+Xr
Y’B=YB+Yr
Xr和 Yr可以用下式求得：
Xr=rcosα=r × XB/R
Yr=rsinα=r × YB/R
从而可以得到刀具中心轨迹终点 B’的坐标值为：
X’B=XB+ r × XB/R
Y’B=YB+ r × YB/R
1,C刀具半径补偿功能的实现
2,程序段间的转接
3,转接矢量的计算三,C功能刀具半径补偿三,C功能刀具半径补偿
B刀具半径补偿方法对编程限制的主要原因是在确定刀具中心轨迹时，
采用读一段，算一段，走一段的控制方法，只能计算出直线或圆弧终点的刀具中心坐标值。而无法预计到由于刀具半径所造成的本程序段加工轨迹对下一段加工轨迹的影响。
为了解决这个问题，需在计算完本段程编轨迹后,提前将下段程序读入，然后根据它们之间转接的具体情况，求得本段程序的刀具中心轨迹。
这种刀具半径补偿方式就叫 C功能刀具半径补偿。
1.C刀具半径补偿功能的实现下图为 C刀具补偿的工作流程图。
系统启动后，第一程序段读入 BS中，在 BS中算得的第一段编程轨迹被送到 CS中暂存后，又将第二段程序读入 BS，算出第二段的程编轨迹。
接着对第一和第二两段的程编轨迹的连接方式进行判别。根据判别结果，再对 CS中的第一段程编轨迹作相应的修改，修改结束后，顺序地将修改后的第一段程编轨迹由 CS送 AS，第二段程编轨迹由 BS送入 CS。
随后系统将 AS中的内容送到 OS进行插补运算，运算结果送伺服装臵予以执行。
当修正了的第一段程编轨迹开始被执行后，系统利用插补间隙又将第三段程序段读入 BS，接着又根据 BS,CS中的第三与第二段程编轨迹的连接方式，对 CS中的第二段程编轨迹进行修正依次进行下去。
缓冲寄存器
BS
刀具补偿缓冲区 CS
工作寄存区
AS
输出寄存区
OS
2,程序段间的转接
（ 1）相邻两程序段编程轨迹的转接线型实现 C刀具半径补偿功能，首先要对相邻编程轨迹的 转接线型 及 转接过渡类型 进行判别，然后才能根据转接线型和转接过渡类型调用相应的计算公式，通过计算在原编程轨迹的基础上得到刀具中心轨迹。
对于直线、圆弧插补功能的 CNC系统，其相邻两段编程轨迹有以下 转接线型,
①直线与直线转接
②直线与圆弧转接
③圆弧与直线转接
④圆弧与圆弧转接
（ 2）转接过渡类型相邻两段编程轨迹矢量间夹角的不同，刀具补偿方式的不同（ G41或 G42），对应的刀具中心轨迹的转接过渡类型也不同，概括起来有三种转接过渡类型：
缩短型伸长型插入型
① 伸长型刀具中心轨迹相对于编程轨迹伸长了一定的长度。
12
② 缩短型刀具中心轨迹相对于编程轨迹缩短了一定的长度。
12
③ 插入型在两程序段之间插入一个程序段，以减少刀具非切削行程的时间，它是在伸长型的基础上进行的。
12
（ 3）转接类型的判断如表 4-6所示,?1为本程序段编程轨迹矢量与 X轴的夹角,? 2为下一程序段编程轨迹矢量与 X轴的夹角，
1角和?2角均为从 X轴逆时针转到编程轨迹矢量所形成的角,?=?2 -?1。将圆弧等效于直线后，完全可以按照?角的正弦值、余弦值大于、等于或小于零以及刀具半径补偿方式 G41,G42划分转接过渡型式。下表为转接过渡类型判别表。
刀具半径补偿方向 sin?≥0 cos? ≥0 转接过渡类型
G41
Y 缩短型
N Y 伸长型
N N 插入型
G42
Y Y 伸长型
Y N 插入型
N 缩短型注,Y表示,是,,N表示,不是,。
3.转接矢量的计算
（ 1）刀具半径矢量的计算
（ 2）转接交点矢量的计算第三节 进给速度和加减速控制数控机床的进给速度与加工精度、表面粗糙度和生产效率有着密切的关系。
数控机床的进给速度应该稳定且有一定的调速范围，
启动快而不失步，停止的位臵准确、不超程。
为此 CNC系统必须具有加减速控制功能。即在机床启动加速时，保证进给脉冲频率或电压逐渐增加，而当机床减速停止时，保证进给脉冲频率或电压逐渐减小。
在 CNC系统中，进给速度控制包括对数控程序中指定的进给速度 F的控制已及加工过程中操作者根据实际加工需要使用倍率开关对进给速度 F所做的调节的控制。
一、开环 CNC系统的进给速度及加减速控制在开环控制系统，脉冲增量插补算法中：
发出脉冲的数量决定工作台的移动距离
脉冲的频率决定工作台的移动速度通过控制输出脉冲频率（或脉冲的周期）来控制进给速度和加减速：
程序计时法（软件）
时钟中断法（硬件）
（一） 程序计时法（软件延时法）
通过软件延时产生频率可调的脉冲序列。
脉冲周期 = 插补运算、输出及显示等所占用的时间 + 等待时间不会影响 CPU效率
（二） 时钟中断法时钟中断法常用的有两种方法,
1、采用一变频振荡器，根据程编速度经译码控制变频振荡器发出一定频率的脉冲，作为中断请求信号，在中断服务程序中完成插补和输出。
2、采用可编程定时器、计数器代替变频振荡器。通过程编进给速度改变可编程定时器、计数器的定时时间，
即可产生不同频率的脉冲。以此脉冲作为中断请求信号，产生定时中断，在中断服务程序中完成插补和进给脉冲的输出，以达到对进给速度的控制。
二、闭环 (或半闭环 )CNC系统的加减速控制闭环 (或半闭环 )CNC系统中采用的加减速控制一般用软件来实现。一般有两种方法：
前加减速控制,把加减速控制放在 插补之前 进行。优点是：仅对合成速度 F进行控制，不影响实际插补输出的位臵精度。缺点是需根据实际刀具位臵和程序段终点之间的距离来确定减速点，计算工作量大。
后加减速控制,把加减速控制放在 插补之后 分别对各坐标轴进行。优点是：不需要专门预先确定减速点，而是在插补输出为零时开始减速，通过一定的时间延时逐渐靠近程序终点。缺点是由于是对各坐标分别进行控制，所以在加减速控制实际的各运动轴合成位臵可能不准确。但这种影响只存在于加速或减速过程中。
（一）前加减速控制
1 稳定速度和瞬时速度稳定速度 是系统处于稳定进给状态下，每插补一次（一个插补周期）的进给量。
fs = （ KTF） /（ 60*1000）
式中 F — 速度指令或由参数设定的进给速率（ mm/min）
T — 插补周期（ ms）
K — 速度系数，包括切削进给倍率、快速进给倍率等。
瞬时速度 是系统在每个插补周期的进给量，用 fi 表示。
当系统处于稳定进给状态时,fi = fs ；当系统处于加、减速状态时,fi < fs ；（ 当系统处于减速状态时,fi > fs ；）
2 线性加减速处理当机床启动、停止或在切削加工过程中改变进给速度时，
系统自动进行线性加减速处理。
设进给速度为 F（ mm/min），加速到 F所需要的时间为 t
（ ms），则加（减）速度 a为：
a =1.67* 10-2*F/t（ μm/ms 2）
① 加速处理系统每插补一次都要计算稳定速度和瞬时速度，并进行加速处理。当计算出的稳定速度大于原来的稳定速度时，
则进行加速处理。每加速一次的瞬时速度为
fi+1 = fi +aT
系统采用新的瞬时速度 fi+1进行插补运算，对各坐标轴进行运动分配，就这样一直加速到新的稳定速度为止。
② 减速处理系统每进行一次插补计算，都要进行终点判别，计算刀具实际位臵离终点的瞬时距离 Si，并且根据减速标志，
检查是否到达减速区域 S。若已到达，则进行减速处理。
减速区域按下式计算：
S=fs2/（ 2a）
当瞬时距离小于或等于减速区 S时，系统进行减速处理。每减速一次的瞬时速度为：
fi+1=fi-aT
如果要提前一段距离开始减速，可以将提前量
ΔS 作为参数预先设臵好，这样减速区的计算公式如下：
S=fs2/2a + ΔS
③ 终点判别处理在前加减速控制中，每次插补运算结束之后，系统都要根据求得的各轴进给量，计算刀具离本程序段终点的距离 Si。如果 Si≤S,则进行减速处理，并进行终点判别。
直线插补时 Si 的计算：
圆弧插补时 Si 的计算：
单个坐标轴运动的加减速控制线性加减速控制指数加减速控制正余弦加减速控制
（二）后加减速控制习 题
⒈ 什么是插补？常用的插补算法有哪两种？
⒉ 逐点比较法插补计算，每输出一个脉冲需要哪四个节拍？
⒊ 逐点比较法直线插补的偏差判别函数是什么？
⒋ 何谓前加减速控制，何谓后加减速控制，各有什么优缺点？
⒌开环控制系统中，采用哪两种方法进行加减速控制？
⒍ 直线起点为坐标原点 O（ 0,0），终点坐标为 A（ 9,4）
试用逐点比较法对这条直线进行插补，并画出插补轨迹。
⒎ B刀具半径补偿和 C刀具半径补偿的区别是什么？
⒏刀具半径补偿的执行步骤是什么？
⒐ C刀具半径补偿程序段间转接有几种形式？在这些转接形式中有几种转接类型？
