原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答刘富义刘富义刘富义刘富义编编编编临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室第一 章 原子 的 基本 状况1.1若卢 瑟福 散射 用的 粒子 是放 射性 物质 镭 放射 的,其动 能为 电子 伏? 'C 67.6810?特。 散射 物质 是原 子序 数 的金 箔。 试问 散射 角 所对 应的 瞄准 距离 多大？79Z? 150
b解,根据 卢瑟 福散 射公 式,2
0 02 2cot 4 42 2 KMvb bZe Ze得到,米2 192150 152 212 6 19
0 79(1.600) 3.97104 (48.510)(7.681010)Zectg ctgb K式中 是 粒子 的功 能。212KMv1.2已知 散射 角为 的 粒子 与散 射核 的最 短距 离为
，试 问上 题 粒子 与散 射的 金原 子核220 212 1( ) (1 )4 sinm Zer Mv之间 的最 短距 离 多大？mr解：将 1.1题中 各量 代入 的表 达式,得,
mr2min 20 212 1( ) (1 )4 sinZer Mv
1929 6 19479(1.010) 1910 (1 )7.68101.6010 sin75米143.02101.3若用 动能为 1兆电 子伏 特的 质子 射向 金箔 。 问 质子 与金 箔。 问 质子 与金 箔原 子核 可能达 到的 最小 距离 多大？又 问如 果用 同样 能量 的氘 核（ 氘核 带一 个 电荷 而质 量是 质子 的e?两倍,是 氢的 一种 同位 素的 原子 核） 代替 质子,其 与金 箔原 子核 的最 小距 离多 大？ 解,当入 射粒 子与 靶核 对心 碰撞 时,散射 角为 。当 入射 粒子 的动 能全 部转 化为 两180?粒子 间的 势能 时,两粒 子间 的作 用距 离最 小。 根据 上面 的分 析可 得：
,故有,22 0min12 4p ZeMvK r 2min 04 pZer K米1929 136 1979(1.6010)910 1.410101.6010
由上 式看 出,与入 射粒 子的 质量 无关,所 以 当用 相同 能量 质量 和相 同电 量得 到核 代minr替质 子时,其 与靶 核的 作用 的最 小距 离仍 为 米。131.4101.4钋放 射的 一种 粒子 的速 度为 米 /秒,正面 垂直 入射 于厚 度为 米,?
71.59710? 710?密度 为 的金 箔。 试求 所有 散射 在 的 粒子 占全 部入 射粒 子数41.93210? 3/公 斤 米 90的百 分比 。已 知金 的原 子量 为 。197解,散射 角在 之间 的 粒子 数 与入 射到 箔上 的总 粒子数 n的比 是：ddndnNtd
n其中 单位 体积 中的 金原 子数,0/ /Au AuNmN而散 射角 大于 的粒 子数 为：
090 2'dndnnNtd所以 有：
2'dnNt dn
22 21800 2 90 30 cos1 2 2( )( )4 sin2AuN Zet dMu
等式 右边 的积 分,180 18090 903 3cos sin2 22 1sin sin2 2dI d故
' 22 20 2012( )( )4AuNdn Zetn Mu6 408.5108.510
即速 度为 的 粒子 在金 箔上 散射,散 射角 大于 以上 的粒 子数 大约 是71.59710/?米 秒? 90?。408.5101.5粒子 散射 实验 的数 据在 散射 角很 小 时与 理论 值差 得较 远,时什 么原? 15
（ ）因？ 答,粒子 散射 的理 论值 是在,一次 散射,的假 定下 得出 的。 而 粒子 通过 金属 箔,经 过
好多 原子 核的 附近,实 际上 经过 多次 散射 。 至 于实 际观 察到 较小 的 角,那 是 多次 小角 散 射?合成 的结 果。既 然都 是小 角散 射，哪 一个 也不 能忽 略，一 次散 射的 理论 就不 适用 。所 以,粒?子散 射的 实验 数据 在散 射角 很小 时与 理论 值差 得较 远。 1.6已知 粒子 质量 比电 子质 量大 7300倍 。试 利 用 中 性 粒 子 碰 撞 来 证 明,粒子 散射,受电子 的影 响是 微不 足道 的,。
证明,设 碰 撞前,后 粒子 与电 子的 速度 分别 为,。 根 据 动量 守恒 定律,得,? ',',0,evv'' evmvMvM由此 得,…… (1)
''' 7301ee vvMmvv又根 据能 量守 恒定 律,得,2'2'2 212121 emvMvMv …… （ 2）
2'2'2 evMmvv将（ 1）式 代入 （ 2）式,得,
整理,得,0cos7302)1730()1730( '2'2 vvv 0 0)730017300
' 2'vv vv （上式可写为：即 粒子 散射,受电 子的 影响 是微 不足 道的,。1.7能量为 3.5兆电 子伏 特的 细 粒子 束射 到单 位面 积上 质量 为? 22 /1005.1 米公斤
的银 箔上,粒子 与银 箔表 面成 角。 在离 L=0.12米处 放一 窗口 面积 为60 25100.6米的计 数器 。测 得散 射进 此窗 口的 粒子 是全 部入 射 粒子 的百 万分之 29。若 已知 银的 原子量为 107.9。试 求银 的核 电荷数 Z。解,设 靶 厚度 为 。 非 垂 直入 射时 引起 粒子 在靶 物质 中通 过的 距离 不再 是靶 物质 的 厚
't?度,而 是,如图 1-1所示 。't?60sin/'tt?因为 散射 到 与 之间 立体dd角内 的粒 子数 dn与总 入射 粒子数 n的比 为：
(1)dnNtdn而 为：?d （ 2）2sin)()41(
422220 dMvzed
60ot,t
20o60°
图 1.1
2'2'2 )(730 vvvv
把（ 2）式 代入 （ 1）式,得,…… （ 3）2sin)()41( 422220 dMvzeNtndn
式中 立体 角元 0'0'2 20,3/260sin/,/tttLdsdN为原 子密 度。 为单 位面 上的 原子 数，,其 中 是单 位'Nt 10' )/(/ NAmNt gAg面积 式上 的质 量； 是银 原子 的质 量； 是银 原子 的原 子量 ； 是 阿 佛 加 德 罗 常 数 。
Agm Ag 0N将各 量代 入（ 3）式,得,2sin)()41(32
4222200 dMvzeANndn g由此,得,Z=471.8设想 铅（ Z=82）原 子的 正电 荷不 是集 中在 很小 的核 上,而是 均匀 分布 在半 径约 为米的 球形 原子 内,如果 有能 量为 电子 伏特 的 粒子 射向 这样 一个,原子,，试 通过
10? 610?计算 论证 这样 的 粒子 不可 能被 具有 上述 设想 结构 的原 子产 生散 射角 大于 的 散 射 。 这 个? 09结论 与卢 瑟福 实验 结果 差的 很远,这 说 明原 子的 汤姆 逊模 型是 不能 成立 的 （ 原 子中 电子 的 影响 可 以 忽 略 ）。
解,设 粒子 和铅 原子 对心 碰撞,则 粒子 到达 原子 边界 而不 进入 原子 内部 时的 能量 有下式 决定,电子伏特焦耳 316022 1036.21078.34/221RZeMv由此 可见,具 有 电子 伏特 能量 的 粒子 能够 很容 易的 穿过 铅原 子球 。 粒子 在到 达原 子
610表面 和原 子内 部时,所 受原 子中 正电 荷的 排斥 力不 同,它们 分别 为,。 可 见,原 子 表面 处 粒子 所受 的斥 力最 大,越3
02202 4/24/2 RrZeFRZeF 和?靠近 原子 的中 心 粒子 所受 的斥 力越 小,而且 瞄准 距离 越小,使 粒子 发生 散射 最强 的垂直入 射方 向的 分力 越小 。 我 们 考虑 粒子 散射 最强 的情 形。 设 粒子 擦原 子表 面而 过。 此 时 受?力为 。可 以认 为 粒子 只在 原子 大小 的范 围内 受到 原子 中正 电荷 的作
2024/2 RZeF用,即 作 用距 离为 原子 的直径 D。 并 且 在作 用范围 D之内,力 的 方向 始终 与入 射方 向垂 直,大小 不变 。这 是一 种受 力最 大的 情形 。 根据 上述 分析,力 的作 用时 间为 t=D/v,粒子 的动 能为,因 此，? KMv?
221，所 以，MKv /2? KMDvDt 2//根据 动量 定理,0
00 MvppFdtt
而 20202020 4/24/2 RtZedtRZeFdt tt所以 有,MvRtZe 2024/2由此 可得,MRtZev
2024/2粒子 所受 的平 行于 入射 方向 的合 力近 似为 0，入 射方 向上 速度 不变 。据 此,有：?
3 2202202104.2 4/24/2 MvRDZeMvRtZevvtg这时 。弧度，大约是很小，因此 ‘ 2.8104.23 tg这就 是说,按 题中 假设,能 量为 1兆电 子伏 特的 粒子 被铅 原子 散射,不 可能 产生 散 射?
角 的散 射。 但是 在卢 瑟福 的原 子有 核模 型的 情况 下,当 粒子 无限 靠近 原子 核时,09会受 到原 子核 的无 限大 的排 斥力,所 以 可以 产生 的散 射,甚 至 会产 生 的 散09 018射,这与 实验 相符 合。 因此,原 子的 汤姆 逊模 型是 不成 立的 。
第二章 原子的能级和辐射2.1试计 算氢 原子 的第 一玻 尔轨 道上 电子 绕核 转动 的频 率,线速 度和 加速 度。解,电子 在第 一玻 尔轨 道上 即年 n=1。根 据量 子化 条件,?
2hnmvrp可得,频 率 21211 222 mahmanhav 赫兹
151058.6速度,米 /秒611 10188.2/2 mahav加速 度,22
122 /10046.9// 秒米 avrvw2.2试由 氢原 子的 里德 伯常 数计 算基 态氢 原子 的电 离电 势和 第一 激发 电势 。解,电离 能为,把 氢原 子的 能级 公式 代入,得,1EEEi 2/nRhcEn
=13.60电子 伏特 。RhchcREHi )111(2电离 电势,伏特60.13eEVii
第一 激发 能,电子 伏特20.1060.134343)2111(2 RhchcREHi第一 激发 电势,伏特20.1011eEV2.3用能 量为 12.5电子 伏特 的电 子去 激发 基态 氢原 子，问 受 激发 的氢 原子 向低 能基 跃 迁时,会出 现那 些波 长的 光谱 线？ 解,把氢 原子 有基 态激 发到你 n=2,3,4…… 等能 级上 去所 需要 的能 量是,其中 电子 伏特)111( 22nhcREH 6.13?HhcR电子 伏特2.10)211(6.13
1E 电子 伏特1.12)311(6.1322E 电子 伏特8.12)411(6.13
23E其中 小于 12.5电子 伏特,大于 12.5电子 伏特 。 可 见,具有 12.5电子 伏特 能量 的21EE和 3E
电子 不足 以把 基态 氢原 子激 发到 的能 级上 去,所以 只能 出现 的 能 级 间 的 跃 迁 。4?n 3?n跃迁 时可 能发 出的 光谱 线的 波长 为：
A RRA
RRARR
HH
HH
HH
102598)3111(112154
3)2111(1656536/5)3121(1
3 223
2 22
1 21
2.4试估 算一 次电 离的 氦离 子,二 次电 离的 锂离 子 的第 一玻 尔轨 道半 径,电 离 电?eH?iL势,第一 激发 电势 和赖 曼系 第一 条谱 线波 长分 别与 氢原 子的 上述 物理 量之 比值 。 解,在 估算 时,不 考虑 原子 核的 运动 所产 生的 影响,即 把 原子 核视 为不 动,这 样 简单 些 。a)氢原 子和 类氢 离子 的轨 道半 径：
31,21 32,1,10529177.044
3,2,1,44 1022201 2122220
LiHHLiHHHHe ZrrZrr ZLiZZHZ meha
nZnamZenhr
e径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于 一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中b)氢和 类氢 离子 的能 量公 式：
3,2,1,)4(2 2212220 242 nnZEhnZmeE其中 基态能量。电子伏特，是氢原子的6.13)4(222
0421 hmeE电离 能之 比,9
00,400 2222 HLiHLi HHeHHe ZZEZEc)第一 激发 能之 比：
91121323 41121222221 221211212 221 2111212 EEEEEE EEEEEEHHLiLi HHHeHed)氢原 子和 类氢 离子 的广 义巴 耳末 公式,
，)11(~ 2221 nnRZv3,2,1 112 )2(),({n nn其中 是里 德伯 常数 。32
042)4( hmeR氢原 子赖 曼系 第一 条谱 线的 波数 为,1 22111( )1H HvR
相应 地,对类 氢离 子有,21 22 1
21 22 1111( )1113( )1He HeLi Liv Rv R因此,91,41
1111 HLiHHe2.5试问 二次 电离 的锂 离子 从其 第一 激发 态向 基态 跃迁 时发 出的 光子,是 否有 可能?iL使处 于基 态的 一次 电离 的氦 粒子 的电 子电 离掉？
eH解,由第 一激 发态 向基 态跃 迁时 发出 的光 子的 能量 为：?iL的电 离能 量为,
eH
LiHeHeLiHeLi HeHeHe MmRhvhv hcRhcRv /1/116271627 4)111(42
由于,LiHeLiHe mMmMM /1/1,所以从而 有,所 以能 将 的电 子电 离掉 。HeLi hvhv?eH2.6氢与 其同 位素 氘（ 质量 数为 2）混 在同 一放 电管 中,摄下 两种 原子 的光 谱线 。试 问其巴 耳末 系的 第一 条（ ）光 谱线 之间 的波 长差 有多 大？ 已知 氢的 里德 伯常 数
H，氘 的里 德伯 常数 。17100967758.1 米HR 17100970742.1 米DR解：,)3121(1
2HHR? HH R5/36，)3121(1 2D
DR? DD R5/36
A RRDHDH79.1 )11(5362.7已知 一对 正负 电子 绕其 共同 的质 心转 动会 暂时 形成 类似 于氢 原子 结构 的,正电 子素,。试 计算,正电 子素,由第 一激 发态 向基 态跃 迁发 射光 谱的 波长 为多 少？?A
解,RmRRe 834311)2111(1 2 AR 2430109737313138
米2.8试证 明氢 原子 中的 电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道,发 射 光子 的频 率 。 当 n>>1时n?光子 频率 即为 电子 绕第 n玻尔 轨道 转动 的频 率。证明,在 氢原 子中 电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道 所发 光子 的波 数为,
])1(11[1~ 22 nnRvnn?频率 为,RcnnnnRccvn 2222 )1(1])1(11[
当 n>>1时,有,所 以在 n>>1时,氢原 子中3422 /2/2)1(/)12( nnnn电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道 所发 光子 的频 率为,。3/2nRcvn?设电 子在第 n轨道 上的 转动 频率 为,则
nf322 2222 nRcmrPmrvrrvfn因此,在 n>>1时,有 nnfv?
由上 可见,当 n>>1时,请 原 子中 电子 跃迁 所发 出的 光子 的频 率即 等于 电子 绕第 n玻尔 轨 道转动 的频 率。 这说 明，在 n很大 时,玻尔 理论 过渡 到经 典理 论,这就 是对 应原 理。2.9原子 序数 Z=3，其 光谱 的主 线系 可用 下式 表示,Li 。已 知锂 原子 电离 成 离子 需要 203.44电子 伏特 的
22 )0401.0()5951.01(~ nRRv?Li功。 问如 把 离子 电离 成 离子,需 要多 少电 子伏 特的 功？Li?Li解,与 氢 光谱 类似,碱 金 属光 谱亦 是单 电子 原子 光谱 。 锂 光 谱的 主线 系是 锂原 子的 价 电子由 高的 p能级 向基 态跃 迁而 产生 的。 一 次 电离 能对 应于 主线 系的 系限 能量,所 以 离 子?Li电离 成 离子 时,有?Li 电子伏特35.)591.01()591.01(
221hcRRhcRhcE是类 氢离 子,可用 氢原 子的 能量 公式,因 此 时,电离 能 为：?LiLiLi 3E。电子伏特4.1221
2223hcRZRhcZE设 的电 离能 为 。 而 需要 的总 能量是 E=203.44电子 伏特,所 以 有LiLi 2ELiLi电子伏特7.5
312 EEE2.10具有 磁矩 的原 子,在横 向均 匀磁 场和 横向 非均 匀磁 场中 运动 时有 什么 不同？答,设 原 子的 磁矩 为,磁 场沿 Z方向,则 原 子磁 矩在 磁场 方向 的分 量记 为,于 是? Z?
具有 磁矩 的原 子在 磁场 中所 受的 力为,其 中 是磁 场沿 Z方向 的梯 度 。ZBFZ ZB对均 匀磁 场，,原 子在 磁场 中不 受力,原 子磁 矩绕 磁场 方向 做拉 摩进 动,且对 磁 场0ZB
的 取向 服从 空间 量子 化规 则。 对于 非均 磁场,原子 在磁 场中 除做 上述 运动 外,还0ZB受到 力的 作用,原 子射 束的 路径 要发 生偏 转。 2.11史特 恩 -盖拉 赫实 验中,处 于基 态的 窄银 原子 束通 过不 均匀 横向 磁场,磁 场的 梯度为 特斯 拉 /米,磁极 纵向 范围 =0.04米 (见图 2-2)，从 磁极 到屏 距离 =0.10米,
310ZB 1L 2L原子 的速 度 米 /秒。 在屏 上两 束分 开的 距离 米。 试确 定原 子磁 矩在 磁2105v 002.0?d场方 向上 投影 的大 小（ 设磁 场边 缘的 影响 可忽 略不 计）。解,银原 子在 非均 匀磁 场中 受到 垂直 于入 射方 向的 磁场 力作 用。 其轨 道为 抛物 线； 在区域 粒子 不受 力作 惯性 运动 。 经 磁 场区 域 后向 外射 出时 粒子 的速 度为,出 射 方向 与2L 1L 'v?入射 方向 间的 夹角 为 。 与速 度间 的关 系为, vvtg粒子 经过 磁场 出射 时偏 离入 射方 向的 距离 S为：
1L …… （ 1）ZvLZBmS?21)(21将上 式中 用已 知量 表示 出来 变可 以求 出
Z?
21212
1 12'2' /,,vLZBmdSdS vLZBmtgLS vLZBmv vLtZBmfaatv
ZZ
Z
把 S代入 （ 1）式 中,得,22121 22 vLZBmvLZBmd ZZ整理,得,2)2(2
2121 dLLvZBmZ由此 得,特焦耳 /1093.023Z?2.12观察 高真 空玻 璃管 中由 激发 原子 束所 发光 谱线 的强 度沿 原子 射线 束的 减弱 情况,
可以 测定 各激 发态 的平 均寿 命。 若已 知原 子束 中原 子速 度,在 沿粒 子束 方向秒米 /103?v上相距 1.5毫米 其共 振光 谱线 强度 减少到 1/3.32。试 计算 这种 原子 在共 振激 发态 的平 均寿 命 。
解,设沿 粒子 束上 某点 A和距 这点 的距离 S=1.5毫米 的 B点,共振 谱线 强度 分别 为，并 设粒 子束在 A点的 时刻 为零 时刻,且 此时 处于 激发 态的 粒子 数为,原 子束10II和 20N经过 t时间 间隔从 A到达 B点，在 B点处 于激 发态 的粒 子数 为 。
2N光谱 线的 强度 与处 于激 发态 的原 子数 和单 位时 间内 的跃 迁几 率成 正比 。设 发 射共 振谱 线的跃 迁几 率为,则 有
21A 202202122101 NNAII适当 选取 单位,使,32.3/1
20201NII并注 意到,vSteNNtA /,21202而则有,32.3/1
21202tAeN由此 求得,
秒6 3 321211025.1 32.3ln10105.132.3ln1 32.3ln)1ln32.3(ln1vsAt svtA
第三章 量子力学初步3.1波长 为 的 X光光 子的 动量 和能 量各 为多 少？A1解,根据 德布 罗意 关系 式,得：
动量 为,12410341063.663.6 秒米千克?hp能量 为,?/hchvE 。焦耳
1510834 10986.110/1031063.63.2经过 10000伏特 电势 差加 速的 电子 束的 德布 罗意 波长 用上 述电 压加 速的 质子束 的德 布罗 意波 长是 多少？ 解,德布 罗意 波长 与加 速电 压之 间有 如下 关系,
对于 电子,meVh2/ 库仑公斤,1931 1060.11011.9 em把上 述二 量及 h的值 代入 波长 的表 示式,可 得, AAAV 1225.01000025.1225.12
对于 质子,,代 入波 长的 表示 式,得：库仑公斤,1927 1060.11067.1 em 34 327 196.2610 2.8621021.67101.6010100 A
3.3电子 被加 速后 的速 度很 大,必 须 考虑 相对 论修 正。 因 而 原来 的电 子 德AV25.12?布罗 意波 长与 加速 电压 的关 系式 应改 为, AVV )10489.01(25.12
6其中 V是以 伏特 为单 位的 电子 加速 电压 。试 证明 之。证明,德 布罗 意波 长,ph/
对高 速粒 子在 考虑 相对 论效 应时,其 动能 K与其 动量 p之间 有如 下关 系：222022 cpcKmK而被 电压 V加速 的电 子的 动能 为,eVK?
220 0222 /)(2 2)( ceVeVmp eVmceVp因此 有：
200 2112/ cmeVeVmhph一般 情况 下,等式 右边 根式 中 一项 的值 都是 很小 的。 所以,可 以将 上式 的202/cmeV根式 作泰 勒展 开。 只取 前两 项,得,)10489.01(
2)41(2 60200 VeVmhcmeVeVmh由于 上式 中,其中 V以伏 特为 单位,代 回原 式得,?AVeVmh 25.122/ 0?
AVV )10489.01(25.12 6由此 可见,随 着 加速 电压 逐渐 升高,电 子 的速 度增 大,由 于相 对论 效应 引起 的德 布罗 意波 长变短 。 3.4试证 明氢 原子 稳定 轨道 上正 好能 容纳 下整 数个 电子 的德 布罗 意波 波长 。上 述 结果 不但适 用于 圆轨 道,同样 适用 于椭 圆轨 道,试证 明之 。 证明,轨 道量 子化 条件 是,nhpdq对氢 原子 圆轨 道来 说,mvrmrpp
r 2,0所以 有, 3,2,1,22 nnmvhnrS nhmvrpd
所以,氢原 子稳 定轨 道上 正好 能容 纳下 整数 个电 子的 德布 罗意 波长 。椭 圆轨 道的 量子 化条 件是,hndrp hndp
rr其中
rrr nnnnhdpdp mrprmp其中,)(,2而 )()( 2 dmrdrrmdpdrpr
ndsdshdsrh mvdsdtmv dtdt
dmrdtdtdrrm
2 2 )(
因此,椭 圆轨 道也 正好 包含 整数 个德 布罗 意波 波长 。 3.5带电 粒子 在威 耳孙 云室 （ 一 种径 迹探 测器 ） 中 的 轨迹 是一 串小 雾滴,雾 滴 德线 度 约为 1微米 。当 观察 能量为 1000电子 伏特 的电 子径 迹时 其动 量与 精典 力学 动量 的相 对偏 差不小于 多少？ 解,由题 知,电子 动能 K=1000电子 伏特,米,动量 相对 偏差 为 。
610x p/?根据 测不 准原 理,有,由 此得,2hxp xhp2经典 力学 的动 量为,
51009.3222 mKxhppmKp电子 横向 动量 的不 准确 量与 经典 力学 动量 之比 如此 之小,足 见 电子 的径 迹与 直线 不会 有明 显区别 。 3.6证明 自由 运动 的粒 子（ 势能 ）的 能量 可以 有连 续的 值。0?V
证明,自 由粒 子的 波函 数为,…… （ 1）)( EtrphiAe自由 粒子 的哈 密顿 量是,…… （ 2）
222mhH自由 粒子 的能 量的 本征 方程 为,…… （ 3）EH?
把（ 1）式 和（ 2）式 代入 （ 3）式,得,?EAemh Etrphi ][2 )(22?即：
mpEEmp EedzddyddxdAmh Etzpypxph
i
22 )(222 )(2
2222222
自由 粒子 的动量 p可以 取任 意连 续值,所 以它 的能量 E也可 以有 任意 的连 续值 。3.7粒子 位于 一维 对称 势场 中,势场 形式 入图 3-1，即0,0,,0{VLx V
（ 1） 试推 导粒 子在 情况 下其 总能量 E满足 的关 系式 。0VE?（ 2） 试利 用上 述关 系式,以 图解 法证 明,粒子 的能 量只 能是 一些 不连 续的 值。解,为方 便起 见,将势 场划 分为 Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个 区域 。（ 1） 定态 振幅 方程 为 0)(2
)((22)(2 xxx VEhdxd式中 是粒 子的 质量 。Ⅰ 区,)(20
022222 EVhdxd其中波函 数处 处为 有限 的解 是,。是一任意常数AAexx,)(1Ⅱ 区,Ehdxd
22222 0其中处处 有限 的解 是,是任意常数。,),sin()(2 BxBxⅢ 区,)(20
022222 EVhdxd其中处处 有限 的解 是,是任意常数。DDex x,)(3有上 面可 以得 到：,1),(1,1
332211 dxdxctgdxddxd有连 续性 条件,得,
ctgLctg )({解得,
221)(Ltg因此 得,)/(21tgnL这就 是总 能量 所满 足的 关系 式。 （ 2） 有上 式可 得,)
22( Lntg 偶数，包括零 奇数nLtgnLctg22{
亦即 2)( 2)( LtgLL LctgLL令,则 上面 两方 程变 为：vLuL,
）（ ）（ 2212uutgv uutgv另外,注 意到 还必 须满 足关 系：vu和 ）（ 3/2 22022 hLVvu?所以 方程 （ 1）和 （ 2）要 分别 与方 程（ 3）联 立求 解。3.8有 一 粒 子,其 质 量 为,在 一 个 三 维 势 箱 中 运 动 。 势 箱 的 长,宽,高 分 别 为m
在势 箱外,势 能 ；在 势箱 内,。式 计算 出粒 子可 能具 有的 能量 。cba、,V 0?V解,势能 分布 情况,由 题意 知：
czzV byy axxV czbyV
ax
zyx
zyx和 和 和0,0,0,;0,;0,;0,
在势 箱内 波函 数 满足 方程,),,(zyx?
0)]([2222 2222222 zyx VVVEhmzyx解这 类问 题,通常 是运 用分 离变 量法 将偏 微分 方程 分成 三个 常微 分方 程。 令 )()()(),,( zZyYxXzyx
代入 （ 1）式,并 将两 边同 除以,得,)()()( zZyYxX EhmVhmdzZdZVhmdyYdYVhmdxXdX zyx 2222222222 )1()1()1(方程 左边 分解 成三 个相 互独 立的 部分,它 们 之和 等于 一个 常数 。 因 此,每 一 部分 都应 等于 一个常 数。 由此,得 到三 个方 程如 下：
皆为常数。其中 zyxzyx zz yy
xx
EEEEE EhmVhmdzZdZ EhmVhmdyYdY
EhmVhmdxXdX
,,,221 221
221
2222 222
2 2222
将上 面三 个方 程中 的第 一个 整数,得,…… （ 2）0)(2222 XVEhmdxXd xx边界 条件,0)()0(lXX
可见,方 程（ 2）的 形式 及边 界条 件与 一维 箱完 全相 同,因此,其 解为, 3,2,1,2sin2
2222 xxx xn nnahE aaX类似 地,有
)(2 sinsinsin8),,( 3,2,1,2
sin2 3,2,1,2sin2
22222222
2222
2222
cnbnanmhE czbyaxabczyx nnchE
zccZ nnbhE ybbY
zyx zyx
zzz zn
yyy yn
可见,三 维 势箱 中粒 子的 波函 数相 当于 三个 一维 箱中 粒子 的波 函数 之积 。 而 粒 子的 能 量相当 于三 个一 维箱 中粒 子的 能量 之和 。 对于 方势 箱，,波函 数和 能量 为：cba
22222222 3,2 sinsinsin8),,( zyx zyx nnnnmahE aaaazyx 第四章 碱金属原子4.1已知 原子 光谱 主线 系最 长波 长,辅 线系 系限 波长 。 求Li
A6707 A3519锂原 子第 一激 发电 势和 电离 电势 。 解,主 线 系最 长波 长是 电子 从第 一激 发态 向基 态跃 迁产 生的 。 辅 线 系系 限波 长是 电子 从无穷 处向 第一 激发 态跃 迁产 生的 。设 第一 激发 电势 为,电 离电 势为,则 有：
1V?V
伏特。伏特 375.5)11(850.11
1
ehcV chcheVehcVcheV
4.2原子 的基态 3S。已 知 其共 振线 波长为 5893，漫 线 系第 一条 的波 长为 8193，Na?A?A基线 系第 一条 的波 长为 18459,主 线 系的 系限 波长为 2413。 试求 3S,3P,3D,4F各 谱?A?A项的 项值 。
解,将上 述波 长依 次记 为 AAAA pfdp pfdp 2413,18459,8193,5893,,,,maxmaxmax maxmaxmax即 容易 看出,
16max34 16max33
16max3 163 10685.01 10227.11 10447.211 10144.41~
米 米 米米
fDF dpD
pPP PSTTTTTvT
4.3K原子共振线波长 7665，主线系的系限波长为 2858。已知 K原子的基态 4S。A?A试求 4S,4P谱项 的量 子数 修正 项 值各 为多 少？ps?,解,由题 意知,
PPspp vTAA /1~,2858,76654max由,得,24 )4(sRTS SkTRs 4/4设,则有RR
K? max4 11,229.2 PPPTs与上 类似 764.1/4
4PTRp4.4原子 的基 态项 2S。 当 把 原子 激发到 3P态后,问当 3P激发 态向 低能 级跃 迁 时Li Li可能 产生 哪些 谱线 （不 考虑 精细 结构 ）？ 答,由 于 原子 实的 极化 和轨 道贯 穿的 影响,使 碱 金属 原子中 n相同而 l不同 的能 级有 很大差 别,即 碱 金属 原子 价电 子的 能量 不仅 与主 量子数 n有关,而 且 与角 量子数 l有关,可 以记为 。理 论 计 算 和 实 验 结 果 都 表 明 l越小,能 量 越 低 于 相 应 的 氢 原 子 的 能 量。),(lnEE?当从 3P激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：,可能产生四条光谱，分别由1l以下 能级 跃迁 产生,。SPSPSP 23;22;23;3
4.5为什么 谱项 S项的精 细结 构总 是单 层结 构？ 试直 接从 碱金 属光 谱双 线的 规律 和从电子 自旋 与轨 道相 互作 用的 物理 概念 两方 面分 别说 明之 。 答,碱 金 属光 谱线 三个 线系 头四 条谱 线精 细结 构的 规律 性。 第 二 辅线 系每 一条 谱线 的 二成分 的间 隔相 等,这 必 然是 由于 同一 原因 。 第 二 辅线 系是诸 S能级 到最低 P能级 的跃 迁产 生的。 最低 P能级 是这 线系 中诸 线共 同有 关的,所 以 如果 我们 认为 P能级 是双 层的,而 S能 级是单 层的,就 可以 得到 第二 辅线 系的 每一 条谱 线都 是双 线,且波 数差 是相 等的 情况 。 主线 系的 每条 谱线 中二 成分 的波 数差 随着 波数 的增 加逐 渐减 少,足见 不是 同一 个来 源。主线 系是诸 P能级 跃迁 到最低 S能级 所产 生的 。 我 们 同样 认定 S能级 是单 层的,而 推 广所 有P能级 是双 层的,且 这 双层 结构 的间 隔随 主量 子数 n的增 加而 逐渐 减小 。 这 样 的推 论完 全 符合碱 金属 原子 光谱 双线 的规 律性 。因 此,肯定 S项是 单层 结构,与 实验 结果 相符 合。
碱金属 能级 的精 细结 构是 由于 碱金 属原 子中 电子 的轨 道磁 矩与 自旋 磁矩 相互 作用 产生附加 能量 的结 果。 S能级 的轨 道磁 矩等于 0，不 产生 附加 能量,只 有一 个能 量值,因而 S能级是 单层 的。 4.6计算 氢原 子赖 曼系 第一 条的 精细 结构 分裂 的波 长差 。解,赖 曼 系的 第一 条谱 线是 n=2的能 级跃 迁到 n=1的能 级产 生的 。 根 据 选择 定则,跃 迁只能 发生 在 之间 。而 S能级 是单 层的,所 以,赖 曼 系的 第一 条谱 线之 精细 结 构SP22 1?是由 P能级 分裂 产生 的。氢原 子能 级的 能量 值由 下式 决定,)43
21()()( 3 422 2 njnSZRhcanZRhcE其中 1)()( SZZ?
)1()2( )1()2( )1()2(
)1()2(
2/122/12 22/1
22/1 2/122/31
12/122/3
SEPEhcchSEPE SEPEhc
chSEPE
因此,有,
44)1( 64516)2( 6416)2(
)]1()2()][1()2([ )]1()2([
22/12 22/1
22/3 2/122/12/122/3 2/122/312 aRhcSE aRhcPE aRhcPE SEPESEPE SPhc
将以 上三 个能 量值 代入 的表 达式,得,
AaaaR Raaa
313 222
222 1039.51039.5 )1548)(1148( 464 1641548641148644
米
4.7原子 光谱 中得 知其 3D项的 项值,试 计 算该 谱项 之精 细Na 163 102274.1 米DT结构 裂距 。 解,已知 17163 100974.1,102274.1 米米 NaD RT
13 4*2** 3
* 655.3)1(/ 9901.2
米所以有,而 lnZRaTnZT
RnDNa
4.8原子 在热 平衡 条件 下处 在各 种不 同能 量激 发态 的原 子的 数目 是按 玻尔 兹曼 分布 的，即能 量为 E的激 发态 原子 数目 。其 中 是能 量为 的状 态 的KTEeggNN /)(00 0 0N 0E原子 数,是相 应能 量状 态的 统计 权重,K是玻 尔兹 曼常 数。 从 高温 铯原 子气 体光 谱 中
0gg和测出 其 共 振 光 谱 双 线 。试 估 算 此 气体321.8521,5.89432121,：的强度比 IIAA的温 度。 已知 相应 能级 的统 计权 重 。4,2
21gg解,相应 于 的能 量分 别为,21，
2211 /;/hcEhcE所测 得的 光谱 线的 强度 正比 于该 谱线 所对 应的 激发 态能 级上 的粒 子数 N，即
122
12121 3 3221 21gge eggNIINIKTE KTE由此 求得 T为：
KggKEET 277332ln1212
第五章 多电子原子5.1原子 的两 个电 子处在 2p3d电子 组态 。 问 可 能组 成哪 几种 原子 态?用原 子态 的 符eH号表 示之 。已 知电 子间是 LS耦合 。解,因为,21,2,1
2121 ssll 1,2,3;1,0,,1,; 212121 2121LS llllllL ssssS,或所以 可以 有如下 12个组 态：
4,3,2331 3,2,13
212,1,0311,1,3,0,3,,2,0,2,1,1,0,1 FSLSL DSLSL PSLSL
5.2已知 原子 的 两 个 电 子 被 分 别 激 发 到 2p和 3d轨道,器 所 构 成 的 原 子 态 为,eH D3问这两电子的轨道角动量 之间的夹角，自旋角动量 之间的夹角分别为多21ll pp与 21sspp与少？
解,（ 1）已 知原 子态 为,电 子组 态为 2p3dD32,1,1,2 21 llSL
因此,
' 212212 21
2212 222
111
46106 321/)(cos cos6)1(
6)1( 22)(
L llllLL
LllllLLl
l
pppPpppPLPllp
hllp
（ 2） hhSP hhsppss
S 2)1( 23)1(
212121而
' 212212 21
2212 3270 31/)(cos cos
S ssssSs sssssS pppP pppP5.3锌原子（ Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是 4s4s。当其中有一个被激发,考 虑 两 种 情 况,（ 1）那 电子 被激 发到 5s态 ；（ 2）它 被激 发到 4p态。 试求出 LS耦合 情况下 这两 种电 子组 态分 别组 成的 原子 状态 。 画 出相 应的 能级 图。 从 （ 1） 和 （ 2） 情 况 形成 的激发 态向 低能 级跃 迁分 别发 生几 种光 谱跃 迁？
解,（ 1）组 态为 4s5s时,21,02121 ssll
13 01,1;1,00 1,0,0 SJS SLJSSL 三重态时 单重态时,根据 洪特 定则 可画 出相 应的 能级 图,有选 择定 则能 够判 断出 能级 间可 以发 生的 5种跃 迁：
011 23131313 0313101 44 45;45 ;45,45SP PSPS SS所以有 5条光 谱线 。（ 2）外 层两 个电 子组 态为 4s4p时：，21,1,0
2121 ssll
0,1231,0,12;1,101,0,1 PJS LJSSL 三重态时 单重态时,根据 洪特 定则 可以 画出 能级 图,根 据 选择 定则 可以 看出,只 能 产生 一种 跃迁,,01144SP?因此 只有 一条 光谱 线。 5.4试以 两个 价电 子 为例 说明,不论是 LS耦合 还是 jj耦合 都给 出同 样 数32
21ll 和目的 可能 状态,证明,(1)LS耦合 LJSLS;0,12,34,5;10时,
5个 L值分 别得出 5个 J值,即 5个单 重态,;1,,1;1 LLJS时代入 一个 L值便 有一 个三 重态,５个 L值共 有５ 乘３ 等于 １５ 个原 子态,
6,5,435,4,334,3,23,2,132,103 ;;;; HGFDP因此,LS耦合 时共 有２ ０个 可能 的状 态．（２ ） jj耦合,
212121 21,...,2527;2325; jjjjjjJ jjsljslj 或或或将每 个 合成 J得：21jj、
1,2,342523 0,12,34,52525 2,34,52723
1,2,34,5,62725
21 21
21 21 Jjj Jjj Jjj Jjj,合成和,合成和,合成和,合成和共２ ０个 状态,1,2,3,40,12,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6 )25,3(;)2,5(;)27,3()27,5(所以,对 于相 同的 组态 无论是 LS耦合 还是 jj耦合,都 会给 出同 样数 目的 可能 状态,5.5利用 LS耦合,泡 利原 理和 洪特 定 则 来确 定碳 Z=6、氮 Z=7的原 子基 态。解,碳原 子的 两个 价电 子的 组态 2p2p,属于 同科 电子,这两 个电 子可 能有 的 值是
lm
1,0,-1;可能 有,两个 电子 的主 量子 数和 角量 子数 相同,根据 泡利 原理,它们21,21?值是sm的其 余两 个量 子数 至少 要有 一个 不相 同,它们 的 的可 能配 合如 下表 所示,sl m和 sl m和为了 决定 合成 的光 谱项,最好 从 的最 高数 值开 始,因为 这就 等于 L出现 的
liL mM最高 数值 。现 在,得最 高数 值是 2，因 此可 以得 出一个 D项。 又因 为这 个 只与LM LM相伴 发生,因 此这 光谱 项是 项。 除了 以外,也属 于0?
SM D1 2?LM 2,1,0,1LM这一 光谱 项,它们 都是 。这 些谱 项在 表中 以 的数 字右 上角 的记 号,。,表 示 。0?SM LM共有 两项 是 ； 有 三 项是 。 在 寻 找光 谱项 的过 程中,把 它0,1
SL MM 0,0SLMM们的 哪一 项选 作 项的 分项 并不 特别 重要 。 类 似 地可 以看 出有 九个 组态 属于 项,在 表 中D1 P3以 的
LM 碳原 子氮原 子
1sm2sm1lm2lm Si si Mm Li li Mm1/21/21 0 1 1*1/21/21 -11 0
*1/21/20 -11 -1*1/2-1/21 1 0 201/2-1/21 0 0 1
01/2-1/21 -10 01/2-1/20 1 0 1*1/2-1/20 0 0 01/2-1/20 -10 -1
*1/2-1/2-11 0 0*1/2-1/2-10 0 -101/2-1/2-1-10 -2
0-1/2-1/21 0 -1 1*-1/2-1/21 -1-1 0*-1/2-1/20 -1-1 -1
*
1sm2sm3sm1lm2lm3lm Si si Mm Li li Mm1/21/21/21 0 -13/2 01/21/21/20 1 -13/2 0
*
数字 右上 角的 记号,*” 表示 。剩 下一 个组 态,它 们只 能给 出一 个 项 。0,0SLMM S1因此,碳 原子 的光 谱项 是,和,而 没有 其它 的项 。D1 P3 S1因为 在碳 原子 中 项的 S为最 大,根 据 同科 电子 的洪 特定 则可 知,碳 原 子的 项应 最P
3 P3低。 碳原 子两 个价 电子 皆在 p次壳 层,p次壳 层的 满额 电子 数是 6，因 此碳 原子 的能 级是 正常次 序,是它 的基 态谱 项。
03P氮原 子的 三个 价电 子的 组态 是,亦 属同 科电 子。 它们 之间 满足 泡利 原理 的可pp22能配 合如 下表 所示 。 表中 删节 号表 示还 有其 它一 些配 合,相当 于此 表下 半部 给出 的 间以 及 间发 生交
smlm换。 由于 电子 的全 同性,那 些配 合并 不改 变原 子的 状态,即 不产 生新 的项 。 由表 容易 判断,氮 原 子只 有,和 。 根 据 同科 电子 的洪 特定 则,断 定 氮原 子 的D2 P2 S4基态 谱项 应为 。
2/34S5.6已知 氦原 子的 一个 电子 被激 发到 2p轨道,而 另 一个 电子 还在 1s轨道 。 试 作 出 能级跃 迁图 来说 明可 能出 现哪 些光 谱线 跃迁？ 解,1;1,0;2/1,1,0
2121 LSssll对于,单态 1P1,0LJS对于,三 重态
3P2,1,00,12,1JS根据 选择 定则,可 能 出现 5条谱 线,它 们 分别 由下 列跃 迁产 生,21P→ 1S0； 21P→ 21S023P0→ 23S1； 23P1→ 23S1； 23P2→ 3S1
1/21/21/2-10 1 3/2 0-1/2-1/2-1/21 0 -13/2 0*-1/2-1/2-1/20 1 -13/2 0-1/2-1/2-1/2-10 1 3/2 0
*· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1/21/2-1/21 0 1 1/2 21/21/2-1/21 0 0 1/2 11/21/2-1/21 0 -11/2 0
*1/21/2-1/2-10 0 1/2 -11/21/2-1/2-10 -11/2 -21/21/2-1/21 -11 1/2 11/21/2-1/21 -10 1/2 0
1/21/2-1/21 -1-11/2 -1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
3S13P03P1
3P21S03S1
1S0
1s2p1s2s1s1s
5.7原子 的能 级是 单层 和三 重结 构,三重 结构中 J的的 能级 高。 其锐 线系 的三 重Ca线的 频率,其 频率 间隔 为 。试 求其 频率 间隔 比值012 vvv 122011,vvvvvv。
12vv?解,原子 处基 态时 两个 价电 子的 组态 为 。 的锐 线系 是电 子由 激发 的 能 级Ca s4Ca s向 能级 跃迁 产生 的光 谱线 。与 氦的 情况 类似,对 组态 可以 形成 的原 子p4 ps4 0,1231PP和态,也就 是说对 L=1可以有 4个能 级。 电子 由诸 激发 能级 上跃 迁到 能级 上则 产生S
3 0,123P锐线 系三 重线 。 根据 朗德 间隔 定则,在 多重 结构 中能 级的 二相 邻间 隔 同有
122011,vvvvvv关的 J值中 较大 的那 一个 成正 比,因此,,所 以 。1,221vv 2112vv5.8原子 基态 的两 个价 电子 都在 轨道 。 若 其中 一个 价电 子被 激发 到 轨道,而Pb p6 s7
其价 电子 间相 互作 用属 于 耦合 。问 此时 原子 可能 有哪 些状 态？j Pb解,激发 后铅 原子 的电 子组 态是 。sp76
012121,1,22123 21;2123
21,21;0,1
21 21
21 2121,合成和 合成和 或 或
Jjj Jjj jj slslj
ssll?
因此,激 发后 原子 可能 有四 种状 态：Pb 。0112 212123123 ），，（），，（），，（），（ 5.9根据 LS耦合 写出 在下 列情 况下 内量 子数 J的可 能值
（ 1）,（ 2）,（ 3）2,3SL 27,3SL 23,3SL解,（ 1）因 为 SLSLSLJ,.....,1,所以,共 2S+1=5个值 。1,2,3,4,5?J
（ 2）类 似地,共有 7个值 。这里 L<S,其个 数等于 2L+1。21,1,2,213,214,215,216?J（ 3）同 样地,可 得,。21,1,2,213?J
第六章 磁场中的原子6.1已知 钒原 子的 基态 是 。 （ 1）问 钒原 子束 在不 均匀 横向 磁场 中将 分裂 为几 束？2/34F（ 2）求 基态 钒原 子的 有效 磁矩 。 解,（ 1） 原 子 在不 均匀 的磁 场中 将受 到力 的作 用,力 的大 小与 原子 磁矩 （ 因 而于 角动 量 ）
在磁 场方 向的 分量 成正 比。 钒原 子基 态 之角 动量 量子 数,角 动量 在磁 场方 向2/34F 2/3?J的分 量的 个数 为,因 此,基 态 钒原 子束 在不 均匀 横向 磁场 中将 分裂 为4123212J4束。
（ 2） JJ Pmeg2 15(1) 2JPJ
按 LS耦合,52156)1(2 )1()1()1(1 J SLJg215150.77465225
J B Bem
6.2已知 原子 跃迁 的光 谱线 在磁 场中 分裂 为三 条光 谱线,其 间距He 011SP?，试 计算 所用 磁场 的感 应强 度。厘米/467.0~v解,裂开 后的 谱线 同原 谱线 的波 数之 差为,
mcBegmgmv 4)(1'1~ 1122氦原 子的 两个 价电 子之 间是 LS型耦 合。 对 应 原 子 态,；,1P 1,0,12M 1,1,0JLS对应 原子 态，,。
01S 01?M 21.0,0,0 ggJLSmcBev?4/)1,0,1(~又因 谱线 间距 相等,。厘米/467.04/~ mcBev?
特斯拉。00.1467.04emcB?6.3漫线 系的 一条 谱线 在弱 磁场 中将 分裂 成多 少条 谱线？试 作出Li )23( 2/12/32 PD?相应 的能 级跃 迁图 。 解,在弱 磁场 中,不考 虑核 磁矩 。
能级,2/323D,23,21,2 jSl 54)1(2 )1()1()1(1 23,21,21,3
2 jj sljjgM能级,2/12P,21,21,2 jSl 3,21,21
1gM Lv )3026,3022,302,30,3022,3026(~所以,在 弱磁 场中 由 跃迁 产生 的光 谱线 分裂 成六 条,谱线 之间 间隔 不等 。
2/122/323 PD?
2D3/2
2P1/2
无磁 场 有磁 场 -3/2-1/M3/2106/3/
1/2-1/2
6.4在平 行于 磁场 方向 观察 到某 光谱 线的 正常 塞曼 效应 分裂 的两 谱线 间波 长差 是 。所 用的 磁场的 B是 2.5特斯 拉,试计 算该 谱线 原来 的波 长。A40.0解,对 单 重项 （ 自 旋等 于零 ） 之 间 的跃 迁所 产生 的谱 线可 观察 到正 常塞 曼效 应。 它 使 原来的 一条 谱线 分裂 为三 条,两个 成分,一 个 成分 。 成分 仍在 原来 位置,两 个 成分在 成分 两侧,且 与 成分 间的 波数 间隔 都是 一 个 洛仑 兹单位 L。?
又 2/)1(~,1~vv符号 表示 波长 增加 波数 减少 。 根 据 题设,把 近似 地看 作 成分 与 成分 间的 波长 差,则有,Lv
2/~?其中 mcBeL?4/?因此, AL 5.4140101405.4
7米6.5氦原 子光 谱中 波长 为 及)2131(1.678 121 PpsDdsA的两 条谱 线,在磁 场中 发生 塞曼 效应 时应 分裂 成几 条？ 分别)2131(1.7065
031 PpsSsA作出 能级 跃迁 图。 问哪 一个 是正 常塞 曼效 应？ 哪个 不是？为 什么？ 解,（ 1） 。1,0,1,2,2,0,2 2221 gMJSLD谱项,1,0,1,1,0,1
111 gMJSLP谱项,。 可 以 发生 九种 跃迁,但 只 有三 个波 长,所 以 的光 谱 线Lv )1,0,1(~ A1.6678?
分裂 成三 条光 谱线,且 裂开 的两 谱线 与原 谱线 的波 数差 均为 L，是 正常 塞曼 效应 。（ 2）对 2,0,1,1,1,0 2213 gMJSLS能级,000,0,0,1,1
111103 gMgMJSLP,能级：对,所 以 的光 谱线 分裂 成三 条,裂开 的两 谱线 与原 谱Lv )2,0,2(~ A1.7065?线的 波数 差均为 2L，所 以不 是正 常塞 曼效 应。
6.6 跃迁 的光 谱线 波长 为,在 B=2.5特斯 拉2/122/12 33 SPNa?原子从?A5896的磁 场中 发生 塞曼 分裂 。 问 从 垂直 于磁 场方 向观 察,其 分 裂为 多少 条光 谱线？其 中波 长最 长和最 短的 两条 光谱 线的 波长 各为 多少？A
解,对于 32,21,21,21,13 222/12 gMJSLP能级：对于 2,21,21,21,03 112/12 gMJSLS能级：
，所 以从 垂直 于磁 场方 向观 察,此谱 线分 裂为 四条 。Lv )34,2,3,34(~根据 塞曼 效应 中裂 开后 的谱 线同 原谱 线波 数之 差的 表达 式：,
2/)1(~v Lv 34/~2因此,波 长改 变 为： AL54.0342
所以,最 长的 波长 为：max A54.5896max最短 的波 长 为：
min A46.5895min6.7 跃迁 的精 细结 构为 两条,波 长分 别为 5895.93埃和SPNa 33?原子从
5889.96埃。 试求 出原 能级 在磁 场中 分裂 后的 最低 能级 与 分裂 后的 最高 能级 相2/32P 2/12P并合 时所 需要 的磁 感应 强度 Ｂ。
解,对 ;34,21,23,23,21,12/32 gMjslP能级,磁场 引起 的附 加能 量为,;32,21,21,21,12/12 gMjslP能级,B
mheMgE?4设 对应 的能 量分 别为,跃 迁 产,,,2/12/12/32 SPP 012,,EE,,2/122/12/122/32 SPSP生的 谱线 波长 分别 为 ；那 么,。 能级 在磁 场中
12, AA 93.585,96.58 12 P2发生 分裂,的附 加磁 能分 别记 为 ； 现 在 寻求 时 的,,2/12/32 PP 12,EE 1122 EEEEB。 BmehgMgMEEEE?4)(
22112112由此 得,mceBgMgMhcEEEE?4)()()( 22112112即,mceBgMgM 4)(11
221112因此,有,)11(14
122211 gMgMemcB其中,将 它们 及各 量代 入上 式得,2,312211gMgMB=15.8特斯 拉。6.8已知 铁的 原子 束在 横向 不均 匀磁 场中 分裂为 9束。问 铁 原子的 J值多 大？ 其有 效 磁矩多 大？ 如果 已知 上述 铁原 子的 速度,铁 的原 子量为 55.85，磁 极范 围秒米 /103?v，磁 铁到 屏的 距离,磁 场中 横向 的磁 感应 强度 的不 均匀 度 03.01 米?L 10.02 米?L特斯 拉 /米,试求 屏上 偏离 最远 的两 束之 间的 距离 d。
310?dydB解,分裂 得条 数为 2J+1,现 2J+1=9。所以 J=4,有效 磁矩 3为：
BJJ JgPmeg )1(2而 52)1(J对 原子 态：,因 此D
5 23,2,2gSL 2231021.653 米安BJ
与第 二章 11题相 似，
212122 0
1 1',/,,vLdydBmMgvLdydBmvvLtgLS NAmtgvv vLdydBmv vLtdydBmmfatv
ByFeFe
y y
而?
将各 量的 数值 代入 上式,得,米31079.1'S原子 束在 经过 磁场 距离 后,偏离 入射 方向 的距 离：1L
BMgvLdydBmS?21)(21其中,,可 见,当 时,偏离 最大 。把 代 入 上 式,得,0,1,2,3,4M 4M 4M
BFe vLdydBANS?234)(2 210把各 量的 数值 代入 上式,得,米。31079.2S所以,米。
31018.9)'(2SSd6.9铊原 子气 体在 状态 。当 磁铁 调到 B=0.2特斯 拉时,观 察到 顺磁 共振 现象 。问2/12P微波 发生 器的 频率 多大？
解,对 原子 态：2/12P 32,21,21,1 gJSL由 Bghv得 hBgv /
代入 各已 知数,得 。19109.1秒v6.10钾原 子在 B=0.3特斯 拉的 磁场 中,当交 变电 磁场 的频 率为 赫兹 时观 察到9104.8?顺磁 共振 。试 计算 朗德 因子,并 指出 原子 处在 何种 状态？g解,由公 式,得,Bghv 2?g
钾外 层只 有一 个价 电子,所 以 slsljs 或,21又 )1(2 )1()1()1(1 jj sljjg将 代入 上式,得 到：sjlg和2
2)1(2 )1()1)(()1(1 jj ssjsjjjg整理,得,0)1(2 sjsj当 时,上方 程有 两个 根：21?s 1,21
21jj当 时,上方 程有 两个 根：21s 1,2143jj由于 量子 数不 能为 负数,因 此 无意 义,弃之 。
432,,jjj
02121211lljjj?因此 钾原 子处 于 状态 。212S6.11氩原 子 （ Z=18） 的 基 态为 ； 钾 原 子 （ Z=19） 的 基 态为 ； 钙 原 子 （ Z=20） 的
01S 212S基态 为 ； 钪 原 子 （ Z=21） 的 基 态为 。 问 这 些原 子中 哪些 是抗 磁性 的？ 哪些 是顺 磁 性01S 232D的？ 为什 么？ 答,凡 是 总磁 矩等 于零 的原 子或 分子 都表 现为 抗磁 性； 总 磁 矩不 等于 零的 原子 或分 子 都表现 为顺 磁性 。 而总 磁矩 为 BJJ JgPmeg )1(2氩原 子的 基态 为,故氩 是抗 磁性 的。
01S 00,0,0 JJSL?所以有同理,钙 也是 抗磁 性的 。 钾原 子的 基态 为,,故 钾 是顺 磁性 的 。
212S 02,21,21,0 JgJSL?，所以有钪原 子的 基态 为,,故 钪是 顺磁 性232D 054,23,21,2 JgJSL?，所以有的。 6.22若已 知钒 （ ）,锰 （ ）,铁 （ ）的 原子 束,按照 史特 恩 -盖拉 赫实 验方 法F4 S6 D5通过 及不 均匀 的磁 场时,依 次分 裂成 4,6和 9个成 分,试确 定这 些原 子的 磁矩 的最 大投 影值。 括号 中给 出了 原子 所处 的状 态。
解,原子 的磁 矩 在磁 矩方 向的 分量 为J? Z?BZMg其中 M=J,J-1,…… -J； 式 中 的负 号表 示当 M是正 值时,和磁 场方 向相 反,当 M是负 值 时
Z?和磁 场方 向相 同。Z?在磁 场中有 2J+1个取 向。 在磁 场中 的最 大分 量：
J? J? BZ Jg最大对于 钒（ ）,因 为 2S+1=4，所 以,自旋 S=3/2F4因为是 F项,所以 角量 子数 L=3,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 4个成 分,则有2J+1=4，所以 J=3/2。
根据 S,L,J值求得 g为,52)1(2 )1()1()1(1 J SLJg
BBBZ Jg 535223最大锰（ ）,因为 2S+1=6，所 以,自旋 S=5/2S6因为是 S项,所以 角量 子数 L=0,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 6个成 分,则有2J+1=6，所以 J=5/2。
因为 L=0,所以 g=2,BBZ Jg 5最大铁（ ）,因为 2S+1=5，所 以,自旋 S=2D5因为是 D项,所以 角量 子数 L=2,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 9个成 分,则有2J+1=9，所以 J=4。
根据 S,L,J值求得 g为,23)1(2 )1()1()1(1 J SLJg
BBBZ Jg 6234最大第七章 原子的壳层结构7.1有两 种原 子,在 基 态时 其电 子壳 层是 这样 添充 的：（ 1） n=1壳层,n=2壳层和 3s次壳层 都填 满,3p次 壳 层 填 了 一 半 。（ 2） n=1壳层,n=2壳层,3壳层及 4s,4p,4d次壳 层都填 满。 试问 这是 哪两 种原 子？ 解：根 据 每个 壳层 上能 容纳 的最 多电 子数 为 和每 个次 壳层 上能 容纳 得最 多电 子数 为2n。)12(?l
（ 1） n=1壳层,n=2壳层 填满 时的 电子 数为,1021223s次壳 层填 满时 的电 子数 为,2)102(
3p次壳 层填 满一 半时 的电 子数 为,3)12(21所以 此中 原子 共有 15个电 子，即 Z=15，是 P(磷 )原子 。（ 2） 与（ 1）同 理,n=1,2,3三个 壳层 填满 时的 电子 数为 28个4s,4p,4d次壳 层都 填满 的电 子数为 18个。所以 此中 原子 共有 46个电 子，即 Z=46，是 （钯 ）原 子。Pd
7.2原子的 3d次壳 层按 泡利 原理 一共 可以 填多 少电 子？ 为什 么？答,电 子的 状态 可用 四个 量子 来描 写。 根 据泡 利原 理,在 原 子中 不能 有两 个slmln,,电子 处在 同一 状态,即 不能 有两 个电 子具 有完 全相 同的 四个 量子 数。 3d此壳 层上 的电 子,其 主 量子 数 和角 量子 数 都相 同。 因 此,该 次壳 层上 的任 意两 个n l电子,它 们 的轨 道磁 量子 数和 自旋 磁量 子数 不能 同时 相等,至 少 要有 一个 不相 等。 对 于一 个给定 的 可以 取 个值 ；对 每个 给定 的 的取 值是lml,12;,....,2,1,0 llml 共有 slm,，共 2个值 ；因 此,对每 一个 次壳 层,最多 可以 容纳 个电 子。2121?或 l ）（ 12?l3d次壳 层的,所以 3d次壳 层上 可以 容纳 10个电 子,而不 违背 泡利 原理 。2?l7.3原子的 S,P,D项的 量子 修正 值 。把 谱项 表Na 01.0,86.0,35.1
Dps达成 形式,其中 Z是核 电荷 数。 试计算 3S,3P,3D项的 分别 为何 值？ 并说22)(nZR明 的物 理意 义。
解,原子 的光 谱项 可以 表示 为 。Na 2*/nR因此 。Znnn*由此 得,)/(nZ?
故,1001.033116.986.031118.935.1311DPS的物 理意 义是,轨 道贯 穿和 原子 实极 化等 效应 对价 电子 的影 响,归 结 为内 层电 子对 价?电子 的屏 蔽作 用。
7.4原子 中能 够有 下列 量子 数相 同的 最大 电子 数是 多少？ 。nlnmln )3(;,)2(;,)1(答,（ 1） 相同 时,还可 以取 两个 值,；所 以此 时最 大电mln,
sm 21,21ss mm子数为 2个。
（ 2） 相同 时,还可 以取 两 个值,而 每一 个 还可 取两 个值,所 以ln,lm 12?l sm ln,相同 的最 大电 子数 为 个。)12(?l（ 3） 相同 时,在（ 2）基 础上,还可 取 个值 。因 此 相同 的最 大电 子数 是：n l n n
210 )12( nlNnl7.5从实 验得 到的 等电 子体系 KⅠ,CaⅡ …… 等的 莫塞 莱图 解,怎样 知道 从钾 Z=19开始不 填 次壳 层,又从钪 Z=21开始 填 次壳 层？sd43而填 sd43而不填解,由图 7— 1所示 的莫 塞莱 图可 见,相交于 Z=20与 21之间 。当 Z=19和SD2243和20时,的谱 项值 大于 的值,由 于 能量 同谱 项值 有 的关 系，可 见从钾 Z=19S24 D23 hcTE起到钙 Z=20的 能级 低于 能级,所 以钾 和钙 从第 19个电 子开 始不 是填S
24 D23 sd43而填次壳 层。 从钪 Z=21开始,谱项 低于 普项,也 就是 能级 低于 能级,所 以,S24 D23 D23 S24从钪 Z=21开始 填 次壳 层。sd43而不填
7.6若已 知原 子阿 Ne,Mg,P和 Ar的电 子壳 层结 构与,理想,的周 期表 相符,试 写出 这些原子 组态 的符 号。 解,Ne原子有 10个电 子,其电 子组 态为,； Mg原子有 12个电 子,其电6221pss子组 态为,Ne的壳 层 +； P原子有 15个电 子,其电 子组 态为,Ne的壳 层 +；
23s 323psAr原子有 18个电 子,其电 子组 态为,Ne的壳 层 +。6233ps第八章 X射线
8.1某 X光机 的高 压为 10万伏,问 发 射光 子的 最大 能量 多大？算 出发射 X光的 最短 波长。 解,电子 的全 部能 量转 换为 光子 的能 量时,X光子 的波 长最 短。 而光 子的 最大 能量 是：电子 伏特5
max 10Ve?而 minmax ch?
所以 Ach 124.01060.1101031063.6 195 834maxmin
8.2利用 普通 光学 反射 光栅 可以 测定 X光波 长。当 掠 射角 为 而出现 n级极 大值 出射 光?线偏 离入 射光 线为,是偏 离 级极 大出 射线 的角 度。 试证,出现 n级极 大的 条件2是 nd2sin22sin2为光 栅常 数（ 即两 刻纹 中心 之间 的距 离）。 当 和 都很 小时 公式 简化 为d
。 nd)2( 2解,相干 光出 现极 大的 条件 是两 光束 光的 光程 差等 于 。而 光程 差为,?n2sin22sin2)cos(cos dddL根据 出现 极大 值的 条件,应 有?nL
nd2sin22sin2当 和 都很 小时,有 22sin;2222sin由此,上 式化 为,;)2( nd
即 nd)2( 28.3一束 X光射 向每 毫米 刻有 100条纹 的反 射光 栅,其 掠 射角为 20＇。 已 知 第 一 级 极 大出现 在离 0级极 大出 现射 线的 夹角 也是 20＇。 算 出入射 X光的 波长 。解,根据 上题 导出 公式, nd
2sin22sin2由于,二 者皆 很小,故 可用 简化 公式,'20,'20 nd)2( 2
由此,得, And 05.5)2(;8.4已知 Cu的 线波 长是 1.542,以此 X射线与 NaCl晶体 自然 而成 角入 射?K?A '5015?而得 到第 一级 极大 。试求 NaCl晶体 常数 。d
解,已知 入射 光的 波长,当 掠射 角 时,出现 一级 极大 （ n=1） 。?A542.1? '501 Addn 825.2sin2sin2
8.5铝 （ Al） 被 高速 电子 束轰 击而 产生 的连续 X光谱 的短 波限为 5。 问 这 时是 否也 能?A
观察 到其 标志谱 K系线？解,短波 X光子 能量 等于 入射 电子 的全 部动 能。 因此 电子 伏特31048.2ch电要使 铝产 生标 志谱 K系,则 必 须使 铝的 1S电子 吸收 足够 的能 量被 电离 而产 生空 位,因此轰 击电 子的 能量 必须 大于 或等于 K吸收 限能 量。 吸收 限能 量可 近似 的表 示为,
22 )(ZnRhcEK这里,；所 以有,13,0,1Zn?
1030.2 1031063.610097.116913133 834722电子伏特hcRRhcEK故能 观察 到。 8.6已知 Al和 Cu对于 的 X光的 质量 吸收 系数 分别 是A7.0?,Al和 Cu的密 度分 别是 和公斤米公斤和米 /0.5/5.0
22 33 /107.2 米公斤?。现 若分 别单 独用 Al板或 Cu板作 挡板,要 的 X光的 强度33 /1093.8 米公斤A7.0?减至 原来 强度的 1/100。问 要选 用的 l板或 u板应 多厚？
解：,A7.0? 公斤米公斤；米 /0.5)(/5.0)( 22 CuAl 3333 /1093.8/107.2 米公斤，米公斤 CuAl
xeIIII001001因为 X光子 能量 较低,通 过物 质时,主 要是 电离 吸收,故 可只 考虑 吸收 而略 掉散 射。
xxeIIeII100100所以 有,100ln1x
对于 Al,公斤米 /5.02
米 米米公斤公斤米 3 13332 1041.3100ln1 1035.1/107.2/5.0Alx对于 Cu,公斤米 /0.52
米 米米公斤公斤米 4 14332 1003.1100ln1 10465.4/1093.8/0.5Cux8.7为什 么在 X光吸 收光 谱中 K系带 的边 缘是 简单 的,L系带 是三 重的,M系带 是五重的？ 答,X射线 通过 物质 时,原子 内壳 层电 子吸收 X射线 能量 而被 电离,从 而产 生吸 收谱中带 有锐 利边 缘的 多个 线系 。 吸 收 谱的 K,L,M,…… 系是 高能 X光子 分别将 n=1,2,3… …
壳层 的电 子电 离而 产生 的。 每 一谱 线的 锐边 相当 于一 极限 频率,在 这 频率 下,X光子 恰好 把电子 从相 应壳 层电 离而 不使 其具 有动 能。 对应于 X射线 能级 的谱 项公 式是, )43()()( 44222 KnnSZRnZRT式中 对不 同的 和不 同的 都不 同,K=J+1/2。由于 J不同 也有 不同 的谱 项数 。对于 K壳?n l
层,,只有 一个 值,只 有 一个 光谱 项,所以 K系带 的边 缘是 简单 的。 对 于21,0,1Jln?L壳层 可以 有三 组量 子数 。此 三组 量子 数2?n )23,1(),21,1(),21,0( JlJlJl分别 对应 有三 种谱 项值,所 以,L系有 三个 吸收 限,即 是 三重 的。 M壳层,,可以 有 五3?n组量 子数,。 此 五)25,2(),23,2(),23,1(),21,1(),21,0( JlJlJlJlJl
组量 子数 分别 对应 五个 光谱 项值,所以 M系带 有五 个吸 收限,即 是五 重的 。同 理可 知,N系是 七重 的。 Ｏ系 是九 重的 。 8.8试证明 X光标 识谱 和碱 金属 原子 光谱 有相 仿的 结构 。证明,我 们以 光谱 L系与 碱金 属光 谱进 行比 较。 L系是 由外 层电 子向 L壳层 （ n=2）上的 空位 跃迁 时发 射的 。 它 可 分成 三个 小系 。 系是 电子 由诸 ｎ＞ ２的 能级 向 能级 跃
IL p s2迁产 生的 。 能级 是单 层的,能级 是双 层的 且间 隔随 的增 大而 逐渐 减小 。所 以 系由s p n IL双线 构成 且随 波数 增加 而双 线间 隔缩 小。对 应 的碱 金属 主线 系也 是诸 能级 向较 低的 能 级p s跃迁 产生 的,而,能级 结构与 X能级 相仿 。 所 以其 光谱 具有 相仿 的结 构。 系是 由 诸ps
IL的 能级 跃迁到 2P能级 上产 生的,而 是单 层的,是双 层的 。 所 以 系谱 必是 由 一3?n s p IL组等 间距 的双 线构 成。 系对 应于 碱金 属第 二辅 线系 的跃 迁。 它们 有相 仿的 结构 。同 理，
IL系与 碱金 属第 一辅 线系 有相 仿结 构。 其他 X光谱 系也 具有 同金 属相 仿的 结构 。IL
X光标 志谱 之所 以与 碱金 属原 子光 谱具 有相 仿的 结构,在 于满 壳层 缺少 一个 电子 形成 的原子 态同 具有 一个 价电 子的 原子 态相 同。 X能级 是有 满壳 层缺 少一 个电 子构 成的 ； 碱 金属 能级是 一个 价电 子形 成的 。 根 据 第七 章习题 8的证 明,它 们 应有 相同 的谱 项,因 而具 有相 仿 的结构 。在 跃迁 是,它们 服从 同样 的选 择定 则,因此 它们 应有 相仿 的光 谱线 系。
第九章 分子结构和光谱9.1分子 的远 红外 吸收 光谱 是一 些 等间 隔的 光谱 线。 试 求
rHB 194.16~厘米v rHB分子 的转 动惯 量及 原子 核间 的距 离。 已知 和 的原 子量 分别为 1.008和 79.92。HrB解：远 红外 光谱 是由 分子 的转 动能 级跃 迁产 生的,谱 线 间隔 都等于 2B。 即 ……Bv2~（ 1）
而 …… （ 2）IchB28/由（ 1）,（ 2）两 式可 得：
米 米千克 1021 24722 1042.1)( 10302.3~88 BrHBrHmIIr cvhBChI9.2HCl分子 有一 个近 红外 光谱 带,其相 邻的 几条 谱线 的波 数是,。 H和 Cl的原 子量 分别是－１厘米49.281,56.2843,09.2865,5.2906,78.295
1.008和 35.46。试 求这 个谱 带的 基线 波数 和这 种分 子的 转动 惯量 。0~v解,由谱 线的 波数 之差 可见,除 之外,其 他相 邻谱 线之 差近09.286525.2906?乎相 等。而 2906.25和 2865.09之差 相当 于其 他相 邻谱 线之 差的 二倍 。显 然这 是一 个振 动转动谱 带。 上述 两谱 线之 间有 一空 位,此空 位即 是只 有振 动跃 迁是 的基 线波 数 。给 出五 条
0~v谱线 中,显 然,头 两条 属于 R分支,其 波 数按 大小 顺序 分别 记为 ； 后 三 条属于 P分12~,~RRvv支,其波 数按 大小 顺序 分别 写作 。
3,2,1~~PPPvvvR分支 的谱 线波 数近 似地 由下 述公 式决 定, ,2,1','2~~0 JBvvRP分支 的谱 线波 数近 似地 由下 述公 式决 定, ,2,1','2~~
0 JBvvP因此 有,(Ⅰ ) ）（ ）（ 22~~ 12~~
0101 BvvvvPR(1)-(2)式,得,29.104~~11PRvvB
(Ⅱ ) ）（ ）（ 44~~ 34~~0202 BvvvvPR(3)-(4)式,得,,28.108~~22PRvvB 285.10228.1029.10B
转动 惯量 为,2472 1072.8 米千克BchI?由 (Ⅰ ),(Ⅱ )，得 基线 波数 为,11
21120 28851717.2885)~~~~(41~ 米厘米PPRR vvvvv
9.3Cl原子 的两 同位 素 分别与 H化合 成两 种分 子 。试 求这3735ClCl和 3735HClHCl和两种 分子 的振 动光 谱中 相应 光谱 带基 线的 频率 之比 。0v解,
002.1212
1~~;~
353537
37 1
2212121210201 2211?
ClHClHClH
ClHmmmm mmK
mKffvCvvv uvuv
9.4试证 明双 原子 分子 相邻 振动 能量 之间 跃迁 时发 射光 的频 率与 两核 间固 有振 动频 率一致 。假 设两 原子 间相 互作 用力 为弹 性力 。 证明,在 同一 电子 态中,有 振动 能级 的跃 迁时 发光 频率 由下 式决 定：v 12EEhv波数 为,
xuuu buaubuauhchcEEv )1')('()'( ]})21()21[(])21'()21'{[(11~ 12式中 。是固有振动频率fcfhcaabx ;//,/若原 子间 为弹 性作 用,第二 项或 能级 修正 项 应略 去。 因此bu
2)1(?,也就 是 ； 对于 相应 能级, 3,2,1,)'(~ uuuv3,2~，v，1uv~
而 ；所 以两 相邻 能级 间跃 迁时 发射 光的 频率 为：cf/ fvCv~9.5怎样 解释 分子 的组 合散 射有 下列 两个 特点,（ 1） 波长 短的 伴线 比波 长长 的伴 线的 强度 弱；（ 2） 随散 射体 温度 的升 高，波 长短 的伴 线强 度明 显增 强而 波长 长的 伴线 的强 度几 乎不变 。
解,（ 1）根 据统 计分 布律,处 在较 高能 级的 分子 数少 于处 在较 低能 级的 分子 数。 因此,分子 在纯 转动 能级 间的 受激 辐射 比受 激吸 收要 弱得 多。 辐 射 的能 量归 并于 原光 子,吸 收 的 能量取 自原 光子 。因 而波 长短 的伴 线比 波长 长的 伴线 的强 度弱 的多 。
（ 2）按 玻尔 兹曼 分布 律，,是处 在高 能级 上的 分子KTEEii ieggNN /)(00 0 iN iE数,是处 在低 能级 上的 分子 数。 是对 应的 权重 。可 见当 T增高 时,位于 较高0N 0E 0,gi能级 上的 分子 数 就会 明显 增多 。因 而,随温 度升 高,波长 短的 伴线 的强 度明 显增 强。 而
iN在一 般温 度范 围内,处 于低 能级 （ 通 常是 基态 ） 上 的分 子数 变化 不十 分显 著,因 而 波长 长 的伴线 的强 度几 乎不 变。 9.6光在 HF分子 上组 合散 射使 某谱 线产 生波 长 为两 条伴 线。 试由 此
AA34302670和计算 该分 子的 振动 频率 和两 原子 间已 知的 原子 量分 别为 1.008和 19.00。解,设两 条伴 线的 频率 分别 为,则"' vv和 ;";'
1010 vvvvv式中 是入 射频 率； 是振 动谱 带频 率。 由上 两式 可得,0v 1v Hzcvv vvv
1411 1024.1)'1'1(2)"'(2' "'而,mKv?21
1? 米牛顿 /1065.9)()2( )2()2(
2021 2121 FHFH FHFHAANv mmvmvK
第十章 原子核10.1的质量 分别 是 1.0078252和 1.0086654质量单 位,算出 中每个 核子nH
101和 C126的平 均结 合能 （ 1原子 量单 位 = ）,2/5.931cMeV解,原子 核的 结合 能为,MeVmNmZEE
AH 5.931)(核子 的平 均结 合能 为,AEE?0
MeVMeVmNmZEAE AnH 680.75.931)(110.2从下 列各 粒子 的质 量数 据中 选用 需要 的数 值，算 出 中每 个核 子的 平均 结合 能,Si301407825.1,97386.2 0865.1,01402.2,0548.
13014 1021HSi ne解,MeVMeVmNmZmAAEE ASinH 520.85.931)(1
101010.3放射 射线成为,从含有 1克 的一片薄膜测得每秒放射 4100粒Th23290R22888 Th23290粒子,试计 算出 的半 衰期 为 年,? Th
23290 104.1?解,根据 放射 性衰 变规 律,teNN0如果在短时间 内有 个核衰变,则衰变率 必定与当时存在的总原子核数目 成dt dN dtdN/ N正比,即,
teNNdtdN 0此式 可写 成,…… （ 1）
0NdtdNet其中
20230 23'
'00 1261231002.6,23,1002.6,1;1,410N AN ANNtdtdNNdtdNet 故克 克秒
将各 已知 量代 入（ 1）式,得,…… （ 2）1820 10264110264100e因为 的半 衰期 为 年,所 以 可视 为很 小,因 此 可以 将 展成 级数,取Th
23290 104.1e前两 项即 有,1e这样 （ 2）式 变为,
181026411
由此 得,年秒秒 101818 104.110438.02ln /1058.1T
所以,的半 衰期 为 年,Th23290 104.1?10.4在考古 工作 中,可以从 古生 物遗 骸中 的含量 推算 古生 物到 现在 的时 间,设C14 t?是 古 生 物 遗 骸 中 和 存 量 之 比,是 空 气 中 和 存 量 之 比,是 推 导 出 下 列 公C
14C12 0? C14C12式,式中 T为 的半 衰期,2ln)/ln(0Tt? C14
推证,设古 生 物 中 的含 量 为 ;刚死 时 的 古 生 物 中 的含 量 为 ;现C12 )(12CN C14 )(140CN在古 生物 遗骸 中 的含 量为 ;根据 衰变 规律,有,C14 )(14CN teCNCN)()( 14014由题 意知,;)()(
1214CN古生物 刚死 时 的含量 与 的含量 之比 与空 气二 者之 比相 等,所C14 C12 )()(121400 CN
以,te0因此 得,
2ln)/ln(ln1ln 000 Ttt10.5核力在 原子 核大 小的 距离 内有 很强 的吸 引力,它 克服 了质 子间 的（ 元素 氢除 外，那里 只有 一粒 质子 ） 库 仑 推斥 力的 作用 而使 原子 核结 合着,足 见 在原 子核 中核 力的 作用 超 过质子 间的 库仑 推斥 力作 用； 从 质 子间 推斥 力的 大小 可以 忽略 地了 解到 核力 大小 的低 限。 试 计算原 子核 中两 粒质 子间 的库 仑推 斥力 的大 小（ 用公 斤表 示）。（ 质子 间的 距离 用 米）1510?解,库 仑 力是 长程 力,核 力 的一 个质 子与 其它 所有 的质 子都 要发 生作 用,所 以在 Z个 质子间 的库 仑排 斥势 能将 正比于 Z(-1),当 Z>>1时,则 正比 于 。 根 据 静电 学的 计算 可知,2Z
每一 对质 子的 静电 斥力 能是,R是核 半径 。 若 二 质子 间的 距离为 R,它 们 之间 的 库ReE562?
仑力 为,则 有,由 此得,f EfR?2256ReREf
采用 SI制,则,,18.248.2765641220 公斤牛顿Ref所以,原子 核中 二质 子之 间的 库仑 力为 28.18公斤,10.6算 出 的 反 应 能,有 关 同 位 素 的 质 量 如HeapLi 4
273 ),(下,,015999.7,;002603.4,;007825.1,73421 LiHeH解,核反 应方 程式 如下,HeHepLi
4242173MeV MeVcmmmmQ35.17 5.931)]02603.42()07825.130159.7[( )]()[( 23210
反应 能是,大于 零,是放 能反 应,eV35.1710.7在第六题的核反应中，如果以 1MeV的质子打击,问在垂直于质子束的方向观Li测到 的 能量 有多 大？He42解,根 据 在核 反应 中的 总质 量和 联系 的总 能量 守恒,动 量 守恒,可 知,反 应所 产生 的 两个相 同的 核应 沿入 射质 子的 方向 对称 飞开 。如 图所 示。He42根据 动量 守恒 定律 有,321 PPP矢量 合成 的三 角形 为一 个等 腰三 角形,二底 角皆 为,
321,,PP又因 为,因而 有32mm? 32EE?已知 反应 能,由能 量守 恒定 律得,其中MeVQ35.17?
132 EEEQ MeVE11?由此 可得,MeVEQEE 175.9)(21132反应 所生 成的 粒子 其能 量为 9.175MeV.?核飞 出方 向与 沿入 射质 子的 方向 之间 的夹 角为,He
42cos22122123 PPPP由于 MEP2
2?
所以 得,?cos2)1()1( 32121131232 AEEAEAQ(质量 之比 改为 质量 数之 比 )
'1685 0825.0432cos cos432
:4,1
21 12
2112 321
EEQEEEEQAAA 代入上式得由此 可知,垂直 于质 子束 的方 向上 观察 到的 的能 量近 似就是 9.175MeV。He4210.8试计算 1克 裂变 时全 部释 放的 能量 约为 等于 多少 煤在 空气 中燃 烧所 放出 的 热U235能（ 煤的 燃烧 约等 于 焦耳 /千克 ； 焦 耳 ）。
6103? 1306.11MeV解,裂变 过程 是被 打击 的原 子核 先吸 收中 子形 成复 核,然后 裂开 。 YXUnU2369102359我们知道，在 A=236附近，每个核子的平均结合能是 7.6MeV；在 A=118附近，每一个核子 的平 均结 合能 量是 8.5MeV。 所 以 一个 裂为 两个 质量 相等 的原 子核 并达 到稳 定态 时,总共放 出的 能量 大约 是,MeVMeVMeV 2106.72365.822362
而 焦耳,所 以,。1306.11MeV 焦耳111036.31克 中有 N个原 子；U235
焦耳102106.81056.2NEAMNN它相 当的 煤质 量 。吨公斤 6.2106.23M10.9计算按照（ 10.8-1）式中前四式的核聚变过程用去 1克氘所放出的能量约等于多少煤 在空 气中 燃烧 所放 出的 热能 （煤 的燃 烧热 同上 题）。
解,四个 聚变 反应 式是,完成 此四 个核 反应 共用 六个,放 出能量 43.2MeV，平 均每 粒 放出 7.2MeV，单H2 H2位质 量的 放出 3.6MeV。 1克氘 包含 N粒,则H2 H2
230 100.3AMNN所以 1克氘 放出 的能 量约 等于,焦耳1124 105.3102.2.7 MeVMeVNE
与它 相当 的煤,吨公斤 6.10106.103aEM10.10包围 等离 子体 的磁 通量 密度 B是,算 出被 围等 离子 体的 压强 。2/2米韦伯解,根据 公式,得：
0202 22外内内 BBP,式 中 是等 离子 体的 压强 ； B是磁 通密 度； 是真 空中 的磁 导 率,020222外内内 BBP 内P 0?
等于,设 小到 可以 忽略,则 得 到：米亨 /1047 内B 2502 /1092.152 米牛顿外内BP因,故
24 /1013.101 米牛顿大气压 大气压内 7.15?P第十一章 基本粒子
11.1算出原子核中两个质子间的重力吸引力和静电推斥力。可以看出重力吸引力远不足以 抵抗 静电 推斥 力。 这 说 明原 子核 能够 稳固 地结 合着,必 有 更强 的吸 引力 对抗 库仑 力而 有余。 解：原子核中两个质子间的静电斥力势能近似为,R是原子核半径,是电子电荷Re2 e
绝 对 值 。 因 此,两 个 质 子 间 的 排 斥 力 近 似 地 为 。 注 意 到22ReF?则,10,1080.4 1310 cmRCGSEe )(50.23公斤力?F如 果 把 R视 作 两 质 子 间 的 距 离,则 它 们 间 的 重 力 吸 引 力 f可 估 算 如下,)(1085.2352 公斤力Rmrf pp
由上 面的 结果 看出,重 力 吸引 力远 不能 抵消 库仑 斥力 。 原 子 核能 稳固 地存 在,质 子 间 必有强 大的 吸引 力。 这种 力就 是核 力。 11.2在 介子撞击质子的实验中，当 介子的实验室能量为 200MeV时,共振态的激发 最大,求 的质 量。解,介子 的动 能? MeVT200?
介子 的静 能? MeVMeVcm 140511.02732介子 的总 能量? MeVcmTE 340
2实验 室系 中 介子 的动 量是? cMeVcmEcP /310)(1 222质子 的静 能 MeVcm
p 9382?共振 粒子 的总 能量 等于 介子 总能 量和 质子 静能 之和,E?MeVcmEE
p 12782碰撞 前质 子静 止。根 据 动量 守恒 定律,粒子 的动 量 等于 介子 的动 量,P PP:根据 狭义 相对 论,粒子 的质 量 由下 式决 定：?
m 2222 /1240)(1 cMeVcpEcm与 粒子 的质 量相 联系 的能 量是,? eV124011.3在下 列各 式中,按 照 守恒 定律 来判 断,哪 些反 应属 于强 相互 作用,哪 些 是弱 相互 作用,哪些 是不 能实 现的,并 说明 理由 。
.)7()6()5()4(
)3()2()1(
000 00
K Knpppppn
vveepeep e
解,（ 1） 左 侧 重子 数是 +1,右 侧 重子 数是 0,衰 变 前后 重子 数不 相等 。 三 种 基本 相互 作用重 子数 都要 守恒 。因 此,所列 衰变 实际 上是 不存 在的 。 （ 2）左侧轻子数是 0，右侧轻子数是 +1，衰变前后轻子数不相等。这种衰变方式不能实现,因 为三 种基 本相 互作 用都 要求 轻子 数守 恒。 （ 3）两 侧 轻子 数都 是 +1，守 恒。 但左 侧电 轻子 数是 0，右 侧电 轻子 数是 +2，电 轻子?数不 守恒 。这 种衰 变实 际上 也不 能出 现,因为 三种 基本 相互 作用 要求 两类 轻子 数分 别守 恒。
（ 4） 左 侧奇 异数是 0,右 侧奇 异数 是 -2。 奇 异数 不守 恒,只 可 能是 弱相 互作 用。 这 个 作用没 有轻 子参 加。 实际 存在 的这 种类 型的 弱相 互作 用,要满 足,而 这里 的 。1s 2s因此,这 种过 程实 际上 是不 存在 的。 （ 5）光 子 的 重 子 数 和 奇 异 数 都 是 0。 的重 子 数 是 +1,的重 子 数 是 奇 异 数 是 -1。p p的奇 异数 都是 0。 的同 位旋 相同 。所 列反 应重 子数 和奇 异数 分别 守恒,不 可能pp和 pp和是弱相互作用。质子 和反质子,通常在强作用下湮灭后转变成若干个介子。这里所列p p的反 应,可以 在电 磁相 互作 用下 实现 。 （ 6）反应前奇异数是 0，反应后是 +2，奇异数不守恒。奇异粒子只在强相互作用过程中产 生,并且 要求 奇异 数守 恒。 因此,上 列反 应不 可能 实现 。 （ 7）,
000K衰变 后静 能 MeVE2.548?后衰变 前静 能 MeVE8.497?
前因此,从 能量 守恒 考虑,这 种衰 变方 式实 际上 并不 存在 。 11.4对重子,从它 的有 关量 子数 来考 虑,试认 出是那、、、、、,00np三个 层子 构成 的。
解,重子 由三 个层 子按 不同 的组 合构 成,这三 个层 子是 。 层 子 是 奇 异 层 子 。sdu、,s奇异 重子 中一 定要 有奇 异层 子,非 奇 异重 子中 不能 有 存在 。三 个 层子 的性 质如 下表 所 示 。s s按照 简单 的规 则把 三个 层子 结合 起来 就构 成重 子。 例如,质 子 和介 子,它 们的 性p 0?质可 列成 下面 的表 。 质 子 不是 奇异 粒子,它 一 定不 包括,除 了 同位旋 I之外,将 构 成质 子s的每 个层 子的 各种 量子 数分 别相 加,应 该 等于 质子 的相 应量 子数 。 这 样,可 以 确认 质子 是 由两个 层子 和一 个 层子 构成 的。 类 似地 可以 断定 由 构成 。 因 此,题 中 给出 的u d 0?sdu、、重子 的层 子成 分可 开列 如下,)(,)( ),(,)(),(),(),( 0sdds udsuusudsuddnuudp o
都是 由 构成,但 它们 是 的不 同组 合,?00和 sdu、,sdu、、层子 是费 米子,自 旋 是 。 实 验 给出 的自 旋是,奇 异 数是 -3。 因 此,一定 是 三21?23
个 层子 构成 。 但 是,三 个 层子 的自 旋必 须平 行,这 违 背泡 里原 理。 为 了 解决 类似 的矛 盾,s s提出 了层 子有,颜色,自由 度,每 个层 子皆 有自 己的,色荷,。 中的 三个 层子,尽 管 自旋 平?s行,但因 它们 具有 不同 的,色荷,，泡 里原 理是 容许 的。把重 子中 的各 个层 子换 成相 应的 反层 子,则重 子就 成了 相应 的反 重子 。
11.5认出 下列 介子 的成 分,‘0000,,K,,K,K,K,,解,介 子 有一 个层 子和 一个 反层 子构 成。 把 层 子的 量子 数 （ 同 位旋 除外 ） 变 号就 得相 应的反 层子 的量 子数 。与 上题 类似,上 述介 子的 层子 成分 可开 列如 下,)(),(),(),(),(),( 00 dsKusKsdKsukuddu的结 构较 为复 杂,'00,,
)(31 ),2(61 ),(21'00 sdu sdudu而且 后两 者的 成分 尚有 混合 。 11.6试讨 论下 列三 式：
npvn vene e)3()2()1(讨 论,（ 1） 的质 量比 与 的质 量之 和大 的多 。从 能量 角度 考虑 衰变 似乎 可以 产?n?e生。但 是,的奇异 数,右侧 奇异 数是 0，奇异 数的 改变 。奇异 粒子 衰变
1s 1S成强子和轻子，要克服从,是奇异粒子和强子间的电荷改变。在这个衰变式SQ Q?中,因此 是不 能实 现的 过程 。SQ1
（ 2）奇 异粒 子只 在强 作用 过程 中协 同产 生,只在 弱作 用过 程中 衰变 。奇 异粒 子的 产生和衰 变服 从如 下的 选择 定则,
.),(,)(,1 )(,0 子间的电荷改变是过程中奇异粒子与强 轻子奇异粒子衰变为强子和 的弱衰变和对奇异粒子不产生对奇异粒子的强产生QSQ eS本例中，左侧奇异数是 -2，右侧奇异数是 0。奇异数改变 。因此，这个过12S程实 际不 能实 现。 （ 3） 电 轻 子数,左 侧 是 +1,右 侧是 0,不 相 等。 轻子 数,左 侧是 0,右 侧 是 -1,不 相?等。 此反 应违 背轻 子数 守恒 定律,用 任何 一种 方式 的基 本相 互作 用都 不能 实现 。
b解,根据 卢瑟 福散 射公 式,2
0 02 2cot 4 42 2 KMvb bZe Ze得到,米2 192150 152 212 6 19
0 79(1.600) 3.97104 (48.510)(7.681010)Zectg ctgb K式中 是 粒子 的功 能。212KMv1.2已知 散射 角为 的 粒子 与散 射核 的最 短距 离为
，试 问上 题 粒子 与散 射的 金原 子核220 212 1( ) (1 )4 sinm Zer Mv之间 的最 短距 离 多大？mr解：将 1.1题中 各量 代入 的表 达式,得,
mr2min 20 212 1( ) (1 )4 sinZer Mv
1929 6 19479(1.010) 1910 (1 )7.68101.6010 sin75米143.02101.3若用 动能为 1兆电 子伏 特的 质子 射向 金箔 。 问 质子 与金 箔。 问 质子 与金 箔原 子核 可能达 到的 最小 距离 多大？又 问如 果用 同样 能量 的氘 核（ 氘核 带一 个 电荷 而质 量是 质子 的e?两倍,是 氢的 一种 同位 素的 原子 核） 代替 质子,其 与金 箔原 子核 的最 小距 离多 大？ 解,当入 射粒 子与 靶核 对心 碰撞 时,散射 角为 。当 入射 粒子 的动 能全 部转 化为 两180?粒子 间的 势能 时,两粒 子间 的作 用距 离最 小。 根据 上面 的分 析可 得：
,故有,22 0min12 4p ZeMvK r 2min 04 pZer K米1929 136 1979(1.6010)910 1.410101.6010
由上 式看 出,与入 射粒 子的 质量 无关,所 以 当用 相同 能量 质量 和相 同电 量得 到核 代minr替质 子时,其 与靶 核的 作用 的最 小距 离仍 为 米。131.4101.4钋放 射的 一种 粒子 的速 度为 米 /秒,正面 垂直 入射 于厚 度为 米,?
71.59710? 710?密度 为 的金 箔。 试求 所有 散射 在 的 粒子 占全 部入 射粒 子数41.93210? 3/公 斤 米 90的百 分比 。已 知金 的原 子量 为 。197解,散射 角在 之间 的 粒子 数 与入 射到 箔上 的总 粒子数 n的比 是：ddndnNtd
n其中 单位 体积 中的 金原 子数,0/ /Au AuNmN而散 射角 大于 的粒 子数 为：
090 2'dndnnNtd所以 有：
2'dnNt dn
22 21800 2 90 30 cos1 2 2( )( )4 sin2AuN Zet dMu
等式 右边 的积 分,180 18090 903 3cos sin2 22 1sin sin2 2dI d故
' 22 20 2012( )( )4AuNdn Zetn Mu6 408.5108.510
即速 度为 的 粒子 在金 箔上 散射,散 射角 大于 以上 的粒 子数 大约 是71.59710/?米 秒? 90?。408.5101.5粒子 散射 实验 的数 据在 散射 角很 小 时与 理论 值差 得较 远,时什 么原? 15
（ ）因？ 答,粒子 散射 的理 论值 是在,一次 散射,的假 定下 得出 的。 而 粒子 通过 金属 箔,经 过
好多 原子 核的 附近,实 际上 经过 多次 散射 。 至 于实 际观 察到 较小 的 角,那 是 多次 小角 散 射?合成 的结 果。既 然都 是小 角散 射，哪 一个 也不 能忽 略，一 次散 射的 理论 就不 适用 。所 以,粒?子散 射的 实验 数据 在散 射角 很小 时与 理论 值差 得较 远。 1.6已知 粒子 质量 比电 子质 量大 7300倍 。试 利 用 中 性 粒 子 碰 撞 来 证 明,粒子 散射,受电子 的影 响是 微不 足道 的,。
证明,设 碰 撞前,后 粒子 与电 子的 速度 分别 为,。 根 据 动量 守恒 定律,得,? ',',0,evv'' evmvMvM由此 得,…… (1)
''' 7301ee vvMmvv又根 据能 量守 恒定 律,得,2'2'2 212121 emvMvMv …… （ 2）
2'2'2 evMmvv将（ 1）式 代入 （ 2）式,得,
整理,得,0cos7302)1730()1730( '2'2 vvv 0 0)730017300
' 2'vv vv （上式可写为：即 粒子 散射,受电 子的 影响 是微 不足 道的,。1.7能量为 3.5兆电 子伏 特的 细 粒子 束射 到单 位面 积上 质量 为? 22 /1005.1 米公斤
的银 箔上,粒子 与银 箔表 面成 角。 在离 L=0.12米处 放一 窗口 面积 为60 25100.6米的计 数器 。测 得散 射进 此窗 口的 粒子 是全 部入 射 粒子 的百 万分之 29。若 已知 银的 原子量为 107.9。试 求银 的核 电荷数 Z。解,设 靶 厚度 为 。 非 垂 直入 射时 引起 粒子 在靶 物质 中通 过的 距离 不再 是靶 物质 的 厚
't?度,而 是,如图 1-1所示 。't?60sin/'tt?因为 散射 到 与 之间 立体dd角内 的粒 子数 dn与总 入射 粒子数 n的比 为：
(1)dnNtdn而 为：?d （ 2）2sin)()41(
422220 dMvzed
60ot,t
20o60°
图 1.1
2'2'2 )(730 vvvv
把（ 2）式 代入 （ 1）式,得,…… （ 3）2sin)()41( 422220 dMvzeNtndn
式中 立体 角元 0'0'2 20,3/260sin/,/tttLdsdN为原 子密 度。 为单 位面 上的 原子 数，,其 中 是单 位'Nt 10' )/(/ NAmNt gAg面积 式上 的质 量； 是银 原子 的质 量； 是银 原子 的原 子量 ； 是 阿 佛 加 德 罗 常 数 。
Agm Ag 0N将各 量代 入（ 3）式,得,2sin)()41(32
4222200 dMvzeANndn g由此,得,Z=471.8设想 铅（ Z=82）原 子的 正电 荷不 是集 中在 很小 的核 上,而是 均匀 分布 在半 径约 为米的 球形 原子 内,如果 有能 量为 电子 伏特 的 粒子 射向 这样 一个,原子,，试 通过
10? 610?计算 论证 这样 的 粒子 不可 能被 具有 上述 设想 结构 的原 子产 生散 射角 大于 的 散 射 。 这 个? 09结论 与卢 瑟福 实验 结果 差的 很远,这 说 明原 子的 汤姆 逊模 型是 不能 成立 的 （ 原 子中 电子 的 影响 可 以 忽 略 ）。
解,设 粒子 和铅 原子 对心 碰撞,则 粒子 到达 原子 边界 而不 进入 原子 内部 时的 能量 有下式 决定,电子伏特焦耳 316022 1036.21078.34/221RZeMv由此 可见,具 有 电子 伏特 能量 的 粒子 能够 很容 易的 穿过 铅原 子球 。 粒子 在到 达原 子
610表面 和原 子内 部时,所 受原 子中 正电 荷的 排斥 力不 同,它们 分别 为,。 可 见,原 子 表面 处 粒子 所受 的斥 力最 大,越3
02202 4/24/2 RrZeFRZeF 和?靠近 原子 的中 心 粒子 所受 的斥 力越 小,而且 瞄准 距离 越小,使 粒子 发生 散射 最强 的垂直入 射方 向的 分力 越小 。 我 们 考虑 粒子 散射 最强 的情 形。 设 粒子 擦原 子表 面而 过。 此 时 受?力为 。可 以认 为 粒子 只在 原子 大小 的范 围内 受到 原子 中正 电荷 的作
2024/2 RZeF用,即 作 用距 离为 原子 的直径 D。 并 且 在作 用范围 D之内,力 的 方向 始终 与入 射方 向垂 直,大小 不变 。这 是一 种受 力最 大的 情形 。 根据 上述 分析,力 的作 用时 间为 t=D/v,粒子 的动 能为,因 此，? KMv?
221，所 以，MKv /2? KMDvDt 2//根据 动量 定理,0
00 MvppFdtt
而 20202020 4/24/2 RtZedtRZeFdt tt所以 有,MvRtZe 2024/2由此 可得,MRtZev
2024/2粒子 所受 的平 行于 入射 方向 的合 力近 似为 0，入 射方 向上 速度 不变 。据 此,有：?
3 2202202104.2 4/24/2 MvRDZeMvRtZevvtg这时 。弧度，大约是很小，因此 ‘ 2.8104.23 tg这就 是说,按 题中 假设,能 量为 1兆电 子伏 特的 粒子 被铅 原子 散射,不 可能 产生 散 射?
角 的散 射。 但是 在卢 瑟福 的原 子有 核模 型的 情况 下,当 粒子 无限 靠近 原子 核时,09会受 到原 子核 的无 限大 的排 斥力,所 以 可以 产生 的散 射,甚 至 会产 生 的 散09 018射,这与 实验 相符 合。 因此,原 子的 汤姆 逊模 型是 不成 立的 。
第二章 原子的能级和辐射2.1试计 算氢 原子 的第 一玻 尔轨 道上 电子 绕核 转动 的频 率,线速 度和 加速 度。解,电子 在第 一玻 尔轨 道上 即年 n=1。根 据量 子化 条件,?
2hnmvrp可得,频 率 21211 222 mahmanhav 赫兹
151058.6速度,米 /秒611 10188.2/2 mahav加速 度,22
122 /10046.9// 秒米 avrvw2.2试由 氢原 子的 里德 伯常 数计 算基 态氢 原子 的电 离电 势和 第一 激发 电势 。解,电离 能为,把 氢原 子的 能级 公式 代入,得,1EEEi 2/nRhcEn
=13.60电子 伏特 。RhchcREHi )111(2电离 电势,伏特60.13eEVii
第一 激发 能,电子 伏特20.1060.134343)2111(2 RhchcREHi第一 激发 电势,伏特20.1011eEV2.3用能 量为 12.5电子 伏特 的电 子去 激发 基态 氢原 子，问 受 激发 的氢 原子 向低 能基 跃 迁时,会出 现那 些波 长的 光谱 线？ 解,把氢 原子 有基 态激 发到你 n=2,3,4…… 等能 级上 去所 需要 的能 量是,其中 电子 伏特)111( 22nhcREH 6.13?HhcR电子 伏特2.10)211(6.13
1E 电子 伏特1.12)311(6.1322E 电子 伏特8.12)411(6.13
23E其中 小于 12.5电子 伏特,大于 12.5电子 伏特 。 可 见,具有 12.5电子 伏特 能量 的21EE和 3E
电子 不足 以把 基态 氢原 子激 发到 的能 级上 去,所以 只能 出现 的 能 级 间 的 跃 迁 。4?n 3?n跃迁 时可 能发 出的 光谱 线的 波长 为：
A RRA
RRARR
HH
HH
HH
102598)3111(112154
3)2111(1656536/5)3121(1
3 223
2 22
1 21
2.4试估 算一 次电 离的 氦离 子,二 次电 离的 锂离 子 的第 一玻 尔轨 道半 径,电 离 电?eH?iL势,第一 激发 电势 和赖 曼系 第一 条谱 线波 长分 别与 氢原 子的 上述 物理 量之 比值 。 解,在 估算 时,不 考虑 原子 核的 运动 所产 生的 影响,即 把 原子 核视 为不 动,这 样 简单 些 。a)氢原 子和 类氢 离子 的轨 道半 径：
31,21 32,1,10529177.044
3,2,1,44 1022201 2122220
LiHHLiHHHHe ZrrZrr ZLiZZHZ meha
nZnamZenhr
e径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于 一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中b)氢和 类氢 离子 的能 量公 式：
3,2,1,)4(2 2212220 242 nnZEhnZmeE其中 基态能量。电子伏特，是氢原子的6.13)4(222
0421 hmeE电离 能之 比,9
00,400 2222 HLiHLi HHeHHe ZZEZEc)第一 激发 能之 比：
91121323 41121222221 221211212 221 2111212 EEEEEE EEEEEEHHLiLi HHHeHed)氢原 子和 类氢 离子 的广 义巴 耳末 公式,
，)11(~ 2221 nnRZv3,2,1 112 )2(),({n nn其中 是里 德伯 常数 。32
042)4( hmeR氢原 子赖 曼系 第一 条谱 线的 波数 为,1 22111( )1H HvR
相应 地,对类 氢离 子有,21 22 1
21 22 1111( )1113( )1He HeLi Liv Rv R因此,91,41
1111 HLiHHe2.5试问 二次 电离 的锂 离子 从其 第一 激发 态向 基态 跃迁 时发 出的 光子,是 否有 可能?iL使处 于基 态的 一次 电离 的氦 粒子 的电 子电 离掉？
eH解,由第 一激 发态 向基 态跃 迁时 发出 的光 子的 能量 为：?iL的电 离能 量为,
eH
LiHeHeLiHeLi HeHeHe MmRhvhv hcRhcRv /1/116271627 4)111(42
由于,LiHeLiHe mMmMM /1/1,所以从而 有,所 以能 将 的电 子电 离掉 。HeLi hvhv?eH2.6氢与 其同 位素 氘（ 质量 数为 2）混 在同 一放 电管 中,摄下 两种 原子 的光 谱线 。试 问其巴 耳末 系的 第一 条（ ）光 谱线 之间 的波 长差 有多 大？ 已知 氢的 里德 伯常 数
H，氘 的里 德伯 常数 。17100967758.1 米HR 17100970742.1 米DR解：,)3121(1
2HHR? HH R5/36，)3121(1 2D
DR? DD R5/36
A RRDHDH79.1 )11(5362.7已知 一对 正负 电子 绕其 共同 的质 心转 动会 暂时 形成 类似 于氢 原子 结构 的,正电 子素,。试 计算,正电 子素,由第 一激 发态 向基 态跃 迁发 射光 谱的 波长 为多 少？?A
解,RmRRe 834311)2111(1 2 AR 2430109737313138
米2.8试证 明氢 原子 中的 电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道,发 射 光子 的频 率 。 当 n>>1时n?光子 频率 即为 电子 绕第 n玻尔 轨道 转动 的频 率。证明,在 氢原 子中 电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道 所发 光子 的波 数为,
])1(11[1~ 22 nnRvnn?频率 为,RcnnnnRccvn 2222 )1(1])1(11[
当 n>>1时,有,所 以在 n>>1时,氢原 子中3422 /2/2)1(/)12( nnnn电子从 n+1轨道 跃迁到 n轨道 所发 光子 的频 率为,。3/2nRcvn?设电 子在第 n轨道 上的 转动 频率 为,则
nf322 2222 nRcmrPmrvrrvfn因此,在 n>>1时,有 nnfv?
由上 可见,当 n>>1时,请 原 子中 电子 跃迁 所发 出的 光子 的频 率即 等于 电子 绕第 n玻尔 轨 道转动 的频 率。 这说 明，在 n很大 时,玻尔 理论 过渡 到经 典理 论,这就 是对 应原 理。2.9原子 序数 Z=3，其 光谱 的主 线系 可用 下式 表示,Li 。已 知锂 原子 电离 成 离子 需要 203.44电子 伏特 的
22 )0401.0()5951.01(~ nRRv?Li功。 问如 把 离子 电离 成 离子,需 要多 少电 子伏 特的 功？Li?Li解,与 氢 光谱 类似,碱 金 属光 谱亦 是单 电子 原子 光谱 。 锂 光 谱的 主线 系是 锂原 子的 价 电子由 高的 p能级 向基 态跃 迁而 产生 的。 一 次 电离 能对 应于 主线 系的 系限 能量,所 以 离 子?Li电离 成 离子 时,有?Li 电子伏特35.)591.01()591.01(
221hcRRhcRhcE是类 氢离 子,可用 氢原 子的 能量 公式,因 此 时,电离 能 为：?LiLiLi 3E。电子伏特4.1221
2223hcRZRhcZE设 的电 离能 为 。 而 需要 的总 能量是 E=203.44电子 伏特,所 以 有LiLi 2ELiLi电子伏特7.5
312 EEE2.10具有 磁矩 的原 子,在横 向均 匀磁 场和 横向 非均 匀磁 场中 运动 时有 什么 不同？答,设 原 子的 磁矩 为,磁 场沿 Z方向,则 原 子磁 矩在 磁场 方向 的分 量记 为,于 是? Z?
具有 磁矩 的原 子在 磁场 中所 受的 力为,其 中 是磁 场沿 Z方向 的梯 度 。ZBFZ ZB对均 匀磁 场，,原 子在 磁场 中不 受力,原 子磁 矩绕 磁场 方向 做拉 摩进 动,且对 磁 场0ZB
的 取向 服从 空间 量子 化规 则。 对于 非均 磁场,原子 在磁 场中 除做 上述 运动 外,还0ZB受到 力的 作用,原 子射 束的 路径 要发 生偏 转。 2.11史特 恩 -盖拉 赫实 验中,处 于基 态的 窄银 原子 束通 过不 均匀 横向 磁场,磁 场的 梯度为 特斯 拉 /米,磁极 纵向 范围 =0.04米 (见图 2-2)，从 磁极 到屏 距离 =0.10米,
310ZB 1L 2L原子 的速 度 米 /秒。 在屏 上两 束分 开的 距离 米。 试确 定原 子磁 矩在 磁2105v 002.0?d场方 向上 投影 的大 小（ 设磁 场边 缘的 影响 可忽 略不 计）。解,银原 子在 非均 匀磁 场中 受到 垂直 于入 射方 向的 磁场 力作 用。 其轨 道为 抛物 线； 在区域 粒子 不受 力作 惯性 运动 。 经 磁 场区 域 后向 外射 出时 粒子 的速 度为,出 射 方向 与2L 1L 'v?入射 方向 间的 夹角 为 。 与速 度间 的关 系为, vvtg粒子 经过 磁场 出射 时偏 离入 射方 向的 距离 S为：
1L …… （ 1）ZvLZBmS?21)(21将上 式中 用已 知量 表示 出来 变可 以求 出
Z?
21212
1 12'2' /,,vLZBmdSdS vLZBmtgLS vLZBmv vLtZBmfaatv
ZZ
Z
把 S代入 （ 1）式 中,得,22121 22 vLZBmvLZBmd ZZ整理,得,2)2(2
2121 dLLvZBmZ由此 得,特焦耳 /1093.023Z?2.12观察 高真 空玻 璃管 中由 激发 原子 束所 发光 谱线 的强 度沿 原子 射线 束的 减弱 情况,
可以 测定 各激 发态 的平 均寿 命。 若已 知原 子束 中原 子速 度,在 沿粒 子束 方向秒米 /103?v上相距 1.5毫米 其共 振光 谱线 强度 减少到 1/3.32。试 计算 这种 原子 在共 振激 发态 的平 均寿 命 。
解,设沿 粒子 束上 某点 A和距 这点 的距离 S=1.5毫米 的 B点,共振 谱线 强度 分别 为，并 设粒 子束在 A点的 时刻 为零 时刻,且 此时 处于 激发 态的 粒子 数为,原 子束10II和 20N经过 t时间 间隔从 A到达 B点，在 B点处 于激 发态 的粒 子数 为 。
2N光谱 线的 强度 与处 于激 发态 的原 子数 和单 位时 间内 的跃 迁几 率成 正比 。设 发 射共 振谱 线的跃 迁几 率为,则 有
21A 202202122101 NNAII适当 选取 单位,使,32.3/1
20201NII并注 意到,vSteNNtA /,21202而则有,32.3/1
21202tAeN由此 求得,
秒6 3 321211025.1 32.3ln10105.132.3ln1 32.3ln)1ln32.3(ln1vsAt svtA
第三章 量子力学初步3.1波长 为 的 X光光 子的 动量 和能 量各 为多 少？A1解,根据 德布 罗意 关系 式,得：
动量 为,12410341063.663.6 秒米千克?hp能量 为,?/hchvE 。焦耳
1510834 10986.110/1031063.63.2经过 10000伏特 电势 差加 速的 电子 束的 德布 罗意 波长 用上 述电 压加 速的 质子束 的德 布罗 意波 长是 多少？ 解,德布 罗意 波长 与加 速电 压之 间有 如下 关系,
对于 电子,meVh2/ 库仑公斤,1931 1060.11011.9 em把上 述二 量及 h的值 代入 波长 的表 示式,可 得, AAAV 1225.01000025.1225.12
对于 质子,,代 入波 长的 表示 式,得：库仑公斤,1927 1060.11067.1 em 34 327 196.2610 2.8621021.67101.6010100 A
3.3电子 被加 速后 的速 度很 大,必 须 考虑 相对 论修 正。 因 而 原来 的电 子 德AV25.12?布罗 意波 长与 加速 电压 的关 系式 应改 为, AVV )10489.01(25.12
6其中 V是以 伏特 为单 位的 电子 加速 电压 。试 证明 之。证明,德 布罗 意波 长,ph/
对高 速粒 子在 考虑 相对 论效 应时,其 动能 K与其 动量 p之间 有如 下关 系：222022 cpcKmK而被 电压 V加速 的电 子的 动能 为,eVK?
220 0222 /)(2 2)( ceVeVmp eVmceVp因此 有：
200 2112/ cmeVeVmhph一般 情况 下,等式 右边 根式 中 一项 的值 都是 很小 的。 所以,可 以将 上式 的202/cmeV根式 作泰 勒展 开。 只取 前两 项,得,)10489.01(
2)41(2 60200 VeVmhcmeVeVmh由于 上式 中,其中 V以伏 特为 单位,代 回原 式得,?AVeVmh 25.122/ 0?
AVV )10489.01(25.12 6由此 可见,随 着 加速 电压 逐渐 升高,电 子 的速 度增 大,由 于相 对论 效应 引起 的德 布罗 意波 长变短 。 3.4试证 明氢 原子 稳定 轨道 上正 好能 容纳 下整 数个 电子 的德 布罗 意波 波长 。上 述 结果 不但适 用于 圆轨 道,同样 适用 于椭 圆轨 道,试证 明之 。 证明,轨 道量 子化 条件 是,nhpdq对氢 原子 圆轨 道来 说,mvrmrpp
r 2,0所以 有, 3,2,1,22 nnmvhnrS nhmvrpd
所以,氢原 子稳 定轨 道上 正好 能容 纳下 整数 个电 子的 德布 罗意 波长 。椭 圆轨 道的 量子 化条 件是,hndrp hndp
rr其中
rrr nnnnhdpdp mrprmp其中,)(,2而 )()( 2 dmrdrrmdpdrpr
ndsdshdsrh mvdsdtmv dtdt
dmrdtdtdrrm
2 2 )(
因此,椭 圆轨 道也 正好 包含 整数 个德 布罗 意波 波长 。 3.5带电 粒子 在威 耳孙 云室 （ 一 种径 迹探 测器 ） 中 的 轨迹 是一 串小 雾滴,雾 滴 德线 度 约为 1微米 。当 观察 能量为 1000电子 伏特 的电 子径 迹时 其动 量与 精典 力学 动量 的相 对偏 差不小于 多少？ 解,由题 知,电子 动能 K=1000电子 伏特,米,动量 相对 偏差 为 。
610x p/?根据 测不 准原 理,有,由 此得,2hxp xhp2经典 力学 的动 量为,
51009.3222 mKxhppmKp电子 横向 动量 的不 准确 量与 经典 力学 动量 之比 如此 之小,足 见 电子 的径 迹与 直线 不会 有明 显区别 。 3.6证明 自由 运动 的粒 子（ 势能 ）的 能量 可以 有连 续的 值。0?V
证明,自 由粒 子的 波函 数为,…… （ 1）)( EtrphiAe自由 粒子 的哈 密顿 量是,…… （ 2）
222mhH自由 粒子 的能 量的 本征 方程 为,…… （ 3）EH?
把（ 1）式 和（ 2）式 代入 （ 3）式,得,?EAemh Etrphi ][2 )(22?即：
mpEEmp EedzddyddxdAmh Etzpypxph
i
22 )(222 )(2
2222222
自由 粒子 的动量 p可以 取任 意连 续值,所 以它 的能量 E也可 以有 任意 的连 续值 。3.7粒子 位于 一维 对称 势场 中,势场 形式 入图 3-1，即0,0,,0{VLx V
（ 1） 试推 导粒 子在 情况 下其 总能量 E满足 的关 系式 。0VE?（ 2） 试利 用上 述关 系式,以 图解 法证 明,粒子 的能 量只 能是 一些 不连 续的 值。解,为方 便起 见,将势 场划 分为 Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个 区域 。（ 1） 定态 振幅 方程 为 0)(2
)((22)(2 xxx VEhdxd式中 是粒 子的 质量 。Ⅰ 区,)(20
022222 EVhdxd其中波函 数处 处为 有限 的解 是,。是一任意常数AAexx,)(1Ⅱ 区,Ehdxd
22222 0其中处处 有限 的解 是,是任意常数。,),sin()(2 BxBxⅢ 区,)(20
022222 EVhdxd其中处处 有限 的解 是,是任意常数。DDex x,)(3有上 面可 以得 到：,1),(1,1
332211 dxdxctgdxddxd有连 续性 条件,得,
ctgLctg )({解得,
221)(Ltg因此 得,)/(21tgnL这就 是总 能量 所满 足的 关系 式。 （ 2） 有上 式可 得,)
22( Lntg 偶数，包括零 奇数nLtgnLctg22{
亦即 2)( 2)( LtgLL LctgLL令,则 上面 两方 程变 为：vLuL,
）（ ）（ 2212uutgv uutgv另外,注 意到 还必 须满 足关 系：vu和 ）（ 3/2 22022 hLVvu?所以 方程 （ 1）和 （ 2）要 分别 与方 程（ 3）联 立求 解。3.8有 一 粒 子,其 质 量 为,在 一 个 三 维 势 箱 中 运 动 。 势 箱 的 长,宽,高 分 别 为m
在势 箱外,势 能 ；在 势箱 内,。式 计算 出粒 子可 能具 有的 能量 。cba、,V 0?V解,势能 分布 情况,由 题意 知：
czzV byy axxV czbyV
ax
zyx
zyx和 和 和0,0,0,;0,;0,;0,
在势 箱内 波函 数 满足 方程,),,(zyx?
0)]([2222 2222222 zyx VVVEhmzyx解这 类问 题,通常 是运 用分 离变 量法 将偏 微分 方程 分成 三个 常微 分方 程。 令 )()()(),,( zZyYxXzyx
代入 （ 1）式,并 将两 边同 除以,得,)()()( zZyYxX EhmVhmdzZdZVhmdyYdYVhmdxXdX zyx 2222222222 )1()1()1(方程 左边 分解 成三 个相 互独 立的 部分,它 们 之和 等于 一个 常数 。 因 此,每 一 部分 都应 等于 一个常 数。 由此,得 到三 个方 程如 下：
皆为常数。其中 zyxzyx zz yy
xx
EEEEE EhmVhmdzZdZ EhmVhmdyYdY
EhmVhmdxXdX
,,,221 221
221
2222 222
2 2222
将上 面三 个方 程中 的第 一个 整数,得,…… （ 2）0)(2222 XVEhmdxXd xx边界 条件,0)()0(lXX
可见,方 程（ 2）的 形式 及边 界条 件与 一维 箱完 全相 同,因此,其 解为, 3,2,1,2sin2
2222 xxx xn nnahE aaX类似 地,有
)(2 sinsinsin8),,( 3,2,1,2
sin2 3,2,1,2sin2
22222222
2222
2222
cnbnanmhE czbyaxabczyx nnchE
zccZ nnbhE ybbY
zyx zyx
zzz zn
yyy yn
可见,三 维 势箱 中粒 子的 波函 数相 当于 三个 一维 箱中 粒子 的波 函数 之积 。 而 粒 子的 能 量相当 于三 个一 维箱 中粒 子的 能量 之和 。 对于 方势 箱，,波函 数和 能量 为：cba
22222222 3,2 sinsinsin8),,( zyx zyx nnnnmahE aaaazyx 第四章 碱金属原子4.1已知 原子 光谱 主线 系最 长波 长,辅 线系 系限 波长 。 求Li
A6707 A3519锂原 子第 一激 发电 势和 电离 电势 。 解,主 线 系最 长波 长是 电子 从第 一激 发态 向基 态跃 迁产 生的 。 辅 线 系系 限波 长是 电子 从无穷 处向 第一 激发 态跃 迁产 生的 。设 第一 激发 电势 为,电 离电 势为,则 有：
1V?V
伏特。伏特 375.5)11(850.11
1
ehcV chcheVehcVcheV
4.2原子 的基态 3S。已 知 其共 振线 波长为 5893，漫 线 系第 一条 的波 长为 8193，Na?A?A基线 系第 一条 的波 长为 18459,主 线 系的 系限 波长为 2413。 试求 3S,3P,3D,4F各 谱?A?A项的 项值 。
解,将上 述波 长依 次记 为 AAAA pfdp pfdp 2413,18459,8193,5893,,,,maxmaxmax maxmaxmax即 容易 看出,
16max34 16max33
16max3 163 10685.01 10227.11 10447.211 10144.41~
米 米 米米
fDF dpD
pPP PSTTTTTvT
4.3K原子共振线波长 7665，主线系的系限波长为 2858。已知 K原子的基态 4S。A?A试求 4S,4P谱项 的量 子数 修正 项 值各 为多 少？ps?,解,由题 意知,
PPspp vTAA /1~,2858,76654max由,得,24 )4(sRTS SkTRs 4/4设,则有RR
K? max4 11,229.2 PPPTs与上 类似 764.1/4
4PTRp4.4原子 的基 态项 2S。 当 把 原子 激发到 3P态后,问当 3P激发 态向 低能 级跃 迁 时Li Li可能 产生 哪些 谱线 （不 考虑 精细 结构 ）？ 答,由 于 原子 实的 极化 和轨 道贯 穿的 影响,使 碱 金属 原子中 n相同而 l不同 的能 级有 很大差 别,即 碱 金属 原子 价电 子的 能量 不仅 与主 量子数 n有关,而 且 与角 量子数 l有关,可 以记为 。理 论 计 算 和 实 验 结 果 都 表 明 l越小,能 量 越 低 于 相 应 的 氢 原 子 的 能 量。),(lnEE?当从 3P激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：,可能产生四条光谱，分别由1l以下 能级 跃迁 产生,。SPSPSP 23;22;23;3
4.5为什么 谱项 S项的精 细结 构总 是单 层结 构？ 试直 接从 碱金 属光 谱双 线的 规律 和从电子 自旋 与轨 道相 互作 用的 物理 概念 两方 面分 别说 明之 。 答,碱 金 属光 谱线 三个 线系 头四 条谱 线精 细结 构的 规律 性。 第 二 辅线 系每 一条 谱线 的 二成分 的间 隔相 等,这 必 然是 由于 同一 原因 。 第 二 辅线 系是诸 S能级 到最低 P能级 的跃 迁产 生的。 最低 P能级 是这 线系 中诸 线共 同有 关的,所 以 如果 我们 认为 P能级 是双 层的,而 S能 级是单 层的,就 可以 得到 第二 辅线 系的 每一 条谱 线都 是双 线,且波 数差 是相 等的 情况 。 主线 系的 每条 谱线 中二 成分 的波 数差 随着 波数 的增 加逐 渐减 少,足见 不是 同一 个来 源。主线 系是诸 P能级 跃迁 到最低 S能级 所产 生的 。 我 们 同样 认定 S能级 是单 层的,而 推 广所 有P能级 是双 层的,且 这 双层 结构 的间 隔随 主量 子数 n的增 加而 逐渐 减小 。 这 样 的推 论完 全 符合碱 金属 原子 光谱 双线 的规 律性 。因 此,肯定 S项是 单层 结构,与 实验 结果 相符 合。
碱金属 能级 的精 细结 构是 由于 碱金 属原 子中 电子 的轨 道磁 矩与 自旋 磁矩 相互 作用 产生附加 能量 的结 果。 S能级 的轨 道磁 矩等于 0，不 产生 附加 能量,只 有一 个能 量值,因而 S能级是 单层 的。 4.6计算 氢原 子赖 曼系 第一 条的 精细 结构 分裂 的波 长差 。解,赖 曼 系的 第一 条谱 线是 n=2的能 级跃 迁到 n=1的能 级产 生的 。 根 据 选择 定则,跃 迁只能 发生 在 之间 。而 S能级 是单 层的,所 以,赖 曼 系的 第一 条谱 线之 精细 结 构SP22 1?是由 P能级 分裂 产生 的。氢原 子能 级的 能量 值由 下式 决定,)43
21()()( 3 422 2 njnSZRhcanZRhcE其中 1)()( SZZ?
)1()2( )1()2( )1()2(
)1()2(
2/122/12 22/1
22/1 2/122/31
12/122/3
SEPEhcchSEPE SEPEhc
chSEPE
因此,有,
44)1( 64516)2( 6416)2(
)]1()2()][1()2([ )]1()2([
22/12 22/1
22/3 2/122/12/122/3 2/122/312 aRhcSE aRhcPE aRhcPE SEPESEPE SPhc
将以 上三 个能 量值 代入 的表 达式,得,
AaaaR Raaa
313 222
222 1039.51039.5 )1548)(1148( 464 1641548641148644
米
4.7原子 光谱 中得 知其 3D项的 项值,试 计 算该 谱项 之精 细Na 163 102274.1 米DT结构 裂距 。 解,已知 17163 100974.1,102274.1 米米 NaD RT
13 4*2** 3
* 655.3)1(/ 9901.2
米所以有,而 lnZRaTnZT
RnDNa
4.8原子 在热 平衡 条件 下处 在各 种不 同能 量激 发态 的原 子的 数目 是按 玻尔 兹曼 分布 的，即能 量为 E的激 发态 原子 数目 。其 中 是能 量为 的状 态 的KTEeggNN /)(00 0 0N 0E原子 数,是相 应能 量状 态的 统计 权重,K是玻 尔兹 曼常 数。 从 高温 铯原 子气 体光 谱 中
0gg和测出 其 共 振 光 谱 双 线 。试 估 算 此 气体321.8521,5.89432121,：的强度比 IIAA的温 度。 已知 相应 能级 的统 计权 重 。4,2
21gg解,相应 于 的能 量分 别为,21，
2211 /;/hcEhcE所测 得的 光谱 线的 强度 正比 于该 谱线 所对 应的 激发 态能 级上 的粒 子数 N，即
122
12121 3 3221 21gge eggNIINIKTE KTE由此 求得 T为：
KggKEET 277332ln1212
第五章 多电子原子5.1原子 的两 个电 子处在 2p3d电子 组态 。 问 可 能组 成哪 几种 原子 态?用原 子态 的 符eH号表 示之 。已 知电 子间是 LS耦合 。解,因为,21,2,1
2121 ssll 1,2,3;1,0,,1,; 212121 2121LS llllllL ssssS,或所以 可以 有如下 12个组 态：
4,3,2331 3,2,13
212,1,0311,1,3,0,3,,2,0,2,1,1,0,1 FSLSL DSLSL PSLSL
5.2已知 原子 的 两 个 电 子 被 分 别 激 发 到 2p和 3d轨道,器 所 构 成 的 原 子 态 为,eH D3问这两电子的轨道角动量 之间的夹角，自旋角动量 之间的夹角分别为多21ll pp与 21sspp与少？
解,（ 1）已 知原 子态 为,电 子组 态为 2p3dD32,1,1,2 21 llSL
因此,
' 212212 21
2212 222
111
46106 321/)(cos cos6)1(
6)1( 22)(
L llllLL
LllllLLl
l
pppPpppPLPllp
hllp
（ 2） hhSP hhsppss
S 2)1( 23)1(
212121而
' 212212 21
2212 3270 31/)(cos cos
S ssssSs sssssS pppP pppP5.3锌原子（ Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是 4s4s。当其中有一个被激发,考 虑 两 种 情 况,（ 1）那 电子 被激 发到 5s态 ；（ 2）它 被激 发到 4p态。 试求出 LS耦合 情况下 这两 种电 子组 态分 别组 成的 原子 状态 。 画 出相 应的 能级 图。 从 （ 1） 和 （ 2） 情 况 形成 的激发 态向 低能 级跃 迁分 别发 生几 种光 谱跃 迁？
解,（ 1）组 态为 4s5s时,21,02121 ssll
13 01,1;1,00 1,0,0 SJS SLJSSL 三重态时 单重态时,根据 洪特 定则 可画 出相 应的 能级 图,有选 择定 则能 够判 断出 能级 间可 以发 生的 5种跃 迁：
011 23131313 0313101 44 45;45 ;45,45SP PSPS SS所以有 5条光 谱线 。（ 2）外 层两 个电 子组 态为 4s4p时：，21,1,0
2121 ssll
0,1231,0,12;1,101,0,1 PJS LJSSL 三重态时 单重态时,根据 洪特 定则 可以 画出 能级 图,根 据 选择 定则 可以 看出,只 能 产生 一种 跃迁,,01144SP?因此 只有 一条 光谱 线。 5.4试以 两个 价电 子 为例 说明,不论是 LS耦合 还是 jj耦合 都给 出同 样 数32
21ll 和目的 可能 状态,证明,(1)LS耦合 LJSLS;0,12,34,5;10时,
5个 L值分 别得出 5个 J值,即 5个单 重态,;1,,1;1 LLJS时代入 一个 L值便 有一 个三 重态,５个 L值共 有５ 乘３ 等于 １５ 个原 子态,
6,5,435,4,334,3,23,2,132,103 ;;;; HGFDP因此,LS耦合 时共 有２ ０个 可能 的状 态．（２ ） jj耦合,
212121 21,...,2527;2325; jjjjjjJ jjsljslj 或或或将每 个 合成 J得：21jj、
1,2,342523 0,12,34,52525 2,34,52723
1,2,34,5,62725
21 21
21 21 Jjj Jjj Jjj Jjj,合成和,合成和,合成和,合成和共２ ０个 状态,1,2,3,40,12,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6 )25,3(;)2,5(;)27,3()27,5(所以,对 于相 同的 组态 无论是 LS耦合 还是 jj耦合,都 会给 出同 样数 目的 可能 状态,5.5利用 LS耦合,泡 利原 理和 洪特 定 则 来确 定碳 Z=6、氮 Z=7的原 子基 态。解,碳原 子的 两个 价电 子的 组态 2p2p,属于 同科 电子,这两 个电 子可 能有 的 值是
lm
1,0,-1;可能 有,两个 电子 的主 量子 数和 角量 子数 相同,根据 泡利 原理,它们21,21?值是sm的其 余两 个量 子数 至少 要有 一个 不相 同,它们 的 的可 能配 合如 下表 所示,sl m和 sl m和为了 决定 合成 的光 谱项,最好 从 的最 高数 值开 始,因为 这就 等于 L出现 的
liL mM最高 数值 。现 在,得最 高数 值是 2，因 此可 以得 出一个 D项。 又因 为这 个 只与LM LM相伴 发生,因 此这 光谱 项是 项。 除了 以外,也属 于0?
SM D1 2?LM 2,1,0,1LM这一 光谱 项,它们 都是 。这 些谱 项在 表中 以 的数 字右 上角 的记 号,。,表 示 。0?SM LM共有 两项 是 ； 有 三 项是 。 在 寻 找光 谱项 的过 程中,把 它0,1
SL MM 0,0SLMM们的 哪一 项选 作 项的 分项 并不 特别 重要 。 类 似 地可 以看 出有 九个 组态 属于 项,在 表 中D1 P3以 的
LM 碳原 子氮原 子
1sm2sm1lm2lm Si si Mm Li li Mm1/21/21 0 1 1*1/21/21 -11 0
*1/21/20 -11 -1*1/2-1/21 1 0 201/2-1/21 0 0 1
01/2-1/21 -10 01/2-1/20 1 0 1*1/2-1/20 0 0 01/2-1/20 -10 -1
*1/2-1/2-11 0 0*1/2-1/2-10 0 -101/2-1/2-1-10 -2
0-1/2-1/21 0 -1 1*-1/2-1/21 -1-1 0*-1/2-1/20 -1-1 -1
*
1sm2sm3sm1lm2lm3lm Si si Mm Li li Mm1/21/21/21 0 -13/2 01/21/21/20 1 -13/2 0
*
数字 右上 角的 记号,*” 表示 。剩 下一 个组 态,它 们只 能给 出一 个 项 。0,0SLMM S1因此,碳 原子 的光 谱项 是,和,而 没有 其它 的项 。D1 P3 S1因为 在碳 原子 中 项的 S为最 大,根 据 同科 电子 的洪 特定 则可 知,碳 原 子的 项应 最P
3 P3低。 碳原 子两 个价 电子 皆在 p次壳 层,p次壳 层的 满额 电子 数是 6，因 此碳 原子 的能 级是 正常次 序,是它 的基 态谱 项。
03P氮原 子的 三个 价电 子的 组态 是,亦 属同 科电 子。 它们 之间 满足 泡利 原理 的可pp22能配 合如 下表 所示 。 表中 删节 号表 示还 有其 它一 些配 合,相当 于此 表下 半部 给出 的 间以 及 间发 生交
smlm换。 由于 电子 的全 同性,那 些配 合并 不改 变原 子的 状态,即 不产 生新 的项 。 由表 容易 判断,氮 原 子只 有,和 。 根 据 同科 电子 的洪 特定 则,断 定 氮原 子 的D2 P2 S4基态 谱项 应为 。
2/34S5.6已知 氦原 子的 一个 电子 被激 发到 2p轨道,而 另 一个 电子 还在 1s轨道 。 试 作 出 能级跃 迁图 来说 明可 能出 现哪 些光 谱线 跃迁？ 解,1;1,0;2/1,1,0
2121 LSssll对于,单态 1P1,0LJS对于,三 重态
3P2,1,00,12,1JS根据 选择 定则,可 能 出现 5条谱 线,它 们 分别 由下 列跃 迁产 生,21P→ 1S0； 21P→ 21S023P0→ 23S1； 23P1→ 23S1； 23P2→ 3S1
1/21/21/2-10 1 3/2 0-1/2-1/2-1/21 0 -13/2 0*-1/2-1/2-1/20 1 -13/2 0-1/2-1/2-1/2-10 1 3/2 0
*· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1/21/2-1/21 0 1 1/2 21/21/2-1/21 0 0 1/2 11/21/2-1/21 0 -11/2 0
*1/21/2-1/2-10 0 1/2 -11/21/2-1/2-10 -11/2 -21/21/2-1/21 -11 1/2 11/21/2-1/21 -10 1/2 0
1/21/2-1/21 -1-11/2 -1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
3S13P03P1
3P21S03S1
1S0
1s2p1s2s1s1s
5.7原子 的能 级是 单层 和三 重结 构,三重 结构中 J的的 能级 高。 其锐 线系 的三 重Ca线的 频率,其 频率 间隔 为 。试 求其 频率 间隔 比值012 vvv 122011,vvvvvv。
12vv?解,原子 处基 态时 两个 价电 子的 组态 为 。 的锐 线系 是电 子由 激发 的 能 级Ca s4Ca s向 能级 跃迁 产生 的光 谱线 。与 氦的 情况 类似,对 组态 可以 形成 的原 子p4 ps4 0,1231PP和态,也就 是说对 L=1可以有 4个能 级。 电子 由诸 激发 能级 上跃 迁到 能级 上则 产生S
3 0,123P锐线 系三 重线 。 根据 朗德 间隔 定则,在 多重 结构 中能 级的 二相 邻间 隔 同有
122011,vvvvvv关的 J值中 较大 的那 一个 成正 比,因此,,所 以 。1,221vv 2112vv5.8原子 基态 的两 个价 电子 都在 轨道 。 若 其中 一个 价电 子被 激发 到 轨道,而Pb p6 s7
其价 电子 间相 互作 用属 于 耦合 。问 此时 原子 可能 有哪 些状 态？j Pb解,激发 后铅 原子 的电 子组 态是 。sp76
012121,1,22123 21;2123
21,21;0,1
21 21
21 2121,合成和 合成和 或 或
Jjj Jjj jj slslj
ssll?
因此,激 发后 原子 可能 有四 种状 态：Pb 。0112 212123123 ），，（），，（），，（），（ 5.9根据 LS耦合 写出 在下 列情 况下 内量 子数 J的可 能值
（ 1）,（ 2）,（ 3）2,3SL 27,3SL 23,3SL解,（ 1）因 为 SLSLSLJ,.....,1,所以,共 2S+1=5个值 。1,2,3,4,5?J
（ 2）类 似地,共有 7个值 。这里 L<S,其个 数等于 2L+1。21,1,2,213,214,215,216?J（ 3）同 样地,可 得,。21,1,2,213?J
第六章 磁场中的原子6.1已知 钒原 子的 基态 是 。 （ 1）问 钒原 子束 在不 均匀 横向 磁场 中将 分裂 为几 束？2/34F（ 2）求 基态 钒原 子的 有效 磁矩 。 解,（ 1） 原 子 在不 均匀 的磁 场中 将受 到力 的作 用,力 的大 小与 原子 磁矩 （ 因 而于 角动 量 ）
在磁 场方 向的 分量 成正 比。 钒原 子基 态 之角 动量 量子 数,角 动量 在磁 场方 向2/34F 2/3?J的分 量的 个数 为,因 此,基 态 钒原 子束 在不 均匀 横向 磁场 中将 分裂 为4123212J4束。
（ 2） JJ Pmeg2 15(1) 2JPJ
按 LS耦合,52156)1(2 )1()1()1(1 J SLJg215150.77465225
J B Bem
6.2已知 原子 跃迁 的光 谱线 在磁 场中 分裂 为三 条光 谱线,其 间距He 011SP?，试 计算 所用 磁场 的感 应强 度。厘米/467.0~v解,裂开 后的 谱线 同原 谱线 的波 数之 差为,
mcBegmgmv 4)(1'1~ 1122氦原 子的 两个 价电 子之 间是 LS型耦 合。 对 应 原 子 态,；,1P 1,0,12M 1,1,0JLS对应 原子 态，,。
01S 01?M 21.0,0,0 ggJLSmcBev?4/)1,0,1(~又因 谱线 间距 相等,。厘米/467.04/~ mcBev?
特斯拉。00.1467.04emcB?6.3漫线 系的 一条 谱线 在弱 磁场 中将 分裂 成多 少条 谱线？试 作出Li )23( 2/12/32 PD?相应 的能 级跃 迁图 。 解,在弱 磁场 中,不考 虑核 磁矩 。
能级,2/323D,23,21,2 jSl 54)1(2 )1()1()1(1 23,21,21,3
2 jj sljjgM能级,2/12P,21,21,2 jSl 3,21,21
1gM Lv )3026,3022,302,30,3022,3026(~所以,在 弱磁 场中 由 跃迁 产生 的光 谱线 分裂 成六 条,谱线 之间 间隔 不等 。
2/122/323 PD?
2D3/2
2P1/2
无磁 场 有磁 场 -3/2-1/M3/2106/3/
1/2-1/2
6.4在平 行于 磁场 方向 观察 到某 光谱 线的 正常 塞曼 效应 分裂 的两 谱线 间波 长差 是 。所 用的 磁场的 B是 2.5特斯 拉,试计 算该 谱线 原来 的波 长。A40.0解,对 单 重项 （ 自 旋等 于零 ） 之 间 的跃 迁所 产生 的谱 线可 观察 到正 常塞 曼效 应。 它 使 原来的 一条 谱线 分裂 为三 条,两个 成分,一 个 成分 。 成分 仍在 原来 位置,两 个 成分在 成分 两侧,且 与 成分 间的 波数 间隔 都是 一 个 洛仑 兹单位 L。?
又 2/)1(~,1~vv符号 表示 波长 增加 波数 减少 。 根 据 题设,把 近似 地看 作 成分 与 成分 间的 波长 差,则有,Lv
2/~?其中 mcBeL?4/?因此, AL 5.4140101405.4
7米6.5氦原 子光 谱中 波长 为 及)2131(1.678 121 PpsDdsA的两 条谱 线,在磁 场中 发生 塞曼 效应 时应 分裂 成几 条？ 分别)2131(1.7065
031 PpsSsA作出 能级 跃迁 图。 问哪 一个 是正 常塞 曼效 应？ 哪个 不是？为 什么？ 解,（ 1） 。1,0,1,2,2,0,2 2221 gMJSLD谱项,1,0,1,1,0,1
111 gMJSLP谱项,。 可 以 发生 九种 跃迁,但 只 有三 个波 长,所 以 的光 谱 线Lv )1,0,1(~ A1.6678?
分裂 成三 条光 谱线,且 裂开 的两 谱线 与原 谱线 的波 数差 均为 L，是 正常 塞曼 效应 。（ 2）对 2,0,1,1,1,0 2213 gMJSLS能级,000,0,0,1,1
111103 gMgMJSLP,能级：对,所 以 的光 谱线 分裂 成三 条,裂开 的两 谱线 与原 谱Lv )2,0,2(~ A1.7065?线的 波数 差均为 2L，所 以不 是正 常塞 曼效 应。
6.6 跃迁 的光 谱线 波长 为,在 B=2.5特斯 拉2/122/12 33 SPNa?原子从?A5896的磁 场中 发生 塞曼 分裂 。 问 从 垂直 于磁 场方 向观 察,其 分 裂为 多少 条光 谱线？其 中波 长最 长和最 短的 两条 光谱 线的 波长 各为 多少？A
解,对于 32,21,21,21,13 222/12 gMJSLP能级：对于 2,21,21,21,03 112/12 gMJSLS能级：
，所 以从 垂直 于磁 场方 向观 察,此谱 线分 裂为 四条 。Lv )34,2,3,34(~根据 塞曼 效应 中裂 开后 的谱 线同 原谱 线波 数之 差的 表达 式：,
2/)1(~v Lv 34/~2因此,波 长改 变 为： AL54.0342
所以,最 长的 波长 为：max A54.5896max最短 的波 长 为：
min A46.5895min6.7 跃迁 的精 细结 构为 两条,波 长分 别为 5895.93埃和SPNa 33?原子从
5889.96埃。 试求 出原 能级 在磁 场中 分裂 后的 最低 能级 与 分裂 后的 最高 能级 相2/32P 2/12P并合 时所 需要 的磁 感应 强度 Ｂ。
解,对 ;34,21,23,23,21,12/32 gMjslP能级,磁场 引起 的附 加能 量为,;32,21,21,21,12/12 gMjslP能级,B
mheMgE?4设 对应 的能 量分 别为,跃 迁 产,,,2/12/12/32 SPP 012,,EE,,2/122/12/122/32 SPSP生的 谱线 波长 分别 为 ；那 么,。 能级 在磁 场中
12, AA 93.585,96.58 12 P2发生 分裂,的附 加磁 能分 别记 为 ； 现 在 寻求 时 的,,2/12/32 PP 12,EE 1122 EEEEB。 BmehgMgMEEEE?4)(
22112112由此 得,mceBgMgMhcEEEE?4)()()( 22112112即,mceBgMgM 4)(11
221112因此,有,)11(14
122211 gMgMemcB其中,将 它们 及各 量代 入上 式得,2,312211gMgMB=15.8特斯 拉。6.8已知 铁的 原子 束在 横向 不均 匀磁 场中 分裂为 9束。问 铁 原子的 J值多 大？ 其有 效 磁矩多 大？ 如果 已知 上述 铁原 子的 速度,铁 的原 子量为 55.85，磁 极范 围秒米 /103?v，磁 铁到 屏的 距离,磁 场中 横向 的磁 感应 强度 的不 均匀 度 03.01 米?L 10.02 米?L特斯 拉 /米,试求 屏上 偏离 最远 的两 束之 间的 距离 d。
310?dydB解,分裂 得条 数为 2J+1,现 2J+1=9。所以 J=4,有效 磁矩 3为：
BJJ JgPmeg )1(2而 52)1(J对 原子 态：,因 此D
5 23,2,2gSL 2231021.653 米安BJ
与第 二章 11题相 似，
212122 0
1 1',/,,vLdydBmMgvLdydBmvvLtgLS NAmtgvv vLdydBmv vLtdydBmmfatv
ByFeFe
y y
而?
将各 量的 数值 代入 上式,得,米31079.1'S原子 束在 经过 磁场 距离 后,偏离 入射 方向 的距 离：1L
BMgvLdydBmS?21)(21其中,,可 见,当 时,偏离 最大 。把 代 入 上 式,得,0,1,2,3,4M 4M 4M
BFe vLdydBANS?234)(2 210把各 量的 数值 代入 上式,得,米。31079.2S所以,米。
31018.9)'(2SSd6.9铊原 子气 体在 状态 。当 磁铁 调到 B=0.2特斯 拉时,观 察到 顺磁 共振 现象 。问2/12P微波 发生 器的 频率 多大？
解,对 原子 态：2/12P 32,21,21,1 gJSL由 Bghv得 hBgv /
代入 各已 知数,得 。19109.1秒v6.10钾原 子在 B=0.3特斯 拉的 磁场 中,当交 变电 磁场 的频 率为 赫兹 时观 察到9104.8?顺磁 共振 。试 计算 朗德 因子,并 指出 原子 处在 何种 状态？g解,由公 式,得,Bghv 2?g
钾外 层只 有一 个价 电子,所 以 slsljs 或,21又 )1(2 )1()1()1(1 jj sljjg将 代入 上式,得 到：sjlg和2
2)1(2 )1()1)(()1(1 jj ssjsjjjg整理,得,0)1(2 sjsj当 时,上方 程有 两个 根：21?s 1,21
21jj当 时,上方 程有 两个 根：21s 1,2143jj由于 量子 数不 能为 负数,因 此 无意 义,弃之 。
432,,jjj
02121211lljjj?因此 钾原 子处 于 状态 。212S6.11氩原 子 （ Z=18） 的 基 态为 ； 钾 原 子 （ Z=19） 的 基 态为 ； 钙 原 子 （ Z=20） 的
01S 212S基态 为 ； 钪 原 子 （ Z=21） 的 基 态为 。 问 这 些原 子中 哪些 是抗 磁性 的？ 哪些 是顺 磁 性01S 232D的？ 为什 么？ 答,凡 是 总磁 矩等 于零 的原 子或 分子 都表 现为 抗磁 性； 总 磁 矩不 等于 零的 原子 或分 子 都表现 为顺 磁性 。 而总 磁矩 为 BJJ JgPmeg )1(2氩原 子的 基态 为,故氩 是抗 磁性 的。
01S 00,0,0 JJSL?所以有同理,钙 也是 抗磁 性的 。 钾原 子的 基态 为,,故 钾 是顺 磁性 的 。
212S 02,21,21,0 JgJSL?，所以有钪原 子的 基态 为,,故 钪是 顺磁 性232D 054,23,21,2 JgJSL?，所以有的。 6.22若已 知钒 （ ）,锰 （ ）,铁 （ ）的 原子 束,按照 史特 恩 -盖拉 赫实 验方 法F4 S6 D5通过 及不 均匀 的磁 场时,依 次分 裂成 4,6和 9个成 分,试确 定这 些原 子的 磁矩 的最 大投 影值。 括号 中给 出了 原子 所处 的状 态。
解,原子 的磁 矩 在磁 矩方 向的 分量 为J? Z?BZMg其中 M=J,J-1,…… -J； 式 中 的负 号表 示当 M是正 值时,和磁 场方 向相 反,当 M是负 值 时
Z?和磁 场方 向相 同。Z?在磁 场中有 2J+1个取 向。 在磁 场中 的最 大分 量：
J? J? BZ Jg最大对于 钒（ ）,因 为 2S+1=4，所 以,自旋 S=3/2F4因为是 F项,所以 角量 子数 L=3,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 4个成 分,则有2J+1=4，所以 J=3/2。
根据 S,L,J值求得 g为,52)1(2 )1()1()1(1 J SLJg
BBBZ Jg 535223最大锰（ ）,因为 2S+1=6，所 以,自旋 S=5/2S6因为是 S项,所以 角量 子数 L=0,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 6个成 分,则有2J+1=6，所以 J=5/2。
因为 L=0,所以 g=2,BBZ Jg 5最大铁（ ）,因为 2S+1=5，所 以,自旋 S=2D5因为是 D项,所以 角量 子数 L=2,因为 在非 均匀 磁场 中,其原 子束 分裂为 9个成 分,则有2J+1=9，所以 J=4。
根据 S,L,J值求得 g为,23)1(2 )1()1()1(1 J SLJg
BBBZ Jg 6234最大第七章 原子的壳层结构7.1有两 种原 子,在 基 态时 其电 子壳 层是 这样 添充 的：（ 1） n=1壳层,n=2壳层和 3s次壳层 都填 满,3p次 壳 层 填 了 一 半 。（ 2） n=1壳层,n=2壳层,3壳层及 4s,4p,4d次壳 层都填 满。 试问 这是 哪两 种原 子？ 解：根 据 每个 壳层 上能 容纳 的最 多电 子数 为 和每 个次 壳层 上能 容纳 得最 多电 子数 为2n。)12(?l
（ 1） n=1壳层,n=2壳层 填满 时的 电子 数为,1021223s次壳 层填 满时 的电 子数 为,2)102(
3p次壳 层填 满一 半时 的电 子数 为,3)12(21所以 此中 原子 共有 15个电 子，即 Z=15，是 P(磷 )原子 。（ 2） 与（ 1）同 理,n=1,2,3三个 壳层 填满 时的 电子 数为 28个4s,4p,4d次壳 层都 填满 的电 子数为 18个。所以 此中 原子 共有 46个电 子，即 Z=46，是 （钯 ）原 子。Pd
7.2原子的 3d次壳 层按 泡利 原理 一共 可以 填多 少电 子？ 为什 么？答,电 子的 状态 可用 四个 量子 来描 写。 根 据泡 利原 理,在 原 子中 不能 有两 个slmln,,电子 处在 同一 状态,即 不能 有两 个电 子具 有完 全相 同的 四个 量子 数。 3d此壳 层上 的电 子,其 主 量子 数 和角 量子 数 都相 同。 因 此,该 次壳 层上 的任 意两 个n l电子,它 们 的轨 道磁 量子 数和 自旋 磁量 子数 不能 同时 相等,至 少 要有 一个 不相 等。 对 于一 个给定 的 可以 取 个值 ；对 每个 给定 的 的取 值是lml,12;,....,2,1,0 llml 共有 slm,，共 2个值 ；因 此,对每 一个 次壳 层,最多 可以 容纳 个电 子。2121?或 l ）（ 12?l3d次壳 层的,所以 3d次壳 层上 可以 容纳 10个电 子,而不 违背 泡利 原理 。2?l7.3原子的 S,P,D项的 量子 修正 值 。把 谱项 表Na 01.0,86.0,35.1
Dps达成 形式,其中 Z是核 电荷 数。 试计算 3S,3P,3D项的 分别 为何 值？ 并说22)(nZR明 的物 理意 义。
解,原子 的光 谱项 可以 表示 为 。Na 2*/nR因此 。Znnn*由此 得,)/(nZ?
故,1001.033116.986.031118.935.1311DPS的物 理意 义是,轨 道贯 穿和 原子 实极 化等 效应 对价 电子 的影 响,归 结 为内 层电 子对 价?电子 的屏 蔽作 用。
7.4原子 中能 够有 下列 量子 数相 同的 最大 电子 数是 多少？ 。nlnmln )3(;,)2(;,)1(答,（ 1） 相同 时,还可 以取 两个 值,；所 以此 时最 大电mln,
sm 21,21ss mm子数为 2个。
（ 2） 相同 时,还可 以取 两 个值,而 每一 个 还可 取两 个值,所 以ln,lm 12?l sm ln,相同 的最 大电 子数 为 个。)12(?l（ 3） 相同 时,在（ 2）基 础上,还可 取 个值 。因 此 相同 的最 大电 子数 是：n l n n
210 )12( nlNnl7.5从实 验得 到的 等电 子体系 KⅠ,CaⅡ …… 等的 莫塞 莱图 解,怎样 知道 从钾 Z=19开始不 填 次壳 层,又从钪 Z=21开始 填 次壳 层？sd43而填 sd43而不填解,由图 7— 1所示 的莫 塞莱 图可 见,相交于 Z=20与 21之间 。当 Z=19和SD2243和20时,的谱 项值 大于 的值,由 于 能量 同谱 项值 有 的关 系，可 见从钾 Z=19S24 D23 hcTE起到钙 Z=20的 能级 低于 能级,所 以钾 和钙 从第 19个电 子开 始不 是填S
24 D23 sd43而填次壳 层。 从钪 Z=21开始,谱项 低于 普项,也 就是 能级 低于 能级,所 以,S24 D23 D23 S24从钪 Z=21开始 填 次壳 层。sd43而不填
7.6若已 知原 子阿 Ne,Mg,P和 Ar的电 子壳 层结 构与,理想,的周 期表 相符,试 写出 这些原子 组态 的符 号。 解,Ne原子有 10个电 子,其电 子组 态为,； Mg原子有 12个电 子,其电6221pss子组 态为,Ne的壳 层 +； P原子有 15个电 子,其电 子组 态为,Ne的壳 层 +；
23s 323psAr原子有 18个电 子,其电 子组 态为,Ne的壳 层 +。6233ps第八章 X射线
8.1某 X光机 的高 压为 10万伏,问 发 射光 子的 最大 能量 多大？算 出发射 X光的 最短 波长。 解,电子 的全 部能 量转 换为 光子 的能 量时,X光子 的波 长最 短。 而光 子的 最大 能量 是：电子 伏特5
max 10Ve?而 minmax ch?
所以 Ach 124.01060.1101031063.6 195 834maxmin
8.2利用 普通 光学 反射 光栅 可以 测定 X光波 长。当 掠 射角 为 而出现 n级极 大值 出射 光?线偏 离入 射光 线为,是偏 离 级极 大出 射线 的角 度。 试证,出现 n级极 大的 条件2是 nd2sin22sin2为光 栅常 数（ 即两 刻纹 中心 之间 的距 离）。 当 和 都很 小时 公式 简化 为d
。 nd)2( 2解,相干 光出 现极 大的 条件 是两 光束 光的 光程 差等 于 。而 光程 差为,?n2sin22sin2)cos(cos dddL根据 出现 极大 值的 条件,应 有?nL
nd2sin22sin2当 和 都很 小时,有 22sin;2222sin由此,上 式化 为,;)2( nd
即 nd)2( 28.3一束 X光射 向每 毫米 刻有 100条纹 的反 射光 栅,其 掠 射角为 20＇。 已 知 第 一 级 极 大出现 在离 0级极 大出 现射 线的 夹角 也是 20＇。 算 出入射 X光的 波长 。解,根据 上题 导出 公式, nd
2sin22sin2由于,二 者皆 很小,故 可用 简化 公式,'20,'20 nd)2( 2
由此,得, And 05.5)2(;8.4已知 Cu的 线波 长是 1.542,以此 X射线与 NaCl晶体 自然 而成 角入 射?K?A '5015?而得 到第 一级 极大 。试求 NaCl晶体 常数 。d
解,已知 入射 光的 波长,当 掠射 角 时,出现 一级 极大 （ n=1） 。?A542.1? '501 Addn 825.2sin2sin2
8.5铝 （ Al） 被 高速 电子 束轰 击而 产生 的连续 X光谱 的短 波限为 5。 问 这 时是 否也 能?A
观察 到其 标志谱 K系线？解,短波 X光子 能量 等于 入射 电子 的全 部动 能。 因此 电子 伏特31048.2ch电要使 铝产 生标 志谱 K系,则 必 须使 铝的 1S电子 吸收 足够 的能 量被 电离 而产 生空 位,因此轰 击电 子的 能量 必须 大于 或等于 K吸收 限能 量。 吸收 限能 量可 近似 的表 示为,
22 )(ZnRhcEK这里,；所 以有,13,0,1Zn?
1030.2 1031063.610097.116913133 834722电子伏特hcRRhcEK故能 观察 到。 8.6已知 Al和 Cu对于 的 X光的 质量 吸收 系数 分别 是A7.0?,Al和 Cu的密 度分 别是 和公斤米公斤和米 /0.5/5.0
22 33 /107.2 米公斤?。现 若分 别单 独用 Al板或 Cu板作 挡板,要 的 X光的 强度33 /1093.8 米公斤A7.0?减至 原来 强度的 1/100。问 要选 用的 l板或 u板应 多厚？
解：,A7.0? 公斤米公斤；米 /0.5)(/5.0)( 22 CuAl 3333 /1093.8/107.2 米公斤，米公斤 CuAl
xeIIII001001因为 X光子 能量 较低,通 过物 质时,主 要是 电离 吸收,故 可只 考虑 吸收 而略 掉散 射。
xxeIIeII100100所以 有,100ln1x
对于 Al,公斤米 /5.02
米 米米公斤公斤米 3 13332 1041.3100ln1 1035.1/107.2/5.0Alx对于 Cu,公斤米 /0.52
米 米米公斤公斤米 4 14332 1003.1100ln1 10465.4/1093.8/0.5Cux8.7为什 么在 X光吸 收光 谱中 K系带 的边 缘是 简单 的,L系带 是三 重的,M系带 是五重的？ 答,X射线 通过 物质 时,原子 内壳 层电 子吸收 X射线 能量 而被 电离,从 而产 生吸 收谱中带 有锐 利边 缘的 多个 线系 。 吸 收 谱的 K,L,M,…… 系是 高能 X光子 分别将 n=1,2,3… …
壳层 的电 子电 离而 产生 的。 每 一谱 线的 锐边 相当 于一 极限 频率,在 这 频率 下,X光子 恰好 把电子 从相 应壳 层电 离而 不使 其具 有动 能。 对应于 X射线 能级 的谱 项公 式是, )43()()( 44222 KnnSZRnZRT式中 对不 同的 和不 同的 都不 同,K=J+1/2。由于 J不同 也有 不同 的谱 项数 。对于 K壳?n l
层,,只有 一个 值,只 有 一个 光谱 项,所以 K系带 的边 缘是 简单 的。 对 于21,0,1Jln?L壳层 可以 有三 组量 子数 。此 三组 量子 数2?n )23,1(),21,1(),21,0( JlJlJl分别 对应 有三 种谱 项值,所 以,L系有 三个 吸收 限,即 是 三重 的。 M壳层,,可以 有 五3?n组量 子数,。 此 五)25,2(),23,2(),23,1(),21,1(),21,0( JlJlJlJlJl
组量 子数 分别 对应 五个 光谱 项值,所以 M系带 有五 个吸 收限,即 是五 重的 。同 理可 知,N系是 七重 的。 Ｏ系 是九 重的 。 8.8试证明 X光标 识谱 和碱 金属 原子 光谱 有相 仿的 结构 。证明,我 们以 光谱 L系与 碱金 属光 谱进 行比 较。 L系是 由外 层电 子向 L壳层 （ n=2）上的 空位 跃迁 时发 射的 。 它 可 分成 三个 小系 。 系是 电子 由诸 ｎ＞ ２的 能级 向 能级 跃
IL p s2迁产 生的 。 能级 是单 层的,能级 是双 层的 且间 隔随 的增 大而 逐渐 减小 。所 以 系由s p n IL双线 构成 且随 波数 增加 而双 线间 隔缩 小。对 应 的碱 金属 主线 系也 是诸 能级 向较 低的 能 级p s跃迁 产生 的,而,能级 结构与 X能级 相仿 。 所 以其 光谱 具有 相仿 的结 构。 系是 由 诸ps
IL的 能级 跃迁到 2P能级 上产 生的,而 是单 层的,是双 层的 。 所 以 系谱 必是 由 一3?n s p IL组等 间距 的双 线构 成。 系对 应于 碱金 属第 二辅 线系 的跃 迁。 它们 有相 仿的 结构 。同 理，
IL系与 碱金 属第 一辅 线系 有相 仿结 构。 其他 X光谱 系也 具有 同金 属相 仿的 结构 。IL
X光标 志谱 之所 以与 碱金 属原 子光 谱具 有相 仿的 结构,在 于满 壳层 缺少 一个 电子 形成 的原子 态同 具有 一个 价电 子的 原子 态相 同。 X能级 是有 满壳 层缺 少一 个电 子构 成的 ； 碱 金属 能级是 一个 价电 子形 成的 。 根 据 第七 章习题 8的证 明,它 们 应有 相同 的谱 项,因 而具 有相 仿 的结构 。在 跃迁 是,它们 服从 同样 的选 择定 则,因此 它们 应有 相仿 的光 谱线 系。
第九章 分子结构和光谱9.1分子 的远 红外 吸收 光谱 是一 些 等间 隔的 光谱 线。 试 求
rHB 194.16~厘米v rHB分子 的转 动惯 量及 原子 核间 的距 离。 已知 和 的原 子量 分别为 1.008和 79.92。HrB解：远 红外 光谱 是由 分子 的转 动能 级跃 迁产 生的,谱 线 间隔 都等于 2B。 即 ……Bv2~（ 1）
而 …… （ 2）IchB28/由（ 1）,（ 2）两 式可 得：
米 米千克 1021 24722 1042.1)( 10302.3~88 BrHBrHmIIr cvhBChI9.2HCl分子 有一 个近 红外 光谱 带,其相 邻的 几条 谱线 的波 数是,。 H和 Cl的原 子量 分别是－１厘米49.281,56.2843,09.2865,5.2906,78.295
1.008和 35.46。试 求这 个谱 带的 基线 波数 和这 种分 子的 转动 惯量 。0~v解,由谱 线的 波数 之差 可见,除 之外,其 他相 邻谱 线之 差近09.286525.2906?乎相 等。而 2906.25和 2865.09之差 相当 于其 他相 邻谱 线之 差的 二倍 。显 然这 是一 个振 动转动谱 带。 上述 两谱 线之 间有 一空 位,此空 位即 是只 有振 动跃 迁是 的基 线波 数 。给 出五 条
0~v谱线 中,显 然,头 两条 属于 R分支,其 波 数按 大小 顺序 分别 记为 ； 后 三 条属于 P分12~,~RRvv支,其波 数按 大小 顺序 分别 写作 。
3,2,1~~PPPvvvR分支 的谱 线波 数近 似地 由下 述公 式决 定, ,2,1','2~~0 JBvvRP分支 的谱 线波 数近 似地 由下 述公 式决 定, ,2,1','2~~
0 JBvvP因此 有,(Ⅰ ) ）（ ）（ 22~~ 12~~
0101 BvvvvPR(1)-(2)式,得,29.104~~11PRvvB
(Ⅱ ) ）（ ）（ 44~~ 34~~0202 BvvvvPR(3)-(4)式,得,,28.108~~22PRvvB 285.10228.1029.10B
转动 惯量 为,2472 1072.8 米千克BchI?由 (Ⅰ ),(Ⅱ )，得 基线 波数 为,11
21120 28851717.2885)~~~~(41~ 米厘米PPRR vvvvv
9.3Cl原子 的两 同位 素 分别与 H化合 成两 种分 子 。试 求这3735ClCl和 3735HClHCl和两种 分子 的振 动光 谱中 相应 光谱 带基 线的 频率 之比 。0v解,
002.1212
1~~;~
353537
37 1
2212121210201 2211?
ClHClHClH
ClHmmmm mmK
mKffvCvvv uvuv
9.4试证 明双 原子 分子 相邻 振动 能量 之间 跃迁 时发 射光 的频 率与 两核 间固 有振 动频 率一致 。假 设两 原子 间相 互作 用力 为弹 性力 。 证明,在 同一 电子 态中,有 振动 能级 的跃 迁时 发光 频率 由下 式决 定：v 12EEhv波数 为,
xuuu buaubuauhchcEEv )1')('()'( ]})21()21[(])21'()21'{[(11~ 12式中 。是固有振动频率fcfhcaabx ;//,/若原 子间 为弹 性作 用,第二 项或 能级 修正 项 应略 去。 因此bu
2)1(?,也就 是 ； 对于 相应 能级, 3,2,1,)'(~ uuuv3,2~，v，1uv~
而 ；所 以两 相邻 能级 间跃 迁时 发射 光的 频率 为：cf/ fvCv~9.5怎样 解释 分子 的组 合散 射有 下列 两个 特点,（ 1） 波长 短的 伴线 比波 长长 的伴 线的 强度 弱；（ 2） 随散 射体 温度 的升 高，波 长短 的伴 线强 度明 显增 强而 波长 长的 伴线 的强 度几 乎不变 。
解,（ 1）根 据统 计分 布律,处 在较 高能 级的 分子 数少 于处 在较 低能 级的 分子 数。 因此,分子 在纯 转动 能级 间的 受激 辐射 比受 激吸 收要 弱得 多。 辐 射 的能 量归 并于 原光 子,吸 收 的 能量取 自原 光子 。因 而波 长短 的伴 线比 波长 长的 伴线 的强 度弱 的多 。
（ 2）按 玻尔 兹曼 分布 律，,是处 在高 能级 上的 分子KTEEii ieggNN /)(00 0 iN iE数,是处 在低 能级 上的 分子 数。 是对 应的 权重 。可 见当 T增高 时,位于 较高0N 0E 0,gi能级 上的 分子 数 就会 明显 增多 。因 而,随温 度升 高,波长 短的 伴线 的强 度明 显增 强。 而
iN在一 般温 度范 围内,处 于低 能级 （ 通 常是 基态 ） 上 的分 子数 变化 不十 分显 著,因 而 波长 长 的伴线 的强 度几 乎不 变。 9.6光在 HF分子 上组 合散 射使 某谱 线产 生波 长 为两 条伴 线。 试由 此
AA34302670和计算 该分 子的 振动 频率 和两 原子 间已 知的 原子 量分 别为 1.008和 19.00。解,设两 条伴 线的 频率 分别 为,则"' vv和 ;";'
1010 vvvvv式中 是入 射频 率； 是振 动谱 带频 率。 由上 两式 可得,0v 1v Hzcvv vvv
1411 1024.1)'1'1(2)"'(2' "'而,mKv?21
1? 米牛顿 /1065.9)()2( )2()2(
2021 2121 FHFH FHFHAANv mmvmvK
第十章 原子核10.1的质量 分别 是 1.0078252和 1.0086654质量单 位,算出 中每个 核子nH
101和 C126的平 均结 合能 （ 1原子 量单 位 = ）,2/5.931cMeV解,原子 核的 结合 能为,MeVmNmZEE
AH 5.931)(核子 的平 均结 合能 为,AEE?0
MeVMeVmNmZEAE AnH 680.75.931)(110.2从下 列各 粒子 的质 量数 据中 选用 需要 的数 值，算 出 中每 个核 子的 平均 结合 能,Si301407825.1,97386.2 0865.1,01402.2,0548.
13014 1021HSi ne解,MeVMeVmNmZmAAEE ASinH 520.85.931)(1
101010.3放射 射线成为,从含有 1克 的一片薄膜测得每秒放射 4100粒Th23290R22888 Th23290粒子,试计 算出 的半 衰期 为 年,? Th
23290 104.1?解,根据 放射 性衰 变规 律,teNN0如果在短时间 内有 个核衰变,则衰变率 必定与当时存在的总原子核数目 成dt dN dtdN/ N正比,即,
teNNdtdN 0此式 可写 成,…… （ 1）
0NdtdNet其中
20230 23'
'00 1261231002.6,23,1002.6,1;1,410N AN ANNtdtdNNdtdNet 故克 克秒
将各 已知 量代 入（ 1）式,得,…… （ 2）1820 10264110264100e因为 的半 衰期 为 年,所 以 可视 为很 小,因 此 可以 将 展成 级数,取Th
23290 104.1e前两 项即 有,1e这样 （ 2）式 变为,
181026411
由此 得,年秒秒 101818 104.110438.02ln /1058.1T
所以,的半 衰期 为 年,Th23290 104.1?10.4在考古 工作 中,可以从 古生 物遗 骸中 的含量 推算 古生 物到 现在 的时 间,设C14 t?是 古 生 物 遗 骸 中 和 存 量 之 比,是 空 气 中 和 存 量 之 比,是 推 导 出 下 列 公C
14C12 0? C14C12式,式中 T为 的半 衰期,2ln)/ln(0Tt? C14
推证,设古 生 物 中 的含 量 为 ;刚死 时 的 古 生 物 中 的含 量 为 ;现C12 )(12CN C14 )(140CN在古 生物 遗骸 中 的含 量为 ;根据 衰变 规律,有,C14 )(14CN teCNCN)()( 14014由题 意知,;)()(
1214CN古生物 刚死 时 的含量 与 的含量 之比 与空 气二 者之 比相 等,所C14 C12 )()(121400 CN
以,te0因此 得,
2ln)/ln(ln1ln 000 Ttt10.5核力在 原子 核大 小的 距离 内有 很强 的吸 引力,它 克服 了质 子间 的（ 元素 氢除 外，那里 只有 一粒 质子 ） 库 仑 推斥 力的 作用 而使 原子 核结 合着,足 见 在原 子核 中核 力的 作用 超 过质子 间的 库仑 推斥 力作 用； 从 质 子间 推斥 力的 大小 可以 忽略 地了 解到 核力 大小 的低 限。 试 计算原 子核 中两 粒质 子间 的库 仑推 斥力 的大 小（ 用公 斤表 示）。（ 质子 间的 距离 用 米）1510?解,库 仑 力是 长程 力,核 力 的一 个质 子与 其它 所有 的质 子都 要发 生作 用,所 以在 Z个 质子间 的库 仑排 斥势 能将 正比于 Z(-1),当 Z>>1时,则 正比 于 。 根 据 静电 学的 计算 可知,2Z
每一 对质 子的 静电 斥力 能是,R是核 半径 。 若 二 质子 间的 距离为 R,它 们 之间 的 库ReE562?
仑力 为,则 有,由 此得,f EfR?2256ReREf
采用 SI制,则,,18.248.2765641220 公斤牛顿Ref所以,原子 核中 二质 子之 间的 库仑 力为 28.18公斤,10.6算 出 的 反 应 能,有 关 同 位 素 的 质 量 如HeapLi 4
273 ),(下,,015999.7,;002603.4,;007825.1,73421 LiHeH解,核反 应方 程式 如下,HeHepLi
4242173MeV MeVcmmmmQ35.17 5.931)]02603.42()07825.130159.7[( )]()[( 23210
反应 能是,大于 零,是放 能反 应,eV35.1710.7在第六题的核反应中，如果以 1MeV的质子打击,问在垂直于质子束的方向观Li测到 的 能量 有多 大？He42解,根 据 在核 反应 中的 总质 量和 联系 的总 能量 守恒,动 量 守恒,可 知,反 应所 产生 的 两个相 同的 核应 沿入 射质 子的 方向 对称 飞开 。如 图所 示。He42根据 动量 守恒 定律 有,321 PPP矢量 合成 的三 角形 为一 个等 腰三 角形,二底 角皆 为,
321,,PP又因 为,因而 有32mm? 32EE?已知 反应 能,由能 量守 恒定 律得,其中MeVQ35.17?
132 EEEQ MeVE11?由此 可得,MeVEQEE 175.9)(21132反应 所生 成的 粒子 其能 量为 9.175MeV.?核飞 出方 向与 沿入 射质 子的 方向 之间 的夹 角为,He
42cos22122123 PPPP由于 MEP2
2?
所以 得,?cos2)1()1( 32121131232 AEEAEAQ(质量 之比 改为 质量 数之 比 )
'1685 0825.0432cos cos432
:4,1
21 12
2112 321
EEQEEEEQAAA 代入上式得由此 可知,垂直 于质 子束 的方 向上 观察 到的 的能 量近 似就是 9.175MeV。He4210.8试计算 1克 裂变 时全 部释 放的 能量 约为 等于 多少 煤在 空气 中燃 烧所 放出 的 热U235能（ 煤的 燃烧 约等 于 焦耳 /千克 ； 焦 耳 ）。
6103? 1306.11MeV解,裂变 过程 是被 打击 的原 子核 先吸 收中 子形 成复 核,然后 裂开 。 YXUnU2369102359我们知道，在 A=236附近，每个核子的平均结合能是 7.6MeV；在 A=118附近，每一个核子 的平 均结 合能 量是 8.5MeV。 所 以 一个 裂为 两个 质量 相等 的原 子核 并达 到稳 定态 时,总共放 出的 能量 大约 是,MeVMeVMeV 2106.72365.822362
而 焦耳,所 以,。1306.11MeV 焦耳111036.31克 中有 N个原 子；U235
焦耳102106.81056.2NEAMNN它相 当的 煤质 量 。吨公斤 6.2106.23M10.9计算按照（ 10.8-1）式中前四式的核聚变过程用去 1克氘所放出的能量约等于多少煤 在空 气中 燃烧 所放 出的 热能 （煤 的燃 烧热 同上 题）。
解,四个 聚变 反应 式是,完成 此四 个核 反应 共用 六个,放 出能量 43.2MeV，平 均每 粒 放出 7.2MeV，单H2 H2位质 量的 放出 3.6MeV。 1克氘 包含 N粒,则H2 H2
230 100.3AMNN所以 1克氘 放出 的能 量约 等于,焦耳1124 105.3102.2.7 MeVMeVNE
与它 相当 的煤,吨公斤 6.10106.103aEM10.10包围 等离 子体 的磁 通量 密度 B是,算 出被 围等 离子 体的 压强 。2/2米韦伯解,根据 公式,得：
0202 22外内内 BBP,式 中 是等 离子 体的 压强 ； B是磁 通密 度； 是真 空中 的磁 导 率,020222外内内 BBP 内P 0?
等于,设 小到 可以 忽略,则 得 到：米亨 /1047 内B 2502 /1092.152 米牛顿外内BP因,故
24 /1013.101 米牛顿大气压 大气压内 7.15?P第十一章 基本粒子
11.1算出原子核中两个质子间的重力吸引力和静电推斥力。可以看出重力吸引力远不足以 抵抗 静电 推斥 力。 这 说 明原 子核 能够 稳固 地结 合着,必 有 更强 的吸 引力 对抗 库仑 力而 有余。 解：原子核中两个质子间的静电斥力势能近似为,R是原子核半径,是电子电荷Re2 e
绝 对 值 。 因 此,两 个 质 子 间 的 排 斥 力 近 似 地 为 。 注 意 到22ReF?则,10,1080.4 1310 cmRCGSEe )(50.23公斤力?F如 果 把 R视 作 两 质 子 间 的 距 离,则 它 们 间 的 重 力 吸 引 力 f可 估 算 如下,)(1085.2352 公斤力Rmrf pp
由上 面的 结果 看出,重 力 吸引 力远 不能 抵消 库仑 斥力 。 原 子 核能 稳固 地存 在,质 子 间 必有强 大的 吸引 力。 这种 力就 是核 力。 11.2在 介子撞击质子的实验中，当 介子的实验室能量为 200MeV时,共振态的激发 最大,求 的质 量。解,介子 的动 能? MeVT200?
介子 的静 能? MeVMeVcm 140511.02732介子 的总 能量? MeVcmTE 340
2实验 室系 中 介子 的动 量是? cMeVcmEcP /310)(1 222质子 的静 能 MeVcm
p 9382?共振 粒子 的总 能量 等于 介子 总能 量和 质子 静能 之和,E?MeVcmEE
p 12782碰撞 前质 子静 止。根 据 动量 守恒 定律,粒子 的动 量 等于 介子 的动 量,P PP:根据 狭义 相对 论,粒子 的质 量 由下 式决 定：?
m 2222 /1240)(1 cMeVcpEcm与 粒子 的质 量相 联系 的能 量是,? eV124011.3在下 列各 式中,按 照 守恒 定律 来判 断,哪 些反 应属 于强 相互 作用,哪 些 是弱 相互 作用,哪些 是不 能实 现的,并 说明 理由 。
.)7()6()5()4(
)3()2()1(
000 00
K Knpppppn
vveepeep e
解,（ 1） 左 侧 重子 数是 +1,右 侧 重子 数是 0,衰 变 前后 重子 数不 相等 。 三 种 基本 相互 作用重 子数 都要 守恒 。因 此,所列 衰变 实际 上是 不存 在的 。 （ 2）左侧轻子数是 0，右侧轻子数是 +1，衰变前后轻子数不相等。这种衰变方式不能实现,因 为三 种基 本相 互作 用都 要求 轻子 数守 恒。 （ 3）两 侧 轻子 数都 是 +1，守 恒。 但左 侧电 轻子 数是 0，右 侧电 轻子 数是 +2，电 轻子?数不 守恒 。这 种衰 变实 际上 也不 能出 现,因为 三种 基本 相互 作用 要求 两类 轻子 数分 别守 恒。
（ 4） 左 侧奇 异数是 0,右 侧奇 异数 是 -2。 奇 异数 不守 恒,只 可 能是 弱相 互作 用。 这 个 作用没 有轻 子参 加。 实际 存在 的这 种类 型的 弱相 互作 用,要满 足,而 这里 的 。1s 2s因此,这 种过 程实 际上 是不 存在 的。 （ 5）光 子 的 重 子 数 和 奇 异 数 都 是 0。 的重 子 数 是 +1,的重 子 数 是 奇 异 数 是 -1。p p的奇 异数 都是 0。 的同 位旋 相同 。所 列反 应重 子数 和奇 异数 分别 守恒,不 可能pp和 pp和是弱相互作用。质子 和反质子,通常在强作用下湮灭后转变成若干个介子。这里所列p p的反 应,可以 在电 磁相 互作 用下 实现 。 （ 6）反应前奇异数是 0，反应后是 +2，奇异数不守恒。奇异粒子只在强相互作用过程中产 生,并且 要求 奇异 数守 恒。 因此,上 列反 应不 可能 实现 。 （ 7）,
000K衰变 后静 能 MeVE2.548?后衰变 前静 能 MeVE8.497?
前因此,从 能量 守恒 考虑,这 种衰 变方 式实 际上 并不 存在 。 11.4对重子,从它 的有 关量 子数 来考 虑,试认 出是那、、、、、,00np三个 层子 构成 的。
解,重子 由三 个层 子按 不同 的组 合构 成,这三 个层 子是 。 层 子 是 奇 异 层 子 。sdu、,s奇异 重子 中一 定要 有奇 异层 子,非 奇 异重 子中 不能 有 存在 。三 个 层子 的性 质如 下表 所 示 。s s按照 简单 的规 则把 三个 层子 结合 起来 就构 成重 子。 例如,质 子 和介 子,它 们的 性p 0?质可 列成 下面 的表 。 质 子 不是 奇异 粒子,它 一 定不 包括,除 了 同位旋 I之外,将 构 成质 子s的每 个层 子的 各种 量子 数分 别相 加,应 该 等于 质子 的相 应量 子数 。 这 样,可 以 确认 质子 是 由两个 层子 和一 个 层子 构成 的。 类 似地 可以 断定 由 构成 。 因 此,题 中 给出 的u d 0?sdu、、重子 的层 子成 分可 开列 如下,)(,)( ),(,)(),(),(),( 0sdds udsuusudsuddnuudp o
都是 由 构成,但 它们 是 的不 同组 合,?00和 sdu、,sdu、、层子 是费 米子,自 旋 是 。 实 验 给出 的自 旋是,奇 异 数是 -3。 因 此,一定 是 三21?23
个 层子 构成 。 但 是,三 个 层子 的自 旋必 须平 行,这 违 背泡 里原 理。 为 了 解决 类似 的矛 盾,s s提出 了层 子有,颜色,自由 度,每 个层 子皆 有自 己的,色荷,。 中的 三个 层子,尽 管 自旋 平?s行,但因 它们 具有 不同 的,色荷,，泡 里原 理是 容许 的。把重 子中 的各 个层 子换 成相 应的 反层 子,则重 子就 成了 相应 的反 重子 。
11.5认出 下列 介子 的成 分,‘0000,,K,,K,K,K,,解,介 子 有一 个层 子和 一个 反层 子构 成。 把 层 子的 量子 数 （ 同 位旋 除外 ） 变 号就 得相 应的反 层子 的量 子数 。与 上题 类似,上 述介 子的 层子 成分 可开 列如 下,)(),(),(),(),(),( 00 dsKusKsdKsukuddu的结 构较 为复 杂,'00,,
)(31 ),2(61 ),(21'00 sdu sdudu而且 后两 者的 成分 尚有 混合 。 11.6试讨 论下 列三 式：
npvn vene e)3()2()1(讨 论,（ 1） 的质 量比 与 的质 量之 和大 的多 。从 能量 角度 考虑 衰变 似乎 可以 产?n?e生。但 是,的奇异 数,右侧 奇异 数是 0，奇异 数的 改变 。奇异 粒子 衰变
1s 1S成强子和轻子，要克服从,是奇异粒子和强子间的电荷改变。在这个衰变式SQ Q?中,因此 是不 能实 现的 过程 。SQ1
（ 2）奇 异粒 子只 在强 作用 过程 中协 同产 生,只在 弱作 用过 程中 衰变 。奇 异粒 子的 产生和衰 变服 从如 下的 选择 定则,
.),(,)(,1 )(,0 子间的电荷改变是过程中奇异粒子与强 轻子奇异粒子衰变为强子和 的弱衰变和对奇异粒子不产生对奇异粒子的强产生QSQ eS本例中，左侧奇异数是 -2，右侧奇异数是 0。奇异数改变 。因此，这个过12S程实 际不 能实 现。 （ 3） 电 轻 子数,左 侧 是 +1,右 侧是 0,不 相 等。 轻子 数,左 侧是 0,右 侧 是 -1,不 相?等。 此反 应违 背轻 子数 守恒 定律,用 任何 一种 方式 的基 本相 互作 用都 不能 实现 。
