问题式教学法在线性代数教学中的应用 1
线性代数的复习方法 12
第一章 行 列 式 17
第二章 矩 阵 25
第三章 向 量 35
第四章 线性方程组 44
第六章 二 次 型 63
线性代数攻略 72
问题式教学法在线性代数教学中的应用
武汉科技学院数理系 方文波
摘 要：本文简要介绍了作者设计的线性代数问题式教学法,该方法以解决求解线性方程组时的三个问题为线索，一一引出该课程的所有概念和理论。
关键词 问题式教学法 线性方程组中图分类号 G423.07
前言人类已跨入新世纪，进入信息时代。信息时代的特点是知识大爆炸，新的学科不断出现，知识更新的周期越来越短。因此，新世纪对人才有更高的要求：既要有扎实的基础知识，又要有不断学习新知识、解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主，忽视了对学生进行能力培养，因而已不适应新时代的要求，必须进行改革。
线性代数是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程。它是解决现实世界中的离散问题的有力工具。作者经过十几年的教学实践，发现线性代数是一门很有特色的课程。第一，线性代数中有很多有用的方法，这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论，再经过严密的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时，又都是一些较简单的算术运算。所以在教学时，教师应把重点放在这些方法的产生过程上，而不是放在方法的使用上。事实上，这些方法的产生过程，就是提出问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程，也就是学习如何提出问题、如何分析问题、如何解决问题，这有利于他们能力的提高；第二，线性代数中的很多概念和理论都与线性方程组有关，在教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来一一引出。因此，作者在教学过程中采用了问题式教学法。作者使用的教材为同济大学编写的<<线性代数>>第三版，其内容有：行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换。作者把前四章定为知识篇，后两章为应用篇。下面我以知识篇为例，简要介绍一下本人设计的问题式教学法，供有兴趣的同仁参考，不当之处，望批评指正。
问题式教学法的总体设计知识篇中的四个知识点的内在联系可用图1来表示
由于知识篇中的四个知识点有如图1所示的内在联系，所以在知识篇中应用问题式教学法的总体构思如下：知识篇中的四个知识点以线性方程组为中心，即整个知识篇以如何求解线性方程组这一中心问题来展开。由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念，接着研究行列式的理论，最后由克莱姆法则解决这类方程的求解问题；对于一般的线性方程组，先引出矩阵的概念，由于矩阵与方程组一一对应，因此研究线性方程组就转化为研究矩阵，并最终由矩阵来解决解线性方程组的方法问题，这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论没能解决抽象线性方程组解的结构问题，所以必须从另外的角度来研究方程组，于是引出向量，且方程组与向量组一一对应。最后由向量解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为桥梁，把矩阵和向量组这两个看似毫不相关的概念建立了联系，而且是一一对应的关系。所以在研究向量组时，可以充分利用矩阵这一有力工具。
线性代数问题式教学法问题提出线性代数研究的一个主要问题是线性方程组，可同学们已经会解方程组了，它还有什么好研究的呢？那么请看引例1。
引例1 求解方程组
x + 2y - z = 1,.....①
3x + y+2z = 2,.....②
2x – y +3z = 1,.....③
解 ①×(-1)+② 得 2x – y + 3z = 1，即为方程③，也就是说满足前两个方程的解一定满足第三个方程，所以第三个方程是多余的。于是原方程的同解方程为：
x + 2y - z = 1
3x + y+2z = 2
上述方程组中再没有多余的方程，称之为原方程组的保留方程组。在保留方程组中有三个未知数，而只有两个方程，故有一个未知数可自由变化，解之得
（k为任意实数）
对于一般的线性方程组
Ⅰ
求解时与引例1类似，也需解决以下三个问题：
如何判别方程组中是否有多余的方程；
如何找保留方程组；
如何求解保留方程组。
线性代数研究线性方程组就是要解决这三个问题。线性代数中的概念的引出，理论的建立主要是为了解决这三个问题。
行列式概念的引出我们先解决特殊的线性方程组的求解问题，即方程的个数与未知数的个数相等，且方程组中没有多余的方程。还是从引例开始。
引例2 求解方程组
（其中a11a22-a12a21≠0）
解 用加减消元法解之得
为了记忆该求解公式，引进记号 D=，并称之为二阶行列式，则上述求解公式可写成：
其中Ｄ为系数行列式，Dj为D中的第j列换成常数项。
类似地三元线性方程组
的求解公式可写成：
,（j=1,2,3）
其中D＝，称之为三阶行列式，Dj为D中的第j列换成常数列。
二元、三元线性方程组的求解公式很有规律，那么ｎ元线性方程组是否也有类似的求解公式呢？为了解决这一问题，我们需要定义ｎ阶行列式。接着分析二阶、三阶行列式定义的共同特点，引出ｎ阶行列式的定义，然后研究它的性质、计算方法，最后由克莱姆法则解决了这类方程组的求解问题。
矩阵概念的引出线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定，而与未知变量的记号无关。因此，研究方程组的求解问题，只需研究由方程组中的每个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可，称这样的数表为矩阵。 例如引例1中的方程组对应于矩阵
,
反之，给定矩阵Ｂ，可唯一地得到引例1中的方程组，即方程组与矩阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问题。如判断引例1 中的方程组中是否有多余的方程的过程①×(-1)+②等价于矩阵Ｂ作如下等价变换：
Ｂ＝
从矩阵B1中很容易看出原方程中有一个多余的方程，因为B1中有两行完全相同。
矩阵的概念虽然引出了，但到底如何利用矩阵来研究线性方程组，这又是我们要解决的问题，为此要对矩阵进行研究。这样自然而然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去，而且他们是带着问题去学习，这样一方面可以变以前是教师向他们灌知识到现在他们主动学知识，达到提高学习效率的目地；另一方面，带着问题去学习的学习过程，其实是在学习前人如何创造性地解决问题的过程，从而可提高他们解决问题的能力。
向量概念的引进行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的三个问题，为了解决这三个问题，必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系，那么，还可以用什么工具来研究方程组呢？这时自然会想到几何中的向量，因为向量是一个有序数组，而线性方程中的未知变量的系数及常数项按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程 x+2y-z=1对应于向量α1=(1,2,-1,1),引例1中的方程组对应于向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(3,1,2,2),α3=(2,-1,3,1)。这样研究方程组的求解问题可转化为研究它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学习上来。
在定义了向量组的线性相关性以后，问题1)得到了解决：方程组中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题只是从理论上得到解决，因为向量组的线性相关性的判别目前只能用定义，而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组，形成了一个环，因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题又出现了，这一新问题由向量组的线性相关性的四个判别定理来解决。这样很抽象的四个定理，在同学们翘首以待的过程中，被一一地引出了。讲完这四个定理后，我又提出这样一个问题：这四个定理只是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题，若用它们来判别某些具体的向量组的线性相关性，有时很困难，甚至不可能。但在这四个定理的指导下，我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方法，在介绍这一方法之前，我们必须学习向量组的秩及其有关理论。那么我们的有效方法究竟是怎样的呢？咱们以后再说。
有了上次课的伏笔，本节课再重复一下上次提出的问题，进一步激发同学们的学习兴趣，然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概念，以及本节的一个重要定理和它的四个推论。本节的内容讲完后，再回到解方程组的三个问题上来。解方程组的第二个问题在本节得到解决，即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关组所对应的方程组。学完本节后，上一节提出的方法问题也得到了解决：若向量组的秩小于向量组中的向量个数，则该向量组线性相关。但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了解决这一问题，需要进一步研究矩阵以及矩阵和向量组的关系。
利用方程组作为桥梁，把矩阵和向量组形成一一对应。定义了矩阵的秩后，求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。在讲解这一方法时，必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其中所起的重要作用，使同学们深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解决问题，从而达到提高能力的目的。在这里，问题3)也得到了解决：若方程组Ⅰ的保留方程组中含有r个方程，则该方程组中有n-r个变量可自由变化，且其余r个变量可由这n-r个变量唯一表示。
解方程组的有效方法通过前面的学习，虽然我们已经解决了求解方程组的三个问题，但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法，我们需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理论。最后我们找到的解方程组的有效方法是：利用矩阵的初等行变换来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决，<<线性代数>>这门课的前四章内容也就讲完了。
结束语作者认为问题式教学法的精髓在于，教师通过不断地提出问题、分析问题、解决问题，激发同学们的学习兴趣，使他们带着问题去学习，在分析、解决问题的过程中学习新知识；同时，这种教学法也能提高同学们发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授线性代数这门课时，以线性方程组为主线，把行列式、矩阵、向量组的线性相关性这三个知识点有机地串在一起；把解决解方程组的三个问题贯彻在整个讲授过程中，在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。这种教学法比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多，本人多年的教学实践证明了这一点。
在这里需要说明的是，第一，作者把行列式、矩阵、向量组的线性相关性等概念及相关理论的产生，都说成是为解线性方程组而产生的，这可能与它们产生的实际背景不相同，但这只是作者讲课时的一种处理方法，是否恰当有待商讨；第二，作者把行列式、矩阵、向量组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组，而事实上，这些理论的应用范围非常广，这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合学科发展的一般规律，即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问题，但当这一理论相当成熟以后，又可用来解决很多其它领域的问题，因此，应向学生反复强调这一点。
参考文献：
同济大学数学教研,线性代数,北京,高等教育出版社,1999年3月第3版.
李世栋等,线性代数,北京,科学出版社,2000年1月第1版.
The Application of problematic teaching method in linear algebra
Fang Wenbo
(Wuhan Institute of Science and Technology,Wuhan 430074,China)
Abstract,This article is intended as a brief introduction to the problematic teaching method in linear algebra designed by the author,The method has the three problems in solving simultaneous linear equations as its clue and draw out all the definitions and theories in the course.
Key words,problematic teaching method simultaneous linear equations
作者信息：方文波，男，38岁，副教授通信地址：武汉科技学院数理系邮政编码：430074
电 话：027-87495517
线性代数的复习方法
考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有,
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与B＝(β1，β2…，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，…αm)与B＝(β1，β2，…βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有,
行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有
r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n?
进而可求矩阵A或B中的一些参数
再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。
又比如，对于n阶行列式我们知道,
若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；
可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；
对于n个n维向量α1，α2，…αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2…αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；
矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0；
求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；
判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。
凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
线性代数中常见的证明题型有,
证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，…αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2…，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2…，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。
总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。
第一章 行 列 式
I 重要知识点一、排列与逆序
1,n级排列：由n个数1，2，3，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列或称n元排列，n级排列共有个。
2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用N(i1，i2，…，in)表示排列i1i2…in的逆序数。排列的逆序数由其中每一个数所引起的逆序个数相加而得到。
若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数，则称之为偶排列。
3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换。
4、有关排列和逆序的几个重要结论
1）对换改变排列的奇偶性。
2）在全部的n级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为n!/2个(n≥2)。
3）任意一个n级排列i1i2…in经过若干次对换可变为自然顺序排列123…n，且所作的对换次数与排列i1i2…in的奇偶性相同。
二、n阶行列式
1、定义：=
这里，是对所有n级排列j1j2…jn求和．故行列式等于取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和．每一项的正负号取决于组成该项的n个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺序排列时)．即当j1j2…jn是偶排列时，取正号，当j1j2…jn是奇排列时，取负号．由于n级排列共有n!项，所以n阶行列式共有n!项．
2、几个特殊的行列式
1) 上三角形行列式：；
2) 下三角形行列式；
3) ；
4) 设A、B分别是m阶和n阶方阵，则
；。
3、行列式的性质性质1 行列式的行和列互换，其值不变。
即行列式D与它的转置行列式相等，D=DT。
性质2 用一个数k乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式。或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式的前面。
推论 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零。
性质3 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式等于两个行列式的和。即：
=+
性质4 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变。
推论1 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式等于零。
推论2 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于零。
性质5 把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一个数k加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。
4、行列式按某行(列)展开余子式：n阶行列式中，把元素aij所在的第i行第j列的元素划去后剩下的元素按原来的次序排列而得到的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。
代数余子式：Aij=(-1)i+jMij，称为元素aij的代数余子式。
行列式按某一行(列)展开：
行列式等于它的任一行(列)的所有元素分别与它们所对应的代数余子式的乘积之和。即：
D=
行列式的任何一行(列)的各元素与另一行(列)的对应的代数余子式的乘积之和等于零．即
5、克莱姆法则：如果线性方程组 (1)
的系数行列式D≠0，那么这个方程组有唯一解
x1=，x2=，…，xn= (()
其中Dj是将系数行列式中的第j列的元素(即xj的系数)换成方程组中的常数项b1，b2，…，bm所构成的行列式。
克莱姆法则给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系的公式，在理论上和应用上都很重要。
若系数行列式D=0，则不能用克莱姆法则求解．此时方程组可能有解，也可能无解，这需要根据具体情况讨论。
如果齐次线性方程组 (2)
的系数行列式D≠0那么方程组只有零解。若系数行列式D=0，则齐次线性方程组有非零解。反之亦然。
注意：克莱姆法则只能用于方程组的个数与未知量个数相等且行列式不等于零的线性方程组，对于方程个数与未知量个数不等或未知量个数与方程个数相等，但系数行列式等于零的情况，需用另外的方法求解。
6、重要公式及结论
1）；；而没有及。
2）范德蒙行列式：。
II 题型归纳及思路提示
题型1 求排列的逆序数，并判断奇偶性例1 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性
1）； 2）； 3）。
例2 选择与使1）称为偶排列；2）称为奇排列。
例3 如果排列的逆序数为，则的逆序数为 。
题型2 判断行列式中项的符号例4 在五阶行列式中，项的符号为 。
例5 在四阶行列式中，带负号且包含和的项为 。
题型3 利用定义求行列式的值例6 求下列行列式的值
1）； 2）；
3）。
题型4 数字型行列式的计算（注意尽量避免分数运算）
例7 求下列行列式的值,1）；
2）； 3）。
例8 求行列式的第四行各元素的余子式之和为 。
题型5 阶行列式的计算（难点）
解题方法：1）利用行列式的定义和性质；2）观察行列式的规律；
3）拆行或列； 4）寻找递推公式，归纳得到。
例9 求。
例10求。
例11求。
例12求。
例13求。
例14证明：。
题型6 抽象行列式的计算例15设，，求。
例16若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式 。
例17设为三阶方阵，，把按列分块，其中
是的第列，则 。
例18设是方程的三个根，求。
例19已知三阶实方阵满足1）；2），求。
例20设，均为阶方阵，，则 。
题型7 克莱姆法则和范德蒙行列式德应用
例21设是数域中互不相同的数，是数域中任意一组给定的数，证明：存在唯一的数域上的多项式
使得。
III 本章小结
本章难点：1、行列式按行（列）展开定理；
2、行列式的计算。
从1978年全国统考以来，行列式的题目主要以填空和选择题为主，
题量不多，且偏重于计算。在这些考题中不仅有行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值和二次型等知识点，更常与矩阵等其他章节联合出题，如：可通过方阵的行列式是否为零判断方阵是否可逆；克莱姆法则的应用；求矩阵的特征值；根据顺序主子式是否大于零判断矩阵是否正定；通过分量组成的行列式是否为零来判断
个维向量是否线性相关等等都会考查到行列式的计算。
第二章 矩 阵
I 重要知识点一、矩阵
1、定义 由个数排成行列的数表
称为矩阵，简记为，当时，也称为阶方阵。
2、几类特殊矩阵单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为。
对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.叫数量矩阵。
三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。
矩阵的转置：将矩阵的行与列的元素位置交换而形成的矩阵叫作的转置，记为或。
对称矩阵与反对称矩阵：设，若，则称为对称矩阵，若，则称为反对称矩阵。
正交矩阵：设，若，则称正交矩阵。
可交换矩阵：设、是同阶方阵，且。
分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。
3、矩阵的运算矩阵的相等：设，，若（，，则称与相等，记为。
矩阵的和与差：设，，定义（，。
数乘矩阵：设，定义。
矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律：
① 交换律 。
② 结合律 。
③ 分配律 ，。
矩阵的乘法：设，，定义，其中。
矩阵乘法运算满足下列运算规律：
① 结合律 。
② 分配律 ，。
③ 数与乘积的结合律 。
（5）方阵的幂：设，定义。
方阵的幂满足下列运算规律：，。
分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个行的分法相同。
二、逆矩阵
1、逆矩阵的定义：设，若存在阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，并称为的逆矩阵，记。
2、可逆矩阵的性质：
（1）若可逆，则唯一。
（2）矩阵可逆的充要条件是。
（3）若可逆,则均可逆,且有,。
（4）若，为同阶可逆矩阵，则也为可逆矩阵，且有。
（5）若可逆,且，则，。
3、伴随矩阵设，为元素的代数余子式，定义即：
，为的伴随矩阵。
4、矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换：
①交换矩阵的某两行（列）；
②以一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；
③把矩阵的某一行（列）倍加到另一行（列）；
（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第种初等变换后而得到的矩阵叫第种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。即：
，，。
（3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵左（右）乘第种初等矩阵，就相当于对的行（列）进行了一次同种的初等变换。
（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵总可以经过有限次的初等变换化为，这也称为的等价标准形。
矩阵可逆可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。
5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论矩阵的秩：矩阵的非零子式最高阶数叫矩阵的秩，记为。由于初等变换不改变矩阵的秩，故等于的等价标准形中的。
有关矩阵秩的重要公式与结论
① 。
② 若，则，只有零矩阵的秩为零。
③ 。
④ 。
⑤ 若可逆，则。
⑥ 设，，若，则。
三、本章的的重要性质及公式
1、转置矩阵的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）。
2、逆矩阵的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）。
3、伴随矩阵的性质
（1）； （2）；
（3）（最常用）；（4）；
（5）； （6）。
4、分块矩阵的性质（均为可逆矩阵）
（1）； （2）；
（2）； （4）；
II 题型归纳及思路提示题型1 有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）
例1设为阶对称矩阵，则下面结论不正确的是 。
（1）也是对称矩阵； （2）也是对称矩阵；
（3）也是对称矩阵； （4）也是对称矩阵。
例2设为阶方阵，是非零常数，则 。
（1）；（2）；（3）；（4）；
例3 设均为阶方阵，且，则 。
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
题型2 有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题例4 证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
题型3 求矩阵的高次幂三种类型：（1）的类型；
（2）已知矩阵，且，求。
（3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。
例5设，求。
例6 设，求。
例7设，而为正整数，则 。
题型4 求矩阵的行列式
要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。
例8 设为三阶方阵，，求。
例9 设，为的代数余子式，且，求。
例10设，求的所有元素代数余子式之和。
例11设为阶正交矩阵，且，证明。
例12设为阶方阵，试证明：。
题型5 求逆矩阵与解矩阵方程求逆矩阵的主要方法：（1）；（2）利用初等变换求逆；
对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆；
利用定义求逆，有：。
解矩阵方程的主要方法：先化简为：或或，再求出或或（要求均可逆）。
例13设，其中，求。
例14已知矩阵满足关系式，求。
例15设矩阵的伴随矩阵，且，其中为4阶单位矩阵，求矩阵。
例16设为阶方阵，且有自然数，使，证明可逆。
题型5 求矩阵的秩及与秩有关的命题
例17设矩阵，且，则 。
例18设矩阵的元素均为整数，证明：的元素均为整数当且仅当。
例19设，，证明：若，则。
例20设均为阶方阵且，证明：。
题型6 关于矩阵可逆的命题
例21设为实矩阵，，且方程组有唯一解，证明：可逆。
例22设维向量为阶单位矩阵，矩阵
，且，求。
例23设均为阶方阵，，如果，，求证：。
题型7与伴随矩阵有关的命题的证明（主要用）
例24设为阶可逆矩阵，且，证明：伴随矩阵。
例25设为阶方阵，证明：。
例26设均为阶可逆矩阵，证明：。
例27设均为阶方阵，分别为对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵 。
（1）； （2）；
（3）； （4）；
III本章小结
矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的的始终，因此矩阵是考试重点内容之一，一般出填空题及计算题。矩阵方程、求逆矩阵及伴随矩阵是出题最多的几个考点。所以矩阵的运算、矩阵的初等变换、求逆矩阵、伴随矩阵及矩阵的秩等知识点都应当认真仔细地复习。
第三章 向 量
I 重要知识点一、向量
1、向量的定义
由个实数组成的有序数组称为维行向量记作，其中称为向量的第个分量。同样也可定义维列向量。
2、向量的运算向量的相等：设，，若，则称它们相等，记作。
零向量：。
负向量：：设，令，叫作的负向量。
向量的加法运算及数乘运算：
设，定义：
，。
向量的加法及数乘满足的运算规律：
①交换律：；
②结合律：；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ 。
还可推出以下规律：
，，及若，则或。
二、向量的线性相关性
1、线性组合：。
非齐次线性方程组是否有解，相当于是否可由的列向量线性表示。
线性相关与线性无关：设为一组维向量，如果存在一组不全为零的数使得 成立，则称向量组线性相关；如果上述等式仅当时成立，则称向量组线性无关。
齐次线性方程组是否有非零解，相当于的列向量组是否线性相关。
3、基本定理：
定理1 向量组线性相关中至少有一个向量可由其余的个向量线性表示。
定理2 若向量组线性无关，向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。
定理3 若线性相关，则也线性相关。
定理4 若向量组线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得向量组仍线性无关。
定理5 设和是两个向量组，如果
①向量组可以经线性表出；② 。
那么向量组必线性相关。
定理 如果向量组可以经线性表出，且向量组线性无关，那么。
定理6向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关。
定理7 个维向量线性无关由它们所构成的矩阵对应的行列式不等于零。
三、向量组的秩和矩阵的秩
1、极大无关组：设为一个维向量组，如果向量组中有个向量线性无关，且任意个向量线性相关，则称这个线性无关的向量为向量组的一个极大线性无关组。
若是的线性无关部分组，它是极大线性无关组的充分必要条件是：中每一个向量都可由线性表示。
2、向量组的等价性：设有向量组和，如果向量组中每一个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示。
如果向量组和向量组可以互相线性表示，则称向量组和向量组等价，记为。
向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性。
3、向量组的秩：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为此向量组的秩，记作秩或。
4、矩阵的秩：设，则矩阵的行向量组的秩和列向量组的秩相等，统称为矩阵的秩，记为秩或。也可用行列式来定义：的充要条件是：矩阵中至少有一个阶子式不等于零，而所有阶子式都等于零。
5、向量组秩的性质：
等价的向量组的秩相等；
若向量组可以由向量组线性表示，则秩秩；
若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另外一个向量组线性表示，则这两个向量组等价。
6、向量的内积、长度及正交
设，，定义与的内积为
。
向量的长度：。
正交：若，则称与正交。
内积具有的性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
7、向量组的正交化方法
设为一个维线性无关向量组，令
；
；
……
。
8、正交矩阵
设为中一组基，先将其正交化得，再将其单位化得，，…，。
令，则满足，称为正交矩阵。
性质：（1）；（2）；（3）正交矩阵之积仍为正交矩阵。
II 题型归纳及思路提示题型1 讨论向量组的线性表示及线性相关性解题方法：（1）利用线性表示及线性相关的定义和性质；
（2）判别向量是否为向量组的线性组合：
① 令；
② 写出与上式等价的线性方程组：
③ 若方程组无解，则不能由线性表示；
若方程组有解，则为线性组合。
例1 设向量组线性无关，若向量组也线性无关，则参数的关系是 。
例2 设均为维向量，则下列结论不正确的是 。
（1）若对于任意一组不全为零的数，都有
，则线性无关；
（2）若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有 ；
（3）线性无关的充要条件是此向量组的秩为；
（4）线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
例3设和为两个维向量组，若存在两组不全为零的数和，使得
，则
（1）和都线性相关；
（2）和都线性无关；
（3）线性无关；
（4）线性相关。
例4 设是两两互不相同的数，令，
，问是否线性无关。
例5 设有三维列向量
问取何值时，
（1）可由线性表示，且表达式唯一；
（2）可由线性表示，且表达式不唯一；
（3）不能由线性表示。
例6 设有三维列向量组和向量组，问取何值时，和等价？问取何值时，和不等价？
题型2 有关向量线性相关性命题的证明（主要利用定义和性质）
例7证明：若线性相关，而线性无关，则：
① 可由线性表示；② 不可由线性表示。
例8 设为矩阵，为矩阵，其中，为阶单位矩阵，若，证明：的列向量线性无关。
例9 设是阶方阵，是维列向量。若对于某一自然数有，（规定）证明：线性无关。
题型3 求向量组的极大线性无关组
解题思路：求向量组的秩及其极大线性无关组可通过其所构成的矩阵的秩来完成，具体步骤为：
将向量组中的各向量作为矩阵的列；
对上述矩阵作行初等变换；
变成阶梯形矩阵后，即可知道这个向量组的秩，然后每一阶梯上取一列，则对应的向量所构成的向量组即为其极大线性无关组。
例10 求向量组
的秩及其极大线性无关组，并将其余向量用这个无关组来表示。
例11 设四维向量组，令，且方程组
的通解为，求向量组的极大线性无关组。
题型4 有关向量组或矩阵秩的计算与证明
解题思路：（1）利用初等变换求矩阵的秩；（2）利用公式求秩。
例12 设为两个阶矩阵，证明：。
例13设，，证明：若，则。
例14设均为阶方阵且，证明：。
例15 设均为阶可逆矩阵，证明：。
例16 是阶方阵的伴随矩阵，证明：
（1）；
（2）。
例17设为阶方阵，证明：。
例18 设均为阶实矩阵，证明：。
例19设为实矩阵，，且方程组有唯一解，证明：可逆。
例20 设，，证明：存在常数，使得。
例21 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
题型5 有关过渡矩阵及正交矩阵的命题
解题思路：主要利用过渡矩阵与正交矩阵的定义及性质。
例22 已知三阶矩阵满足，其中，
，，求矩阵。
例23 求中的向量在基，，和基
，，下的坐标变换公式。
例24 设为维非零列向量，为阶单位矩阵，试证：
为正交矩阵。
III 本章小结
本章重点：1、向量的线性相关与线性无关的定义及判断；
2、含参数的向量的线性表示；
3、向量组的极大线性无关组。
向量既是重点又是难点，从以往试题来看，首先应理解向量的线性组合，掌握求线性表示的方法；其次（也是重点）要理解线性相关、线性无关等概念，要掌握向量线性相关、线性无关的有关性质及判别方法，这一类题目出现频率最高；第三，要理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握其求法，要理解向量组秩的概念，会求向量组的秩；第四，要了解内积的概念，掌握施密特正交化方法。
第四章 线性方程组
I 重要知识点一、基本概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式： (I)
A==，。
叫作(I)的系数矩阵，叫作(I)的增广矩阵，(I)还可改写为矩阵方程的形式：和向量形式：。
齐次线性方程组的一般形式：(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为，向量形式为：。
二、线性方程组解的判定定理
1、非齐次线性方程组
1）若秩秩，则无解。
2) 若秩秩
具体做法：设的增广矩阵记为，则经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：
( … (
其中cii(0(i=1，2，…，r)．于是可知：
当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解。
当dr+1=0，且r<n时，原方程组有无穷多解。
当dr+1(0，原方程组无解。
当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。
2、齐次线性方程组
一定有解（至少有零解），且秩时，有唯一解；秩时，有非零解，且有个线性无关的解向量。
具体做法：由于齐次线性方程组的增广矩阵的最后一列全为零，所以对施行初等行变换，可化为：
其中cii(0(i=1，2，…，r)。于是可知：
(1) 当且r=n时，齐次线性方程组仅有零解。
(2) 当r<n时，齐次线性方程组除零解外，还有无穷多组非零解。
特别地，当m<n时，齐次线性方程组必有非零解。
当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D=0。
三、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系
有解秩秩
有唯一解只有零解。
有无穷多解有非零解。
四、线性方程组解的性质
1)如果(，(是齐次线性方程组的两个解，则(((也是它的解。
2)如果(是齐次线性方程组的解，则k(也是它的解。
3)如果有(1，(2，…，(s是的解，则k1(1+k2(2+…+ks(s也是它的解．ki为任意常数(i=1，2，…，s)。
4)如果(，(是非齐次线性方程组的两个解，则(-(是导出组的解。
5)如果(是的解，(是的解，则(+(是的解。
6)如果是的解，为常数，且
则也是的解。
五、线性方程组解的结构及基础解系的求法
1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设(1，(2，…，(s是齐次线性方程组的一组解，若1( (1，(2，…，(s线性无关；2( 方程组任何一个解都可由(1，(2，…，(s线性表出，则称(1，(2，…，(s是一个基础解系。
如果齐次线性方程组有非零解(r(A)=r<n)，则一定有基础解系，并且基础解系含有个线性无关的解向量。
如果(1，(2，…，(n-r是齐次线性方程组的一个基础解系，则的全部解为：(=k1(1+k2(2+…+kn-r (n-r，其中ki(i=1，2，…，n-r)为任意常数。
若齐次线性方程组有非零解，则r(A)=r<n，对方程组的增广矩阵施行初等行变换，总可以化为如下形式：
即方程组与下面的方程组同解
其中xr+1,xr+2，…,xn为自由未知量对这n–r个自由未知量分别取 ，，…，，（共n–r个）
可得方程组(1)的n–r个线性无关的解
(1=，(2=，…，(n–r =即为其基础解系。
2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设非齐次线性方程组的任意一个解均可表示为方程组的一个特解与其导出组的某个解之和。
当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为：
=k1(1+k2(2+…+kn-r (n-r，
其中为的一个特解，(1，(2，…，(n-r是齐次线性方程组的一个基础解系，ki(i=1，2，…，n-r)为任意常数。
II 题型归纳及思路提示
题型1 基本概念题（解的结构、性质和结构）
例1 设方程组有无穷多解，则 。
例2 设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，，表示任意常数，则线性方程组的通解为
（1）； （2）；
（3）； （4）。
例3 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，对应齐次线性方程组的基础解系，是任意常数，则的通解是
（1）； （2）；
（3）； （4）。
例4 设阶矩阵的伴随矩阵，若是的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系
（1）不存在； （2）含有两个线性无关的解向量；
（3）仅含有一个非零解向量；（4）含有三个线性无关的解向量。
例5 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组
（1）当时仅有零解； （2）当时必有非零解；
（3）当时仅有零解； （4）当时必有非零解。
例6 设，都是阶矩阵，齐次线性方程组与有相同的基础解系，则也必是下列方程组的基础解系。
（1）； （2）；
（3）； （4）以上都不对。
题型2 求线性方程组的通解例7 已知，都是三阶矩阵，且，秩,
秩,试求的通解。
例8 设，试求一秩为2的三阶矩阵，使得。
例9 已知向量是方程组
的三个解，求该方程组的通解。
例10 已知四阶矩阵均为四维列向量，其中线性无关，。如果，求线性方程组的通解。
题型3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点）
例11 设，，若矩阵方程有解，但解不唯一，试确定参数。
例12 为何值时，线性方程组，
有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解。
例13 问为何值时，线性方程组，
有唯一解？无解？有无穷多解？若有解时，求出其全部解。
例14 设齐次线性方程组 其中。
试问为何值时，方程组仅有零解、有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。
例15 设齐次线性方程组
其中。试讨论和满足何种关系时，
方程组仅有零解；
方程组有非零解，并在此时求此方程组的一个基础解系。
题型4 讨论两个方程组的公共解例16 设向量组（I）,；
（II）,,
已知（I）是方程组的基础解系，问取何值时，（II）也是方程组的基础解系。
例17 已知齐次线性方程组
（I）：和（II）：同解，求的值。
例18 已知下列非齐次线性方程组
（I）：，（II）：
（1）求解方程组（I），用导出组的基础解系表示通解；
（2）当方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）和（II）同解。
题型5 有关线性方程组及其基础解系的证明题
例19 方程组的系数行列式，而中某元素的代数余子式，试证是该方程组的一个基础解系。
例20 设(1，(2，…，(s是线性方程组的解的一个基础解系，
，，…，，其中为实常数，试问满足什么关系时，也是的一个基础解系。
例21 设的导出组的基础解系为，为的一个特解，证明：（1），线性无关；
（2），线性无关。
例22 设为阶矩阵，为的伴随矩阵，且，证明：方程组有无穷多解的充要条件是为的解。
例23若线性方程组的全部解都是方程
的解，证明：可以被向量组（）线性表示。
题型6 向量组与线性方程组的综合题
例24 设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即，试证明：向量组
线性无关。
例25 设均为阶实矩阵，证明：。
例26设为实矩阵，，且方程组有唯一解，证明：可逆。
III 本章小结
本章重点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论；
2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。
本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。
第五章 特征值和特征向量
I 重要知识点一、矩阵的特征值和特征向量
1、基本概念设A是数域P上的n阶矩阵，如果对于数((P，存在非零n维列向量(，使得A(=((，则称(为A的一个特征值，(称为A的属于特征值(的特征向量。
矩阵A有特征向量等价于有非零解，而有非零解数的充要条件是|(E-A|=0，故把行列式|(E-A|称为称为A的特征多项式，方程|(E-A|=0称为A的特征方程，矩阵
(E-A=称为A的特征矩阵。
设A=(aij)为n阶矩阵．称A的主对角线元素的和为矩阵A的迹，记为tr(A)。即tr(A)=a11+a22+…+ann=。
2、特征值与特征向量的求法设A=(aij)n(n为n阶矩阵．按下列步骤求A的特征值与特征向量．
1）计算A的特征多项式|(E-A|；
2）求出特征方程|(E-A|=0的全部根，即得到A的所有特征值。
3）对于每个特征值(，求解齐次线性方程组|(E-A|X=0，即
若求得其基础解系为(1，(2，…，(s，则k1(1+k2(2+…+ks(s (k1，k2，…，ks不全为零)为A的属于特征值(的所有特征向量。
3、特征值与特征向量的性质
1）n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。
2）如果(1，(2，…，(m是A的不同特征值，(1，(2，…，(m分别是属于(1，(2，…，(m的特征向量，则(1，(2，…，(m线性无关。
3）设矩阵在复数域上的特征值为(1，(2，…，(n，则
tr(A)= (1+(2+…+(n=a11+ a22+…+a nn,(1(2…(m=|A|。
4）设是方阵的特征值，矩阵分别有特征值。
5）设A=(aij)n(n的秩，则矩阵的个特征值为
(1 =a11+ a22+…+a nn,(2＝…＝(n＝0。
二、相似矩阵、对称矩阵及矩阵的对角化
1、相似矩阵的基本概念及性质
1）相似矩阵：设n阶矩阵A和B．如果存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称A和B相似．记作A~B。
2）相似矩阵的基本性质
① 反身性：A~A；对称性：如A~B，则B~A；传递性：如A~B，且B~C，则A~C。
② 若A~B，则|A|=|B|。
③ 若A~B，则A，B同时可逆或不可逆。
④ 若A~B，且A，B可逆，则A-1~B-1。
⑤ 若A~B，则|(E-A|=|(E-B|。
⑥ 若A~B，则A，B的特征值相同。
⑦ 若A~B，则tr(A)=tr(B)。
⑧ 若A~B，则其秩相等r(A)=r(B)。
2、n阶矩阵A与对角矩阵相似的条件
1）A与对角矩阵相似的充分条件是A有n个互不相同的特征值。
2） A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
3）n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值(i∈P，矩阵(iE–A的秩是n–ni。
3、求与n阶矩阵相似的对角矩阵的方法
1）设n阶矩阵A有n个单重特征值(1，(2，…，(n，则A~如A(i=(i(i，令P=[(1，(2，…，(n]，则P-1AP=。
2）设n阶矩阵A有m个特征值(1，(2，…，(m，其重数分别为k1，k2，…，km，，且对于每个特征值(i都有ki个属于(i的线性无关的特征向量，则
A~=(
如A(t(i)=(i(t(i)，t=1，2，…，ki，i=1，2，…，m，令矩阵
P=[],则 P-1AP=(。
4、实对称矩阵的对角化
1）实对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质
① 实对称矩阵的特征值都是实数。
② 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。
③ 实对称矩阵的k重特征值恰好有k个属于此特征值的线性无关实特征向量。
④ 对于实对称矩阵A必存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
2）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵的方法
① 解特征方程|(E-A|=0，求出A的全部特征值。
② 解齐次线性方程组((E-A)X=0，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。
③ 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。
④ 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。
⑤ Q-1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。
5、重要结论
1）若～，～，则～。
2）若～，则～，，其中为关于阶方阵的多项式。
3）若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）等于的秩。
II 题型归纳及思路提示
题型1 求矩阵的特征值和特征向量
例1 设是可逆矩阵的特征值，则矩阵有一特征值为
例2 设，试求和的特征值及的特征向量。
例3 设，都是非零向量，且，
记阶矩阵，试求的特征值及特征向量。
例4 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充要条件是
1）； 2）； 3）； 4）。
例5 设阶矩阵，
1）求的特征值和特征向量；
2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵。
题型2 特征值、特征向量的逆问题
例6 已知是矩阵的一个特征向量，试确定参数及特征向量所对应的特征值，并问能否对角化？
例7 已知三阶矩阵满足，其中，
，，求矩阵。
例8 设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵 有一个特征值，属于的一个特征向量，求参数
和的值。
题型3 有关特征值与特征向量的证明题
例9 设为正交矩阵，若，求证一定有特征值－1。
例10 设都是阶矩阵，证明：
1）与有相同的特征值； 2）。
题型4 相似的判定及其逆问题例11 设有三阶矩阵和，试判断是否相似？若相似，求出可逆矩阵，使得。
例12 设矩阵与相似，其中，，
1）求和的值；2）求可逆矩阵，使得。
题型5 与方阵的对角化相关的命题例13 设，问能否对角化。
例14 设阶矩阵满足，证明相似于一对角矩阵。
例15 判断矩阵是否可以对角化？
例16 设阶可逆矩阵可对角化，证明：的伴随矩阵也可对角化。
题型6 有关实对称矩阵的命题例17 已知是实对称矩阵的三个特征值，且对应于的特征向量为，，求对应于的特征向量及矩阵。
题型7 利用特征值与相似矩阵求行列式例18 设，矩阵为正整数，则＝ 。
例19 已知三阶矩阵的特征值为1，－1，2，设，
试求（1）矩阵的特征值及其相似标准形；
（2）行列式及。
题型8 利用相似对角化求方阵的幂例20 三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量依次为：，，，又向量，
将用线性表示；
求为正整数）。
III 本章小结
本章重点：1、求矩阵的特征值和特征向量；
2、已知矩阵的特征值或特征向量，反求矩阵中的参数；
3、矩阵可相似对角矩阵的判定及化矩阵为对角矩阵。
本章一般出填空题和计算题，几乎每年都会出有关一道与特征值有关的题目，因此本章也是重点考查章节。题目主要涉及：1）特征值、特征向量的概念、性质及计算；2）矩阵相似的概念、性质以及相似对角化的有关问题；3）实对称矩阵特征值和特征向量的性质以及用正交矩阵相似对角化等。
第六章 二 次 型
I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示
1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn
+a22x22+ … +a2nx2xn
+ … (3)
+annxn2
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示设n阶对称矩阵
A=
则n元二次型可表示为下列矩阵形式：
f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) =XTAX
其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型f(x1，x2，…，xn)的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn为两组变量，关系式
其中cij(i，j=1，2，…，n)为实数域R(或复数域C)中的数，称为由x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵C=
则从x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn线性变换可表示为下列矩阵形式：
X=CY
其中X=( x1，x2，…，xn)T和Y=( y1，y2，…，yn)T，C称为线性变换的系数矩阵。
1) 当|C|≠0时，线性变换X=CY称为非退化的线性变换。
2) 当C是正交矩阵时，称X=CY为正交线性变换，简称正交变换。
3) 线性变换的乘法。
设X=C1Y是由x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的非退化的线性变换，而Y=C2Z是由y1，y2，…，yn到z1，z2，…，zn的非退化的线性变换，则由x1，x2，…，xn到z1，z2，…，zn的非退化的线性变换为：
X=(C1C2)Z
二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX经过非退化的线性变换X=CY化为f(x1，x2，…，xn)=YTBY (其中B=CTAC) 仍是一个二次型。
4、矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。
合同关系性质：
1) 反身性：A~A；
2) 对称性：A~B，则B~A；
3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。
5、二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+dnyn2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如：
的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。
4）实二次型的规范形任何实系数二次型都可经过实数域R中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yp2-yp+12-yp+22-…-yr2，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，r-p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，p-(r-p)=2p-r称为实二次型的符号差。
任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：
的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。
6、利用正交变换化实二次型为标准形设A是阶实对称矩阵，按以下步骤进行：
① 解特征方程|(E-A|=0，求出A的全部特征值。
② 解齐次线性方程组((E-A)X=0，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。
③ 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。
④ 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。
⑤ Q-1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。
对于二次型，令，将二次型化成如下形式平方和：
(1y12+(2y22+…+(nyn2
其中(1，(2，…，(n为二次型的矩阵的全部特征值。
7、化二次型为标准形数域P上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换X=CY化为标准形，即：f(x1，x2，…，xn)=XTAX=(CY)TA(CY) =YT(CTAC)Y=YTBY
= d1y12+d2y22+…+dnyn2
二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。
化标准形的方法
1) 配方法。
2) 初等变换法，其要点可简单表示为：
其中A为二次形的矩阵，D为对角矩阵，其对角元素依次为d1，d2，…，dn。注意，在初等变换过程中，作完一次列变换，紧接着作一次相应的行变换，这样一来，矩阵A的对称性质始终保持不变。当A化为对角矩阵D的同时，即可得到由变量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的非退化线性变换系数矩阵C。于是当作线性变换X=CY时，则可使二次型f=XTAX化为标准形。
3) 正交变换法：先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得Q，使Q-1AQ为对角矩阵。由于Q为正交矩阵，Q-1=QT，所以同时使QTAQ为对角矩阵。于是令正交变换X=QY，则二次型XTAX化为标准形YT(QTAQ)Y=(1y12+(2y22+…+(nyn2，其中 (1，(2，…，(n为二次型矩阵A的特征值。
化规范形的方法：
1) 任一实二次型f都可经过非退化线性变换X=QZ，化为规范形，即f =XTAX=(QZ)TA(QZ)= ZT(QTAQ)Z=ZT(RZ = z12+…+zp2- zp+12-…-zr2 (r≤n)称p为二次型的正惯性指数，r-p为二次型的负惯性指数。
任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性指数唯一确定的。
2) 任一复二次型都可经过非退化线性变换X=QW，化为规范形，即：f =XTAX=(QW)TA(QW) = WT(QTAQ)W =WT(CW = w12+w22+…+wr2 (r≤n)
任一复二次型的规范形是由其秩唯一确定的。
二、正定二次型和正定矩阵
1、基本概念设实二次型f(x1，x2，…，xn)，如果对于任意一组不全为零的实数x1，x2，…，xn，都有
f(x1，x2，…，xn)>0 (或<0，或≥0，或≤0，或符号不定)
则称二次型f(x1，x2，…，xn)为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)。
用矩阵形式表示上述定义：
设A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量X，都有XTAX>0 (或<0，或≥0，或≤0，或符号不定),则称二次型XTAX为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)，其矩阵A称为正定矩阵(或负定矩阵，或半正定矩阵，或半负定矩阵，或不定的矩阵)。
2、正定二次型的判定
1）二次型XTAX是正定的充分必要条件是其矩阵A是正定矩阵。
2）n元二次型XTAX是正定的充分必要条件是其正惯性指数为n，即其规范形为y12+y22+…+yn2。
3）二次型XTAX是正定的充分必要条件是其矩阵A的特征值全大于零。
4）n元二次型XTAX是正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零，即：>0 (k=1，2，…，n)。
5）实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A与单位矩阵合同。
6）两个正定矩阵的和仍为正定矩阵。
II 题型归纳及思路提示题型1 二次型对应的矩阵及相关性质
例1 设为阶实对称矩阵，，是中元素的代数余子式，二次型。
1）记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为。
2）二次型与的规范形式是否相同？说明理由。
例2 设实对称矩阵的特征值全大于，实对称矩阵的特征值全大于，证明：的特征值全大于。
题型2 化二次型为标准形例3 将二次型化为标准形，并求出相应的非奇异线性变换。
例4 利用正交变换将二次型
化为标准形，并求出相应的非奇异线性变换。
题型3 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数例5 已知二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换矩阵。
题型4 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明
例6 设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵，证明：。
例7 若二次型是正定的，则
应满足的条件为 。
例8 证明：若是正定矩阵，也是正定矩阵。
例9 设为为实对称矩阵，则充分大时，为正定矩阵。
例10 设为为阶实对称矩阵，且，证明：为正定矩阵。
例11 设，证明：元实二次型
在条件的最大值恰为矩阵的最大特征值。
例12 设为实矩阵，且，证明：为正定矩阵的充要条件是。
例13设是实矩阵，是阶单位矩阵，已知矩阵，
证明：当时，矩阵为正定矩阵。
例14 设，是两个阶实对称矩阵，且为正定矩阵，证明存在一个阶可逆矩阵使和同时为对角形矩阵。
例15 设为正定矩阵，其中，分别为阶，阶实对称矩阵，为矩阵。
1）计算，其中；
2）利用1）的结果判断矩阵是否为正定矩阵。
III 本章小结
本章重点：1、用正交变换化二次型为标准形；
2、判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
与前几章相比，本章考题出现的频率相对低一些，从内容上看主要有三个方面：1）二次型的标准形问题；2）用正交变换化二次型为标准形正、反两方面的问题；3）判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
二次型考到的知识点多，涉及到行列式及矩阵运算、正交矩阵、正交化方法、基础解系、特征值及特征向量等方面，因此这里的题目综合性强。
线性代数攻略线性代数由两部分组成:
第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)
第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)
主观题对策
1,计算题精解
计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.
一.行列式的计算,
单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点,
核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:
典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)
例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式：
.
解 先算|B|=xn;再算|A|：
故|C|=
|A|(-1)(1+(+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1|
=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.
例2(2004-4) 设矩阵,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ].
分析 化简可得(A-2E)BA*=E； 于是|A-2E||B||A*|=1,又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9,(切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)
例3 设4×4矩阵A=((,(,(,(),B=((,(,(,(),若|A|=1,|B|=2,则行列式|A+B|=[ ].
正解：|A+B|=|(+(,(+(,(+(,(+(|=|(+(,2((+(+(),(+(,(+(|=2|(+(,(+(+(,(+(,(+(|
=2|(+(,(,(+(,(+(|=2|(+(,(,(+(,(|=2|(+(,(,(,(|=2(|(,(,(,(|+|(,(,(,(|)=2(|A|+|B|)=6.
巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的.于是,故|A+B|=6.
例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ].
解 此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:
A-1+2A* = A-1 (E+2A A*)
= A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.
故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.
本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!
例2(上海交大2002) 计算行列式
其中,.
本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B,其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B(0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn(0,从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK
例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX,A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.
很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知,A(A2+3A-4E)X=0.由此知,|A|=0:否则,A可逆,X,AX,A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,
|2A2+3E|=3(5(35=525.
例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA(=I,|A|<0,求|A+I|.
解 首先,1=|AA(|=|A|2,所以|A|=-1,其次,
|A+I|=|A+AA(|=|A||I+A(|=|A||I+A|=-|I+A|,
故|A+I|=0.
(涉及的知识点,|A|=|A(|,(A+B)(=A(+B(.)
例5(1999)设A是m(n矩阵,B是n(m矩阵,则
A.当m>n时,必有行列式|AB|(0.
B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.
C.当m<n时,必有行列式|AB|(0.
D.当m<n时,必有行列式|AB|=0.
二,矩阵与n维向量空间核心内容矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法典型方法初等变换与初等矩阵典型例题
1.解矩阵方程:原则是先化简后计算
例6设矩阵B满足方程.求B.
解 A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得;再左乘A,由,得
,
所以
例7 设
解 移项得,(2E-A)X=B,所以X=(2E-A)－1B.再使用初等变换(如此较少出错,不要先求逆,再计算矩阵的乘积:除非矩阵比较特殊或非常简单)求(2E-A)-1B：
例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵,且,求B.
解 先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故
B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|(A*)-1.|A|n=|A||A*| =8|A|,n=4,|A|=2,所以
B= 3(A-E)-1A=6[A*(A-E)]-1
=6 (2E-A*)-1.
因为,故由初等变换可得
.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行,再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).
例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1=[ ].
2.解线性方程组
例10(1998)已知线性方程组(I)
的一个基础解系为…,.试写出线性方程组(II)
的通解,并说明理由.
解 求线性方程组的通解的前提是知道系数矩阵的秩,未知数的个数:方程组(I)与(II)均有2n个未知数;由已知条件(I)的一个基础解系含有n个解向量,从而其系数矩阵r(A)=的秩为2n-n=n,显而易见,方程组(I)与(II)有某种密切的联系,为了看清楚这种联系,最好的办法是采用矩阵形式:将方程组(I)与(II)分别改写为矩阵形式可得:Ax=0与(II)Bx=0.由于B的行向量组是一个基础解系,故线性无关,所以r(B)=n.因此方程组(II)的一个基础解系含n个解向量.
由已知条件,B的每一行的转置向量都是(I)的解,即ABT=0.从而知(ABT)T=0,即BAT=0.因此A的每一行的转置向量都是(II)的解.但r(A)=n,所以A的行向量线性无关,因此AT的全体列向量组恰好构成(II)的一个基础解系,所以通解迎刃而解.Ok.
下面是一个轻松的例子:
例11 解线性方程组,其中a与b是参数.
解 注意,当系数矩阵或增广矩阵含参数时,不要让参数参与初等变换(以免无意中用0作了分母):
所以当a(2时方程组有唯一解:
当a=2,b(1时无解；
当a=2,b=1时有无穷多组解：，k为任意常数.
注意事项：尽可能避免使用参数的倒数作因子，以防漏解。万不得已时，应先讨论可能使分母为0的情况。
例12(1994) 设四元线性齐次方程组(I)为
又已知某线性齐次方程组(II)的通解为.
求线性方程组(I)的通解;
问线性方程组(I)与(II)有无非0公共解?若有,则求出.若无,则说明理由.
解(1) 此容易.未知数的个数n=2,系数矩阵的秩r=2,故基础解系含两个解向量(选x2与x3为自由变量),比如,故(I)的通解为.
(2)线性方程组(I)与(II)的公共解需满足
(左边为(II)的解,右边为(I)的解).故需求不全为0的系数,即下面的线性方程组的非0解:
系数矩阵为
故所求不全为0的系数为
因此(I)与（II）的非0公共解为
例13(2001) 设是线性方程组Ax=0的一个基础解系,是实常数.试问满足什么关系时,向量组
也是Ax=0的一个基础解系?
解 一个向量组什么时候可以成为一个齐次线性方程组的基础解系?两个条件:一是精干(即本身是线性无关的),二是能干(即该组能够表示所有解向量).所以欲使该向量组构成一个基础解系,必要且只要其线性无关(因为它只有s个向量).将其改写为下述矩阵形式:
可知需要右端的矩阵A可逆:当且仅当行列式|A|(0.直接计算可知所以当时,该向量组也是一个基础解系.
例14(2004) 设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非0解,并求出其通解.
解 该方程有n个未知数,n个方程,故可由Cramer法则解决:即它有非0解当且仅当系数行列式等于0.但还要求出通解,此法就不行了,此时必须使用初等变换.
故先算行列式:容易看出系数行列式的规律,即所有列的和均相等,故其值为
(此还可由特征值得到,你看出来了吗?).所以当a=0或时,方程组有非0解.
当a=0时,方程组变为
,
因此其通解为
为任意常数,其中
.
当时,对系数矩阵作初等变换:
故通解为(取x1为自由变量!)
为任意常数.
例15(2002) 已知四阶方阵,其中线性无关,.如果,求线性方程组Ax=(的通解.
解 首先要知道Ax=0的解.由于r(A)=3,n=4(未知数的个数),故只需求一个非0解即可.什么是非0解?当然是0向量的组合系数,也就是由得到的的向量(=(1,-2,3,0)T.
其次需要一个特解,即由得到的系数(=(1,1,1,1)T,
最后,将上述解组合起来即可得到通解:
x=k(1,2,-3,0)+(1,1,1,1).
例16(1998)设矩阵
是满秩的,则直线与直线( )
相交于一点,B,重合.
C.平行但不重合,D.异面.
例17(1996)求齐次线性方程组的基础解系.
例18(1997)设A是可逆方阵,将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.
三.线性相关与线性无关
例19(基本运算技能) 设向量组求该组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解 构造矩阵,并利用行初等变换求其简化阶梯形矩阵：因此,该向量组的秩为3,构成一个极大线性无关组,且.
例20(2000) 设n维列向量线性无关,则n维列向量线性无关的充分必要条件是
A.向量组可由向量组线性表示;
B.向量组可由向量组线性表示;
C.向量组与向量组等价;
D.矩阵与矩阵等价.
解 B最错:此时向量组的特征完全没有体现;A也错,因为此时向量组当然线性无关,故是充分条件,但不必要;C也是充分条件,不必要.故选D.
例21(2003) 设向量组I,可由向量组II,线性表示;则
A.当r<s时,向量组II必线性相关;
B.当r>s时,向量组II必线性相关;
C.当r<s时,向量组I必线性相关;
D.当r>s时,向量组I必线性相关.
解 由于只知道I能由II线性表示,故只能讨论I的线性相关性,对II则一无所知(它可能线性相关,也可能线性无关).所以A,B错.只与C,D就较为明显了:向量越多则越容易线性相关.当r>s时,I中的向量个数多于II,只能线性相关.
例22(2004) 设A，B为满足AB=0的任意两个非0矩阵，则必有
A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
分析(2004-12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解:”左行右列”原则说AB的列是A的列的线性组合,而其行是B的行的线性组合,现在AB=0,故A的列的线性组合为0,B的行的线性组合为0,从而A的列线性相关,B的行线性相关,选A.
[这是概念性很强的线性代数题,50％的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次,现在又要再晕一次了(我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来).但现在我们是在做选择题!选最简单的矩阵(当然1×1的不行---为什么故1×2的最简单)如下:.如此,A的行线性无关,C,D错;B的列线性无关,B,D错!]
例23(1997) 设
则三条直线交于一点的充分必要条件是
A.线性相关;
B.线性无关;
C.秩()=秩();
D.线性相关; 线性无关.
解 实际上是解线性方程组:交于一点等价于有唯一解,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于2.所以选D.(试试用特殊值法)
例24(1998) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k使得线性方程组Akx=0有解向量(,且Ak-1((0.证明:向量组(,A(,…,Ak-1(是线性无关的.
证明 设
(0(+(1A(+…+(k-1 Ak-1(=0,
我们证明所有的系数只能等于0.为此,两边同乘以Ak-1,可得
(0 Ak-1(+(1Ak-1A(+…+(k-1 Ak-1Ak-1(=0,
(是Akx=0的解,所以Ak(=0,因此(0 Ak-1(=0;但Ak-1((0,只有(0=0,再乘以Ak-2,可得
(1Ak-2A(+…+(k-1Ak-2Ak-1( =0,
即(1Ak-2A(=0,因此(1=0.类似地,可以证明(2=(3=…=(k-1=0.
例25(1996) 设(是n维非0列向量,((是(的转置向量,E是n阶单位矩阵,A=E-(((.证明,(1)A2=A的充分必要条件是(((=1.
(2)当(((=1时,A是不可逆矩阵.
证明:
例26(应用) 设Am(p,Bp(n,则
r(A)+r(B)-p ( r(AB)( min{r(A),r(B)}.
证明 先看第二个不等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.
于是,AB的列均可由A的列线性表示,而其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆矩阵不改变矩阵的秩,且存在可逆矩阵P与Q使得,其中r= r(A),于是PAB=PAQQ-1B = (PAQ)Q-1B=C,
其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r行均为零。注意r(Q-1B)=r(B),故共有p行的矩阵Q-1B的前r行的秩至少为r(B)-(p-r)=r(A)+r(B)-p,即C的秩至少为r(A)+r(B)-p,但r(C)=r(AB),ok.
例27 设A为n阶矩阵，证明r(An)=r(An+1).
证明(此题较难)显然有r(An)(r(An+1).若A＝0或A可逆,则An与An+1也等于0或可逆,从而秩相等,现设A(0且A不可逆,则A,A2,…,An,An+1这n+1个矩阵的秩只能是0,1,2,…,n-1这n个数;从而必有两个矩阵的秩相同,设为r(As)=r(At),1(s<t(n+1.于是,r(At-1)=r(At),断言r(At)=r(At+1).如此将有r(At+1)=r(At+2)=…= r(An)=r(An+1),为此,只须证明方程Anx=0与An+1x=0同解.只须证明后者的解也是前者的解.设(是后者的解,即An+1(＝0,即An(A()＝0,因此A(是前者的解.注意前者与An-1x＝0同解,因此A(是An-1x=0的解,即An-1(A()＝0,即An(＝0!
例27(设A是矩阵,证明:r(A)=r(ATA).
证明 首先,r(A)( r(ATA),其次,证明方程Ax=0与ATAx=0同解,只须证明后者的解是前者的解.设((0是后者的解,即ATA(=0,欲证明A(=0:如何证明一个向量x等于0向量?或者证明x的每一个分量均为0(这常常是过于憨厚的做法,但适合于可以计算的场合),或者证明x的长度等于0,即证明xTx=0.于是需要证明(A()TA(=0,但这就是(TATA(=0:此当然对!这就是说向量A(的长度的平方＝0，因此A(是0向量,即A(＝0,故(是Ax=0的解.
三.特征值/特征向量/二次型重中之重,每年线性代数必考核心内容特征值/特征向量/特征多项式/相似对角化/实对称矩阵/二次型/正定矩阵
例 28若三阶方阵A的特征值为-1,0,1,则与方阵B=A3-A+2E相似的对角矩阵为［ ］.
例29(1999) 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值为[ ].
解 你当然可以直接计算.但其秩为1,故最多有1 个非0特征值;又对角线元素之和为n,故还有一个特征值为n.Ok.(秩为1的矩阵需特别关注.)
例30(1999) 设矩阵,其行列式|A|=-1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值(,属于(的一个特征向量为(=(-1,-1,1)(,求a,b,c和(的值.
解 如果计算A*,则会有很多麻烦和困难.因此应该将条件转到A上.由于AA*=|A|E=-E,以及A*(=((,所以
-(=AA*(=A((()=(A(,
即
即
所以(=1,b=-3,a=c.再由|A|=-1,可知
,
所以a=c=2.
例31 设3阶实对称矩阵有3个特征值2,2,-3且，求正交矩阵Q,使得为对角矩阵.
解 只需求属于特征值2的特征向量,设是属于特征值2的特征向量.由实对称矩阵的性质,属于特征值2的特征向量与属于特征值-3的特征向量正交,故与正交,所以，故得两个正交的单位特征向量
.
将单位化,得,所以，而.
例32(2004) 设的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
解 当然先求特征方程.
.
如果(=2是特征方程的二重根,则(=2满足方程,故知a=-2.
当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故(=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可以相似对角化.
如果(=2不是特征方程的二重根,则方程为完全平方,从而
此时,A的特征值为2,4,4,矩阵的致显然为2.故特征值(=4对应的线性无关的特征向量只有一个,故A不能相似对角化.
例33(2003)设,求B+2E的特征值与特征向量.
解I B与A*相似,故具有相同的特征值.而当A可逆时,A*的特征值与A的特征值密切相关,即为|A|/(,其中(为A的特征值.故只需求A的特征值:所以A的特征值为1,1,7,行列式为7,所以A*的特征值为7,7,1.因此B+2E的特征值为9,9,3.
如何确定相应的特征向量?A与A*的特征向量是一致的:设A(=((,则A*(=(|A|/()(.但B与A*的特征向量未必一致.实际上,对上述(,有B(P-1()=P-1A*P(P-1()= P-1A*(=(|A|/() P-1(,所以相应的特征向量为P-1(,由于,而A的特征向量可直接求得为
(请注意:二重根对应的方程组只有一个方程).从而B+2E的一组线性无关的特征向量为
因此对应于9的全部特征向量为
不全为0;
对应于3的全部特征向量为
解II,解I看似高明,实际不然.还不如直接求B来得快捷.由于A是3阶矩阵,A*容易用公式法计算:(由于A的长相实在漂亮,求一个对角元素一个非对角元素即可).接下来,你看出来了吗?对,P是两个初等矩阵的乘积:先是交换1,2两行,再是把第3行加到第2行!因此其逆P也为两个初等矩阵的乘积,即先将第3行的-1被加到第2行,在交换1,2两行.因此
所以故B的特征多项式为
故特征值为9,9,3.
当(=9时,只有一个独立方程(取第二行即可:2x+2y+4z=0,可得两个线性无关的特征向量:(=(-1,1,0),(=(-2,0,1);当(=3时,有两个方程,但第一个表明x=0.后一个方程表明y=z,所以(=(0,1,1).搞掂!
例34(2002) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.
(2)举一个2阶矩阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
解 这样容易的题目也就只有在线性代数中可能遇到了:因为只有线性代数是智慧,其余都是苦力.
(1)不用写出来了吧?
(2)同上句话.
(3)这是唯一值得写一下的.设A,B均为实对称矩阵,则它们均可以对角化.因为它们的特征多项式相同,从而具有相同的特征值,因此相似于同一个对角矩阵.但相似性是等价关系,故它们相似.Ok.
例35 设4阶矩阵A满足条件|A＋2E|＝0,ATA=3E,|A|>0.证明|2A*+9E|=0,其中A*是A的伴随矩阵。
证明 只要证明A*有特征值-9／2.由于|A+2E|=0,故A有特征值-2;又因为ATA=3E,｜A|>0,所以|ATA|=|3E|＝34.但|ATA|＝|AT||A|＝|A|2,所以,|A|＝9.因此A*有特征值-9／2,Ok.
例36设A 是n阶矩阵,A2+3A-4E=0,证明:
(1)r(A+4E)+r(A-E)=n;
(2)A可以对角化;
(3)2A+3E可逆,并求其逆.
证明 因为(A+4E)(A-E)=0,故(A-E)的每一列都是齐次方程组(A+4E)x=0的解，从而是矩阵A的属于特征值-4的特征向量；因此，r(A-E)(n-r(A+4E)，即
r(A-E)＋r(A+4E)(n。
又,r(A-E)+r(A+4E) = r(-A+E)+r(A+4E) ( r(-A+E+A+4E)=r(5E)=n,所以(1)成立。
(2) 由(1)的证明可知，r(A-E)与r(A+4E)分别是A的属于特征值1与-4的线性无关特征向量的个数，从而A共有n个线性无关的特征向量，故A可以对角化。
(3) 由(1)可知,A的特征值只能是1或-4，故行列式|2A+3E|(0，故2A＋3E可逆(此步论证可以省略,见下).由
0=A2+3A-4E=2(A2+3A-4E) =(2A+3E)(A+3E/2)-17E/2,
所以
(2A+3E)(A+3E/2)=17E/2;
因此
(2A+3E)-1=2(A+3E/2)/17 =(2A+3E)/17.
例37(1995) 设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1.对应于1的特征向量为(0,1,1)(,求A.
解:
四.线性空间/二次型合同/正交变换/正定二次型/正定矩阵/
例38(2003) 从R2的基(1=(1,0)(,(2=(1,-1)(,到基(1=(1,1)(,(2=(1,2)(的过渡矩阵为[ ].
例39 设
求(1)子空间的维数与一组基;
(2)设问x取何值时,((,求(在(1)中基下的坐标.
解 两个问题可以一起解决.构造矩阵并求其标准阶梯形:
所以
(1)的维数为3,一组基是｛｝;
(2)当x=-71/5时,((,它在基｛｝下的坐标为
71/15,-11/15,-81/15.
例40已知R3的两组基,
若由基到第三组基的过渡矩阵为.
(1)求;
(2)设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.
解 (1)首先，基到基的过渡矩阵为,所以
,因此
(2) 由于
故x在下的坐标为.
例41 设n阶实对称矩阵A满足条件且A+tE是正交矩阵,则t=[ ].
解 由于
所以t=3.
例42(2002)已知实二次型
经正交变换x=Py可化为标准形f=6y12,则a=.
例43设,则A与B[ ].
A.合同且相似 B.合同但不相似
C.不合同且相似 B.不合同且不相似
例44 已知二次型
通过正交变换可以化为标准形,求参数a以及所用的正交变换.
解 二次型的矩阵为，而A的特征值为7，7，－2，所以a+a+6=7+7-2=12,即a=3.
对应于特征值7的特征向量满足方程
，
即，故为两个线性无关的特征向量,单位化,正交化可得
;
对应于特征值-2的特征向量满足
,
即,即,故得,单位化得.
令，则所用正交变换为X=QY.
例45(1999) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m(n实矩阵,证明:B(AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.
证明 充分性.关于正定性的证明有多种方法.比较直接的办法是用定义,即证明对任意非0向量x,均有x(B(ABx>0.此即(Bx)(A(Bx)>0.由于A正定,故上式成立只须Bx(0.但r(B)=n,故Bx=0只有零解,而x(0,从而Bx(0.证明完成了吗?没有!因为正定矩阵的前提是对称矩阵:(B(AB)(=B(A(B=B(AB.
必要性.欲证明r(B)=n,只须证明Bx=0只有零解,只须证明对任意x(0,均有Bx(0.现设x(0,则由于B(AB正定,故x(B(ABx>0,即(Bx)(A(Bx)>0,因此Bx(0.Ok.
间接的方法需要对正定矩阵更多的了解.一个n阶矩阵A正定当且仅当存在列满秩矩阵Mm(n使得A=M(M.对本题而言,由于A正定,故
B(AB=B(M(MB=(MB)((MB).
由于M列满秩,r(MB)=r(B).所以B(AB正定当且仅当MB列满秩当且仅当B列满秩.
例46(1997) 设B是秩为2的5(4矩阵,(=(1,,1,2,3)(,(=(-1,1,4,-1)(,(=(5,-1,-8,9)(是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
解:
例47(1996) 已知二次型
的秩为2,问表示何种曲面?
(c=3;特征值为0,4,9.)
例48(1998) 已知二次曲面方程
可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程.求a,b和正交矩阵P.
解(a=3,b=1)
综合题型
例49 设A为r阶方阵,B为r×n矩阵,r(B)=r,且AB=0.证明A=0.
证明 因为r(B)=r,故r(BT)=r.所以齐次线性方程组BTx＝0只有0解.但已知AB=0,故BTAT＝0,所以AT的每列均为BTx＝0的解,从而AT＝0,即A＝0.
例50设A是m(n矩阵，B是n(s矩阵,证明：方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是r(AB)=r(B).
证明 若两方程组同解,则系数矩阵的秩必相等;反之,若系数矩阵的秩相等,则它们的一个基础解系所含向量个数相等,但由于后者的解总是前者的解,从而它们同解.
例51(1994) 设A为非0实数矩阵,A*与A(分别是A的伴随矩阵与转置矩阵.设A*=A(,证明A可逆.
证明 我们希望证明|A|(0,对于A*与A(,我们知道多少? A*由不仅容貌超群(她头上戴着一朵花!),而且和逆矩阵关系密切,所以我们都记得A*A=|A|E,因此A(A=|A|E,故若|A|=0,则A(A=0,这在什么时候成立? 为回答此问题,需要看清A(A的长相,故将A按列分块,设,则,故
故其主对角元素均为A的列向量的长度的平方.现在A为非0实矩阵,故至少有一列不为0,从而A(A(0.于是|A|(0.(所以本题的实质是A(A=0当且仅当A=0.)
应试策略:合理安排,先易后难,先简后繁.一般来说,选择题最容易,填空题次之;计算题较容易但繁琐,而证明题较难但简洁.所以应首先处理选择题,再做填空题,再比较计算题和证明题,如果证明题会做,则在做计算题之前先作证明题是一个不错的选择.不过这些办法因人而异.
具体原则:
不要在某道选择题或填空题上停留太多时间;
除行列式的计算外(很少可能),所有计算题应该用较简单的方法作出;换句话说,如果计算太繁,那是你自己已经出错了;
证明题卡壳时,回过头去检查别的题;
留出30分钟做检查.
祝大家取得好成绩！
谢谢大家！
