第 4章 数控机床的工作原理
4.1.1 插补的概念在数控机床中,刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动,
只能 用折线轨迹逼近所要加工的曲线 。
插补 （ interpolation） 定义,机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程 。 数据密集化的过程 。 数控系统根据输入的基本数据 （ 直线起点,终点坐标,圆弧圆心,起点,终点坐标,进给速度等 ） 运用一定的算法,自动的在有限坐标点之间形成一系列的坐标数据,从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配,完成整个线段的轨迹分析,以满足加工精度的要求 。
4.1 概述数控装置 向各坐标提供相互协调的进给脉冲,伺服系统 根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动 。
数控装置的关键问题,根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算 （ 即插补计算 ）,产生机床各坐标的进给脉冲 。
插补的实质插补计算 就是数控装置根据输入的基本数据,通过计算,把工件轮廓的形状描述出来,边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲,对应每个脉冲,机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离,从而将工件加工出所需要轮廓的形状 。
插补的实质,在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化 。
数学模型：直线、圆弧、二次曲线、螺旋线、自由曲线等要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好硬件插补器 由专门设计的数字逻辑电路组成 。
特点：插补速度快,升级不易,柔性较差 。
软件插补器 通过软件 （ 编程 ） 实现插补功能 。
特点：插补速度比硬件插补器慢,但成本低,柔性强,
结构简单,可靠性好 。
4.1.2 插补方法的分类
4.1.2 插补方法的分类
1.基准脉冲插补（行程标量插补或脉冲增量插补）
特点,每次插补结束,数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列,每个脉冲代表了最小位移,脉冲序列的频率代表了坐标运动速度,而脉冲的数量表示移动量 。
仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统主要的脉冲增量插补方法
1,数字脉冲乘法器插补法
2,逐点比较法
3,数字积分法
4,矢量判别法
5,比较积分法
6,最小偏差法
7,目标点跟踪法
8,单步追踪法
9,直接函数法
10.加密判别和双判别插补法
2,数字采样插补（数据增量插补）
特点,数控装置产生的不是单个脉冲,而是标准二进制字 。 插补运算分两步完成 。
（ 1） 粗插补 (软件实现 )
在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点,即用若干条微小直线段逼近给定曲线,每一微小直线段的长度都相等,且与给定速度有关 。
（ 2） 精插补 （ 硬件实现 ）
在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作,数据点的密化,工作,相当于对直线的脉冲增量插补 。
适用于闭环,半闭环以直流和交流伺服电机为驱动装置的位置采样控制系统主要的数字增量插补方法
1,直线函数法
2,扩展数字积分法
3,二阶递归扩展数字积分插补法
4,双数字积分插补法
5,角度逼近圆弧插补法
6.,改进吐斯丁,（ Improved Tustin Method-ITM） 法
4.2 基准脉冲插补
4.2.1 逐点比较插补法基本思路,在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中,不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置,
并根据比较结果决定下一步的进给方向,使刀具向减小误差的方向进给 。
其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量 δ （ 相对于每个脉冲信号,机床移动部件的位移,常见的有,0.01mm、
0.005mm,0.001mm）
每进给一步需要四个节拍：
y
o x
A(xe,ye)
坐标进给偏差判别 新偏差计算 终点比较
1,逐点比较插补法直线插补
P点在直线上方，则有：
P点在直线上，则有：
P点在直线下方，则有：
如图所示直线 OA和点 P（ Xi,Yi）,A点（ Xe,Ye） 。
0YXXY eiei
0YXXY eiei
0YXXY eiei
eieii,i YXXYF
（ 1）偏差判别方程式：
（ 2）坐标进给 （ 3）偏差计算
Fi,i>=0时，向＋ x方向走一步。
Fi,i<0时，向＋ y方向走一步 。
ei,ii,1i
ii
YFF
1XX
ei,i1i,i
i1i
XFF
1YY
O
y
F>=0
F<0
x
（ 4）终点判断
总步数为,N=Xe+Ye。 每走一步,N＝ N-1,判断 N为零,
则插补结束 。
例 4-1 插补直线 OA,A（ 5,3）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=5,Ye=3 n=0,N=8
1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -3 n=1
2 F1,0＝ -3<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ 2 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ 2>0 +X F2,1＝ F1,1－ Ye＝ -1 n=2+1=3<N
4 F2,1＝ -1<0 +Y F2,2＝ F2,1＋ Xe＝ 4 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ 4>0 +X F3,2＝ F2,2－ Ye＝ 1 n=4+1=5<N
6 F3,2＝ 1>0 +X F4,2＝ F3,2－ Ye＝ -2 n=5+1=6<N
7 F4,2＝ -2<0 +Y F4,3＝ F4,0＋ Xe＝ 3 n=6+1=7<N
8 F4,3＝ 3>0 +X F5,3＝ F4,3－ Ye＝ 0 n=7+1=8=N
直线 OA插补轨迹例,插补直线 OA,A（ 4,5）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=4,Ye=5 n=0,N=9
1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -5 n=1
2 F1,0＝ -5<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ -1 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ -1<0 +Y F1,2＝ F1,1 ＋ Xe＝ 3 n=2+1=3<N
4 F1,2＝ 3>0 +X F2,2＝ F1,2 － Ye＝ -2 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ -2<0 +Y F2,3＝ F2,2 ＋ Xe＝ 2 n=4+1=5<N
6 F2,3＝ 2>0 +X F3,3＝ F2,3－ Ye＝ -3 n=5+1=6<N
7 F3,3＝ -3<0 +Y F3,4＝ F3,3＋ Xe＝ 1 n=6+1=7<N
8 F3,4＝ 1>0 +X F4,4＝ F3,4－ Ye＝ -4 n=7+1=8<N
9 F4,4＝ -4<0 +Y F4,5＝ F4,4＋ Xe＝ 0 n=8+1=9=N
xO
y
A（ 4,5）
插补轨迹直线插补不同象限插补方向无论在哪个象限，逐点比较直线插补法均采用直线坐标的绝对值计算。
线型偏差计算 进 给 偏差计算 进 给
F>=0 F<0
L1
F-Ye F
+ΔX
F+Xe F
+ΔY
L2 -ΔX +ΔY
L3 -ΔX -ΔY
L4 +ΔX -ΔY
四个象限直线插补进给方向和偏差计算
2,逐点比较法圆弧插补如右图所示逆圆弧 AE,C,D,B点分别在圆弧的外、
内部和圆弧上。
C点在圆弧的外部，则有
0)YX()YX( 20202c2c
D点在圆弧的内部，则有
0)YX()YX( 20202d2d
B点在圆弧上，则有
0)YX()YX( 20202b2b xO
y
E（ X0,Y0） C（ Xc,Yc）
D（ Xd,Yd）
B（ Xb,Yb）
A（ Xe,Ye）
（ 1）偏差判别方程式：
（ 2）坐标进给和计算
（ 3）终点判断,
)YX()YX(F 202022
Fi,i>=0时，向 -x方向走一步。
Fi,i <0时，向＋ y方向走一步 。
1X2FF
YY,1XX
ii,ii,1i
i1ii1i
1Y2FF
XX,1YY
ii,i1i,i
i1ii1i
0e0e YYXXn
注意：圆弧与直线不同，直线用于计算的自始至终是终点坐标，而圆弧则是一个动点坐标。
y
o x
F<
0
F>0
P(x0,
y0)
逐点比较法圆弧插补流程例 4-2 插补第一象限逆圆 AB
序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别
0 F10,0＝ 0 N=12
1 F10,0＝ 0 － X F9,0＝ F10,0－ 2× 10+1＝ -19 N=12-1=11
2 F9,0＝ -19<0 +Y F9,1＝ F9,0+2× 0+1＝ -18 N=12-2=10
3 F9,1＝ -18<0 +Y F9,2＝ F9,1+2× 1+1＝ -15 N=12-3=9
4 F9,2＝ -15<0 +Y F9,3＝ F9,2+2× 2+1＝ -10 N=12-4=8
5 F9,3＝ -10<0 +Y F9,4＝ F9,3+2× 3+1＝ -3 N=12-5=7
6 F9,4＝ -3<0 +Y F9,5＝ F9,4+2× 4+1＝ 6 N=12-6=6
7 F9,5＝ 6>0 － X F8,5＝ F9,5－ 2× 9+1＝ -11 N=12-7=5
8 F8,5＝ -11<0 +Y F8,6＝ F8,5+2× 5+1＝ 0 N=12-8=4
9 F8,6＝ 0 － X F7,6＝ F8,6－ 2× 8+1＝ -15 N=12-9=3
10 F7,6＝ -15<0 +Y F7,7＝ F7,6+2× 6+1＝ -2 N=12-10=2
11 F7,7＝ -2<0 +Y F7,8＝ F7,7+2× 7+1＝ 13 N=12-11=1
12 F7,8＝ 13>0 － X F6,8＝ F7,8－ 2× 7+1＝ 0 N=12-12=0
xO
y
A（ 6,0）
B（ 0,6）
举例：插补第一象限逆圆弧 AB,起点为 A（ 6,0）,终点为 B（ 0,6）
序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别
0 F6,0＝ 0 N=12
1 F6,0＝ 0 － X F5,0＝ F6,0－ 2× 6+1＝ -11 N=12-1=11
2 F5,0＝ -11<0 +Y F5,1＝ F5,0+2× 0+1＝ -10 N=12-2=10
3 F5,1＝ -10<0 +Y F5,2＝ F5,1+2× 1+1＝ -7 N=12-3=9
4 F5,2＝ -7<0 +Y F5,3＝ F5,2+2× 2+1＝ -2 N=12-4=8
5 F5,3＝ -2<0 +Y F5,4＝ F5,3+2× 3+1＝ 5 N=12-5=7
6 F5,4＝ 5>0 － X F4,4＝ F5,4－ 2× 5+1＝ -4 N=12-6=6
7 F4,4＝ -4<0 +Y F4,5＝ F4,4+2× 4+1＝ 5 N=12-7=5
8 F4,5＝ 5>0 － X F3,5＝ F4,5－ 2× 4+1＝ -2 N=12-8=4
9 F3,5＝ -2<0 +Y F3,6＝ F3,5+2× 5+1＝ 9 N=12-9=3
10 F3,6＝ 9>0 － X F2,6＝ F3,6－ 2× 3+1＝ 4 N=12-10=2
11 F2,6＝ 4>0 － X F1,6＝ F2,6－ 2× 2+1＝ 1 N=12-11=1
12 F1,6＝ 1>0 － X F0,6＝ F1,6－ 2× 1+1＝ 0 N=12-12=0
圆弧插补的象限处理四个象限圆弧插补进给方向和偏差计算其他象限的圆弧插补以 |X|和 |Y|代替 X和 Y。
线型 偏差计算 进 给 偏差计算 进 给F>=0 F<0
SR1（ 顺）
F-2Y+1
F
Y-1 Y
-ΔY
F+2X+1
F
X+1 X
+ΔX
SR3（ 顺） +ΔY -ΔX
NR2（ 逆） -ΔY -ΔX
NR4（ 逆） +ΔY +ΔX
SR2（ 顺）
F-2X+1
F
X-1 X
+ΔX
F+2Y+1
F
Y+1 Y
+ΔY
SR4（ 顺） -ΔX -ΔY
NR1（ 逆） -ΔX +ΔY
NR3（ 逆） +ΔX -ΔY
直线插补举例用逐点比较法加工第二象限直线 OA,起点为 O（ 0,0），
终点为 A（ -4,3）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=-4,Ye=3 n=0,N=8
1 F0,0＝ 0 － X F1,0＝ F0,0－ |Ye|＝ -3 n=1
2 F1,0＝ -3<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ |Xe|＝ 1 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ 1>0 － X F2,1＝ F1,1－ |Ye|＝ -2 n=2+1=3<N
4 F2,1＝ -2<0 +Y F2,2＝ F2,1＋ |Xe|＝ 2 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ 2>0 － X F3,2＝ F2,2－ |Ye|＝ -1 n=4+1=5<N
6 F3,2＝ -1<0 +Y F3,3＝ F3,2＋ |Xe|＝ 3 n=5+1=6<N
7 F3,3＝ 3>0 － X F4,3＝ F3,3－ |Ye|＝ 0 n=6+1=7<N
圆弧插补举例用逐点比较法加工第二象限顺圆弧 AB,起点为 A
（ -5,0）,终点为 B（ -3,4）
序号偏差判别 进给偏差计算 终点判别
0 F5,0＝ 0 N=6
1 F5,0＝ 0 +X F4,0＝ F5,0－ 2× |-5|+1＝ -9 N=6-1=5
2 F4,0＝ -9<0 +Y F4,1＝ F4,0+2× |0|+1＝ -8 N=6-2=4
3 F4,1＝ -8<0 +Y F4,2＝ F4,1+2× |1|+1＝ -5 N=6-3=3
4 F4,2＝ -5<0 +Y F4,3＝ F5,2+2× |2|+1＝ 0 N=6-4=2
5 F4,3＝ 0 +X F3,3＝ F4,3－ 2× |-4|+1＝ -7 N=6-5=1
6 F3,3＝ -7<0 +Y F3,4＝ F3,3+2× |3|+1＝ 0 N=6-6=0
插补轨迹
xO
y
A（ － 4,3）
xO
y
A（ － 5,0）
B（ － 3,4）
圆弧插补过象限处理同一个圆弧在不同象限,走刀方向不同 。
由于采用绝对值计算,A1点与 A点相同,在插补计算过程中,如果从 A点插补到 B点,那么会造成插补到 A1点就结束 。
分不同象限处理 。
思考问题：
1,不同象限的直线,圆弧插补算法相同吗？
2,同一象线的 逆时针圆弧 和 顺时针圆弧 插补算法一样吗？
4.2.2 数字积分法数字积分法也称为数字微分分析法,是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补方法 。
基本原理,数字积分法是利用数字积分的方法,计算刀具沿各坐标轴的位移,使得刀具沿着所加工的曲线运动 。
优点,运算速度快,脉冲分配均匀,容易实现多坐标联动 。
缺点,速度调节不便,插补精度需要采用移动措施才能满足要求 。
如右图所示，由曲线 y＝ f（ t）
与 x轴所围成的面积 S为：
t dttfS 0 )(
取 Δ t足够小时，则有：
n
1i
1i tyS?
如令 Δ t为最小的基本单位,1” 时，则有：
n
1i
1iyS
1,数字积分原理设置一个累加器,并且假设累加器的容量为一个单位面积 。 用该累加器来实现累加运算,那么在累加过程中超过一个单位面积时就必然产生溢出,即产生一个溢出脉冲 。
累加过程中所产生的溢出脉冲总数就是所求的近似值,
或者说所要求的积分近似值 。
以直线 OE为例说明 DDA插补的方法,其终点的坐标为 （ Xe,Ye）
=(7,4)
设在 10秒时间内完成插补工作 （ 进给脉冲以整数 1为单位 ）
X方向每个时间单位内的增量 ΔX=Xe/10＝ 0.7
Y方向每个时间单位内的增量 ΔY=Ye/10＝ 0.4
累积 X方向的增量 0.7+0.7＝ 1.4,发出 1个脉冲,留下 0.4个脉冲在余数寄存器等待下一次累积 。 最后 10次累积为 10*0.7＝ 7（ X
方向的终点坐标 ）
累积 Y方向的增量 0.4+0.4+0.4＝ 1.2,3个单位后发出 1个脉冲,
留下 0.2个脉冲在余数寄存器等待下一次累积 。 最后 10次累积为 10*0.4＝ 4（ Y方向的终点坐标 ）
举例说明直线 OE的 DDA插补运算过程插补轨迹结论：直线 OE的插补过程实质是一个累加运算过程
（即积分的过程）。
tVx x
tVy y
k
e
y
e
x
y
v
x
v
OA
V
tkxtvx ex
tkytvy ey
结论：动点从原点 O走向终点 A的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔?t，
分别以增量 kxe,kye同时累加的过程。
2,DDA直线插补各坐标轴的位移量
n
i
e
n
i
e
t
e
n
i
e
n
i
e
t
e
yktykdtkyy
xktxkdtkxx
11
0
11
0
DDA直线插补器结构
DDA直线插补器工作过程平面直线插补器由两个数字积分器组成,每个积分器由累加器和被积函数寄存器组成 。
终点坐标值存放在被积函数寄存器中 。
工作过程,每发出一个插补迭代脉冲,使 kxe和 kye向各自的累加器里累加一次,累加的结果有无溢出脉冲取决于累加器的容量和 kxe,kye的大小 。
系数 k的选择和累加次数 m的确定假设 m次累加后（ m也为累加器的容量）,x,y分别到达终点，则有
1
11
11
mk
yk m yyktyky
xk m xxktxkx
ee
m
i
e
m
i
e
ee
m
i
e
m
i
e
为保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过一个，则有
Δ x<1和 Δ y<1,即 kxe<1和 kye<1。 而 xe和 ye受寄存器容量的限制，令寄存器的位数为 n,寄存器的最大值为 2n-
1,则有 xe＝ 2n-1,ye＝ 2n-1。 于是有
12
1
nk
为保证累加次数 m为整数，取,所以累加次数
m＝ 2n。 所以数字积分法直线插补的终点判别为 m＝ 2n。
nk 2
1?
寄存 KXe与 Xe的一致性由于 KXe= Xe/2n,运算的方法为：保持数字 Xe不变,只需把数 Xe往右移动 n位即可得到 KXe。
被积函数寄存器 Jvx内装的 KXe,可改为只装 Xe即可 。
KYe= Ye/2n,运算的方法为：保持数字 Ye不变,只需把数
Ye往右移动 n位即可得到 KYe。
被积函数寄存器 JvY内装的 KYe可改为只装 Ye即可 。
终点判别终点计数器 JE
开始,JE =0
每进行一次加法运算,JE +1
当 JE=2n时运算停止 。
DDA直线插补流程图置 初 值 x
e
,y
e
,累 加 次数 m ； ∑ x
e
,∑ y
e
清 零
∑ x
e
← ∑ x
e
+ x
e
∑ y
e
← ∑ y
e
+ y
e
X 有 溢 出 吗?
y 有 溢 出 吗?
累 加 次 数 m 减 1
到 终 点 吗?
结 束
+ x 向 走 一 步
+ x 向 走 一 步
Y
Y
Y
N
N
N
例 4-3 DDA直线插补（二进制计算）
累加次数（ Δt）
X积分器 Y积分器 终点计数器 JE 备注
JVx（ xe） JRx Δx JVy（ ye） JRy Δy
0 101 000 011 000 000 初始状态
1 101 101 011 011 001 第一次迭代
2 101 010 1 011 110 010 Δx溢出
3 101 111 011 001 1 011 Δy溢出
4 101 100 1 011 100 100 Δx溢出
5 101 001 1 011 111 101 Δx溢出
6 101 110 011 010 1 110 Δy溢出
7 101 011 1 011 101 111 Δx溢出
8 101 000 1 011 000 1 000 Δx,Δy溢出
DDA直线插补轨迹整数计算过程累加次数（ Δt）
X积分器 Y积分器 终点计数器 JE 备注J
Vx（ xe） JRx Δx JVy（ ye） JRy Δy
0 5 0 3 0 0 初始状态
1 5 5 3 3 1 第一次迭代
2 5 2 1 3 6 2 Δx溢出
3 5 7 3 1 1 3 Δy溢出
4 5 4 1 3 4 4 Δx溢出
5 5 1 1 3 7 5 Δx溢出
6 5 6 3 2 1 6 Δy溢出
7 5 3 1 3 5 7 Δx溢出
8 5 0 1 3 0 1 8 Δx,Δy溢出
3,DDA圆弧插补如右图所示,P点为逆圆弧 AB上的一个动点，由图可知
)( 常数k
x
V
y
V
R
V yx
txktVy
tyktVx
y
x
注意：对于第一象限逆圆弧,x坐标轴的进给方向是－ x方向，
因此，要加上负号（－）。
其余过程与直线插补相同。
DDA圆弧插补器结构与直线插补的区别：
坐标值 x,y存入被积函数寄存器 JVx,JVy的对应关系与直线不同,正好相反,JVx存放着 y,JVy存放着 x。
直线插补时,寄存器中始终存放着终点的坐标值,为常数,而圆弧插补则不同,寄存器中存放着动点坐标,是个变量 。 在插补过程中,必须根据动点位置的变化来改变 JVx,JVy中的内容 。
第一象限逆圆弧 DDA的插补过程运算开始时,x轴和 y轴被积函数寄存器中分别存放着 Y,X的起点坐标值 。
x轴被积函数寄存器中的数与其累加器的数累加得到的溢出脉冲发到－ x方向 。
y轴被积函数寄存器中的数与累加器中的数累加得到的溢出脉冲发到＋ y方向 。
每发出一个进给脉冲后,必须将被积函数寄存器中的坐标值加以修正 。 即当 x
方向发出进给脉冲后,使 y轴被积函数寄存器中的内容减 1（ x方向的坐标值减少 1,但 x坐标值存放在 y轴被积函数寄存器中 ） ；当 y方向发出一个进给脉冲后,使 x轴被积函数寄存器中的内容加 1
（ y方向的坐标值增加 1,但 y坐标值存放在 x轴被积函数寄存器中 ） 。
终点判断：以圆弧的终点与起点的 x,y
坐标值之差的绝对值作为 x,y方向各自发出的脉冲总数值,以此作为终点判断 。
DDA圆弧插补流程图
DDA圆弧插补举例已知第一象限逆圆弧 AB,起点为 A（ 5,0）,终点为 B
（ 0,5）,采用三位二进制寄存器和累加器，使用 DDA
法进行插补加工。
xO
y
A
B
DDA不同象限插补处理数字积分法不同象限直线和圆弧插补时，均以第一象限的直线和逆圆弧为标准，以不同象限的坐标值的绝对值进行计算，其进给方向和坐标修正如下表所示。
内 容 L1 L2 L3 L4 NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4
动点修正
JVX ＋ 1 － 1 ＋ 1 － 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1
JVY － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 － 1
进给方向
ΔX ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ ＋ ＋ － －
ΔY ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ － ＋ ＋ －
DDA插补质量的提高
DDA插补的缺点：直线插补时每个程序段都要完成 m=2n次累加运算,造成行程长走刀快,行程短走刀慢 。
各程序段进给速度不一致,行程短的程序段生产效率低 。
解决办法：,左移规格化处理,——被积数移去前零 。 如：
0011——1100
规格化数,经过左移规格化处理后,在寄存器中最高位位,1”
的数 。 反之,为非规格化数 。
规格化的数累加两次必然有一次溢出,而非规格化的数需要两次或者多次累加才有一次溢出 。
（ 1） 进给速度的均匀化
DDA直线插补规格化
Xe,Ye大者最高位为 1
X=0011,Y=0101,—— 0110,1010
每左移一位,累加次数应该减少一倍,相当于终点计数器的长度要缩短一倍 。 如左移 Q位,数值增大 2Q倍,m=2n-Q。
终点判别：终点判别计数器 JE用,1” 从最高位输入进行右移,缩短计算长度 。
非规格化 规格化
Xe 000011 000110 011000
Ye 000101 001010 101000
JE 000000 100000 111000
DDA圆弧插补左移规格化最大的被积数次高位为 1,即保持一个前零 。
避免被积函数寄存器 JVX,JVY在计算过程中被修正 +1时产生溢出 。
左移 Q位,JVX,JVY存放 2Qy和 2Qx。
X积分器有溢出时,JVX中的 2Qy变为 2Q（ y+1） ＝ 2Qy+ 2Q
Y积分器有溢出时,JVY中的 2Qx变为 2Q（ x+1） ＝ 2Qx+ 2Q
（ 2）插补精度的提高溢出脉冲速度与被积数成正比 。
圆弧插补时 2个被积数可能相差较大,一个坐标方向连续有溢出,
而另一个则长时间无溢出,从而使插补轨迹偏离理论曲线,使插补精度降低 。 圆弧插补误差小于或等于两个脉冲当量 （ 直线插补误差小于一个脉冲当量 ） 。
增加积分器位数,增加迭代次数,可提高插补精度,但进给速度降低 。
解决办法,余数寄存器预置数法：全加载 111111… 111 和
1000… 0000.5（ 半加载法 ） 。
作用,在被积函数较小时,迟迟不能产生溢出的情况下,可以改善溢出脉冲的时间分布,减小插补误差 。
4.3 数据采样插补基本原理,是一种时间分割法,根据进给速度,将加工轮廓曲线分割为一定时间内 （ 一个插补周期 ） 的进给量 （ 一条微小直线 ）,即用一系列微小直线段逼近轮廓轨迹 。 在每个插补周期,调用插补程序一次,为下一插补周期计算出各坐标轴应该行进的增长段,并计算插补点的坐标值 。
实现步骤,粗插补 （ 用若干微小直线段逼近曲线 ） 和精插补 （ 脉冲增量插补 ） 。
解决两个问题,选择插补周期；计算一个周期内各坐标轴的进给量 。
插补周期的选择
（ 1） 插补周期与插补运算时间的关系 。
（ 2） 插补周期与位置反馈采样周期的关系 。
（ 3） 插补周期与精度,速度的关系 。
数据采样插补直线与圆弧插补原理直线插补,用插补所形成的步长子线段逼近给定直线,与给定直线重合 。
圆弧插补,用弦线 （ 直接函数法 ） 或割线 （ 扩展 DDA算法 ） 逼近圆弧 。
1,直线插补算法原理每个插补周期的进给步长为
ΔL=FT
直线 OPe的长度为
L=(Xe2+Ye2)0.5
x和 y轴的位移增量为
ΔX=ΔLXe/L
ΔY=ΔLYe/L
假设 k=ΔL/L
插补第 i点的动点坐标为
Xi=Xi-1+ΔX=Xi-1+kXe
Yi=Yi-1+ΔY=Yi-1+kYe
2,圆弧插补算法基本思想：在满足精度的前提下,用弦进给代替弧进给,即用直线逼近圆弧 。
圆弧上相邻两点坐标之间的关系如下 。
s i nL5.0Y
c o sL5.0X
EMOC
AEDH
CDOC
HMDH)
2t a n (t a n i
i
i?
s i n5.0
c o s5.0t a n
LY
LX
X
Y
i
i
FTL
YYY
XXX
i1i
i1i
4.4 加工过程的速度控制机床加工过程中,不同尺寸,不同材质的零件,切削速度不同 。
CNC系统进给速度控制包括自动调节和手动调节两种方式 。
自动调节方式,按照零件加工程序中速度功能指令中的 F值进行速度控制 。
手动调节方式,加工过程中由操作者根据需要随时使用倍率旋钮对进行速度进行手动调节 。
开环系统中,坐标轴运动速度是通过向步进电机输出脉冲的频率来实现,其速度控制方法是根据程编 F值来确定其频率 。
半闭环和闭环系统中,采用数据采样方法进行插补加工,其速度计算是根据程编 F值将轮廓曲线分割为采样周期的轮廓步长 。
因此,进给速度控制方法与系统采用的插补方法有关 。
4.4.1 基准脉冲插补法的进给速度控制首先分析,计算每次插补运算所占用时间,然后再用各种速度要求的进给脉冲间隔时间减去每次插补运算时间,从而得到 CPU再每次插补运算后应等待的时间,用 CPU的空运转循环对这段等待的时间进行计时,即采用软件延时子程序 。
也可通过置速度标志来实现程序计数 。
程序计时法多用于点位直线控制系统 。
不同的空运转时间对应着不同的进给速度,空运转等待时间越短,发出进给脉冲频率越高,速度越快 。
1,程序计时法
2,时钟中断法时钟中断法只要求一种时钟频率,用软件控制每个时钟周期内的插补次数,以达到进给速度控制的目的 。
其速度要求用每分钟毫米数直接给定 。
4.4.2 数据采样插补法的进给速度控制为了保证机床在启动或停止时不产生冲击,失步,超程或振荡,必须对进给电机进行加减速控制 。 分为前加减速控制和后加减速控制 。
前加减速控制,对合成速度 F进行控制,优点是不影响实际插补输出的位置精度 。 缺点是需要预测减速点 （ 需要根据实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定 ） 。
后加减速控制,对各运动轴分别进行加减速控制,不需要预测减速点,在插补输出为零时开始减速,并通过一定的时间延迟逐渐靠近程序段终点 。 缺点是对各运动轴进行控制,
实际的各轴的合成位置可能不准确 。
1,前加减速控制稳定速度：系统处于稳定进给状态时,没有插补一次
（ 一个插补周期 ） 的进给量 。 稳定速度的计算如下稳定速度计算完毕后,还需要进行速度限制检查,看是否超过参数设定的最大速度 。
瞬时速度：系统在每个插补周期的进给量 。 当系统处于稳定进给状态时,瞬时速度 Vi=Vg； 当系统处于加速或减速状态时,Vi<Vg（ 或 Vi>Vg） 。
1 0 0 060
T K FV
g
（ 1）线性加减速处理设进给速度为 F（ mm/min）,加速到 F所需时间为 t（ ms）,则加速度 a（ μm/ms2） 为加速时,当计算出的稳定速度 大于原来的稳定速度 时,
需要加速,加速一次,瞬间速率为减速时,先进行终点判别,计算离终点的瞬时距离 Si,并根据减速标志判断是否到达减速区域 S,若到达则减速 。 减速区域 S
为若 Si≤S,开始减速,每减速一次,瞬时速度为
t
F1067.1a 2
aTVV i1i
'gV
gV
a2/VS 2g?
aTVV i1i
线性加速和减速处理流程图
（ 2）终点判别处理直线插补时,A的瞬间坐标值为瞬间点 A离终点 P的距离 Si为圆弧插补圆弧圆心角小于 π时圆弧圆心角大于 π时,Si的计算先要判别的变化趋势 （ 过分界点前,逐渐变大；过分界点后,逐渐变小 ）,若 Si变大,不进行终点判别处理,直到越过分界点为止 。 若 Si变小,再进行终点判别处理 。
yyy
xxx
1ii
1ii
c o s
1xxS
ii
c o s
1yyS
ii
2,后加减速控制
（ 1） 指数加减速控制算法指数加减速控制算法：将启动或停止时的速度突变变成随时间按照指数规律上升或下降 。
加速时：
匀速时：
减速时：
)e1(V)t(V T
t
c
cV)t(V?
T
t
c eV)t(V
（ 2）直线加减速控制算法直线加减速控制算法：使得机床在启动或停止时,速度沿着一定斜率的直线上升或下降 。
加速过程：
加速过渡过程：
匀速过程：
减速过渡过程：
减速过程：
KLVV 1ii
ci VV?
1ii VV
ci VV?
KLVV 1ii
4.1.1 插补的概念在数控机床中,刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动,
只能 用折线轨迹逼近所要加工的曲线 。
插补 （ interpolation） 定义,机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程 。 数据密集化的过程 。 数控系统根据输入的基本数据 （ 直线起点,终点坐标,圆弧圆心,起点,终点坐标,进给速度等 ） 运用一定的算法,自动的在有限坐标点之间形成一系列的坐标数据,从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配,完成整个线段的轨迹分析,以满足加工精度的要求 。
4.1 概述数控装置 向各坐标提供相互协调的进给脉冲,伺服系统 根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动 。
数控装置的关键问题,根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算 （ 即插补计算 ）,产生机床各坐标的进给脉冲 。
插补的实质插补计算 就是数控装置根据输入的基本数据,通过计算,把工件轮廓的形状描述出来,边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲,对应每个脉冲,机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离,从而将工件加工出所需要轮廓的形状 。
插补的实质,在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化 。
数学模型：直线、圆弧、二次曲线、螺旋线、自由曲线等要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好硬件插补器 由专门设计的数字逻辑电路组成 。
特点：插补速度快,升级不易,柔性较差 。
软件插补器 通过软件 （ 编程 ） 实现插补功能 。
特点：插补速度比硬件插补器慢,但成本低,柔性强,
结构简单,可靠性好 。
4.1.2 插补方法的分类
4.1.2 插补方法的分类
1.基准脉冲插补（行程标量插补或脉冲增量插补）
特点,每次插补结束,数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列,每个脉冲代表了最小位移,脉冲序列的频率代表了坐标运动速度,而脉冲的数量表示移动量 。
仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统主要的脉冲增量插补方法
1,数字脉冲乘法器插补法
2,逐点比较法
3,数字积分法
4,矢量判别法
5,比较积分法
6,最小偏差法
7,目标点跟踪法
8,单步追踪法
9,直接函数法
10.加密判别和双判别插补法
2,数字采样插补（数据增量插补）
特点,数控装置产生的不是单个脉冲,而是标准二进制字 。 插补运算分两步完成 。
（ 1） 粗插补 (软件实现 )
在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点,即用若干条微小直线段逼近给定曲线,每一微小直线段的长度都相等,且与给定速度有关 。
（ 2） 精插补 （ 硬件实现 ）
在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作,数据点的密化,工作,相当于对直线的脉冲增量插补 。
适用于闭环,半闭环以直流和交流伺服电机为驱动装置的位置采样控制系统主要的数字增量插补方法
1,直线函数法
2,扩展数字积分法
3,二阶递归扩展数字积分插补法
4,双数字积分插补法
5,角度逼近圆弧插补法
6.,改进吐斯丁,（ Improved Tustin Method-ITM） 法
4.2 基准脉冲插补
4.2.1 逐点比较插补法基本思路,在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中,不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置,
并根据比较结果决定下一步的进给方向,使刀具向减小误差的方向进给 。
其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量 δ （ 相对于每个脉冲信号,机床移动部件的位移,常见的有,0.01mm、
0.005mm,0.001mm）
每进给一步需要四个节拍：
y
o x
A(xe,ye)
坐标进给偏差判别 新偏差计算 终点比较
1,逐点比较插补法直线插补
P点在直线上方，则有：
P点在直线上，则有：
P点在直线下方，则有：
如图所示直线 OA和点 P（ Xi,Yi）,A点（ Xe,Ye） 。
0YXXY eiei
0YXXY eiei
0YXXY eiei
eieii,i YXXYF
（ 1）偏差判别方程式：
（ 2）坐标进给 （ 3）偏差计算
Fi,i>=0时，向＋ x方向走一步。
Fi,i<0时，向＋ y方向走一步 。
ei,ii,1i
ii
YFF
1XX
ei,i1i,i
i1i
XFF
1YY
O
y
F>=0
F<0
x
（ 4）终点判断
总步数为,N=Xe+Ye。 每走一步,N＝ N-1,判断 N为零,
则插补结束 。
例 4-1 插补直线 OA,A（ 5,3）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=5,Ye=3 n=0,N=8
1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -3 n=1
2 F1,0＝ -3<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ 2 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ 2>0 +X F2,1＝ F1,1－ Ye＝ -1 n=2+1=3<N
4 F2,1＝ -1<0 +Y F2,2＝ F2,1＋ Xe＝ 4 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ 4>0 +X F3,2＝ F2,2－ Ye＝ 1 n=4+1=5<N
6 F3,2＝ 1>0 +X F4,2＝ F3,2－ Ye＝ -2 n=5+1=6<N
7 F4,2＝ -2<0 +Y F4,3＝ F4,0＋ Xe＝ 3 n=6+1=7<N
8 F4,3＝ 3>0 +X F5,3＝ F4,3－ Ye＝ 0 n=7+1=8=N
直线 OA插补轨迹例,插补直线 OA,A（ 4,5）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=4,Ye=5 n=0,N=9
1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -5 n=1
2 F1,0＝ -5<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ -1 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ -1<0 +Y F1,2＝ F1,1 ＋ Xe＝ 3 n=2+1=3<N
4 F1,2＝ 3>0 +X F2,2＝ F1,2 － Ye＝ -2 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ -2<0 +Y F2,3＝ F2,2 ＋ Xe＝ 2 n=4+1=5<N
6 F2,3＝ 2>0 +X F3,3＝ F2,3－ Ye＝ -3 n=5+1=6<N
7 F3,3＝ -3<0 +Y F3,4＝ F3,3＋ Xe＝ 1 n=6+1=7<N
8 F3,4＝ 1>0 +X F4,4＝ F3,4－ Ye＝ -4 n=7+1=8<N
9 F4,4＝ -4<0 +Y F4,5＝ F4,4＋ Xe＝ 0 n=8+1=9=N
xO
y
A（ 4,5）
插补轨迹直线插补不同象限插补方向无论在哪个象限，逐点比较直线插补法均采用直线坐标的绝对值计算。
线型偏差计算 进 给 偏差计算 进 给
F>=0 F<0
L1
F-Ye F
+ΔX
F+Xe F
+ΔY
L2 -ΔX +ΔY
L3 -ΔX -ΔY
L4 +ΔX -ΔY
四个象限直线插补进给方向和偏差计算
2,逐点比较法圆弧插补如右图所示逆圆弧 AE,C,D,B点分别在圆弧的外、
内部和圆弧上。
C点在圆弧的外部，则有
0)YX()YX( 20202c2c
D点在圆弧的内部，则有
0)YX()YX( 20202d2d
B点在圆弧上，则有
0)YX()YX( 20202b2b xO
y
E（ X0,Y0） C（ Xc,Yc）
D（ Xd,Yd）
B（ Xb,Yb）
A（ Xe,Ye）
（ 1）偏差判别方程式：
（ 2）坐标进给和计算
（ 3）终点判断,
)YX()YX(F 202022
Fi,i>=0时，向 -x方向走一步。
Fi,i <0时，向＋ y方向走一步 。
1X2FF
YY,1XX
ii,ii,1i
i1ii1i
1Y2FF
XX,1YY
ii,i1i,i
i1ii1i
0e0e YYXXn
注意：圆弧与直线不同，直线用于计算的自始至终是终点坐标，而圆弧则是一个动点坐标。
y
o x
F<
0
F>0
P(x0,
y0)
逐点比较法圆弧插补流程例 4-2 插补第一象限逆圆 AB
序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别
0 F10,0＝ 0 N=12
1 F10,0＝ 0 － X F9,0＝ F10,0－ 2× 10+1＝ -19 N=12-1=11
2 F9,0＝ -19<0 +Y F9,1＝ F9,0+2× 0+1＝ -18 N=12-2=10
3 F9,1＝ -18<0 +Y F9,2＝ F9,1+2× 1+1＝ -15 N=12-3=9
4 F9,2＝ -15<0 +Y F9,3＝ F9,2+2× 2+1＝ -10 N=12-4=8
5 F9,3＝ -10<0 +Y F9,4＝ F9,3+2× 3+1＝ -3 N=12-5=7
6 F9,4＝ -3<0 +Y F9,5＝ F9,4+2× 4+1＝ 6 N=12-6=6
7 F9,5＝ 6>0 － X F8,5＝ F9,5－ 2× 9+1＝ -11 N=12-7=5
8 F8,5＝ -11<0 +Y F8,6＝ F8,5+2× 5+1＝ 0 N=12-8=4
9 F8,6＝ 0 － X F7,6＝ F8,6－ 2× 8+1＝ -15 N=12-9=3
10 F7,6＝ -15<0 +Y F7,7＝ F7,6+2× 6+1＝ -2 N=12-10=2
11 F7,7＝ -2<0 +Y F7,8＝ F7,7+2× 7+1＝ 13 N=12-11=1
12 F7,8＝ 13>0 － X F6,8＝ F7,8－ 2× 7+1＝ 0 N=12-12=0
xO
y
A（ 6,0）
B（ 0,6）
举例：插补第一象限逆圆弧 AB,起点为 A（ 6,0）,终点为 B（ 0,6）
序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别
0 F6,0＝ 0 N=12
1 F6,0＝ 0 － X F5,0＝ F6,0－ 2× 6+1＝ -11 N=12-1=11
2 F5,0＝ -11<0 +Y F5,1＝ F5,0+2× 0+1＝ -10 N=12-2=10
3 F5,1＝ -10<0 +Y F5,2＝ F5,1+2× 1+1＝ -7 N=12-3=9
4 F5,2＝ -7<0 +Y F5,3＝ F5,2+2× 2+1＝ -2 N=12-4=8
5 F5,3＝ -2<0 +Y F5,4＝ F5,3+2× 3+1＝ 5 N=12-5=7
6 F5,4＝ 5>0 － X F4,4＝ F5,4－ 2× 5+1＝ -4 N=12-6=6
7 F4,4＝ -4<0 +Y F4,5＝ F4,4+2× 4+1＝ 5 N=12-7=5
8 F4,5＝ 5>0 － X F3,5＝ F4,5－ 2× 4+1＝ -2 N=12-8=4
9 F3,5＝ -2<0 +Y F3,6＝ F3,5+2× 5+1＝ 9 N=12-9=3
10 F3,6＝ 9>0 － X F2,6＝ F3,6－ 2× 3+1＝ 4 N=12-10=2
11 F2,6＝ 4>0 － X F1,6＝ F2,6－ 2× 2+1＝ 1 N=12-11=1
12 F1,6＝ 1>0 － X F0,6＝ F1,6－ 2× 1+1＝ 0 N=12-12=0
圆弧插补的象限处理四个象限圆弧插补进给方向和偏差计算其他象限的圆弧插补以 |X|和 |Y|代替 X和 Y。
线型 偏差计算 进 给 偏差计算 进 给F>=0 F<0
SR1（ 顺）
F-2Y+1
F
Y-1 Y
-ΔY
F+2X+1
F
X+1 X
+ΔX
SR3（ 顺） +ΔY -ΔX
NR2（ 逆） -ΔY -ΔX
NR4（ 逆） +ΔY +ΔX
SR2（ 顺）
F-2X+1
F
X-1 X
+ΔX
F+2Y+1
F
Y+1 Y
+ΔY
SR4（ 顺） -ΔX -ΔY
NR1（ 逆） -ΔX +ΔY
NR3（ 逆） +ΔX -ΔY
直线插补举例用逐点比较法加工第二象限直线 OA,起点为 O（ 0,0），
终点为 A（ -4,3）
序号偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别
0 F0,0＝ 0,Xe=-4,Ye=3 n=0,N=8
1 F0,0＝ 0 － X F1,0＝ F0,0－ |Ye|＝ -3 n=1
2 F1,0＝ -3<0 +Y F1,1＝ F1,0＋ |Xe|＝ 1 n=1+1=2<N
3 F1,1＝ 1>0 － X F2,1＝ F1,1－ |Ye|＝ -2 n=2+1=3<N
4 F2,1＝ -2<0 +Y F2,2＝ F2,1＋ |Xe|＝ 2 n=3+1=4<N
5 F2,2＝ 2>0 － X F3,2＝ F2,2－ |Ye|＝ -1 n=4+1=5<N
6 F3,2＝ -1<0 +Y F3,3＝ F3,2＋ |Xe|＝ 3 n=5+1=6<N
7 F3,3＝ 3>0 － X F4,3＝ F3,3－ |Ye|＝ 0 n=6+1=7<N
圆弧插补举例用逐点比较法加工第二象限顺圆弧 AB,起点为 A
（ -5,0）,终点为 B（ -3,4）
序号偏差判别 进给偏差计算 终点判别
0 F5,0＝ 0 N=6
1 F5,0＝ 0 +X F4,0＝ F5,0－ 2× |-5|+1＝ -9 N=6-1=5
2 F4,0＝ -9<0 +Y F4,1＝ F4,0+2× |0|+1＝ -8 N=6-2=4
3 F4,1＝ -8<0 +Y F4,2＝ F4,1+2× |1|+1＝ -5 N=6-3=3
4 F4,2＝ -5<0 +Y F4,3＝ F5,2+2× |2|+1＝ 0 N=6-4=2
5 F4,3＝ 0 +X F3,3＝ F4,3－ 2× |-4|+1＝ -7 N=6-5=1
6 F3,3＝ -7<0 +Y F3,4＝ F3,3+2× |3|+1＝ 0 N=6-6=0
插补轨迹
xO
y
A（ － 4,3）
xO
y
A（ － 5,0）
B（ － 3,4）
圆弧插补过象限处理同一个圆弧在不同象限,走刀方向不同 。
由于采用绝对值计算,A1点与 A点相同,在插补计算过程中,如果从 A点插补到 B点,那么会造成插补到 A1点就结束 。
分不同象限处理 。
思考问题：
1,不同象限的直线,圆弧插补算法相同吗？
2,同一象线的 逆时针圆弧 和 顺时针圆弧 插补算法一样吗？
4.2.2 数字积分法数字积分法也称为数字微分分析法,是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补方法 。
基本原理,数字积分法是利用数字积分的方法,计算刀具沿各坐标轴的位移,使得刀具沿着所加工的曲线运动 。
优点,运算速度快,脉冲分配均匀,容易实现多坐标联动 。
缺点,速度调节不便,插补精度需要采用移动措施才能满足要求 。
如右图所示，由曲线 y＝ f（ t）
与 x轴所围成的面积 S为：
t dttfS 0 )(
取 Δ t足够小时，则有：
n
1i
1i tyS?
如令 Δ t为最小的基本单位,1” 时，则有：
n
1i
1iyS
1,数字积分原理设置一个累加器,并且假设累加器的容量为一个单位面积 。 用该累加器来实现累加运算,那么在累加过程中超过一个单位面积时就必然产生溢出,即产生一个溢出脉冲 。
累加过程中所产生的溢出脉冲总数就是所求的近似值,
或者说所要求的积分近似值 。
以直线 OE为例说明 DDA插补的方法,其终点的坐标为 （ Xe,Ye）
=(7,4)
设在 10秒时间内完成插补工作 （ 进给脉冲以整数 1为单位 ）
X方向每个时间单位内的增量 ΔX=Xe/10＝ 0.7
Y方向每个时间单位内的增量 ΔY=Ye/10＝ 0.4
累积 X方向的增量 0.7+0.7＝ 1.4,发出 1个脉冲,留下 0.4个脉冲在余数寄存器等待下一次累积 。 最后 10次累积为 10*0.7＝ 7（ X
方向的终点坐标 ）
累积 Y方向的增量 0.4+0.4+0.4＝ 1.2,3个单位后发出 1个脉冲,
留下 0.2个脉冲在余数寄存器等待下一次累积 。 最后 10次累积为 10*0.4＝ 4（ Y方向的终点坐标 ）
举例说明直线 OE的 DDA插补运算过程插补轨迹结论：直线 OE的插补过程实质是一个累加运算过程
（即积分的过程）。
tVx x
tVy y
k
e
y
e
x
y
v
x
v
OA
V
tkxtvx ex
tkytvy ey
结论：动点从原点 O走向终点 A的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔?t，
分别以增量 kxe,kye同时累加的过程。
2,DDA直线插补各坐标轴的位移量
n
i
e
n
i
e
t
e
n
i
e
n
i
e
t
e
yktykdtkyy
xktxkdtkxx
11
0
11
0
DDA直线插补器结构
DDA直线插补器工作过程平面直线插补器由两个数字积分器组成,每个积分器由累加器和被积函数寄存器组成 。
终点坐标值存放在被积函数寄存器中 。
工作过程,每发出一个插补迭代脉冲,使 kxe和 kye向各自的累加器里累加一次,累加的结果有无溢出脉冲取决于累加器的容量和 kxe,kye的大小 。
系数 k的选择和累加次数 m的确定假设 m次累加后（ m也为累加器的容量）,x,y分别到达终点，则有
1
11
11
mk
yk m yyktyky
xk m xxktxkx
ee
m
i
e
m
i
e
ee
m
i
e
m
i
e
为保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过一个，则有
Δ x<1和 Δ y<1,即 kxe<1和 kye<1。 而 xe和 ye受寄存器容量的限制，令寄存器的位数为 n,寄存器的最大值为 2n-
1,则有 xe＝ 2n-1,ye＝ 2n-1。 于是有
12
1
nk
为保证累加次数 m为整数，取,所以累加次数
m＝ 2n。 所以数字积分法直线插补的终点判别为 m＝ 2n。
nk 2
1?
寄存 KXe与 Xe的一致性由于 KXe= Xe/2n,运算的方法为：保持数字 Xe不变,只需把数 Xe往右移动 n位即可得到 KXe。
被积函数寄存器 Jvx内装的 KXe,可改为只装 Xe即可 。
KYe= Ye/2n,运算的方法为：保持数字 Ye不变,只需把数
Ye往右移动 n位即可得到 KYe。
被积函数寄存器 JvY内装的 KYe可改为只装 Ye即可 。
终点判别终点计数器 JE
开始,JE =0
每进行一次加法运算,JE +1
当 JE=2n时运算停止 。
DDA直线插补流程图置 初 值 x
e
,y
e
,累 加 次数 m ； ∑ x
e
,∑ y
e
清 零
∑ x
e
← ∑ x
e
+ x
e
∑ y
e
← ∑ y
e
+ y
e
X 有 溢 出 吗?
y 有 溢 出 吗?
累 加 次 数 m 减 1
到 终 点 吗?
结 束
+ x 向 走 一 步
+ x 向 走 一 步
Y
Y
Y
N
N
N
例 4-3 DDA直线插补（二进制计算）
累加次数（ Δt）
X积分器 Y积分器 终点计数器 JE 备注
JVx（ xe） JRx Δx JVy（ ye） JRy Δy
0 101 000 011 000 000 初始状态
1 101 101 011 011 001 第一次迭代
2 101 010 1 011 110 010 Δx溢出
3 101 111 011 001 1 011 Δy溢出
4 101 100 1 011 100 100 Δx溢出
5 101 001 1 011 111 101 Δx溢出
6 101 110 011 010 1 110 Δy溢出
7 101 011 1 011 101 111 Δx溢出
8 101 000 1 011 000 1 000 Δx,Δy溢出
DDA直线插补轨迹整数计算过程累加次数（ Δt）
X积分器 Y积分器 终点计数器 JE 备注J
Vx（ xe） JRx Δx JVy（ ye） JRy Δy
0 5 0 3 0 0 初始状态
1 5 5 3 3 1 第一次迭代
2 5 2 1 3 6 2 Δx溢出
3 5 7 3 1 1 3 Δy溢出
4 5 4 1 3 4 4 Δx溢出
5 5 1 1 3 7 5 Δx溢出
6 5 6 3 2 1 6 Δy溢出
7 5 3 1 3 5 7 Δx溢出
8 5 0 1 3 0 1 8 Δx,Δy溢出
3,DDA圆弧插补如右图所示,P点为逆圆弧 AB上的一个动点，由图可知
)( 常数k
x
V
y
V
R
V yx
txktVy
tyktVx
y
x
注意：对于第一象限逆圆弧,x坐标轴的进给方向是－ x方向，
因此，要加上负号（－）。
其余过程与直线插补相同。
DDA圆弧插补器结构与直线插补的区别：
坐标值 x,y存入被积函数寄存器 JVx,JVy的对应关系与直线不同,正好相反,JVx存放着 y,JVy存放着 x。
直线插补时,寄存器中始终存放着终点的坐标值,为常数,而圆弧插补则不同,寄存器中存放着动点坐标,是个变量 。 在插补过程中,必须根据动点位置的变化来改变 JVx,JVy中的内容 。
第一象限逆圆弧 DDA的插补过程运算开始时,x轴和 y轴被积函数寄存器中分别存放着 Y,X的起点坐标值 。
x轴被积函数寄存器中的数与其累加器的数累加得到的溢出脉冲发到－ x方向 。
y轴被积函数寄存器中的数与累加器中的数累加得到的溢出脉冲发到＋ y方向 。
每发出一个进给脉冲后,必须将被积函数寄存器中的坐标值加以修正 。 即当 x
方向发出进给脉冲后,使 y轴被积函数寄存器中的内容减 1（ x方向的坐标值减少 1,但 x坐标值存放在 y轴被积函数寄存器中 ） ；当 y方向发出一个进给脉冲后,使 x轴被积函数寄存器中的内容加 1
（ y方向的坐标值增加 1,但 y坐标值存放在 x轴被积函数寄存器中 ） 。
终点判断：以圆弧的终点与起点的 x,y
坐标值之差的绝对值作为 x,y方向各自发出的脉冲总数值,以此作为终点判断 。
DDA圆弧插补流程图
DDA圆弧插补举例已知第一象限逆圆弧 AB,起点为 A（ 5,0）,终点为 B
（ 0,5）,采用三位二进制寄存器和累加器，使用 DDA
法进行插补加工。
xO
y
A
B
DDA不同象限插补处理数字积分法不同象限直线和圆弧插补时，均以第一象限的直线和逆圆弧为标准，以不同象限的坐标值的绝对值进行计算，其进给方向和坐标修正如下表所示。
内 容 L1 L2 L3 L4 NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4
动点修正
JVX ＋ 1 － 1 ＋ 1 － 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1
JVY － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 － 1
进给方向
ΔX ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ ＋ ＋ － －
ΔY ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ － ＋ ＋ －
DDA插补质量的提高
DDA插补的缺点：直线插补时每个程序段都要完成 m=2n次累加运算,造成行程长走刀快,行程短走刀慢 。
各程序段进给速度不一致,行程短的程序段生产效率低 。
解决办法：,左移规格化处理,——被积数移去前零 。 如：
0011——1100
规格化数,经过左移规格化处理后,在寄存器中最高位位,1”
的数 。 反之,为非规格化数 。
规格化的数累加两次必然有一次溢出,而非规格化的数需要两次或者多次累加才有一次溢出 。
（ 1） 进给速度的均匀化
DDA直线插补规格化
Xe,Ye大者最高位为 1
X=0011,Y=0101,—— 0110,1010
每左移一位,累加次数应该减少一倍,相当于终点计数器的长度要缩短一倍 。 如左移 Q位,数值增大 2Q倍,m=2n-Q。
终点判别：终点判别计数器 JE用,1” 从最高位输入进行右移,缩短计算长度 。
非规格化 规格化
Xe 000011 000110 011000
Ye 000101 001010 101000
JE 000000 100000 111000
DDA圆弧插补左移规格化最大的被积数次高位为 1,即保持一个前零 。
避免被积函数寄存器 JVX,JVY在计算过程中被修正 +1时产生溢出 。
左移 Q位,JVX,JVY存放 2Qy和 2Qx。
X积分器有溢出时,JVX中的 2Qy变为 2Q（ y+1） ＝ 2Qy+ 2Q
Y积分器有溢出时,JVY中的 2Qx变为 2Q（ x+1） ＝ 2Qx+ 2Q
（ 2）插补精度的提高溢出脉冲速度与被积数成正比 。
圆弧插补时 2个被积数可能相差较大,一个坐标方向连续有溢出,
而另一个则长时间无溢出,从而使插补轨迹偏离理论曲线,使插补精度降低 。 圆弧插补误差小于或等于两个脉冲当量 （ 直线插补误差小于一个脉冲当量 ） 。
增加积分器位数,增加迭代次数,可提高插补精度,但进给速度降低 。
解决办法,余数寄存器预置数法：全加载 111111… 111 和
1000… 0000.5（ 半加载法 ） 。
作用,在被积函数较小时,迟迟不能产生溢出的情况下,可以改善溢出脉冲的时间分布,减小插补误差 。
4.3 数据采样插补基本原理,是一种时间分割法,根据进给速度,将加工轮廓曲线分割为一定时间内 （ 一个插补周期 ） 的进给量 （ 一条微小直线 ）,即用一系列微小直线段逼近轮廓轨迹 。 在每个插补周期,调用插补程序一次,为下一插补周期计算出各坐标轴应该行进的增长段,并计算插补点的坐标值 。
实现步骤,粗插补 （ 用若干微小直线段逼近曲线 ） 和精插补 （ 脉冲增量插补 ） 。
解决两个问题,选择插补周期；计算一个周期内各坐标轴的进给量 。
插补周期的选择
（ 1） 插补周期与插补运算时间的关系 。
（ 2） 插补周期与位置反馈采样周期的关系 。
（ 3） 插补周期与精度,速度的关系 。
数据采样插补直线与圆弧插补原理直线插补,用插补所形成的步长子线段逼近给定直线,与给定直线重合 。
圆弧插补,用弦线 （ 直接函数法 ） 或割线 （ 扩展 DDA算法 ） 逼近圆弧 。
1,直线插补算法原理每个插补周期的进给步长为
ΔL=FT
直线 OPe的长度为
L=(Xe2+Ye2)0.5
x和 y轴的位移增量为
ΔX=ΔLXe/L
ΔY=ΔLYe/L
假设 k=ΔL/L
插补第 i点的动点坐标为
Xi=Xi-1+ΔX=Xi-1+kXe
Yi=Yi-1+ΔY=Yi-1+kYe
2,圆弧插补算法基本思想：在满足精度的前提下,用弦进给代替弧进给,即用直线逼近圆弧 。
圆弧上相邻两点坐标之间的关系如下 。
s i nL5.0Y
c o sL5.0X
EMOC
AEDH
CDOC
HMDH)
2t a n (t a n i
i
i?
s i n5.0
c o s5.0t a n
LY
LX
X
Y
i
i
FTL
YYY
XXX
i1i
i1i
4.4 加工过程的速度控制机床加工过程中,不同尺寸,不同材质的零件,切削速度不同 。
CNC系统进给速度控制包括自动调节和手动调节两种方式 。
自动调节方式,按照零件加工程序中速度功能指令中的 F值进行速度控制 。
手动调节方式,加工过程中由操作者根据需要随时使用倍率旋钮对进行速度进行手动调节 。
开环系统中,坐标轴运动速度是通过向步进电机输出脉冲的频率来实现,其速度控制方法是根据程编 F值来确定其频率 。
半闭环和闭环系统中,采用数据采样方法进行插补加工,其速度计算是根据程编 F值将轮廓曲线分割为采样周期的轮廓步长 。
因此,进给速度控制方法与系统采用的插补方法有关 。
4.4.1 基准脉冲插补法的进给速度控制首先分析,计算每次插补运算所占用时间,然后再用各种速度要求的进给脉冲间隔时间减去每次插补运算时间,从而得到 CPU再每次插补运算后应等待的时间,用 CPU的空运转循环对这段等待的时间进行计时,即采用软件延时子程序 。
也可通过置速度标志来实现程序计数 。
程序计时法多用于点位直线控制系统 。
不同的空运转时间对应着不同的进给速度,空运转等待时间越短,发出进给脉冲频率越高,速度越快 。
1,程序计时法
2,时钟中断法时钟中断法只要求一种时钟频率,用软件控制每个时钟周期内的插补次数,以达到进给速度控制的目的 。
其速度要求用每分钟毫米数直接给定 。
4.4.2 数据采样插补法的进给速度控制为了保证机床在启动或停止时不产生冲击,失步,超程或振荡,必须对进给电机进行加减速控制 。 分为前加减速控制和后加减速控制 。
前加减速控制,对合成速度 F进行控制,优点是不影响实际插补输出的位置精度 。 缺点是需要预测减速点 （ 需要根据实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定 ） 。
后加减速控制,对各运动轴分别进行加减速控制,不需要预测减速点,在插补输出为零时开始减速,并通过一定的时间延迟逐渐靠近程序段终点 。 缺点是对各运动轴进行控制,
实际的各轴的合成位置可能不准确 。
1,前加减速控制稳定速度：系统处于稳定进给状态时,没有插补一次
（ 一个插补周期 ） 的进给量 。 稳定速度的计算如下稳定速度计算完毕后,还需要进行速度限制检查,看是否超过参数设定的最大速度 。
瞬时速度：系统在每个插补周期的进给量 。 当系统处于稳定进给状态时,瞬时速度 Vi=Vg； 当系统处于加速或减速状态时,Vi<Vg（ 或 Vi>Vg） 。
1 0 0 060
T K FV
g
（ 1）线性加减速处理设进给速度为 F（ mm/min）,加速到 F所需时间为 t（ ms）,则加速度 a（ μm/ms2） 为加速时,当计算出的稳定速度 大于原来的稳定速度 时,
需要加速,加速一次,瞬间速率为减速时,先进行终点判别,计算离终点的瞬时距离 Si,并根据减速标志判断是否到达减速区域 S,若到达则减速 。 减速区域 S
为若 Si≤S,开始减速,每减速一次,瞬时速度为
t
F1067.1a 2
aTVV i1i
'gV
gV
a2/VS 2g?
aTVV i1i
线性加速和减速处理流程图
（ 2）终点判别处理直线插补时,A的瞬间坐标值为瞬间点 A离终点 P的距离 Si为圆弧插补圆弧圆心角小于 π时圆弧圆心角大于 π时,Si的计算先要判别的变化趋势 （ 过分界点前,逐渐变大；过分界点后,逐渐变小 ）,若 Si变大,不进行终点判别处理,直到越过分界点为止 。 若 Si变小,再进行终点判别处理 。
yyy
xxx
1ii
1ii
c o s
1xxS
ii
c o s
1yyS
ii
2,后加减速控制
（ 1） 指数加减速控制算法指数加减速控制算法：将启动或停止时的速度突变变成随时间按照指数规律上升或下降 。
加速时：
匀速时：
减速时：
)e1(V)t(V T
t
c
cV)t(V?
T
t
c eV)t(V
（ 2）直线加减速控制算法直线加减速控制算法：使得机床在启动或停止时,速度沿着一定斜率的直线上升或下降 。
加速过程：
加速过渡过程：
匀速过程：
减速过渡过程：
减速过程：
KLVV 1ii
ci VV?
1ii VV
ci VV?
KLVV 1ii
