实验11 动态法测量固体材料的杨氏模量
【教学目的】
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【教学要求】
1．了解测量杨氏模量的主要方法，理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电换能器的功能，学习信号源和数字存储示波器的使用。
4．理解共振频率的基本概念，掌握利用示波器观测共振频率的基本方法。
5．了解基频共振的基本概念，学会判断基频共振的基本方法。
6．理解外延法测量物理量的基本思想，掌握外延法测量基频共振频率的基本原理和实现方法。
7．学会直接测量量和间接测量量不确定度的估算，完整表示实验结果。
【实验设计思想与实现方法】
1．杨氏模量杨氏模量的定义与物理意义，测量杨氏模量的理论研究和工程应用意义，测量杨氏模量的基本方法――静态法和动态法。
静态法的基本原理，拉伸法测量钢材的杨氏模量，压缩法测量金属材料的杨氏模量。静态法的优缺点，为什么要用动态法？
2．动态法的基本思想动态法――动――振动，振动规律，数学语言描述，四阶偏微分方程，求解出杨氏模量与样品参数和振动频率的关系，对圆棒试样，直径与长度满足d<<L时,测量杨氏模量，需要测量直径d、长度L、质量m和振动频率f等4个物理量。
直径d、长度L、质量m的测量，分别提供了直尺、游标卡尺、千分尺和电子天平。实验的关键是测量振动频率。即如何使样品振动，怎样检测振动状态是基频振动，测出基频共振频率。
3．动态法的实现功率函数信号发生器作为激励振动的电源，采用压电换能器实现试样的振动和振动状态的接收，通过数字存储示波器观测共振状态，鉴定基频共振，测量共振频率。
4．实验装置与使用
【课堂讨论问题】
1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。
5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
【注意事项】
1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。
2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。
3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。
4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。
5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。
6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。
7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。
8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。
9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。
（二）实验报告弹性模量包括杨氏模量（E）和切变模量（G），是表征固体材料弹性性质的重要力学参数，反映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用机械构件材料的主要依据之一。因此，精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义。
杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。
杨氏模量的测量是物理学的基本测量之一，属于力学的范围。测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。静态法（包括拉伸法、扭转法和弯曲法）通常适用于在大形变及常温下测量金属试样。静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程，对脆性材料（如石墨、玻璃、陶瓷等）不适用，也不能在高温状态下测量。波传播法（包括连续波法和脉冲波法）所用设备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵，普遍应用受到限制。动态法（又称共振法或声频法）包括弯曲（横向）共振法、纵向共振法和扭转共振法，其中弯曲共振法所用设备精确易得，理论同实验吻合度好，适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围极广，可从液氮温度至3000℃左右。由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准（GB/T2105-91）推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常温条件下固体材料的杨氏弹性模量。
【实验目的】
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【实验原理】
如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为
（1）
棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，。
横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令，则有
（2）
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K4，则可得到下列两个方程
（3）
（4）
如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
（5）
于是可以得出
（6）
式中
（7）
式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到
(8)
采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9)
其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为
（10）
如果试样为圆棒(d<<L)，则，所以式（10）可改写为
（11）
同样，对于矩形棒试样则有
（12）
式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
如果圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘上一个修正系数T1，即
（13）
上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。
表1 径长比与修正系数的对应关系径长比d/L
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.08
0.10
修正系数T1
1.001
1.002
1.005
1.008
1.014
1.019
1.033
1.055
由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。
本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为
（14）
上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。
1．杨氏模量的测量动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。
测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。
2．李萨如图法观测共振频率实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。
3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。
实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。
所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。
本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。
4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的情况。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。对此，可以采用下述方法来判断和解决。
（1）实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。
（2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。
（3）试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有一定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐渐衰减。因此，发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。
（4）试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，观察共振波振幅。波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小。波形符合图2（a）的规律即为基频共振。
（5）用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2（a）的规律。对一些细长棒状（或片状）试样，有时能直接听到波腹和波节。
（6）当输入某个频率在显示屏出现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。
（7）试样振动时，观察各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；出现几个共振频率时，基频共振频率最低。
【实验器材】
功率函数信号发生器，动态弹性模量测定仪（激振器――激发换能器、拾振器――接收换能器、测试架、悬丝、支撑架），试样，示波器，医用听诊器，螺旋测微计，游标卡尺，电子天平，鉴频用小细杆等。
【实验内容与步骤】
1．用动态支撑法测量不同试样的杨氏模量
（1）测量和安装试样棒。选择一试样棒，分别测量试样的质量m、长度L和直径d测量5次。小心地将试样放在支撑支架上，要求试样棒横向水平，支撑点到试样棒端点的距离相同。
（2）连接测量仪器。如图3所示，动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。如果采用李萨如图形测量法，同时还要将示波器的X通道接激振信号的输出端。
（3）开机调试。开启仪器的电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于适当挡位（例如2.5kHz挡），连续调节输出频率，此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套实验装置已处于工作状态。
（4）鉴频与测量。由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。继续升高频率大约在2.74倍基频处看是否能测出一次谐波共振频率。
（5）外延法测量。在两个节点位置两侧各取3个测试点，各点间隔5mm左右。从外向内依次同时移动两个支撑点的位置，每次移动5mm，分别测出不同位置处相应的基频共振频率。
（6）换用其他种类试样，重复上述步骤进行测量。
2．用动态悬挂法测量不同试样的杨氏模量选择一试样棒，小心地将试样悬挂于两悬丝之上，要求试样棒横向水平，悬丝与试样棒轴向垂直，两悬丝点到试样棒端点的距离相同，并处于静止状态。基频共振频率测量方法与支撑法类似。
【设计性实验内容】
1．实验内容在本实验装置的条件下，设计用动态法测量固体材料的切变模量（G）的实验方案。
2．设计要求
（1）阐述基本实验原理和实验方法；（2）说明基本实验步骤；（3）进行实际实验测量；（4）说明数据处理方法，给出实验结果；（5）评价测量结果。
【预习要求】
1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。
5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
【数据记录与处理】
1．自己设计数据表格，列表记录和处理数据。测量试样基本参数数据记录和外延法测量基频共振频率数据记录的参考表格如表2和表3所示。
表2 试样基本参数数据记录表试样
粗铜棒
细钢棒
截面直径
d/10-3m
7.990
5.980
7.987
5.991
7.989
5.952
7.992
5.984
7.988
5.998
长 度
L/mm
180.00
180.30
180.04
180.24
180.02
180.28
180.00
180.32
179.96
180.34
质 量
m/g
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
基频共振频率
f/Hz
773.0
810.1
表3 外延法测量基频共振频率数据记录表支撑法
支撑点距端点位置x/mm
5
10
15
20
25
30
35
40
基频共振频率f/Hz
784.8
784.5
783.8
783.6
782.9
782.8
782.3
--
支撑法
悬挂点距端点位置x/mm
45
50
55
60
65
70
75
80
基频共振频率f/Hz
783.0
783.7
783.9
784.1
2．外延法求基频共振频率。用直角坐标纸，作出位置与共振频率的关系曲线，用外推法求出节点的基频共振频率。
3．计算杨氏模量。计算试样的质量m、直径d、长度L和共振基频 f 的平均值以及相应的不确定度，所计算出的值代入相应计算公式，求出试样的杨氏模量E，并利用不确定度传播公式估算不确定度，表示杨氏模量的测量结果。
【注意事项】
1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。
2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。
3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。
4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。
5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。
6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。
7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。
8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。
9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。
【思考与讨论】
1．在实验中是否发现假共振峰？是何原因？如何消除？是否有新的判据？
2．悬挂时捆绑的松紧，悬丝的长短、粗细、材质、钢性都对实验结果有影响，是何原因？可否消除？
3．如何用外推法算出试样棒真正的节点共基频振频率？
4．试样的固有频率和共振频率有何不同？有何关系？可否不测量质量而引入材料密度ρ？这时杨氏模量计算公式应作何变动？
5．实验时发现用悬挂方式很难测出一次谐波频率，而用支撑法测却很易测量；同时发现悬挂和支撑的位置和基频关系密切，但用支撑法测出的一次谐波频率和支撑位置关系不大，你能分析出其中原因吗？
6．在实验过程中如何判别是否有假共振信号的出现？
7．如果试样不满足d<<L条件，则对测量结果应如何修正？
【参考文献】
1．金属材料扬氏模量、切变横量及泊松比测量方法（动力学法）．国家标准GB/T2105-91
2．丁慎训，张连芳．物理实验教程．北京：清华大学出版社，2003
3．李晰．弹性与非弹性的测量和应用．北京：冶金工业出版社，1999
【附录】
常用材料杨氏模量参考值材料名称
杨氏模量E/1011Pa
钢
2.0
铸铁
1.15～1.60
铜及其合金
1.0
铝及硬铝
0.7
【教学目的】
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【教学要求】
1．了解测量杨氏模量的主要方法，理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电换能器的功能，学习信号源和数字存储示波器的使用。
4．理解共振频率的基本概念，掌握利用示波器观测共振频率的基本方法。
5．了解基频共振的基本概念，学会判断基频共振的基本方法。
6．理解外延法测量物理量的基本思想，掌握外延法测量基频共振频率的基本原理和实现方法。
7．学会直接测量量和间接测量量不确定度的估算，完整表示实验结果。
【实验设计思想与实现方法】
1．杨氏模量杨氏模量的定义与物理意义，测量杨氏模量的理论研究和工程应用意义，测量杨氏模量的基本方法――静态法和动态法。
静态法的基本原理，拉伸法测量钢材的杨氏模量，压缩法测量金属材料的杨氏模量。静态法的优缺点，为什么要用动态法？
2．动态法的基本思想动态法――动――振动，振动规律，数学语言描述，四阶偏微分方程，求解出杨氏模量与样品参数和振动频率的关系，对圆棒试样，直径与长度满足d<<L时,测量杨氏模量，需要测量直径d、长度L、质量m和振动频率f等4个物理量。
直径d、长度L、质量m的测量，分别提供了直尺、游标卡尺、千分尺和电子天平。实验的关键是测量振动频率。即如何使样品振动，怎样检测振动状态是基频振动，测出基频共振频率。
3．动态法的实现功率函数信号发生器作为激励振动的电源，采用压电换能器实现试样的振动和振动状态的接收，通过数字存储示波器观测共振状态，鉴定基频共振，测量共振频率。
4．实验装置与使用
【课堂讨论问题】
1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。
5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
【注意事项】
1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。
2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。
3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。
4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。
5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。
6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。
7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。
8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。
9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。
（二）实验报告弹性模量包括杨氏模量（E）和切变模量（G），是表征固体材料弹性性质的重要力学参数，反映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用机械构件材料的主要依据之一。因此，精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义。
杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。
杨氏模量的测量是物理学的基本测量之一，属于力学的范围。测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。静态法（包括拉伸法、扭转法和弯曲法）通常适用于在大形变及常温下测量金属试样。静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程，对脆性材料（如石墨、玻璃、陶瓷等）不适用，也不能在高温状态下测量。波传播法（包括连续波法和脉冲波法）所用设备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵，普遍应用受到限制。动态法（又称共振法或声频法）包括弯曲（横向）共振法、纵向共振法和扭转共振法，其中弯曲共振法所用设备精确易得，理论同实验吻合度好，适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围极广，可从液氮温度至3000℃左右。由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准（GB/T2105-91）推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常温条件下固体材料的杨氏弹性模量。
【实验目的】
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【实验原理】
如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为
（1）
棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，。
横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令，则有
（2）
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K4，则可得到下列两个方程
（3）
（4）
如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
（5）
于是可以得出
（6）
式中
（7）
式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到
(8)
采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9)
其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为
（10）
如果试样为圆棒(d<<L)，则，所以式（10）可改写为
（11）
同样，对于矩形棒试样则有
（12）
式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
如果圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘上一个修正系数T1，即
（13）
上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。
表1 径长比与修正系数的对应关系径长比d/L
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.08
0.10
修正系数T1
1.001
1.002
1.005
1.008
1.014
1.019
1.033
1.055
由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。
本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为
（14）
上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。
1．杨氏模量的测量动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。
测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。
2．李萨如图法观测共振频率实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。
3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。
实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。
所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。
本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。
4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的情况。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。对此，可以采用下述方法来判断和解决。
（1）实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。
（2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。
（3）试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有一定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐渐衰减。因此，发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。
（4）试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，观察共振波振幅。波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小。波形符合图2（a）的规律即为基频共振。
（5）用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2（a）的规律。对一些细长棒状（或片状）试样，有时能直接听到波腹和波节。
（6）当输入某个频率在显示屏出现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。
（7）试样振动时，观察各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；出现几个共振频率时，基频共振频率最低。
【实验器材】
功率函数信号发生器，动态弹性模量测定仪（激振器――激发换能器、拾振器――接收换能器、测试架、悬丝、支撑架），试样，示波器，医用听诊器，螺旋测微计，游标卡尺，电子天平，鉴频用小细杆等。
【实验内容与步骤】
1．用动态支撑法测量不同试样的杨氏模量
（1）测量和安装试样棒。选择一试样棒，分别测量试样的质量m、长度L和直径d测量5次。小心地将试样放在支撑支架上，要求试样棒横向水平，支撑点到试样棒端点的距离相同。
（2）连接测量仪器。如图3所示，动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。如果采用李萨如图形测量法，同时还要将示波器的X通道接激振信号的输出端。
（3）开机调试。开启仪器的电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于适当挡位（例如2.5kHz挡），连续调节输出频率，此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套实验装置已处于工作状态。
（4）鉴频与测量。由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。继续升高频率大约在2.74倍基频处看是否能测出一次谐波共振频率。
（5）外延法测量。在两个节点位置两侧各取3个测试点，各点间隔5mm左右。从外向内依次同时移动两个支撑点的位置，每次移动5mm，分别测出不同位置处相应的基频共振频率。
（6）换用其他种类试样，重复上述步骤进行测量。
2．用动态悬挂法测量不同试样的杨氏模量选择一试样棒，小心地将试样悬挂于两悬丝之上，要求试样棒横向水平，悬丝与试样棒轴向垂直，两悬丝点到试样棒端点的距离相同，并处于静止状态。基频共振频率测量方法与支撑法类似。
【设计性实验内容】
1．实验内容在本实验装置的条件下，设计用动态法测量固体材料的切变模量（G）的实验方案。
2．设计要求
（1）阐述基本实验原理和实验方法；（2）说明基本实验步骤；（3）进行实际实验测量；（4）说明数据处理方法，给出实验结果；（5）评价测量结果。
【预习要求】
1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。
5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
【数据记录与处理】
1．自己设计数据表格，列表记录和处理数据。测量试样基本参数数据记录和外延法测量基频共振频率数据记录的参考表格如表2和表3所示。
表2 试样基本参数数据记录表试样
粗铜棒
细钢棒
截面直径
d/10-3m
7.990
5.980
7.987
5.991
7.989
5.952
7.992
5.984
7.988
5.998
长 度
L/mm
180.00
180.30
180.04
180.24
180.02
180.28
180.00
180.32
179.96
180.34
质 量
m/g
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
75.5
39.4
基频共振频率
f/Hz
773.0
810.1
表3 外延法测量基频共振频率数据记录表支撑法
支撑点距端点位置x/mm
5
10
15
20
25
30
35
40
基频共振频率f/Hz
784.8
784.5
783.8
783.6
782.9
782.8
782.3
--
支撑法
悬挂点距端点位置x/mm
45
50
55
60
65
70
75
80
基频共振频率f/Hz
783.0
783.7
783.9
784.1
2．外延法求基频共振频率。用直角坐标纸，作出位置与共振频率的关系曲线，用外推法求出节点的基频共振频率。
3．计算杨氏模量。计算试样的质量m、直径d、长度L和共振基频 f 的平均值以及相应的不确定度，所计算出的值代入相应计算公式，求出试样的杨氏模量E，并利用不确定度传播公式估算不确定度，表示杨氏模量的测量结果。
【注意事项】
1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。
2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。
3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。
4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。
5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。
6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。
7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。
8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。
9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。
【思考与讨论】
1．在实验中是否发现假共振峰？是何原因？如何消除？是否有新的判据？
2．悬挂时捆绑的松紧，悬丝的长短、粗细、材质、钢性都对实验结果有影响，是何原因？可否消除？
3．如何用外推法算出试样棒真正的节点共基频振频率？
4．试样的固有频率和共振频率有何不同？有何关系？可否不测量质量而引入材料密度ρ？这时杨氏模量计算公式应作何变动？
5．实验时发现用悬挂方式很难测出一次谐波频率，而用支撑法测却很易测量；同时发现悬挂和支撑的位置和基频关系密切，但用支撑法测出的一次谐波频率和支撑位置关系不大，你能分析出其中原因吗？
6．在实验过程中如何判别是否有假共振信号的出现？
7．如果试样不满足d<<L条件，则对测量结果应如何修正？
【参考文献】
1．金属材料扬氏模量、切变横量及泊松比测量方法（动力学法）．国家标准GB/T2105-91
2．丁慎训，张连芳．物理实验教程．北京：清华大学出版社，2003
3．李晰．弹性与非弹性的测量和应用．北京：冶金工业出版社，1999
【附录】
常用材料杨氏模量参考值材料名称
杨氏模量E/1011Pa
钢
2.0
铸铁
1.15～1.60
铜及其合金
1.0
铝及硬铝
0.7
