目 录
第一章 行列式 1
§1.1 行列式的概念 1
§1.2 行列式的性质 8
§1.3 行列式的展开计算 12
§1.4 Cramer法则 21
第二章 矩阵运算 27
§2.1 矩阵的概念 27
§2.2 矩阵的线性运算及乘法运算 27
§2.3 转置矩阵及方阵的行列式 34
§2.4 方阵的逆矩阵 36
§2.5 分块矩阵 40
第三章 初等变换与线性方程组 45
§3.1 初等变换化简矩阵 45
§3.2 初等矩阵 48
§3.3 矩阵的秩 50
§3.4 求解线性方程组——Gauss消元法 54
第四章 向量组的线性相关性 59
§4.1 向量组的线性相关性 59
§4.2 向量组的极大线性无关组及秩 64
§4.3 向量空间介绍 69
§4.4 线性方程组的解的结构 74
第五章 特征问题及二次型 82
§5.1 方矩阵的特征值与特征向量 82
§5.2 方阵A相似于对角矩阵 86
§5.3 二次型的标准形 90
§5.4 正交变换化二次型为标准形 95
§5.5 二次型正定性 99
第一章 行列式
Arthur Cayley（1821-1895，英国）——矩阵论的创立者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第一名，并获得Smith奖，从事n维解析几何，行列式理论，线性变换和矩阵等方面的研究。
James,Joseph Sylvester（1814——1897，犹太人），矩阵论的创立者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究，创办了《美国数学杂志》。从事行列式，矩阵论，组合数学等方面研究。
§1 行列式的概念
[学习要求]
1）会用对角线法计算二、三阶行列式
2）会求排列的逆序及奇偶性
3）理解阶行列式定义一、二，三阶行列式的计算
1）求平面两直线交点
消去，解出得
记
副对角线 主对角线二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。
则有
交点：，其中
2）求三平面的交点
消，解出得
（设）
其中
对角线计算法三阶行列式由6项组成，每项是位于中不同行不同列的三元素之积，并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平行于主对角线上三元素之积的项带正号，副对角线上三元素之积及平行于副对角线上三元素之积的项带负号。
则记
得 。
同理有
例1,
解：
得：
[注意] 对角线法不适于3阶以上的行列式。
3）分析三阶行列式的规律：
①每项：每项为三元素之积，三元素取之不同行不同列。
②项数：
③符号：与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即与自然排列123对换为此排列的次数有关。
排列
123
231
312
321
132
213
对换次数
0
2
2
1
1
1
奇偶性
偶
奇
带符号
正
负
将对换次数转化为下面求排列的逆序问题。
二、排列的逆序与奇偶性
个自然数的一个排列，称为一个元排列。记为。共有个排列。
定义1 一个排列中，两个数字，的大小与位置相反，称这两个数字构成一个逆序，排列中所有数字的逆序个数的总和就称为该排列的逆序数。记为。
计算法 从排列的右边起，每一个数字与其左边的数字逐个比较，即先将第个数字与前面个数字比较求得第个数字的逆序，再将第个数字与前面的个数字比较，求得第个数字逆序，继续之，得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数。
例2：求下列各排列的逆序数。
1） （奇）
2） （偶）
3） （偶）
4）
定义2 一个排列的逆序数为奇（偶）数，称为该排列为奇（偶）排列。
定义3 一个排列中两数字位置互换，其余数字不动，称为一次对换，相邻两数字的对换，称为邻换。
定理 一次对换改变排列的奇偶性
（即偶次对换不变奇偶性，奇次对换改变奇偶性）
将一个元排列对换成为自然排列有多种方法，得到的逆序数可以不同，但其奇偶性却不变。
推论1：一个元排列对换为自然排列，对换次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。
推论2：所有元排列的奇偶性个数各半。
三、阶行列式定义定义4
是一个数，称为阶行列式，简记为
（1）每项个元素之积中的元取之不同行不同列。
（2）共有项。
（3）符号由决定的。
（4）表示把对应的个项加起来。
显然若的一行（列）元素都为0，则。
例3：上，下三角行列式及对角行列式的值。
（1）
下三角行列式
上三角行列式 对角行列式
（表示连乘号）
例4（1）决定4阶行列式中项的符号。
（2）求的值，使得4阶行列式带负号。
解：（1），计算列下标逆序。
该项带正号。
（2），列下标排列为，得 ，或，因为
故得
说明：行列式的另一定义为
（列下标按自然顺序）
§1.2 行列式的性质
[学习要求]：掌握行列式的性质，运用行列式性质化简行列式。
本节是对行列式进行变换化简，以便简化计算。
行列式的五个性质：
1）转置不变值，即
2）拆开
3）数乘（提取因子）
4）对换变号 行列式的初等变换
5）消元（倍加）不变值。
两个零推论
①的两行（列）相同，则。
②的两行（列）元素成比例，则。
例1：（1） （2）
解：（1）
（2）
例2：计算
解：
例3 计算
解：将第一列拆开为
=
例4：计算
解：第1行的（）倍加于第2行上，
=。
例5：求的根。
解：注意到中每一行元素之和都为，把第2，3，4列加到第1列上，得
，得
练习：（1）计算 。
（2）计算
（3）计算D==
§1.3 行列式的展开计算
[要求学习] 1）准确计算元素的余子式与代数余子式。
2）掌握展开定理。
3）会一些计算方法技巧。
把三阶行列式的项重组，以引入代数余子式概念
定义 中的元素，划去所在的第行第列剩余的阶行列式称为的余子式，记为。
并记，则称为元素的代数余子式，则三阶行列式展开式为：
。
定理 行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和。
行元素为 ，
对应代数余子式为 ，
则：。
定理推论：行列式的一行（列）所有元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和为0。
即
故有
计算要点：
（1）找零最多的一行（列）展开。
（2）把某一行（列）元素用性质5（消元）尽可能多地化为零。
例1：①
②
例2：计算
。
解：第1列与第3列对换。（因第3列元素较简单）。
例3：
（书p18例1.3.4）
本题可做为公式用，例如：
例4： 形状为
解：第一行展开：得，。
。
例5：。形状
解：用主线角线元素去消第一列元素
。
例6,
解：将D的第1行去减各行得
，形状为与例5方法相同，用主对角线上的元消第一列元，得
说明：例4，例5，例6是三线行列式。计算形如 的三线行列式，可用主对角线上元素去消第一列元素，其他三线行列式一般先用展开定理降价，然后递推化简。
例7，Vandermond行列式（书P18例1.3.5）
共有 个乘积项。
例如：
例8
简记为 （不加证明）
显然也有
例,
*练习题
（1）证明：
（2）证明,
（3）计算：
解：
而；
另法：第一列拆开
则
故
（4）计算：。
解：第2列与第4列互换，再把第2行与第5行互换，得
§1.4 Cramer法则
[学习要求]：
1）掌握Cramer法则解线性方程组。
2）了解齐次线性方程组有非零解的条件。
一、解非齐次线性方程组
为消，可利用行列式展开定理。用分别依次乘上面各方程：
当
同理得： 。
定理1 非齐次线性方程组 ，
则有唯一解
当时，方程组可能有解，也可能无解。
二、齐次线性方程组
1）齐次方程组总有一组零解：
2）当有某，称解为一组非零解。
若，又由于
故有结论：，齐次方程组仅有零解。
等价结论：齐次方程组有非零解，则。
定理2 齐次线性方程组有非零解
例1,
解：
。
例2：有非零解，求。
解：齐次方程组，有非零解，则
得 或
例3：证三个点在平面的一条直线上的必要条件是
证：设直线为 ，由条件：点在直线上则有：
把看做以为变量的齐次方程组
的一个非零解，故有系数行列式为0，即
例4：设平面三不同直线
交一点，证。
证：交点满足
把看做以为变量的齐次方程组
的一组非零解，则上方程组系数行列式为0，即
因不会都相等，故。
第二章 矩阵运算
§2.1 矩阵的概念
§2.2 矩阵的线性运算及乘法运算
[学习要求]：1）理解矩阵的定义。
2）掌握矩阵的加，数乘及乘法运算。
3）注意矩阵乘法与数的运算律的异同处。
一、矩阵的定义定义1 个数排成行列的一个数表，记为
称为矩阵，也可记为。
矩阵是一个表，也是一个线性变换（函数），而行列式是一个数。矩阵广泛应用于自然科学各领域。在数学方面应用于计算数学，概率统计，微分方程，几何图形的变换，如投影，镜象，旋转变换等等；在电学方面：如线性电路理论，自动控制，网络，编码理论等；在经济管理方面，如线性规划，优化运筹等等（见书上的例子）。
例：消耗矩阵
国民经济的个部门组成一个经济系统，各部门既是生产者，又是消耗者。设表示第个部门生产的单位产值需消耗第个部门产值数，称为第个部门对第个部门的直接消耗系数。为简单起见令，如煤碳部门，电力部门，铁路运输部门，它们的关系如下表：
消耗系数 部门部门
消 耗 部 门
煤碳
电力
铁运
生产部门
煤碳
0
0.65
0.55
电力
0.25
0.05
0.10
铁运
0.25
0.05
0
矩阵
称为消耗矩阵。（简单的投入产出数学模型）
例 三阶魔方及四阶魔方
，
二、矩阵的加，数乘运算
两矩阵同型：与的行数，列数分别相等。
两矩阵相等：。
。
定义2 两矩阵加法：
。
定义3 数乘矩阵
加，数乘（称为线性运算）满足下列运算律：
①加法交换律：
②加法结合律：
③矩阵：
④负矩阵： ，则。
⑤恒等性： 。
⑥数结合律： 。
⑦分配律： 。
⑧分配律： 。
设是矩阵的集合，在上述矩阵的加法、数乘定义下，且满足了上述8条运算，我们称是一个矩阵空间。
例1：，，求。
三、两矩阵的乘法。
1．规则：行乘列
定义4
其中 （“行乘列”）
即乘积等于的第行元素与的第列对应元素积之和。
例2：，求。
解：
但不存在。
可乘条件为：的列数=的行数。
乘积阶数为：的行数=的行数，的列数=的列数。
2．矩阵乘法应注意下面三点：
1）乘法交换律一般不成立，即。
称左乘，或为左因子阵。
称右乘，或为右因子阵。
特别：若，称与乘法可交换，或与可换。
2）消去律一般不成立，即，不一定。
（即使，也不一定有）
3），不一定有。
3．矩阵乘法运算律为：（与数运算律相同）
1）结合律：。
2）分配律：，
。
3）数乘结合律：。
4）恒等性：。
4．方阵的幂及多项式矩阵
。
设的多项式为：，则
称为的次多项式矩阵。
5．一般线性方程组的矩阵表示
例3：（1）
（2）
（3），求。
例4：，
①求及。 ②求。
例5：，为阶方阵，
例6：设，证明。
例7 *：，为阶方阵，证明的主对角线上元素之和等于的主对角线上元素之和。
证：的第i行元素与的第i列的元素积之和
主对角线元素之和
的主对角线元素之和。
§2.3 转置矩阵及方阵的行列式
[学习要求]：1）掌握转置矩阵的运算律。
2）掌握方阵的行列式的运算式。
一、转置矩阵
1．定义1
称为的转置阵，为阶，为阶。
转置性质：
（1）， （2）
（3）， （4）
。
2．定义2 矩阵，若有，称为对称阵。
为对称阵。
矩阵，若有，则称为反对称阵。
为反对称阵
定义3 对于阶方阵，若有
称为正交矩阵。
例① 与皆为阶对称阵，则
（ⅰ）+为对称阵；
（ⅱ）但不一定为对称阵。
例② 但为矩阵，则（或）为对称阵。
例③ 与皆为正交阵，则
（ⅰ）+不一定为正交阵；
（ⅱ）必为正交阵。
二、方阵的行列式
阶方阵，称为的行列式，也记。
方阵的行列式性质：设，为阶方阵：
（1）。
（2）。
（3）。
应注意：。
例1：为矩阵，证明是对称矩阵。
例2：证明。
例3：1）阶方阵，求______。
2）设______。
例4：，证明。
例5：，为阶方阵，，求
。
例6：维列向量，。证明 。
例7：为3阶方阵，是3维列向量。，求。
例8：，证明。
§2.4 方阵的逆矩阵
[学习要求]：1）理解方阵的逆的定义。
2）掌握方阵求逆的公式及逆的运算性质。
3）掌握判别矩阵的可逆性。
4）掌握解矩阵方程。
一、阶方阵逆的定义定义1 阶方阵，若有阶方阵，使得
称可逆，有逆，或满秩，非奇异，就是的逆。
若可逆，的逆是唯一的，故记。
即 。
二、逆的求法及判别
1．定义2 对于，
，
称为的伴随矩阵。
例如：① 。
② 。
注意：①准确求出。
②中的排法。
2．定理 可逆
证明思路：（1）利用逆的定义；
（2）利用行列式展开公式及推论。
例1：求上述两矩阵的逆。
①，则。
②。
例2：（1）可逆，。
注意：，不一定有。
（2）。
例3：，为阶方阵，可逆可逆，且也可逆。
（同理不可逆，至少有一个矩阵不可逆。）
例4：可逆，则
三、逆的运算性质
（1）， （2），
（3）， （4），
（5）。
例5：，为3阶方阵，，求。
例6：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。
例7：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。
例8：，（1）证明可逆，求。（2）证明可逆，求。
四、解矩阵方程三种形式：设A，B可逆
例9：，求。
例10：，求。
例11：，求。
例12,，求。
例13：，求 。
§2.5 分块矩阵
[学习要求]：1）了解矩阵加法，乘法的分块原则及分块矩阵的运算。
2）了解分块对角矩阵及分块三角阵。
一、分块矩阵的加，数乘，转置
1）分块加法：+=，使与分法相同。
2）数乘分块阵：。
3）分块阵转置：。
二、两矩阵的分块乘法
分块原则：列分法与的行分法相同，即满足可乘条件
①的列块数=的行块数。
②的子块的列数=的子块的行数。
其中子块。
分块乘法与矩阵普通乘法形式相同。
例1：，分块为
其中的列数等于的行数，则
例2：列分块为，则非齐次线性方程组 可转换为
。
例3：矩阵方程，列分块为，
列分块为，则
得 。
则讨论矩阵方程可转化为研究个线性方程组。
二、分块对角阵及分块三角矩阵
，
称，为分块对角阵，其中皆为子方块，若的阶数相同，，则
。
，若，则 ，
，特别。
四块的块三角矩阵：
为方子块，
则。
例4：，，为阶方阵且，求？
例5：，求。
例6：为可逆阵：为方子块，证明，并求的逆。
例7：，求。
练习：
1,，求。
2．可逆，证明 。
若 ，求。
3．，及皆为阶可逆矩阵，求。
4．设，对任意，证明。
5．，，求。
6．，求。
7．，求。
第三章 初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换化简矩阵
[学习要求] 1）了解初等变换定义,阶梯形（简化阶梯形）及标准形
2）准确使用初等变换化简矩阵，特别是用行变换把矩阵化为阶梯形一、定义1 矩阵的初等变换是指下列三种变换
（ⅰ）对换变换：互换矩阵两行（列）的位置。
（ⅱ）数乘变换：用一个非零的数乘矩阵的第行（列）。
（ⅲ）倍加（消元）变换：将矩阵第行（列）元素的倍加到第行（列）上。
对矩阵的行做初等变换称为初等行变换，对列做初等变换称为初等列变换。
注意：下面三点
①变换用号
②数乘变换不记录且
③对换不记录负号定义2 （ⅰ）矩阵阶梯形 一般形如
特点：1）如果存在零行，则零行全在矩阵下方。
2）从第一行起，每行第一个非零元前面零的个数逐行递增。
简化阶梯形如：
特点：阶梯形中非零行第一个非零元素为1，其对应的列的其他元素为0。
特点：矩阵的左上角对角元有个为1，其他皆为零。
定理 1）初等变换可把化为标准形。
2）初等行变换可把化为阶梯形或简化阶梯形。
例1：用初等行变换把化为阶梯形
例2：用初等变换把化为标准形
§3.2 初等矩阵
把变换过程用矩阵乘法来表示一、初等矩阵
定义1 单位矩阵I经过一次初等变换所得的矩阵称初等矩阵
（1）对换初等矩阵：单位阵I的行（列）互换。
（2）数乘初等矩阵：单位阵的I的行（列）的倍。
（3）消元初等矩阵：单位阵的I的行（列）倍加到行（列）上。
定理1 对矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘。
简言之：“左乘行变，右乘列变”。
例1,，用初等矩阵表示把化为标准形。
解：
即
即左乘或右乘一系列初等矩阵化为标准形。
一些结论定理2 对于矩阵，必存在可逆矩，使
定理3 为可逆矩阵，则可表成有限个初等矩阵之积，即
(为初等阵)。
二、初等变换求的逆。
原理：，（为初等阵）。
则
即：①式表一些行变换把化为单位阵
②式表这些行变换把化为可逆阵
例2：求下列矩阵的逆
（1） （2） （3）
例3：，
，
求初等矩阵。
例4：可逆矩阵的第行与第行对换变为，则逆阵与的关系如何？
§3.3 矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征。
[学习要求]：1）理解矩阵秩的定义。
2）掌握用初等变换求矩阵的秩。
3）了解矩阵秩的等式，知道矩阵秩的不等式。
一、矩阵的秩的概念定义1 中取行列这些行列交叉处元素按原顺序构成的阶子行列式称为的一个阶子式。
的阶子式共有个，我们关心的是阶子式的值为零或非零。
定义2 中，非零子式的最高阶数称为的秩，记为，记。
理解秩的含义：
（1）。
（2），。
（3）。
（4）有一个阶子式，则。
（5）所有阶子式，则。
（6）至少有一个阶子式，所有阶子式。
例1：（见黑板之例）
二、初等变换求矩阵的秩
若不变秩，则。
定理1 初等变换不变矩阵的秩。
求秩法：用初等变换把化为阶梯形，则
。
例2：（1），（2），
（3）。
例3： 讨论矩阵的秩。
三、矩阵秩的等式与不等式定理2 秩为的矩阵，必存在可逆矩阵，使
（标准形）
定义3 经初等变换化为，称与等价。或者若有可逆矩阵使，称与等价。
矩阵可等价于一个标准形。
定理3
其中为可逆阵，即左（右）乘可逆阵，的秩不变。
*秩不等式介绍：
（1）。
（2）。
（3）。
（4）当，则。
例4：（1）的秩为2，求______。
（2）的秩为2，求___________。
例5：为阶方阵，，证明。
例6：设矩阵，证明。
例7：，证明。
例8：设分块对角阵，证明。
§3.4 求解线性方程组——Gauss消元法要解决如下问题：
（1）是否有解，有解的条件？
（2）唯一解及无穷多解的条件？
（3）如何求解？
[学习要求]：1）掌握初等行变换解方程组。
2）掌握方程组的解定理。
注意未知量个数这三个参数。
一、求解非齐次线性方程组
解方程组等价于对增广阵做行初等变换化为阶梯形或简化阶梯形。设的左上角的阶子式。
，
对应于一个简化的方程组，与原方程组同解。
（1），方程组无解。
（2），则有解。设为自由取值，解得
个自由取值定理1 当时，无解。
当时，有解。
（1）若时，有唯一解。
（2）若时，有无穷多解。
求解非齐次方程组步骤为：
1步：把用初等行变换化为阶梯形或简化阶梯形。
2步：求，。
3步：由未知数个数，，讨论。
解：（ⅰ）≠，则无解。
（ⅱ）
4步：取自由量，求解方程组。
二、求解齐次线性方程组：
（总有解）
1．，称为零解。
2．下面解决两个问题：
1）在何条件？仅有零解。
2）在何条件？有非零解（无穷多解）。
定理2 ，当有无穷多解。
当仅有零解。
推论1： 有非零解。
仅零解。
推论2：，当，则有非零解。
例1：求解方程组
例2：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组
例3：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组
例4：，为何值，则
（1）有唯一解，（2）无解，（3）有非唯一解，并求解。
解：，讨论：或的情况
（1）当，且方程组有唯一的解。
（2）当无解。
（3）当，无穷多解，。
第四章 向量组的线性相关性（空间）
§4.1 向量组的线性相关性
[学习要求] 1）掌握求向量的线性组合（线性表示）。
2） 理解向量组线性相关、无关定义，掌握判别向量组线性相关性方法。
3）了解线性相关性一些结论；线性表示与线性相关的关系。
一、维向量的概念：
定义1,个有序的数组成的数组，把它们排成一行：，称为维行向量（一行阵）
排成一列：，称为维列向量（一列阵）
设
加法：
数乘：
满足下八条运算律：
1） 2）
3） 4）
5） 6）
7） 8）
设
集合中定义上述的加法数乘，且满足上面八条运算律，称为在实数域上的向量空间。
二、向量的线性表示（线性组合）
定义2 设为维列向量，若有
称为（或可由）的线性表示（组合），为线性表示系数。
令，则上式等价于
线性表示转化为非齐次方程组的解。
例1：
求在下的表示式。
例2：,
,求在下的表示式。 （为任意数）
三、向量组的线性相关性定义3 设维向量，若存在不全为零的数，使得
称 线性相关，否则称线性无关。
解释：若能寻找到一组不全为零的，使上式成立，称该向量组相关；若当且仅当才使上式成立，则称向量组线性无关。
令 ，由上式为
（i）若有非零解相关。
（ii）若仅有零解无关。
例3：中，
，称为基本向量组（标准正交基），它们是线性无关的。
例4：观察法判别下列向量组线性关系
（1） （相关）
（2） （相关）
（3）（相关）
例5：判别下列向量组线性相关性
① （无关）
②
（相关）
例6：线性无关，证明
线性无关。
线性相关一些性质：
1）含0向量的向量组必线性相关
2）含两成比例的向量的向量组必线性相关
3）有部分向量线性相关，则全体向量线性相关。
全体向量线性无关，则任一部分向量线性无关。
4）向量个数大于维数的向量组必线性相关，（个维向量的向量组线性相关）
四、线性表示与线性相关性的关系
定理 向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示。
解释：1）向量的线性表示，必可推出该组向量线性相关。但由线性相关，要推出某一个向量是其它向量线性表示，就得根据问题的条件来考虑。
2）线性相关，不一定能推出“每一个”向量都可由其余向量线性表示。
例7：（1）线性相关，则可由线性表示吗？举例说明之。
(2) 线性相关，又线性无关，则可由线性表示吗？
例8：线性无关，且
线性相关，求的值。（）
例9：为的方阵，维列向量线性相关，证明线性相关。
例10：线性无关；线性相关，则
可由唯一线性表示。
例11※：线性无关，,线性相关，不能由的线性表示，证明线性无关。（其中为任意常数）。
证：因线性相关，而线性无关，必有：
（1）
又因不能由线性表示，则有，线性无关。
设 （2）
（1）代入（2）：
因，线性无关，则上式系数为0，即
故由（2）式知，线性无关。
§4.2 向量组的极大线性无关组及秩
[学习要求]
1）理解两向量组等价、极大无关组及秩的概念。
2）掌握求向量组的一个极大无关组的方法。
3）熟悉定理：“矩阵的秩等于列向量组的秩”，利用向量组与矩阵之间的转换，解决一些问题。
4）了解“两向量组等价，则秩相等”。
一、两向量组等价定义1 与互相线性表示，称两向量组等价。
设
,
即
等价性质（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。
二、向量组V的极大无关组与秩。
定义2 设向量组V中一个组，满足
1）若线性无关；
2）对V中任一个向量，可由此向量组线性表示，即
，
称 为向量组的一个极大无关组.
理解:1)极大无关组定义是把线性表示与线性无关结合起来的一个概念.
2)定义中条件①是必备的,条件②可换为另一些说法.
定义2′ 是V的极大无关组
线性无关,且对V中任一个,则这个向量线性相关。
线性无关，且V中任个向量线性相关。
一些结论：1）向量组V中的极大无关组的组数不唯一。
2）向量组V中每一个极大无关组含向量个数唯一。
3）向量组V与极大无关组等价。
4）向量组V中的任两个极大无关组是等价的。
定理1 ① 向量组可由线性表示
② 且，
则线性相关。
推论1：（等价命题） 向量组线性无关，且可由线性表示，则。
推论2：V中两极大无关组含向量个数相等。
定义3 V中的一个极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。记为秩，“秩”是向量组的一个数字特征。
例1：① 中，为的一个极大无关组，秩。
② ，极大无关组为，故。
推理3：向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则秩(Ⅰ)秩（Ⅱ）。
推论4：两等价的向量组的秩相等。
例2：扩充（剔除）法求极大无关组。
求，的一个极大无关组。
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
矩阵列向量组。
定理2 矩阵A的秩等于A的列（行）向量组的秩。
推论：A列分块为 ，求A的秩，
当 线性相关。
线性无关。
（Ⅰ）判别向量组线性相关性方法
把向量组排成矩阵为阶梯形求，由推论可得相关性。
例3 判别，的相关性。
（Ⅱ）求极大无关组方法 设向量组
方法1：1步：阶梯形求秩
2步：从向量组中挑出，判别无关性。若这r个向量无关，则为极大无关组。
方法2：引理：矩阵A经初等行变换化为B，则A的列向量组与B的对应列向量组有相同线性关系。
1步：把排成矩阵，用初等行变换把A化为阶梯形或简化阶梯形
。（阶梯形）
2步：求的阶梯数，易从B中的列知线性无关，为一个极大无关组。
例4：求，的一个极大无关组，并求其余向量由此极大无关组的线性表示。
练习：求的一个极大无关组（本身）。
例5：向量组的秩为2，求t = （2） 。
例6：设
证明线性相关。
例7：设 ，与，的秩相等，且可由线性表示，求a,b。
例8：（单位阵），证B的m个列线性无关。
例9：设向量组
若线性无关，则线性无关。
即线性无关向量组延长分量得新向量组仍线性无关。
§4.3 向量空间介绍
[学习要求]：1）了解向量空间的概念。
2）了解空间的基，维数，坐标。
3）了解向量内积，长度，正交性，会把一个线性无关向量组Schmidt正交化。
一、向量空间的定义
定义1 非空的n维向量集合V及数域F，定义两种运算加法：，有。（加封闭）
数乘：，有。（数乘封闭）
称V为数域F上的向量空间，F取实域R称V为实向量空间。
①是一个空间称零空间。（仅一个元素构成）
②空间必包含0元素。（唯一）
③空间中任一元必有负元 。
例1：①。（是空间）
②。（不是空间）
③。（不是空间）
④。（不是空间）
生成空间
二、空间的基，维数，坐标定义2 设向量空间V中，，
①线性无关
②，有
（唯一）。
称为空间V的基（空间一个坐标系）。
称r为空间V的维数，记为dimV= r，称V为r维空间。
称线性表示系数为在基下的坐标。记
，向量与坐标一一对应。
几个概念的比较向量空间V
（看做）向量组V
空间V的基
极大无关组
维数
向量组V的秩
坐标
唯一的线性表示
定理 n维向量空间中任n个线性无关的向量都是向量空间V的基。（判别基的定理）
例2：①求 的基，维数。
②中，证明是的基。
③中，证明，，是的基。
例3：求在基，下的坐标。
三、实向量空间中向量的内积，长度，正交性设
（1）向量内积定义1
，
称数为向量的内积（实向量空间内积）
内积性质：1），
2）
3）
4）。
（2）向量的长度
定义2
称为的长度。当，称长度为1的为单位向量。
一般：就是的单位向量。
，称为的夹角。
（3）向量的正交性定义3 设向量，若,称与正交，记为。
若向量组两两正交，称此向量组为正交组，又若它们都是单位向量，则称此向量组为标准（规范）正交组
。
例4：求与向量正交的向量集合。
Schmidt正交化（把一个无关组变换为一个标准正交组）。
为简单起见只对线性无关向量正交化为正交组。
第一步：设 。
第二步：求，使与正交，即，令：
上式两边与做内积，
，
得 。
第三步：求，使之与正交，即满足
。
设 ，
，
。
得
∴
最后把已正交的向量组单位化：
。
为标准正交组。
例5：用Schmidt正交化方法把下列向量组化为标准正交组。
（1）
（2）。
§4.4 线性方程组的解的结构
[学习要求]：
1）熟悉方程组的4个解定理，掌握求线性方程组的通解。
2）掌握求的基础解系及判别基础解系。
3）了解非齐次方程组解的结构。
一、的解结构
1），，，
等价：
定理1
2）的基础解系
的解集记为
性质：1）解，则。
2）解，则。
故是一个向量空间，称为的解空间。
定义 的解空间的基称为基础解系。
若解是基解系，则应满足：
1）线性无关；
2）中任一解可由此组线性表示。
求的基础解系。在§3.3节已知任一解
（1）
把上面个解排成矩阵
注意到的第行下方的阶子式
得 解线性无关 （2）
由（1），（2）知：为的基础解系。
定理2 ，则。
即解空间含有个线性无关的解向量。，则仅零解。
例1：求基础解系
（1） （2）
例2：设三阶方阵的三个列是下列方程组的解，求。
例3：
的解空间维数为2，求及求解该方程组。
例4：设是的基础解系，证明：
也是的基础解系。
例5*：证明：，则有。
二、的解的结构。
1）。
定理3
若
对于
2）解结构定理引理：的任两解之差是的解。
定理4
其中是的基础解系。
例6：
求通解。
例7：设，。问取何值？
（1）可由唯一线性表示。
（2）不能由线性表示。
（3）可由非唯一线性表示，并写出表示式。
例8：（1），则解空间维数为______。
（2），则有______解。
（3）的每一行元素之和为，则非齐次方程组，有一个解为______。
例9：是的基础解系，，证明：线性无关。
例10：
取何值？方程组有唯一解，无解，无穷多解。
例11：设为的三个线性无关的解，，求的通解。
例12：设4元线性方程组为
（Ⅰ）
又已知4元线性方程组（Ⅱ）的通解为
（1）求线性方程组（Ⅰ）的通解。
（2）求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的所有公共解。
解：方程组（Ⅰ）的通解为
解：把（Ⅱ）的通解代入（Ⅰ），则有：
得时，公共解为：
。
解* 有一堆桃子，要分给5只猴子，第一只猴子先来了，它把桃子平分为5分，还多一个，扔了，然后拿走了自己的一份；第二只猴子来了，又把桃子分成5份，又多一个，也扔了，同样拿走自己的一份；以后其余的三只猴子先后到来，做了同样的事情，问原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
解：设共有个桃子，第只猴子拿走了个桃子，则列出5个方程的6元非齐次方程组。
即为
因6元方程组系数矩阵与增广阵的秩都为5，即中，，故有解，且有无穷多解，通解为
其中是对应的齐次方程组的一个非零解，为非齐次方程组的一个特解，
（i）从观察知，要求非齐次方程组的一个特解，可令，得，即
（ii）考虑对应的齐次方程组
左右两边相乘，约分得
因4与5互质，可取。
得
因而齐次方程组的一个非零解为：
。
故非齐次线性方程组的通解为
原来桃子个数，第5只猴子有桃子为个，取最少正整数，即，则
则原来至少要有3121个桃子，最后还剩下4×255=1020个桃子。
第五章 特征问题及二次型（应用部分）
§5.1 方矩阵的特征值与特征向量
[学习要求]：1）理解特征值与特征向量的概念，掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。
2）了解特征值与特征向量的若干性质。
一、方阵的特征值与特征向量定义1 设方阵，若存在数及维向量，使得：
称数是的一个特征值，称为的特征值对应的特征向量。
几何代数解释：①像与原像平行。
②表示像与原像的放缩系数。
定义2
称为的特征多项式，其个根为的个特征值，（包括重根，复根）。称为的特征矩阵。
则齐次方程组的非零解集是的特征值对应的特征向量集。
求的特征值与特征向量
（1）由特征多项式，求出特征值。
（2）对每一个，由齐次方程组，解得的非零解集就是对应的特征向量。
（转化为计算行列式与解齐次线性方程组）
例1：求下列矩阵特征值
（1），（2）
例2：求的特征值及特征向量。
例3：求下面矩阵的特征值与特征向量。
（1），（2）
二、特征值与特征向量性质
1．特征值的性质设的个特征值为
（1）
（2）
（称为的迹）
推论：可逆的个特征值非零。
2．特征向量的性质
（1）设的特征值对应的特征向量为，则其非零的线性组合仍为的特征向量。
（2）的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
（3）* 设的两不同特征值，又设
的无关特征向量为，
的无关特征向量为，
则 线性无关。
例4：（1），则的一个特征值为_______。
（2），则的特征值为_______。
（3）的特征值为1，2，3，则||=_______。
（4）有非零解，则有一个特征值为_______。
例5：，若是的一个特征向量，求及对应的特征值。
例6：是的一个特征值，求及对应的特征向量。
例7：设是矩阵的一个特征值，对应的特征向量为，
证明：①是的一个特征值。
②是的一个特征值。
③若可逆，则是的一个特征值。
④若，则是多项式矩阵的特征值。
它们的特征向量皆为
例8：设的三个特征值为1，2，3，求
（1）的特征值，。
（2）的特征值。
（3）
§5.2 方阵相似于对角矩阵
[学习要求]：1）理解相似概念及性质。
2）理解相似对角化的条件，掌握判别一个矩阵是否相似于对角矩阵。
3）由可对角化，求，。
一、两矩阵相似定义1 设，为阶方阵，若存在可逆阵，使得，称与相似，记为∽，矩阵称为相似变换阵。
相似性质：若，则
（1），
（2），
（3）与的特征值相同，即
。（相似矩阵的特征多项式相同）
（4）* （迹相等）
注意：特征值相同的两矩阵不一定相似。
例1：与相似，有一个特征值为2，则有一个特征值为_______。有一个特征值为______。
例2：与相似，即是的特征值对应的特征向量，证明是对应于的特征向量。
例3：设与相似，求_____。
二、相似于对角阵的条件
为阶方阵，若存在可逆阵，使得
称可相似于对角阵，或可对角化。
定理 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是具有个线性无关的特征向量。若可对角化，即
。
其中对角线上的是的个特征值，矩阵的个列是对应于的个特征值的线性无关的特征向量。
对角化问题转化为求特征值与特征向量的问题。
推论1：若阶方阵有个相异的特征值，则可对角化。
推论2：若方阵的每一个重特征值有个线性无关的特征向量，则可对角化。
例4：下面矩阵必相似于对角阵
（1），（2）。
（互异）
例5：判别下列矩阵是否可对角化，若能对角化，求及对角阵，使。
（1），（2）。
例6：下列矩阵哪些矩阵相似
例7：有三个线性无关的特征向量，则____。
三、求。
若，则有，
。
例8：的特征值为1，–2，对应的特征向量为，求。
例9：某公司对其生产的产品做市场营销调查统计表明：已使用本公司产品的客户有60%表示仍继续购买该产品，在尚未使用过该产品的被调查者中25%的表示将购买该产品。目前该产品在市场上占有率为60%，问年后该产品占有状况如何？
本题研究两个状态之间的转移规律。
解：令第年末已购及未购比例数组成向量，则初始向量为
第一年末：
即，其中
由此得年末为：
，（递推）
（1）。
（2）求。由，
，
，得特征向量为，
，得特征向量为，
，，
故，
当，。
§5.3 二次型的标准形用线性代数方法解决非线性问题
[学习要求]：1）了解二次型定义，会求二次型的矩阵，秩与惯性指数。
2）会用配方法求一个可逆线性变换，化二次型为标准形。
一、二次型及其对应的矩阵从平面直角坐标系看：通过适当坐标变换，把非标准曲线化为标准曲线
从三维空间直角坐标系看：通过适当坐标变换，把非标准曲面：化为标准曲面：
从代数观点看：用一个可逆线性变换化简一个二次齐次多项式，使它仅含新变量的平方项。
定义1 个变量的二次齐次多项式，称为元二次型，一般表示为：
。（其中，即为对称阵）
称为二次型对应的矩阵。
（对称阵）。
例1：求下列二次型对应的矩阵：
（1）。
（2）。
（3）
（4）。
称为标准形。
二、可逆线性变换化二次型为标准形
.
其中为可逆阵，称为可逆线性变换。
由于。（新函数）
定义2 对于，，若存在可逆阵，使得
称合同于，或与合同。称为合同变换。
合同不变对称性，合同不变矩阵的秩。
定义3 中，对称阵的秩称为二次型的秩。
假定有适当可逆线性变换，可把二次型化为标准形，则
等价于对角形。
定理 秩为实二次型，存在可逆线性变换（或合同变换），使化为标准形：
，。
等价于：对称阵，存在可逆阵，使合同于对角阵。
。令，再用一个可逆线性变换，使
。（规范型）
用配方法求可逆线性变换化二次型为标准形。
例2：
（答案：）.
例3：。
（答案：）。
注：线性变换不唯一，的标准形也不一定唯一，但的标准形中正平方项个数唯一，负平方项个数唯一。
称的标准形中正平方项个数为二次型的正惯性指数，称负平方项个数为二次型的负惯性指数。
§5.4 正交变换化二次型为标准形
[学习要求]：1）了解正交变换定义及性质。
2）掌握用正交变换化二次型为标准形方法。
一、正交阵与正交变换及其性质
1．为阶方阵，若，称为正交矩阵。
正交阵的性质：
1）。
2）。
3）若为正交阵，则乘积为正交阵。
4）为正交矩阵的个列标准正交。
例1：下列矩阵为正交阵。
，
。
2．定义 设为正交阵，称线性变换为正交变换。
性质：正交变换
1）长度不变，即。
2）向量内积不变。
3）标准正交基变为标准正交基。
正交变换不变图形形状大小（优点之一）。
二、正交变换化二次型为标准形定理 实二次型，存在正交变换，使化为标准形 。等价于：实对称矩阵，存在正交阵，使
。
其中为的个特征值，的个列是对应于特征值的个标准正交的特征向量。
把化标准形转化为求的特征问题（优点之二）。
附：实对称阵的重要性质
1）实对称矩阵的个特征值皆为实数。
2）实对称阵不同特征值对应的特征向量是正交的。
3）实对称阵必可相似于对角阵。
化二次型为标准形步骤：
第一步：求出实对称阵。
第二步：由，求出特征值。
第三步：由解出的特征向量。
①对重根若能求出个正交特征向量，则只要进行单位化。
②若重根的个特征向量不正交，则用schmidt正交化，再单位化。
第四步：把已求得的个标准正交特征向量排成正交阵
，即有，使
。
或 。
例2：，求正交阵，使对角阵。
解：。
对于，解，得。
对于，解，得。
。
则 ，使。
例3：求正交变换，使二次型化为标准形。
。
解,步1 ，
步2 。
步3 对于，解，得。
对于 ，解，得，。
把正交化为。
再把单位化为
。
步4 ，则有，使
例4：求正交变换，使下面曲面化为标准曲面
解：二次型
，
，，分别对应的标准正交特征向量为了
则有正交阵，正交变换，使二次曲面化为标准曲面：。
例5：通过正交变换化为
，求及正交变换。
例6：为三阶实对称阵，其特征值为，且的特征向量为，求。
§5.5 二次型正定性研究二次齐次函数恒正值或恒负值。
[学习要求]：1）了解二次型正（负）定的定义。
2）掌握判别二次型正定的一些方法，特别要掌握用定义及顺序主子式判别法。
一、惯性定理秩为的实二次型经可逆线性变换化为标准形（规范形），则标准形中正（负）平方项数一定。
。
正惯性指数，负惯性指数。
二次型分类：
①，（正定）
②，（半正定）
③，（负定）
④，（半负定）
⑤。（不定）
二、二次型正（负）定的判别定义1 ，恒有，称正定，正定。若恒有，称负定，负定。
例1：（1）
，故正定。
（2）
。
故是负定的。
二次型正定的判别定理：
定理 正定正惯性指数为。
存在可逆，使
的个特征值全大于零。
的个顺序主子式全大于零。
的左上角的阶子式称为阶顺序主子式。
推论 正定，则。反之，不一定正定。
负定的顺序主子式奇阶为负，偶阶为正。
例2：判别下列二次型的正（负）定性。
（1）（正定）
（2）。（负定）
（3）。（不定）
例3：正定的为______。
（答案：）
例4：正定，则。
例5：正定，则正定。
例6：正定，为可逆阵，则正定。
（合同不变正定性）
例7：为矩阵，证明正定。
例8：正定存在可逆阵，使。
线性代数复习总结线性代数主要内容关系框图
一、熟悉下面主要概念
（1）行列式定义，逆序，代数余子式。
（2）对角阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交阵。
（3）初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，两矩阵等价。
（4）向量线性表示，向量组线性相关，无关，极大无关组，向量组的秩，两向量组等价。
（5）线性方程组的通解，的基础解系。
（6）方阵A的特征值与特征向量，两矩阵相似。
（7）向量空间的基，维数，坐标，向量的长度，标准正交组。
（8）二次型的矩阵及秩，合同，正交变换，正定性。
二、行列式计算
1．理解并能运用行列式性质化简行列式。
2．掌握行列式展开公式第i行：
第i列：
要求准确计算元素的代数余子式。
3．会用一些主要计算方法与技巧
根据行列式结构特征采用适当的方法与技巧，如
①化为对角行列式或三角行列式
②降价法
③拆开法
④展开递推归纳法
⑤利用已知公式法。
4．熟练计算3—4阶行列式，会计算某些带字母但较简单的行列式。
三、矩阵运算
1．掌握矩阵的加，数乘，乘法，转置，行列式计算及运算法则。乘法运算中注意下三点：
①交换律一般不成立：
②消去律一般不成立：，则一般
③，不一定或。
2．掌握求逆方法
（1）公式法：
（2）行变换法：
（3）定义法：（或），则
（4）*分块对角阵，则
掌握解矩阵方程
3．若干重要运算式
①
②
③
特别要注意：.
4．可逆的判别法：（等价命题）
阶方阵可逆 （或BA=I）
的个列（行）线性无关。
仅有零解。
的个特征值都不为零。
5*知道矩阵的分块运算。
四、初等变换与矩阵的秩
1．理解矩阵秩的概念
的秩的非零最高阶子式的阶数为。
有一个阶子式不等于零，而所有阶子式皆为零。
A中列（行）线性无关，而任列（行）线性相关。
2．掌握初等变换求矩阵的秩。
①初等变换可把A化为标准形。
②初等行变换可把A化为阶梯形。
③初等变换不改变矩阵的秩。
④对A左乘（右乘）初等阵.相当于对A做相应的行（列）初等变换。
⑤可逆，若，则称A与B等价，对矩阵，存在可逆阵，使。
3．矩阵秩的等式与不等式
①
②（可逆）。
③
④知道下面不等式
，则
五、向量组的线性相关性判别
1．会求向量的线性表示设为n维向量，则
，其中，.
2．掌握向量组线性相关的判别法
（1）定义法：设为维列向量。
（2）齐次方程组法：
（3）矩阵秩法及行列式法（A为方阵）
3．了解一些结论
（1）向量组中部分向量线性相关，则向量组线性相关。
向量组线性无关，则向量组任一部分向量线性无关。
（2）向量组中向量个数大于向量维数，则向量组线性相关。
（3）线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示。
六、求向量组的一个极大无关组
1．掌握求向量组的一个极大无关组的方法。
（1）定义法：
为的一个极大无关组
（2）行初等变换法：将排成矩阵A
阶梯形，从B易求得
，从B中易见为无关组，则中对应列
为极大无关组。
（3）矩阵秩法：
求，再从A中取某个
，判别是否线性无关。若是，则取为极大无关组。
2．一些结论
①向量组可由线性表示，且，则线性相关，
②矩阵A的秩等于A的列（行）向量组的秩。
③向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则秩（I）秩（II）.
两等价的向量组秩相等。
3*判别向量空间，求向量空间的基，维数，及向量在基下的坐标。
七、求解线性方程组
1．掌握初等行变换解线性方程组
2．了解方程组的解定理方程组
矩阵秩与关系
结论
解的形式（结构）
无穷多解
仅有零解
无穷多解
唯一解
无解
不是的列的线性表示
其中，为的一个基础解系。
3．求的基础解系及判别基础解系。
的基基础解系
中一个极大无关解向量组。
中极大无关解个数.
4．知道非齐次方程组通解：
的任两解之差是的解
5．了解 法则八、方阵的特征值与特征向量
1．掌握求A的特征值与特征向量
2．特征值公式设为A的特征值。
①
②
推论：A可逆的个特征值皆不为零。
3．特征向量结论：
①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性表示仍是对应的特征向量。
②A的不同特征值对应的特征向量线性无关。
4．了解矩阵相似概念与性质，设，则
① 即：相似矩阵的特征值相同。
②
③
④.
5．掌握A可相似于对角阵的方法
①步 由 求 。
②步 由，求出个线性无关的特征向量。
③步 构造可逆矩阵，则
6．可对角化的结论
7．设A可对角化，则
8*．实对称矩阵A必可相似于对角矩阵，实对称阵A的不同特征向量是正交的，个特征值皆为实数。
9．二次型化标准形及正定性
1）会求二次型的矩阵，二次型的秩及正、负惯性指数。
2）会用配方法化二次型为标准形。
3）掌握用正交变换法化二次型为标准形。
4）*会判别二次型的正定性（特别是用正定定义及顺序主子式法）。
第一章 行列式 1
§1.1 行列式的概念 1
§1.2 行列式的性质 8
§1.3 行列式的展开计算 12
§1.4 Cramer法则 21
第二章 矩阵运算 27
§2.1 矩阵的概念 27
§2.2 矩阵的线性运算及乘法运算 27
§2.3 转置矩阵及方阵的行列式 34
§2.4 方阵的逆矩阵 36
§2.5 分块矩阵 40
第三章 初等变换与线性方程组 45
§3.1 初等变换化简矩阵 45
§3.2 初等矩阵 48
§3.3 矩阵的秩 50
§3.4 求解线性方程组——Gauss消元法 54
第四章 向量组的线性相关性 59
§4.1 向量组的线性相关性 59
§4.2 向量组的极大线性无关组及秩 64
§4.3 向量空间介绍 69
§4.4 线性方程组的解的结构 74
第五章 特征问题及二次型 82
§5.1 方矩阵的特征值与特征向量 82
§5.2 方阵A相似于对角矩阵 86
§5.3 二次型的标准形 90
§5.4 正交变换化二次型为标准形 95
§5.5 二次型正定性 99
第一章 行列式
Arthur Cayley（1821-1895，英国）——矩阵论的创立者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第一名，并获得Smith奖，从事n维解析几何，行列式理论，线性变换和矩阵等方面的研究。
James,Joseph Sylvester（1814——1897，犹太人），矩阵论的创立者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究，创办了《美国数学杂志》。从事行列式，矩阵论，组合数学等方面研究。
§1 行列式的概念
[学习要求]
1）会用对角线法计算二、三阶行列式
2）会求排列的逆序及奇偶性
3）理解阶行列式定义一、二，三阶行列式的计算
1）求平面两直线交点
消去，解出得
记
副对角线 主对角线二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。
则有
交点：，其中
2）求三平面的交点
消，解出得
（设）
其中
对角线计算法三阶行列式由6项组成，每项是位于中不同行不同列的三元素之积，并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平行于主对角线上三元素之积的项带正号，副对角线上三元素之积及平行于副对角线上三元素之积的项带负号。
则记
得 。
同理有
例1,
解：
得：
[注意] 对角线法不适于3阶以上的行列式。
3）分析三阶行列式的规律：
①每项：每项为三元素之积，三元素取之不同行不同列。
②项数：
③符号：与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即与自然排列123对换为此排列的次数有关。
排列
123
231
312
321
132
213
对换次数
0
2
2
1
1
1
奇偶性
偶
奇
带符号
正
负
将对换次数转化为下面求排列的逆序问题。
二、排列的逆序与奇偶性
个自然数的一个排列，称为一个元排列。记为。共有个排列。
定义1 一个排列中，两个数字，的大小与位置相反，称这两个数字构成一个逆序，排列中所有数字的逆序个数的总和就称为该排列的逆序数。记为。
计算法 从排列的右边起，每一个数字与其左边的数字逐个比较，即先将第个数字与前面个数字比较求得第个数字的逆序，再将第个数字与前面的个数字比较，求得第个数字逆序，继续之，得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数。
例2：求下列各排列的逆序数。
1） （奇）
2） （偶）
3） （偶）
4）
定义2 一个排列的逆序数为奇（偶）数，称为该排列为奇（偶）排列。
定义3 一个排列中两数字位置互换，其余数字不动，称为一次对换，相邻两数字的对换，称为邻换。
定理 一次对换改变排列的奇偶性
（即偶次对换不变奇偶性，奇次对换改变奇偶性）
将一个元排列对换成为自然排列有多种方法，得到的逆序数可以不同，但其奇偶性却不变。
推论1：一个元排列对换为自然排列，对换次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。
推论2：所有元排列的奇偶性个数各半。
三、阶行列式定义定义4
是一个数，称为阶行列式，简记为
（1）每项个元素之积中的元取之不同行不同列。
（2）共有项。
（3）符号由决定的。
（4）表示把对应的个项加起来。
显然若的一行（列）元素都为0，则。
例3：上，下三角行列式及对角行列式的值。
（1）
下三角行列式
上三角行列式 对角行列式
（表示连乘号）
例4（1）决定4阶行列式中项的符号。
（2）求的值，使得4阶行列式带负号。
解：（1），计算列下标逆序。
该项带正号。
（2），列下标排列为，得 ，或，因为
故得
说明：行列式的另一定义为
（列下标按自然顺序）
§1.2 行列式的性质
[学习要求]：掌握行列式的性质，运用行列式性质化简行列式。
本节是对行列式进行变换化简，以便简化计算。
行列式的五个性质：
1）转置不变值，即
2）拆开
3）数乘（提取因子）
4）对换变号 行列式的初等变换
5）消元（倍加）不变值。
两个零推论
①的两行（列）相同，则。
②的两行（列）元素成比例，则。
例1：（1） （2）
解：（1）
（2）
例2：计算
解：
例3 计算
解：将第一列拆开为
=
例4：计算
解：第1行的（）倍加于第2行上，
=。
例5：求的根。
解：注意到中每一行元素之和都为，把第2，3，4列加到第1列上，得
，得
练习：（1）计算 。
（2）计算
（3）计算D==
§1.3 行列式的展开计算
[要求学习] 1）准确计算元素的余子式与代数余子式。
2）掌握展开定理。
3）会一些计算方法技巧。
把三阶行列式的项重组，以引入代数余子式概念
定义 中的元素，划去所在的第行第列剩余的阶行列式称为的余子式，记为。
并记，则称为元素的代数余子式，则三阶行列式展开式为：
。
定理 行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和。
行元素为 ，
对应代数余子式为 ，
则：。
定理推论：行列式的一行（列）所有元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和为0。
即
故有
计算要点：
（1）找零最多的一行（列）展开。
（2）把某一行（列）元素用性质5（消元）尽可能多地化为零。
例1：①
②
例2：计算
。
解：第1列与第3列对换。（因第3列元素较简单）。
例3：
（书p18例1.3.4）
本题可做为公式用，例如：
例4： 形状为
解：第一行展开：得，。
。
例5：。形状
解：用主线角线元素去消第一列元素
。
例6,
解：将D的第1行去减各行得
，形状为与例5方法相同，用主对角线上的元消第一列元，得
说明：例4，例5，例6是三线行列式。计算形如 的三线行列式，可用主对角线上元素去消第一列元素，其他三线行列式一般先用展开定理降价，然后递推化简。
例7，Vandermond行列式（书P18例1.3.5）
共有 个乘积项。
例如：
例8
简记为 （不加证明）
显然也有
例,
*练习题
（1）证明：
（2）证明,
（3）计算：
解：
而；
另法：第一列拆开
则
故
（4）计算：。
解：第2列与第4列互换，再把第2行与第5行互换，得
§1.4 Cramer法则
[学习要求]：
1）掌握Cramer法则解线性方程组。
2）了解齐次线性方程组有非零解的条件。
一、解非齐次线性方程组
为消，可利用行列式展开定理。用分别依次乘上面各方程：
当
同理得： 。
定理1 非齐次线性方程组 ，
则有唯一解
当时，方程组可能有解，也可能无解。
二、齐次线性方程组
1）齐次方程组总有一组零解：
2）当有某，称解为一组非零解。
若，又由于
故有结论：，齐次方程组仅有零解。
等价结论：齐次方程组有非零解，则。
定理2 齐次线性方程组有非零解
例1,
解：
。
例2：有非零解，求。
解：齐次方程组，有非零解，则
得 或
例3：证三个点在平面的一条直线上的必要条件是
证：设直线为 ，由条件：点在直线上则有：
把看做以为变量的齐次方程组
的一个非零解，故有系数行列式为0，即
例4：设平面三不同直线
交一点，证。
证：交点满足
把看做以为变量的齐次方程组
的一组非零解，则上方程组系数行列式为0，即
因不会都相等，故。
第二章 矩阵运算
§2.1 矩阵的概念
§2.2 矩阵的线性运算及乘法运算
[学习要求]：1）理解矩阵的定义。
2）掌握矩阵的加，数乘及乘法运算。
3）注意矩阵乘法与数的运算律的异同处。
一、矩阵的定义定义1 个数排成行列的一个数表，记为
称为矩阵，也可记为。
矩阵是一个表，也是一个线性变换（函数），而行列式是一个数。矩阵广泛应用于自然科学各领域。在数学方面应用于计算数学，概率统计，微分方程，几何图形的变换，如投影，镜象，旋转变换等等；在电学方面：如线性电路理论，自动控制，网络，编码理论等；在经济管理方面，如线性规划，优化运筹等等（见书上的例子）。
例：消耗矩阵
国民经济的个部门组成一个经济系统，各部门既是生产者，又是消耗者。设表示第个部门生产的单位产值需消耗第个部门产值数，称为第个部门对第个部门的直接消耗系数。为简单起见令，如煤碳部门，电力部门，铁路运输部门，它们的关系如下表：
消耗系数 部门部门
消 耗 部 门
煤碳
电力
铁运
生产部门
煤碳
0
0.65
0.55
电力
0.25
0.05
0.10
铁运
0.25
0.05
0
矩阵
称为消耗矩阵。（简单的投入产出数学模型）
例 三阶魔方及四阶魔方
，
二、矩阵的加，数乘运算
两矩阵同型：与的行数，列数分别相等。
两矩阵相等：。
。
定义2 两矩阵加法：
。
定义3 数乘矩阵
加，数乘（称为线性运算）满足下列运算律：
①加法交换律：
②加法结合律：
③矩阵：
④负矩阵： ，则。
⑤恒等性： 。
⑥数结合律： 。
⑦分配律： 。
⑧分配律： 。
设是矩阵的集合，在上述矩阵的加法、数乘定义下，且满足了上述8条运算，我们称是一个矩阵空间。
例1：，，求。
三、两矩阵的乘法。
1．规则：行乘列
定义4
其中 （“行乘列”）
即乘积等于的第行元素与的第列对应元素积之和。
例2：，求。
解：
但不存在。
可乘条件为：的列数=的行数。
乘积阶数为：的行数=的行数，的列数=的列数。
2．矩阵乘法应注意下面三点：
1）乘法交换律一般不成立，即。
称左乘，或为左因子阵。
称右乘，或为右因子阵。
特别：若，称与乘法可交换，或与可换。
2）消去律一般不成立，即，不一定。
（即使，也不一定有）
3），不一定有。
3．矩阵乘法运算律为：（与数运算律相同）
1）结合律：。
2）分配律：，
。
3）数乘结合律：。
4）恒等性：。
4．方阵的幂及多项式矩阵
。
设的多项式为：，则
称为的次多项式矩阵。
5．一般线性方程组的矩阵表示
例3：（1）
（2）
（3），求。
例4：，
①求及。 ②求。
例5：，为阶方阵，
例6：设，证明。
例7 *：，为阶方阵，证明的主对角线上元素之和等于的主对角线上元素之和。
证：的第i行元素与的第i列的元素积之和
主对角线元素之和
的主对角线元素之和。
§2.3 转置矩阵及方阵的行列式
[学习要求]：1）掌握转置矩阵的运算律。
2）掌握方阵的行列式的运算式。
一、转置矩阵
1．定义1
称为的转置阵，为阶，为阶。
转置性质：
（1）， （2）
（3）， （4）
。
2．定义2 矩阵，若有，称为对称阵。
为对称阵。
矩阵，若有，则称为反对称阵。
为反对称阵
定义3 对于阶方阵，若有
称为正交矩阵。
例① 与皆为阶对称阵，则
（ⅰ）+为对称阵；
（ⅱ）但不一定为对称阵。
例② 但为矩阵，则（或）为对称阵。
例③ 与皆为正交阵，则
（ⅰ）+不一定为正交阵；
（ⅱ）必为正交阵。
二、方阵的行列式
阶方阵，称为的行列式，也记。
方阵的行列式性质：设，为阶方阵：
（1）。
（2）。
（3）。
应注意：。
例1：为矩阵，证明是对称矩阵。
例2：证明。
例3：1）阶方阵，求______。
2）设______。
例4：，证明。
例5：，为阶方阵，，求
。
例6：维列向量，。证明 。
例7：为3阶方阵，是3维列向量。，求。
例8：，证明。
§2.4 方阵的逆矩阵
[学习要求]：1）理解方阵的逆的定义。
2）掌握方阵求逆的公式及逆的运算性质。
3）掌握判别矩阵的可逆性。
4）掌握解矩阵方程。
一、阶方阵逆的定义定义1 阶方阵，若有阶方阵，使得
称可逆，有逆，或满秩，非奇异，就是的逆。
若可逆，的逆是唯一的，故记。
即 。
二、逆的求法及判别
1．定义2 对于，
，
称为的伴随矩阵。
例如：① 。
② 。
注意：①准确求出。
②中的排法。
2．定理 可逆
证明思路：（1）利用逆的定义；
（2）利用行列式展开公式及推论。
例1：求上述两矩阵的逆。
①，则。
②。
例2：（1）可逆，。
注意：，不一定有。
（2）。
例3：，为阶方阵，可逆可逆，且也可逆。
（同理不可逆，至少有一个矩阵不可逆。）
例4：可逆，则
三、逆的运算性质
（1）， （2），
（3）， （4），
（5）。
例5：，为3阶方阵，，求。
例6：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。
例7：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。
例8：，（1）证明可逆，求。（2）证明可逆，求。
四、解矩阵方程三种形式：设A，B可逆
例9：，求。
例10：，求。
例11：，求。
例12,，求。
例13：，求 。
§2.5 分块矩阵
[学习要求]：1）了解矩阵加法，乘法的分块原则及分块矩阵的运算。
2）了解分块对角矩阵及分块三角阵。
一、分块矩阵的加，数乘，转置
1）分块加法：+=，使与分法相同。
2）数乘分块阵：。
3）分块阵转置：。
二、两矩阵的分块乘法
分块原则：列分法与的行分法相同，即满足可乘条件
①的列块数=的行块数。
②的子块的列数=的子块的行数。
其中子块。
分块乘法与矩阵普通乘法形式相同。
例1：，分块为
其中的列数等于的行数，则
例2：列分块为，则非齐次线性方程组 可转换为
。
例3：矩阵方程，列分块为，
列分块为，则
得 。
则讨论矩阵方程可转化为研究个线性方程组。
二、分块对角阵及分块三角矩阵
，
称，为分块对角阵，其中皆为子方块，若的阶数相同，，则
。
，若，则 ，
，特别。
四块的块三角矩阵：
为方子块，
则。
例4：，，为阶方阵且，求？
例5：，求。
例6：为可逆阵：为方子块，证明，并求的逆。
例7：，求。
练习：
1,，求。
2．可逆，证明 。
若 ，求。
3．，及皆为阶可逆矩阵，求。
4．设，对任意，证明。
5．，，求。
6．，求。
7．，求。
第三章 初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换化简矩阵
[学习要求] 1）了解初等变换定义,阶梯形（简化阶梯形）及标准形
2）准确使用初等变换化简矩阵，特别是用行变换把矩阵化为阶梯形一、定义1 矩阵的初等变换是指下列三种变换
（ⅰ）对换变换：互换矩阵两行（列）的位置。
（ⅱ）数乘变换：用一个非零的数乘矩阵的第行（列）。
（ⅲ）倍加（消元）变换：将矩阵第行（列）元素的倍加到第行（列）上。
对矩阵的行做初等变换称为初等行变换，对列做初等变换称为初等列变换。
注意：下面三点
①变换用号
②数乘变换不记录且
③对换不记录负号定义2 （ⅰ）矩阵阶梯形 一般形如
特点：1）如果存在零行，则零行全在矩阵下方。
2）从第一行起，每行第一个非零元前面零的个数逐行递增。
简化阶梯形如：
特点：阶梯形中非零行第一个非零元素为1，其对应的列的其他元素为0。
特点：矩阵的左上角对角元有个为1，其他皆为零。
定理 1）初等变换可把化为标准形。
2）初等行变换可把化为阶梯形或简化阶梯形。
例1：用初等行变换把化为阶梯形
例2：用初等变换把化为标准形
§3.2 初等矩阵
把变换过程用矩阵乘法来表示一、初等矩阵
定义1 单位矩阵I经过一次初等变换所得的矩阵称初等矩阵
（1）对换初等矩阵：单位阵I的行（列）互换。
（2）数乘初等矩阵：单位阵的I的行（列）的倍。
（3）消元初等矩阵：单位阵的I的行（列）倍加到行（列）上。
定理1 对矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘。
简言之：“左乘行变，右乘列变”。
例1,，用初等矩阵表示把化为标准形。
解：
即
即左乘或右乘一系列初等矩阵化为标准形。
一些结论定理2 对于矩阵，必存在可逆矩，使
定理3 为可逆矩阵，则可表成有限个初等矩阵之积，即
(为初等阵)。
二、初等变换求的逆。
原理：，（为初等阵）。
则
即：①式表一些行变换把化为单位阵
②式表这些行变换把化为可逆阵
例2：求下列矩阵的逆
（1） （2） （3）
例3：，
，
求初等矩阵。
例4：可逆矩阵的第行与第行对换变为，则逆阵与的关系如何？
§3.3 矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征。
[学习要求]：1）理解矩阵秩的定义。
2）掌握用初等变换求矩阵的秩。
3）了解矩阵秩的等式，知道矩阵秩的不等式。
一、矩阵的秩的概念定义1 中取行列这些行列交叉处元素按原顺序构成的阶子行列式称为的一个阶子式。
的阶子式共有个，我们关心的是阶子式的值为零或非零。
定义2 中，非零子式的最高阶数称为的秩，记为，记。
理解秩的含义：
（1）。
（2），。
（3）。
（4）有一个阶子式，则。
（5）所有阶子式，则。
（6）至少有一个阶子式，所有阶子式。
例1：（见黑板之例）
二、初等变换求矩阵的秩
若不变秩，则。
定理1 初等变换不变矩阵的秩。
求秩法：用初等变换把化为阶梯形，则
。
例2：（1），（2），
（3）。
例3： 讨论矩阵的秩。
三、矩阵秩的等式与不等式定理2 秩为的矩阵，必存在可逆矩阵，使
（标准形）
定义3 经初等变换化为，称与等价。或者若有可逆矩阵使，称与等价。
矩阵可等价于一个标准形。
定理3
其中为可逆阵，即左（右）乘可逆阵，的秩不变。
*秩不等式介绍：
（1）。
（2）。
（3）。
（4）当，则。
例4：（1）的秩为2，求______。
（2）的秩为2，求___________。
例5：为阶方阵，，证明。
例6：设矩阵，证明。
例7：，证明。
例8：设分块对角阵，证明。
§3.4 求解线性方程组——Gauss消元法要解决如下问题：
（1）是否有解，有解的条件？
（2）唯一解及无穷多解的条件？
（3）如何求解？
[学习要求]：1）掌握初等行变换解方程组。
2）掌握方程组的解定理。
注意未知量个数这三个参数。
一、求解非齐次线性方程组
解方程组等价于对增广阵做行初等变换化为阶梯形或简化阶梯形。设的左上角的阶子式。
，
对应于一个简化的方程组，与原方程组同解。
（1），方程组无解。
（2），则有解。设为自由取值，解得
个自由取值定理1 当时，无解。
当时，有解。
（1）若时，有唯一解。
（2）若时，有无穷多解。
求解非齐次方程组步骤为：
1步：把用初等行变换化为阶梯形或简化阶梯形。
2步：求，。
3步：由未知数个数，，讨论。
解：（ⅰ）≠，则无解。
（ⅱ）
4步：取自由量，求解方程组。
二、求解齐次线性方程组：
（总有解）
1．，称为零解。
2．下面解决两个问题：
1）在何条件？仅有零解。
2）在何条件？有非零解（无穷多解）。
定理2 ，当有无穷多解。
当仅有零解。
推论1： 有非零解。
仅零解。
推论2：，当，则有非零解。
例1：求解方程组
例2：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组
例3：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组
例4：，为何值，则
（1）有唯一解，（2）无解，（3）有非唯一解，并求解。
解：，讨论：或的情况
（1）当，且方程组有唯一的解。
（2）当无解。
（3）当，无穷多解，。
第四章 向量组的线性相关性（空间）
§4.1 向量组的线性相关性
[学习要求] 1）掌握求向量的线性组合（线性表示）。
2） 理解向量组线性相关、无关定义，掌握判别向量组线性相关性方法。
3）了解线性相关性一些结论；线性表示与线性相关的关系。
一、维向量的概念：
定义1,个有序的数组成的数组，把它们排成一行：，称为维行向量（一行阵）
排成一列：，称为维列向量（一列阵）
设
加法：
数乘：
满足下八条运算律：
1） 2）
3） 4）
5） 6）
7） 8）
设
集合中定义上述的加法数乘，且满足上面八条运算律，称为在实数域上的向量空间。
二、向量的线性表示（线性组合）
定义2 设为维列向量，若有
称为（或可由）的线性表示（组合），为线性表示系数。
令，则上式等价于
线性表示转化为非齐次方程组的解。
例1：
求在下的表示式。
例2：,
,求在下的表示式。 （为任意数）
三、向量组的线性相关性定义3 设维向量，若存在不全为零的数，使得
称 线性相关，否则称线性无关。
解释：若能寻找到一组不全为零的，使上式成立，称该向量组相关；若当且仅当才使上式成立，则称向量组线性无关。
令 ，由上式为
（i）若有非零解相关。
（ii）若仅有零解无关。
例3：中，
，称为基本向量组（标准正交基），它们是线性无关的。
例4：观察法判别下列向量组线性关系
（1） （相关）
（2） （相关）
（3）（相关）
例5：判别下列向量组线性相关性
① （无关）
②
（相关）
例6：线性无关，证明
线性无关。
线性相关一些性质：
1）含0向量的向量组必线性相关
2）含两成比例的向量的向量组必线性相关
3）有部分向量线性相关，则全体向量线性相关。
全体向量线性无关，则任一部分向量线性无关。
4）向量个数大于维数的向量组必线性相关，（个维向量的向量组线性相关）
四、线性表示与线性相关性的关系
定理 向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示。
解释：1）向量的线性表示，必可推出该组向量线性相关。但由线性相关，要推出某一个向量是其它向量线性表示，就得根据问题的条件来考虑。
2）线性相关，不一定能推出“每一个”向量都可由其余向量线性表示。
例7：（1）线性相关，则可由线性表示吗？举例说明之。
(2) 线性相关，又线性无关，则可由线性表示吗？
例8：线性无关，且
线性相关，求的值。（）
例9：为的方阵，维列向量线性相关，证明线性相关。
例10：线性无关；线性相关，则
可由唯一线性表示。
例11※：线性无关，,线性相关，不能由的线性表示，证明线性无关。（其中为任意常数）。
证：因线性相关，而线性无关，必有：
（1）
又因不能由线性表示，则有，线性无关。
设 （2）
（1）代入（2）：
因，线性无关，则上式系数为0，即
故由（2）式知，线性无关。
§4.2 向量组的极大线性无关组及秩
[学习要求]
1）理解两向量组等价、极大无关组及秩的概念。
2）掌握求向量组的一个极大无关组的方法。
3）熟悉定理：“矩阵的秩等于列向量组的秩”，利用向量组与矩阵之间的转换，解决一些问题。
4）了解“两向量组等价，则秩相等”。
一、两向量组等价定义1 与互相线性表示，称两向量组等价。
设
,
即
等价性质（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。
二、向量组V的极大无关组与秩。
定义2 设向量组V中一个组，满足
1）若线性无关；
2）对V中任一个向量，可由此向量组线性表示，即
，
称 为向量组的一个极大无关组.
理解:1)极大无关组定义是把线性表示与线性无关结合起来的一个概念.
2)定义中条件①是必备的,条件②可换为另一些说法.
定义2′ 是V的极大无关组
线性无关,且对V中任一个,则这个向量线性相关。
线性无关，且V中任个向量线性相关。
一些结论：1）向量组V中的极大无关组的组数不唯一。
2）向量组V中每一个极大无关组含向量个数唯一。
3）向量组V与极大无关组等价。
4）向量组V中的任两个极大无关组是等价的。
定理1 ① 向量组可由线性表示
② 且，
则线性相关。
推论1：（等价命题） 向量组线性无关，且可由线性表示，则。
推论2：V中两极大无关组含向量个数相等。
定义3 V中的一个极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。记为秩，“秩”是向量组的一个数字特征。
例1：① 中，为的一个极大无关组，秩。
② ，极大无关组为，故。
推理3：向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则秩(Ⅰ)秩（Ⅱ）。
推论4：两等价的向量组的秩相等。
例2：扩充（剔除）法求极大无关组。
求，的一个极大无关组。
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
矩阵列向量组。
定理2 矩阵A的秩等于A的列（行）向量组的秩。
推论：A列分块为 ，求A的秩，
当 线性相关。
线性无关。
（Ⅰ）判别向量组线性相关性方法
把向量组排成矩阵为阶梯形求，由推论可得相关性。
例3 判别，的相关性。
（Ⅱ）求极大无关组方法 设向量组
方法1：1步：阶梯形求秩
2步：从向量组中挑出，判别无关性。若这r个向量无关，则为极大无关组。
方法2：引理：矩阵A经初等行变换化为B，则A的列向量组与B的对应列向量组有相同线性关系。
1步：把排成矩阵，用初等行变换把A化为阶梯形或简化阶梯形
。（阶梯形）
2步：求的阶梯数，易从B中的列知线性无关，为一个极大无关组。
例4：求，的一个极大无关组，并求其余向量由此极大无关组的线性表示。
练习：求的一个极大无关组（本身）。
例5：向量组的秩为2，求t = （2） 。
例6：设
证明线性相关。
例7：设 ，与，的秩相等，且可由线性表示，求a,b。
例8：（单位阵），证B的m个列线性无关。
例9：设向量组
若线性无关，则线性无关。
即线性无关向量组延长分量得新向量组仍线性无关。
§4.3 向量空间介绍
[学习要求]：1）了解向量空间的概念。
2）了解空间的基，维数，坐标。
3）了解向量内积，长度，正交性，会把一个线性无关向量组Schmidt正交化。
一、向量空间的定义
定义1 非空的n维向量集合V及数域F，定义两种运算加法：，有。（加封闭）
数乘：，有。（数乘封闭）
称V为数域F上的向量空间，F取实域R称V为实向量空间。
①是一个空间称零空间。（仅一个元素构成）
②空间必包含0元素。（唯一）
③空间中任一元必有负元 。
例1：①。（是空间）
②。（不是空间）
③。（不是空间）
④。（不是空间）
生成空间
二、空间的基，维数，坐标定义2 设向量空间V中，，
①线性无关
②，有
（唯一）。
称为空间V的基（空间一个坐标系）。
称r为空间V的维数，记为dimV= r，称V为r维空间。
称线性表示系数为在基下的坐标。记
，向量与坐标一一对应。
几个概念的比较向量空间V
（看做）向量组V
空间V的基
极大无关组
维数
向量组V的秩
坐标
唯一的线性表示
定理 n维向量空间中任n个线性无关的向量都是向量空间V的基。（判别基的定理）
例2：①求 的基，维数。
②中，证明是的基。
③中，证明，，是的基。
例3：求在基，下的坐标。
三、实向量空间中向量的内积，长度，正交性设
（1）向量内积定义1
，
称数为向量的内积（实向量空间内积）
内积性质：1），
2）
3）
4）。
（2）向量的长度
定义2
称为的长度。当，称长度为1的为单位向量。
一般：就是的单位向量。
，称为的夹角。
（3）向量的正交性定义3 设向量，若,称与正交，记为。
若向量组两两正交，称此向量组为正交组，又若它们都是单位向量，则称此向量组为标准（规范）正交组
。
例4：求与向量正交的向量集合。
Schmidt正交化（把一个无关组变换为一个标准正交组）。
为简单起见只对线性无关向量正交化为正交组。
第一步：设 。
第二步：求，使与正交，即，令：
上式两边与做内积，
，
得 。
第三步：求，使之与正交，即满足
。
设 ，
，
。
得
∴
最后把已正交的向量组单位化：
。
为标准正交组。
例5：用Schmidt正交化方法把下列向量组化为标准正交组。
（1）
（2）。
§4.4 线性方程组的解的结构
[学习要求]：
1）熟悉方程组的4个解定理，掌握求线性方程组的通解。
2）掌握求的基础解系及判别基础解系。
3）了解非齐次方程组解的结构。
一、的解结构
1），，，
等价：
定理1
2）的基础解系
的解集记为
性质：1）解，则。
2）解，则。
故是一个向量空间，称为的解空间。
定义 的解空间的基称为基础解系。
若解是基解系，则应满足：
1）线性无关；
2）中任一解可由此组线性表示。
求的基础解系。在§3.3节已知任一解
（1）
把上面个解排成矩阵
注意到的第行下方的阶子式
得 解线性无关 （2）
由（1），（2）知：为的基础解系。
定理2 ，则。
即解空间含有个线性无关的解向量。，则仅零解。
例1：求基础解系
（1） （2）
例2：设三阶方阵的三个列是下列方程组的解，求。
例3：
的解空间维数为2，求及求解该方程组。
例4：设是的基础解系，证明：
也是的基础解系。
例5*：证明：，则有。
二、的解的结构。
1）。
定理3
若
对于
2）解结构定理引理：的任两解之差是的解。
定理4
其中是的基础解系。
例6：
求通解。
例7：设，。问取何值？
（1）可由唯一线性表示。
（2）不能由线性表示。
（3）可由非唯一线性表示，并写出表示式。
例8：（1），则解空间维数为______。
（2），则有______解。
（3）的每一行元素之和为，则非齐次方程组，有一个解为______。
例9：是的基础解系，，证明：线性无关。
例10：
取何值？方程组有唯一解，无解，无穷多解。
例11：设为的三个线性无关的解，，求的通解。
例12：设4元线性方程组为
（Ⅰ）
又已知4元线性方程组（Ⅱ）的通解为
（1）求线性方程组（Ⅰ）的通解。
（2）求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的所有公共解。
解：方程组（Ⅰ）的通解为
解：把（Ⅱ）的通解代入（Ⅰ），则有：
得时，公共解为：
。
解* 有一堆桃子，要分给5只猴子，第一只猴子先来了，它把桃子平分为5分，还多一个，扔了，然后拿走了自己的一份；第二只猴子来了，又把桃子分成5份，又多一个，也扔了，同样拿走自己的一份；以后其余的三只猴子先后到来，做了同样的事情，问原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
解：设共有个桃子，第只猴子拿走了个桃子，则列出5个方程的6元非齐次方程组。
即为
因6元方程组系数矩阵与增广阵的秩都为5，即中，，故有解，且有无穷多解，通解为
其中是对应的齐次方程组的一个非零解，为非齐次方程组的一个特解，
（i）从观察知，要求非齐次方程组的一个特解，可令，得，即
（ii）考虑对应的齐次方程组
左右两边相乘，约分得
因4与5互质，可取。
得
因而齐次方程组的一个非零解为：
。
故非齐次线性方程组的通解为
原来桃子个数，第5只猴子有桃子为个，取最少正整数，即，则
则原来至少要有3121个桃子，最后还剩下4×255=1020个桃子。
第五章 特征问题及二次型（应用部分）
§5.1 方矩阵的特征值与特征向量
[学习要求]：1）理解特征值与特征向量的概念，掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。
2）了解特征值与特征向量的若干性质。
一、方阵的特征值与特征向量定义1 设方阵，若存在数及维向量，使得：
称数是的一个特征值，称为的特征值对应的特征向量。
几何代数解释：①像与原像平行。
②表示像与原像的放缩系数。
定义2
称为的特征多项式，其个根为的个特征值，（包括重根，复根）。称为的特征矩阵。
则齐次方程组的非零解集是的特征值对应的特征向量集。
求的特征值与特征向量
（1）由特征多项式，求出特征值。
（2）对每一个，由齐次方程组，解得的非零解集就是对应的特征向量。
（转化为计算行列式与解齐次线性方程组）
例1：求下列矩阵特征值
（1），（2）
例2：求的特征值及特征向量。
例3：求下面矩阵的特征值与特征向量。
（1），（2）
二、特征值与特征向量性质
1．特征值的性质设的个特征值为
（1）
（2）
（称为的迹）
推论：可逆的个特征值非零。
2．特征向量的性质
（1）设的特征值对应的特征向量为，则其非零的线性组合仍为的特征向量。
（2）的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
（3）* 设的两不同特征值，又设
的无关特征向量为，
的无关特征向量为，
则 线性无关。
例4：（1），则的一个特征值为_______。
（2），则的特征值为_______。
（3）的特征值为1，2，3，则||=_______。
（4）有非零解，则有一个特征值为_______。
例5：，若是的一个特征向量，求及对应的特征值。
例6：是的一个特征值，求及对应的特征向量。
例7：设是矩阵的一个特征值，对应的特征向量为，
证明：①是的一个特征值。
②是的一个特征值。
③若可逆，则是的一个特征值。
④若，则是多项式矩阵的特征值。
它们的特征向量皆为
例8：设的三个特征值为1，2，3，求
（1）的特征值，。
（2）的特征值。
（3）
§5.2 方阵相似于对角矩阵
[学习要求]：1）理解相似概念及性质。
2）理解相似对角化的条件，掌握判别一个矩阵是否相似于对角矩阵。
3）由可对角化，求，。
一、两矩阵相似定义1 设，为阶方阵，若存在可逆阵，使得，称与相似，记为∽，矩阵称为相似变换阵。
相似性质：若，则
（1），
（2），
（3）与的特征值相同，即
。（相似矩阵的特征多项式相同）
（4）* （迹相等）
注意：特征值相同的两矩阵不一定相似。
例1：与相似，有一个特征值为2，则有一个特征值为_______。有一个特征值为______。
例2：与相似，即是的特征值对应的特征向量，证明是对应于的特征向量。
例3：设与相似，求_____。
二、相似于对角阵的条件
为阶方阵，若存在可逆阵，使得
称可相似于对角阵，或可对角化。
定理 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是具有个线性无关的特征向量。若可对角化，即
。
其中对角线上的是的个特征值，矩阵的个列是对应于的个特征值的线性无关的特征向量。
对角化问题转化为求特征值与特征向量的问题。
推论1：若阶方阵有个相异的特征值，则可对角化。
推论2：若方阵的每一个重特征值有个线性无关的特征向量，则可对角化。
例4：下面矩阵必相似于对角阵
（1），（2）。
（互异）
例5：判别下列矩阵是否可对角化，若能对角化，求及对角阵，使。
（1），（2）。
例6：下列矩阵哪些矩阵相似
例7：有三个线性无关的特征向量，则____。
三、求。
若，则有，
。
例8：的特征值为1，–2，对应的特征向量为，求。
例9：某公司对其生产的产品做市场营销调查统计表明：已使用本公司产品的客户有60%表示仍继续购买该产品，在尚未使用过该产品的被调查者中25%的表示将购买该产品。目前该产品在市场上占有率为60%，问年后该产品占有状况如何？
本题研究两个状态之间的转移规律。
解：令第年末已购及未购比例数组成向量，则初始向量为
第一年末：
即，其中
由此得年末为：
，（递推）
（1）。
（2）求。由，
，
，得特征向量为，
，得特征向量为，
，，
故，
当，。
§5.3 二次型的标准形用线性代数方法解决非线性问题
[学习要求]：1）了解二次型定义，会求二次型的矩阵，秩与惯性指数。
2）会用配方法求一个可逆线性变换，化二次型为标准形。
一、二次型及其对应的矩阵从平面直角坐标系看：通过适当坐标变换，把非标准曲线化为标准曲线
从三维空间直角坐标系看：通过适当坐标变换，把非标准曲面：化为标准曲面：
从代数观点看：用一个可逆线性变换化简一个二次齐次多项式，使它仅含新变量的平方项。
定义1 个变量的二次齐次多项式，称为元二次型，一般表示为：
。（其中，即为对称阵）
称为二次型对应的矩阵。
（对称阵）。
例1：求下列二次型对应的矩阵：
（1）。
（2）。
（3）
（4）。
称为标准形。
二、可逆线性变换化二次型为标准形
.
其中为可逆阵，称为可逆线性变换。
由于。（新函数）
定义2 对于，，若存在可逆阵，使得
称合同于，或与合同。称为合同变换。
合同不变对称性，合同不变矩阵的秩。
定义3 中，对称阵的秩称为二次型的秩。
假定有适当可逆线性变换，可把二次型化为标准形，则
等价于对角形。
定理 秩为实二次型，存在可逆线性变换（或合同变换），使化为标准形：
，。
等价于：对称阵，存在可逆阵，使合同于对角阵。
。令，再用一个可逆线性变换，使
。（规范型）
用配方法求可逆线性变换化二次型为标准形。
例2：
（答案：）.
例3：。
（答案：）。
注：线性变换不唯一，的标准形也不一定唯一，但的标准形中正平方项个数唯一，负平方项个数唯一。
称的标准形中正平方项个数为二次型的正惯性指数，称负平方项个数为二次型的负惯性指数。
§5.4 正交变换化二次型为标准形
[学习要求]：1）了解正交变换定义及性质。
2）掌握用正交变换化二次型为标准形方法。
一、正交阵与正交变换及其性质
1．为阶方阵，若，称为正交矩阵。
正交阵的性质：
1）。
2）。
3）若为正交阵，则乘积为正交阵。
4）为正交矩阵的个列标准正交。
例1：下列矩阵为正交阵。
，
。
2．定义 设为正交阵，称线性变换为正交变换。
性质：正交变换
1）长度不变，即。
2）向量内积不变。
3）标准正交基变为标准正交基。
正交变换不变图形形状大小（优点之一）。
二、正交变换化二次型为标准形定理 实二次型，存在正交变换，使化为标准形 。等价于：实对称矩阵，存在正交阵，使
。
其中为的个特征值，的个列是对应于特征值的个标准正交的特征向量。
把化标准形转化为求的特征问题（优点之二）。
附：实对称阵的重要性质
1）实对称矩阵的个特征值皆为实数。
2）实对称阵不同特征值对应的特征向量是正交的。
3）实对称阵必可相似于对角阵。
化二次型为标准形步骤：
第一步：求出实对称阵。
第二步：由，求出特征值。
第三步：由解出的特征向量。
①对重根若能求出个正交特征向量，则只要进行单位化。
②若重根的个特征向量不正交，则用schmidt正交化，再单位化。
第四步：把已求得的个标准正交特征向量排成正交阵
，即有，使
。
或 。
例2：，求正交阵，使对角阵。
解：。
对于，解，得。
对于，解，得。
。
则 ，使。
例3：求正交变换，使二次型化为标准形。
。
解,步1 ，
步2 。
步3 对于，解，得。
对于 ，解，得，。
把正交化为。
再把单位化为
。
步4 ，则有，使
例4：求正交变换，使下面曲面化为标准曲面
解：二次型
，
，，分别对应的标准正交特征向量为了
则有正交阵，正交变换，使二次曲面化为标准曲面：。
例5：通过正交变换化为
，求及正交变换。
例6：为三阶实对称阵，其特征值为，且的特征向量为，求。
§5.5 二次型正定性研究二次齐次函数恒正值或恒负值。
[学习要求]：1）了解二次型正（负）定的定义。
2）掌握判别二次型正定的一些方法，特别要掌握用定义及顺序主子式判别法。
一、惯性定理秩为的实二次型经可逆线性变换化为标准形（规范形），则标准形中正（负）平方项数一定。
。
正惯性指数，负惯性指数。
二次型分类：
①，（正定）
②，（半正定）
③，（负定）
④，（半负定）
⑤。（不定）
二、二次型正（负）定的判别定义1 ，恒有，称正定，正定。若恒有，称负定，负定。
例1：（1）
，故正定。
（2）
。
故是负定的。
二次型正定的判别定理：
定理 正定正惯性指数为。
存在可逆，使
的个特征值全大于零。
的个顺序主子式全大于零。
的左上角的阶子式称为阶顺序主子式。
推论 正定，则。反之，不一定正定。
负定的顺序主子式奇阶为负，偶阶为正。
例2：判别下列二次型的正（负）定性。
（1）（正定）
（2）。（负定）
（3）。（不定）
例3：正定的为______。
（答案：）
例4：正定，则。
例5：正定，则正定。
例6：正定，为可逆阵，则正定。
（合同不变正定性）
例7：为矩阵，证明正定。
例8：正定存在可逆阵，使。
线性代数复习总结线性代数主要内容关系框图
一、熟悉下面主要概念
（1）行列式定义，逆序，代数余子式。
（2）对角阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交阵。
（3）初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，两矩阵等价。
（4）向量线性表示，向量组线性相关，无关，极大无关组，向量组的秩，两向量组等价。
（5）线性方程组的通解，的基础解系。
（6）方阵A的特征值与特征向量，两矩阵相似。
（7）向量空间的基，维数，坐标，向量的长度，标准正交组。
（8）二次型的矩阵及秩，合同，正交变换，正定性。
二、行列式计算
1．理解并能运用行列式性质化简行列式。
2．掌握行列式展开公式第i行：
第i列：
要求准确计算元素的代数余子式。
3．会用一些主要计算方法与技巧
根据行列式结构特征采用适当的方法与技巧，如
①化为对角行列式或三角行列式
②降价法
③拆开法
④展开递推归纳法
⑤利用已知公式法。
4．熟练计算3—4阶行列式，会计算某些带字母但较简单的行列式。
三、矩阵运算
1．掌握矩阵的加，数乘，乘法，转置，行列式计算及运算法则。乘法运算中注意下三点：
①交换律一般不成立：
②消去律一般不成立：，则一般
③，不一定或。
2．掌握求逆方法
（1）公式法：
（2）行变换法：
（3）定义法：（或），则
（4）*分块对角阵，则
掌握解矩阵方程
3．若干重要运算式
①
②
③
特别要注意：.
4．可逆的判别法：（等价命题）
阶方阵可逆 （或BA=I）
的个列（行）线性无关。
仅有零解。
的个特征值都不为零。
5*知道矩阵的分块运算。
四、初等变换与矩阵的秩
1．理解矩阵秩的概念
的秩的非零最高阶子式的阶数为。
有一个阶子式不等于零，而所有阶子式皆为零。
A中列（行）线性无关，而任列（行）线性相关。
2．掌握初等变换求矩阵的秩。
①初等变换可把A化为标准形。
②初等行变换可把A化为阶梯形。
③初等变换不改变矩阵的秩。
④对A左乘（右乘）初等阵.相当于对A做相应的行（列）初等变换。
⑤可逆，若，则称A与B等价，对矩阵，存在可逆阵，使。
3．矩阵秩的等式与不等式
①
②（可逆）。
③
④知道下面不等式
，则
五、向量组的线性相关性判别
1．会求向量的线性表示设为n维向量，则
，其中，.
2．掌握向量组线性相关的判别法
（1）定义法：设为维列向量。
（2）齐次方程组法：
（3）矩阵秩法及行列式法（A为方阵）
3．了解一些结论
（1）向量组中部分向量线性相关，则向量组线性相关。
向量组线性无关，则向量组任一部分向量线性无关。
（2）向量组中向量个数大于向量维数，则向量组线性相关。
（3）线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示。
六、求向量组的一个极大无关组
1．掌握求向量组的一个极大无关组的方法。
（1）定义法：
为的一个极大无关组
（2）行初等变换法：将排成矩阵A
阶梯形，从B易求得
，从B中易见为无关组，则中对应列
为极大无关组。
（3）矩阵秩法：
求，再从A中取某个
，判别是否线性无关。若是，则取为极大无关组。
2．一些结论
①向量组可由线性表示，且，则线性相关，
②矩阵A的秩等于A的列（行）向量组的秩。
③向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则秩（I）秩（II）.
两等价的向量组秩相等。
3*判别向量空间，求向量空间的基，维数，及向量在基下的坐标。
七、求解线性方程组
1．掌握初等行变换解线性方程组
2．了解方程组的解定理方程组
矩阵秩与关系
结论
解的形式（结构）
无穷多解
仅有零解
无穷多解
唯一解
无解
不是的列的线性表示
其中，为的一个基础解系。
3．求的基础解系及判别基础解系。
的基基础解系
中一个极大无关解向量组。
中极大无关解个数.
4．知道非齐次方程组通解：
的任两解之差是的解
5．了解 法则八、方阵的特征值与特征向量
1．掌握求A的特征值与特征向量
2．特征值公式设为A的特征值。
①
②
推论：A可逆的个特征值皆不为零。
3．特征向量结论：
①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性表示仍是对应的特征向量。
②A的不同特征值对应的特征向量线性无关。
4．了解矩阵相似概念与性质，设，则
① 即：相似矩阵的特征值相同。
②
③
④.
5．掌握A可相似于对角阵的方法
①步 由 求 。
②步 由，求出个线性无关的特征向量。
③步 构造可逆矩阵，则
6．可对角化的结论
7．设A可对角化，则
8*．实对称矩阵A必可相似于对角矩阵，实对称阵A的不同特征向量是正交的，个特征值皆为实数。
9．二次型化标准形及正定性
1）会求二次型的矩阵，二次型的秩及正、负惯性指数。
2）会用配方法化二次型为标准形。
3）掌握用正交变换法化二次型为标准形。
4）*会判别二次型的正定性（特别是用正定定义及顺序主子式法）。
