考 研 模 拟
主要掌握的内容提要
一、掌握行列式计算及开展定理：
二、掌握初等变换
三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是：
1）求的逆
2）判别逆法：
的个列（行）无关 仅零解
的个特征值非零。
3）求解矩阵方程：对等式变形化简。
4）求
四、掌握判别向量组的线性相关性，线性组合，求极大无关组
1）线性表示：
的解。
2）向量组相关性,,
五、掌握行初等变换解方程组及解结构
1）理解三个参数掌握解定理。
2）的基础解系为，
解空间：解空间中极大无关解个数。
3）解结构
六、掌握求特征值及特征向量
1） （定义）
2），求。（若，必是的特征值。）
3），齐次方程组非零解集就是的特征向量。
七、掌握对角化充要条件，判别可否对角化求可逆，使 ，
其中的个列必是的对应于特征值的线性无关特征向量。
对角化实质是计算行列式及解齐次方程组
特别关注：
（1）对称阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。（用于求参数及另一些特征向量）
（2）对称阵必相似于对角阵。
八、掌握正交变换化二次型为标准形
1）
对称阵，存在正交阵，使
正交变换化二次型实质是求特征值与特征向量，再把特征向量正交单位化。
2）了解二次型正定的一些充要条件（判别法）。
主要掌握用正定的定义及的顺序主子式判别法。
2001年考题类型及题要填空题
数一
求逆。，求。
数二
方程组。有无穷多解，求参数a。
选择题
数一
相似合同。矩阵与是否相似合同选择。
数二
计算证明题
数一
1）基础解系，行列式。已知的一组基础解系，若另一组解向量也是基础解系，求参数。
2）相似，行列式。由求及
数二
1）矩阵方程。已知,，,求。
2）基础解系，行列式。与数一的（1）题类似。
2002年考题类型及题要填空题
数一
正交变换相似合同。二次型经正交变换化标准形，求参数。
数二
特征值。已知数字矩阵，求非零特征值。
选择题
数一
秩与方程组。三平面相交情况的选择。
数二
线性关系。由向量组的线性表示，判别向量组的相关，无关性。
计算证明题
数一
1）线性关系及方程组。已知向量组构成及其线性关系，求的通解。
2）证明相似阵特征多项式相等，举例说明反之不真。
数二
1）证明矩阵的逆。已知，，证可逆，已知求。
2）与数学一的1）题相同。
2003年考题类型及题要填空题
数一
求两基过渡阵。求二维向量到的过渡阵。
数二
1）已知，计算，是3维列向量。
2）乘法，行列式。已知，求。
选择题
数一
1）两组向量线性关系。组可由组线性表示，由两组个数的大小，选择向量组的相关性。
2）两个方程组解关系。与解关系选与关系。
数二
与数一的1）题相同。
计算证明题
数一
1）求特征值与特征向量。已知，求的特征值特征向量。
2）方程组解，秩，行列式。证三直线交一点的充要条件。
数二
1）对角化问题：已知，求参数及矩阵。
2）与数一（2）题相同。
2004年考题类型及题要填空题
数一
矩阵方程。已知，求。
数二
与数一相同。
选择题
数一
1）初等矩阵的作用。
2）线性相关性。的行，列线性相关选择。
数二
与数一相同
计算证明题
数一
1）带参数齐次方程组解的讨论及求通解。
2）对角化。有二重特征值求参数，讨论是否可对角化。
数二
1）带参数的的解讨论，并求通解。
2）数一的2）题相同。
2005年考题类型及题要填空题
数一
矩阵行列式。，求
。
数二
（相同）
选择题
数一
1）特征值与特征向量线性无关选择。
2）初等变换初等矩阵。两行交换变为，则与关系选择。
数二
与数一相同。
计算证明题
数一
1）正交变换化二次型。
已知，求及正交变换化为标准形。
2）解方程组。已知带参数的，求通解。
数二
1）两向量组线性表示。向量组I可由向量组II线性表示，但向量组II不能由（I）表示，求参数。
2）与数学一的2）题相同。
2006年考题类型及题要填空题
数一
矩阵乘法及行列式。已知，求。
数二
（相同）
选择题
数一
1）向量组相关性。由相关，无关，选择的相关，无关性。
2）初等矩阵问题。
数二
与数一相同。
计算证明题
数一
1）解结构。由的三个无关解，证，求参数及通解。
2）特征问题。由已知对称阵的每行元素之和3，两解为，求的特征值特征向量，求正交阵，使对角阵。
数二
模拟题（一）
一、填空题
1），为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 。
[思路]
2）已知为2维列向量，矩阵，，若行列式，则 –2 。
[思路]
。
二、选择题
1）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（（A））
（A）若线性相关，则线性相关。
（B）若线性相关，则线性无关。
（C）若线性无关，则线性相关。
（D）若线性无关，则线性无关。
[思路] 由相关式
左乘得
当相关，必有不全为零的使上两式成立。故选（A）。其他选项不一定成立。
2）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得C，记，则（（B））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路]
。
三、计算证明题
1）已知非齐次方程组
有3个线性无关解。
（I）证明方程组系数矩阵的秩；
（Ⅱ）求的值及方程组的通解。
[思路] （I）设的三个无关解为则是的两个无关解。
因中有二阶子式。
（Ⅱ）由有解，且。
的通解
。
2）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是的两个解
（I）求的特征值与特征向量。
（Ⅱ）求正交矩阵和对角阵，使。
[思路] （I）由
由
为的两个无关特征向量。
（Ⅱ）把正交化，单位化，把单位化得 正交向量，
。
模拟题（二）
一、填空题
（1）三阶实对称矩阵的三个不同特征值为，对应的特征向量分别为，则对应的特征向量。
[思路] 因对称阵不同特征值对应的特征向量正交。由求出，由求出。
（2）阶方阵，且，则矩阵的秩 1 。
[思路] 由
由
二、选择题
1）设是三维向量，矩阵，则三阶行列式等于（（A））
（A）40 （B）5 （C）–40 （D）–5
[思路]
2）设是三阶方阵，将的第1列与第2列互换得，再把B的第2列加到第3列得C，则满足的可逆矩阵为（（D））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] ，对应可逆阵
。
三、计算与证明题
1）设为阶方阵的转置矩阵。
（I）证明与的特征值相同。
（Ⅱ）举例说明与的特征向量不一定相同。
（Ⅲ）若是的特征值对应的特征向量，
是的特征值对应的特征向量，
且，证明与正交。
[思路] （I）
（Ⅱ）例，则
对于，的特征向量为。
对于，的特征向量为。
（Ⅲ）
2）设二次型正负惯性指数都为1。（I）求，（Ⅱ）求曲面：，在处的切平面。
[思路] （I）（规范型）
得 ，由
（Ⅱ）求，即得切平面法矢。
模拟题（三）
一、填空题
1）满足，则。
[思路]
2）是4阶方阵，则 2 。
[思路] ，由
二、选择题
1）设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵分别为，的伴随矩阵，则（（C））
（A）交换的第1列与第2列得。
（B）交换的第1行与第2行得。
（C）交换的第1列与第2列得–。
（D）交换的第1行与第2行得–。
[思路] 设变为的初等阵为，则
即 。
2）向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（（B））。
（A）不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。
（B）不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。
（C）可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。
（D）可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。
[思路] 从可由线性表示，得
，（否则与第二条矛盾）
可由（Ⅱ）线性表示，排除（A），（D）。又假定可由（I）表示，则推得：
，与第二条件矛盾，排除（C）。
三、计算证明题
1．设向量都是非零向量，且满足，记阶矩阵，求
1）求。
2）求矩阵的特征值和特征向量。
3）证明不可对角化。
[思路]（1）
（2）。
代入，
，
解方程： 得基础解系：
。
（3）因仅有个无关特征向量，故不可对角化。
2．设为矩阵，为矩阵，且，试证明齐次方程组与的基础解系是等价的。
[思路] 与的基础解系含解向量相等，皆为。
设的基解系为
的基解系为
∵的解必是的解可由线性表示，考虑向量组
，，
∵ 线性无关，可做为一个极大无关组，故可由线性表示。这就证明两组基础解系等价。
模拟题（四）
一、填空题
1．阶方阵的秩为，则。
[思路] 。当或时。当时，，当则中有一个阶子式，故。故应填。
2．设三元二次型的秩为2，且的矩阵满足，则 –10 。（为单位阵）
[思路] 通过正交变换化为标准形为，为的三个特征值；有一个特征，又，则的特征值为。
二、选择题
1．，为阶方阵，可逆，则下面运算正确的是（（D））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 排除（A），（B），（C）。
2．设是4维非零向量组，为的伴随阵。已知方程组的基础解系为，则方程组的基础解为（（C））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 由是基础解系
的基解系中含有3个解向量（无关）。
因 的列是的解又因
相关无关。排除（A），（B），（D）选（C）。
三、计算证明题
1．设维列向量。
（I）证明存在数，使，并求。
（Ⅱ）证明相似于对角阵，并求，使。
[思路] （I） ，其中
（Ⅱ）为对称阵，可对角化
又 。特征值为或0，，则可求出， 使
2．已知，为三阶非零方阵，。为齐次线性方程组的三个解向量，且有非零解。
（I）求的值，（Ⅱ）求的通解。
[思路] （I）由为的解，知必线性相关得。
又由有非零解可由的列线性表示，也可由的前两列表示
得。
（Ⅱ） 的基解系含向量个数，又，是两无关解，故
模拟题（五）
一、填空题
1）设为三阶方阵，的基为，，向量在此基下的坐标分别为，则
11 。
[思路] 由已知，写成矩阵乘积
，
2）四阶方阵与相似，的特征值为0，1，2，3，则
24 。
[思路] 与相似，则，
的特征值。
二、选择题
1）设是齐次线性方程组的基础解系，则该方程组的基础解系还可选（（B））。
（A）。
（B）与等价的向量组。
（C）
（D）
[思路] （A），（C），（D）中4个向量都线性相关，故选（B）。
2）设，的阶矩阵，分别为，对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵（（D））
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 由（D）项成立。
另法： 得。
三、计算证明题
1）设三元非齐次线性方程组的通解为，且。
（I）求的三个特征值及特征向量。
（Ⅱ）求。
[思路] （I）记，由解的结构定理
（Ⅱ）
其中 。
2）设有向量（I）和（Ⅱ），试问：当为何值时，向量（I）与（Ⅱ）等价，当为何值时向量组（I）与（Ⅱ）不等价。
[思路] 设
（I）与（Ⅱ）等价（I）与（Ⅱ）互相线性表示首先考虑（Ⅱ）由（I）线性表示：，
即有解。
。
（1）当有唯一解，故（）可由（I）线性表示。
而可由（Ⅱ）线性表示（I）与（Ⅱ）等价。
（2）当，
，
无解，故不能由（I）线性表示。
（I）与（Ⅱ）不等价。
模拟题（六）
一、填空题
1），其中相异。
方程组的解为。
[思路] 。
2）设为阶方阵，是个线性无关列向量，，则。
[思路]
则
二、选择题
1）设三阶方阵，下面错误的结论是（（C））。
（A）与相似 （B）与等价
（C）与相似 （D）与等价
[思路] 因，故它们是等价的，排除（B），（D）项。
又因，但对重特征值，
的对应有两无关特征向量，的对应只有一个无关特征向量，而不存在使。故选（C）。
2）下面命题正确的是（（B））。
（A）阶方阵的秩，在中任取行组成，则。
（B）阶方阵的行列式，则的任意个行向量线性无关。
（C）为的方阵，，则中不存在等于零的阶子式。
（D）设为矩阵，则非齐次方程组必有非零解。
[思路] 的个行线性无关个行线性无关。
三、计算证明题
1）设，为4维列向量，，已知方程组的通解是
（I）能否由线性表示？
（Ⅱ）求，的一个极大线性无关组。
[思路] （I）由通解基解系为，相关。
假定是的解。由于是的解，则
是的解，但又已知是的解，则是的两个无关解，矛盾。故不能由线性表示。
（Ⅱ）由是的解，，为极大无关组。
2）设二次型经正交变换化为标准形，
（I）求及。
（Ⅱ）证明。
[思路] （I）
的特征值为，得–2，2，–1
。又
。
或
（Ⅱ）因
。
模拟题（七）
一、填空题
1）设4维列向量线性无关，，，则秩
= 3 。
[思路] ，
。
2），则的特征值为。
[思路] 可不必先求，设，则的特征值为的特征值为。再计算：。则的特征值为。
二、选择题
1）设是4阶方阵的三个不同特征值对应的特征向量，则取值为（（A））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 线性无关
。
2），方程组有无穷多解，则取值为（（C））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 有无穷多解，选（C）。
三、计算证明题
1．设线性方程组
有解，求所有向量。
[思路] 有解
，
解上齐次方程组。
2．设为三阶方阵，为三维线性无关列向量，且，
（1）求的全部特征值；
（2）是否可对角化。
[思路] （1）令，
，
，的特征值与的特征值皆为，且有相同特征向量。
（2）解得有两个无关特征向量，故有三个线性无关特征向量，故可对角化。
模拟题（八）
一、填空题
1）向量组线性无关，则的关系为______。
[思路] 无关
2）为三阶方阵，则可相似于最简的矩阵为______。
[思路] 设是对应特征值的特征向量，，
。
二、选择题
1）为矩阵，，则下面命题不正确是（（C））。
（A）只有零解 （B）有无穷多解
（C）有唯一解 （D）有无穷多解
[思路] 仅零解；
有无穷多解；有无穷多解。，故选（C）。
2）阶实对称阵合同于矩阵的充分必要条件是（（D））。
（A）
（B），的正惯性指数相等
（C），为正定矩阵
（D）且，的正惯性指数相等
[思路] 选（D）。，矩阵，的正惯性指数为，则存在可逆矩阵使得, 。
三、计算证明题
1．为阶实对称阵，，且
1）证明相似于对角阵，求出此对角阵。
2）计算行列式
[思路] （1）实对称阵必相似对角阵，
特征值为或0，又，故有
（2）
2．设4阶方阵，为的伴随阵
1）证明有无穷多解。
2）求的一个基础解系
[思路] 1）由
有无穷多解。
2）的列是的解，，的基础解系含有三个无关的解向量的任三个无关列是的基础解系。
模拟题（九）
一、填空题
1．设其中是2阶单位矩阵，是的转置，，则=_______。
[思路] 方程组代简，
2．二次型
是正定的，则 。
[思路] 正定是 仅零解，
。得
。
二、选择题
1．设阶方阵，
。
记向量组I：，Ⅱ：，Ⅲ：，如果向量组Ⅲ线性相关，则（（D））。
（A）向量组I线性相关。
（B）向量组Ⅱ线性无关。
（C）向量组I与Ⅱ都线性相关。
（D）向量组I与Ⅱ至少有一个线性相关。
[思路] 因Ⅲ线性相关，或，，至少有一个不可逆，即（I）与（Ⅱ）至少有一个相关。
2．设为矩阵，为矩阵，要使与为同解方程组的充分条件是（（B））。
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 显然的解也是的解。要使的解也是的解，即从推出，只有仅零解，故选（B）。
三、计算证明题
1．设矩阵，求的特征值与特征向量。
[思路] 求出
求 ， 得
，。
2．1）设三维列向量线性无关，线性无关，证明存在非零向量，使得既可由线性表示，又可由线性表示。
2）当，时，求所有既可由线性表示，又可由线性表示的向量。
[思路] 1）因四个三维向量相关，有不全为零，使成立，
即： 成立，
即：不全为零（否则推出）
令
2）有，
解约 ，即有一组，。
模拟题（十）
一、填空题
1．已知三阶矩阵满足，则=_________。
[思路]
。
2．三阶矩阵为的伴随矩阵，则与的关系为。
[思路] ，
。
二、选择题
1．阶矩阵经初等行变换化为，下面结论错误的是（（C））。
（A）与等价
（B）齐次方程组与同解
（C）与的特征值相同
（D）的行向量与的行向量等价
[思路] 行变换化为，即存在可逆阵，使，。故与等价，（A），（B），（D）正确，而等价方阵的特征值不一定相等，故选（（C））。
2．设为满足的任意两个非零矩阵，则必有（（A））。
（A）的列向量线性相关，的行向量线性相关。
（B）的列向量线性相关，的列向量线性相关。
（C）的行向量线性相关，的行向量线性相关。
（D）的行向量线性相关，的列向量线性相关。
[思路] 因，又，有的列相关，的行相关。
三、计算证明题
1．设矩阵，已知方程组有解但不惟一，试求
1）的值。
2）求正交矩阵，使为对角阵。
[思路] 1）有解不惟一
2）
分别对应的特征向量为，（已正交）
单位化为正交阵，。
2．设，为4阶方阵，满足，且行列式，
（1）求的特征值。
（2）证明可对角化。
（3）计算？
[思路] （1）由 ，
由 可见
的列是的解，因，故中有两个无关列是的解，故有，且。
（2）对应有4个线性无关特征向量，，，故可对角化。
（3）的特征值为，即,
。
模拟题（十一）
一、填空题
1．为正定，而为负定，则_______。
[思路] 由正定得 ，由负定得，故得。
2．3阶方阵与相似，E为3阶单位阵，，，且齐次方程有非零解，则与相似的对角阵为_______。
[思路] ，，，与相似，有相同特征值，。
二、选择题
1．设，
其中可逆，则等于（（C））
（A） （B）
（C） （D）
[思路] 因是的第2列与第3列对换，第1列与第4列得到的，即。故选（C）。
2．设向量组是向量组，的一个极大线性无关组，记矩阵，则非齐次线性方程组 （（B））。
（A）必无解。
（B）必有解，且解唯一。
（C）必有解，且有无穷多组解。
（D）不能确定，可能有解，可能无解。
[思路] ，由条件知必可由线性表示，
有唯一解。选（B）。
三、计算证明题
1．设3阶方阵的每一行之和为4，矩阵，且，
（I）求的特征值及特征向量；
（Ⅱ）求矩阵。
[思路] （I）因。
因 ，
。
（Ⅱ） 线性无关，故可对角化
。
其中 。
2．已知二次型，通过正交变换化为标准形
（I）求及正交变换
（Ⅱ）求在条件下的最大，最小值。
[思路] （I）由于矩阵相似于，求出。
由求出对应的特征向量。
。
正交化单位化得标准正交组，构成正交阵。
（Ⅱ）
。
模拟题（十二）
一、填空题
1．相似于对角矩阵，则与的关系为= 0。
[思路] 由可对角化，则的二重特征值对应两个线性无关的特征向量。因，对于,。
2．向量组所生成的向量空间维数是2，则 3 。
[思路] 的维数为2，则空间的基含两个无关的向量（即极大无关向量只有两个），从而线性相关。
二、选择题
1．设任两个维向量组和若有两组不全为零的数和使
，则有（（D））。
（A）和 都线性相关。
（B）和 都线性无关。
（C），线性无关。
（D），线性相关。
[思路] 已知式变形为：
因 不全为零，故推出线性相关。
2．为阶实对称矩阵，则以下结论正确为（（B））。
（A）对所有维向量，都有。
（B）必存在维向量，使得。
（C）对所有维向量，都有。
（D）对所有维向量，都有。
[思路] 必有一个特征值小于0（设）。存在正交变换，使
，取
，即有
使 。
三、计算证明题
1．设阶方阵的个列向量为，设阶方阵的个列向量，试问，当时，方程组是否有非零解，证明你的结论。
[思路]
。
当
2．设为三阶实对称矩阵，且存在可逆阵，使得，又的伴随阵有特征值，所对应的特征值为。
（I）求的值，（Ⅱ）求，的值，计算，（Ⅲ）计算，为单位阵。
[思路] 设
。
∵ 为实对称不同特征值对应特征向量正交
（I），与的特征向量相同，
的特征值
（Ⅱ），
（Ⅲ）的特征值为，
的特征值为
。
