隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
)(0),( xyyyxF 确定了一元隐函数设得代入将 0),()( yxFxyy 0)](,[ xyxFu
0?dxdu则两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时
)]([ yfdxd要求的是 )( yfz?记
xyz
dx
dy
dy
dz
dx
dz
dx
dyyf )(
将求出的这些导数代入 0?dxdu
得到关于 dxdy 的代数方程，
即为所求解得 ),( yxgdxdy?
至于隐函数求二阶导数，与上同理求导两边再对在 xyxgdxdy ),(?
),,(2
2
yyxGdx yd 代入再将 ),( yxgdxdy?
例 1,,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
,1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
,1,0 yx代入 得41
1
0
y
xy,16
1
1
0
y
xy
补证反函数的求导法则为其反函数为直接函数，设 )()( xfyyx
隐函数确定的一个可视为由方程 0)()( yxxfy?
由隐函数的微分法则求导得两边对方程 xyx )(
dx
dyy )(1?
)(
1
ydx
dy
例 4 2
2
22,,lna r c t a n
dx
yd
dx
dyyx
x
y 求设
解 求导得方程两边对 x )(1
1
1 22
222
yx
yxx
y
x
y
2222222
2
2
221
yx
yyx
yxx
yxy
yx
x
yyxyxy
yx
yx
dx
dy
yx
yx
dx
d
dx
yd
2
2
2)(
)1)(())(1(
yx
yyxyxy
2)(
22
yx
yyx
3)(
)()(2
yx
yxyyxx
3
22
)(
)(2
yx
yx
例 5 求证抛物线 ayx 上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于 a
证 求导得两边对方程 xayx
02 12 1 dxdyyx
x
y
dx
dy
故曲线上任一点 ),( 00 yx 处切线的斜率为
0xxdx
dyk
0
0
x
y
切线方程为 )( 0
0
0
0 xxx
yyy
000000 xyyxxyyx
000000 xyyxxyyx
)( 0000 yxyx 00 yxa?
1
00
ya yxa x
故在两坐标轴上的截距之和为
)( 0000 yxayaxaa?
二、对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,—— 目的是利用对数的性质简化求导运算。
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、
xvxu
例 6,,)4(
1)1(
2
3
yex xxy x 求设解 等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
例 7 的导数求 )4)(3(
)2)(1(
xx
xxy
解 这函数的定义域
1,32,4 xxx
4?x若 两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy
两边对 x 求导得
]41312111[211 xxxxyy
]31312111[2 xxxxyy
1?x若 )4)(3( )2)(1( xx xxy 两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy
两边对 x 求导得
]4 13 12 11 1[211 xxxxyy
]31312111[2 xxxxyy
同理 32 x若
]31312111[2 xxxxyy
例 8 dx
dyyx xy 求设?
解 两边取对数得
yxxy lnln? 两边对 x 求导得
yyxyxyxy 1ln1ln
2
2
ln
ln
xxxy
yyxyy
例 9 dx
dyaxaxaxy na
n
aa 求设 )()()( 21
21
解 两边取对数得
)l n ()l n ()l n (ln 2211 nn axaaxaaxay
两边对 x 求导得
n
n
ax
a
ax
a
ax
ay
y2
2
1
11
][
2
2
1
1
n
n
ax
a
ax
a
ax
ayy
例 10,),0(s i n yxxy x 求设解 等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1
)1s inln( co s xxxxyy
)s inln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt? 消去参数
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
问题,消参困难或无法消参如何求导?
,)( )( 中在方程
ty
tx
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy —— 参量函数
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,)( )( 二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
容易漏掉
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
即例 11 处的切线在求摆线 2)c o s1(
)s i n(
t
tay
ttax
.方程解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
taa
ta
co s
s i n
t
t
c o s1
s i n
2
co s1
2
s i n
2
tdx
dy
.1?
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 12 32
2 2
,11 ydx ydyxdxdyty tx
证明设证
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
12
1
12
1
t
t
1
1
y
x
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd? )(
y
x
dx
d
2y
yxy
2y
y
x
y?
3
22
y
yx
3
2
y )2(
22 yx
例 13 设曲线 Γ由极坐标方程 r=r(θ)所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点 处的切线的直角坐标方程?er? )2,( 2?
e
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
s i n)(
co s)(
ry
rx
d
dx
d
dy
dx
dy
s i n)(co s)(
co s)(s i n)(
rr
rr
时当?er?
s i nc o s
c o ss i n
)s i n( c o s
)c o s( s in
e
e
dx
dy
时当 2 切线斜率为 1
2
dx
dyk
),0()2,( 22
eeer 所对应的直角坐标为上点而?
故切线的直角坐标方程为
)0(2 xey
2
eyx即例 14
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
解
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
t
t
x
y
o
0v
v
xv
yv
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
c o s
s i n
0
0
v
gtv
.co ss i n
0
00
0?
v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
00 s i n gtv
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 15
,20
,120,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以解
060 则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV?
求导得上式两边对 t dt
dhh
dt
dV 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?,20 米时当 h
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
t
y
x
)0)(( t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
,对吗？
思考题解答不对．
xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt
t
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
)(0),( xyyyxF 确定了一元隐函数设得代入将 0),()( yxFxyy 0)](,[ xyxFu
0?dxdu则两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时
)]([ yfdxd要求的是 )( yfz?记
xyz
dx
dy
dy
dz
dx
dz
dx
dyyf )(
将求出的这些导数代入 0?dxdu
得到关于 dxdy 的代数方程，
即为所求解得 ),( yxgdxdy?
至于隐函数求二阶导数，与上同理求导两边再对在 xyxgdxdy ),(?
),,(2
2
yyxGdx yd 代入再将 ),( yxgdxdy?
例 1,,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
,1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
,1,0 yx代入 得41
1
0
y
xy,16
1
1
0
y
xy
补证反函数的求导法则为其反函数为直接函数，设 )()( xfyyx
隐函数确定的一个可视为由方程 0)()( yxxfy?
由隐函数的微分法则求导得两边对方程 xyx )(
dx
dyy )(1?
)(
1
ydx
dy
例 4 2
2
22,,lna r c t a n
dx
yd
dx
dyyx
x
y 求设
解 求导得方程两边对 x )(1
1
1 22
222
yx
yxx
y
x
y
2222222
2
2
221
yx
yyx
yxx
yxy
yx
x
yyxyxy
yx
yx
dx
dy
yx
yx
dx
d
dx
yd
2
2
2)(
)1)(())(1(
yx
yyxyxy
2)(
22
yx
yyx
3)(
)()(2
yx
yxyyxx
3
22
)(
)(2
yx
yx
例 5 求证抛物线 ayx 上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于 a
证 求导得两边对方程 xayx
02 12 1 dxdyyx
x
y
dx
dy
故曲线上任一点 ),( 00 yx 处切线的斜率为
0xxdx
dyk
0
0
x
y
切线方程为 )( 0
0
0
0 xxx
yyy
000000 xyyxxyyx
000000 xyyxxyyx
)( 0000 yxyx 00 yxa?
1
00
ya yxa x
故在两坐标轴上的截距之和为
)( 0000 yxayaxaa?
二、对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,—— 目的是利用对数的性质简化求导运算。
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、
xvxu
例 6,,)4(
1)1(
2
3
yex xxy x 求设解 等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
例 7 的导数求 )4)(3(
)2)(1(
xx
xxy
解 这函数的定义域
1,32,4 xxx
4?x若 两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy
两边对 x 求导得
]41312111[211 xxxxyy
]31312111[2 xxxxyy
1?x若 )4)(3( )2)(1( xx xxy 两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy
两边对 x 求导得
]4 13 12 11 1[211 xxxxyy
]31312111[2 xxxxyy
同理 32 x若
]31312111[2 xxxxyy
例 8 dx
dyyx xy 求设?
解 两边取对数得
yxxy lnln? 两边对 x 求导得
yyxyxyxy 1ln1ln
2
2
ln
ln
xxxy
yyxyy
例 9 dx
dyaxaxaxy na
n
aa 求设 )()()( 21
21
解 两边取对数得
)l n ()l n ()l n (ln 2211 nn axaaxaaxay
两边对 x 求导得
n
n
ax
a
ax
a
ax
ay
y2
2
1
11
][
2
2
1
1
n
n
ax
a
ax
a
ax
ayy
例 10,),0(s i n yxxy x 求设解 等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1
)1s inln( co s xxxxyy
)s inln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt? 消去参数
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
问题,消参困难或无法消参如何求导?
,)( )( 中在方程
ty
tx
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy —— 参量函数
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,)( )( 二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
容易漏掉
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
即例 11 处的切线在求摆线 2)c o s1(
)s i n(
t
tay
ttax
.方程解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
taa
ta
co s
s i n
t
t
c o s1
s i n
2
co s1
2
s i n
2
tdx
dy
.1?
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 12 32
2 2
,11 ydx ydyxdxdyty tx
证明设证
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
12
1
12
1
t
t
1
1
y
x
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd? )(
y
x
dx
d
2y
yxy
2y
y
x
y?
3
22
y
yx
3
2
y )2(
22 yx
例 13 设曲线 Γ由极坐标方程 r=r(θ)所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点 处的切线的直角坐标方程?er? )2,( 2?
e
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
s i n)(
co s)(
ry
rx
d
dx
d
dy
dx
dy
s i n)(co s)(
co s)(s i n)(
rr
rr
时当?er?
s i nc o s
c o ss i n
)s i n( c o s
)c o s( s in
e
e
dx
dy
时当 2 切线斜率为 1
2
dx
dyk
),0()2,( 22
eeer 所对应的直角坐标为上点而?
故切线的直角坐标方程为
)0(2 xey
2
eyx即例 14
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
解
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
t
t
x
y
o
0v
v
xv
yv
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
c o s
s i n
0
0
v
gtv
.co ss i n
0
00
0?
v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
00 s i n gtv
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 15
,20
,120,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以解
060 则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
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求导得上式两边对 t dt
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dV 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?,20 米时当 h
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
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可知
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思考题解答不对．
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