机械优化设计机电工程学院学习参考书
[1] 孙靖民,机械优化设计,北京：机械工业出版社,2002
[2] 陈立周,机械优化设计方法,北京：冶金工业出版社,1997
[3] 刘惟信,机械最优化设计,北京：清华大学出版社,1994
第一章 优化设计的基本概念
§ 1-1 绪论
§ 1-2 优化设计问题的示例
§ 1-3 优化设计的数学模型
§ 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化是万物演化的自然选择和必然趋势 。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。
而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。 优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计 。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或,自动探索,方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。
§ 1-1 绪论
1.优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。
（ 1）来源：优化一语来自英文 Optimization,其本意是寻优的过程；
（ 2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以 max
表示 )或极小 (以 min表示 )的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；
（ 3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。
机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，
借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
优化设计流程常规设计流程
2.优化设计的发展概况历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（ Euclid,公元前 300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪 微积分 的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了 变分法 。
直到 20世纪 40年代初，由于军事上的需要产生了 运筹学,
并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。
50年代末 数学规划方法 被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。
近十几年来,最优化设计方法已陆续用到建筑结构,化工,
冶金,铁路,航天航空,造船,机床,汽车,自动控制系统,
电力系统以及电机,电器等工程设计领域,并取得了显著效果 。
其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段,但也已经取得了丰硕的成果 。 一般说来,对于工程设计问题,所涉及的因素愈多,问题愈复杂,最优化设计结果所取得的效益就愈大 。
最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是 6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。
第一阶段 人类智能优化,与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。
随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形 成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支
第二阶段 数学规划方法优化,从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。
第三阶段 工程优化,近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。
第四阶段 现代优化方法,如遗传算法,模拟退火算法、
蚁群算法,神经网络算法等，并 采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。
机械优化设计应用 实例美国波音飞机公司对大型机翼用 138个设计变量进行结构优化,使重量减少了三分之一；大型运输舰用 10个变量进行优化设计,使成本降低约 10%。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，
尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。
基础,（ 1） 最优化数学理论
（ 2）现代计算技术内容：（ 1） 将工程实际问题数学化；
（建立优化设计数学模型）
（ 2）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
3,本课程的任务该课程的主要 目的和任务,
① 了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；
② 扩大视野,并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质 。
§ 1-2 优化设计问题的示例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。
优化设计包括：
（ 1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；
（ 2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。
已知：制造一体积为 100m3,长度不小于 5m,不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长 x1,宽 x2,高 x3，
使箱盒用料最省。
分析：
（ 1）箱盒的表面积的表达式；
（ 2）设计参数确定：长 x1,宽 x2,高 x3；
（ 3）设计约束条件：
（ a）体积要求；
（ b）长度要求； x
1
x2
x3
箱盒的优化设计数学模型
1 2 3,,x x x
1 2 2 3 1 3m i n 2 ( )S x x x x x x
1
2
3
1 2 3
5
0
0
100
x
x
x
x x x
设计参数：
设计目标：
约束条件：
某工厂生产 A 和 B 两种产品,A 产品单位价格为 PA万元,B 产品单位价格为 PB万元。每生产一个单位 A 产品需消耗煤 aC吨，电 aE 度，人工 aL个人日；每生产一个单位 B 产品需消耗煤 bC 吨，电 bE度，人工 bL 个人日。现有可利用生产资源煤 C 吨，电 E 度，劳动力 L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。
分析：
（ 1）产值的表达式；
（ 2）设计参数确定,A 产品 xA,B 产品 xB ；
（ 3）设计约束条件：
（ a）生产资源煤约束；
（ b）生产资源电约束；
（ b）生产资源劳动力约束；
最大产值生产资源分配问题数学模型
,ABxx
m a x A A B BP P x P xC A C B
E A E B
L A L B
a x b x C
a x b x E
a x b x L
设计参数：
设计目标：
约束条件：
已知：传动比 i,转速 n,传动功率 P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。
分析：
（ 1）圆柱齿轮的体积 (v)与重量 (w)的表达；
（ 2）设计参数确定：模数（ m），齿宽（ b），齿数（ z1）；
（ 3）设计约束条件：
（ a）大齿轮满足弯曲强度要求；
（ b）小齿轮满足弯曲强度要求；
（ c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；
（ d） 齿宽系数要求；
（ e） 最小齿数要求。
直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型
1,,m z b
22
11m i n [ ( ) ( ) ]4W b m z m i z
11
22
1
1
1
[ ] 0
[ ] 0
[ ] 0
1.2 0
17 0
FF
FF
HH
b mz
z
设计参数：
设计目标：
约束条件：
§ 1-3 优化设计的数学模型
1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，
还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、
变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如 n个设计变量，
则称为 n维设计问题。
1
2
12
[,,,]
T
n
n
x
x
x x x
x
x
由 n个设计变量 为坐标所组成的实空间称作 设计空间 。一个,设计,,可用设计空间中的一点表示。
12,,,nx x x
按照产品设计变量的取值特点,设计变量 可分为连续变量
（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
图 1-1 设计变量所组成的设计空间
（ a） 二维设计问题 （ b） 三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图 1-1（ a） 所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图 1-1（ b） 所表示的空间直角坐标表示 。
设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。
小型设计问题：一般含有 2—10个设计变量；
中型设计问题,10—50个设计变量；
大型设计问题,50个以上的设计变量。
目前已能解决 200个设计变量的大型最优化设计问题。
如何选定设计变量？
任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。
变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：
（ 1）抓主要，舍次要。
对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。
（ 2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有 4个，即钢丝直径
d,弹簧中径 D,工作圈数 n和自由高度 H。 在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量 Ｇ 等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径 D作为设计常量。
2.约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，
就称为可行设计。
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。
约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：
(1)等式约束
(2)不等式约束
( ) 0h?x
( ) 0g?x
显式约束 隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。
根据约束的性质可以把它们区分成,
性能约束 —— 针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求 ；
边界约束 —— 只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作 边界 约束。例如，允许 机床主轴 选择的尺寸范围，对 轴段长度 的限定范围就属于 边界 约束。
图 1-2 设计空间中的约束面（或约束线）
(a)二变量设计空间中的约束线 (b) 三变量设计空间中的约束面如图 1-3上画出了满足两项约束条件 g1（ X） =x12＋ x22—16 ≤ O 和 g2
（ X）＝ 2—X2≤0 的二维设计问题的可行域 D,它位于 X2=2的上面和圆 x12＋ x22=16的圆弧 ABC下面并包括线段 AC和圆弧 ABC在内。
图 1-3 约束条件规定的可行域 D
可行域,在设计空间中，满足 所有约束条件的 所构成的空间 。
3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向 F(X)值改善的方向自动调整，最后求得 F(X)值最好或最满意的 X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在目标函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：
体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。
12( ) ( )nF x F x x x?,,,
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以 F(X)表示。
在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。
在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。
目标函数等值（线）面
()Fc?x
目标函数是 n维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1维空间中描述出来。为了在 n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
目标函数的等值面（线）数学表达式为：
c为一系列常数，代表一族 n维超曲面。如在二维设计空间中,F(x1,x2)=c 代表 x-x设计平面上的一族曲线。
对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
图 1-4 等值线图 1-4表示目标函数 f（ X） 与两个设计变量 x1,x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。
从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中
F=40的等值线就是使 F(x1,x2)=40的各点 [x1,x2]T所组成的连线。
如图函数的等值线图。
221 2 1 2 1 2 1 2(,) 6 0 1 0 4F x x x x x x x x
图 1-5 等值线
4,优化设计问题一般数学形式：
满足约束条件,
12[,,,] TnX x x x?
( ) m inFX?
( ) 0 ( 1,2,,)kh X k l
( ) 0 ( 1,2,,)jg X j m
12
m in ( ) ( ),
.,( ) 0 1,2,,
( ) 0 1,2,,
n
n
j
k
F X F x x x X R
s t g X j m
h X k l
，,,
求设计变量向量使目标函数对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。
最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值 。 若目标函数的最优点为可行域中的最大值时,则可看成是求
［ -F（ X）］ 的最小值,因为 min［ -F（ X）］ 与 maxF（ X）
是等价的 。 当然,也可看成是求 1／ F（ X） 的极小值 。
5,建模实例
1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。
2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。
3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，
有时要构造多目标函数。
4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。
建立优化设计问题的数学模型一般步骤：
配料每磅配料中的营养含量钙 蛋白质 纤维 每磅成本（元）
石灰石谷物大豆粉
0.380 0.00 0.00
0.001 0.09 0.02
0.002 0.50 0.08
0.0164
0.0463
0.1250
以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为 100磅，这份饲料必须含：至少 0.8%
而不超过 1.2%的钙 ;至少 22%的蛋白质 ;至多 5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：
混合饲料配合
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
23
23
1 2 3
m in 0.0 164 0.0 463 0.1 250
.,100
0.3 80 0.0 01 0.0 02 0.0 12 100
0.3 80 0.0 01 0.0 02 0.0 08 100
0.0 9 0.5 0 0.2 2 100
0.0 2 0.0 8 0.0 5 100
0 0 0
Z x x x
s t x x x
x x x
x x x
xx
xx
x x x
解,根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下,
设 是生产 100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
大豆粉的量（磅）。
321 xxx
6,优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：
还有其它的一些划分方法：
如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；
二次规划、几何规划、随机规划等。
约束无约束动态问题非线性规划线性规划约束问题维问题一维问题非线性问题线性问题无约束问题静态问题最优化问题
n
22
1 2 1
1 1 2
2
2 1 2
31
42
m in ( ) 4 4
s,t,( ) 2 0
( ) 1 0
( ) 0
( ) 0
F x x x
g x x
g x x
gx
gx
x
x
x
x
x
例 1：如下二维非线性规划问题一、几何解释
§ 1-4 优化问题的几何解释和基本解法通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。
22
1 2 1
1 1 2
2
2 1 2
31
42
m in ( ) 4 4
s,t,( ) 2 0
( ) 1 0
( ) 0
( ) 0
F x x x
g x x
g x x
gx
gx
x
x
x
x
x
目标函数等值线是以点（ 2,0）为圆心的一组同心圆。
如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
* (2,0)?x
，
*( ) 0F?x
约束方程所围成的可行域是 D。
0 1 2 3 4-1
f ( x )=3,8
2
1
x
1
x
2
D
A
x * =[0,58,1.34]
T
g
1
( x )=0
g
3
( x )=0
g
2
(x) =0
g
4
( x )=0
图 1-9
22
12
12
m in 2 1
.,5 0 st
xx
xx
由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为,对应的最优值为
(见图）
* 3,2 TX?
2fX
x2
x1
2f?
1f? O
用图解法求解例 2：
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。
1
22
12
2
1 2 2
12
2
m in 2 1
,5 0
50
,0
xx
s tx x x
xx
xx
解：①先画出等式约束曲线 的图形。
这是一条抛物线，如图
05 2221 xxx
例 3：
②再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）
③最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，
x1
x2
1?2?3?4?5?6
1
3
5
A B
C
D
以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段 ABCD。 当动点沿抛物曲线段 ABCD由 A点出发时,AB段目标函数值下降。过点 B后，在 BC段目标函数值上升。过 C点后，在 CD段目标函数值再次下降。 D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：
2
1 2 2
12
50
50
x x x
xx
( 4 1 ) TX, 4fX得出：
x1
x2
1?2?3?4?5?6
1
3
5
A B
C
D
由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，
已不便在平面上作图，此法失效。
在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是 {X| f(X)=C,C是常数 }称为目标函数的等值面。
等值面具有以下性质：
（ 1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；
（ 2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，
而稀疏的地方变化得比较慢；
（ 3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。
求解优化问题的基本解法有：
二、基本解法解析法数值解法解析法,即利用数学分析 (微分,变分等 ） 的方法,根据函数 （ 泛函 ） 极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的 求解方法 。 在目标函数比较简单时,求解还可以 。
局限性,工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。
最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的,数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点,因为数值计算的迭代方法具有以下特点：
1） 是数值计算而不是数学分析方法；
2） 具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；
3） 最后得出的是逼近精确解的近似解 。
这些特点正与计算机的工作特点相一致 。
数值解法,这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、
最优步长的确定等。
数值迭代法的 基本思路,是进行反复的数值计算，寻求 目标 函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的 最优点 。 这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：
1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点 X（ 0）,从 X（ 0）
出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到 X（ 1） 点；
2）得到新点 X（ 1） 后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从 X（ 1） 点出发再跨出一步，达到 X（ 2） 点
，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。
1.求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为,1
1( ) ( )
k k k
k
kk
S
FF
k = 0,1,2,
xx
xx
图 1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图上式中,Xk——第 k步迭代计算所得到的点,称第 k步迭代点,
亦为第 k步设计方案；
α k——第 k步迭代计算的步长；
Sk——第 k步迭代计算的探索方向 。
用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图 1-11所示 。
运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：
1( ) ( )kkFFxx
1k k kk Sxx
（ 1）选择搜索方向
（ 2）确定步长因子
（ 3）给定收敛准则
*l im k
kxx
收敛：
迭代法要解决的问题：
2.迭代终止准则
1 1kkxx
（ 1）点距准则
1 2kkiixx
或
f
fk
fk+1
f*
xko xk+1 x* x
(a)
1 3( ) ( )kkFFxx
（ 2） 函数值下降量 准则
1
4
( ) ( )
()
kk
k
FF
F
xx
x或
xo
f
fk
fk+1f*
xk xk+1 x*
(b)
（ 3）目标函数梯度 准则
5()kFx
251 0 ~ 1 0 ( 1,,5 )i i
上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。
采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：
否是问题分析建立数学模型选择优化方法编写计算机程序准备初始数据，上机计算确定最优设计方案方案评价与决策图 1-12 优化设计流程三、优化设计一般步骤
[1] 孙靖民,机械优化设计,北京：机械工业出版社,2002
[2] 陈立周,机械优化设计方法,北京：冶金工业出版社,1997
[3] 刘惟信,机械最优化设计,北京：清华大学出版社,1994
第一章 优化设计的基本概念
§ 1-1 绪论
§ 1-2 优化设计问题的示例
§ 1-3 优化设计的数学模型
§ 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化是万物演化的自然选择和必然趋势 。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。
而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。 优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计 。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或,自动探索,方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。
§ 1-1 绪论
1.优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。
（ 1）来源：优化一语来自英文 Optimization,其本意是寻优的过程；
（ 2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以 max
表示 )或极小 (以 min表示 )的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；
（ 3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。
机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，
借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
优化设计流程常规设计流程
2.优化设计的发展概况历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（ Euclid,公元前 300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪 微积分 的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了 变分法 。
直到 20世纪 40年代初，由于军事上的需要产生了 运筹学,
并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。
50年代末 数学规划方法 被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。
近十几年来,最优化设计方法已陆续用到建筑结构,化工,
冶金,铁路,航天航空,造船,机床,汽车,自动控制系统,
电力系统以及电机,电器等工程设计领域,并取得了显著效果 。
其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段,但也已经取得了丰硕的成果 。 一般说来,对于工程设计问题,所涉及的因素愈多,问题愈复杂,最优化设计结果所取得的效益就愈大 。
最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是 6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。
第一阶段 人类智能优化,与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。
随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形 成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支
第二阶段 数学规划方法优化,从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。
第三阶段 工程优化,近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。
第四阶段 现代优化方法,如遗传算法,模拟退火算法、
蚁群算法,神经网络算法等，并 采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。
机械优化设计应用 实例美国波音飞机公司对大型机翼用 138个设计变量进行结构优化,使重量减少了三分之一；大型运输舰用 10个变量进行优化设计,使成本降低约 10%。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，
尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。
基础,（ 1） 最优化数学理论
（ 2）现代计算技术内容：（ 1） 将工程实际问题数学化；
（建立优化设计数学模型）
（ 2）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
3,本课程的任务该课程的主要 目的和任务,
① 了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；
② 扩大视野,并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质 。
§ 1-2 优化设计问题的示例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。
优化设计包括：
（ 1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；
（ 2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。
已知：制造一体积为 100m3,长度不小于 5m,不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长 x1,宽 x2,高 x3，
使箱盒用料最省。
分析：
（ 1）箱盒的表面积的表达式；
（ 2）设计参数确定：长 x1,宽 x2,高 x3；
（ 3）设计约束条件：
（ a）体积要求；
（ b）长度要求； x
1
x2
x3
箱盒的优化设计数学模型
1 2 3,,x x x
1 2 2 3 1 3m i n 2 ( )S x x x x x x
1
2
3
1 2 3
5
0
0
100
x
x
x
x x x
设计参数：
设计目标：
约束条件：
某工厂生产 A 和 B 两种产品,A 产品单位价格为 PA万元,B 产品单位价格为 PB万元。每生产一个单位 A 产品需消耗煤 aC吨，电 aE 度，人工 aL个人日；每生产一个单位 B 产品需消耗煤 bC 吨，电 bE度，人工 bL 个人日。现有可利用生产资源煤 C 吨，电 E 度，劳动力 L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。
分析：
（ 1）产值的表达式；
（ 2）设计参数确定,A 产品 xA,B 产品 xB ；
（ 3）设计约束条件：
（ a）生产资源煤约束；
（ b）生产资源电约束；
（ b）生产资源劳动力约束；
最大产值生产资源分配问题数学模型
,ABxx
m a x A A B BP P x P xC A C B
E A E B
L A L B
a x b x C
a x b x E
a x b x L
设计参数：
设计目标：
约束条件：
已知：传动比 i,转速 n,传动功率 P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。
分析：
（ 1）圆柱齿轮的体积 (v)与重量 (w)的表达；
（ 2）设计参数确定：模数（ m），齿宽（ b），齿数（ z1）；
（ 3）设计约束条件：
（ a）大齿轮满足弯曲强度要求；
（ b）小齿轮满足弯曲强度要求；
（ c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；
（ d） 齿宽系数要求；
（ e） 最小齿数要求。
直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型
1,,m z b
22
11m i n [ ( ) ( ) ]4W b m z m i z
11
22
1
1
1
[ ] 0
[ ] 0
[ ] 0
1.2 0
17 0
FF
FF
HH
b mz
z
设计参数：
设计目标：
约束条件：
§ 1-3 优化设计的数学模型
1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，
还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、
变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如 n个设计变量，
则称为 n维设计问题。
1
2
12
[,,,]
T
n
n
x
x
x x x
x
x
由 n个设计变量 为坐标所组成的实空间称作 设计空间 。一个,设计,,可用设计空间中的一点表示。
12,,,nx x x
按照产品设计变量的取值特点,设计变量 可分为连续变量
（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
图 1-1 设计变量所组成的设计空间
（ a） 二维设计问题 （ b） 三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图 1-1（ a） 所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图 1-1（ b） 所表示的空间直角坐标表示 。
设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。
小型设计问题：一般含有 2—10个设计变量；
中型设计问题,10—50个设计变量；
大型设计问题,50个以上的设计变量。
目前已能解决 200个设计变量的大型最优化设计问题。
如何选定设计变量？
任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。
变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：
（ 1）抓主要，舍次要。
对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。
（ 2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有 4个，即钢丝直径
d,弹簧中径 D,工作圈数 n和自由高度 H。 在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量 Ｇ 等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径 D作为设计常量。
2.约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，
就称为可行设计。
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。
约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：
(1)等式约束
(2)不等式约束
( ) 0h?x
( ) 0g?x
显式约束 隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。
根据约束的性质可以把它们区分成,
性能约束 —— 针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求 ；
边界约束 —— 只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作 边界 约束。例如，允许 机床主轴 选择的尺寸范围，对 轴段长度 的限定范围就属于 边界 约束。
图 1-2 设计空间中的约束面（或约束线）
(a)二变量设计空间中的约束线 (b) 三变量设计空间中的约束面如图 1-3上画出了满足两项约束条件 g1（ X） =x12＋ x22—16 ≤ O 和 g2
（ X）＝ 2—X2≤0 的二维设计问题的可行域 D,它位于 X2=2的上面和圆 x12＋ x22=16的圆弧 ABC下面并包括线段 AC和圆弧 ABC在内。
图 1-3 约束条件规定的可行域 D
可行域,在设计空间中，满足 所有约束条件的 所构成的空间 。
3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向 F(X)值改善的方向自动调整，最后求得 F(X)值最好或最满意的 X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在目标函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：
体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。
12( ) ( )nF x F x x x?,,,
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以 F(X)表示。
在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。
在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。
目标函数等值（线）面
()Fc?x
目标函数是 n维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1维空间中描述出来。为了在 n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
目标函数的等值面（线）数学表达式为：
c为一系列常数，代表一族 n维超曲面。如在二维设计空间中,F(x1,x2)=c 代表 x-x设计平面上的一族曲线。
对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
图 1-4 等值线图 1-4表示目标函数 f（ X） 与两个设计变量 x1,x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。
从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中
F=40的等值线就是使 F(x1,x2)=40的各点 [x1,x2]T所组成的连线。
如图函数的等值线图。
221 2 1 2 1 2 1 2(,) 6 0 1 0 4F x x x x x x x x
图 1-5 等值线
4,优化设计问题一般数学形式：
满足约束条件,
12[,,,] TnX x x x?
( ) m inFX?
( ) 0 ( 1,2,,)kh X k l
( ) 0 ( 1,2,,)jg X j m
12
m in ( ) ( ),
.,( ) 0 1,2,,
( ) 0 1,2,,
n
n
j
k
F X F x x x X R
s t g X j m
h X k l
，,,
求设计变量向量使目标函数对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。
最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值 。 若目标函数的最优点为可行域中的最大值时,则可看成是求
［ -F（ X）］ 的最小值,因为 min［ -F（ X）］ 与 maxF（ X）
是等价的 。 当然,也可看成是求 1／ F（ X） 的极小值 。
5,建模实例
1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。
2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。
3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，
有时要构造多目标函数。
4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。
建立优化设计问题的数学模型一般步骤：
配料每磅配料中的营养含量钙 蛋白质 纤维 每磅成本（元）
石灰石谷物大豆粉
0.380 0.00 0.00
0.001 0.09 0.02
0.002 0.50 0.08
0.0164
0.0463
0.1250
以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为 100磅，这份饲料必须含：至少 0.8%
而不超过 1.2%的钙 ;至少 22%的蛋白质 ;至多 5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：
混合饲料配合
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
23
23
1 2 3
m in 0.0 164 0.0 463 0.1 250
.,100
0.3 80 0.0 01 0.0 02 0.0 12 100
0.3 80 0.0 01 0.0 02 0.0 08 100
0.0 9 0.5 0 0.2 2 100
0.0 2 0.0 8 0.0 5 100
0 0 0
Z x x x
s t x x x
x x x
x x x
xx
xx
x x x
解,根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下,
设 是生产 100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
大豆粉的量（磅）。
321 xxx
6,优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：
还有其它的一些划分方法：
如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；
二次规划、几何规划、随机规划等。
约束无约束动态问题非线性规划线性规划约束问题维问题一维问题非线性问题线性问题无约束问题静态问题最优化问题
n
22
1 2 1
1 1 2
2
2 1 2
31
42
m in ( ) 4 4
s,t,( ) 2 0
( ) 1 0
( ) 0
( ) 0
F x x x
g x x
g x x
gx
gx
x
x
x
x
x
例 1：如下二维非线性规划问题一、几何解释
§ 1-4 优化问题的几何解释和基本解法通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。
22
1 2 1
1 1 2
2
2 1 2
31
42
m in ( ) 4 4
s,t,( ) 2 0
( ) 1 0
( ) 0
( ) 0
F x x x
g x x
g x x
gx
gx
x
x
x
x
x
目标函数等值线是以点（ 2,0）为圆心的一组同心圆。
如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
* (2,0)?x
，
*( ) 0F?x
约束方程所围成的可行域是 D。
0 1 2 3 4-1
f ( x )=3,8
2
1
x
1
x
2
D
A
x * =[0,58,1.34]
T
g
1
( x )=0
g
3
( x )=0
g
2
(x) =0
g
4
( x )=0
图 1-9
22
12
12
m in 2 1
.,5 0 st
xx
xx
由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为,对应的最优值为
(见图）
* 3,2 TX?
2fX
x2
x1
2f?
1f? O
用图解法求解例 2：
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。
1
22
12
2
1 2 2
12
2
m in 2 1
,5 0
50
,0
xx
s tx x x
xx
xx
解：①先画出等式约束曲线 的图形。
这是一条抛物线，如图
05 2221 xxx
例 3：
②再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）
③最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，
x1
x2
1?2?3?4?5?6
1
3
5
A B
C
D
以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段 ABCD。 当动点沿抛物曲线段 ABCD由 A点出发时,AB段目标函数值下降。过点 B后，在 BC段目标函数值上升。过 C点后，在 CD段目标函数值再次下降。 D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：
2
1 2 2
12
50
50
x x x
xx
( 4 1 ) TX, 4fX得出：
x1
x2
1?2?3?4?5?6
1
3
5
A B
C
D
由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，
已不便在平面上作图，此法失效。
在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是 {X| f(X)=C,C是常数 }称为目标函数的等值面。
等值面具有以下性质：
（ 1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；
（ 2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，
而稀疏的地方变化得比较慢；
（ 3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。
求解优化问题的基本解法有：
二、基本解法解析法数值解法解析法,即利用数学分析 (微分,变分等 ） 的方法,根据函数 （ 泛函 ） 极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的 求解方法 。 在目标函数比较简单时,求解还可以 。
局限性,工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。
最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的,数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点,因为数值计算的迭代方法具有以下特点：
1） 是数值计算而不是数学分析方法；
2） 具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；
3） 最后得出的是逼近精确解的近似解 。
这些特点正与计算机的工作特点相一致 。
数值解法,这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、
最优步长的确定等。
数值迭代法的 基本思路,是进行反复的数值计算，寻求 目标 函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的 最优点 。 这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：
1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点 X（ 0）,从 X（ 0）
出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到 X（ 1） 点；
2）得到新点 X（ 1） 后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从 X（ 1） 点出发再跨出一步，达到 X（ 2） 点
，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。
1.求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为,1
1( ) ( )
k k k
k
kk
S
FF
k = 0,1,2,
xx
xx
图 1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图上式中,Xk——第 k步迭代计算所得到的点,称第 k步迭代点,
亦为第 k步设计方案；
α k——第 k步迭代计算的步长；
Sk——第 k步迭代计算的探索方向 。
用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图 1-11所示 。
运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：
1( ) ( )kkFFxx
1k k kk Sxx
（ 1）选择搜索方向
（ 2）确定步长因子
（ 3）给定收敛准则
*l im k
kxx
收敛：
迭代法要解决的问题：
2.迭代终止准则
1 1kkxx
（ 1）点距准则
1 2kkiixx
或
f
fk
fk+1
f*
xko xk+1 x* x
(a)
1 3( ) ( )kkFFxx
（ 2） 函数值下降量 准则
1
4
( ) ( )
()
kk
k
FF
F
xx
x或
xo
f
fk
fk+1f*
xk xk+1 x*
(b)
（ 3）目标函数梯度 准则
5()kFx
251 0 ~ 1 0 ( 1,,5 )i i
上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。
采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：
否是问题分析建立数学模型选择优化方法编写计算机程序准备初始数据，上机计算确定最优设计方案方案评价与决策图 1-12 优化设计流程三、优化设计一般步骤
