非可积方程理论
物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程，反散射理论不再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此，我们讨论非可积方程的数学理论。
非可积方程的研究在最近20年来有了长足的发展。人们发现，在非可积方程中孤立波可以不稳定。稳定的孤立波可以有internal modes。这些modes引起孤立波形状的长时间的振动。孤立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞）。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内
（embedded solitons）。在2+1位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定性，并且可以出现critical collapse现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象。
下面我们用模型方程
2
() 0 (1)
zxx
iu u F u u++ =
来发展非可积方程理论（这里(0) 0F =）。此方程描述光孤立波在非Kerr介质里的传播行为。
在一般情形下，此方程不可积。它有三个守恒量：质量P，动量M，和Hamiltonian H,
2
**
22
(2)
()
() (4
xx
x
Pudx
Miuuuudx
HuGudx
≡
≡?
≡?
∫
∫
∫
(3)
)
这里。 () ()Gy Fy′ =
1,孤立波的解析表达式
对于一个非线性波动方程，我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1)，它的静止的孤立波形式为
(,) (; ) (5)
iz
uxz x e
β
β=Φ
这里(; )x βΦ为一实函数，0 as xΦ→ →∞，β为传播常数。注意方程(1)具有Galilean
（伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过Galilean变换我们可以得到运动的孤立波,
2
11
vv
24
(,) ( v; ) (6)
ix i zi z
moving
uxz xze
β
β
+
=Φ?
在一些具体情形下，解(; )x βΦ有显式的解析表达式。比如，考虑函数
22
() (7Fu u u
σσ
αγ=+ )
在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到
1
2
222()
2
(8)
21
d
dx
σσ
αγ
β
σσ
++
Φ
=Φ? Φ? Φ
++
这里积分常数已由条件0
x
x
d
dx
=∞
=∞
Φ
Φ= =消掉。方程(8)可以由变量代换y
σ
=Φ求解。
其解为,
1
(; ) (9)
cosh
A
x
BDx
σ
β
Φ=
+
这里
(2 )B
A
σ β
α
+
=，D σ β=，
1
2
2
2
(2 )
sgn( ) 1
(1 )
B
σγ
α
σα
β
+
=+
+
，而β为自由参数。
当1α =，0γ =和2σ =时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons）,
1
22 22
2(2 )(1 ) /
() (11)
(1 ) (2 ) /
al
ux
x
σ
σσα
σσ σγα
+ +
=
+++
此孤立波在x =∞处以power law衰减：
2
()
al
ux x
σ
～。
2,孤立波的线性稳定性和internal modes。
在可积方程里，孤立子一般是稳定的。实际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不变。但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤立波是稳定的，其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值（即所谓的internal modes）。
而这些internal modes，在可积方程是没有的。Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及internal modes
的产生机制。
为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动,
{ }
*
**
(,) ( ; ) [v( ) w( )] [v ( ) w ( )] (12)
iz i z iz
uxz x x xe x xe e
λλβ
β
=Φ +? + +
这里v(。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 ),w( ) 1xxnull
(13)LY Yλ=
这里
0
1
2
2
0
2
2
222
1
2
v
(14)
w
0
(15)
0
( ) (16)
()2 () (17)
Y
L
L
L
d
LF
dx
d
LFF
dx
β
β
≡
=
=? +? Φ
′=? +? Φ? Φ Φ
算子L的特征值具有一个简单对称性：如果λ为一特征值，则
*
,,
*
λ λλ也都为特征值。因此L的特征值总是成对或者成四出现的。另外，0λ =总是L的离散特征值，并且此零特征值的几何重数为2，代数重数为4。其对应的两个特征函数为,
21
0
,,
0
dd
YY
x
Φ
==
Φ
(18)
两个广义特征函数为,
12
01
,(19)
102
aa
x
YY
β
Φ
=Φ =
并且
11 2 2
,(20)
ad ad
LY Y LY Y==
这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系。
算子L的连续谱很容易从x →∞的极限下得到。其连续谱为
{ }
,λ λβ∈≥null
L的离散谱一般包括如下三类特征值
z λ为非零实数（internal modes）
z λ为纯虚数（指数不稳定性）
z λ为复数（实部与虚部均非零）（振动不稳定性）
但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明λ只能为实数或纯虚数。为证明这一点，我们首先将其线性化方程(13)写为如下形式,
2
01
vv(2LL λ= 1)
注意到算子有如下分解
0
L
0
(22)LLL
+?
=
()
(23)
()
dx
L
dx x
±
′Φ
=± +
Φ
因此特征值问题(21)可以用变量代换vL v
+
= null表述为
2
1
vv(2LLL λ
+
=nullnull 4)
显然L
与L
+
互为Hermitian，即。因此
()LL
+
=
1
LLL
+
为Hermitian算子，从而其特征值
2
λ必须为实数，也就是说λ必须为纯实数或纯虚数。
下面我们先考虑λ为纯实数（internal modes）的情形。容易知道，可积的NLS方程中孤立子的线性化算子是没有internal modes的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有internal
modes呢？如果会，这些modes是从哪里来的呢？
为回答这些问题，我们考虑扰动的NLS方程并令
22 2
() () (18Fu u fuε=+ )
这里1ε null为一小参数。扰动后的孤立波为,
2
01
(; ) (; ) (; ) ( ) (19)xxxoββεβεΦ=Φ +Φ+
其中
0
( ; ) 2 sech (20)xxβββΦ=，为NLS孤立子。
校正项
1
(; )x βΦ有以下方程得到,
22
1101 00
3()
xx
fβΦ?Φ+ΦΦ=?ΦΦ (21)
特征值问题(13)至()O ε可展开为,
(0) (1)
( ) (22)LLYYελ+=
这里
(0)
L为NLS孤立子的线性化算子，
(1)
L为一阶矫正项,
(0) (1)
(0) (1)00
(0) (1)
11
,(
LL
LL
==
23)
2
(0) 2
002
2
(0) 2
102
(1) 2
0001
(1) 2 2 2
100001
(24)
3(
( ) 2 (26)
()2 ()6 (27)
d
L
dx
d
L
dx
Lf
Lf f
β
β
=? +?Φ
=? +? Φ
=? Φ? ΦΦ
′=? Φ? Φ Φ? ΦΦ
25)
当0ε =时，特征值问题(22)为NLS孤立子线性化算子
(0)
L的谱问题，因此是完全可以求解的。其谱结构为,
离散特征值：0λ =
离散特征函数：
12
0
0
0
,,
0
dd
YY
x
Φ
==
Φ
(28)
广义离散特征函数：
12
0
0
01
,,(29)
102
aa
x
YY
β
Φ
=Φ =
本征关系,
12
11 2 2
(0) (0)
(0) (0)
0 (30)
,(
dd
ad ad
LY LY
LY Y LY Y
==
31)
连续特征值,
2
(),kkλβ=± +?∞< <∞
连续特征函数：
22
2
22
( tanh ) sech
( ; ) (32)
()
[( tanh ) sech ]
ikx
ki x x
e
Yxk
ki
ki x x
βββ β
β
βββ β
±
±
±+
=
±
±±?
本征关系,
(0) 2
(; ) ( ) (; ) (33)LY xk kYxkβ
±
±
=± +
这些特征函数在空间构成完全集。
2
L
当0ε ≠时，特征值0λ =保持不动（不bifurcate）。然而internal modes可以从连续谱的边缘iiλβ=±处分离出来（见图）。下面我们计算在何种条件下internal modes可以产生，并计算其解析表达式。
为此计算，我们需要定义内积。与Pelinovsky et al,Physica D,1998不同的是，我们定义如下内积,
1
(),() (34)FxGx F Gdxσ
∞
∞
≡
∫
这里上标“”代表Hermitian，。此内积的好处在于，在此内积定义下，
算子
1
1
1
σ
=
(0)
L为自伴算子。容易验证
(0)
L的特征函数非零内积为
11 11
,,
da ad
YY YY β==(35)
22 22
1
2
,,(36)
da ad
YY YY β
==
(; ),(; ) (; ),(; ) 4 ( ) (37)Y xk Y xk Y xk Y xk k kπδ
++
′′′?
现在，我们将方程(22)的特征函数Y在
(0)
L算子的特征函数集上做展开
2
1
() (;) (;) (;) (;) () () (38)
nn
ndna
n
Yx kYxk kYxkdk Y Yαε αε αε βε
∞
++
∞
=
=+++
∑
∫
当我们把展开式(38)代入到方程(22)去，并利用以上的内积关系，我们可以得到(;)kα ε
±
的如下积分方程,
12
2
(1) (1)
1
()() (,)()(,)()
4
( ; ),( ) ( ; ),( ) (39)
4
nn
k
ndna
n
kKkkKkkdk
YxkLYx YxkLYx
ε
λλα α α
π
ε
αβ
π
∞
±±+±?
∞
±±
=
′′ ′′′=+
++
∫
∑
这里
2
(1)
1
(1)
2
(,) (,),( ; ) (40)
(,) (;),(; ) (41)
k
k
K kk Y xk LY xk
K kk Y xk LY xk
λβ
±±+
±±?
=+
′′=
=
引入定义
() ( ) () (42)
k
ak kλλα
±±
=?
则以上积分方程变为
12
2
(1) (1)
1
(,) ( ) (,) ( )
()
4
(; ),() (; ),() (43)
4
nn
kk
ndna
n
Kkkak Kkkak
ak dk
YxkLY x YxkLYx
ε
πλλ λλ
ε
αβ
π
±+ ±?
∞
±
∞
′′
±±
=
′′ ′′
′=+
+
++
∫
∑
现在我们假设 – internal modes λ在1ε null时从连续谱边缘λβ=处分离出来。令
22 3
( ) (44)hoλβε ε=? +
这里为一常数。当0h> 0ε =时，λβ=,
( ;0) ( ),( ;0) (0) (0) 0 (45)
nn
kkkαδααβ
+?
= ===
若0ε≠ null1，从方程(39)可以看出
1
222
(,0)
(;),(;) (),() (),() () (46)
nn
Kk
kkOOO
kh
ε
αε αε εαε εβε ε
ε
+
+?
+
～～～～
注意方程(43)中积分的第一项在kihε′=±处有简单奇点。利用复积分方法，我们发现在
0ε →的极限下，方程(43)变为
1
() (0) (,0) (47)
4
ak a Kk
h
ε
ε
±+±
=?
为了使此公式自相容，参数h必须为
(1)
1
11
sgn( ) (0,0) sgn( ) ( ;0),(,0) (48)
44
hK YxLYxεε
+++
=? =?
并且。以上公式表明，internal modes产生的条件是公式(48)的右端量为正数。在此条件下，internal modes特征值由公式(44)及(48)给出。
0h>
0
β
β?
iλ
iλ?
λ?
λ
0ε = 0ε ≠时internal
modes 的产生
internal modes 碰撞产生的指数不稳定性
时L
的谱结构
下面我们考虑一个例子，即三阶与五阶非线性的情形。这时
24
()f uu=。
经过简单计算，我们得到,
3
2
1
3
cosh(2 )22
( ; ) (50)
3 cosh ( )
x
x
x
β
ββ
β
Φ=
而
2
1 2sech ( )
(,0) (51)
1
x
Yx
β
+
=
因而公式(48)给出h为
3
2
8
sgn( ) (52)
9
h βε=
这说明当0ε >时，internal modes 存在，其公式为
22 3
64
1()
81
Oλβ εβ ε
=? +
(53)
附图1,Internal modes 数值与解析公式的比较。（待做）
Internal-modes 的存在与否对摄动解演化的影响,
(a) 0.2,1:εβ==internal modes 存在
(b) 0.1,1:εβ=? = internal modes 不存在
初始扰动,(,0) 1.2 (; )ux xβ=Φ,i.e.,20% 扰动
物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程，反散射理论不再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此，我们讨论非可积方程的数学理论。
非可积方程的研究在最近20年来有了长足的发展。人们发现，在非可积方程中孤立波可以不稳定。稳定的孤立波可以有internal modes。这些modes引起孤立波形状的长时间的振动。孤立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞）。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内
（embedded solitons）。在2+1位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定性，并且可以出现critical collapse现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象。
下面我们用模型方程
2
() 0 (1)
zxx
iu u F u u++ =
来发展非可积方程理论（这里(0) 0F =）。此方程描述光孤立波在非Kerr介质里的传播行为。
在一般情形下，此方程不可积。它有三个守恒量：质量P，动量M，和Hamiltonian H,
2
**
22
(2)
()
() (4
xx
x
Pudx
Miuuuudx
HuGudx
≡
≡?
≡?
∫
∫
∫
(3)
)
这里。 () ()Gy Fy′ =
1,孤立波的解析表达式
对于一个非线性波动方程，我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1)，它的静止的孤立波形式为
(,) (; ) (5)
iz
uxz x e
β
β=Φ
这里(; )x βΦ为一实函数，0 as xΦ→ →∞，β为传播常数。注意方程(1)具有Galilean
（伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过Galilean变换我们可以得到运动的孤立波,
2
11
vv
24
(,) ( v; ) (6)
ix i zi z
moving
uxz xze
β
β
+
=Φ?
在一些具体情形下，解(; )x βΦ有显式的解析表达式。比如，考虑函数
22
() (7Fu u u
σσ
αγ=+ )
在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到
1
2
222()
2
(8)
21
d
dx
σσ
αγ
β
σσ
++
Φ
=Φ? Φ? Φ
++
这里积分常数已由条件0
x
x
d
dx
=∞
=∞
Φ
Φ= =消掉。方程(8)可以由变量代换y
σ
=Φ求解。
其解为,
1
(; ) (9)
cosh
A
x
BDx
σ
β
Φ=
+
这里
(2 )B
A
σ β
α
+
=，D σ β=，
1
2
2
2
(2 )
sgn( ) 1
(1 )
B
σγ
α
σα
β
+
=+
+
，而β为自由参数。
当1α =，0γ =和2σ =时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons）,
1
22 22
2(2 )(1 ) /
() (11)
(1 ) (2 ) /
al
ux
x
σ
σσα
σσ σγα
+ +
=
+++
此孤立波在x =∞处以power law衰减：
2
()
al
ux x
σ
～。
2,孤立波的线性稳定性和internal modes。
在可积方程里，孤立子一般是稳定的。实际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不变。但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤立波是稳定的，其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值（即所谓的internal modes）。
而这些internal modes，在可积方程是没有的。Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及internal modes
的产生机制。
为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动,
{ }
*
**
(,) ( ; ) [v( ) w( )] [v ( ) w ( )] (12)
iz i z iz
uxz x x xe x xe e
λλβ
β
=Φ +? + +
这里v(。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 ),w( ) 1xxnull
(13)LY Yλ=
这里
0
1
2
2
0
2
2
222
1
2
v
(14)
w
0
(15)
0
( ) (16)
()2 () (17)
Y
L
L
L
d
LF
dx
d
LFF
dx
β
β
≡
=
=? +? Φ
′=? +? Φ? Φ Φ
算子L的特征值具有一个简单对称性：如果λ为一特征值，则
*
,,
*
λ λλ也都为特征值。因此L的特征值总是成对或者成四出现的。另外，0λ =总是L的离散特征值，并且此零特征值的几何重数为2，代数重数为4。其对应的两个特征函数为,
21
0
,,
0
dd
YY
x
Φ
==
Φ
(18)
两个广义特征函数为,
12
01
,(19)
102
aa
x
YY
β
Φ
=Φ =
并且
11 2 2
,(20)
ad ad
LY Y LY Y==
这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系。
算子L的连续谱很容易从x →∞的极限下得到。其连续谱为
{ }
,λ λβ∈≥null
L的离散谱一般包括如下三类特征值
z λ为非零实数（internal modes）
z λ为纯虚数（指数不稳定性）
z λ为复数（实部与虚部均非零）（振动不稳定性）
但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明λ只能为实数或纯虚数。为证明这一点，我们首先将其线性化方程(13)写为如下形式,
2
01
vv(2LL λ= 1)
注意到算子有如下分解
0
L
0
(22)LLL
+?
=
()
(23)
()
dx
L
dx x
±
′Φ
=± +
Φ
因此特征值问题(21)可以用变量代换vL v
+
= null表述为
2
1
vv(2LLL λ
+
=nullnull 4)
显然L
与L
+
互为Hermitian，即。因此
()LL
+
=
1
LLL
+
为Hermitian算子，从而其特征值
2
λ必须为实数，也就是说λ必须为纯实数或纯虚数。
下面我们先考虑λ为纯实数（internal modes）的情形。容易知道，可积的NLS方程中孤立子的线性化算子是没有internal modes的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有internal
modes呢？如果会，这些modes是从哪里来的呢？
为回答这些问题，我们考虑扰动的NLS方程并令
22 2
() () (18Fu u fuε=+ )
这里1ε null为一小参数。扰动后的孤立波为,
2
01
(; ) (; ) (; ) ( ) (19)xxxoββεβεΦ=Φ +Φ+
其中
0
( ; ) 2 sech (20)xxβββΦ=，为NLS孤立子。
校正项
1
(; )x βΦ有以下方程得到,
22
1101 00
3()
xx
fβΦ?Φ+ΦΦ=?ΦΦ (21)
特征值问题(13)至()O ε可展开为,
(0) (1)
( ) (22)LLYYελ+=
这里
(0)
L为NLS孤立子的线性化算子，
(1)
L为一阶矫正项,
(0) (1)
(0) (1)00
(0) (1)
11
,(
LL
LL
==
23)
2
(0) 2
002
2
(0) 2
102
(1) 2
0001
(1) 2 2 2
100001
(24)
3(
( ) 2 (26)
()2 ()6 (27)
d
L
dx
d
L
dx
Lf
Lf f
β
β
=? +?Φ
=? +? Φ
=? Φ? ΦΦ
′=? Φ? Φ Φ? ΦΦ
25)
当0ε =时，特征值问题(22)为NLS孤立子线性化算子
(0)
L的谱问题，因此是完全可以求解的。其谱结构为,
离散特征值：0λ =
离散特征函数：
12
0
0
0
,,
0
dd
YY
x
Φ
==
Φ
(28)
广义离散特征函数：
12
0
0
01
,,(29)
102
aa
x
YY
β
Φ
=Φ =
本征关系,
12
11 2 2
(0) (0)
(0) (0)
0 (30)
,(
dd
ad ad
LY LY
LY Y LY Y
==
31)
连续特征值,
2
(),kkλβ=± +?∞< <∞
连续特征函数：
22
2
22
( tanh ) sech
( ; ) (32)
()
[( tanh ) sech ]
ikx
ki x x
e
Yxk
ki
ki x x
βββ β
β
βββ β
±
±
±+
=
±
±±?
本征关系,
(0) 2
(; ) ( ) (; ) (33)LY xk kYxkβ
±
±
=± +
这些特征函数在空间构成完全集。
2
L
当0ε ≠时，特征值0λ =保持不动（不bifurcate）。然而internal modes可以从连续谱的边缘iiλβ=±处分离出来（见图）。下面我们计算在何种条件下internal modes可以产生，并计算其解析表达式。
为此计算，我们需要定义内积。与Pelinovsky et al,Physica D,1998不同的是，我们定义如下内积,
1
(),() (34)FxGx F Gdxσ
∞
∞
≡
∫
这里上标“”代表Hermitian，。此内积的好处在于，在此内积定义下，
算子
1
1
1
σ
=
(0)
L为自伴算子。容易验证
(0)
L的特征函数非零内积为
11 11
,,
da ad
YY YY β==(35)
22 22
1
2
,,(36)
da ad
YY YY β
==
(; ),(; ) (; ),(; ) 4 ( ) (37)Y xk Y xk Y xk Y xk k kπδ
++
′′′?
现在，我们将方程(22)的特征函数Y在
(0)
L算子的特征函数集上做展开
2
1
() (;) (;) (;) (;) () () (38)
nn
ndna
n
Yx kYxk kYxkdk Y Yαε αε αε βε
∞
++
∞
=
=+++
∑
∫
当我们把展开式(38)代入到方程(22)去，并利用以上的内积关系，我们可以得到(;)kα ε
±
的如下积分方程,
12
2
(1) (1)
1
()() (,)()(,)()
4
( ; ),( ) ( ; ),( ) (39)
4
nn
k
ndna
n
kKkkKkkdk
YxkLYx YxkLYx
ε
λλα α α
π
ε
αβ
π
∞
±±+±?
∞
±±
=
′′ ′′′=+
++
∫
∑
这里
2
(1)
1
(1)
2
(,) (,),( ; ) (40)
(,) (;),(; ) (41)
k
k
K kk Y xk LY xk
K kk Y xk LY xk
λβ
±±+
±±?
=+
′′=
=
引入定义
() ( ) () (42)
k
ak kλλα
±±
=?
则以上积分方程变为
12
2
(1) (1)
1
(,) ( ) (,) ( )
()
4
(; ),() (; ),() (43)
4
nn
kk
ndna
n
Kkkak Kkkak
ak dk
YxkLY x YxkLYx
ε
πλλ λλ
ε
αβ
π
±+ ±?
∞
±
∞
′′
±±
=
′′ ′′
′=+
+
++
∫
∑
现在我们假设 – internal modes λ在1ε null时从连续谱边缘λβ=处分离出来。令
22 3
( ) (44)hoλβε ε=? +
这里为一常数。当0h> 0ε =时，λβ=,
( ;0) ( ),( ;0) (0) (0) 0 (45)
nn
kkkαδααβ
+?
= ===
若0ε≠ null1，从方程(39)可以看出
1
222
(,0)
(;),(;) (),() (),() () (46)
nn
Kk
kkOOO
kh
ε
αε αε εαε εβε ε
ε
+
+?
+
～～～～
注意方程(43)中积分的第一项在kihε′=±处有简单奇点。利用复积分方法，我们发现在
0ε →的极限下，方程(43)变为
1
() (0) (,0) (47)
4
ak a Kk
h
ε
ε
±+±
=?
为了使此公式自相容，参数h必须为
(1)
1
11
sgn( ) (0,0) sgn( ) ( ;0),(,0) (48)
44
hK YxLYxεε
+++
=? =?
并且。以上公式表明，internal modes产生的条件是公式(48)的右端量为正数。在此条件下，internal modes特征值由公式(44)及(48)给出。
0h>
0
β
β?
iλ
iλ?
λ?
λ
0ε = 0ε ≠时internal
modes 的产生
internal modes 碰撞产生的指数不稳定性
时L
的谱结构
下面我们考虑一个例子，即三阶与五阶非线性的情形。这时
24
()f uu=。
经过简单计算，我们得到,
3
2
1
3
cosh(2 )22
( ; ) (50)
3 cosh ( )
x
x
x
β
ββ
β
Φ=
而
2
1 2sech ( )
(,0) (51)
1
x
Yx
β
+
=
因而公式(48)给出h为
3
2
8
sgn( ) (52)
9
h βε=
这说明当0ε >时，internal modes 存在，其公式为
22 3
64
1()
81
Oλβ εβ ε
=? +
(53)
附图1,Internal modes 数值与解析公式的比较。（待做）
Internal-modes 的存在与否对摄动解演化的影响,
(a) 0.2,1:εβ==internal modes 存在
(b) 0.1,1:εβ=? = internal modes 不存在
初始扰动,(,0) 1.2 (; )ux xβ=Φ,i.e.,20% 扰动
